小题满分练 5
一、选择题
1．(2022·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 B
解析 因为z·i3＝1－2i，
可得z＝＝＝(1－2i)i＝2＋i，
所以＝2－i，所以的虚部为－1.
2．(2022·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取
值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案 B
解析 由题意可知A＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x>1}，所以由A∪B＝R得a≥1.
3．(2022·莆田质检)若sin 12°＋cos 12°＝a，则cos 66°等于( )
A．1－a B．a－1
C．1－a2 D．a2－1
答案 D
解析 依题意知sin 12°＋cos 12°＝a，
两边平方并化简得1＋sin 24°＝a2，
则sin 24°＝a2－1，
所以cos 66°＝cos(90°－24°)＝sin 24°＝a2－1.
4．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水
蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔
157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则
该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
答案 C
解析 如图，由已知得该棱台的高为157．5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积
V ＝ ×9×(140 ＋ ＋ 180)×106 ＝ 60×(16 ＋ 3)×106≈60×(16 ＋ 3×2.65)×106 ＝
1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.
5．(2022·龙岩质检)已知二项式n的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有( )
A．展开式共有7项
B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为－1
D．展开式的有理项共有4项
答案 D
解析 因为二项式n的展开式中各项系数之和是，
所以令x＝1，可得
n＝⇒＝⇒n＝7.
因为n＝7，所以展开式共有8项，因此A不正确；
因为n＝7，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，因此B不正确；
因为n＝7，所以所有二项式系数和为27＝128，所以C不正确；
展开式通项为T ＝C·k· ，k＝0,1,2，…，7，
k＋1
当k＝1,3,5,7时，对应的项是有理项，故D正确．
6．(2022·遂宁模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋3y－1的取值范围为( )
A．[－34,8] B．[－35,8]
C．[－35,7] D．[－34,7]
答案 C
解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
联立解得
即点A，联立解得即点C(－4，－10)，
平移直线z＝x＋3y－1，当直线z＝x＋3y－1经过点A时，
该直线在x轴上的截距最大，此时z取得最大值，即z ＝＋3×－1＝7，
max
当直线z＝x＋3y－1经过点C时，该直线在x轴上的截距最小，
此时z取得最小值，即z ＝－4＋3×(－10)－1＝－35.
min
因此，z＝x＋3y－1的取值范围是[－35,7]．
7．(2022·淄博模拟)若4x＝5y＝20，z＝logy，则x，y，z的大小关系为( )
x
A．x<y<z B．z<x<y
C．y<x<z D．z<y<x
答案 D
解析 ∵4x＝5y＝20，
根据指数与对数的关系和y＝log x(a>1)为增函数，得x＝log 20>log 16＝2，
a 4 4
y＝log 20，
5
由log 5<log 20<log 25，
5 5 5
得1<log 20<2，
5
故1<y<2，∴1<y<x，
可得logy<logx＝1，即z<1，
x x
综上，z<y<x.
8．(2022·广东六校联考)我国最早按乐器的制造材料对乐器进行分类，《周礼·春宫》中记载，
中国古典乐器一般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音，
其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现
从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意可得，从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，共有C＝10(种)不同的取法，
三音来自两种不同类型乐器的取法共有CC＋CC＋CC＋CC＝6(种)，
故所求概率P＝＝.
9．(2022·泰安模拟)已知数列{a}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{b}满足b ＝.若对
n n n
任意的n∈N*，都有b≥b 成立，则实数a的取值范围是( )
n 5
A．[－6，－5] B．(－6，－5)
C．[－5，－4] D．(－5，－4)
答案 D
解析 根据题意，数列{a}是首项为a，公差为1的等差数列，所以a＝n＋a－1，
n n
由于数列{b}满足b＝＝＋1，
n n
所以≥对任意的n∈N*都成立，故数列{a}单调递增，且满足a<0，a>0，
n 5 6
所以
解得－5<a<－4.
10．(2022·唐山联考)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是(
)
A．函数f(x)的周期为4
B．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
C．f(2 021)＝0
D．f(2 022)＝0
答案 D
解析 ∵函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数，∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)⇒f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，
函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故B正确；∵函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，
∴f(x)的周期为 4，故 A 正确；f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝0，故 C 正确；f(2 022)＝
f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D错误．
11．(2022·保定模拟)在正方体ABCD－ABC D 中，点M，N分别是棱AD ，AB的中点，
1 1 1 1 1 1
则下列选项中正确的是( )
①MC⊥DN；
②AC ∥平面MNC；
1 1
③异面直线MD与NC所成角的余弦值为；
④平面MNC截正方体所得的截面是五边形．
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
答案 D
解析 以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则D(0,0,0)，M(1,0,2)，C(0,2,0)，N(2,1,0)，A(2,0,0)．
所以MC＝(－1,2，－2)，DN＝(2,1,0)，
MC·DN＝－2＋2＝0，
所以MC⊥DN，故①正确；
因为MC＝(－1,2，－2)，MN＝(1,1，－2)，
设平面MNC的法向量为n＝(x，y，z)，
所以由MC·n＝0，MN·n＝0，
可得所以可取n＝(2,4,3)，
因为AC＝(－2,2,0)，AC·n＝－4＋8＝4≠0，
又A1C1＝AC，
所以AC 不与平面MNC平行，故②错误；
1 1
因为DM＝(1,0,2)，NC＝(－2,1,0)，
所以cos〈DM，NC〉＝＝－，
所以异面直线MD与NC所成角的余弦值为，故③错误；
连接CN，在DC 上取靠近D 的四等分点Q，连接MQ，则MQ∥CN，
1 1 1
连接CQ，在AA 上取靠近A 的三等分点P，连接NP，则NP∥CQ，连接MP，
1 1
所以平面MNC截正方体所得的截面是五边形CQMPN，故④正确．
12．(2022·山东名校大联考)设函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，已知f(x)在[0，π]上有且仅
有3个零点，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在(0，π)上有3个极值点
B．f(x)在(0，π)上有2个最大值点
C．f(x)在上单调递增
D．ω的取值范围为
答案 D
解析 f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝2sin(ω>0)，
则函数f(x)的大致图象如图所示，
当x＝0时，y＝2sin
＝－1，
因为ω>0，所以当x>0时，f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
因为f(x)在[0，π]上有且仅有3个零点，
所以π的位置在C与D之间(包括C，不包括D)，
令f(x)＝2sin＝0，
则ωx－＝kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，
所以y轴右侧第一个零点的横坐标为，
周期T＝，所以＋T≤π<＋T，
即＋≤π<＋·，
解得≤ω<，所以D正确；
由图象可得，f(x)在(0，π)上不一定有2个最大值点和3个极值点，所以A，B错误；
当0<x<时，－<ωx－<－，
因为≤ω＜，
所以≤－＜，
所以f(x)在上不单调递增，所以C错误．
二、填空题
13．(2022·大连模拟)一般认为，民用住宅窗户面积 a与地板面积b的比应不小于10%，即
≤<1，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是
变坏？请将你的判断用不等式表示为________．
答案 <
解析 若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为<，
因为－＝＝<0，所以<成立．
14．(2022·六安模拟)若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________．
答案 ±1
解析 因为函数f(x)＝为奇函数，
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即＋＝0，
解得a＝±1.
15．(2022·威海模拟)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，其外接圆的圆心为O，则AO·BC的
值为________．
答案 8
解析 如图，过O作OD⊥AB交AB于D，
OE⊥AC交AC于E，
可得D，E分别为AB，AC的中点，
则AO·BC＝AO·(AC－AB)
＝AO·AC－AO·AB
＝(AE＋EO)·AC－(AD＋DO)·AB＝AE·AC＋EO·AC－AD·AB－DO·AB
＝AC2＋0－AB2－0
＝×(25－9)
＝8.
16．(2022·如皋模拟)在平面直角坐标系中，F ，F 分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、
1 2
右焦点，过F 的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足BT＝
1
3AF2，且BF 经过△BFT的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为________．
2 1
答案
解析 如图所示，
设|AF|＝m，因为|FF|＝2c，BT＝3AF2，
1 1 2
则AF∥BT，所以△FAF∽△FBT，
2 1 2 1
所以＝＝＝，
所以|BF|＝3m，|FT|＝4c，
1 2
由双曲线的定义可得，
|AF|＝|AF|＋2a＝m＋2a，
2 1
|BF|＝|BF|－2a＝3m－2a，
2 1
因为BF 经过△BFT的内切圆圆心，即BF 平分∠FBT，
2 1 2 1
所以 ＝＝＝，
则|BT|＝2|BF|＝6m，
1
所以|AF|＝|BT|＝2m，
2
所以2m＝m＋2a，则m＝2a，
则|AB|＝2m＝4a＝|AF|，|BF|＝3m－2a＝4a，
2 2
故△ABF 为等边三角形，
2
则∠BAF＝，
2
故∠FAF＝，
1 2
在△FAF 中，
1 2
|AF|＝2a，|AF|＝4a，|FF|＝2c，
1 2 1 2
由余弦定理可得|FF|2＝|AF|2＋|AF|2－2|AF|·|AF|cos ，
1 2 1 2 1 2
即4c2＝4a2＋16a2－16a2×，可得c＝a，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝.
