【石家庄二中考题】

已知函数  其中。

（1）讨论的单调性，并证明：当 时，（2）甲、乙两人进行一种对抗游戏。初始时，甲、乙各有 个积分（总积分为  ）。每局游戏必有一方获胜，胜者从败者处获得   个积分。当某一方的积分达到  （即另一方积分为   ）时，游戏结束，该方获得最终胜利。

    已知每局甲获胜的概率为  ，乙获胜的概率为 ，且  。设 表示甲当前拥有  个积分时最终获胜的概率。

      ①求  的表达式（用   表示）；

     ②现设定  其中  \lambda > 0  为常数。利用第 (1) 问的结论证明：

【解析】

  (1)  对  求导： 通分： 当  时， ，故 在  上单调递增。

又  所以当   时， 即  (2)  ① 由全概率公式，对   ：边界条件：整理得：令 则  即  是公比为 的等比数列。 又  故 因此② 代入 得  . 其中 由第 (1) 问结论：当  时， 令  则 因此 即

于是综上，

【数学】人大附中2027届高三上学期统练（一）数学试卷+参考答案
【物理】河北省定州中学2027届高三上学期9月阶段检测物理试题+参考答案
【数学】北京一零一中学2027届高三第一学期统考二数学试题+参考答案
【漫画作文】茶汤人生——河南洛阳高三作文审题立意行文实例
【数学】重庆一中2027届高三上学期数学周考5+参考答案解析