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专题31 最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出
一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥
或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四
边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）...............................................................................................1
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）...............................................................................................6
模型3.将军饮马模型（多线段和的最值）...................................................................................................9
..................................................................................................................................................15
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
条件：A，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求AP+BP 的最小值。
模型（1）点A、B 在直线m 两侧： 模型（2）点A、B 在直线同侧：
m
A
B
m
A
B
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模型（1）点A、B 在直线m 两侧： 模型（2）点A、B 在直线同侧：
P
m
A
B
P
m
A
B
A'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP 的最小值即为：线段AB 的长度。
模型（2）：如图（2），作点A 关于定直线m 的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP 的最
小值即为：线段A’B 的长度。
例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形
中，
，
，
，
，
，E 是边
上的一动点，F 为
的中点，则
的最小值为 ．
例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在
中，
，
，
，点
为直线
上一动点，则
的最小值为 ．
例3．（2024·广东·二模）如图，菱形
的一条对角线
，
，P 是对角线
上的
一个动点，E，F 分别为边
，
的中点，则
的最小值是（ ）
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A．2
B．
C．4
D．
例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形
中，
，
平分
交
于点
，
点
为半径
上一动点．若阴影部分周长的最小值为
，则扇形的半径
的长为 ．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
条件：A，B 为定点，m 为定直线，P 为直线l 上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B 在直线m 同侧： 模型（2）：点A、B 在直线m 异侧：
m
B
A
m
A
B
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m
B
A
P'
P
m
A
B
B'
P
P'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB 交直线m 于点P，当A、B、P 不共线时，根据三角形三边关系，有：|
P’A-P’B|＜AB，当A、B、P 共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB 的
长度。
模型（2）：如图（2），作点B 作关于直线m 的对称点B’，连接AB’交直线m 于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P 不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P 共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P 为直
线CD 上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形
中，
为
边中点，而点
在
边上，
为对角线
所在直线上一动点，已知
，
，且
，则
的最大值为 ．
例3．（23-24 八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形
中，
，
与
交于点
，
是
的中点，点
在
边上，且
为对角线
上一点，则
的最大值为 ．
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模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B 为定点，在直线m、n 上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB 最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）
n
m
A
B
n
m
A
B
n
m
A
B
m
n
A
图1-1 图1-1 图1-1 图2
模型（2）：一定点+两动点
条件：如图2，A 为定点，在直线m、n 上分别找两点P、Q，使三角形APQ 的周长（AP+PQ+QA）最小。
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Q
P
n
m
A
B
P'
Q'
Q
P
n
m
A
B
B'
Q
P
n
m
A
B
B'
A'
P
Q
m
n
A
A"
A'
图1-1 图1-1 图1-1 图2
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB 的最小值即为：线段AB 的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2 ），作点B 关于定直线n 的对称点B’, 连结AB’, 根据对称得到：QB=QB’ ，故
PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB 的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B 关于定直线n 的对称点B’,作点A 关于定直线m 的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB 的最小值即为：线段A’B’的长度。
模型（2）：如图（2），作点A 分别关于定直线m、n 的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA 的最小值即为：线段A’A’’的长度。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形
边长为3，点E 在
边上且
，点P，Q 分别
是边
，
的动点（均不与顶点重合），当四边形
的周长取最小值时，四边形
的面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，
，点M、N 分别在边
上，且
，
点P、Q 分别在边
上，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（23-24 九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在
中，
．若点
P 是边
上一点．则
的最小值为 ．（2）如图②，在
中，
，
，点
E 是
的中点．若点P 是边
上一点，求
的最小值．（3）公园内有一条四边形
型环湖
路，如图③．若
米，
米，
．为满足市民健身需求，现
要修一条由
，
连接而成的步行景观道，其中点E，F 分别在边
，
上．为了节省成本，
要使所修的这条步行景观道最短，即
的值最小，求此时
的长．（路面宽度忽略不
计）
1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形
中，点M，N 分别为
，
上的动点，且
，
，
交于点 E，点 F 为
的中点，点P 为
上一个动点，连接
，
．若
，则
的最小值为（ ）
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A．
B．
C．5
D．
2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形
中，
，
，点E 是
边的点，
，点F
是线段
上一点，连接
，以
为直角边作等腰直角
，
为斜边，连接
，则
的最
小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．
3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形
，点
、
、
、
均在坐标轴上，
，点
，点
是
的中点，点
是
上的一动点，则
的最小值是（ ）
A．3
B．5
C．
D．
4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形
是矩形，
，
，点P 是边
上一点（不与点A，D 重合），连接
．点M，N 分别是
的中点，连接
，
，
，
点E 在边
上，
，则
的最小值是（ ）
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A．
B．3
C．
D．
5．（2023·安徽·统考中考真题）如图，
是线段
上一点，
和
是位于直线
同侧的两个等
边三角形，点
分别是
的中点．若
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
周长的最小值为6
D．四边形
面积的最小值为
6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形
的边长为4，点E 在边
上，且
，F 为对
角线
上一动点，连接
，
，则
的最小值为 ．
7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点
是矩形
的对称中心，点
，
分别在边
，
上，且
经过点
，
，
，
，点
是边
上一动点．则
周长的最小值为 ．
8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形
中，
，
，
，连接
、
交于点
，点
为
上一动点，连接
，点
为
的中点，连接
、
，
则
的最小值为 ．
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9．（2024·陕西商洛·三模）如图，点
为正方形
的对称中心，点
为
边上的动点，连接
，
作
交
于点
，连接
，
为
的中点，
为边
上一点，且
，连接
，
，则
的最小值为 ．
10．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，
中，
，
，
，I 为
的内心，
若M、N 分别是斜边
和直角边
上的动点，连接
，则
的最小值为 ．
11．（2024·海南·三模）如图，矩形
中，
，
，
、
分别是直线
、
上的两个动
点，
，
沿
翻折形成
，连接
、
，则
，
的最小值是
.
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12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在
中，连接
，
，
的垂直平分线交
于E，交
于F，P 是线段
上一动点，点Q 为
的中点．若
，
的面积是24，则
的最小值为 ．
13．（2024·山东淄博·一模）如图，线段
与
相交于点E，保持
，已知
，
，
则
的最小值是 ．
14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，
是边长为的等边三角形，点
为高
上的动点．
连接
，将
绕点
顺时针旋转
得到
．连接
，
，
，则
周长的最小值是 ．
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15．（2023 上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，
是
的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是
弧
的中点，P 点为直线
上的一个动点，当
时，
的最小值为 .
16．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形
中，
，
，点E 为
的中点，
点F 在
上，且
，点G 为直线
上一动点，
的最大值是 ___________．
17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形
中，
，
，
，
，
，点
为直线
左侧平面上一点，
的面积为
，则
的最大值为______ ．
18．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形
中，
，
，
，点E 为
的中点，点F 为BC 上一点，连接EF，
，则
的长为________；
【问题探究】（2）如图2，菱形
的边长为8，且
，E 是
的中点，F 为对角线
上一
动点，连接
，求
周长的最小值；
【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3 中四边形
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所示，经测量，
米，
米，
，并沿着对角线
修建一条隔墙（厚度不计）将该
空地分成
和
两个区域，其中
区域为幼苗培育区，
区域为作物观察区，
的
中点P 处有一扇门，现计划在
上取点E、F（点E 在点F 左侧），并沿
修建一面结果记录墙（厚度
不计），根据规划要求，
米，且
与
的长度之和最小，请问
的值是否存在最小值？
若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．
19．（23-24 九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
如图1 所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河旁边的P 点饮马后再到B 点宿营．请
问怎样走才能使总的路程最短？
作法如下：如图1，从
出发向河岸引垂线，垂足为
，在
的延长线上，取
关于河岸的对称点
，
连接
，与河岸线相交于
，则
点就是饮马的地方，将军只要从A 出发，沿直线走到
，饮马之后，
再由
沿直线走到
，所走的路程就是最短的．
(1)观察发现如图2，在等腰梯形
中，
，点
、
是底边
与
的中
点，连接
，在线段
上找一点
，使
最短．
作点
关于
的对称点，恰好与点
重合，连接
交
于一点，则这点就是所求的点
，故
的最小值为_______．
(2)实践运用如图3，已知
的直径
，点A 在圆上，且
的度数为
，点
是弧
的中点，
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点
在直径
上运动，求
的最小值．
(3)拓展迁移如图，已知抛物线
的对称轴为
，且抛物线经过
两
点，与
轴交于另一点
．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线
上找到一
点
，使
周长最小，请求出此时点
的坐标与
周长最小值．
20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于
，
两点．(1)求此反比例函数的表达式及点
的坐标；
(2)在y 轴上存在点
，使得
的值最小，求
的最小值．
21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线
经过
两点，并交x 轴于
另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH，DH，求
的最小值；
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22．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1，
，在
内部有一点P，M、N 分别是
、
上的动点，分别作点P 关于边
、
的对称点
，
，连接
，
与
、
相交于M、N，则此时
的周长最小，且顺次连
接O，
，
后
的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P 关于边
、
的对称点分别为
，
，
∴
，
，
，
，
∴
即
周长的的最小值为
∵
，∴
∴
是等腰直角三角形．
学以致用：若
，在
内部有一点P，分别作点P 关于边
、
的对称点
，
，顺次连
接O，
，
，则
的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在
中，
，
，点D 是
的中点，若
，请用含
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有h 的代数式表示
的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形
内有一点P，点P 到顶点B 的
距离为10，
，点M、N 分别是
、
边上的动点，顺次连接P、M、N，使
在周长最
小的情况下，面积最大，问：是否存在使
在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求
出
的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
