高中物理模型&知识总结 200 例|第 26 期 死杆与活杆

死杆与活杆

适合：【高三一轮】

一、模型识别

上一期说绳只能沿绳方向拉，可杆不一样。杆的弹力既可以沿杆，也可以不沿杆——判据只有一句：这根杆能不能绕它的固定端自由转动。能转的，力必沿杆；转不动的，力往哪指由平衡说了算。

识别信号：

• 出现"铰链""光滑转轴""可绕 O 点自由转动"——活杆，弹力一定沿杆
• 出现"一端固定在墙上""插入墙内""焊接""不能转动"——死杆，弹力方向不能预设
• 活杆只能是"轻杆 + 只在两端受力"的二力杆；杆中间挂了东西、杆自身重量不能忽略，就不再是活杆
• 题目问"杆对某点的作用力方向"——九成在考死杆，活杆的方向根本不用问
• 题目问"杆处于拉伸还是压缩"——活杆的固定考法，先设方向、算出来为负再反向

和第 25 期的分工：那一期讲"绳能滑还是不能滑"，定的是绳的张力；这一期讲"杆能转还是不能转"，定的是杆的弹力方向。两期合起来，受力图上绳和杆的箭头才算画对。

二、核心规律

第一步　先认杆：能不能转

铰链、光滑轴——能绕固定点转，是活杆。固定在墙里、焊死——转不动，是死杆。

第二步　活杆：轻杆两端受力，力必沿杆

铰链不提供力矩，轻杆自身质量为零。它在两端各受一个力还能平衡，这两个力只能等大、反向、且落在同一条直线上——也就是沿杆。所以活杆的弹力方向不必求，它一定沿杆，只剩下大小一个未知量。

既然力沿杆，就沿垂直杆的方向列式，这个方向上杆的力没有分量：

其中  是绳与杆的夹角。再沿杆方向列式：

第三步　死杆：方向未知，设两个分量

死杆能靠固定端的弯矩提供垂直杆方向的分量，所以弹力的方向和大小都未知。老老实实设 、，按两个方向列平衡，解出来再定方向：

第四步　拿方向回验

把解出的  与杆的方向比一比。夹角为零，力沿杆，与活杆一致；夹角不为零，杆就必然还受了弯矩，只能是死杆。反过来，题目明说是活杆而算出的力不沿杆——不是巧合，是算错了。

一句话：活杆看铰链，死杆看平衡。能转的杆只会沿杆使劲，转不动的杆怎么方便怎么来。

三、例题 1

题目：

如图所示，轻杆 AB 的 A 端用铰链连接在竖直墙上，杆呈水平。B 端系一根轻绳，绳的另一端固定在墙上的 C 点，绳与杆的夹角为 53°。B 端悬挂质量 8 kg 的重物，取 ，杆与绳的质量均不计。下列说法正确的是（　　）

A．绳中的张力为 80 N

B．绳中的张力为 100 N

C．杆对 B 端的作用力为 60 N，方向沿杆向右，杆处于压缩状态

D．杆对 B 端的作用力方向沿绳，大小为 100 N

答案：　BC

解析：

A 端是铰链，杆能绕 A 自由转动，又是只在两端受力的轻杆，所以这是活杆：杆对 B 端的作用力只能沿杆，也就是沿水平方向。这一点定下来，B 点就只剩三个力——绳的张力、重力、杆的力，其中杆的力方向已知。

先沿垂直杆的方向（竖直方向）列平衡。这个方向上杆的力没有分量，只剩绳的竖直分量与重力：

得

B 正确，A 错误。

再沿杆方向列平衡，绳的水平分量由杆的力顶住：

方向向右。C 正确。

"向右"这三个字值得掰开：杆对 B 的力指向右，等于把 B 往远离 A 的方向推；B 反过来把杆往 A 的方向压。所以杆处在压缩状态，不是被拉长。

D 错在两处。活杆的力不可能沿绳，只可能沿杆；而 100 N 是绳的张力，跟杆的力是两回事。

顺带看一眼变化趋势：若把 C 点沿墙往下移，绳与杆的夹角  变小， 和  会同时变大。夹角越小，绳和杆都得出更大的力才吊得住同一件东西——这就是"绳越平越吃力"。

四、例题 2

题目：

如图所示，轻杆 OA 的一端固定在竖直墙上，不能绕 O 点转动，杆与竖直方向的夹角为 60°。A 端用一根水平轻绳连接在墙上的 D 点，A 端悬挂质量 10 kg 的重物，水平绳中的张力为 75 N。取 ，不计杆和绳的质量。下列说法正确的是（　　）

A．杆对 A 端的作用力大小为 125 N

B．杆对 A 端的作用力方向沿杆

C．杆对 A 端的作用力方向与竖直方向的夹角为 37°

D．若剪断水平绳，杆对 A 端的作用力变为 100 N，方向竖直向上

答案：　ACD

解析：

O 端固定死在墙里，杆转不动，这是死杆。它能提供垂直杆方向的分量，所以弹力既不沿杆、大小也不由杆的方向决定——方向和大小都得从平衡里解出来。

A 端受三个力：重力 100 N 向下、水平绳的张力 75 N 向左、杆的力 。前两个力互相垂直，它们的合力大小就是

杆的力必须与这个合力等大反向，所以 ，指向右上方，与竖直方向夹角满足

即 。A、C 正确。

关键在于把  和杆的方向比一比：杆与竖直方向成 60°， 与竖直方向成 37°，两者差 23°，根本不沿杆。B 错误。这 23° 不是画图的误差，是固定端提供的横向力——杆在这道题里既受压、又受弯。

再看 D。剪断水平绳后，A 端只剩重力和杆的力两个力，二力平衡要求它们等大反向，于是杆的力变成 100 N、方向竖直向上。D 正确。

这一步最能说明问题：同一根杆，力的方向从"右上 37°"变成"竖直向上"，跟杆自身的方向（60°）一次都没对上。死杆的弹力方向，从来不由杆决定，只由平衡决定。

再补一句对照：假如 O 端换成铰链，剪断绳后 A 只受重力和杆的力，二力共线，杆必须竖直才可能静止；而杆现在与竖直成 60°，它一定会转下来。活杆的"沿杆"，正是"它转得动，所以留不住横向力"逼出来的。

五、易错点

• 见杆就把力画在杆上：活杆才沿杆，死杆不沿杆（例题 2 差 23°）。先认铰链，再画箭头。
• 把"沿杆"的功劳记在铰链头上：铰链本身能提供任意方向的力。真正被锁死在杆方向上的，是"轻杆、只在两端受力"这个条件。杆中间挂了东西、杆自重不能忽略，铰链力照样可以不沿杆。
• 以为杆只能拉不能压：杆可拉可压，绳只能拉。例题 1 的杆就是被压着的——不动笔算，光看"杆在那儿撑着"很容易判反。
• 死杆只算大小不写方向：这类题最爱问"方向与竖直成多少度""是否沿杆"，只答 125 N 会白丢一半分。
• 活杆死杆的结论互相乱套：例题 2 的 D 项在死杆下成立，换成铰链就绝不成立——那根杆会转下来。判据永远是"能不能转"，不是"是不是杆"。
• 算完不验证：把力与杆的夹角量一量，等于零才配叫"沿杆"。这十秒钟能抓住大多数方向性错误。

一句话总结

死杆活杆一句话：杆能不能绕固定端转，决定它的力能不能离开杆。能转的是活杆——轻杆只在两端受力，力必沿杆，可拉可压；转不动的是死杆——方向大小全靠平衡解，解出来多半不沿杆，还可能带弯矩。