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20.2 数据的波动程度
第 1 课时 方 差
数如下(单位：环)：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7
1．掌握方差的定义和计算公式；(重点) (1)求x ，x ，s，s；
甲 乙
2．会用方差公式进行计算，会比较数据 (2)你认为该选择哪名同学参加射击比
的波动大小．(重点) 赛？为什么？
解析：方差就是各变量值与其均值差的
平方的平均数，根据方差公式计算即可，所
以计算方差前要先算出平均数，然后再利用
方差公式计算．
一、情境导入 解：(1)x ＝(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10
甲
在生活和生产实际中，我们除了用平均 ＋7＋4)÷10＝7，s＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－
数、中位数和众数来描述一组数据的集中程 7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋
度外，有时需要了解一组数据的离散程度． (10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]÷10＝3，x ＝(9
乙
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门 ＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7)÷10＝7，s
对甲、乙两厂生产的乒乓球的直径进行检测． ＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6
甲、乙两厂生产的乒乓球中各抽样调查 －7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2
了10只，检测的结果如下(单位：mm)： ＋(7－7)2]÷10＝1.2；
(2)∵s＞s，∴乙的成绩稳定，选择乙同
学参加射击比赛．
方法总结：用“先平均，再求差，然后平
方，最后再平均”得到的结果就是方差．
甲厂：40.0，40.1，39.9，40.0，39.8，40.2， 【类型二】 已知原数据的方差，求新数
40.0，40.1，40.0，39.9； 据的方差
乙厂：40.1，39.8，39.9，40.3，39.8，40.2， 已知数据x，x，x，…，x 的平均
1 2 3 20
40.1，40.2，39.7，39.9. 数是2，方差是，则数据4x－2，4x－2，4x
1 2 3
你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与 －2，…，4x －2的平均数和方差是( )
20
标准的误差更小呢？ A．2， B．4，4 C．6， D．6，4
二、合作探究 解析：∵x＝(x＋x＋x＋…＋x )＝2，x
1 2 3 20
探究点一：方差的计算 ＝(4x －2＋4x －2＋4x －2＋…＋4x －2)
新 1 2 3 20
【类型一】 根据数据直接计算方差 ＝6；s2＝[(x－2)2＋(x－2)2＋(x－2)2＋…＋
1 2 3
为了从甲、乙两名同学中选拔一 (x －2)2]＝，s＝[(4x－2－6)2＋(4x－2－6)2
20 1 2
个射击比赛，对他们的射击水平进行了测验， ＋(4x －2－6)2＋…＋(4x －2－6)2]＝×16
3 20
两个在相同条件下各射击10次，命中的环 ＝4.故选D.
第 1 页 共 2 页方法总结：掌握数据都加上一个数(或 这个数即为这组数据的众数；(2)方差越小，
减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情 数据越稳定，小麦长势较好．
况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一 解：(1)将数据整理如下：
个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数
甲 10 11 12 13 13 13 13 14 15 16
也乘以这个数是本题的关键．
【类型三】 根据统计图表判断方差的大
乙 6 7 9 11 12 14 16 16 19 20
小
如图是2014年1～12月份某市居
所以：
民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以 小麦 中位数 众数 平均数 方差
及原材料等购进价格指数的折线统计图．由 甲 13 13 13 2.8
统计图可知，三种价格指数方差最小的是( 乙 13 16 13 21
)
(2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙
种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，
而两种小麦苗高的中位数和平均数相同，故
甲种小麦长势较好．
方法总结：平均数表示一组数据的平均
程度；中位数是将一组数据从小到大(或从
大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中
间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组
A．居民消费价格指数 数据波动大小的量．
B．工业产品出厂价格指数 三、板书设计
C．原材料等购进价格指数 1．方差的概念
D．不能确定 2．方差的计算公式
解析：从折线统计图中可以明显看出居
民消费价格指数的波动最小，故方差最小的
通过这节课的教学，让我深刻的体会到
是居民消费价格指数．故选A.
方法总结：折线图不但可以表示出数量 只要我们充分相信学生，给学生以最大的自
主探索空间，让学生经历数学知识的探究过
的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减
程，这样既能让学生自主获取数学知识与技
变化情况．
探究点二：由方差判断数据的波动程度 能，而且还能让学生达到对知识的深层次理
为了考察甲、乙两种小麦的长势， 解，更主要的是能让学生在探究过程中学习
分别从中抽取10株麦苗，测得苗高如下(单 科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，
位：cm)： 培养学生的探索精神和创新思维．
甲：12，13，14，13，10，16，13，13，15，11
乙：6，9，7，12，11，16，14，16，20，19
(1)将数据整理，并通过计算后把下表填
全：
小麦 中位数 众数 平均数 方差
甲 13 13
乙 16 21
(2)选择合适的数据代表，说明哪一种小
麦长势较好．
解析：(1)中位数是将一组数据从小到大
(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数
(最中间两个数的平均数)；出现次数最多的
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