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第1页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 数学试题 一、选择题（本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置 ．．．．．．．上） 1. 6 的相反数是（ ） A. 1 6 B. 1 6 − C. 6 D. 6 − 2. 下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026 年“五一”假期期间，我市接待游客突破608 万人次，同比增长20.51% ．数据“608 万”用科学记 数法可表示为（ ） A. 4 608 10 B. 5 6.08 10 C. 6 6.08 10 D. 7 0.608 10 4. 如图，数轴上的点A，B，C 分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（ ） A. a c B. b c C. a b D. c a b + 5. 已知 9 5 p = + ，以下对p 的值估算正确的是（ ） A. 3 4 p B. 4 5 p C. 5 6 p D. 6 7 p 6. 如图，扇形OAB ，点C 在AB 上．若 60 AOB = ，则∠𝐴𝐶𝐵 的度数是（ ） A. 150° B. 140 C. 130° D. 120 7. 下列命题为真命题的是（ ） ①若𝑎2 = 𝑏2，则𝑎= 𝑏 ；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5 的整数，能被5 整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． 第2页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 A. ①②⑤ B. ③④ C. ④⑤ D. ①③ 8. 如图，四边形ABCD中，AB CD ，𝐴𝐵= 10 ， 4 DC = ， 5 AD BC = = ．点P 从点A出发，以每秒 1个单位长度的速度沿A D C B → → → 的路径向终点B 运动，同时点Q 从点A出发，以同样速度沿边AB 向终点B 运动．设APQ 的面积为S ，运动时间为t （s ），则S 关于t 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．不需要写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置 ．．．．．．．上） 9. 不等式 1 0 x− 的解集是___________． 10. 分解因式： 2 4 a − = ______． 11. 要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10 次测试，他们的平均成绩都是89.5 分，方 差分别是 2 1.6 S = 甲 ， 2 2.5 S = 乙 ， 2 3.58 S = 丙 ，你认为派____（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 12. 如图，在 ABCD 中， 3 AB = ， 2 AD = ，∠𝐵𝐴𝐷 的平分线交CD于点E，则CE = ____． 13. 取一张矩形纸片ABCD（图1），按如图2 所示方式折叠，使点A 落在CD 上，折痕为DE ，再按如图 3 所示方式折叠，点C 与点E 恰好重合，则AB BC = ____． 第3页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个反比例函数 6 y x = − 和 2 y x − = 在第二象限内的图象依次为 1 C ， 2 C ．已知点P 在 1 C 上，点A，B 在 2 C 上，且PA x ⊥ 轴，PB y ⊥ 轴，则四边形𝑂𝐴𝑃𝐵 的面积为____． 15. 若a、b、c 是三个不为零的实数，且𝑎2 = 𝑏𝑐 ，则𝑐2−𝑎2 𝑏2 的最小值为____． 16. 如图，菱形ABCD中，∠𝐵𝐶𝐷= 60° ，𝐶𝐷= 6 ，点P 在边CD上，且𝑃𝐶= 2 ，Q 为边BC 上的动点， 点C 关于PQ 的对称点为C．若△𝐶′𝐴𝐷 、△𝐶′𝐵𝐷 的面积分别记为𝑆△𝐶′𝐴𝐷、𝑆△𝐶′𝐵𝐷，则𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷 的最大值为____． 三、解答题（本大题共11 小题，共102 分．请在答题卡指定区域内 ．．．．．．．．作答，解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算( ) ( ) 1 3 0 3 1 2 2026 π 3 − + + − ． 18. 解方程( ) 1 8 8 x x x − = − ． 19. 先化简 2 2 2 4 4 a a a a a a − − + + ，再从3，−1 ，2 中选取一个合适的数代入求值． 20. 如图，在矩形ABCD中，点E，F 分别在AD，BC 上，且BE DF = ．求证：四边形BFDE是平行四 边形． 第4页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 21. 6 月5 日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．为了解某市 的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30 天的空气质量，并对空气质量指数 ( ) W 进行了统计分析． 【收集数据】 43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92 60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60 【整理数据】 规定： 50 W 时，空气质量为优；50 100 W 时，空气质量为良；100 150 W 时，空气质量为轻微 污染． 空气质量 频数（天数） 频率 优 12 0.4 良 a 0.5 轻微污染 3 b 合计 30 1.0 【分析数据】 此组数据的平均数是62.5，众数是 c ，中位数是60． 【解决问题】 （1）填空：a = ，b = ，𝑐= ； （2）请估计该城市这一年（365 天）中有多少天空气质量达到优； （3）根据上述统计分析情况，写一条你的想法． 22. 我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP 形象．小明将关于地域特产的4 个IP 形象（A 云雾茶、B 豆丹、C 沙光鱼、D 东海水晶），制作成4 个玩具盲盒，每个盲盒中只有1 个IP 形 象玩具． 第5页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 （1）若从这4 个盲盒中随机抽取1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件 （2）若从这4 个盲盒中随机抽取2 个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东 海水晶”的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点分别为 ( ) 6,0 A − ， ( ) 10,0 B ， ( ) 4,10 C ， ( ) 0,8 D ．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）在CD边上作一点P，使PA PB = ，此时点P 的坐标为 ； （2）在BC 边上作一点Q，使 QAD △ 和QOB 的面积相等． 24. 某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买 100 亩，价一万．其大意为：今有好田1 亩价值300 钱；坏田7 亩价值500 钱．今买好田、坏田共100 亩， 价值10000 钱． （1）求好田、坏田各买了多少亩？ （2）现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50 亩，好田的总产量为3000 kg ，坏田的总产量为 6000 kg ，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3 倍，求好田的平均亩产量？ 25. 【生活观察】 第6页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 （1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心 圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2 所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的 圆心的距离）𝐴𝐵= 1.5m ，前轮转向角即∠𝐶𝐵𝐷= 30° ，则旋转半径OB = _____m ． 【类比探究】 （2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行 驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行 驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽AB 约为2m ，轴心距BC 约为3m ．转弯时，若右前轮的转向角即∠𝐸𝐶𝐹= 20.6° ， 求此时左前轮的转向角∠𝐺𝐷𝐻 的度数． （参考数据：tan20.6° ≈ 3 8，tan26.6° ≈ 1 2，sin20.6° ≈ 9 25，tan33.6° ≈ 2 3，tan18.5° ≈ 1 3） 【综合实践】 （3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C ，D 与直角拐 点Q 共线位置时，其俯视图如图5 所示．若路宽均为5m ，车辆左侧与实线PQ 的距离为1m ．现右前轮 欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sin𝜃 的范围． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 ( ) 2 y x m m = − − （m 为常数）与x 轴交于点A，B，点A 位于点B 的左侧，与y 轴交于点C．若将抛物线向右平移1 个单位，或向左平移3 个单位，都经过点( ) 3,0 ． 第7页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 （1）直接写出抛物线和直线BC 对应的函数表达式； （2）若平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点 ( ) 1 1 , M x y ， ( ) 2 2 , N x y ，与直线BC 交于点 ( ) 3 3 , Q x y ，且 1 3 2 x x x ，求 2 2 2 1 2 3 x x x + + 的取值范围； （3）设抛物线的顶点为D，连接AC ，在x 轴上找一点P，使以点P，B，D 为顶点的△𝑃𝐵𝐷 与ABC 相 似，求点P 的坐标． 27. 【问题情境】 （1）在锐角ABC 中，求作一点P，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶 的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图1，以AC 为边向外作等边三角形ACD ，再作△𝐴𝐶𝐷 的外接圆 O ，连接BD， 与 O 交于点P．则点P 即为求作的点． 在PD上取一点P，使𝑃𝑃′ = 𝐴𝑃 ，连接𝐴𝑃′，在 O 中，根据“同弧所对的圆周角相等”， 得∠𝐴𝑃𝑃′ = ① = 60° ，故△𝐴𝑃𝑃′是等边三角形．所以𝐴𝑃= 𝑃𝑃′． 进而可证得△𝐴𝐷𝑃′ ≌△𝐴𝐶𝑃 ．所以𝐶𝑃= 𝐷𝑃′． 所以𝑃𝐵+ 𝑃𝐴+ 𝑃𝐶= 𝐵𝑃+ 𝑃𝑃′ + 𝑃′𝐷= 𝐵𝐷 ． 由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得， BD的长即为𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶 的最小值． 【方法迁移】 （2）如图2，已知点A，B 到直线l 的距离𝐴𝐸= 𝐵𝐹= 4 ，𝐸𝐹= 6 ．在图中找一点P，使点P 到点A、点 B、直线l 的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，若村庄A，B，C，D 的连线构成一个矩形，且AB a = ，𝐵𝐶= 𝑏 （𝑎< 𝑏< √3𝑎 ）． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方 案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b 的代数式表示）． 第8页/共8页 学科网（北京）股份有限公司
