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七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
本章知识综合运用
平面直角坐标系的有关概念
●●1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的
数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐
标轴的交点为平面直角坐标系的原点．
●●2、坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限
第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
●●3、坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
●●4、平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；
③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征：
①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等；
②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等；
（4）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
●●5、点的坐标的几何意义：
点P（a,b）到x轴的距离是|b|,到y轴的距离是|a|．平面直角坐标系的应用
●●1、用坐标表示地理位置：
确定物体的位置的方法有很多，其中可以用有序数对来表示物体的位置，还可以用平面直角坐标系
中的点的坐标来确定物体的位置.解决问题时要根据实际情况来选择表示方法，确定物体的位置时数
据不能少于两个.
◆◆利用平面直角坐标系表示地理位置的方法：
①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向.
②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度.
③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
◆◆在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东
（西）或南偏东（西）确定方向角.
●●2、用坐标表示平移
◆◆用坐标表示点的平移：
平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变.
◆◆图形的平移坐标变化规律：
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原
图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应的新
图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，
下移减．）
●●3、作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次
连接对应点即可得到平移后的图形．题型一 用有序数对表示地理位置
【例题1】（2022秋•余姚市校级期末）如图，茗茗从点 O出发，先向东走15米，再向北走10米到达
点M，如果点M的位置用（15，10）表示，那么（﹣10，5）表示的位置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】根据题意可得：茗茗从点O出发，先向东走15米，再向北走10米到达点M，如果点M的位置
用（15，10）表示，即向西走为x轴负方向，向南走为y轴负方向；则（﹣10，5）表示的位置是向西
10，北5；即点D所在位置．
【解答】解：根据如图所建的坐标系，易知（﹣10，5）表示的位置是点D；故选：D．
【点评】本题考查了坐标位置的确定，能根据已知点的坐标确定坐标轴的位置是解决本题的关键．
解题技巧提炼
有序数对与坐标平面上的点是一一对应的，利用坐标可以表示某区域内有关建筑
物（地点）的地理位置，即把建筑物（地点）看作坐标系中的一个点，确定是它
在坐标系中的位置.
【变式1-1】（2022秋•江北区期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（ ）
A．离宁波市主城区10千米 B．在江北区西北角
C．在海曙以北 D．东经120.5°，北纬29.8°
【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【解答】解：能够准确表示渠县地理位置的是东经120.5°，北纬29.8°．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022•苏州模拟）点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是（ ）
A．距点O4km处
B．北偏东40°方向上4km处
C．在点O北偏东50°方向上4km处
D．在点O北偏东40°方向上4km处
【分析】根据点的位置确定应该有方向以及距离，进而利用图象得出即可．
【解答】解：如图所示：点A在点O北偏东40°方向上4km处．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标确定位置，注意方向角的确定方法．
【变式1-3】（2022秋•霍邱县校级月考）如图是小明和小红在教室座位的相对位置，如果用（2，1）表示小明的位置，则小红的位置可表示为 ．
【分析】根据小明的位置向左2个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出小红的
位置即可．
【解答】
解：建立平面直角坐标系如图所示，
小红的位置可表示为（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，确定出坐标原点的位置是解题的关键．
【变式1-4】（2021秋•靖西市期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位
于点（3，﹣2），则位于原点位置的是（ ）
A．兵 B．炮 C．相 D．車
【分析】根据题意可以画出平面直角坐标系，从而可以写成炮所在点的坐标．
【解答】解：由题可得，如下图所示，故炮所在的点的坐标为（0，0），
故选：B．
【点评】本题考查坐标确定位置，解题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．
【变式1-5】（2022春•东城区期末）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的
规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为 ．
【分析】直接利用坐标的意义得出C点坐标即可．
【解答】解：如图所示：船C的位置应表示为（4，240°）．
故答案为：（4，240°）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．
【变式1-6】（2022春•新乐市校级月考）如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系
中．
（1）“岭”和“船”的坐标依次是 ；
（2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换
为 和 ；
（3）“泊”开始的坐标是（2，1），使它的坐标变换到（5，3），应该哪两行对调，同时哪两列对调？【分析】（1）根据平面直角坐标系内点的坐标是：前横后纵，中间逗号隔开，可得答案；
（2）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案；
（3）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案．
【解答】解：（1）“岭”和“船”的坐标依次是：（4，2）和（7，1）．
故答案为：（4，2）和（7，1）；
（2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，
“雪”由开始的坐标（7，2）依次变换到：（7，3）和（3，3）．
故答案为：（7，3），（3，3）；
（3）“泊”开始的坐标是（2，1），使它的坐标到（5，3），
应该第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调．
【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标是前横后纵，中间逗号隔开，注意行对调，纵坐标变化，
列对调，横坐标变化．
【变式1-7】（2022春•海淀区校级期中）如图是小明所在学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1
个单位长度的正方形，若艺术楼的坐标为（﹣2，0），体育馆的坐标为（﹣3，2）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出教学楼的坐标： ，宿舍楼的坐标： ；
（2）若学校行政楼的坐标为（﹣4，﹣3），请在平面直角坐标系中标出行政楼的位置．
【分析】（1）根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案；
（2）利用（1）中平面直角坐标系得出答案．
【解答】解：（1）教学楼的坐标：（2，﹣1），宿舍楼的坐标：（4，3）；故答案为：（2，﹣1），（4，3）；
（2）如图所示：行政楼位置即为所求．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
【变式1-8】（2022春•渑池县期中）如图是某地火车站及周围的简单平面图．图中每个小正方形的边
长代表1千米，以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立如图所示
的平面直角坐标系：
（1）请写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；
（2）体育场与市场之间的距离为 ；
（3）若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置．
【分析】（1）以火车站所在的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可表示出体育场 A、超市B市
场C、文化宫D的坐标．
（2）根据A、C的横坐标以及每个小正方形的边长代表1千米求得即可；
（3）根据点的坐标的意义描出点E．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，体育场 A的坐标为（﹣4，3）、超市B的坐标为（0，
4）、市场C的坐标为（4，3）、文化宫D的坐标为（2，﹣4）．
（2）体育场与市场之间的距离为8千米；
故答案为：8千米；
（3）如图，点E即为所求．
【点评】本题考查了坐标确定位置，主要是对平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法的考查．
题型二 用有序数对表示运动路径
【例题2】如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走
下列线路不能到达学校的是（ ）
A．（0，4）→（0，0）→（4，0）
B．（0，4）→（4，4）→（4，0）
C．（0，4）→（3，4）→（4，2）→（4，0）
D．（0，4）→（1，4）→（1，1）→（4，1）→（4，0）
【分析】根据点的坐标的定义结合图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、（0，4）→（0，0）→（4，0）都能到达，故本选项错误；
B、（0，4）→（4，4）→（4，0）都能到达，故本选项错误；
C、（3，4）→（4，2）不都能到达，故本选项正确；
D、（0，4）→（1，4）→（1，1）→（4，1）→（4，0）都能到达，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握点的坐标的定义并准确识图是解题的关键．
解题技巧提炼
主要是考查学生利用类比点的坐标来解决实际问题的能力和阅读理解能力，实际
操作一下能直观得到结论，在表示的时候要注意有序数对的表示方法.
【变式2-1】如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是（ ）
A．（2，2）→（2，1）→（2，0）→（0，0）
B．（2，2）→（2，1）→（1，1）→（0，1）
C．（2，2）→（2，3）→（0，3）→（0，1）
D．（2，2）→（2，0）→（0，0）→（0，1）
【分析】比较路线的长度求解．
【解答】解：由图可知小亮从学校到家所走最短路线是（2，2）→（2，1）→（1，1）→（0，1），故选
B．
【点评】考查学生利用类比点的坐标来解决实际问题的能力和阅读理解能力，实际操作一下能直观地得
到结论．
【变式2-2】如图，方格纸上点A的位置用有序数对（1，2）表示，点B的位置用有序数对（6，3）表
示，如果小虫沿着小方格的边爬行，它的起始位置是点（2，2），先爬到点（2，4），再爬到点（5，4），最后爬到点（5，6），则小虫共爬了（ ）
A．7个单位长度 B．5个单位长度
C．4个单位长度 D．3个单位长度
【分析】根据爬行路线，可得爬行路程．
【解答】解：爬行路线如图，
，
由C_D_E_F，
2+3+2＝7，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标确定位置，画出示意图是解题关键．
【变式2-3】如图，用数对（2，2）表示2街2巷的十字路口A，用数对（5，4）表示5街4巷的十字路
口B，下列选项分别表示从点A到点B可能的路径（不包含起点和终点），若规定只能向北和向东两
个方向走，则其中错误的是（ ）
A．（2，3）→（2，4）→（3，4）→（4，4）
B．（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，4）
C．（3，2）→（3，3）→（4，3）→（5，3）D．（3，3）→（3，1）→（4，5）→（5，5）
【分析】根据题意，分别对选项中的行走路线进行分析，只要出现向南或西走的即为所求．
【解答】解：（2，3）→（2，4）→（3，4）→（4，4）的行走路线是：向北走两个格，向东走两个格，
最后向东走一个格即可B点，
故A不符合题意；
（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，4）的行走路线是：向北走一个格，向东走两个格，再向北走一
个格，最后向东走一个格即可B点，
故B不符合题意；
（3，2）→（3，3）→（4，3）→（5，3）的行走路线是：向东走一个格，向北走一个格，再向东走两
个格，最后向北走一个格即可B点，
故C不符合题意；
（3，3）→（3，1）→（4，5）→（5，5）的行走路线是：向东和向北各走一个格，再向南走两个格，
再向东和向北到达B，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查坐标确定点的位置，熟练掌握平面直角坐标系中点与位置的关系是解题的关键．
【变式2-4】如图所示，小颖的家A在纬2路和经3路的十字路口，学校B在纬4路和经6路的十字路口，
如果用（3，2）→（4，2）→（5，2）→（6，2）→（6，3）→（6，4）表示由A到B的一条路径，
请用同样的方法写出由A到B的其他几条路径（不少于3条）．
【分析】根据已知的路线可以知道由A到B的一条路径只能向东，向北，所以根据这个方向即可确定其
他的路径．
【解答】解：（1）（3，2）→（4，2）→（4，3）→（4，4）→（5，4）→（6，4）；
（2）（3，2）→（3，3）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（6，4）；
（3）（3，2）→（3，3）→（4，3）→（4，4）→（5，4）→（6，4）．【点评】此题考查了平面内点的位置的确定，根据题目隐含的信息找到题目中路径的规律，然后利用这
个规律确定其他的路径．
【变式2-5】如图，若用A（2，1）表示放置2个胡萝卜，1棵小白菜；点B（4，2）表示放置4个胡萝
卜，2棵小白菜：
（1）请你写出C、E所表示的意义．
（2）若一只兔子从A顺着方格线向上或向右移动到达B，试问有几条路径可供选择，其中走哪条路径吃
到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的小白菜最多？请你通过计算的方式说明．
【分析】（1）从题干可知，数对中的两个数，前一个表示放置胡萝卜的数量，后一个数表示放置白菜的
数量，据此即可写出C、E所表示的意义；
（2）观察图形即可得出路径的条数；先求出走每条路径所吃到的胡萝卜与白菜的数量，再比较即可．
【解答】解：（1）点C表示放置3个胡萝卜，2棵小白菜，
点E表示放置3个胡萝卜，1棵小白菜，
（2）从A到达B，共有3条路径可供选择，其中
路径①A﹣D﹣C﹣B吃到11个胡萝卜，7棵小白菜，
路径②A﹣E﹣C﹣B吃到12个胡萝卜，6棵小白菜，
路径③A﹣E﹣F﹣B吃到13个胡萝卜，5棵小白菜，
∴走路径③吃到胡萝卜最多，
走路径①吃到小白菜最多．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣平移，由已知条件正确确定数对所表示的实际意义是解决本题的关键．
题型三 象限内的点的坐标
【例题3】（2022秋•宁阳县期末）已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在第 象限．
【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵
坐标大于零，可得答案．
【解答】解：因为ab＞0，a+b＜0，
所以a＜0，b＜0，
点P（a，b）在第三象限，
故答案为：三．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别
是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
解题技巧提炼
各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；
③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
【变式3-1】（2022秋•市中区期中）下列所给出的点中，在第二象限的是（ ）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2）
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、（3，2）在第一象限，故本选项不合题意；
B、（3，﹣2）在第四象限，故本选项不合题意；
C、（﹣3，﹣2）在第三象限，故本选项不合题意；
D、（﹣3，2）在第二象限，故本选项符合题意．故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个
象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，
﹣）．
【变式 3-2】（2022 春•樊城区期末）如图，已知点 M 在平面直角坐标系的位置，其坐标可能是
（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣3）
【分析】根据点M所在的象限可得可能的坐标．
【解答】解：∵点M在第四象限，
∴点M的横坐标为正，纵坐标为负．
故选：D．
【点评】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负．
【变式3-3】（2022春•通榆县期末）如果点P（5，y）在第四象限，则y的取值范围是（ ）
A．y＜0 B．y＞0 C．y≤0 D．y≥0
【分析】根据点在第四象限的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵点P（5，y）在第四象限，
∴y＜0．
故选：A．
【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号．四个象限的符号特点分别是：
第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【变式3-4】（2022秋•泰兴市期末）已知m为实数，则点P（1+m2，﹣1）一定在第 象限．
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点，进而得出答案．
【解答】解：∵1+m2＞0，﹣1＜0，
∴点P（1+m2，﹣1）一定在第四象限．
故答案为：四．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点是解题关键．【变式3-5】（2022秋•建邺区期末）在平面直角坐标系中，已知点 P（m﹣1，m+2）（m是任意实数），
则点P不会落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先判断点P的横坐标与纵坐标的大小关系，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵（m+2）﹣（m﹣1）＝m+2﹣m+1＝3＞0，
∴点P的纵坐标一定大于横坐标，
∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴纵坐标一定小于横坐标，
∴点P一定不在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，利用作差法求出点P的横坐标大于纵坐标，记住各象限内点的坐标的符
号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，
﹣）；第四象限（+，﹣）．
n
【变式3-6】（2022秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点A(m−1， )
2
为“智慧点”．
（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．
（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．
n
【分析】（1）根据P点坐标，代入(m−1， )中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n检验等号是否
2
成立即可；
（2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案．
【解答】解：（1）点P不是“智慧点”，
n
由题意得：m−1=4， =10，
2
∴m＝5，n＝20，
∴2m＝2×5＝10，
6+n＝6+20＝26，
∴2m≠6+n，
∴点P（4，10）不是“智慧点”；
（2）点M在第四象限，理由：∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”，
n
∴m−1=a， =1−2a，
2
∴m＝a+1，n＝2﹣4a，
∵2n＝6+n，
∴2（a+1）＝6+2﹣4a，
解得a＝1，
∴点M（1，﹣1），
∴点M在第四象限．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握“智慧点”的定义是关键．
题型四 坐标轴上的点的坐标
【例题4】（2022秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，点P（a﹣1，a+2）在y轴上，则点P的坐
标为 ．
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出其横坐标为零，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣1，a+2）在y轴上，
∴a﹣1＝0，
解得：a＝1，
故a+2＝3．
则点P的坐标是（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握y轴上点的坐标特点是解题的关键．解题技巧提炼
坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；
②y轴上：b为任意实数，a＝0；
③坐标原点：a＝0，b＝0．
【变式4-1】（2022秋•小店区校级期末）在平面直角坐标系中，点（4，0）的位置在（ ）
A．第一象限 B．x轴正半轴上
C．第二象限 D．y轴正半轴上
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0解答即可．
【解答】解：∵点（4，0）的纵坐标为0，横坐标为正数，
∴点（0，4）的位置在x轴正半轴上．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标．牢记点在x轴、y轴上的点的特征是正确解答此类题目的关键．
【变式4-2】（2022春•满洲里市期末）点A（1﹣m，m﹣3）在y轴上，则m＝ ．
【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可．
【解答】解：∵点A（1﹣m，m﹣3）在y轴上，
∴1﹣m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了点的坐标，是基础题，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
【变式4-3】（2022春•昭化区期末）若点P（m+4，2m+4）在x轴上，则点P的坐标是 ．
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（m+4，2m+4）在x轴上，
∴2m+4＝0，
解得：m＝﹣2，
∴m+4＝2，
∴点P的坐标是（2，0）．
故答案为：（2，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标．明确x轴上点的坐标特点，能够正确得出m的值是解题的关键．
【变式4-4】（2022春•阳东区期中）已为点P（4﹣3m，2m﹣6）在x轴上，则点P的坐标为 ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标是0列式求出m的值，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得，2m﹣6＝0，
解得m＝3，
4﹣3m＝﹣5，
所以点P坐标为（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标是0是解题的关键．
【变式 4-5】（2022秋•霍邱县校级月考）若点 P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上，则 m的值是
（ ）
1 1 1
A．m＝2 B．m=− C．m＝2或m=− D．m＝﹣2或m=
3 3 3
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上，
∴m﹣2＝0或﹣1﹣3m＝0，
1
解得m＝2或m=− ．
3
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
【变式4-6】（2022•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a﹣2，a）．
（1）若点P在y轴上，求点P的坐标；
（2）若点P到x轴的距离是9，求点P的坐标．
【分析】（1）直接利用y轴上点的坐标特点得出，a﹣2＝0进而得出答案；
（2）根据点P与x轴的距离为9，即可得|a|＝9，进而可求a的值．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，a），
∴a﹣2＝0，
解得：a＝2，
∴P（0，2）；
（2）∵点P到x轴的距离是9，
∴|a|＝9，
解得：a＝±9，则a﹣2＝11或﹣7，
∴点P的坐标为（﹣11，﹣9）或（7，9）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确分情况讨论是解题关键．
【变式4-7】（2022春•曲阜市校级期末）已知点P（3m﹣6，m+1），试分别根据下列条件，求出点P
的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P在x轴上；
（3）点P的纵坐标比横坐标大5；
【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
（2）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
（3）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可；
【解答】解：（1）∵点P（3m﹣6，m+1）在y轴上，
∴3m﹣6＝0，
解得m＝2，
∴m+1＝2+1＝3，
∴点P的坐标为（0，3）；
（2）点P（3m﹣6，m+1）在x轴上，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴3m﹣6＝3×（﹣1）﹣6＝﹣9，
∴点P的坐标为（﹣9，0）；
（3）∵点P（3m﹣6，m+1）的纵坐标比横坐标大5，
∴m+1﹣（3m﹣6）＝5，
解得m＝1，
∴3m﹣6＝3×1﹣6＝﹣3，
m+1＝1+1＝2，
∴点P的坐标为（﹣3，2）；
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．题型五 平面直角坐标系中一些特殊点的坐标
【例题5】（2022秋•东平县期末）已知点 P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上，则 a＝
．
【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．
【解答】解：∵点P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上，
∴5a+7＝6a+2，
解得a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解
题的关键．
解题技巧提炼
1、与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征：
①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等；
②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等；
2、两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
【变式5-1】（2022春•曲阜市校级期末）已知点P（3m﹣6，m+1），点P在过点A（﹣1，2），且与x
轴平行的直线上,则点P的坐标是 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同列方程求出m的值，再求解即可．
【解答】解：∵点P（3m﹣6，m+1）在过点A（﹣1，2）且与x轴平行的直线上，
∴m+1＝2，
解得m＝1，
∴3m﹣6＝3×1﹣6＝﹣3，
m+1＝1+1＝2，
∴点P的坐标为（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋•通州区月考）在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 ．
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点结合角平分线的性质得出等式求出答案．
【解答】解：∵当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，
∴x＝﹣y，
∵3x﹣y＝4，
∴﹣3y﹣y＝4，
解得：y＝﹣1，
故x＝1，
则点A的坐标为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握第四象限内点的坐标特点是解题关键．
【变式5-3】（2022春•南昌期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出a的值．
（1）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ⊥x轴；
（2）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥x轴．
【分析】（1）利用垂直于x轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；
（2）利用平行于x轴直线的性质，纵坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ⊥x轴，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3；
（2）∵点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥x轴，
∴2a+8＝﹣2，
解得：a＝﹣5．
【点评】此题主要考查了点的坐标性质，掌握平行于x轴直线的性质，纵坐标相等，平行于y轴直线的性
质，横坐标相等是解题的关键．
【变式5-4】（2021春•阳谷县期末）在平面直角坐标系中：
（1）若点M（m﹣6，2m+3），点N（5，2），且MN∥y轴，求M的坐标；
（2）若点M（a，b），点N（5，2），且MN∥x轴，MN＝3，求M的坐标；
（3）若点M（m﹣6，2m+3）到两坐标轴的距离相等求M的坐标．
【分析】（1）因为MN∥y轴，所以M点的横坐标和N点的横坐标相同，得m﹣6＝5，m＝11，可求得M
点坐标；
（2）因为MN∥x轴，所以M点的纵坐标和N点的纵坐标相同，得b＝2，根据MN＝3，可得|a﹣5|＝3，解得a＝8或者a＝2，M点坐标求出；
（3）M点到两坐标轴距离相等，分类讨论，分别讨论点M在一三象限时（m﹣6＝2m+3）或者二四象限
时[m﹣6＝﹣（2m+3）]，即可求出相应的坐标点．
【解答】解：（1）∵MN∥y轴，
∴M点的横坐标和N点的横坐标相同，
∴m﹣6＝5，得m＝11，
∴M点坐标为（5，25），
故M点坐标为（5，25）；
（2）∵MN∥x轴，
∴M点的纵坐标和N点的纵坐标相同，
∴b＝2，
∵MN＝3，
∴|a﹣5|＝3，解得a＝8或a＝2，
∴M点坐标为（8，2）或（2，2），
故M点坐标为为（8，2）或（2，2）；
（3）∵M点到两坐标轴距离相等，M点横坐标和纵坐标不能同时为0，
∴M不在原点上，分别在一三象限或二四象限，
当在一三象限时，可知m﹣6＝2m+3，得m＝﹣9，M点坐标为（﹣15，﹣15），
当在二四象限时，可知m﹣6＝﹣（2m+3），得m＝1，M点坐标为（﹣5，5），
∴M点坐标为（﹣15，﹣15）或（﹣5，5），
故M点坐标为（﹣15，﹣15）或（﹣5，5）．
【点评】本题考查了直角坐标系与图形的性质，平行坐标轴坐标特点，难点在于最后一问的分类讨论上
需要熟悉这类题型．
【变式5-5】（2021春•平凉期末）解答下列问题：
（1）若点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值．
（2）已知两点A（﹣3，m）、B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围．
（3）点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求P点的坐标．
【分析】（1）由点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上知5﹣a＝a﹣3，解之即可；
（2）由A（﹣3，m）、B（n，4），且AB∥x轴知m＝4且n≠﹣3；
（3）根据点P到x轴和y轴的距离分别是3和4知点P坐标为（4，3）或（4，﹣3）或（﹣4，3）或
（﹣4，﹣3）．【解答】解：（1）∵点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，
∴5﹣a＝a﹣3，
解得a＝4；
（2）∵A（﹣3，m）、B（n，4），且AB∥x轴，
∴m＝4且n≠﹣3；
（3）∵点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，
∴点P坐标为（4，3）或（4，﹣3）或（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）．
【点评】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上点的
坐标特点、平行与坐标轴的直线上点的坐标特点等．
题型六 点的坐标与点到坐标轴的距离
【例题6】（2022秋•江都区期末）已知点P在第四象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则
点P的坐标为 ．
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴
的距离等于横坐标的长度解答即可．
【解答】解：∵点P在第四象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标是2，纵坐标是﹣3，
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度
是解题的关键．
解题技巧提炼
点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距
离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以
是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
【变式6-1】（2022秋•广陵区校级期末）点P在平面直角坐标系的第二象限，且到x轴的距离为1，到
y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）A．（1，0） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
【分析】第二象限中横坐标为负，纵坐标为正，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标
的绝对值，进而可表示出点坐标．
【解答】解：由题意知点P的横坐标为﹣2，纵坐标为1，
∴点P的坐标为（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了直角坐标系中的点坐标，掌握横、纵坐标的值是关键．
【变式6-2】（2022秋•礼泉县期末）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度
则M点的坐标为（ ）
A．（﹣5，3） B．（ 5，﹣3） C．（﹣3，5） D．（ 3，﹣5）
【分析】根据题意，M点的横坐标是﹣3，纵坐标是﹣5，据此求出M点的坐标即可．
【解答】解：∵点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴M点的横坐标是﹣3，纵坐标是﹣5，
∴M点的坐标为（﹣3，5）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了点的坐标，注意每个象限的点的坐标的特征．
【变式6-3】（2022春•临汾期末）已知点M（2m﹣1，3﹣2m）在第一象限，且到两坐标轴距离相等，
则m的值是 ．
【分析】直接利用点M（2m﹣1，3﹣2m）在第一象限，且到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案．
【解答】解：∵M（2m﹣1，3﹣2m）在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，
∴2m﹣1＝3﹣2m，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了点的坐标．根据到两坐标轴的距离相等列出方程是解题的关键．
【变式6-4】（2022春•滦州市期中）在平面直角坐标系中有一点A（2﹣a，2a+3），点A到x轴的距离
等于到y轴的距离，则a＝ ．
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：∵点A（2﹣a，2a+3）到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴|2﹣a|＝|2a+3|，
即2﹣a＝2a+3或2﹣a＝﹣（2a+3），1
解得a=− 或a＝﹣5．
3
1
故答案为：− 或﹣5．
3
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝
对值是解题的关键．
【变式6-5】已知点P（2﹣2a，4+a）到x轴、y轴的距离相等，则点P的坐标 ．
【分析】利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案．
【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴2﹣2a＝4+a或2﹣2a+4+a＝0，
2
解得：a =− ，a ＝6，
1 3 2
2 10 10
故当a=− 时，2﹣2a= ，4+a= ，
3 3 3
10 10
则P( ， )；
3 3
故当a＝6时，2﹣2a＝﹣10，4+a＝10，
则P（﹣10，10）．
10 10
综上所述：P（﹣10，10）或( ， )．
3 3
10 10
故答案为：（﹣10，10）或( ， )．
3 3
【点评】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐
标相等或互为相反数．
【变式6-6】（2022春•丰南区期中）在平面直角坐标系中，点P（4x，x﹣3）在第四象限且到两坐标轴
的距离之和为9，则x＝ ．
【分析】根据坐标的和，可得方程．
【解答】解：由题意，得：
4x+[﹣（x﹣3）]＝9，
则3x＝6，
解得x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了点的坐标，理解题意得出方程是解题关键．【变式6-7】（2022春•延津县期中）在平面直角坐标系中，已知点A（6m+7，4m﹣1），试分别根据下
列条件，求出点A的坐标．
（1）点A的纵坐标比横坐标小2．
（2）点A到两坐标轴的距离相等．
【分析】（1）根据题意可得4m﹣1＝6m+7﹣2，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：6m+7＝4m﹣1或6m+7＝﹣（4m﹣1），然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
4m﹣1＝6m+7﹣2，
解得：m＝﹣3，
∴当m＝﹣3时，6m+7＝﹣11，4m﹣1＝﹣13，
∴点A的坐标为（﹣11，﹣13）；
（2）根据题意可得：
6m+7＝4m﹣1或6m+7＝﹣（4m﹣1），
3
∴m＝﹣4或m=− ，
5
∴当m＝﹣4时，6m+7＝﹣17，4m﹣1＝﹣17，
则点A的坐标为（﹣17，﹣17）；
3 17 17
当m=− 时，6m+7= ，4m﹣1=− ，
5 5 5
17 17
则点A的坐标为（ ，− ）；
5 5
17 17
综上所述：点A的坐标为（﹣17，﹣17）或（ ，− ）．
5 5
【点评】本题考查了点的坐标，熟练熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
【变式6-8】（2022•苏州模拟）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+5，3m+3）．
（1）若点P在x轴上时，求点P的坐标；
（2）若点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标；
（3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的
距离为7，求点M的坐标．
【分析】（1）因为点P在x轴上，所以纵坐标为0，解得m值并代入横坐标的代数式中即可得到答案；
（2）因为点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为﹣5，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案；
（3）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点P的坐标
中，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点P在x轴上，
∴P点的纵坐标为0，
∴3m+3＝0，
解得m＝﹣1，
把m＝﹣1代入2m+5中得2m+5＝3，
∴P点坐标为（3，0）；
（2）∵P点在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上，
∴P点的横坐标为﹣5，
∴2m+5＝﹣5，
解得m＝﹣5，
把m等于﹣5代入3m+3，3m+3＝﹣12，
∴P点坐标为（﹣5，﹣12）；
（3）由题意知M的坐标为（2m+5+2，3m+3+3），
∵M在第三象限，且M到y轴的距离为7，
∴点M的横坐标为﹣7，
∴2m+5+2＝﹣7，
解得m＝﹣7，
将m＝﹣7代入P（2m+5，3m+3）中得，P（﹣9，﹣18）．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需
注意的相关事项是本题的解题关键．
题型七 点的平移
【例题7】（2022秋•建邺区期末）在平面直角坐标系中，把点（2，3）向上平移1个单位，再向左平
移2个单位，得到的点的坐标是（ ）A．（3，1） B．（0，4） C．（4，4） D．（1，1）
【分析】根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可．
【解答】解：∵点（2，3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，
∴所得到的点的横坐标是2﹣2＝0，
纵坐标是3+1＝4，
∴所得点的坐标是（0，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标
上移加，下移减．
解题技巧提炼
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
②向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
⇒
③向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
⇒
④向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
⇒
⇒
【变式7-1】（2022秋•平遥县期末）将直角坐标系中的点（﹣2，﹣5）向上平移6个单位，再向右平移
3个单位后的点的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（1，1） C．（﹣5，6） D．（4，﹣8）
【分析】根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加，分别进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得，﹣2+3＝1，
﹣5+6＝1，
故平移后的点的坐标是（1，1）．
故选：B．
【点评】本题本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平
移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式7-2】（2022春•宜丰县校级期中）在平面直角坐标系中，将点 M（﹣2021，﹣2021）向右平移
2022个单位后得点N，则点N所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据平移规律求出N点的坐标，即可得到结论．
【解答】解：∵点M（﹣2021，﹣2021）向右平移2022个单位后得点N，
∴N（（﹣2021+2022，﹣2021），
即N（1，﹣2021），
∴N在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移规律．
【变式7-3】（2022春•三元区期中）在平面直角坐标系中，将 M（2，5）先向下平移1个单位，再向
左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，6） B．（5，6） C．（﹣1，4） D．（5，4）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：平移后的坐标为（2﹣3，5﹣1），即坐标为（﹣1，4），
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律．
【变式7-4】（2022春•雁塔区校级期中）在平面直角坐标系中，点 P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2）均
在第一象限，将线段PQ平移，使得平移后的点P、Q分别落在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点
的坐标是（ ）
A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减解答即可．
【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P'、Q'．
∵P'在x轴上，Q'在y轴上，
则P'纵坐标为0，Q'横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
故选：A．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移
规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式7-5】（2022春•宜丰县校级期中）将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位得到点B，且点B在
y轴上，那么点B的坐标为 ．
【分析】将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位长度后点B的坐标为（m+3，2m+4），根据点B在y轴上知m+3＝0，据此知m＝﹣3，再代入B点坐标即可．
【解答】解：将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位长度后点B的坐标为（m+3，2m+4），
∵点B（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m+3＝0，即m＝﹣3，
∴2m+4＝﹣6+4＝﹣2
∴点B的坐标为（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵
坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了y轴上的点横坐标为0的特征．
【变式7-6】（2022春•阳东区期中）已知点A（3﹣2a，6﹣a）在第二象限，且点A到两坐标轴的距离
相等，将点A向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到的点B的坐标为 ．
【分析】根据点A的位置可求出点A的坐标，再根据平移坐标的变化规律进行计算即可．
【解答】解：∵点A（3﹣2a，6﹣a）在第二象限，且点A到两坐标轴的距离相等，
∴2a﹣3＝6﹣a，
解得a＝3，
∴点A（﹣3，3），
∴将点A向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到的点B的坐标为（﹣3+5，3﹣6），即
（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查平移，理解平移坐标的变化规律是正确解答的前提．
题型八 图形的平移
【例题8】（2022春•殷都区校级月考）如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长
度，则平移后三个顶点的坐标分别是（ ）
A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（2，2），（4，3），（1，7）C．（﹣2，2），（3，4），（1，7） D．（2，﹣2），（4，3），（1，7）
【分析】根据网格首先写出三角形的三个顶点坐标，再根据点的平移规律得出平移后三个顶点的坐标．
【解答】解：三角形的三个顶点坐标是：（﹣4，﹣1），（1，1），（﹣1，4），
向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，点的坐标为（﹣4+2，﹣1+3），（1+2，1+3），
（﹣1+2，4+3），
即（3，4），（﹣2，2），（1，7）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左
移减；纵坐标上移加，下移减．
解题技巧提炼
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数
a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各
个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或
向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，
下移减．）
【变式8-1】（2022•海口模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC
先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B'的坐
标为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（0，3） C．（﹣1，4） D．（﹣5，4）
【分析】根据平移规律求得即可．
【解答】解：由坐标系可得B（﹣3，1），则点B的对应点B'的坐标为（﹣3+2，1+3），
即（﹣1，4）．故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【变式8-2】（2022春•忠县校级期中）在平面直角坐标系中，已知线段 AB的两个端点分别是A（﹣
4，﹣1），B（1，1）将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的
坐标为（ ）
A．（ 3，4 ） B．（ 4，3 ） C．（﹣l，﹣2 ） D．（﹣2，﹣1）
【分析】先利用点A和点A′的坐标得到线段平移的规律，然后利用点的坐标平移规律写出点B的对应点
B′的坐标．
【解答】解：∵A（﹣4，﹣1）的对应点A′的坐标为（﹣2，2），
∴各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3，
∵B（1，1），
∴点B′的横坐标为1+2＝3；纵坐标为1+3＝4；
即所求点B′的坐标为（3，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的
平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【变式8-3】（2022春•阳东区期中）在平面直角坐标系中，三角形ABC的各顶点坐标为A（4，3），B
（﹣1，﹣1），C（m﹣1，﹣1），将三角形ABC平移后得到三角形A'B'C'，使得平移后点A的对应点
A'落在点B处，此时C的坐标为（6﹣m，1﹣m），则BC的长度是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据平移后点A的对应点A'落在点B处，此时C的坐标为（6﹣m，1﹣m），可得﹣1﹣3＝1﹣m
﹣（﹣1），求出m的值，即可确定点C坐标，再进一步求BC的长度即可．
【解答】解：根据平移，可知﹣1﹣3＝1﹣m﹣（﹣1），
解得m＝6，
∴点C坐标为（5，﹣1），
∵B（﹣1，﹣1），
∴BC＝5﹣（﹣1）＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【变式8-4】（2022春•璧山区期中）在平面直角坐标系中，线段CF是由线段AB平移得到的；坐标分
别为点A（﹣1，4），点B（a，b），点C（4，1），则点F的坐标为（ ）A．（a+3，b+5） B．（a+5，b+3）或（a﹣3，b﹣5）
C．（a﹣5，b+3） D．（a+5，b﹣3）或（3﹣a，5﹣b）
【分析】分两种情况，利用平移的性质得出对应点坐标的变化规律进而得出答案．
【解答】解：当点A（﹣1，4）的对应点为点C（4，1）时，点B（a，b）的对应点为点F（a+5，b﹣
3）；
当点B（a，b）的对应点为点C（4，1）时，点A（﹣1，4）的对应点为F（3﹣a，5﹣b）；
综上所述，点F的坐标为（a+5，b﹣3）或（3﹣a，5﹣b）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平移变换，熟练掌握坐标变化规律是解题关键．
【变式8-5】（2022春•历城区校级期中）如图，点A，B的坐标分别为（1，2），（4，0），将三角形
沿x轴向右平移，得到三角形CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（4，3） C．（4，2） D．（3，2）
【分析】直接利用对应点的变化，进而得出平移距离，即可得出答案．
【解答】解：∵B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵DB＝1，
∴OD＝4﹣1＝3，
∴△AOB向右平移了3个单位长度，
∵点A的坐标为（1，2），
∴点C的坐标为：（4，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移距离是解题关键．
【变式8-6】（2021秋•德保县期中）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形
ABCD，点A的坐标是（0，2），现将这张胶片平移，使点A落在点A'（4，﹣2）处，则此平移可以是
（ ）A．先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
【分析】利用平面坐标系中点的坐标平移方法，利用点A的坐标是（0，2），点A′（4，﹣2）得出横纵
坐标的变化规律，即可得出平移特点．
【解答】解：根据A的坐标是（0，2），点A′（4，﹣2），
横坐标加4，纵坐标减4，故先向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平面坐标系中点的平移，熟记左右移动横坐标，左减右加，上下移动纵坐标，
上加下减是解题的关键．
【变式8-7】（2022春•章贡区期末）长方形ABCD的边AB＝4，BC＝6，若将该长方形放在平面直角坐
标系中，使点A的坐标为（−1，2），且AB∥x轴，试求点C的坐标为 ．
【分析】分类讨论：由AB∥x轴可得到B点坐标为（3，2）或（﹣5，2），然后根据矩形的性质确定C
点坐标．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，2），且AB∥x轴，AB＝4，
∴B点坐标为（3，2）或（﹣5，2），如图，
∵四边形ABCD为矩形，BC＝3，
∴C点坐标为（3，﹣4）或（3，8）或（﹣5，﹣4）或（﹣5，8）．
故答案为：（3，﹣4）或（3，8）或（﹣5，﹣4）或（﹣5，8）．【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置
关系；记住各象限内点的坐标特征和坐标上点的坐标特征．
【变式8-8】如图，长方形ABCD各顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1），D（3，
2），如果长方形A′B′C′D′先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰能与长方形
ABCD完全重合．
（1）求长方形A′B′C′D′各顶点的坐标；
（2）如果线段AB与线段B′C′交于点E，线段AD与线段C′D′交于点F，求点E，F的坐标．
【分析】（1）长方形ABCD先向左平移1个单位长度时，点A的横坐标减少1，向上平移2个单位长度
加2；
（2）根据平行于两坐标轴的点的坐标的特点解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，长方形ABCD先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得
到长方形A′B′C′D′，则A′（﹣3，4），B′（﹣3，1），C′（2，1），D′（2，4）．
（2）∵AE∥y轴，
∴点A，E的横坐标相等．
∵EC′∥x轴，
∴点E，C′的纵坐标相等，即点E（﹣2，1），
∵C′F∥x轴，
∴点C′，F的横坐标相等．
∵AF∥x轴，
∴点A，F的纵坐标相等，即点F（2，2）．
【点评】此题是四边形的综合问题，考查了坐标与图形变化﹣平移、矩形的性质以及动点问题．注意平
移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．题型九 点的坐标规律探究
【例题9】（2022秋•余姚市期末）有若干个按如图顺序横、纵排列的点，我们将排在左起第 m列，下
起第n行的位置记为（m，n）．如A 记为（3，1），A 记为（4，3）．那么A 记为 ，
9 12 25
A 记为 ．
2023
【分析】观察已知图中横纵排列的点，发现规律是A 记为（n，1）（n是正整数），位置在对应排列方
n2
向的一列或一行的最后一个，从而得出结论．
【解答】解：观察图中的排列规律可得：A 记为（1，1），A 记为（3，1），
1 9
∴A 记为（5，1），
25
规律是：A 记为（n，1）（n是正整数），位置在对应排列方向的一列或一行的最后一个，
n2
而2023＝452﹣2，
∵A 在第45列最下方，
2025
∴A 在第45列，第3行，
2023
∴A 记为（45，3），
2023
故答案为：（5，1），（45，3）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化．此题要注意多角度观察，能够发现各行、各列之间的数值关
系．解题技巧提炼
解决此类问题应该先探究其规律性，按照由特殊到一般的思想方法，从几个简单
的、特殊情况去研究、探索、归纳出一般规律和性质.
【变式9-1】（2022秋•沭阳县期末）如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，则第2023
次运动到点（ ）
A．（2023，0） B．（2023，1） C．（2023，2） D．（2022，0）
【分析】根据前几次运动的规律可知第4n次接着运动到点（4n，0），第4n+1次接着运动到点（4n+1，
1），第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），根据规律求解即可．
【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次从原点运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
第6次接着运动到点（6，0），
……
第4n次接着运动到点（4n，0），
第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），
第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），
第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次接着运动到点（2023，2），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规
律解题．
【变式9-2】（2023•沙坪坝区校级开学）如图，在桌面ABCD上建立平面直角坐标系（每个小正方形边
长为一个单位长度），小球从点P（﹣4，0）出发，撞击桌面边缘发生反弹，反射角等于入射角．若
小球以每秒√2个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第 2023秒时小球所在位置的纵坐标为（
）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程4√2×4＝16√2，再由运动速度得出运动一
周所用的时间，从而得出第2023秒的小球所在位置．
【解答】解：根据题意得：
小球运动一周所走的路程4√2×4＝16√2，
∵小球以每秒√2个单位长度的速度运动，
∴小球运动一周所用的时间为：16√2÷√2=16（秒），
∴2023÷16＝126…7（秒），
∴第2023秒的小球所在位置为（3，1），
∴纵坐标为1，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示方法是解题的关
键．
【变式9-3】（2022秋•城关区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），……，则按
此规律排列下去第23个点的坐标为（ ）
A．（13，13） B．（14，14） C．（15，15） D．（14，15）
【分析】先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特
点，从而可得答案．
【解答】解：∵（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4）→（4，
5）→（5，5）→（6，6）→（6，7）→（7，7）→（8，8）……∴观察发现：每三个点为一组，每组第
一个点坐标为：（2n﹣2，2n﹣2），23÷3＝7……2，
∴第23个点在第八组的第二个，
∵第八组的第一个点坐标为：（14，14），
∴第23个点的坐标为：（14，15），
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探
究方法．
【变式9-4】（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，
第一次从原点O运动到点P （1，1），第二次运动到点P （2，1），第三次运动到点P （3，0），第
1 2 3
四次运动到点P （4，﹣2），第五次运动到点P （5，0），第六次运动到点P （6，2），按这样的运
4 5 6
动规律，点P 的纵坐标是（ ）
2023A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】根据图像可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6
次运动组成一个循环：P （1，1），P （2，1），P （3，0），P （4，﹣2），P （5，0），P （6，
1 2 3 4 5 6
2），P （7，0），P （8，1）...，再根据规律直接求解即可．
7 8
【解答】解：观察图像，结合动点 P第一次从原点O运动到点P （1，1），第二次运动到点P （2，
1 2
1），第三次运动到点P （3，0），第四次运动到点P （4，﹣2），第五次运动到点P （5，0），第六次
3 4 5
运动到点P （6，2），运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组
6
成一个循环：P （1，1），P （2，1），P （3，0），P （4，﹣2），P （5，0），P （6，2），P
1 2 3 4 5 6 7
（7，0），P （8，1）…，
8
∵2023＝7×289，
∴动点P 的坐标是（2023，0），
2023
∴动点P 的纵坐标是0，
2023
故选：B．
【点评】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
【变式9-5】（2022秋•广饶县校级期末）如图，已知A （1，0）、A （1，1）、A （﹣1，1）、A
1 2 3 4
（﹣1，﹣1）、A （2，﹣1）、…则点A 在第 象限．
5 2022【分析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（A 和第四象限内的点除外），逐步探索出下
1
标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A 的坐标．
2022
【解答】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2
的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，
∵2022÷4＝505…2，
∴点A 在第一象限，且转动了505圈以后，在第506圈上，
2022
∴A 的坐标是（506，506）．
2022
故答案为：一．
【点评】此题主要考查了点的坐标，属于规律型题目，解答此类题目一定要先注意观察，本题第三象限
的点的坐标特点比较好判断，我们可以利用这一点达到简化步骤的效果．
【变式9-6】（2021秋•阜阳月考）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向
下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A ，A ，A ．
4 8 12
（2）写出点A 的坐标（n为正整数） ．
4n
（3）蚂蚁从点A 到点A 的移动方向是 ．（填“向上”、“向右”或“向下”）
2020 2021
【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；
（2）根据（1）发现规律即可写出点A 的坐标（n为正整数）；
4n
（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蜗牛从点A 到点A 的移动方向．
2020 2021
【解答】解：（1）根据点的坐标变化可知：各点的坐标为：A （2，0），A （4，0），A （6，0）；
4 8 12
故答案为：（2，0），（4，0），（6，0）；
故答案为：2，1，4，1，6，1；
（2）根据（1）发现：
点A 的坐标（n为正整数）为（2n，0）；
4n
故答案为：（2n，0）；
（3）因为每四个点一个循环，
所以2021÷4＝505…1．
所以从点A 到点A 的移动方向是向上．
2020 2021
故答案为：向上．
【点评】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运
用规律．
题型十 巧用坐标求图形的面积
【例题10】如图，三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到
三角形EFG．
（1）写出三角形EFG的三个顶点坐标；
（2）求三角形EFG的面积．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
（2）利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图：E（4，1），F（0，﹣2），G（5，﹣3）．
1 1 1
（2）S△EFG ＝4×5﹣3×4×
2
−1×5×
2
−4×1×
2
= 20﹣6﹣2.5﹣2＝9.5．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的对应
点位置．
解题技巧提炼
1、由图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关
的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
2、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用
“割、补”法去解决问题．
【变式10-1】如图，若△A B C 是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后
1 1 1
的对应点为P （x﹣5，y+2）．
1
（1）求点A 、B 、C 的坐标．
1 1 1
（2）求△A B C 的面积．
1 1 1【分析】（1）由△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P （x﹣5，y+2）可得△ABC的平移规
1
律为：向左平移5个单位，向上平移2个单位，由此得到点A、B、C的对应点A 、B 、C 的坐标．
1 1 1
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）∵△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P （x﹣5，y+2），
1
∴△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，再向上平移2个单位，
∵A（4，3），B（3，1），C（1，2），
∴点A 的坐标为（﹣1，5），点B 的坐标为（﹣2，3），点C 的坐标为（﹣4，4）．
1 1 1
（2）如图所示，
1 1 1 5
△A B C 的面积＝3×2− ×1×3− ×1×2− ×1×2= ．
1 1 1 2 2 2 2
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
【变式10-2】（2022春•开福区校级期中）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）若△A'B'C'是由△ABC平移得到的，点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与点P相对应点
P'的坐标为（ ， ）；
（3）求△A'B'C'的面积．【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质解决问题即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）A（1，3），B（2，0），C（3，1），
故答案为：1，3，2，0，3，1；
（2）P′（x﹣4，y﹣2），
故答案为：x﹣4，y﹣2；
1 1 1
（3）△A'B'C'的面积＝2×3− ×1×3− ×1×1− ×2×2＝2．
2 2 2
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，
属于中考常考题型．
【变式10-3】（2022春•长沙期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．
若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
（2）由平移的性质可求解；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）如图所示：∴点C（5，﹣2）；
（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴点P'（a+4，b﹣3）；
1 1 1
（3）S△ABC ＝5×5−
2
×3×5−
2
×2×3−
2
×5×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．
【点评】本题考查了平移作图，关键是正确确定图形平移后的对应点位置．
【变式10-4】在图中A（2，﹣4）、B（4，﹣3）、C（5，0），求四边形ABCO的面积．
【分析】分别过点A，B作x轴的垂线，把四边形转化成两直角三角形和一个直角梯形，四边形的面积就
是两直角三角形和直角梯形面积的和．
【解答】解：如图，分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为G，H，
四边形转化为直角△OAG，直角梯形ABHG和直角△BCH，
S四边形OABC ＝S三角形OAG +S梯形ABHG +S三角形BCH
1 1 1
= ×2×4+ （4+3）×2+ ×3×1
2 2 2＝4+7+1.5＝12.5
所以四边形OABC的面积是12.5．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，求不规则图形的面积，通过作辅助线，转化成特殊的图形再
求解．
【变式10-5】如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C
（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积．
【分析】分别过C、D向x轴作垂线，四边形ABCD的面积分割为过D、C两点的直角三角形和直角梯形．
【解答】解：如图，作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F．
1 1 1
则S△ADF =
2
×（2﹣1）×4＝2，S梯形DCEF =
2
×（3+4）×（3﹣2）＝3.5，S△BCE =
2
×（5﹣3）×3＝3，
∴S四边形ABCD ＝2+3.5+3＝8.5，
答：四边形ABCD的面积是8.5．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质和面积求法，已知图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向
坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
【变式10-6】（2021春•阳谷县期末）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平
面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）．
（1）写出点A，B，C，D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标．
（2）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）由图可知点A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）；
1 1 1 1
（2）四边形ABCD的面积＝4×6− ×2×3− ×1×4− ×2×3− ×1×4＝14．
2 2 2 2
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握横纵坐标对应数字及割补法求四边形的面积是解题关
键．
题型十一 利用图形面积求点的坐标
【例题11】（2022春•和平区期末）在平面直角坐标系 xOy中，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），
（1，0），将线段AB平移，点A，B的对应点分别为点C，D，且点C坐标为（﹣1，2）连接CD，
AC，BD．
（1）直接画出四边形ABDC；
（2）四边形ABDC的面积为 面积单位；
1
（3）点E是x轴上一动点，当S△EBD =
3
S四边形ABDC 时，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用平行四边形的面积公式求解；
（3）设E（m，0），构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABDC即为所求；
（2）四边形ABDC的面积＝3×2＝6，
故答案为：6；
1 1
（3）设E（m，0）．由题意， ×|m﹣1|×2= ×6，
2 3
解得，m＝3或﹣1，
∴E（3，0）或（﹣1，0）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
解题技巧提炼
1、上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图
形，利用数形结合的思想解答．
2、由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.
【变式11-1】已知：A（0，1），B（1，0），C（3，2）．
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据图形的面积的和差计算即可．
（2）分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况讨论可得符合条件的点P的坐标．
1 1 1
【解答】解：（1）S△ABC ＝2×3−
2
×1×3−
2
×2×2−
2
×1×1＝2；
（2）∵点P在坐标轴上，△ABP与△ABC的面积相等，
∴P （﹣3，0）、P （5，0）、P （0，5）、P （0，﹣3）．
1 2 3 4
【点评】本题考查了坐标与图形性质以及图形的面积的计算，不规则图形的面积等于规则图形的面积的
和或差．
【变式11-2】（2021春•康县期末）如图，已知点A（﹣4，0），B（6，0），C（2，4），D（﹣3，2）．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）在y轴上找一点P，使△APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，求点P的坐标．
【分析】（1）观察图形，用分割法求解，分别过C、D两点作x轴的垂线，将图形分割为两个直角三角
形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可；
（2）P点纵坐标到原点的距离就是△APB的AB边上的高，根据（1）P点到原点的距离，再根据P点分
别在y轴正负半轴，写出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）分别过C、D两点作x轴的垂线，垂足分别为E、F，
1 1 1
则S四边形ABCD ＝S△ADF +S梯形CDFE +S△BCE =
2
×1×2 +
2
×（2+4）×5 +
2
×4×4＝24．
（2）设△APB的AB边上高为h，1
由S△APB =
2
×S四边形ABCD ，得
1 1
×10×h= ×24，
2 2
解得h＝2.4．
又∵P点在y轴上，
∴P（0，2.4）或（0，﹣2.4）．
【点评】本题考查多边形面积及坐标系的基础知识，熟练掌握基础图形的面积公式是关键．
【变式11-3】（2021春•武汉月考）长方形ABCD的边AB＝4，BC＝6，若将该长方形放在平面直角坐
标系中，且AB∥x轴．
（1）点A的坐标为（﹣1，2），直接写出点C的坐标；
（2）点P（a，12），点A（m，m），△PAB的面积是△OAB面积的3倍，直接写出m的值．
【分析】（1）由点A（﹣1，2），AB∥x轴，AB＝4得到点B为（3，2）或（﹣5，2），再由BC＝6得
到点C为（3，8）或（﹣5，8）；
（2）先用含有a的式子表示△PAB与△OAB的面积，然后根据题意列出方程求得m的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2），AB∥x轴，AB＝4，
∴点B为（3，2）或（﹣5，2），
∵BC＝6，
∴点C的坐标为（3，8）或（﹣5，8）或（3，﹣4）或（﹣5，﹣4）；
（2）∵AB＝4，
1 1 1 1
∴S△PAB =
2
AB|y
P
−y
A
|=
2
×4×|12﹣m|＝|24﹣2m|，S△OAB =
2
AB⋅|y
O
−y
A
|=
2
×4×|0﹣m|＝|2m|，
∵△PAB的面积是△OAB面积的3倍，
∴|24﹣2m|＝3|2m|，
解得：m＝3或m＝﹣6，
∴m的值为3或﹣6．
【点评】本题考查了长方形的性质、直角坐标系中点的坐标特征、三角形的面积，解题的关键是熟知坐
标系中点的坐标特征．
【变式11-4】已知点A（﹣1，2）、B（3，2）、C（1，﹣2）．
（1）求证：AB∥x轴；
（2）求△ABC的面积；1
（3）若在y轴上有一点P，使S△ABP =
2
S△ABC ，求点P的坐标．
【分析】（1）由A、B的纵坐标直接证得；
（2）作CD⊥AB，根据题意求得AB和CD的长，然后根据三角形面积公式即可求得；
1
（3）设AB与y轴交于E点，则E（0，2），根据S△ABP =
2
S△ABC ，即可求得PE，进而求得P的坐标．
【解答】（1）证明：∵A（﹣1，2）、B（3，2），
∴A、B的纵坐标相同，
∴AB∥x轴；
（2）解：如图，作CD⊥AB，
∵A（﹣1，2）、B（3，2）、C（1，﹣2）．
∴AB＝1+3＝4，CD＝2+2＝4，
1 1
∴△ABC的面积= ×AB×CD= ×4×4＝8；
2 2
（3）解：设AB与y轴交于E点，则E（0，2），
1
∵S△ABP =
2
S△ABC ，
1
∴PE= CD＝2，
2
∴P（0，4）或（0，0）．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，平行线的判定，三角形面积等，利用数形结合是解题关键．
【变式11-5】（2021春•金州区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B
（0，4），C（﹣3，2）．
（1）如图1，求△ABC的面积．
（2）若点P的坐标为（m，0），
①请直接写出线段AP的长为 （用含m的式子表示）；②当S△PAB ＝2S△ABC 时，求m的值．
（3）如图2，若AC交y轴于点D，直接写出点D的坐标为 ．
【分析】（1）过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D，过点 B 作 BE⊥CD，交 DC 延长线于 E，过点 A 作
AF⊥BE，交EB延长线于F，由题意得出∴D（﹣3，0），E（﹣3，4），F（2，4）．得出AD＝5，CD
＝2，BE＝3，CE＝2，DE＝4，BF＝2，AF＝4．S△ABC ＝S矩形ADEF ﹣S△ACD ﹣S△BCE ﹣S△ABF ，即可得出结果；
（2）①根据题意容易得出结果；
②由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
（3）由面积法求出BD的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥CD，交DC延长线于E，过点A作
AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：
∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2）
∴D（﹣3，0），E（﹣3，4），F（2，4），OB＝4．
∴AD＝5，CD＝2，BE＝3，CE＝2，DE＝4，BF＝2，AF＝4．
∴S△ABC ＝S矩形ADEF ﹣S△ACD ﹣S△BCE ﹣S△ABF
1 1 1 1 1 1
=AD⋅DE− AD⋅CD− CE⋅BE− BF⋅AF=5×4− ×5×2− ×2×3− ×2×4=8．
2 2 2 2 2 2
答：△ABC的面积是8．
（2）①根据题意得：AP＝|m﹣2|；故答案为：|m﹣2|；
②∵S△PAB ＝2S△ABC
1
∴ ⋅AP⋅BO=2×8
2
∴AP＝|m﹣2|＝8，
∴m﹣2＝8或m﹣2＝﹣8，
∴m＝10或m＝﹣6；
（3）如图2，
由（1）可知，S△ABC ＝8，
∵A（2，0），B（0，4），C（﹣3，2），
∴OA＝2，OB＝4，
1 1
∵S△ABC ＝S△ABD +S△BCD =
2
BD×3 +
2
BD×2＝8，
16
∴BD= ，
5
16 4
∴OD＝OB﹣BD＝4− = ，
5 5
4
∴D（0， ），
5
4
故答案为：（0， ）．
5
【点评】本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算方法、待定系数法求直线的解析式；熟练掌握
坐标与图形性质，熟练掌握面积法是解决问题（3）的关键．题型十二 平面直角坐标系与动点问题
【例题12】（2022•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为
（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速
度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．
（1）写出B点的坐标（ ）；
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标．
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【分析】（1）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可；
（2）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标；
（3）根据矩形的性质以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出OP，再根据时间＝路程÷速度列式计算
即可得解．
【解答】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），
∴OA＝4，OC＝6，
∴点B（4，6）；
故答案为：4，6．
（2）如图所示，
∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8，
∴点P的坐标为（2，6）；
（3）点P到x轴距离为5个单位长度时，点P的纵坐标为5，
若点P在OC上，则OP＝5，
t＝5÷2＝2.5秒，若点P在AB上，则OP＝OC+BC+BP＝6+4+（6﹣5）＝11，
t＝11÷2＝5.5秒，
综上所述，点P移动的时间为2.5秒或5.5秒．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，动点问题，主要利用了矩形的性质和点的坐标的确定，难点在于
（3）要分情况讨论．
解题技巧提炼
本题考查坐标与图形变化﹣平移，动点运动问题，关键是要“化动为静”，解题
的关键是学会利用参数构建方程解决问题有时要用分类讨论的思想思考问题.
【变式12-1】如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为
△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3）
（1）直接写出点E的坐标
（2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；
过点P作PN∥CB）
【分析】（1）由平移的性质可知BC＝AE＝2，由此即可解决问题．
（2）结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB．过点P作PN∥CB，利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵BC∥AE，BC＝AE，C（﹣2，3），
∴AE＝BC＝2，
∵A（1，0），
∴OA＝1，OE＝1
∴E（﹣1，0）．
（2）解：结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB．
理由：过点P作PN∥CB．
∴∠CBP＝∠BPN，
又∵BC∥AE，
∴PN∥AE，
∴∠PAD＝∠APN，
∴∠CBP+∠PAD＝∠BPN+∠APN＝∠APB．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
【变式12-2】（2021春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO
平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足√4−a+(b−3) 2=0．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ ）、B（ ）、C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始
在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t
的值及点P的坐标．【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论．
②利用三角形面积公式求解即可．
（2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论．
（3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方
程，可得结论．
【解答】（1）解：①∵√4−a+(b−3) 2=0，
又∵√4−a≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4），
故答案为：1，4；3，0；2，﹣4．
1
②△AOH的面积= ×1×4＝2，
2
故答案为：2．
（2）证明：如图，连接DH．
∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，1 1
∴ ×1×n + ×4×（1﹣m）＝2，
2 2
∴4m＝n．
1 1
（3）解：①当点P在线段OB上， ×（3﹣2t）×4= ×2t，
2 2
解得t＝1.2．
此时P（0.6，0）．
1 1
②当点P在BO的延长线上时， ×（2t﹣3）×4= ×2×t，
2 2
解得t＝2，
此时P（﹣1，0），
综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利
用参数构建方程解决问题．
【变式12-3】（2021春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x
轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒
的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ ， ）、C（ ， ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；
1
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD =
8
S四边形ABOC ，若存
在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当点P在线段BA上时，根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB＝8，AC＝6当点P在
线段AC上时，于是得到结论；
（3）当点P在线段BA上时，当点P在线段AC上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），故答案为：0、6，8、0；
（2）当点P在线段BA上时，
由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6
∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，
∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；
当点P在线段AC上时，
∴AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点P在线段BA上时
1 1
∵S△APD =
2
AP•AC S四边形ABOC ＝AB•AC，S△APD =
8
S四边形ABOC ，
1 1
∴ ⋅（8﹣2t）×6 = ×8×6，
2 8
解得：t＝3＜4，
当点P在线段AC上时，
1
∵S△APD =
2
AP•CD CD＝8﹣2＝6，
1 1
∴ ⋅（2t﹣8）×6 = ×8×6，
2 8
解得：t＝5．
1
综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD =
8
S四边形ABOC ，【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．
【变式12-4】（2022春•惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别为（3，5），
（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，
BD；
（1）直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
（2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点
N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？
（3）点P是直线BD上一个动点，连接 PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与
∠PCD，∠PAB的数量关系．
【分析】（1）利用平移变换的性质求解；
（2）设t秒后MN∥x轴，构建方程求解；
（3）分三种情形：①如图1中，当点P在直线AC的左侧时，②如图2中，当点P在直线AC的左侧或
直线AC上且在直线AB的右侧时，③如图3中，当点P在直线AB的右侧时，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2），
故答案为：﹣1，3，﹣1，﹣2；
（2）设t秒后MN∥x轴，
∴5﹣t＝0.5t﹣2，
14
解得t= ，
3
14
∴t= 时，MN∥x轴；
3
（3）①如图1中，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD+∠PAB．②如图2中，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD+∠APC．
③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB+∠APC．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想
思考问题，属于中考常考题型．
