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人教版六上P40 练习八 工程问题 习题分析
人教版六上P40 练习八 工程问题 习题分析
核心定位：工程模型迁移课。不再只修栈道，把工程模型迁移到相遇、环形跑道、购物分配；从“完成全部工作”升级到“完成一部分工作量”，区分部分总量、全部总量，深化“把总量看作单位1”模型。一、做一做一批零件，师傅单独做需要3小时完成，徒弟单独做需要6小时完成。如果师傅和徒弟一起做，多长时间可以完成这批零件的3/4？出题意图基础变式：工作总量不是“1”，而是一部分工作量3/4。 前面例题是完成全部任务，本题升级：合作目标只是全部的3/4。 考查：学生能不能分清「工作总量可以是整体，也可以是一部分」；牢记公式： 合作时间=工作总量÷效率之和。 易错预判：学生容易直接用1÷(1/3+1/6)，忘记目标只是3/4。解题技巧1. 把整批零件看作单位“1”师傅效率：1/3，徒弟效率：1/6效率之和：1/3+1/6=1/2 2. 目标工作量是3/4，不是1合作时间 = 部分工作量 ÷ 效率之和3/4÷(1/3+1/6)=3/4÷1/2=3/2（小时）一句话口诀：求多久完成一部分，就用这一部分工作量÷效率之和变式：一批稿件，甲单独打4小时完成，乙单独打8小时完成。两人合作，多久能打完稿件的5/6？练习八 复习巩固第1题甲车从A城市到B城市要行驶2小时，乙车从B城市到A城市要行驶3小时。两车分别从A城市和B城市同时出发，相向而行，几小时后相遇？出题意图模型迁移：相遇问题 = 工程问题。 路程当成工作总量，速度=工作效率。让学生发现：不同场景，数学模型一样。 路程未知，不用知道两地距离，直接把全程看作单位“1”。核心：工程模型不是只用于修路干活，相遇问题同构。解题技巧全程看作单位“1”，甲速1/2，乙速1/3相遇时间 = 总路程÷速度和 1÷(1/2+1/3)=1÷5/6=6/5小时变式：甲走完全程要5小时，乙走完全程要4小时。两人相向同时出发，几小时相遇？第2题植树队要种一批树。甲队单独种，种完需要12天；乙队单独种，种完需要10天。现在两队合种，6天能种完吗？出题意图从“求时间”变为比较判断类问题。 不再直接提问“需要多少天”，而是让学生先算，再比较，培养说理能力。两种思路： ①算出合作时间，和6对比； ②算6天一共完成几分之几，和1对比。解题技巧方法一：求合作时间 1÷(1/12+1/10)=1÷11/60=60/11天， 60/11<6，能种完。 方法二：算6天工作量 (1/12+1/10)×6=11/60×6=11/10>1，6天工作量超过全部，能种完。变式：一项工程甲单独10天，乙单独15天，两队合做，7天能做完吗？综合运用第3题加工一批零件，甲单独加工需要5小时，乙单独加工需要9小时。甲、乙两人一起加工3小时后，还剩100个零件，这批零件一共有多少个？出题意图单位“1”和具体数量结合，分数除法逆向题，是本单元难点。 前面题目只用分率；本题同时出现分率（完成几分之几）+具体数量（100个）。 考查：找到“100个”对应的分率，量率对应。思维链条：先求3小时一共完成总量的几分之几 → 求出剩下占总量几分之几 → 对应100个，求单位“1”总量。解题技巧总量看作单位“1”，甲效率1/5，乙效率1/9效率之和：1/5+1/9=14/45 3小时完成：14/45×3=14/15 剩余分率：1-14/15=1/15 总量：100÷1/15=1500（个） 口诀：先算剩下占几分之几， 已知量÷对应分率=单位“1”总量变式：甲单独做6小时，乙单独做10小时，两人合作2小时，剩余80个零件，一共有多少零件？第4题小丹去商店买文具。她的钱正好能买6支签字笔或12支笔芯。要使一支签字笔配一支笔芯，小丹应该怎样买（钱不剩余）？出题意图生活化工程模型，把总钱数看成单位“1”。 6支笔或12支笔芯，相当于：签字笔单价1/6，笔芯单价1/12。 一套（1笔+1笔芯）的价格=1/6+1/12。求能买几套。 跳出修路、加工零件，让学生在生活场景识别工程模型。解题技巧总钱数看作单位“1”。签字笔单价：1/6；笔芯单价：1/12一套价格：1/6+1/12=1/4套数：1÷1/4=4（套）答：买4支签字笔，4支笔芯。变式：一笔钱，可以买8个笔记本，或者16支圆珠笔。1本笔记本配1支圆珠笔，能买多少套？拓展提升 第5题 环形跑道小明和爷爷一起去操场散步。小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？出题意图环形跑道模型，工程模型最高阶迁移。相背而行： 路程和=一圈（相遇，效率相加） 同向而行： 路程差=一圈（追及，效率相减） 区分相遇（和）、追及（差），拓展模型边界，供学有余力学生。解题技巧一圈看作单位“1”。小明速度1/8，爷爷速度1/10 （1）相背（速度相加）： 1÷(1/8+1/10)=1÷9/40=40/9分钟（2）同向追及（速度相减）： 1÷(1/8-1/10)=1÷1/40=40分钟口诀： 背向加，同向减；一圈当作单位“1”。变式： 小红跑一圈要6分钟，妈妈跑一圈要9分钟。 ①相背而行多久第一次相遇？ ②同向出发，多久小红超出妈妈一圈？整体习题编排总分析1. 梯度设计： 基础部分工作量 → 相遇迁移 → 判断说理 → 量率对应逆向 → 生活购物模型 → 环形追及拓展 2. 训练主线：反复强化把总量抽象成单位“1”，识别不同场景下的工程模型。 3. 分层功能：复习巩固：全员过关，模型迁移 综合运用：重难点，量率对应，分数除法逆向 拓展提升：培优，相遇&追及，适合学有余力学生4. 学生共性易错点汇总： ① 分不清目标是“全部”还是一部分工作量（做一做） ② 相遇题不知道路程可以看作单位“1” ③ 第3题找不到100个对应的分率 ④ 环形题分不清：相背加、同向减
