第4章相交线和平行线单元复习（考点归纳+知识梳理+真题训练）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026秋《暑假自学课》7上数学（华师版）_第4章相交线与平行线

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第4 章相交线和平行线单元复习
【考点1 对顶角、邻补角】
【考点2：垂线】
【考点3：平行线公理】
【考点4：同位角，内错角和同旁内角】
【考点5：两直线平行的条件】
【考点6：利用平行线的性质求角】
【考点7：平行线与折叠综合】
【考点8：平行线的生活中的实际应用】
【考点9：平行线的性质与判定综合】
【考点10：两平行线间距离的性质】
知识点1：对顶角和邻补角
1. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
如图所示，∠1 与∠3、∠2 与∠4 都是对顶角。
4
3
2
1
A
B
C
D
O
2. 对顶角的性质：对顶角相等。
3. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说
这两个角互为邻补角。如图3 所示，∠1 与∠2 互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°
.
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知识点2：垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相
垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互
相垂直，记作a
b

或AB⊥CD 垂直于点O.
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
m
D
C
B
A
P
图4
如图4 所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到直线m 的距离。
知识点3：三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5 所示。
（1）同位角：可以发现∠1 与∠5 都处于直线l 的同一侧，直线a 、b 的同一方，这样位置
的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2 与∠6，∠3 与∠7，∠4 与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3 与∠5 都处于直线l 的两旁，直线a 、b 的两方，这样位置的一
对角就是内错角。图中的内错角还有∠4 与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4 与∠5 都处于直线l 的同一侧，直线a 、b 的两方，这样位置
的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3 与∠6。
Q
P
8
7
6
5
4
3
2
1
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知识点4：平行线公理
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c
知识点5：平行线的判定
判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴
AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
知识点6：平行线的性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
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∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【考点1 对顶角、邻补角】
1．（2025 七年级下·河南·专题练习）下列各图中，סͳ 与סʹ 是对顶角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查对顶角，根据对顶角的特点，共用顶点，两边互为反向延长线，进行
判断即可．
【详解】解：A、不是对顶角，不符合题意；
B、是对顶角，符合题意；
C、不是对顶角，不符合题意；
D、不是对顶角，不符合题意；
故选B．
2．（24-25 七年级下·山西朔州·期中）如图，直线ܣǡܤǡܦǡܧܦ相交于点ܱ
．若סͳ ᦙ䁡⸷ιǡסܣܱܦᦙ
ͳͳ⸷ι，则סʹ 的度数为（
）
A．͹⸷ι
B．͹ʹι
C．͹ͷι
D．ͺ⸷ι
【答案】A
【分析】此题考查对顶角的性质及角的和差，根据对顶角的性质得到סܤܱǡ ᦙסܣܱܦᦙ
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ͳͳ⸷ι，由סʹ ᦙסܦܱܤᦙסܱܤǡ െסͳ ᦙ͹⸷ι计算即可．
【详解】解：׶ סܣܱܦᦙͳͳ⸷ι，
׵ סܤܱǡ ᦙסܣܱܦᦙͳͳ⸷ι，
׶ סͳ ᦙ䁡⸷ι，
׵ סʹ ᦙסܦܱܤᦙסܱܤǡ െסͳ ᦙ͹⸷ι，
故选：A．
3．（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线ܣܤ和ǡܦ相交于点O，ܱܧ平分
סܦܱܤ，סܣܱǡ ᦙ͹ʹι，则סܦܱܧᦙ
．
【答案】͵͸ι
【分析】本题考查了角平分线的定义以及对顶角的性质．先根据对顶角相等求出סܦܱܤ，
然后根据角平分线的定义求出סܦܱܧ即可．
【详解】解：∵סܣܱǡ ᦙ͹ʹι，
∴סܦܱܤᦙסܣܱǡ ᦙ͹ʹι，
∵ܱܧ平分סܦܱܤ，
∴סܦܱܧᦙ
ͳ
ʹ סܦܱܤᦙ
ͳ
ʹ ൈ͹ʹι ᦙ͵͸ι．
故答案为：͵͸ι．
4．（24-25 七年级下·江西南昌·期中）如图，两条直线相交，若סͳ ൅סʹ ᦙʹ͸⸷ι，则ס͵ ᦙ
【答案】ͷ⸷ι/50 度
【分析】根据对顶角相等得出סͳ ᦙסʹ，结合已知סͳ ൅סʹ ᦙʹ͸⸷ι，即可求出סͳ 的度
数，再根据邻补角互补即可求出ס͵ 的度数．
本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键．
【详解】解：׶ סͳ ൅סʹ ᦙʹ͸⸷ι，סͳ ᦙסʹ，
׵ סͳ ᦙסʹ ᦙͳ͵⸷ι，
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׵ ס͵ ᦙͳͺ⸷ι െסͳ ᦙͷ⸷ι，
故答案为：ͷ⸷ι．
5．（24-25 七年级下·北京延庆·期中）如图，直线ܣǡܤ ǡܦ相交于点ܱ
，ܱܤ平分סܦܱܧ．
(1)סܦܱܤ对顶角是___________；
(2)若סܣܱǡ⸹סǡܱܧᦙͳ⸹䁡，求סܣܱܦ的度数．
【答案】(1)סܣܱǡ
(2)150°
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的定义和几何图形中角度的计算，熟
知相关知识是解题的关键．
（1）有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此求解即可；
（2）根据角平分线的定义和对顶角线段得到סܣܱǡ ᦙסܧܱܤ，设סܣܱǡ ᦙݔ，则סǡܱܧᦙ
䁡ݔ，根据平角的定义可得סܣܱǡ ൅סǡܱܧ൅סܧܱܤᦙͳͺ⸷ι，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，סܦܱܤ的对顶角为סܣܱǡ；
（2）解：∵ܱܤ平分סܦܱܧ．
∴סܦܱܤᦙסܧܱܤ．
∵סܦܱܤᦙסܣܱǡ，
∴סܣܱǡ ᦙסܧܱܤ．
∵סܣܱǡ⸹סǡܱܧᦙͳ⸹䁡，
∴设סܣܱǡ ᦙݔ，则סǡܱܧᦙ䁡ݔ．
∴סܧܱܤᦙסܣܱǡ ᦙݔ．
∵סܣܱǡ ൅סǡܱܧ൅סܧܱܤᦙͳͺ⸷ι，
∴͸ݔᦙͳͺ⸷ι
∴ݔᦙ͵⸷ι．即：סܣܱǡ ᦙ͵⸷ι．
∴סܣܱܦᦙͳͺ⸷ι െסܣܱǡ ᦙͳͷ⸷ι．
6．（24-25 七年级下·河南新乡·期中）如图，直线ܣܧ、ܦܤ相交于点O，ǡܱ
٣ܦܤ，垂足为
O，סܣܱܤᦙ͵⸷ι，ܱܦ平分סǡܱܧ，求סܦܱܤ的度数．
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【答案】ͳʹ⸷ι
【分析】本题考查垂直定义、角平分线的定义，角的运算，先根据垂直定义得到סܤܱǡ ᦙ
ͻ⸷ι，进而得到סǡܱܧᦙ͸⸷ι，然后根据角平分线的定义求得סǡܱܦᦙ͵⸷ι即可求解．
【详解】解：∵ǡܱ
٣ܦܤ，
∴סܤܱǡ ᦙͻ⸷ι，
∵סܣܱܤᦙ͵⸷ι，
∴סǡܱܧᦙͳͺ⸷ι െסܣܱെܤסܱܤǡ ᦙ͸⸷ι，
∵ܱܦ平分סǡܱܧ，
∴סǡܱܦᦙ
ͳ
ʹ סǡܱܧᦙ͵⸷ι，
∴סܦܱܤᦙסܱܤǡ ൅סǡܱܦᦙͳʹ⸷ι．
【考点2：垂线】
1．（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l 外一点P 作直线l 的垂线ܯܰ，下列
各图中，三角尺摆放正确的是（
）
A．B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角．
根据题意利用三角尺作出垂线即可．
【详解】解：过直线l 外一点P 作直线，直线l 与直角三角形的一边重合，点P 在直角
三角形的另一直角边上，只有D 符合，
故选：D．
2．（2025·北京大兴·二模）如图，סܣܱܦᦙͳʹ⸷ιǡǡܱ
٣ ܣܱǡܱܤ平分סܣܱǡ，则סܦܱܤ的大小
为（
）
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A．͸⸷ι
B．͸ͷι
C．͹ͷι
D．ͺͷι
【答案】C
【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的有关计算，角的和差计算，熟练掌握各知
识点并灵活运用是解题的关键．
根据垂直得到סܣܱǡ ᦙͻ⸷ι，再根据角平分线得到סܤܱǡ ᦙ䁡ͷι，由סǡܱܦᦙסܣܱܦെ
סܣܱǡ 求出סǡܱܦ，最后由סܦܱܤᦙסܱܤǡ ൅סǡܱܦ即可求解．
【详解】解：∵ǡܱ
٣ ܣܱ，
∴סܣܱǡ ᦙͻ⸷ι，
∵ܱܤ平分סܣܱǡ，
∴סܤܱǡ ᦙ
ͳ
ʹ סܣܱǡ ᦙ䁡ͷι，
∵סǡܱܦᦙסܣܱܦെסܣܱǡ ᦙͳʹ⸷ι െͻ⸷ι ᦙ͵⸷ι，
∴סܦܱܤᦙסܱܤǡ ൅סǡܱܦᦙ͹ͷι，
故选：C．
3．（24-25 七年级下·重庆·期中）如图，要把河中的水引到村庄ܣ，小凡先作ܣܤ٣ ǡܦ，垂
足为点ܤ，然后沿ܣܤ开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是
．
【答案】垂线段最短
【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点
与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿ܣܤ开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短．
故答案为：垂线段最短．
【考点3：平行线公理】
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1．（24-25 七年级下·广东江门·阶段练习）如果ܽ
צܾ
，ܾ
צܿ，݀
٣ܽ
，那么下列结论正确的
是（
）
A．ܾ
٣݀
B．ܽ
٣ܿ
C．ܾ
צ݀
D．ܿצ݀
【答案】A
【分析】本题考查平行公理的应用，根据平行公理即可得出答案
【详解】∵ܽ
צܾ
，ܾ
צܿ，݀
٣ܽ
，
∴ܾ
٣݀
，ܽ
צܿ，ܿ٣݀
，
故选：A．
2．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，ܣܤצǡܦ，ܣܤצǡܧ，则点ǡ、ܦ、ܧ在同一直线上，
理由是
．
【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行解
答即可，掌握平行公理是解题的关键．
【详解】解：理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
3．
（23-24 七年级下·全国·课后作业）
如图，取一张长方形的硬纸板ܣܤǡܦ，
将硬纸板ܣܤǡܦ对折使ǡܦ与ܣܤ重合，ܧܦ为折痕．把长方形ܣܦܧܤ平放在桌面上，
另一个面ǡܦܧܦ无论怎么改变位置，总有ǡܦצ ܣܤ存在，理由是
．
【答案】平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，
正确理解平行公理推论是解题的关键，
【详解】解：∵ǡܦצܧܦ，ܧܦצܣܤ，
∴ǡܦצ ܣܤ，
理由：平行于同一条直线的两条直线平行，
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故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行．
【考点4：同位角，内错角和同旁内角】
1．（24-25 七年级下·广东深圳·期中）下图中，סͳ 和סʹ 是同位角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是确定三线八角，熟知同
位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键．
根据三线八角中，同位角，内错角，同旁内角的特征解题即可．
【详解】A．סͳ 和סʹ 是两条直线被第三条直线所截形成的，在截线的同旁，且在被截两
直线的同一侧，符合同位角的定义．
B．סͳ 和סʹ 是内错角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在两条
被截直线之间．
C．סͳ 和סʹ 是同旁内角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被
截直线之间．
D．סͳ 和סʹ 既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，它们的位置关系不满足三种角的
定义．
故选：A ．
2．（24-25 七年级下·云南曲靖·期中）如图所示，下列说法错误的是（
）
A．סͳ 和סܤ是同位角
B．סʹ 和ס͵ 是内错角
C．ס͵ 和ס䁡是邻补角
D．ס䁡和סܦ是同旁内角
【答案】A
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义
结合图形进行判断即可．同位角的概念：两条直线ܽ
，ܾ被第三条直线ܿ
所截（或说ܽ
，
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都与ܿ
相交），在截线ܿ
的同旁，被截两直线ܽ
，ܾ的同一侧的角，我们把这样的两个
角称为同位角．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，
且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角同旁内角的概念：两
条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角．
【详解】解：A．סͳ 和סܤ不是同位角，原说法错误，故此选项符合题意；
B. סʹ 和ס͵ 是内错角，故该选项正确，不符合题意；
C. ס͵ 和ס䁡是邻补角，故该选项正确，不符合题意；
D. ס䁡和סܦ是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
3．（24-25 七年级下·河南周口·期中）如图，下列结论正确的是（
）
A．סͳ 与סͷ 是内错角
B．סʹ 与ס͵ 是邻补角
C．סͳ 与ס䁡是同位角
D．סʹ 与סͷ 是对顶角
【答案】C
【分析】本题考查同位角，邻补角，内错角，对顶角的识别，熟练掌握相关定义是解题
的关键．
根据三线八角，对顶角，邻补角的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A.סͳ 与סͷ 不是内错角，该选项错误，故不符合题意；
B.סʹ ൅ס͵്
ͳͺ⸷ι，סʹ 与ס͵ 不是邻补角，该选项错误，故不符合题意；
C.סͳ 与ס䁡是同位角，该选项正确，故符合题意；
D.סʹ 与סͷ 不是对顶角，该选项错误，故不符合题意；
故选：C．
4．（24-25 七年级下·四川凉山·期中）如图，下列结论错误的是（
）
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A．ס͵ 和סͳ 是同位角
B．סܣ和סܤ是同旁内角
C．ס䁡和סͳ 是内错角
D．ס͵ 和סʹ 是对顶角
【答案】A
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．ס͵ 和סͳ 不是同位角，原结论错误，故此选项符合题意；
B．סܣ和סܤ是同旁内角，原结论正确，故此选项不符合题意；
C．ס䁡和סͳ 是内错角，原结论正确，故此选项不符合题意；
D．ס͵ 和סʹ 是对顶角，原结论正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
5．（24-25 七年级下·广东中山·期中）如图，在“垃圾入桶”标志的部分平面示意图中，סͳ 与
סʹ 的位置关系是（
）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
【答案】C
【分析】本题考查了三线八角，理解三线八角的识别方法是关键．
根据三线八角，数形结合分析是关键．
【详解】解：סͳ 与סʹ 的位置关系是同旁内角，
故选：C ．
6．（24-25 七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，下列选项描述正确的是（）
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A．סͳ 和ס䁡是内错角
B．ס͵ 和סͷ 是同旁内角
C．סͳ 和סͷ 是邻补角
D．סʹ 和ס͸ 是同位角
【答案】D
【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义，熟练掌握同位角，
内错角，同旁内角，邻补角的定义进行判定是解决本题的关键．根据同位角，内错角，
同旁内角，邻补角的定义进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．סͳ 和ס䁡是同位角，所以A 选项不符合题意；
B．ס͵ 和סͷ 内错角，所以B 选项不符合题意；
C．סͳ 和סͷ 是同旁内角，所以C 选项不符合题意；
D．סʹ 和ס͸ 是同位角，所以D 选项符合题意．
故选：D．
【考点5：两直线平行的条件】
1．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，不能判定直线݈ͳ צ݈
ʹ的是（
）
A．סͳ ᦙסͷ
B．ס䁡ᦙסʹ
C．סʹ ᦙס͵
D．סͳ ൅ס䁡ᦙͳͺ⸷ι
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟悉并准确运用同位角、内错角、
同旁内角相关的平行线判定规则．
根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），对
每个选项进行分析，判断能否得出݈ͳԡ݈ʹ．
【详解】A、סͳ 和סͷ 是同位角，当סͳ ᦙסͷ 时，根据“同位角相等，两直线平行”，可
以判定݈ͳ צ݈
ʹ；
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B、ס䁡和סʹ，无法依据平行线判定定理得出݈ͳ צ݈
ʹ；
C、סʹ 和ס͵ 是内错角，当סʹ ᦙס͵ 时，根据“内错角相等，两直线平行”，能够判定݈ͳ צ݈
ʹ；
D、סͳ 和ס䁡是同旁内角，当סͳ ൅ס䁡ᦙͳͺ⸷ι时，依据“同旁内角互补，两直线平行”，
可以判定݈ͳ צ݈
ʹ．
故选：B．
2．（24-25 七年级下·山西太原·期中）如图，直线݉
，݊
分别被直线ܽ
，ܾ所截，下列条件
中，能判断ܽ
צܾ
的是（
）
A．סͳ ᦙס͵
B．סʹ ᦙס䁡
C．סͳ ൅ס䁡ᦙͳͺ⸷ι
D．ס͵ ൅ס䁡ᦙͳͺ⸷ι
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据平行
线的判定方法逐一判断即可得到答案．
【详解】解：׶סͳ ᦙס͵，סʹ ᦙס䁡是对角相等，均不能判定两直线平行，
׵A、B 项错误；
׶סͳ ൅ס䁡ᦙͳͺ⸷ι，
׵ܽ
צܾ
（同旁内角互补，两直线平行），此项正确；
׶ס͵ ൅ס䁡ᦙͳͺ⸷ι，
׵݉
צ݊
（同旁内角互补，两直线平行）；此项错误；
故选：C．
3．（24-25 七年级下·浙江温州·期中）如图所示，下列条件能判定ܣܦצܤǡ 的是(
)
A．סͳ ᦙס䁡
B．ס͸ ᦙס䁡
C．ס൅ܦܣܤסͷ ᦙͳͺ⸷ι
D．סʹ ᦙס͵
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【答案】D
【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线
的判定定理判断求解即可．
【详解】解：∵סͳ ᦙס䁡，
∴ܣܤצǡܦ，
故A 不符合题意；
由ס͸ ᦙס䁡，不能判定ܣܦצܤǡ，
故B 不符合题意；
∵ס൅ܦܣܤסͷ ᦙͳͺ⸷ι，
∴ܣܤצǡܦ，
故C 不符合题意；
∵סʹ ᦙס͵，
∴ܣܦצܤǡ，
故D 符合题意；
故选：D．
4．
（24-25 七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，下列条件中：①סܦܣǡ ൅סܣǡܧᦙͳͺ⸷ι；②סͳ ᦙסʹ；
③ס͵ᦙס䁡；④סܦᦙסͷ；⑤סͳ ᦙסͷ，能判定ܣܦצܤǡ 的有（
）
A．①②④
B．①③④
C．③⑤
D．②④⑤
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：סܦܣǡ ൅סܣǡܧᦙͳͺ⸷ι，
׵ ܣܤצ ǡܦ，故①符合题意；
׶ סͳ ᦙסʹ，
׵ ܣܦצܤǡ，故②符合题意；
׶ ס͵ ᦙס䁡，
׵ ܣܤצ ǡܦ，故③不符合题意；
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׶ סܦᦙסͷ，
׵ ܣܦצ ǡܤ，故④符合题意；
由סͳ ᦙסͷ，不能判定ܣܤצ ǡܦ，
故⑤不符合题意；
综上所述：能判定ܣܦצ ǡܤ的有①②④，
故选：A．
5．（24-25 七年级下·北京·期中）如图，下列条件中能判断ܣܦצܤǡ 的是（
）
①סͳ ᦙסʹ；②ס͵ᦙס䁡；③סʹ ൅סͷ ᦙס͸；④סܦܣ൅ܤסʹ ൅ס͵ ᦙͳͺ⸷ι．
A．①④
B．①③
C．①③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是
解题关键．
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内
角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【详解】解：①׶ סͳ ᦙסʹ，
׵ ܣܦצܤǡ；
②׶ ס͵ ᦙס䁡，
׵ ܣܤצ ǡܦ；
③׶ סʹ ൅סͷ ᦙס͸，סͳ ൅סͷ ᦙס͸，
׵ סͳ ᦙסʹ，
׵ ܣܦצܤǡ；
④׶ סܦܣ൅ܤסʹ ൅ס͵ ᦙͳͺ⸷ι，
׵ סܦܣ൅ܤסܣܤǡ ᦙͳͺ⸷ι，
׵ ܣܦצܤǡ；
可以判断ܣܦצܤǡ 的有①③④．
故选：C
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6．（24-25 七年级下·山西晋中·期中）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列
条件中能判断直线ܽ
צܾ的是（
）
A．ס䁡ᦙסʹ
B．סʹ ᦙס͵
C．ס͵ ᦙס䁡
D．ס䁡ᦙסͷ
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定．利用内错角相等，两直线平行判定D 选项符合题
意．
【详解】解：由ס䁡ᦙסʹ 或ס䁡ᦙסͷ 或ס͵ ᦙס䁡都不能判定直线ܽ
צܾ；
只有סʹ ᦙס͵ 时，利用内错角相等，两直线平行能判定直线ܽ
צܾ．
故选：B．
【考点6：利用平行线的性质求角】
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，ܽצܾ，סͳ ᦙͷͷι，则סʹ 的度数是（
）
A．ͳ͵ͷι
B．ͷͷι
C．ͳͳͷι
D．ͳʹͷι
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，根据平行线的性质求出ס͵ 的度
数，再由平角的定义即可得到答案．
【详解】解；如图所示，∵ܽצܾ，סͳ ᦙͷͷι，
∴ס͵ ᦙסͳ ᦙͷͷι，
∴סʹ ᦙͳͺ⸷ι െס͵ ᦙͳʹͷι，
故选：D．
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2．（2025·陕西榆林·三模）如图，ܣܤצܧܦ，ܤǡ צ ܦܧ，סܤᦙͷ⸷ι，则סܦܧܦᦙ（
）
A．ͳʹ⸷ι
B．ͳ͵⸷ι
C．ͳ䁡⸷ι
D．ͳͷ⸷ι
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角线段得到סܤᦙܧ的度
数，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出סܦܧܦ的度数．
【详解】解：∵ܣܤצܧܦ，
∴סܤᦙܧᦙסܤᦙͷ⸷ι，
∵ܤǡ צ ܦܧ，
∴סܦܧܦᦙͳͺ⸷ι െסܤᦙܧᦙͳ͵⸷ι，
故选：B．
3.（24-25 七年级下·山西朔州·期中）2025 年春节联欢晚会上，16 个人形机器人身着花棉袄，
手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧ܤܱ䂑》．小林观看
节目时受到启发，将图1 中机器人的手臂抽象为图2 的示意图，其中手臂ܣܤצ ǡܦǡסܤᦙ
סܦǡסܦܧܤᦙͳ⸷䁡ι，则סܤ的度数为（
）
A．ͳ͸͸ι
B．ͳʹͺι
C．ͳ⸷䁡ι
D．ͳ⸷⸷ι
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E 作ܧܦצ ܣܤ，则ܣܤצ ǡܦצ ܧܦ，
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由平行线的性质得到ס൅ܤסܦܧܤᦙסܦ൅סܦܧܦᦙͳͺ⸷ι，则可推出ס൅ܤס൅ܦܧܤסܦᦙ
͵͸⸷ι，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E 作ܧܦצ ܣܤ，
∵ܣܤצ ǡܦ，
∴ܣܤצ ǡܦצ ܧܦ，
∴ס൅ܤסܦܧܤᦙסܦ൅סܦܧܦᦙͳͺ⸷ι，
∴ס൅ܤס൅ܦܧܤסܦ൅סܦܧܦᦙ͵͸⸷ι，
∴ס൅ܤס൅ܦܧܤסܦᦙ͵͸⸷ι，
∵סܦܧܤᦙͳ⸷䁡ι，סܤᦙסܦ，
∴סܤᦙͳʹͺι，
故选：B．
4．（2025 七年级下·河南郑州·专题练习）如图，直线a，b 被直线c 所截，若ܽ
צܾ
，סͳ ᦙͳ⸷ͷι，
סʹ ᦙ䁡⸷ι，则ס͵ 的度数为（
）
A．ͷ⸷ι
B．ͷͷι
C．͸⸷ι
D．͸ͷι
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先
根据邻补角的定义得出ס䁡的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：סͳ ᦙͳ⸷ͷι，
∴ס䁡ᦙͳͺ⸷ι െסͳ ᦙͳͺ⸷ι െͳ⸷ͷι ᦙ͹ͷι，
∵סʹ ᦙ䁡⸷ι，
∴סʹ ൅ס䁡ᦙ䁡⸷ι ൅͹ͷι ᦙͳͳͷι，
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∵ܽ
צܾ
，
∴ס͵ ᦙͳͺ⸷ι െסʹ ൅ס䁡ᦙͳͺ⸷ι െͳͳͷι ᦙ͸ͷι．
故选D．
5．（2025·安徽滁州·二模）将直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若סͳ ᦙͳ⸷ι，则סʹ
的度数为（
）
A．͹⸷ι
B．͸⸷ι
C．ͷ⸷ι
D．䁡⸷ι
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与三角板有关的计算，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．先得ס͵ ൅ס䁡ᦙ͸⸷ι，再运用ǡܦצ ܣܤ，得ס͵ ᦙסͷǡסʹ ᦙס䁡，结合对
顶角相等以及סͳ ᦙͳ⸷ι，则把数值代入סʹ ᦙ͸⸷ι െסͷ，进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，ס͵ ൅ס䁡ᦙͻ⸷ι െ͵⸷ι ᦙ͸⸷ι
过点ܹ
作ǡܦצ ܣܤ，
∴ס͵ ᦙסͷǡסʹ ᦙס䁡
∴סʹ ᦙס䁡ᦙ͸⸷ι െס͵
即סʹ ᦙ͸⸷ι െסͷ
∵סͳ ᦙͳ⸷ι，סͳ ᦙסͷ
∴סʹ ᦙ͸⸷ι െͳ⸷ι ᦙͷ⸷ι
故选：C
【考点7：平行线与折叠综合】
1．（24-25 七年级下·福建福州·期中）如图，将长方形纸条沿直线ܧܦ折叠，点A 落在ܣ̵ 处，
点D 落在ܦ̵ 处，ܣ̵ ܧ交ǡܦ于点G．若סܣܧܦᦙ䁡⸷ι，则סܣ̵ ᦙǡ ᦙ（
）．
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A．ͳ⸷⸷ι
B．ͳʹ⸷ι
C．ͳ䁡⸷ι
D．ͳ͸⸷ι
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠得到סܣ̵ ܧܦᦙסܣܧܦᦙ䁡⸷ι，进而求得
סܣ̵ ܧܤᦙͳ⸷⸷ι，再由平行线的性质即可解答．
【详解】解：由折叠得到סܣ̵ ܧܦᦙסܣܧܦᦙ䁡⸷ι，
∴סܣ̵ ܧܤᦙͳͺ⸷ι െסܣ̵ ܧെܦסܣܧܦᦙͳ⸷⸷ι，
∵在长方形纸条中，ǡܦצܣܤ，
∴סܣ̵ ᦙǡ ᦙסܣ̵ ܧܤᦙͳ⸷⸷ι．
故选：A
2．（24-25 七年级下·浙江温州·期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若סͳ ᦙͳͳʹι，
则סʹ 的度数为（
）
A．͵䁡ι
B．䁡䁡ι
C．͵ͻι
D．ͷ͸ι
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出ס͵，
再根据平角的定义和折痕是角平分线进行求解即可．
【详解】解：∵长方形纸带的对边平行，
∴ס͵ ᦙסͳ ᦙͳͳʹι，
∵折叠，
∴סʹ ᦙס䁡ᦙ
ͳ
ʹ ͳͺ⸷ι െס͵ ᦙ͵䁡ι；
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故选A．
3．（24-25 七年级下·山东临沂·期中）如图，将一张长方形纸片ܣܤǡܦ沿ܧܦ折叠，点ܦ，ǡ
分别落在点ܦ̵ ，ǡ 处，若סͳ ᦙͷͺι，则סܦܤǡ̵ 的度数是
．
【答案】ͷͺι/58 度
【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：ܣܦצܤǡǡܦ̵ ܧצܦǡ̵ ，
∴סʹ ᦙסͳ ᦙͷͺιǡסܦܤǡ̵ ᦙסʹ ᦙͷͺι；
故答案为：ͷͺι．
4．（23-24 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示的长方形纸条ܣܤǡܦ，将纸片沿ܯܰ
折叠，ܯܤ与ܦܰ
交于点K，若סͳ ᦙ͹⸷ι，则סܭܰǡ ᦙ
°
【答案】40
【分析】本题考查的是折叠的性质，根据题意可知סͳ ᦙסܭܯܰ
ᦙ͹⸷ι，ܣܯצ ܦܰ，סܣܯܭᦙ
סܯܭܰ
ᦙ䁡⸷ι且סܭܯܰ
൅סǡܰܯᦙͳͺ⸷ι，סܭܯܰ
ᦙ͹⸷ι，סǡܰܯᦙͳͳ⸷ι，סܯܰܭᦙͳͺ⸷ι െ
͹⸷െ䁡⸷ᦙ͹⸷ι，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知סͳ ᦙסܭܯܰ
ᦙ͹⸷ι，ܣܯצ ܦܰ，ܯܤצ ǡܰ，
∴סܣܯܭᦙסܯܭܰ
ᦙ䁡⸷ι，סܭܯܰ
൅סǡܰܯᦙͳͺ⸷ι，
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∵סܭܯܰ
ᦙ͹⸷ι，
∴סǡܰܯᦙͳͳ⸷ι，סܯܰܭᦙͳͺ⸷ι െ͹⸷െ䁡⸷ᦙ͹⸷ι，
∴סܭܰǡ ᦙͳͳ⸷ι െ͹⸷ι ᦙ䁡⸷ι．
故答案为：䁡⸷ι．
【考点8：平行线的生活中的实际应用】
1．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线ǡܧ射向容
器液面ܣܤ，折射后光线由ܧǡ 方向变成ǡܦ方向．若סܧǡܤᦙ䁡ͷιǡסǡܦܦᦙͷͷι，则סܧǡܦ
的度数为（
）
A．ͳͷͷι
B．ͳ͸ͷι
C．ͳ͹⸷ι
D．ͳ͹ͷι
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到סܤǡܦ൅סǡܦܦᦙͳͺ⸷ι，求出סܤǡܦᦙͳʹͷι，结合סܧǡܦᦙ
סܧǡ൅ܤסܤǡܦ，即可得到答案．
【详解】解：由题意得ܤǡ צ ܦܦ，
׵ סܤǡܦ൅סǡܦܦᦙͳͺ⸷ι，
׵ סܤǡܦᦙͳͺ⸷ι െסǡܦܦᦙͳͺ⸷ι െͷͷι ᦙͳʹͷι，
׵ סܧǡܦᦙסܧǡ൅ܤסܤǡܦᦙ䁡ͷι ൅ͳʹͷι ᦙͳ͹⸷ι，
故选：C．
2．（23-24 七年级下·山东德州·阶段练习）如图所示，击打一次台球桌上小球A，经过两次
反弹拐弯后滚动的方向与开始滚动的方向相反，小球这两次反弹拐弯的角度可能是（
）
A．第一次向右拐͵⸷ι，第二次向右拐͵⸷ι
B．第一次向右拐ͷ⸷ι，第二次向左拐ͳ͵⸷ι
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C．第一次向左拐ͷ⸷ι，第二次向左拐ͳ͵⸷ι
D．第一次向左拐ͷ⸷ι，第二次向右拐ͳ͵⸷ι
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据方向与开始滚动的方向相反，结合平行线
性质判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A 选项两次后相当于向右转向͵⸷ι ൅͵⸷ι ᦙ͸⸷ι，故不符合题意，
B 选项两次后相当于向左转向ͳ͵⸷ι െͷ⸷ι ᦙͺ⸷ι，故不符合题意，
C 选项两次后相当于向左转向ͳ͵⸷ι ൅ͷ⸷ι ᦙͳͺ⸷ι，故符合题意，
D 选项两次后相当于向右转向ͳ͵⸷ι െͷ⸷ι ᦙͺ⸷ι，故不符合题意，
故选：C．
3．（23-24 七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆
ܣܱ
垂直底座ܯܰ
于点ܱ
，ܣܤ与ܤǡ 是分别可绕点ܣ和ܤ旋转的调节杆，台灯灯罩可
绕点ǡ 旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线ǡܦ、ǡܧ组成的סܦǡܧ始终保持
不变．现调节台灯，使外侧光线ǡܦצܯܰ，ǡܧצܣܤ，若סܱܣܤᦙͳͷͺι，则סܦǡܧᦙ（
）
A．ͷͺι
B．͸ͺι
C．͵ʹι
D．ʹʹι
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A 作ܣᦙצ ܯܰ，过点B
作ܪܤצ ǡܦ，则ܣᦙצ ܯܰ
צܪܤצ ǡܦ，由ܱ
ܣ٣ ܯܰ
得到סܱܣᦙᦙͻ⸷ι，则סܣܤᦙᦙסܱܣܤ
െ
סܱܣᦙᦙ͸ͺι，进而得到סܣܪܤᦙסܣܤᦙᦙ͸ͺι，再根据平行线的性质得到סܣܤǡ ൅
סܤǡܧᦙͳͺ⸷ι ᦙסǡ൅ܪܤסܤǡܦ，由此即可得到סܦǡܧᦙסܣܪܤᦙ͸ͺι．正确作出辅助线
是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A 作ܣᦙצ ܯܰ，过点B 作ܪܤצ ǡܦ，
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∵ǡܦצ ܯܰ，
∴ܣᦙצ ܯܰ
צܪܤצ ǡܦ，
∵ܱܣ٣ ܯܰ，
∴ܣᦙ٣ܱ
ܣ，即סܱܣᦙᦙͻ⸷ι，
∵סܱܣܤᦙͳͷͺι，
∴סܣܤᦙᦙסܱܣܤ
െסܱܣᦙᦙ͸ͺι，
∴סܣܪܤᦙסܣܤᦙᦙ͸ͺι，
∵ǡܧצܣܤ，ܪܤצ ǡܦ，
∴סܣܤǡ ൅סܤǡܧᦙͳͺ⸷ι ᦙסǡ൅ܪܤסܤǡܦ，
∴סܣ൅ܪܤסǡ൅ܪܤסܤǡܧᦙͳͺ⸷ι ᦙסǡ൅ܪܤסܤǡܧ൅סܦǡܧ，
∴סܦǡܧᦙסܣܪܤᦙ͸ͺι，
故选：B．
4．（24-25 七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1 是路政部门利用折臂升降机维修路灯的
图片，图2 是它的平面示意图，已知路灯ܣܤ和折臂的底座ǡܦ都与地面ܯܰ
垂直，同
时上折臂ܣܧ与下折臂ܦܧ的夹角סܣܧܦᦙ͹ͺι，下折臂与底座ǡܦ的夹角סǡܦܧᦙͳʹ⸷ι，
那么上折臂ܣܧ与路灯ܣܤ的夹角סܧܣܤ的度数为（
）
A．͵ʹι
B．䁡ʹι
C．ͷͷι
D．͸⸷ι
【答案】B
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【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E 作ܧܦצܯܰ
交ܣܤ于点F，过点D 作
ܦܪצܯܰ，由平行线的性质求出סܦܧܦᦙסܧܦܪᦙ͵⸷ι，进而求得סܣܧܦᦙ䁡ͺι，进而可
得答案．
【详解】解：如图，过点E 作ܧܦצܯܰ
交ܣܤ于点F，过点D 作ܦܪצܯܰ，
∵ǡܦ٣ ܯܰ，ܦܪצܯܰ，
∴ǡܦ٣ ܪܦ，
∴סܪܦǡ ᦙͻ⸷ι，
∵סǡܦܧᦙͳʹ⸷ι，
∴סܧܦܪᦙסǡܦܧെסܪܦǡ ᦙͳʹ⸷ι െͻ⸷ι ᦙ͵⸷ι，
∵ܧܦצܯܰ，ܦܪצܯܰ，
∴ܧܦצܦܪ，
∴סܦܧܦᦙסܧܦܪᦙ͵⸷ι，
∵סܣܧܦᦙ͹ͺι，
∴סܣܧܦᦙסܣܧܦെסܦܧܦᦙ͹ͺι െ͵⸷ι ᦙ䁡ͺι，
∵ܣܤ٣ ܯܰ，ܧܦצܯܰ，
∴ܧܦ٣ ܯܰ，סܣܧܦᦙͻ⸷ι，
∴סܧܣܤᦙͻ⸷ι െסܣܧܦᦙͻ⸷ι െ䁡ͺι ᦙ䁡ʹι．
5．（23-24 七年级下·河北廊坊·期末）某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某
品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2 是其示意图，其中ܣܤ，ǡܦ都与地面݈
平行，
סܤǡܦᦙ͸⸷ιǡסܣܤǡ ᦙͷ⸷ι，若ܣܯצܧܤ，则סܯܣǡ 的度数为（
）
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A．ͳͷι
B．͸ͷι
C．͹⸷ι
D．͹ͷι
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解
即可．
【详解】解：∵ܣܤ，ǡܦ都与地面݈
平行，
∴ܣܤצǡܦ，
∴סܣܤǡ ൅סܣǡܦᦙͳͺ⸷ι，
∴סܣܤǡ ൅סܣǡ൅ܤסܤǡܦᦙͳͺ⸷ι，
∵סܤǡܦᦙ͸⸷ι，סܣܤǡ ᦙͷ⸷ι，
∴סܣǡܤᦙ͹⸷ι，
∵ܣܯצܧܤ．
∴סܯܣǡ ᦙסܣǡܤᦙ͹⸷ι
故选：C．
6．（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1 所示，
将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知סܯܣܦᦙʹ䁡ι，סܦǡܰ
ᦙʹͷι，则
סܣܤǡ 的大小为
．
【答案】䁡ͻι/49 度
【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可
得סܯܧܤᦙסܯܣܦᦙʹ䁡ι，סܧܰܤᦙסܦǡܰ
ᦙʹͷι，再代入סܣܤǡ ᦙסܯ൅ܧܤסܧܰܤ计算
即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，ܣܦצܧܤצܦǡ，
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又∵סܯܣܦᦙʹ䁡ι，סܦǡܰ
ᦙʹͷι，
∴סܯܧܤᦙסܯܣܦᦙʹ䁡ι，סܧܰܤᦙסܦǡܰ
ᦙʹͷι，
∴סܣܤǡ ᦙסܯ൅ܧܤסܧܰܤᦙʹ䁡ι ൅ʹͷι ᦙ䁡ͻι，
∴סܣܤǡ 的大小为䁡ͻι．
故答案为：䁡ͻι．
7．（22-23 七年级下·江苏苏州·期中）图1 中所示是学校操场边的路灯，图2 为路灯的示意
图，支架ܣܤ、ܤǡ 为固定支撑杆，灯体是ǡܦ，其中ܣܤ垂直地面于点ܣ，过点ǡ 作射
线ǡܧ与地面平行（即ǡܧצ݈），已知两个支撑杆之间的夹角סܣܤǡ ᦙͳ䁡⸷ι，灯体ǡܦ与
支撑杆ܤǡ 之间的夹角סܦǡܤᦙͺ⸷ι，则סܦǡܧ的度数为
．
【答案】͵⸷ι/30 度
【分析】过点ܤ作ܦܤצǡܧ．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出סǡܦܤ，
再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．
【详解】解：过点ܤ作ܦܤצǡܧ．
׶ ǡܧצ݈，
׵ܦܤצ݈．
׵ סܣܦܤᦙסͳ ᦙͻ⸷ι．
׶ סܣܤǡ ᦙͳ䁡⸷ι，
׵ סǡܦܤᦙͳ䁡⸷ι െͻ⸷ι ᦙͷ⸷ι．
׶ܦܤצǡܧ，
׵ סܧǡܤᦙסǡܦܤᦙͷ⸷ι．
׵ סܦǡܧᦙסܦǡെܤסܤǡܧ
ᦙͺ⸷ι െͷ⸷ι
ᦙ͵⸷ι．
故答案为：͵⸷ι．
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【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题
的关键．
【考点9：平行线的性质与判定综合】
1．（24-25 七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在三角形ܣܤǡ 中，过点ǡ 作ǡܦ٣ ܣܤ于点ܦ，
点ܧ在ܣܤ上，过点ܧ作ܧܦ٣ ܣܤ，若ܣǡ 于点ܪ，延长ܤǡ 至点ᦙ，连接ܦᦙ，סܣǡܦ൅סܦᦙ
ͳͺ⸷ι．
(1)ܣǡ 与ܦᦙ平行吗？请说明理由；
(2)若סܦᦙ͵סᦙ，סܤǡܦ：סܣǡܦᦙʹ：͵，求סܤǡܦ的度数．
【答案】(1)见解析
(2)ʹ⸷ι
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，
平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来
寻找角的数量关系．
（1）根据ǡܦ٣ ܣܤ，ܧܦ٣ ܣܤ，可得ܧܦצܦǡ，得סܣܪܧᦙסܣǡܦ，进而得סܧܪǡ ᦙסܦ，
可得结论；
（2）根据סܤǡܦ⸹סܣǡܦᦙʹ⸹͵，可以设סܤǡܦᦙʹݔǡסܣǡܦᦙ͵ݔ，根据ܣǡצܦᦙ，可得סᦙᦙ
סܣǡܤᦙסܤǡܦ൅סܣǡܦᦙͷݔ，由סܦᦙ͵סᦙ得到סܦᦙͳͷݔ，根据סܣǡܦ൅סܦᦙͳͺ⸷ι，
求出x 的值，进而可得סܤǡܦ的度数．
【详解】（1）证明：∵ǡܦ٣ ܣܤ，ܧܦ٣ ܣܤ，
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∴סܣܧܪᦙסܣܦǡ ᦙͻ⸷ι，
∴ܧܦצܦǡ，
∴סܣܪܧᦙסܣǡܦ，
∵סܣǡܦ൅סܦᦙͳͺ⸷ι．
∴סܣܪܧ൅סܦᦙͳͺ⸷ι，
∵סܣܪܧ൅סܧܪǡ ᦙͳͺ⸷ι，
∴סܧܪǡ ᦙסܦ，
∴ܣǡצܦᦙ；
（2）解：׶ סܤǡܦ⸹סܣǡܦᦙʹ⸹͵，
设סܤǡܦᦙʹݔǡסܣǡܦᦙ͵ݔ，
׶ ܣǡצܦᦙ，
׵ סᦙᦙסܣǡܤᦙסܤǡܦ൅סܣǡܦᦙͷݔ，
׶ סܦᦙ͵סᦙ，
׵ סܦᦙͳͷݔ，
׶ סܣǡܦ൅סܦᦙͳͺ⸷ι，
׵ ͵ݔ൅ͳͷݔᦙͳͺ⸷ι，即ݔᦙͳ⸷ι
׵ סܤǡܦᦙʹݔᦙʹ⸷ι．
2．（24-25 七年级下·内蒙古赤峰·期中）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．
如图，ܣܦצܤǡǡסͳ ᦙסǡܤסʹ ᦙס͵．试判断：ܣܦ与ܦǡ 的位置关系？并说明理由．
解：ܣܦ与ܦǡ 的位置关系是_____，理由如下：
׶ ܣܦצܤǡ（已知），
׵ סͳ ᦙסܦܧǡ _____ ，
又׶ סͳ ᦙסܤ（已知），
׵ סܤᦙס_____（______），
׵ ܣܤצ ܦܧ_____ ，
׵ סʹ ᦙסܣᦙܦ_____ ，
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又׶ סʹ ᦙס͵（已知），
׵ ס͵ ᦙסܣᦙܦ_____ ，
׵ ܣܦצ ܦǡ（_______）．
【答案】ܣܦצ ܦǡ；两直线平行，内错角相等；ܦܧǡ；等量代换；同位角相等，两直线
平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，平行公理，熟练掌握判定和性
质是解题的关键．
根据平行线的判定和性质，垂直的定义，平行公理，等量代换思想解答即可．
【详解】解：ܣܦ与ܦǡ 的位置关系是ܣܦצ ܦǡ，理由如下：
׶ ܣܦצܤǡ（已知），
∴סͳ ᦙסܦܧǡ（两直线平行，内错角相等），
又׶ סͳ ᦙסܤ（已知），
׵ סܤᦙס ܦܧǡ（等量代换），
׵ ܣܤצ ܦܧ（同位角相等，两直线平行），
׵ סʹ ᦙס ܣᦙܦ（两直线平行，内错角相等），
又׶ סʹ ᦙס͵（已知），
׵ ס͵ ᦙסܣᦙܦ（等量代换），
׵ ܣܦצ ܦǡ（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：ܣܦצ ܦǡ；两直线平行，内错角相等；ܦܧǡ；等量代换；同位角相等，两直
线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
3．（24-25 七年级下·北京·期中）如图，点ܦ，ܪ分别在ܣܤ，ܣǡ 上，点ܧ，ܦ都在ܤǡ 上，
ܦܧ交ܪܦ于点ᦙ，ܣᦙ平分סܣܤǡ，סܦܧܤᦙסǡ，סͳ ൅סʹ ᦙͻ⸷ι．
(1)求证：ܪܦ٣ ܦܧ；
(2)若ס͵ᦙס䁡，סܣܤǡ ᦙ͹ʹι，求סܦܪܦ的度数．
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【答案】(1)证明见解析
(2)ͷ䁡ι
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平
行线的性质与判定是解题的关键．
（1）根据同位角相等得出ܦܧצܣǡ，进而根据平行线的性质得出סǡܣᦙᦙס͵，根据角平
分线的定义得出סǡܣᦙᦙסͳ．等量代换得出סͳ ᦙס͵，可得ס͵ ൅סʹ ᦙͻ⸷ι，即可得证；
（2）根据已知得出סʹ ᦙͻ⸷ι െסͳ ᦙͷ䁡ι，证明ܣᦙצܦܦ，进而根据平行线的性质得出
סܦܪܦᦙסʹ ᦙͷ䁡ι．
【详解】（1）证明：׶ סܦܧܤᦙסǡ，
׵ ܦܧצܣǡ．
׵ סǡܣᦙᦙס͵．
׶ ܣᦙ平分סܣܤǡ，
׵ סǡܣᦙᦙסͳ．
׵ סͳ ᦙס͵．
׶ סͳ ൅סʹ ᦙͻ⸷ι，
׵ ס͵ ൅סʹ ᦙͻ⸷ι，即סܦᦙܪᦙͻ⸷ι．
׵ܪܦ٣ ܦܧ．
（2）解：׶ סǡܣᦙᦙסͳ，סܣܤǡ ᦙ͹ʹι，
׵ סͳ ᦙסǡܣᦙᦙ͵͸ι，
׵ ס͵ ᦙסͳ ᦙ͵͸ι，
׶ סͳ ൅סʹ ᦙͻ⸷ι，
׵ סʹ ᦙͻ⸷ι െסͳ ᦙͷ䁡ι，
׶ ס͵ ᦙס䁡，סͳ ᦙס͵，
׵ סͳ ᦙס䁡，
׵ ܣᦙצܦܦ，
׵ סܦܪܦᦙסʹ ᦙͷ䁡ι．
4．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）如图，点ܦǡ ܧǡ ǡܦ ᦙ都在三角形ܣܤǡ 的边上，
ܦܤצܧǡܦ ס൅ܦܧܤסܦܤᦙᦙͳͺ⸷ι．
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(1)求证：ܦᦙצܤǡ；
(2)若סܧܦǡ ᦙͳʹ⸷ι，ܦᦙ平分סܣܦܤ，求ǡ 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)סǡ ᦙ͵⸷ι
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟记平行线的判定定理与
性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）结合角平分线的定义，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵ܦܤצܧܦ，
∴ס൅ܦܧܤסܦܧܤᦙͳͺ⸷ι．
∵ס൅ܦܧܤסܦܤᦙᦙͳͺ⸷ι，
∴סܦܧܤᦙסܦܤᦙ．
∴ܦᦙצܤǡ；
（2）解：∵סܧܦǡ ᦙͳʹ⸷ι，סܧܦܦᦙͳͺ⸷ι െסܧܦǡ ᦙͳͺ⸷ι െͳʹ⸷ι ᦙ͸⸷ι，
∵ܦܤצܧܦ，
∴סܣܦܤᦙסܧܦܦᦙ͸⸷ι，
∵ܦᦙ平分סܣܦܤ，
∴סܣܦᦙᦙ
ͳ
ʹ סܣܦܤᦙ
ͳ
ʹ ൈ͸⸷ι ᦙ͵⸷ι．
∵ܦᦙצܤǡ，
∴סǡ ᦙסܣܦᦙᦙ͵⸷ι．
5．（24-25 七年级下·广东广州·期中）如图，在三角形ܣܤǡ 中，点ܦǡܦ在边ܤǡ 上，点ܧ在
边ܣܤ上，点ᦙ在边ܣǡ 上，ܧܦ与ᦙܦ的延长线交于点ܪ，סͳ ᦙסܤ，סʹ ൅ס͵ ᦙͳͺ⸷ι．
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(1)判断ܧܪ与ܣܦ的位置关系，并说明理由；
(2)若סܦᦙǡ ᦙͷͺι，且סܪᦙס䁡൅ͳ⸷ι，求סܪ的度数．
【答案】(1)ܧܪצܣܦ，理由见解析
(2)͵䁡ι
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的
关键．
（1）先由סͳ ᦙסܤ，得到ܣܤצ ᦙܪ，则ס͵ ൅סܪᦙͳͺ⸷ι，进而得到סʹ ᦙסܪ，由此即
可证明；
（2）先由平行线的性质得到סʹ ᦙסܦܣܤ，סܣܤᦙᦙסܦᦙǡ ᦙͷͺι，再证明סܣܤᦙᦙ
ס൅ܦܣܤס䁡ᦙʹס䁡൅ͳ⸷ι，结合סܪᦙס䁡൅ͳ⸷ι进行求解即可．
【详解】（1）解：ܧܪצܣܦ，理由如下：
׶ סͳ ᦙסܤ，
׵ ܦᦙצܣܤ，
׵ סʹ ᦙסܦܣܤ
׶ סʹ ൅ס͵ ᦙͳͺ⸷ι，
׵ ס൅ܦܣܤס͵ ᦙͳͺ⸷ι
׵ ܧܪצܣܦ；
（2）解：׶ ܧܪצܣܦ，
׵ סܪᦙסʹ，
׶ ܦᦙצܣܤ，
׵ סʹ ᦙסܦܣܤ，סܣܤᦙᦙסܦᦙǡ
׵ סܦܣܤᦙסܪ，
׵ סܦᦙǡ ᦙסܣܤᦙᦙס൅ܦܣܤס䁡ᦙסܪ൅ס䁡ᦙͷͺι
׶ סܪᦙס䁡൅ͳ⸷ι，
׵ ס䁡൅ͳ⸷ι ൅ס䁡ᦙͷͺι，
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׵ ס䁡ᦙʹ䁡ι，
׵ סܪᦙʹ䁡ι ൅ͳ⸷ι ᦙ͵䁡ι．
6．（24-25 七年级下·山东日照·期中）如图，已知ס͵ ᦙסܧܣܤ、ܣǡ ٣ܧܤ，סͳ ᦙסʹ，ס͵ ൅ס䁡ᦙ
ͳͺ⸷ι．求证：
(1)ܣܤצ ǡܦ；
(2)若סܦᦙ͵⸷ι，求סܦǡܧ．
【答案】(1)见解析
(2)סܦǡܧᦙ͵⸷ι．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．
（1）先根据题意求得סܧܣܤᦙͻ⸷ι，ס䁡ᦙͻ⸷ι，推出סܧܣܤᦙס䁡，即可判定ܣܤצ ǡܦ；
（2）由סͳ ᦙסʹ，求得סͳ ൅סǡܣܧᦙסʹ ൅סǡܣܧᦙסǡܣܦᦙͻ⸷ι，推出ס͵ ᦙסǡܣܦᦙͻ⸷ι，
则ܣܦצܧܤ，然后根据平行线的性质，从而得出结果．
【详解】（1）证明：∵ܣǡ ٣ܧܤ，
∴ס͵ ᦙͻ⸷ι，
∵ס͵ ᦙסܧܣܤ，ס͵ ൅ס䁡ᦙͳͺ⸷ι，
∴סܧܣܤᦙͻ⸷ι，ס䁡ᦙͻ⸷ι，
∴סܧܣܤᦙס䁡ᦙͻ⸷ι，
∴ܣܤצ ǡܦ；
（2）解：∵סͳ ᦙסʹ，סܧܣܤᦙͻ⸷ι，
∴סͳ ൅סǡܣܧᦙסʹ ൅סǡܣܧᦙסǡܣܦᦙͻ⸷ι，
∴ס͵ ᦙסǡܣܦᦙͻ⸷ι，
∴ܣܦצܧܤ，
∵סܦᦙ͵⸷ι，
∴סܦǡܧᦙסܦᦙ͵⸷ι．
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【考点10：两平行线间距离的性质】
1．（24-25 八年级下·陕西西安·期中）已知直线ܽ
，ܾ，ܿ在同一平面内，且ܽ
צܾצܿ，ܽ
与ܾ
的距离为͹cm，ܾ与ܿ
的距离为䁡cm，则ܽ
与ܿ
的距离是（
）
A．ͳͳcm
B．͵cm
C．ͳͳcm 或͵cm
D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即
可求解．
【详解】解：如图1，直线c 在a、b 外时，
∵a 与b 的距离为͹cm，b 与c 的距离为䁡cm，
∴a 与c 的距离为͹ ൅䁡ᦙͳͳ cm ，
如图2，直线c 在直线a、b 之间时，
∵a 与b 的距离为͹cm，b 与c 的距离为䁡cm，
∴a 与c 的距离为͹ െ䁡ᦙ͵ cm ，
综上所述，a 与c 的距离为ͳͳcm 或͵cm，
故选：C．
2．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，ܣܤ٣ܤǡ，ǡܦ٣ܤǡ，ܣܦצܤǡ．若ܣܤᦙ͵cmǡܣܦᦙ
䁡cm，则ܣܤ与ǡܦ之间的距离为（
）
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A．͵cm
B．䁡cm
C．͵cm 或䁡cm
D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，求出ܤǡ 和ܣܦ是平行线ܣܤ和ǡܦ之间
的距离，根据平行线间的距离处处相等求出即可．
【详解】解：∵ܣܤ٣ܤǡ，ǡܦ٣ܤǡ，
∴סܤᦙסǡ ᦙͻ⸷ι，
∵ܣܦצܤǡ，
∴סܣᦙͳͺ⸷ι െסܤᦙͻ⸷ι，סܦᦙͳͺ⸷ι െסǡ ᦙͻ⸷ι，
∴ܣܤ٣ ܣܦ，ǡܦ٣ ܣܦ，
∵ס൅ܤסǡ ᦙͳͺ⸷ι，
∴ܣܤצ ǡܦ，
∴ܤǡ ᦙܣܦᦙ䁡cm，
故选：B．
3．（23-24 七年级下·河北石家庄·期中）已知直线a，b，c 在同一平面内，且ܽ
צܾצܿ，ܽ与ܾ
之间的距离为ͷcm，ܾ与ܿ
之间的距离为3cm，则ܽ
与ܿ
之间的距离是（
）
A．2cm
B．8cm
C．2cm 或9cm
D．以上都不对
【答案】D
【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即
可求解．
【详解】解：如图1，直线c 在a、b 外时，
∵a 与b 的距离为ͷcm，b 与c 的距离为͵cm，
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∴a 与c 的距离为ͷ ൅͵ ᦙͺ cm ，
如图2，直线c 在直线a、b 之间时，
∵a 与b 的距离为ͷcm，b 与c 的距离为͵cm，
∴a 与c 的距离为ͷ െ͵ ᦙʹ cm ，
综上所述，a 与c 的距离为ʹcm 或ͺcm，
故选：D．
4．（2025·北京·模拟预测）如图所示，ܽצܾ，直线ܽ
与直线ܾ
之间的距离是线段
的长
度
【答案】ܲܣ
【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线
之间的距离，由此可得出答案．本题考查了平行线之间的距离：从一条平行线上的任意
一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
【详解】解：由题可得，ܽצܾ，ܲܣ٣ܾ
，
∴直线a 与直线b 之间的距离是线段ܲ
ܣ的长度，
故答案为：ܲܣ．
5．（22-23 八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线ܣܧצܦܤ，点C 在ܦܤ上．若ܦܤᦙͻ，ᇞܣܦܤ
的面积为27，ᇞܣǡܧ的面积为18，则ܣܧᦙ
．
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【答案】6
【分析】过点A 作ܣܯ٣ܦܤ于点M，过点C 作ǡܰ
٣ ܣܧ于点N，先根据三角形的面
积公式求出ܣܯᦙ͸，则ܣܯᦙǡܰ
ᦙ͸，最后根据三角形面积公式求出ܣܧ即可．
【详解】解：过点A 作ܣܯ٣ܦܤ于点M，过点C 作ǡܰ
٣ ܣܧ于点N，
∵ܦܤᦙͻ，ᇞܣܦܤ的面积为27，
∴ܵᇞܣܦܤᦙ
ͳ
ʹܦܤڄ ܣܯᦙ
ͳ
ʹ ൈͻܣܯᦙʹ͹，
解得：ܣܯᦙ͸，
∵ܣܧצܦܤ，
∴ܣܯᦙǡܰ
ᦙ͸，
∵ᇞܣǡܧ的面积为18，
∴
ͳ
ʹ ܣܧڄ ǡܰ
ᦙ
ͳ
ʹ ܣܧൈ͸ ᦙͳͺ，
解得：ܣܧᦙ͸，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的间的距离处处相等，解题的关键是熟练掌握平行线间
距离处处相等．
6．（23-24 七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，ܽצܾ，点ܤ，ǡ 在直线ܽ
上，点ܣ在直线ܾ
上，ܣܤ٣ ܣǡ，ܣܤᦙ͸，ܣǡ ᦙͺ，ܤǡ ᦙͳ⸷，则图中ܽ
与ܾ
之间的距离为
．
【答案】
ʹ䁡
ͷ
【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟
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记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三
角形的面积计算公式ܵ
ᦙ
ͳ
ʹܤǡ ڄ ܣܦᦙ
ͳ
ʹ ܣǡ ڄ ܣܤ即可得到结论．
【详解】解：设ܽ
与ܾ
之间的距离为ݔ，
则ܵᇞܣܤǡ ᦙ
ͳ
ʹܤǡ ڄ ݔᦙ
ͳ
ʹ ܣǡ ڄ ܣܤ，
׶ ܣܤᦙ͸，ܣǡ ᦙͺ，ܤǡ ᦙͳ⸷，
׵ ݔᦙ
͸ൈͺ
ͳ⸷ᦙ
ʹ䁡
ͷ ，
׵设ܽ
与ܾ
之间的距离为
ʹ䁡
ͷ ，
故答案为：
ʹ䁡
ͷ ．
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