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淘宝：学思创想
专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
.........................................................................................................................................2
模型1.将军遛马模型................................................................................................................................2
模型2.将军造桥（过桥）模型.................................................................................................................6
.......................................................................................................................................12
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模型1.将军遛马模型
将军遛马模型：已知A、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧，且PQ 间长度恒定，
在直线m 上要求P、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
点A、B 在直线m 异侧（图1-1）；点A、B 在直线m 同侧 （图1-2）；
m
A
B
Q
P
图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A 点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m 于Q，Q 向左平移
PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。
∵PQ 为定值，∴求PA+PQ+QB 的最小值，即求PA+QB 的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC 为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB 的最小值为CB，故PA+PQ+QB 的最小值=PQ+CB.
m
A
B
C
Q
P
m
A
B
B'
E
Q
P
图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A 点作AE∥m,且AE=PQ，作B 关于m 的对称点B’，连接B’E，交
直线m 于Q，Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。
∵PQ 为定值，∴求PA+PQ+QB 的最小值，即求PA+QB 的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE 为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
m
A
B
Q
P
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再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB 的最小值=PQ+EB’。
例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F 在对角线AC 上（点E
在点F 的左侧），且EF＝1，则DE+BF 最小值为________
【答案】
【分析】作DM
AC，使得DM=EF=1，连接BM 交AC 于F，由四边形DEFM 是平行四边形，推出
DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB 最短，由四边形ABCD 是
菱形，在Rt△BDM 中，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，作DM
AC，使得DM＝EF＝1，连接BM 交AC 于F，
∵DM＝EF，DM
EF，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB 最短，∵四边形ABCD 是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，∴△ABD 是等边三角形，∴BD＝AB＝3，
∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt△BDM 中，BM＝
＝
∴DE+BF 的最小值为
．故答案为
．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
例21．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2 的正方形
中，点E、F 是对角线
上的两个动点，
且始终保持
，连接
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
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【答案】B
【分析】过点
作
使
，易得四边形
为平行四边形，得到
，进而得到
，得到
三点共线时，
有最小值即为
的长，利用勾股定理进行
求解即可．
【详解】解：过点
作
使
，则：四边形
为平行四边形，
∴
，∴
，∴当
三点共线时，
有最小值即为
的长，
∵四边形
为正方形，∴
，
，
，
∴
，
，∴
，即：
的最小值为3．故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，
进行线段的转化．
例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1 的菱形
中，
，将
沿射线
的
方向平移得到
，分别连接
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据菱形的性质得到
，
，根据平移的性质得到
，
，推出
四边形
是平行四边形，得到
，于是得到
的最小值
的最小值，根据
平移的性质得到点
在过点
且平行于
的定直线上，作点
关于定直线的对称点
，连接
交定直
线于
，则
的长度即为
的最小值，求得
，得到
，于是得到结论
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【详解】解：在边长为1 的菱形
中，
，
，
，
将
沿射线
的方向平移得到
，
，
，
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
的最小值
的最小值，
点
在过点
且平行于
的定直线上，
作点
关于定直线的对称点
，连接
交定直线于
，则
的长度即为
的最小值，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，作
，
过点D 作
垂足为G
在
中，
．故选：
．
【点睛】本题考查了轴对称
最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性
质，求得
的最小值
的最小值是解题的关键．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形
中，
，
是对角线
上两点点
靠近点
，
且
，当
的最小值为
时，
的长为 ．
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【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移
至
，则
，连接
，得出四边形
是平行四边形，则
，
，根
据题意可得
，在
中，勾股定理求得
，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，平移
至
，则
，连接
,
∴四边形
是平行四边形，∴
，
，∵
，∴
∵在正方形
中，
，
是对角线
上两点
∴
∴
在
中，
∴
故答案为：
．
模型2.将军造桥（过桥）模型
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将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸
建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB 的值最小）。
河
B 军营
A
将军
N
M
A'
河
B 军营
A
将军
N
M
图2-1 图2-2
将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A 点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC 为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN 为定值，∴求AM+MN+NB 的最小值，即求AM+NB 的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB 的最小值为A’B，故AM+MN+NB 的最小值=A’B+MN。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，
中，
，
，
，
，
；垂足分别为点F 和E．点G 和H 分别是
和
上的动点，
，那么
的
最小值为______．
【答案】
【分析】过点E 作
交
于点I，连接
．易求出
，
，
．易证
四边形
为平行四边形，得出
，即说明当
最小时，
最小．由当点I，
H，C 三点共线时，
最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出
，即得出
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，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E 作
交
于点I，连接
．
∵
中，
，
，∴
，∴
，
∴
，
．∵
，
，∴
．
∵
，∴四边形
为平行四边形，∴
．同理可得出
．
∵
，
，∴四边形
为平行四边形，
∴
，∴四边形
为平行四边形，
∴
，∴
，∴当
最小时，
最小．
∵当点I，H，C 三点共线时，
最小，∴此时
最小，如图，
∵
，∴
．∵
∴四边形
为平行四边形，∴
，
，
∵
，
，∴
，∴
，∴
，
∴
的最小值为
． 故答案为：
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30 度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之
间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C 三点共线时，
最小，即此时
最小是解题关键．
例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在
中，
．如果在三
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角形内部有一条动线段
，且
，则
的最小值为________．
【答案】
【分析】在
上取一点
，使得
，连接
，如图所示，首先证明
，将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，过点
作
交
的延长线于
，证明
，求出
可得结论．
【详解】解：在
上取一点
，使得
，连接
，如图所示：
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，过点
作
交
的延长线于
，如图所
示：
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋
转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形
的边长为4，点
是对角线
上两动点，且
，将点
沿
的方向平移2 个单位得到点
，连接
、
．
(1)①四边形
的形状为_____________；
②连接
、
，当点
，
，
共线时，
的值为_____________．
(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生
存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“
”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿
地，在支流1 的左上方有一村庄
，支流2 的右下方有一开发区
，为促进当地的经济发展，经政府决定
在支流1 和支流2 上分别修建一座桥梁
、
（支流1 的两岸互相平行，支流2 的两岸也互相平行，桥
梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄
到开发区
理论上的最短路程吗？（即
和的最小值）．经测量，
、
两地的直线距离为2000 米，支流1、支流2 的宽度
分别为
米、250 米，且与线段
所夹的锐角分别为
、
．
【答案】(1)①平行四边形；②6．(2)
米
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30 度角的直角三角形的
性质，平移的性质：
（1）①根据平行的性质得到
，据此可证明四边形
是平行四边形；②由正方
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形的性质得到
，
，由勾股定理得
，由平行线的
性质得到
，则
，由勾股定理得到
，再由正方形的性质和平行四
边形的性质得到
，
，则
；
（2）如图所示，将点A 沿着垂直于支流1 的河岸的方向平移
米得到
，连接
，将点B 沿着垂
直于支流2 的河岸的方向平移
米得到
，连接
，则四边形
和四边形
都是平行四边形，
可得
，则当
四点共线时，
最小，即此时
最小；如图所示， 分别延长
交于H，则
，进
而得到
，则
米，
米，进一步得到
米，
米，
则
米， 即可得到
的最小值为
米．
【详解】（1）解：①由平行的性质可得
，
∴四边形
是平行四边形，故答案为：平行四边形；
②∵四边形
是正方形，∴
，
，
∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
由正方形的对称性可得
，由平行四边形的性质可得
，
∴
，故答案为：6；
（2）解：如图所示，将点A 沿着垂直于支流1 的河岸的方向平移
米得到
，连接
，将点B 沿
着垂直于支流2 的河岸的方向平移
米得到
，连接
，
∴四边形
和四边形
都是平行四边形，∴
，
∴
，
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∴当
四点共线时，
最小，即此时
最小；
如图所示， 分别延长
交于H，
∵支流1 和支流2 与线段
所夹的锐角分别为
、
，
∴
，∴
，∴
米，
∴
米，∴
米，
米，
∴
米， ∴
的最小值为
米．
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1．（2023 安徽中考学二模）如图，菱形ABCD 的边长为2
，∠ABC＝60°，点E、F 在对角线BD 上运动，
且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF 周长的最小值是（ ）
A．4
B．4+
C．2+2
D．6
【答案】D
【分析】作AH BD
∥
，使得AH＝EF＝2，连接CH 交BD 于F，则AE+AF 的值最小，进而得出△AEF 周长的最
小值即可．
【详解】解：如图作AH BD
∥
，使得AH＝EF＝2，连接CH 交BD 于F，则AE+AF 的值最小，即△AEF 的周长
最小．
AH
∵
＝EF，AH EF
∥
，∴四边形EFHA 是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD 的边长为2
，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2
，
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD
⊥
，∵AH DB
∥
，∴AC AH
⊥
，∴∠CAH＝90°，
在Rt
CAH
△
中，CH＝
∴AE+AF 的最小值4，
AEF
∴△
的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．
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【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．
2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B 两个村庄，河宽为4 千米，A、B 两村庄的直线距离AB＝
10 千米，A、B 两村庄到河岸的距离分别为1 千米、3 千米，计划在河上修建一座桥MN 垂直于两岸，M 点
为靠近A 村庄的河岸上一点，则AM+BN 的最小值为( )
A．2
B．1+3
C．3+
D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A 的河岸相交于M，作MN 垂直于另一条
河岸，则MN BB′
∥
且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′
最短，即AM+BN 最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A 的河岸相交于M，作MN 垂
直于另一条河岸，则MN BB′
∥
且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN 最短．
AB
∵
＝10 千米，BC＝1+3+4＝8 千米，∴在RT△ABC 中，
，
在RT△AB′C 中，B′C＝1+3＝4 千米，∴AB′＝
千米；故选A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，
需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，
往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，
，
，C 是
的中点，点D 在第二象
限，且四边形
为矩形，P 是
上一个动点，过点P 作
于H，Q 是点B 关于点A 的对称点，
则
的最小值为 ．
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【答案】6
【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考
常见题型．连接
，根据
、
的坐标先确定
和
的长，证明四边形
是矩形，得
，再证明四边形
是平行四边形，则
，在
中，
是定值，
所以只要
的值最小就可以，当
、
、
在同一直线上时，
的值最小，利用平行四边形
的性质求出即可．
【详解】解：如图，连接
，
，
，
，
，
是
的中点，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
要使
的值最小，只需
、
、
三点共线即可，
点
是点
关于点
的对称点，
，又
点
，根据勾股定理可得
，
此时，
，即
的最小值，6；故答案为：6
4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形
中，
，
是
的中点，线段
在边
上左右滑动；若
，则
的最小值为____________．
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【答案】
【分析】如图，作G 关于AB 的对称点G'，在CD 上截取CH=1，然后连接HG'交AB 于E，在EB 上截取
EF=1，此时GE+CF 的值最小，可得四边形EFCH 是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定
理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G 关于AB 的对称点G'，在CD 上截取CH=1，然后连接HG'交AB 于E，在EB 上截取
EF=1，此时GE+CF 的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH 是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G 为边AD 的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴
，即
的最小值为
．故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF 最小时
E，F 位置是解题关键．
5．（2023 上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形
内接于⊙O，线段
在对角线
上运动，若⊙O 的周长为
，
，则
周长的最小值是 ．
【答案】
/
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【分析】过点
作
，令
；可推出四边形
为平行四边形，有
；根据
可知当
时，
周长有最小值.
【详解】解：过点
作
，令
∵⊙O 的周长为
，∴⊙O 的半径为∴
∵
且
∴四边形
为平行四边形
∴
由正方形的对称性可得：
∴
∴
故：当
时，
周长有最小值
此时：
∴
周长的最小值是
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当
时，
周长有最
小值是解题关键．
6．（2023 秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为
的正方形
中将
沿射线
平移，
得到
，连接
、
．求
的最小值为______．
【答案】
【分析】将△ABC 沿射线CA 平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE 和四边形EGCD 均
为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当
点C′、E、D 在同一直线时，C′E+ED 最小，由勾股定理求出C′D 的值即为EC+GC 的最小值．
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【详解】如图，将△ABC 沿射线CA 平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
AB GE DC
∵
∥
∥
且AB=GE=DC，∴四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形，
AE BG
∴
∥
，CG=DE，∴AE CC′
⊥
，由作图易得，点C 与点C′关于AE 对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D 在同一直线时，C′E+ED 最小，
此时，在Rt
C′D′E
△
中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=
，
即EC+GC 的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将
两条线段的和转化为同一条线段求解．
7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形
中，点E、F 是对角线
上的两点，
，
，点G 是边
的中点．当
取最小值时，
的值为 ．
【答案】2
【分析】取
的中点
，连接
．根据点
是边
上的中点，则
，推出四边形
是平行四边形，所以
，因此
，当
、
、
三点在同一直线上时，
最小，即
，由
，
推出
，代入计算得
出答案．
【详解】解：如图，取
的中点
，连接
．
淘宝：学思创想
∵点
是边
上的中点，∴
是
的中位线，∴
．
∵
是矩形，
，∴
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴四边形
是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴
，∴
，∴当
、
、
三点在同一直线上时，
最小，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
，故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，三角形中位线，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质，
相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中，证明
是解题的关键．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形
中，
，
，
是
边上一动点，过点
作对角线
的垂线，分别交
于点
、交直线
于点
，则点
在运动过程中，
的最
小值是 ．
【答案】
/
【分析】过点
作
交
于
，过点
作
，使
，连接
，
，推出
的最小值为
的长度，
为定值，再分别求出
、
的长度即可．
【详解】解：过点
作
交
于
，过点
作
，使
，连接
，
，如下
图，
淘宝：学思创想
∴四边形
是平行四边形，∴
，
，∴
，
即
取最小值为
的长度，∵四边形
是矩形，
，
，
∴
，
，
,
，
，
∴
，∵
，
，
∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
，
∵
，∴
，
，∴
，
∴
，∴
，
又∵
，∴
,∴
，即
，解得
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，即
的最小值为
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、
三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
9．（2024·广东广州·三模）如图，正方形
内接于
，线段
在对角线
上运动，若
的面积
为
，
，则（1）
的直径长为 ；（2）
周长的最小值是 ．
【答案】
4
淘宝：学思创想
【分析】（1）根据正方形
内接于
，得到
是
，根据
，解得
（舍去），解得即可．
（2）根据正方形的性质，得到点A 与点C 是对称点，连接
，交
于点O，连接
，则
，
过点C 作
，连接
，则四边形
是平行四边形，继而得到
，
继而得到
，结合
，故当
三点共线时，
取得最小值，
得到
周长的最小值．
【详解】（1）∵正方形
内接于
，∴
是
的直径，∴
，
解得
（舍去），故答案为：
．
（2）根据正方形的性质，得到点A 与点C 是对称点，
，
连接
，交
于点O，连接
，则
，
过点C 作
，连接
，则四边形
是平行四边形，
∴
，∴
，∵
，
故当
三点共线时，
取得最小值，得到
周长的最小值．
∵
，∴
，∴
，
故
周长的最小值为4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式的应用，圆的性
质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用是解题的关键．
10．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
，与
轴的
淘宝：学思创想
一个交点为点
，点
在抛物线对称轴左侧，线段CD 在对称轴上，
，则四边形
周长的最小
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点
的坐标和
再证明四边形
是平行四边
形，得出
，结合两点之间线段最短，故四边形
的周长是
，运用两点
距离公式列式计算，得出
，代入计算即可作答．
【详解】解：∵抛物线
与
轴交于点
，与
轴的一个交点为点
，
∴当
时
，∴点
的坐标是
，当
时，则
，∴
，
设抛物线与
轴的另外一个交点为M，∴
∴对称轴
；则
过点M 作
轴，且
，
∵
轴，线段CD 在对称轴上，∴
∵
∴四边形
是平行四边形∴
连接
与对称轴
相交于一点，即为点D 的位置，再连接
淘宝：学思创想
∵
对称轴
，线段CD 在对称轴上，
∴
∴
此时四边形
周长有最小值
即
∵
∴
则
则
∴四边形
周长的最小值为
故答案为：
11．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边
的边长为3，点D 在边
上，
，线段
在边
上运动，
，有下列结论：①
与
可能相等；②
与
可能相似；③四边形
面
积的最大值为
；④四边形
周长的最小值为
，其中，正确结论的序号为 .
【答案】②③/③②
【分析】①根据三角形三边之间的关系得
，进而得
，同理得
，即
，进而得
，由此得
与
不可能相等．
②假设
与
相似，设
，利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出x 的值，再与x 的
取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；
③过P 作
于E，过D 作
于F，过C 点作
于G 点，利用函数求四边形面积的最
大值．设
，可表示出
，
，可用函数表示出
，
，再根据
，依据
，即可得到四边形面积的最大值；
淘宝：学思创想
④作D 点关于直线
的对称点
，作
，且
，连接
交
于P 点，将P 点沿射线
平移
得Q 点，连接
、
、
，则可得四边形
是平行四边形．进而可得则四边形
的周长
，此时四边形
的周长最小，计算出
，根
据勾股定理即可求出
的值，进而可得四边形
周长的最小值，即可得解．
【详解】①在
中，
，
，
，即
，
当Q 点与A 点重合时
，
．
在
中，
，
，
，
，
，
当P 点与B 点重合时
，
．综上，当Q 点与A 点重合时，
；
当P 点与B 点重合时，
；当P、Q 不与A、B 重合时
．
∴
与
不可能相等，故①错误．
②设
，
，
，
，
．假设
与
相似，
，
，
，整理得，
，解得：
，
，
，∴
或1.5 都符合题意， ∴
与
可能相似，故②正确．
③如图，过P 作
于E，过D 作
于F，过C 点作
于G 点．
设
，则
，
．
淘宝：学思创想
，
，
．
，
，
，
．
中，
，
，
，
，
，∵S 随x 的增大而增大，∴当x 取最大值2.5 时，S 的值最大，
，故③正确．
④如图，作D 点关于直线
的对称点
，作
，且
，连接
交
于P 点，将P 点
沿射线
平移
得Q 点，连接
、
、
，
则
，
，且四边形
是平行四边形，
，
则四边形
的周长
，
此时四边形
的周长最小．连接
，
，且
，
，
，
，且
，
．在
中，
，
∴四边形
的周长的最小值为
，故④错误．故答案为：②③
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等
知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形
中，对角线
与
交于点
，
，
是
淘宝：学思创想
的中点，
是对角线
上的一条动线段，若
的最大值为
，则
的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查正方形的性质，线段最值问题等知识点，正确作辅助线是解题关键．
过
点作
的平行线，过
点作
的平行线，两平行线交于点
，取
关于
的对称点
，连接
，
，
，根据三角形两边之查小于第三边即可得到
，在
中，利用勾股定理即可求得
答案．
【详解】解：如图，过
点作
的平行线，过
点作
的平行线，两平行线交于点
，取
关于
的
对称点
，连接
，
，
，
∵
，
，∴四边形
是平行四边形，∴
，
，
∵
关于
的对称点是
，
是
的中点，∴
是
的中点，即
在
中，
，∴
，
当
点运动到与点
，
在一条直线上的时候
，即
取到最大值
，即
，
∵
，
，∴
，∴在
中，
，
∴
，∴
．故答案为：1．
13．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边
长为4，E 是
的中点，P 是
上的动点，过点
P 作
，分别交
，
于点F，G．当
取最小值时，则
的长是 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】根据正方形的性质求得
与
，再由勾股定理求得
；过G 作
于G，，证明
得
，再将
沿
方向平移至
，连接
，当D、G、H 三点共线时，
的值最小，此时
为等腰直角三角形，得
，进而得
是等腰直角三角形，再证
得出
，进而即可得解．
【详解】过G 作
于M，则
，
，
∵正方形
的边长为4，∴
，
，
∵E 是
的中点，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
将
沿
方向平移至
，连接
，则
，
，
，
当D、G、H 三点共线时，
的值最小，
此时
为等腰直角三角形，∴
，∴
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，∴
．故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定
取最小值的位置．
14．（2024·四川广安·二模）如图，
是直线
上长度固定为1 的一条动线段．已知点
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称
最短路线问题．在
轴
上取点
，使
，则四边形
为平行四边形，作点
关于直线
的对称点
，则
，即
、
、
三点共线时，
最小值为
的长．
【详解】解：如图，在
轴上取点
，使
，则四边形
为平行四边形，
∵点
，
，
，
，
，
作点
关于直线
的对称点
，
，
，
，即
、
、
三点共线时，
最小值为
的长，
在
中，由勾股定理得
，∴
的最小值为
，故答案为：
．
淘宝：学思创想
15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形
中，
，
是对角线
上两点点
靠近点
，
且
，当
的最小值为
时，
的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移
至
，则
，连接
，得出四边形
是平行四边形，则
，
，根
据题意可得
，在
中，勾股定理求得
，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，平移
至
，则
，连接
,
∴四边形
是平行四边形，∴
，
，
∵
，∴
∵在正方形
中，
，
是对角线
上两点
∴
∴
在
中，
∴
故答案为：
．
16．（23-24 九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系
中，点A 是直线
上一动点，
淘宝：学思创想
将点A 向右平移1 个单位得到点B，点
，则
的最小值为 ，此时点B 坐标为 ．
【答案】
【分析】设
，
，即将C，O 均向左移动一个单位，可证四边形
和四边形
是平
行四边形，得
，这样
的最值问题转化为
最值问题，作D 点关于直线
的对称点E，连接
，由对称性可证
的最小值为
，即
的最小值为
，求
出一次函数与坐标轴的交点，并求出
，
，在
中，即
可取出
，由同角的余角相等，可证
，由解直角三角形，
在
中，
，
，再由勾股定理
即可求出
；求出直线
的解析式，并与直线
联立，求出交点A，由平移即可求出B 点坐标；
【详解】如图，设
，
，作D 点关于直线
的对称点E，连接
交直线
于
A，连接
，
交直线
于G，作
轴于S，
淘宝：学思创想
将点A 向右平移1 个单位得到点B，
，
，
，
轴，
四边形
和四边形
是平行四边形，
，
点D，E 关于直线
对称，
，
，
，
，
的最小值为
，
令
，得
，解得
，
，
，
，
令
，得
，
，
，在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，在
中，
，
设直线
的解析式为
，把
，
代入得，
，解得
，
直线
的解析式为
，
淘宝：学思创想
联立
，解得
，
，
．故答案为：
，
．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的性质、勾股定理的应用，一次
函数与方程的关系，解直角三角形，解题的关键是通过转化思想的运用，证得
的最小值为
．
17．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点
，
，
，将线段
沿x
轴向右平移得到
，连接
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】作
，且使
，连接
．作点
关于x 轴的对称点C'（0，-3），连接
交x 轴于点W，连接
，推出当点
在点W 处时，
最小，最小值是
的长，再利用勾股定
理求出
的长即可．
【详解】解：如图，作
且使
，连接
，
∴四边形
是平行四边形，
，
，
∵点
，
，∴设点
1），∴点
．
作点
关于x 轴的对称点
连接
，
，
交x 轴于点W，
，∴当点
在点W 处时，
最小，最小值是
的长．
，
的最小值是
故答案为
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，平面直角坐标系中的平移，平行四边形的判定与性质，勾股定理，
能灵活运用平移和轴对称构造将军饮马模型是解题的关键．
18．（2023 上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在
中，
，点D，E 分别是
的中点．若点M，N 分别是
和
上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A 到B 的路径
最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A 作河
岸的垂线，使
，
为河宽，连接
，
与河的一岸交于点N，此时在点N 处建桥，可使从A
到B 的路径
最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形
中，
．E、F 分别在
上，且满足
，
．若边长为10 的正
方形
在线段
上运动，连接
，当
取值最小时，求
的长．
【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38 或14
【分析】（1）连接
，过点A 作
于点F，根据两点之间线段最短，可得当
时，
最
短，此时点N 与点F 重合，即
的最小值为
的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据题意可得四边形
为平行四边形，从而得到
，再根据“两点之间线段最短”，当
淘宝：学思创想
点
，N，B 三点共线时，
最短，即可求解；
（3）过点N 分别作
，分别交
于点H，G，连接
交
于点T，过点G 作
于点X，则
，
，证明四边形
，四边形
都是平行四边形，
可得
，从而得到当点H，T，G 三点共线时，
的
值最小，此时点N 与点T 重合，然后证明
，可得
，可求得
的长；过点Q 分别作
，分别交
于点K，L，连接
交
于点S，当点K，S，L 三点共线时，
的值最小，此时点N 与点S 重合，同理可求出
的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接
，过点A 作
于点F，∴
，
当
时，
最短，此时点N 与点F 重合，即
的最小值为
的长，
∵
，∴
，∴
，
∴
的最小值为3；故答案为：3
（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：
，
，
∴四边形
为平行四边形，∴
，
根据“两点之间线段最短”，当点
，N，B 三点共线时，
最短，
∵
为河宽，∴在点N 处建桥，可使从A 到B 的路径
最短．
（3）如图，过点N 分别作
，分别交
于点H，G，连接
交
于点T，过点
G 作
于点X，则
，
，
淘宝：学思创想
根据题意得：
，
，
∴四边形
，四边形
都是平行四边形，
∴
，∴
，
即当点H，T，G 三点共线时，
的值最小，此时点N 与点T 重合，
∵
，∴
，
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，解得：
，
∴
；
如图，过点Q 分别作
，分别交
于点K，L，连接
交
于点S，当点K，S，
L 三点共线时，
的值最小，此时点N 与点S 重合，同理
；
综上所述，当
取值最小时，
的长为38 或14．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，两点
之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利
用类比思想解答是解题的关键．
19．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，
3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)连接AC、BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当
S△NBC=S△ABC时，求N 点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C 作直线l∥x 轴，动点P（m，3）在直线l 上，
动点Q（m，0）在x 轴上，连接PM、PQ、NQ，当m 为何值时，PM+PQ+QN 最小，并求出PM+PQ+QN 的
最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M 坐标为（1，4）；(2)点N 坐标为（4，-5）；
(3)当m=
时，PM+PQ+QN 有最小值，最小值为3
+3．
【分析】（1）将点A、B、C 坐标代入解析式，解关于a、b、c 的方程组可得函数解析式，配方成顶点式
即可得点M 坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C 坐标用含t 的代数式表示出直线CN 解
淘宝：学思创想
析式，求得CN 与x 轴的交点D 坐标，即可表示BD 的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=
AB•OC 建立关于t 的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3 个单位得到点M′（1，1），连
接M′N 交x 轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N 三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN 取最小值，由点
M′、N 坐标求得直线M′N 的解析式，即可求得点Q 的坐标，据此知m 的值，过点N 作NE∥x 轴交MM′延长
线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3
，即M′Q+QN=3
，据此知m=
时，PM+PQ+QN 的最小值为3
+3．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴
，解得：
，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）
2+4，则抛物线的顶点M 坐标为（1，4）；
（2）解：∵N 是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3），
又点C（0，3），设直线NC 的解析式为y=k1x+b1，
则
，解得：
，∴直线NC 的解析式为y=（-t+2）x+3，
设直线CN 与x 轴交于点D，当y=0 时，x=
，∴D（
，0），BD=3-
，
∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=
AB•OC，即
BD•|yC-yN|=
[3-（-1）]×3，
即
×（3-
）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去），
当t=4 时，-t2+2t+3=-5，∴点N 坐标为（4，-5）；
（3）解：将顶点M（1，4）向下平移3 个单位得到点M′（1，1），连接M′N 交x 轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x 轴，且PQ=OC=3，
淘宝：学思创想
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP 是平行四边形，∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N 三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN 取最小值，
设直线M′N 的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），
将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：
，解得：
，
∴直线M′N 的解析式为y=-2x+3，当y=0 时，x=
，∴Q（
，0），即m=
，
此时过点N 作NE∥x 轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN 中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，
∴M′N=
， ∴M′Q+QN=3
，∴当m=
时，PM+PQ+QN 的最小值为3
+3．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边
形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q 的位置．
20．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有
，
两个工厂，
，
到公路的垂直距离分别为
和
，
，
之间的水平距离为
．现需把
厂的产品先运送到公路
上然后再转送到
厂，则最短路线的长是_____
．
问题探究（2）如图（2），
和
是腰长为2 的两个全等的等腰直角三角形，
，点
，
重合，点
，
重合，将
沿直线
平移，得到
，连接
，
．试探究在平移过程中，
是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B 分别是河岸m 一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和
，
，
的水平距离是
．游客在景点
游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行
到达码头乙，再乘坐大巴到达景点
．请问码头甲，乙建在何处才能使从
到
的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．
【答案】（1）
（2）存在，最小值为
（3）最短路线长为
【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径
，再利用矩形的性质，求出
和
的距离，最
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后利用勾股定理即可求出最短路径；
（2）根据平移的性质可知四边形
和
均为平行四边形，再利用最短路径作法得出
即为最短
距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；
（3）根据题意画图可知四边形
为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点
是公路上的一点， 假设先把产品运送到点
处， 再转送到
厂， 作点
关于 的 对称点
， 连接
，
， 连接
交于点
，
则
，
，
当点
与点
重合时，
取得最小值， 为
的长．
连接
， 交于点
， 过点
作
于点
， 过点
作
， 垂足为点
，
则
，
四边形
是矩形，
，
，
又
，
，
即最短路线的长是
．故答案为：
．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点
作直线
， 作点
关于直线
的对称点
， 连接
，
，
交直线
于点
， 过点
作
交直线
于点
， 连接
，
，
， 则
．
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由平移知
，
．又
，
四边形
是平行四边形，
，
由平移知
，
又
，
四边形
是平行四边形，
当点
与点
重合时，
最小， 最小值为
的长．
过点
作
交
的延长线于点
， 则
为等腰直角三角形．
，
，
，
的最小值为
．故答案为：存在，最小值为
．
（3） 如图 （3），设码头乙为点
， 码头甲为点
， 连接
，
，
过点
作
， 且
， 作点
关于
的对称点
， 连接
交
于点
．
连接
， 则
．
是平行四边形，
，
点
，N 重合时，旅游路线最短．
过点
作直线
， 过点
作
于点
，
则
，
，
，
，
．故答案为：最短路线长为
．
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、
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等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
