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第7章 平面直角坐标系
一、单选题
1．如果点 在直角坐标系的x轴上，那么P点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，-4）
【答案】B
【分析】因为点 在直角坐标系的 轴上，那么其纵坐标是0，即 ，
，进而可求得点 的横纵坐标．
【详解】解： 点 在直角坐标系的 轴上，
，
，
把 代入横坐标得： ．
则 点坐标为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点在 轴上时纵坐标为0的特点，解题的关键是掌握在 轴上时
纵坐标为0．
2．线段 是由线段 平移得到的，点 的对应点为 ，则点 的对应
点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知平移方式为线段CD先向右平移5个单位长度再向上平移3个单位
长度得到线段AB，进而问题可求解．
【详解】解：∵点 的对应点为 ，
∴线段CD先向右平移5个单位长度再向上平移3个单位长度得到线段AB，
∴点 的对应点 的坐标为 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键．
3．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为 ， ， ，则第四个
顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平面直角坐标系中两点的距离及长方形的特征可直接进行求解．
【详解】解：由长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为 ， ， 可知
第四个顶点的横坐标为3，纵坐标为2，所以第四个顶点的坐标为 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，正确理解长方形的特征及坐标是解题的关键．4．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图．小华对小刚说：“如果我的位置用 表
示，小军的位置用 表示，那么你的位置可以表示成（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合用坐标表示位置可直接进行求解．
【详解】解：由如果我的位置用 表示，小军的位置用 表示可知：小刚的位置可以
表示为 ；
故选D．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是明确坐标原点．
5．点 关于 轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征进行判断．
【详解】解：点M（-3，-5）关于x轴的对称点的坐标为（-3，5）．
故选：A．
【点睛】本题考查了关于x轴的对称点的坐标特点：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐
标是（x，-y）．
6．如图，在边长为1的正方形网格中，将 向右平移两个单位长度得到 ，则与
点 关于x轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据图形写出B点坐标，再根据图形平移点的坐标的变化规律可得B′坐标，然后再写出关于x轴对称的点的坐标即可．
【详解】解： ，
向右平移两个单位长度得到 ，
关于x轴对称的点的坐标为： ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，以及关于x轴对称的点的坐标的变化，
关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
7．线段 是由线段 平移得到的，点 的对应点为 ，则 的对应点B
的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，
7），比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点D的对应
点B的坐标．
【详解】解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点D（-4，1）的对应点B的坐标为（﹣4-5， 1-3），即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与
图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，
下移减．
8．在平面直角坐标系中，点 一定在（ ）．A．第一象限 B．第
二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据平方总是大于等于0的特点可判断出 ， ，进而判断出
点的横坐标为负，纵坐标为正，由此即可求解．
【详解】解：由题意可知： ， ，
所以点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
所以该点位于第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点及平方的非负性，熟练掌握平面直角
坐标系中各象限点的坐标特点是解决本题的关键．
9．点P的坐标是(2-a,3a+6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是（ ）A．(3, 3) B．(3，-3) C．(6，-6) D．(3,3)或
【答案】D
【分析】由点P到两坐标轴的距离相等，建立绝对值方程 再解方程即可得
到答案．
【详解】解： 点P到两坐标轴的距离相等，
或
当 时，
当
综上： 的坐标为： 或
故选D．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，点到坐标轴的距离与坐标的关系，
一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点
(1，0)，第二分钟，它从点(1，0)运动到点(1，1)，而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y
轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2019分钟时，这个粒子
所在位置的坐标是( )
A．(44，5) B．(5，44) C．(44，6) D．(6，44)
【答案】A
【分析】要弄清粒子的运动规律，先观察横坐标和纵坐标的相同点：（0，0），粒子运动
了0分钟．（1，1）就是运动了2=1×2分钟，将向左运动！（2，2）粒子运动了6=2×3分
钟，将向下运动！（3，3），粒子运动了12=3×4分钟．将向左运动…（44，44）点处粒子
运动了44×45=1980分钟！此时粒子会将向下移动，进而得出答案．
【详解】粒子所在位置与运动时间的情况如下：
位置：(1，1)，运动了2＝1×2(分钟)，方向向左；
位置：(2，2)，运动了6＝2×3(分钟)，方向向下；位置：(3，3)，运动了12＝3×4(分钟)，方向向左；
位置：(4，4)，运动了20＝4×5(分钟)，方向向下，
由上式规律，到(44，44)处时，粒子运动了44×45＝1980(分钟)，方向向下，
故到2019分钟，须由(44，44)再向下运动2019－1980＝39(分钟)，
所以在第2019分钟时，这个粒子的纵坐标为44－39＝5，所以其坐标为(44，5)，
故选A.
【点睛】本题考查了点的坐标的确定．本题也是一个阅读理解并猜想规律的题目，解答此
题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标．
二、填空题
11．平面直角坐标系中，点P(3，－4)到x轴的距离是________．
【答案】4
【分析】根据点的坐标表示方法得到点P(3，﹣4)到x轴的距离是纵坐标的绝对值即|﹣4|，
然后去绝对值即可．
【详解】解：点P(3，-4)到x轴的距离为|﹣4|=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了点到坐标上的距离，正确掌握点的坐标性质是解题关键．
12．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为
，则顶点D的坐标为___________．
【答案】
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四
边形是平行四边形可确定D的位置．
【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为
故答案为：
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
13．如图， 位置不变，将坐标系向右平移4个单位，再向下平移1个单位，在新的
坐标系下A点坐标是___________．
【答案】
【分析】移动坐标系相当于反向移动△ABC，根据“左减右加，上加下减”的平移规律即
可得答案．
【详解】∵将坐标系向右平移4个单位，再向下平移1个单位，
∴相当于将△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位，
∵点A坐标为（-3，2），
∴新的坐标系下A点坐标是（-7，3）．
故答案为：（-7，3）
【点睛】本题考查平移——坐标与图形，熟练掌握“左减右加，上加下减”的平移规律是
解题关键．
14．直线 分别交x轴，y轴于 两点，点O为坐标原点，且 ，
则a的值是_______．
【答案】
【分析】根据△ABO的面积可得OA的长，根据两点间距离公式即可得答案．
【详解】∵直线 分别交x轴，y轴于 两点， ，
∴OB=3， ，
解得：OA=8，
∴ =8，
解得：a= ，
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与图形及三角形面积，利用三角形面积求出OA的长是解题关键．
15．第二象限内的点 满足 ＝ ， ＝ ，则点 的坐标是___．
【答案】(-9， 2)【分析】点在第二象限内，那么其横坐标小于 ，纵坐标大于 ，进而根据所给的条件判断
具体坐标．
【详解】∵点 在第二象限，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴点 的坐标是 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质和有理数的乘方以及平面直角坐标系中第二象限的
点的坐标的符号特点，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
16．已知点 P（0，a）在 y 轴的负半轴上，则点 Q(-a2-1,-a+1)在第_______象限；
【答案】二
【详解】分析：由点P（0，a）在y轴的负半轴上可得到a＜0，则可得到-a2-1＜0，-a+1＞
0，然后根据各象限点的坐标特点进行判断．
详解：∵点P(0,a)在y轴的负半轴上，
∴a ，
∴ ，
∴点Q( , )在第二象限.
故答案为二.
点睛：本题考查了点的坐标.
17．如图，将周长为16的三角形 沿 方向平移3个单位得到三角形DEF，则四边形
ABFD的周长等于______．
【答案】22
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得△DEF，∴AD=CF=3，AC=DF．
∵△ABC的周长等于16，∴AB+BC+AC=16，∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD
=AB+BC+CF+AC+AD=16+3+3=22．
故答案为22．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的
图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某
一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
18．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼兹三角形，若用有序实数对 表示第m行，从左到右第n个数，如 表示分数 ，
那么 表示的分数是_____．
【答案】
【分析】观察图表寻找规律：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行
第一个分数的分母为行号，如第n行为 ，第二个的分母为 ；每行首尾对称．据此
规律解答．
【详解】观察图表可知：是第几行就有几个分数；每行每个分数的分子都是1；每行第一
个分数的分母为行号，如第n行为 ，第二个的分母为 ；每行首尾对称．
故（9，2）表示第9行，从左到右第2个数，即 ．
故答案填： ．
【点睛】考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解
题的关键．
三、解答题
19．小明从 处出发向北偏东 走了 ，到达 处；小刚也从 处出发，向南偏东
走了 ，到达 处．
（1）用 表示 ，画图表示 ， ， 三处的位置；
（2） 处在 处的________偏________度的方向上，距离 处________米；
（3）在图上量出 处和 处之间的距离，再说出小明和小刚两人实际相距多少米．
【答案】（1）见解析；（2）北，西 ， ；（3）量得 处和 处之间的距离为 ，
实际相距
【分析】（1）以点A为基准点建立方位角，即可确定点B及点C的位置；
（2）以点C为基准点确定点A的位置；
（3）利用直尺测量，根据比例尺得到答案．【详解】（1）如图：
（2）A处在 处的北偏西 的方向上，距离 处 ；
故答案为：北， 50° ， 40m ；
（3）量得 处和 处之间的距离为 ，所以小明和小刚两人实际相距 ．
【点睛】本题主要考查用方位角和距离表示点的位置．正确掌握方位角的表示方法及画法
是解题的关键．
20．如图，这是某市部分简图（图中小正方形的边长代表 长），请以火车站为坐标原
点建立平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标．
【答案】见解析，火车站 ，医院 ，文化宫 ，体育场 ，宾馆 ，
市场 ，超市 ．
【分析】以火车站为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系即可求
解．
【详解】解：建立直角坐标系如下图所示：由平面直角坐标系可知：火车站 ，医院 ，文化宫 ，体育场 ，宾馆
，市场 ，超市 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，属于基础题，掌握点的坐标特点即
可快速求解．
21．如图，描出A(−3，−2)，B(2，−2)，C(−2，1)，D(3，1)四个点．线段AB，CD有什么
位置关系和数量关系？顺次连接A，B，C，D四点，求四边形ABCD的面积．
【答案】见解析．AB∥CD，AB=CD；四边形ABDC的面积为15．
【分析】根据平面直角坐标系描出各点，再根据网格结构的特点观察图形即可得解；利用
网格结构求出AB边的长度以及AB边上的高，然后根据面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，∵A（-3，-2），B（2，-2），
∴AB=5，AB∥x轴．
又∵C（-2，1），D（3，1），
∴CD=5，CD∥x轴．
∴AB=CD，AB∥CD；
由图形可得AB=2-（-3）=2+3=5，AB边上的高为3，
所以，四边形ABDC的面积=5×3=15．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出
A、B、C、D四个点是解题的关键．
22．如图，三角形 是三角形 经过某种变换后得到的图形，分别写出点 与点 ，
点 与点 ，点 与点 的坐标，并观察它们之间的关系．三角形 内任意一点 的坐
标为 ，点 经过这种变换后得到点 ，点 的坐标是什么？
【答案】三角形 与三角形 各对应点的坐标分别是 ， ， ，
， ， ．三角形 各顶点的横（纵）坐标是三角形 与其对应
点横（纵）坐标的相反数．三角形 中任意一点 的对应点 的坐标是 ．
【分析】根据点在直角坐标系中所在的象限及位置直接可以确定点的坐标，各组点的横纵坐标都是互为相反数，由此得到点M的对应点N的坐标．
【详解】三角形 与三角形 各对应点的坐标分别是 ， ， ，
， ， ．三角形 各顶点的横（纵）坐标是三角形 与其对应
点横（纵）坐标的相反数．三角形 中任意一点 的对应点 的坐标是 ．
【点睛】此题考查直角坐标系中点的坐标，正确确定各点的坐标及发现规律解决问题是解
题的关键．
23．如图，将 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到 ．
（1）请画出平移后的图形 ．
（2）并写出 各顶点的坐标．
（3）求出 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）A′（4，0），B′（1，3），C′（2，-2）；（3）6
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）由图可知，A′（4，0），B′（1，3），C′（2，-2）；
（3）S ABC=5×3- ×1×5- ×2×2- ×3×3=6．
′ ′ ′
△
【点睛】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
24．已知 都在y轴上，若 是线段 的中点，且
， ，若 ，求 的值．【答案】14．
【分析】先根据 在y轴上，求出 ，从而得到 ，再由
是线段 的中点，得到 ，即 ，由 可以推出
，即可得到
，然后代值计算即可．
【详解】解：∵ 在y轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值， 坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相
关知识进行求解．
25．对有序数对(m,n)定义“f运算”： ,其中a、b为常数.f运算
的结果也是一个有序数对,在此基础上,可对平面直角坐标系中的任意一点A(x,y)规定“F变
换”：点A(x,y)在F变换下的对应点即为坐标为f(x,y)的点A′.
(1)当a=0,b=0时,f(﹣2,4)=_____；
(2)若点P(4,﹣4)在F变换下的对应点是它本身,求a,b的值.
【答案】（1）（-1，2）；（2）a=2，b=2．
【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可；
（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题.【详解】（1）由题意f(﹣2,4)= =（-1，2）；
（2）由题意 解得 .
【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是理解好新定义的运算法则.
26．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点
A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点
C，D．连接AC，BD．
(1)写出点C，D的坐标及四边形ABDC的面积.
(2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S ＝S ？若存在，求出点P的
三角形PAB 四边形ABDC
坐标，若不存在，试说明理由；
(3)点Q是线段BD上的动点，连接QC，QO，当点Q在BD上移动时(不与B，D重合)，给
出下列结论：① 的值不变；② 的值不变，其中有且只有
一个正确，请你找出这个结论并求值.
【答案】（1）C(0，2)，D(4，2)，S ＝8；（2）存在，点P的坐标为(0，4)或(0，
四边形ABCD
－4)；（3）结论①正确， =1.
【分析】（1）根据点平移的规律：左减右加，上加下减，即可得到点C、D的坐标，利用
平行四边形的面积公式计算面积即可；
（2）设点P的坐标为(0，y)，根据三角形的面积公式底乘以高的一半列式计算即可得到答
案；
（3）结论①正确.过点Q作QE∥AB，交CO于点E，利用平行线的性质：两直线平行内错
角相等证得∠DCQ＋∠BOQ＝∠CQO，由此得到结论①正确
【详解】(1)∵将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，
∴C(0，2)，D(4，2)，AB∥CD且AB=CD=4，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴S ＝4×2＝8.
四边形ABCD
(2)存在，
设点P的坐标为(0，y)，根据题意，得 ×4×|y|＝8.解得y＝4或y＝－4.
∴点P的坐标为(0，4)或(0，－4).
(3)结论①正确.
过点Q作QE∥AB，交CO于点E.
∵AB∥CD，
∴QE∥CD.
∴∠DCQ＝∠EQC，∠BOQ＝∠EQO.
∵∠EQC＋∠EQO＝∠CQO，
∴∠DCQ＋∠BOQ＝∠CQO.
∴ ＝1.
【点睛】此题考查点平移的坐标规律，利用面积求点的坐标，平行线的性质，（2）中利用
面积求点坐标时，高度为点纵坐标的绝对值，得到纵坐标为两个值，这是题中易错点
