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为什么是两个——第十七届小学数学教学改革观摩交流展示培训活动观课思考之三
为什么是两个——第十七届小学数学教学改革观摩交流展示培训活动观课思考之三
第十七届小学数学 教学改革观摩课 观课三十三篇第3篇 不急着教数对，让学生追问：为什么非得两个数？任阁老师《确定位置》在删减、比较与创造中，让孩子摸到坐标的根。 
01 为什么是两个 人教版六年级上册第1页，《确定位置》。北京第二实验小学的任阁老师上这一课。这一届展示活动的课，我回头翻得最多的是这一节。它有一个地方，很容易被上偏。教材给的是数对。方格纸一摆，横着数几格、竖着数几格，写成（3，5），学生练几道就熟了。一节课下来，孩子会用数对表示位置，考试也没问题。但任老师没这么上。四十分钟的课，讲到“有序数对”这个名字，已经是第三十五分钟。前面三十多分钟，孩子一直在解决一个问题：为什么非得是两个数？这个问题听着幼稚，其实是坐标几何的根。一维的线上确定一个点，一个数就够；平面里为什么非得两个？为什么不是三个、不是四个？为什么这两个必须来自不同方向？这些问题，六年级的孩子答不上来，很多大人也答不上来。答不上来不影响用数对，但影响理解。任老师的处理是：不告诉，让他自己撞出来。 02 先把标准摆到桌面上 课的开头是一段考古挖掘的视频。文物出土，位置得记下来，不然没法保护、没法研究。情境立住了，她没急着发任务，先问了一句：“谁能先来说一说，咱们的任务到底是什么？”学生说：“描述点的位置。”她又问：“那怎么才叫成功地完成了这个任务呢？”这个问题问得好。很多课上来就“请你描述一下”，孩子埋头写，写完老师判对错。标准是老师手里的，孩子不知道。任老师把标准先摆到桌面上，让学生自己说。学生说：“让同学们都能听懂，准确。”她追一句：“他提到了一个关键词。我们的记录得怎么样？”学生补上：“准确。”她再往前推一步：“而且还得让别人能看懂。根据咱们的描述，别人得能找到这件文物，才算咱们成功，对吗？”到这儿，标准出来了：准确，别人能找到。这六个字成了整节课的尺子。孩子每写一个答案，都可以拿这把尺子量一量：别人拿着我这句话，能不能找到那个点？标准一旦是孩子自己定的，后面判对错就不是老师在判，是标准在判。这个转换很重要。而且这把尺子不是说说而已。任务单上印着一栏“能准确描述”，后面三颗星，自己评。整节课任老师提醒了两次：“别忘了依据咱们的标准给自己评一评。”评价从一开始就在孩子手里。 03 三份作品，三层答案 任务单上是一个正方形，正方形里一个点。请描述这个点的位置。孩子写出来的答案，任老师挑了三份摆到台上，编了号。1号作品：左下方。这是方向描述。听着像那么回事，但拿给别人，别人只能找到一大片区域。全班看评价结果，任老师说了一句：“我发现咱们同学意见出奇的一致——空空如也。”三颗星，一颗都没给。任老师追问：“谁能按照他说的，到前面来指一指，左下都可能在哪？”一个孩子上来，手在图上划出一片。任老师接住这个动作：“他说这一片区域怎么样？”“都可能。”只用“左下”描述，不准确，找不到。1号出局。2号作品：距左边2厘米，距右边4厘米，距上边5厘米，距下边1厘米。四个数据。这一层已经能准确找到了。孩子量了四条边，把能测的都测了，都写上了。很实在，也很费劲。3号作品：距左边2厘米，距下边1厘米。两个数据。也准确，而且短得多。三份摆在一起，问题就出来了：四个数据的那位同学，他做错了吗？没有，他做得很好，准确无误。但他多做了。多做了两个数据。不过1号那一路里还有一处，比2号和3号的对比更让我停了一下。有个孩子没停在“左下”上。他把左下分成了四个小区域。任老师没放过这一步，她点出这个改进：“把左下又分成了4个区域。”然后追问全班：“现在能准确地找到位置吗？”学生说不能。“那顺着他的思路想一想，现在还不准确，你们打算怎么办？”“继续分。”“如果我们把这几块再平均分一分，分完了吗？”“还不行。”“还不行怎么办？”“再分一分。”任老师收了一句：“那也许顺着这个思路下去，问题能够解决。”然后她请全班把掌声送给这个孩子。这一段在全课里不起眼，两分钟不到。但它其实是另一条路——不是量距离，是缩范围。范围一直缩下去，缩到足够小，那个点就露出来了。这条路六年级走不完，要走两千多年，走到极限。但孩子在这一刻已经站在路口了。很多课遇到这种“分区域”的答案，会说一句“这样还是不够准确”，然后转回距离。任老师没否定，她说“顺着这个思路下去，问题能够解决”。一句话，保住了一条路。 04 删一个，再删一个 这是这节课我最看重的地方。三份作品摆出来，2号和3号都准。任老师没有直接说“所以两个就够”，她先问了一句：“为什么两个数据就行？这样，你得想想背后的道理。”一个学生说：“因为如果这个点往右挪的话，它右边没标数据，然后它左边这个数据就会动；如果它往上挪的话，它下面这个数据就会动。所以只用标两个数据，而不用标4个数据。”任老师追问：“他说怎么着就会动，什么意思？我不给两个数据，这点会动，是这意思吗？怎么会动啊？”另一个孩子接住了：“就是假设那个宝物的位置移动，那么它上下两个数据都需要改变。但是如果你现在只标两个数据的话，你就只需要改变一个数，就不需要那么复杂。”这句话说到根上了。四个数据不是四个独立的信息，是两对，每一对说的是同一件事的两面。点一动，一对里两个数一起变。道理说清了，一般课到这儿就收了。任老师又往前走了一步：“4个数据，如果你觉得复杂，让你们删减一下，你打算怎么删？”删。一个孩子上台：“我打算删掉这个1厘米的，跟2厘米的。”任老师：“可以吗？这样就没有你们刚才说的那么复杂了，简洁了是吗？那我接着删。你不想要简洁吗？再删一个，怎么不行呢？”孩子又删了一个。任老师：“它也可能是这一条线上随机的一个点。你们看懂他的手势了吗？如果只给一个数据，这个点怎么样？看一看会怎么样啊？”学生：“这条线上的所有位置都有可能。”任老师：“那看来就像你们说的，咱们要想把这个点给它定住，得需要几个数据啊？”“两个。”到这儿，“两个”不是老师说的，是孩子删出来的。这一步为什么见功力？如果只讲“四个数据里有两个是多余的”，孩子得到的是一个数量结论：4减2等于2。这个结论对，但很薄。任老师让他们动手删。删到只剩一个的时候，点不在一个位置上了，跑成了一条线。孩子亲眼看见：一个数据管一个方向，一个方向只能定一条线，两条线交叉，才有那个点。这不是算术，是结构。而且这个结构是用“不够”证明出来的，不是用“够了”证明出来的。少一个不行，所以得两个。这种证法比正面说“两个刚好”有力得多。顺带说一句，这节课还有一层没讲透但埋着的东西。“方向加距离”其实也是两个要素，一个角度、一个长度，只不过这两个要素来自极坐标的思路。任老师在反思里点明了：这两种方法形式不同，道理相通。所以孩子在这一节真正学到的，不是“数对比方向距离好”，而是“不管哪种办法，都得凑够两个”。这个认识一旦立住，后面学坐标、学极坐标，都有地方挂。 05 文物一多，方法就不够用了 第一个任务解决了，任老师没有顺势讲数对。她加了一步：还有其他文物，用刚才的方法再试试。这一步加得狠。一件文物，两个数据，好办。五件文物，十个数据，还行。十件文物呢？孩子开始烦了。课上有个细节很真实：任老师走到孩子中间，说“我看有的画着画着不画了”。她没催，也没说“再坚持一下”。她说的是：“你觉得这种方法怎么样？”“太麻烦了。”任老师接了一句很实在的话：“其实有时候就是这样，我们解决了一个新的问题……你看这种方法，刚才一个点的时候又准确又简洁，那现在点多了怎么样啊？”“又麻烦了。”三个字，是这节课的转折点。麻烦不是不会，是方法撑不住了。一件文物两个数，十件文物二十个数字写在纸上，孩子自己回头看都分不清哪个“2”配哪件文物。他不是算错了，他是记录的方式到头了。很多时候，学习新工具的动力就藏在这种“到头了”里。可惜的是，这种感受常常被老师提前消解掉了：格子先画好，表格先印好，孩子一路顺顺当当，也就没了那份烦躁。任老师让孩子在这个“麻烦”里待了一会儿。她说“别着急，咱先放一放，想一想”，然后才问“有没有什么新的想法”。这一放，放出了这节课最好的东西。 06 格子图是两条路长出来的 任老师没慌：“这个投影出现点问题，没关系。这样，我们请小作者来分享一下你的心路历程。”“心路历程”这个词用得好。她要的不是答案，是过程。第一个孩子讲的是一条从“关系”走出来的路：“我先是根据刚刚的方法，画出了这几条线。然后我发现这样会非常麻烦，所以我就想到，如果把这个点连到这条线上，把这两个点连到这条线上，把所有的点都连到这条、这条，还有这条4条线上，然后就变成了这个样子。”任老师替他总结：“当他觉得麻烦的时候，他开始寻找这些点之间的联系。”这句话是这一节的关键。孩子不是随便画了几条线，他是在找点与点的关系。所有的点都往横竖两个方向连出去，连出来的就是一张网。第二个孩子走的完全是另一条路：“我认为它量得特别麻烦，所以我就把这个尺子印在了这个边上面，然后我再把每一个格子都连成线，这样的点就刚好在这个格子的点上面，我们就可以用几行几列来精确地表示出这个点的位置。”任老师请全班把掌声送给他，然后追问：“他把小尺子怎么样啊？印在了旁边，是不是啊？”一个孩子从点与点的关系入手，一个孩子从测量工具入手。前者是结构眼光，后者是工具眼光。两条路不一样，走到的却是同一张格子图。我要强调这个顺序。很多课是先发方格纸，再讲数对，孩子接受得很快，但那叫“学习一个新工具”。任老师这个顺序是“发明一个新工具”，孩子的心理体验完全不同。前者是接收，后者是创造。而且这节课里，“发明”不是一个笼统的说法。它有具体的人、具体的话、具体的两条路。孩子在台上讲的是“我发现这样会非常麻烦，所以我就想到”，这是创造者的语气。 07 约定老师提，验证孩子做 格子画出来了，新问题马上来：从哪儿开始数？往哪个方向数？先说横的还是先说竖的？任老师的处理是直接给约定。她说：“同样一个点，这样表达也可以，这样表达也可以。说法一多，交流起来就麻烦了。所以为了交流方便，咱们今天做一个小约定：以后就都用像这样，距离下边和距离左边的两个数据来描述位置，行吗？”约定是从0开始，先横着看，再竖着看，逗号隔开，小括号括起来，读作（2，1）。名字是后来才给的：“在数学上，我们称它为——有序数对。”这里我要说一句实话：约定是老师提的，不是孩子商量出来的。但这不构成问题。约定的本质就是人为的规定，数学上的规定本来不需要每个孩子重新发明一遍，只需要每个孩子明白“为什么必须有”。任老师把“为什么必须有”放在了前面：说法一多，交流起来就麻烦了。后面的练习，把这个“为什么”验实了。A点是（2，1），B点是（3，1）。任老师说了一句很轻的话：“这两个数对有点像，但是有了我们的约定，它们就能够找到背后这唯一的位置。”然后她报数对，让孩子找位置：（2，4），（4，5）。到这儿，一节课快收了。任老师问了一句：“这么厉害的格子图，这么准确简洁的有序数对，再看看，你还有没有什么好奇或者问题呢？”一个孩子举手：“老师，如果全标上数字的话，反过来那个（5，4），万一从下面看就成了（4，5），容易混。能不能换一种，比如用字母A、B、C？”这个问题问得真好。他自己想到了“序”的麻烦。任老师没直接回答，她把问题转给了全班：“他说，比如说我们刚刚的这个3，到底是横着看的三，还是竖着看的三呢？大家一起告诉我，应该是什么呀？”“横着看的三。”“因为咱们有了什么呀？”“约定。”“有了这个约定，你的困惑是不是就解决了？”“解决了。”任老师收了一句：“谢谢你。但是，我非常欣赏你还在按自己的方式想着改进，了不起。”这一段是全课最漂亮的地方之一。孩子用自己的困惑，把“序”的必要性又证明了一遍。而且这个证明是预演出来的——他没真的乱过，他在脑子里推演了一下“如果反过来会怎么样”。一个约定能站住，不是因为它被规定了，是因为有人试过不按它走。 08 五动是怎么动起来的 手动，这一节的手动很密。写描述，一笔一笔写；量距离，拿尺子量；画线，把点连成网；把尺子印在边上；上台删数据；上台指位置。手一直在动，而且动的都是要紧的地方，不是填空。口动，这一节的口动有三层。第一层说标准：“准确，别人能找到。”第二层说道理：“点往右挪，左边这个数据就会动。”第三层说心路：“我先是根据刚刚的方法，画出了这几条线，然后我发现这样会非常麻烦。”第三层最难，也最值钱，因为孩子讲的是自己怎么想的，不是答案是什么。脑动，这一节最重的是比较。三份作品摆在一起比，四个数据和两个数据比，一件文物和十件文物比，删到只剩一个再比。比较是这一节的主发动机。比完之后还有一步推：点一动，数据就动，所以只要两个。情动，考古这个情境是有情感温度的。文物、探方、保护，孩子对这个话题天然有兴趣，视频里那些土坑和器物确实抓人。更暖的一处是任老师那句“为大家的想法感到惊叹”。说这话的时候，台下坐着一屋子人，孩子是被当真的。心动，落在“我能创造”上。这句话是任老师教学反思里的原话。孩子发现数对不是天上掉下来的，是人被问题逼出来、商量出来的。那个把尺子印在边上的孩子，那一刻心里想的一定不是“我学会了一个知识点”。 09 六宜看这节课 宜教，这一节的定位极准。任老师在反思里说得很明白：新教材把“有序数对”和“方向加距离”放进同一个单元，是要让学生感悟到，直角坐标的雏形和极坐标的雏形，形式不同，道理相通，都在于平面里确定位置需要两个要素。这个定位把一节课从技能课抬成了思想课。判断的依据也在时间分配上：四十分钟的课，讲到“有序数对”这个名字，是第三十五分钟。前面三十多分钟，全花在“造”上。宜学，开放度合适。第一个任务不限定方法，孩子想怎么写就怎么写，三种层次自然出现。这种开放是有底的，因为标准是明确的：别人能找到。开放而不放任，靠的就是那把事先说好的尺子。宜评，这一节有真评价。评价有两处：一处是任务单上的三颗星自评，孩子自己给自己打；一处是全班的“空空如也”，1号作品一颗星都没有，意见出奇一致。前一处评自己，后一处评同伴。两处都不是老师打分。想再厚一点，可以在1号出局的时候加一步：让写“左下”的孩子拿着自己的话上台，当场找一个点，找错了，全班就都看见“不够准确”是什么意思。走一趟比说十遍有用。课上那个上来指“左下都可能在哪”的孩子，已经走到了这一步的一半，如果让他自己指、自己承认找不到，会更狠。宜用，这一节用得实。数对是后面学坐标、学函数的地基，这一节课把这个地基的每一块砖都翻过来看过了。而且“两个要素”这个认识，往后能挂坐标，也能挂极坐标，还能挂地图上的经纬度。宜创，这一节最亮的就是宜创。创生格子图那一段，是完整的再创造过程，而且有两条路：一条从点与点的关系入手，一条从测量工具入手。两条路汇到同一张图。任老师反思里说“学生收获的不仅是知识，更是一种我能创造的数学自信”，这话不虚。宜成，收得有余味。第二段考古视频放完，她问“和咱们的方法怎么样”，孩子说“一样的”。她再问“你们又有新的问题吗”，一个孩子说“他们的记录里，比我们多了一个东西”。课到这儿就下了。问题还开着。六宜里，宜学和宜用两块最重。这节课正好把这两块压得最实：孩子自己造出了工具，造出来的工具还能往后接坐标、接极坐标。一节展示课能让人记住的，往往不是情境多新鲜，是这两块实不实。 10 三条可以搬走的做法 第一条，先定标准，再给任务。“怎样才算成功”这个问题，往前挪三分钟，整节课的性质就变了。标准在老师手里，孩子是在猜；标准在孩子手里，孩子是在做。这个动作花不了一分钟，但省下后面所有的解释。第二条，别放过那个“多做了”的答案，还要让他自己删。四个数据的那位同学，是最有价值的教学资源。他没有错，他只是多做了。而“多做了”里面藏着一个结构：一个方向只需要一个数据。这个结构，讲一遍孩子记不住，删一遍孩子忘不了。而且删要有顺序：先删一个，问“可以吗”；再删一个，问“怎么不行”。前一步是让他尝到简洁的甜头，后一步是让他撞上“不够”的墙。第三条，让工具在困境里出生。网格图不是发的，是孩子被“麻烦”逼出来的。这个顺序一颠倒，课的味道全变。凡是重要的工具，都值得设计一次“没有它不行”的处境。 11 一句话 孩子会用（3，5）表示位置，那是学会了一个写法；知道为什么非得是两个数、为什么这两个数必须一横一纵，那才是摸到了坐标的根。 北京市朝阳区教育科学研究院 正高级、特级教师 钱守旺 
