八上习题15.2:关于x=1、y=-1对称,坐标怎样变?

教材原题｜习题15.2 拓广探索

8. 如图，分别作出△PQR关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）和直线n（直线n上各点的纵坐标都为－1）对称的图形。它们的对称点的坐标之间分别有什么关系？

同学们，我们学过关于坐标轴对称时怎样改变坐标。现在，对称轴离开了坐标轴，移到了旁边，还能直接把某个坐标变成相反数吗？这道题提醒我们：先看清对称轴的位置，再判断坐标怎样变化。

先猜一猜

点P的坐标是（－1，3）。关于直线x＝1对称后，它的横坐标是1还是3？先不要套口诀，横着数一数：P到这条竖直线隔了几格？对称点又应该在另一侧隔几格？

01 · 点看坐标，线看哪个坐标固定

第一步：读准三个顶点和两条对称轴

从图中读得P（－1，3），Q（－4，5），R（－4，1）。读坐标要先横后纵，左边为负、右边为正，上方为正、下方为负。不要把字母旁边的标注位置当成顶点，顶点是线段真正相交的格点。

直线m上所有点的横坐标都是1，所以它是一条竖直线，记为x＝1；直线n上所有点的纵坐标都是－1，所以它是一条水平线，记为y＝－1。

题目说“分别作出”，表示两次都从原来的△PQR出发：一次关于m对称，另一次关于n对称。不是先把图形翻到m另一侧，再接着关于n翻一次。

第二步：关于竖直线x＝1对称，横着数格

分析：对称轴垂直平分对应点的连线。关于竖直线对称，两个对应点应在同一条水平线上，因此纵坐标不变；它们分居对称轴两侧，到对称轴的距离相等。

P的横坐标是－1，距x＝1有2格，对称点就在这条线右侧2格处，横坐标为3。Q、R的横坐标都是－4，距x＝1各有5格，所以对应点的横坐标都是6。

关于m的作图结果

解：分别标出P₁（3，3）、Q₁（6，5）、R₁（6，1），依次连接P₁Q₁、Q₁R₁、R₁P₁，得到△PQR关于直线m对称的图形。

对应坐标关系：纵坐标相等，横坐标之和为2。 例如：－1＋3＝2，－4＋6＝2。 一般地，点（x，y）关于x＝1的对称点是（2－x，y）。

为什么是和为2？因为两个横坐标的平均数，就是两点中点的横坐标，而中点在x＝1上。所以（x＋x₁）÷2＝1，解得x₁＝2－x。这比只记住“向右挪几格”更可靠。

02 · 水平轴上下翻，横坐标保持不变

第三步：关于水平线y＝－1对称，竖着数格

分析：关于水平线对称，两个对应点在同一条竖直线上，因此横坐标不变。原图三个点都在y＝－1上方，我们从这条线向下数相同的格数，就能找到对称点。

P的纵坐标是3，到y＝－1有4格，对称点的纵坐标为－1－4＝－5。Q的纵坐标是5，距离为6格，对称点纵坐标为－7。R的纵坐标是1，距离为2格，对称点纵坐标为－3。

关于n的作图结果

解：分别标出P₂（－1，－5）、Q₂（－4，－7）、R₂（－4，－3），依次连接三个对应点，得到△PQR关于直线n对称的图形。

对应坐标关系：横坐标相等，纵坐标之和为－2。 例如：3＋（－5）＝－2，5＋（－7）＝－2。 一般地，点（x，y）关于y＝－1的对称点是（x，－2－y）。

这里两个纵坐标的平均数应为－1，即（y＋y₂）÷2＝－1，所以y₂＝－2－y。注意对称轴的位置是负一，不能误写成纵坐标之和为正二。

最容易错：把“关于坐标轴”口诀直接搬过来

关于y轴对称才是横坐标变成相反数，因为y轴就是x＝0。本题的轴是x＝1，两边必须围绕1保持相等距离，而不是围绕0。关于x轴对称的纵坐标变号规律，也不能直接套到y＝－1上。

还有一个检查方法：原图与对称图形大小、形状相同。若画完后出现一条边变长，或者某个顶点与原来的对应点到轴的距离不相等，就要重新检查读数与描点。

画完以后，用反向作图检查一次

轴对称可以反着做：把画出的对称点关于同一条轴再对称一次，就应回到原来的点。例如第一幅图中，横坐标为三的对应点位于轴右侧两格，向左翻回两格，恰好回到横坐标为负一的位置。

第二幅图也一样。纵坐标为负五的点在水平轴下方四格，翻回上方四格，纵坐标应回到三。这种检查不需要重新背公式，只需抓住轴两侧距离相等，就能及时发现漏写负号、数错格子或选错对称轴的问题。

最后再核对连接顺序。每个顶点要与自己的对应点配成一对，三个新点仍按原来的相邻关系连接，不能把原图中的点和对称图中的点混连成另一个三角形。

名师方法｜轴不变，中点落轴上

竖直对称轴固定横坐标，作图时横着数格；水平对称轴固定纵坐标，作图时竖着数格。每画好一对点，就检查连线是否垂直于轴、中点是否在轴上。两个条件一起满足，才是正确的对称点。

推广来看，关于x＝a对称，点（x，y）变为（2a－x，y）；关于y＝b对称，变为（x，2b－y）。不必孤立背两条公式，记住对应点的中点在轴上，就能重新推出来。

如果点恰好在对称轴上呢？

它与自己的对称点重合。例如点（1，4）就在直线m上，关于m对称后仍是（1，4）；点（2，－1）就在直线n上，关于n对称后也不移动。把它们代入公式，得到的还是原坐标，这能帮助我们检查公式是否合理。

当堂检测

1. 点（－2，4）关于x＝1的对称点是什么？ 2. 点（3，2）关于y＝－1的对称点是什么？ 3. 点（1，－1）分别关于m、n对称，位置会改变吗？

想好再看：（4，4）；（3，－4）；都不改变，因为它同时在两条对称轴上。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十五章《轴对称》第77页，习题15.2“拓广探索”第8题。