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专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
....................................................................................................................................................2
模型1.将军遛马模型.......................................................................................................................................2
模型2.将军造桥（过桥）模型.......................................................................................................................6
..................................................................................................................................................12
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模型1.将军遛马模型
将军遛马模型：已知A、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧，且PQ 间长度恒定，
在直线m 上要求P、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
点A、B 在直线m 异侧（图1-1）；点A、B 在直线m 同侧 （图1-2）；
m
A
B
Q
P
图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A 点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m 于Q，Q 向左平移
PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。
∵PQ 为定值，∴求PA+PQ+QB 的最小值，即求PA+QB 的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC 为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB 的最小值为CB，故PA+PQ+QB 的最小值=PQ+CB.
m
A
B
C
Q
P
m
A
B
B'
E
Q
P
图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A 点作AE∥m,且AE=PQ，作B 关于m 的对称点B’，连接B’E，交
直线m 于Q，Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。
∵PQ 为定值，∴求PA+PQ+QB 的最小值，即求PA+QB 的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE 为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
m
A
B
Q
P
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再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB 的最小值=PQ+EB’。
例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F 在对角线AC 上（点
E 在点F 的左侧），且EF＝1，则DE+BF 最小值为________
例2．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2 的正方形
中，点E、F 是对角线
上的两个动点，
且始终保持
，连接
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1 的菱形
中，
，将
沿射线
的
方向平移得到
，分别连接
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形
中，
，
是对角线
上两点点
靠近点
，
且
，当
的最小值为
时，
的长为 ．
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模型2.将军造桥（过桥）模型
将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸
建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB 的值最小）。
河
B 军营
A
将军
N
M
A'
河
B 军营
A
将军
N
M
图2-1 图2-2
将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A 点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC 为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN 为定值，∴求AM+MN+NB 的最小值，即求AM+NB 的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB 的最小值为A’B，故AM+MN+NB 的最小值=A’B+MN。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，
中，
，
，
，
，
；垂足分别为点F 和E．点G 和H 分别是
和
上的动点，
，那么
的
最小值为______．
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例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在
中，
．如果在三
角形内部有一条动线段
，且
，则
的最小值为________．
例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形
的边长为4，点
是对角线
上两动点，且
，将点
沿
的方向平移2 个单位得到点
，连接
、
．
(1)①四边形
的形状为_____________；
②连接
、
，当点
，
，
共线时，
的值为_____________．
(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生
存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“
”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿
地，在支流1 的左上方有一村庄
，支流2 的右下方有一开发区
，为促进当地的经济发展，经政府决定
在支流1 和支流2 上分别修建一座桥梁
、
（支流1 的两岸互相平行，支流2 的两岸也互相平行，桥
梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄
到开发区
理论上的最短路程吗？（即
和的最小值）．经测量，
、
两地的直线距离为2000 米，支流1、支流2 的宽度
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分别为
米、250 米，且与线段
所夹的锐角分别为
、
．
1．（2023 安徽中考学二模）如图，菱形ABCD 的边长为2
，∠ABC＝60°，点E、F 在对角线BD 上运
动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF 周长的最小值是（ ）
A．4
B．4+
C．2+2
D．6
2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B 两个村庄，河宽为4 千米，A、B 两村庄的直线距离AB
＝10 千米，A、B 两村庄到河岸的距离分别为1 千米、3 千米，计划在河上修建一座桥MN 垂直于两岸，M
点为靠近A 村庄的河岸上一点，则AM+BN 的最小值为( )
A．2
B．1+3
C．3+
D．
3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，
，
，C 是
的中点，点D 在第二象
限，且四边形
为矩形，P 是
上一个动点，过点P 作
于H，Q 是点B 关于点A 的对称点，
则
的最小值为 ．
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4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形
中，
，
是
的中点，线段
在边
上左右滑动；若
，则
的最小值为____________．
5．（2023 上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形
内接于⊙O，线段
在对角线
上运动，若⊙O 的周长为
，
，则
周长的最小值是 ．
6．（2023 秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为
的正方形
中将
沿射线
平移，
得到
，连接
、
．求
的最小值为______．
7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形
中，点E、F 是对角线
上的两点，
，
，点G 是边
的中点．当
取最小值时，
的值为 ．
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8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形
中，
，
，
是
边上一动点，过点
作对角线
的垂线，分别交
于点
、交直线
于点
，则点
在运动过程中，
的最
小值是 ．
9．（2024·广东广州·三模）如图，正方形
内接于
，线段
在对角线
上运动，若
的面
积为
，
，则（1）
的直径长为 ；（2）
周长的最小值是 ．
10．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
，与
轴
的一个交点为点
，点
在抛物线对称轴左侧，线段CD 在对称轴上，
，则四边形
周长的最
小值为 ．
11．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边
的边长为3，点D 在边
上，
，线段
在边
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上运动，
，有下列结论：①
与
可能相等；②
与
可能相似；③四边形
面
积的最大值为
；④四边形
周长的最小值为
，其中，正确结论的序号为 .
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形
中，对角线
与
交于点
，
，
是
的中点，
是对角线
上的一条动线段，若
的最大值为
，则
的长为 ．
13．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边
长为4，E 是
的中点，P 是
上的动点，过点
P 作
，分别交
，
于点F，G．当
取最小值时，则
的长是 ．
14．（2024·四川广安·二模）如图，
是直线
上长度固定为1 的一条动线段．已知点
，
，则
的最小值为 ．
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15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形
中，
，
是对角线
上两点点
靠近点
，
且
，当
的最小值为
时，
的长为 ．
16．（23-24 九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系
中，点A 是直线
上一动
点，将点A 向右平移1 个单位得到点B，点
，则
的最小值为 ，此时点B 坐标为
．
17．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点
，
，
，将线段
沿x
轴向右平移得到
，连接
，
，则
的最小值为 ．
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18．（2023 上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在
中，
，点D，E 分别是
的中点．若点M，N 分别是
和
上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A 到B 的路径
最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A 作河
岸的垂线，使
，
为河宽，连接
，
与河的一岸交于点N，此时在点N 处建桥，可使从A
到B 的路径
最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形
中，
．E、F 分别在
上，且满足
，
．若边长为10 的正
方形
在线段
上运动，连接
，当
取值最小时，求
的长．
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19．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，
3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)连接AC、BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当
S△NBC=S△ABC时，求N 点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C 作直线l∥x 轴，动点P（m，3）在直线l
上，动点Q（m，0）在x 轴上，连接PM、PQ、NQ，当m 为何值时，PM+PQ+QN 最小，并求出
PM+PQ+QN 的最小值．
20．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有
，
两个工厂，
，
到公路的垂直距离分别为
和
，
，
之间的水平距离为
．现需把
厂的产品先运送到公路
上然后再转送到
厂，则最短路线的长是_____
．
问题探究（2）如图（2），
和
是腰长为2 的两个全等的等腰直角三角形，
，点
，
重合，点
，
重合，将
沿直线
平移，得到
，连接
，
．试探究在平移过程中，
是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B 分别是河岸m 一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和
，
，
的水平距离是
．游客在景点
游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行
到达码头乙，再乘坐大巴到达景点
．请问码头甲，乙建在何处才能使从
到
的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．
