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1
苏教版-六年级-第一单元-《长方体和正方体》
一、知识点剖析
（一）长方体和正方体的认识
1.两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。
2.长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。
3.长方体和正方体的特征：
形体
面
顶点
棱
关系
长方体
6 个
至少4 个面
是长方形
相对面完
全相同
8 个
12 条
相对的棱
长度相等
正方体是特
殊的长方体
正方体
6 个
正方形
6 个面完
全相同
8 个
12 条
12 条棱
长都相等
4.一个正方体纸盒，像下面的样子沿着画有红线的棱剪开，就可以得到它的展开图。
（二）表面积
1.概念
长方体或正方体6 个面的总面积，叫做它们的表面积。
2.公式
长方体的表面积（长宽+长高+宽高）
2
2
bh
ah
ab
S
正方体的表面积=棱长×棱长×6
2
6
6
a
a
a
S
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2
注：不足6 个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等等。
3.规律
正方体的棱长扩大（或缩小）n 倍，表面积会扩大（或缩小）n 的平方倍。（n 不为0）
（三）体积
体积（容积）定义
形体
体积（容积）计算方法
体积单位
进率
物体所占空间的大
小叫做它们的体
积；容器所能容纳
其它物体的体积叫
做它的容积。
长方体
abh
V
Sh
V
立方米
立方分米
立方厘米
3
3
3
3
3
1
1000
1
1000
1
1000
1
dm
mL
L
cm
dm
dm
m
正方体
3
a
V
规律：
1.长方体的长（或宽或高）扩大（或缩小）n 倍，体积扩大（或缩小）n 倍；（n 不为0）
2.正方体的棱长扩大（或缩小）n 倍，体积会扩大（或缩小）n 的立方倍。（n 不为0）
（四）表面涂色的正方体
如果用n 表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b、c 分别表示3 面涂色、2 面涂色和1 面涂
色的小正方体个数，规律如下：
2
2
6
2
12
8
n
c
n
b
a
二、练习题
（一）填空
1. 分别填入括号内正确的名称。
（ ）
（ ） （ ）
2. 长方体有（ ）个面，（ ）个顶点，（ ）条棱；
正方体有（ ）个面，（ ）个顶点，（ ）条棱。
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3
3. 如图，将如图的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体的6 号面的对面是（ ）号面。
4. 有一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4 个面（ ）相等（填“一定”或“不一
定”）。
5. 一个正方体的棱长扩大为原来的2 倍，表面积扩大到原来的（ ）倍。
6. 一个正方体的棱长之和是60 分米，这个正方体的表面积是（ ）平方分米。
7. 一个长方体的金鱼缸，长是8 分米，宽是5 分米，高是6 分米，制作这个鱼缸至少需要玻璃
（ ）平方分米。
8. 观察图，在下面的括号内填上一个字母，使等式成立。
前面面积
( ) =
上面面积
( )
9. 1m³=（ ）dm³；1dm³=（ ）cm³；1L=（ ）ml=（ ）dm³
10. 一个长方体水箱，从里面量，底面积是25 平方米，水深1.6 米，这个水箱能装水（ ）升。
（二）选择题
11. 下面的图形中不是正方形展开图的是（ ）。
12. 把如图的展开图折成一个长方体，如果B 面在底面，那么（ ）面在上面．
A．D
B．C
C．E
D．A
13. 一个正方体，它们棱的总长是24 厘米，那么正方体的表面积是（ ）
A．2 平方厘米
B．24 平方厘米
C．16 平方厘米
D．1 立方厘米
14. 把一个棱长是2 厘米的正方体分解成两个长方体，表面积（ ）
A． 增加8cm2
B．减少8cm2
C．增加4cm2
D．不变
15. 正方体的棱长扩大到它的10 倍，它的体积就扩大到它的（ ）倍．
A． 10
B．100
C．1000
E
D
B
C
A
F
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4
（三）应用题
16. 一个长方体食品盒，长10 厘米，宽6 厘米，高12 厘米，如果围着它贴一圈商标纸（阴影部
分），这圈商标纸至少有多少平方厘米？
17. 把2 块棱长为3.5 米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？
18. 一个正方体盒子，棱长4 分米，它的表面积是多少平方分米？
19. 一个正方体，它的棱长总和是120 厘米，它的表面积是多少平方厘米？
20. 一个长4 分米，宽3 分米，高2 分米的长方体，它占地面积最大是多少平方分米？表面积是多
少平方分米？
21. 一个棱长是5 分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积50 平方分米的长方体鱼
缸里，长方体鱼缸里的水有多深？
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5
22. 一个长方体水箱的容积是200L，这个水箱的底面是一个边长为50cm 的正方形，水箱的高度
是多少厘米？
23. 一个长5 分米，宽4 分米，高2 分米的容器里装入32 升水，水面离容器口相距多少厘米？
24. 计算图形的表面积和体积。
25. 如果用n 表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b、c 分别表示3 面涂色、2 面涂色和1 面
涂色的小正方体个数。
26. 计算一共有多少表面涂色的正方体？
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6
三、答案解析
（一）填空
1．【答案】
2. 【答案】6 个面，8 个顶点，12 条棱；6 个面，8 个顶点，12 条棱
3. 【答案】4 号面
【解析】将纸片折起来之后，1 号面与5 号面相对，3 号面与2 号面相对，4 号面与6 号面相对。
4. 【答案】一定
【解析】如果长方体有一组相对的面是正方形，那么长方体其余4 个面的长一样、宽也一样，所
以其余4 个面一定相等。
5. 【答案】4 倍
【解析】正方体的表面积=棱长×棱长×6，当棱长扩大为原来的2 倍时，表面积变为
（棱长×2）×（棱长×2）×6=4×棱长×棱长×6，所以表面积变为原来的4 倍。
6. 【答案】150
【解析】正方体有12 条棱，每条棱的长度=60÷12=5（分米），表面积=5×5×6=150（平方分
米）
7. 【答案】196
【解析】结合生活实际，鱼缸没有上面，所以所需要的玻璃只有5 个面，鱼缸的表面积=8×5+
（8×6+5×6）×2=196（平方分米）
8. 【答案】
b
c
上面面积
前面面积
【解析】前面和上面公共的边为a
9. 【答案】1m³=1000dm³；1dm³=1000cm³；1L=1000ml=1dm³
10. 【答案】 40000
【解析】水箱体积=底面积×高=25×1.6=40（平方米）=40000（升）
（二）选择
11. 【答案】A
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7
12. 【答案】A
【解析】根据图意，把如图的展开图折成一个长方体，则A 和F 相对，E 和C 相对，D 和B 相对，
据此解答即可
13. 【答案】B
【解析】根据正方体的棱长之和公式可得正方体的棱长=棱长之和÷12，即可求出棱长=24÷
12=2（厘米），再利用正方体的表面积=棱长×棱长×6 即可求出表面积=2×2×6=24（平方厘米）
14. 【答案】A
【解析】把一个棱长2 厘米的正方体分解成两个长方体后，增加了两个面的面积，也就是一个正
方体2 个面的面积，正方体的棱长已知，从而可以求出这个正方体的增加的表面积：2×2×2=8
（平方厘米）
15. 【答案】C
【解析】正方体的棱长扩大10 倍，它的体积就扩大10×10×10=1000 倍
（三） 应用题
16. 【答案】384 平方厘米
【解析】解：10 × 12 × 2 + 12 × 6 × 2 = 384(cm2)
答：这圈图标纸至少有384 平方厘米。
17. 【答案】122.5 平方米
【解析】解：长方体长= 3.5 × 2 = 7(m)，
表面积= (7 × 3.5 + 7 × 3.5 + 3.5 × 3.5) × 2 = 122.5(m2)
答：这个长方体的表面积是122.5 平方米。
18. 【答案】96 平方分米
【解析】解：4 × 4 × 6 = 96(𝑑𝑚2) 答：表面积是96 平方分米。
19. 【答案】600 平方厘米
【解析】解：棱长= 120 ÷ 12 = 10(cm) 表面积= 10 × 10 × 6 = 600(cm2)
答：表面积是600 平方厘米。
20. 【答案】12 平方分米；52 平方分米
【解析】解：占地面积= 4 × 3 = 12(dm2) 表面积= (4 × 3 + 4 × 2 + 3 × 2) × 2 = 52(dm2)
答：它占地面积最大是12 平方分米，表面积是52 平方分米。
21. 【答案】2.5 分米
【解析】解：5×5×5=125（dm³），水深：125÷50=2.5（dm），答：长方体水缸里的水深2.5
分米。
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8
3
2
120
5
2
12
188
2
5
2
5
12
2
12
dm
V
dm
S
3
2
512
8
8
8
384
6
8
8
cm
V
cm
S
22. 【答案】80 厘米
【解析】解：200L=200dm³=200000cm³，200000÷（50×50）=80（cm）答：水箱的高度是
80 厘米。
23. 【答案】4 厘米
【解析】解：32L=32dm³，水深=32÷（5×4）=1.6（dm），2-1.6=0.4（dm）=4（cm）
答：水面离容器口相距4 厘米。
24. 【答案】见解答
【解析】
25. 【答案】见解答
【解析】a=8，b=12×（n-2），c=6×（n-2）²
26. 【答案】共有98 个表面涂色的正方体
【解析】解：3 面涂色：8 个，
2 面涂色：12×（5-2）=36（个）
1 面涂色：6×（5-2）²=54（个）
8+36+54=98（个）
答：共有98 个表面涂色的正方体。
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1
苏教版-六年级-第一单元
单元-《长方体和
正方体》
》
一、知识点剖析
（一）分数乘整数
1. 分数乘整数的计算方法，先用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变，再约分；也可以
先约分，再计算。计算结果必须是最简分数。
2. 分数乘整数的意义：求几个相同加数的和的简便运算。
3. 求一个数的几分之几是多少，就是把这个数看作单位“1”，把单位“1”平均分成若干份，求
其中的几份是多少。
4. 两个量比较，一般在“是”“占”“比”等词后面的那个量为单位“1”的量。
（二）分数乘分数
1. 分数与分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。计算时为了简便，可以先约
分，再相乘，计算出的结果必须是最简分数。
2. 分数乘分数的意义：求一个分数的几分之几是多少。
3. 分数连乘，用分子连乘的积作分子，分母连乘的积作分母，先约分，再计算。
（三）倒数
1. 乘积是1 的两个数互为倒数。互为倒数是指两个数之间的关系，倒数是相互依存的，一个数不
能称之为倒数。
2. 求一个数（0 除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。整数可以看作分母是1 的
分数，小数可以化成分数，然后求出其倒数。
3. 0 没有倒数，1 的倒数是它本身。
二、练习题
（一）计算
1. 直接写得数。
18×2
3＝
9
10×
2
3＝
1×7
8＝
5
7×21＝
5
12×4
5＝
2
13×6＝
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2
3
10×5
6＝
2
9×9＝
5
8×2
5＝
2. 下面各题写出必要的计算过程，能简便计算的要简便计算。
（1）4
15×75
（2）7
18×
9
14
（3）9
14×21×2
9
（4）11
14×
7
10×
8
33
（5）3
4×
2
5+
3
5×
3
4
（6）9
20×（
2
3 -
3
7）
（7）（5
6+
5
8）× 8
25
3. 列式计算。
（1）2
15的10 倍是多少？ （2）7
8千米的4
5是多少千米？
（3）2 吨的5
8是多少千克？ （4）3 个5
9的2
5是多少？
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3
（二）判断
4. 3 吨的1
5和1 吨的3
5 一样重。 （ ）
5. 甲数的1
2 一定比乙数的2
3小。 （ ）
6. 一个自然数（0 除外）与5
7相乘，积一定小于这个自然数。 （ ）
7. a 是整数，a 的倒数是1
𝑎 。 （ ）
8. 因为0 没有倒数，所以1 也没有倒数。 （ ）
应用题
9. 男生30 人，女生是男生的1
3，女生有多少人？
10. 粮店有150 袋大米，第一天卖出5
2 ，第二天卖出第一天的3
2 。还剩下多少袋？
11. 修路队修路，上午修了5
8千米，下午修的是上午的3
4，下午修了多少千米？这一天共修多少千
米？
12. 1 天的5
6
是多少小时？
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4
三、答案解析
（一）计算
1. 【答案】
18× 2
3＝12
9
10×2
3＝3
5
1 × 7
8＝7
8
5
7× 21＝15
5
12×4
5＝1
3
2
13× 6＝12
13
3
10×5
6＝1
4
2
9 × 9＝2
5
8× 2
5＝1
4
2. 【答案】
（1）4
15×75=4×5=20
（2）7
18× 9
14=1×1
2×2=1
4
（3）9
14×21×2
9=3
（4）11
14× 7
10× 8
33=1×1×2
5×3 = 2
15
（5）3
4×2
5+3
5×3
4=3
4×（2
5+3
5）=3
4
（6）9
20×（
2
3 -
3
7）= 9
20× 5
21= 3
28
（7）（5
6＋5
8）× 8
25=5
6× 8
25+5
8× 8
25= 7
15
3. 【答案】（1）2
15×10=4
3；（2）7
8×4
5= 7
10（千米）； （3） 2000×5
8=1250（千克） ；
（4）3×5
9×2
5=2
3
（二）判断
4. 【答案】√
【解析】因为3×1
5=1×3
5=3
5，所以一样重
5. 【答案】×
【解析】要比较甲数的1
2和乙数的2
3的大小，要根据甲数和乙数的大小来判断，所以不能确定谁比
谁小。
6. 【答案】√
【解析】因为5
7＜1，根据一个不为0 的自然数乘一个小于1 的数，积小于这个数可知原题说法正
确
7. 【答案】×
【解析】0 除外的情况下成立，但当a=0 时不成立，0 没有倒数。
8. 【答案】×
【解析】1 的倒数是1.
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5
（三）应用题
9. 【答案】10 人
【解析】解：30× 1
3 =10(人)
10. 【答案】50 袋
【解析】第一天卖出：150× 5
2 =60（袋）；第二天卖出：60× 3
2 =40（袋）；
剩下：150-60-40=50（袋）
11. 【答案】 千米
【解析】下午：
5
8×3
4= 32
15 （千米） 一共：
5
8+ 32
15 = (千米）
12. 【答案】20 小时
【解析】1 天=24 小时，24×5
6=20（小时）
32
35
32
35
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单元-《长方体和
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一、知识点剖析
（一） 分数除法
1. 分数除法的意义：
除法：积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运
算。
2. 分数除法的计算法则：
除以一个不为0 的数，等于乘这个数的倒数。
分数除以一个不为0 的整数，可以转化成乘法计算，等于分数乘这个整数的倒数
整数除以分数可以转化成乘法计算，等于整数乘这个分数的倒数
两个数相除的关系可以用分数表示；两个数相除的关系可以用两个数的比来表示。
3. 规律（分数除法比较大小时）：
（1）当除数大于1，商小于被除数；
（2）当除数小于1（不等于0），商大于被除数；
（3）当除数等于1，商等于被除数。
4. “[ ]”叫做中括号。
一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
（二） 树叶中的比和比的应用
1. 树叶中有大有小，有长有圆，不同的树，树叶的形状一般不同，相同的树，树叶虽然大小不
同，但形状相似。怎样比较这些树叶的形状呢？
（1）可以测量每片树叶的长和宽，在比较；
（2）可以算出同一种树叶的长与宽的比值在比较；
（3）可以算出不同树的树叶长与宽的比值在比较。
2. 将测量和计算的结果与树叶的形状对照发现：
（1）同一种树叶，长与宽的比值都比较接近；
（2）比值接近的不同树叶，形状也相似；
（3）树叶长与宽的比值越大，树叶就越狭长。
3. 比的意义：
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2
两个数相除又叫做两个数的比。在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫
做比的后项。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）
例如15 ： 10 = 15÷10= 3
2
前项 比号 后项 比值
4. 比的基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。应用比的基本性质，可以把一些
比化成最简单的整数比。
5. 黄金比
黄金比值的比值约等于0.618。黄金比在日常生活中有着广泛的应用。
二、练习题
（一）计算
1. 分数除法
9
8 ÷4＝
2÷ 3
2 ＝
14÷15
7 ＝
7
5 ÷ 7
1 ＝
8
3 ÷16
9 ＝
3
2 ÷ 9
1 ＝
4
3 ÷ 8
7 ÷14
15 =
20
3 ÷二、练习题
× 3
2 =
2. 先化简
1.5∶2.1 14∶35
8
5 ∶6
5 6∶300
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3
3. 化成最简单的整数比
（2×5）：（5×5）=（ ）：（ ） （12×3）：（6×3）=（ ）：（ ）
（24÷2）：（36÷2）=（ ）：（ ） （45÷3）：（27÷3）=（ ）：（ ）
（二）选择题
4. 下面各算式中，结果最大的是（ ）。
A、14× 5
7 B、14÷5
7 C、5
7÷14
5. 一个比的后项是8，比值是
3
4 ，这个比的前项是（ ）。
A、3 B、4 C、6
6. 一段路，甲车用6 小时走完，乙车用4 小时走完，甲乙两车的时间比是（ ）。
A、3∶2 B、2∶3 C、1∶2
7. 把20 克糖放入100 克水中，糖与糖水的比是（ ）。
A、1∶6 B、1∶5 C、6∶1
8. 比的（ ）不能为0.
A、前项 B、后项 C、比值
9. 一个三角形和一个平行四边形，它们的底和面积都相等，它们高的比是（ ）。
A、1：1 B、1：2 C、2：1
10. 甲数是乙数的4
1 ，乙数与甲数的比是（ ）。
A、4：1 B、1：4 C、1：5 D、5：1
11. 黄金比的比值是（ ）。
A、0.608 B、0.628 C、0.618
（三）应用题
12. 把4
1
2平均分成18 份，每份是多少？
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4
13. 一个数的6
5 是40 ，这个数是多少？
14. 一个数的3
2 加上4
3 的和是1，这个数是多少？
15. 男生30 人，是女生的1
3，女生有多少人？
16. 四年级3 个班共做好事180 次，一、二、三班做好事次数的比是4：5：6。三个班各做好事
多少次？
17. 甲数是56，是乙数的1
7，丙数是乙数的1
8，丙数是多少？
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5
18. 男生比女生多30 人，男生比女生多1
3，女生有多少人？
19. 老师布置了一些数学作业。小明收到的题目数量比小王收到的题目数量多20 道。若两人收到
的题目数量之比为4：3，则小明回家需要完成多少道题目？
20. 一个长方形的周长为60 厘米，长与宽的比是3：2，则面积是多少平方厘米？
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6
三、答案解析
（一）计算
1. 【答案】
9
8 ÷4＝9
2
2÷ 3
2 ＝3
14÷ 15
7 ＝30
7
5 ÷ 7
1 ＝5
8
3 ÷16
9 ＝3
2
3
2 ÷ 9
1 ＝6
4
3 ÷ 8
7 ÷14
15 = 5
4
20
3 ÷ 5
1 × 3
2 = 2
1
2. 【答案】5：7 2：5 3：4 1：50
3. 【答案】
（2×5）：（5×5）=（ 2 ）：（ 5 ） （12×3）：（6×3）=（ 2 ）：（ 1 ）
（24÷2）：（36÷2）=（ 2 ） ：（ 3 ） （45÷3）：（27÷3）=（ 5 ）：（ 3 ）
（二）选择
4. 【答案】B
【解析】B 选项中，14÷5
7=14×7
5 ， 14 乘一个比1 大的数，得到的结果大于14，而A 选项中，
14 乘一个比1 小的数，得到的结果小于14，C 选项的结果比1 小，因此最大的是B 选项。
5. 【答案】C
【解析】（ ）：8 = 3
4，所以这个比的前项是8×3
4= 6
6. 【答案】A
【解析】6：4=3：2
7. 【答案】A
【解析】糖水=糖+水，20：（20+100）=20：120=1：6
8. 【答案】B
【解析】比的后项相当于除法算式中的除数，因为除数不能为0，所以比的后项也不能为0；比的
后项相当于分数中的分母，因为分数中的分母不能为0，所以比的后项也不能为0.
9. 【答案】C
【解析】三角形面积=底×高÷2，平行四边形面积=底×高，因为它们的底和面积都相等，所以三
角形的高是平行四边形的高的2 倍，所以它们高的比是2：1
10. 【答案】A
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7
【解析】甲数=乙数× 4
1 ，所以乙数是甲数的4 倍，乙数：甲数=4：1
11. 【答案】C
（三）应用题
12. 【答案】4
1
【解析】
2
1
4
÷18 = 9
2×
1
18 = 4
1
13. 【答案】48
【解析】40÷ 6
5 =40×6
5 = 48
14. 【答案】8
3
【解析】1- 4
3 = 4
1 ，4
1 ÷ 3
2 = 4
1 ×3
2 = 8
3
15. 【答案】90 人
【解析】30÷ 3
1
=30×3 = 90（人）
16. 【答案】一班48 次，二班60 次，三班72 次
【解析】4+5+6=15，一班做好事次数=180× 4
15 = 48（次），二班做好事次数=180× 5
15 = 60
（次），三班做好事次数=180× 6
15 = 72（次）
17. 【答案】49
【解析】乙数=甲数÷1
7=甲数×7=56×7=392，丙数=乙数×1
8=392×1
8=49
18. 【答案】90 人
【解析】男生比女生多女生的1
3，所以女生的1
3是30 人，所以女生 = 30÷1
3= 30×3=90（人）
19. 【答案】80 道
【解析】小明收到的题目占总数的4
4+3，小王收到的题目占3
4+3，小明比小王多4
7 - 3
7 = 1
7，20
道题占总数的1
7，所以总题数有20÷1
7=20×7=140（道），小明需要完成140×4
7=80（道）。
20. 【答案】216 平方厘米
【解析】长+宽=60÷2=30（厘米），长=30× 3
3+2=18(厘米)；宽=30-18=12(厘米)；面积
=18×12=216(平方厘米)
