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易混易错8 解多选题时选项干扰因素分析不明（小题狂
练）
一.多选题.
【2025 湖北期末】
1．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．
D．当
取得最大值时，
【答案】BC
【分析】设等差数列
的公差为
，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出
，
，即可对选项逐一判断.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由题意可得：
，
，
即
，
，且
，即B、C 正确；
因
，故数列
是递减数列，故A 错误；
因
，
，即当
取得最大值时，
，故D 错误.
故选：BC.
【2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题】
2．设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】求出函数
的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；
根据函数
在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函
数
的极小值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
【2025 上安徽合肥期末】
3．已知直线
，圆
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则l 与圆C 相切
B．若l 与圆C 相交，则
C．圆C 可能关于l 对称
D．若
，则l 被圆C 截得的弦长为4
【答案】AD
【分析】利用点到直线距离公式计算判断直线与圆的位置关系判断A，B，结合圆心能否
在直线上判断C，应用几何法求弦长判断D 选项．
【详解】直线l 过定点
，圆C：
，所以圆心为
，半径为
对于A，若
，则圆心
到直线
的距离
，所以l 与圆C 相
切，故A 正确；
对于B，依题意，由圆心
到直线
的距离
，解得
或
，故B 错误；
对于C，将
到代入l 的方程，得
不成立，故l 不能经过圆心C，则圆C 不可
能关于l 对称，故C 错误；
对于D，若
，圆心
到直线
的距离为
，则弦长为
，故D 正确．
故选：AD.
【2025 浙江温州模拟预测】
4．如图所示，“田”字型方格是由4 个边长为1 的正方形组成，A，B，C，D 为其中的4
个格点，在9 个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于
的事件是（ ）
A．
B．
C．
D．在
条件下，
【答案】BD
【分析】根据
可得
，即可求解A，根据夹角以及共线即可求解B，
根据垂直即可求解C，根据模长求解个数，找出满足平行关系的，即可根据条件概率求解
D.
【详解】由于向量是有方向和大小的量，所以在9 个格点中依次取不同的两点
共有
个不同的向量，
对于A，
，由于
，故
，且
方向相同，
所以
只能在
只能在
,只有这一种情况，故
，A 错误，
对于B，由于
，
所以
可以为
共18
种，
所以
，B 正确，
对于C，
，则
，
故
可以为
共4 种，所以
，C 错误，
对于D，在
条件下，
可以为
共16 种,
满足
有
，故概率为
，D 正确，
故选：BD
【2024 福建福州模拟预测】
5．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用赋值法令
可计算得出A 正确，令
可知C 错误，求出展开式中一次
项的系数，经计算可得B 错误；构造方程组计算可得D 正确.
【详解】对于A，令
，即可得
，可得A 正确；
对于B，因为展开式中
代表一次项系数，所以
的展开式中含有一次项
，可得
，即B 错误；
对于C，令
，即可得
，可得
，所以C 错误；
对于D，令
，即可得
，
得
，得
，即D 正确.
故选：AD
【2025 安徽模拟预测】
6．对于函数
，如果对于其定义域
中任意给定的实数
，都有
，并且
，则称函数
为“比翼函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数
是“比翼函数”
B．若函数
在
上为“比翼函数”，则
C．若函数
在
上为“比翼函数”，当
，
，则
，
D．若函数
在
上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在
上是单调递减函
数，记
，若
，则
【答案】ACD
【分析】对于选项A：利用“比翼函数”的定义即可判断；对于选项B：举出反例即可判
断；对于选项C：利用“比翼函数”的关系式
即可求得结果；对于选项
D：利用函数的单调性与奇偶性即可判断.
【详解】对于A，对于
，则
，
所以
，
则函数
是“比翼函数”，故A 正确；
对于B，取
，则
，
所以
，
此时
在
上为“比翼函数”，但
，故B 错误；
对于C，当
时，
，所以
，故C 正确；
对于D，因为函数
是
上的“比翼函数”，其函数值恒大于0，
且在
上是单调递减函数，所以
，
任取
且
，则
，
所以
，
，
所以
，所以函数
为
上的增函数，
因为
，故函数
为
上的奇函数，
当
时，即
，
则
，所以
，故D 正确.
故选：ACD
【2025 上江苏苏州期末】
7．设集合
，
，若
，则实数
的值可
能是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】ACD
【分析】根据题意分析可知
，分类讨论结合包含关系求实数
的取值范围.
【详解】因为
，
且
，则
，
对于
，则有：
若
，则
，符合题意；
若
，则
，可得
；
若
，则
，可得
；
综上所述：实数
的取值范围为
，
结合选项可知：ACD 正确，B 错误.
故选：ACD.
【2025 上浙江丽水期末】
8．已知函数
是以为最小正周期的周期函数，且当
时，
，
设
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
可以有两个解
B．当
时，
可以有一个解
C．当
时，
可以有四个解
D．当
时，
可以有三个解
【答案】ABD
【分析】根据函数
是以为最小正周期的周期函数，且当
时，
，即可作出
的部分草图，分析方程的解的个数，即分析函数图像交点
个数，然后数形结合，逐个选项判断即可.
【详解】因为当
时，
，
所以此区间的图像是开口向上，对称轴为
的抛物线的一部分，
且
，又
是以为最小正周期的周期函数，
所以当
时，
，
，
以此类推，则作
的部分草图如下，
对于A，当
时，
，
显然当
时，即可得到
有两个解，
，A 正确；
对于B，当
时，
，
显然
时，
有一个解，
，B 正确；
对于C，当
时，
，
若
，如图，
有三个解，
，
所以随着直线平移，即
，
则
不可能有四个解，C 错；
对于D，当
时，
，
如图当
时，
此时在
内有两个解，
所以随着直线下移，
可以有三个解，
且第三个解在
内，所以D 正确.
故选：ABD
【2025 上浙江台州期末】
9．函数
，则（ ）
A．
B．
的单调递增区间为
C．
最大值为
D．
有两个零点
【答案】ABD
【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即
可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D.
【详解】对于A，因
的定义域为
，则
，故A 正
确；
对于B，由
可得
，即
的单调递增区间为
，故B 正确；
对于C，由上分析，当
时，
；当
时，
.
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
时，
取得最小值
，故C 错误；
对于D，由上分析，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
而当
时，
；当
时，
，
由零点存在定理，可知函数
在区间
和
各有一个零点，故D 正确.
故选：ABD.
【2025 上云南昆明期末】
10．已知函数
部分图象如图所示，则下列说法正
确的是（ ）．
A．
B．
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向右平移
个个单位得到函数
的图象
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则m 的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由函数图象可得
，由
，解得
，故A 正确；
所以
，又函数过点
，即
，
所以
，
，即
，
，又
，所以
，
∴
，
对于B：当
时，
，
所以
的图象不关于点
对称，故B 错误；
对于C：将函数
的图象向右平移
个单位得到：
，故C 正确；
对于D：当
时，
，
令
，解得
，所以
在
上单调递增，
令
，解得
，所以
在
上单调递减，
又
，
，
，
故方程
在
上有且只有一个实数根时，则
的取值范围是
，
故D 错误．
故选：AC
【2025 上贵州黔西期末】
11．在平面直角坐标系
中，已知圆
：
，动圆M 与圆F 外切，且与直
线
相切．过F 的直线与M 的轨迹交于不同的两点A，B，则下列说法正确的是
（ ）
A．M 的轨迹方程为
B．若
，则
C．
的最小值为18
D．
与
的夹角的余弦值最小为
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出轨迹方程判断A；设直线直线
方程，与轨迹方程联立，
利用韦达定理并结合抛物线定义、基本不等式及向量夹角运算判断BCD.
【详解】对于A，由动圆M 与圆F 外切，与直线
相切，且圆
在直线
的右侧，
则点
在直线
右侧，设
，得
，
化简得
，所以M 的轨迹方程为
，A 错误；
，直线
不垂直于
轴，
设
方程为：
，
，
由
消去
得：
，则
，
对于B，由
，得
，解得
，
，
则
，B 正确；
对于C，
，
，当且仅当
时取等号，C 正确；
对于D，
，
，
当且仅当
时取等号，因此
，D 错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用直译法求出动圆圆心
的轨迹方程是求解的关键.
【2025 上浙江宁波期末】
12．已知函数
，数列
满足
，前
项和为
．则
（ ）
A．函数
的对称中心为
B．函数
为奇函数
C．不等式
的解集为
D．若
，
，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】A：计算
的和是否为
即可判断；B：设
，计算
的和是否为
即可判断；C：根据函数的单调性和对称中心即可判断；D：利
用数列求和得到
，再根据基本不等式求最小值即可.
【详解】
.
所以函数
关于
对称，A 正确；
令
，则
，
由A 知，
，所以
.
所以
不是奇函数，B 错误；
因为
，所以
因为
在R 上单调递增，所以
，
，C 正确；
由A 知，
，且
，
，
.
又因为
，所以
.
时，
，
当且仅当
即
，
，
时等号成立；
时，
，
当且仅当
即
，
，
时等号成立；
所以若
，
，则
的最小值为
，D 正确.
故选：ACD.
【2025 山东模拟预测】
13．在直平行六面体
中，
为棱
上的动点，
且
四点均在球
的球面上，则（ ）
A．
平面
B．存在点
，使
平面
C．存在点
，使
的周长为
D．球
的表面积为
【答案】BD
【分析】连接
，交
于点
，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法
即可判断A；根据平面
平面
，即可判断B；将平面
与平面
沿
展平，求出
周长的最小值即可判断C；设
为
的外心，连接
，由
，求出球心坐标，即可求出球的半径，从而可判断D.
【详解】由题意知直平行六面体
的底面
为菱形，
且
为等边三角形，如图，连接
，交
于点
，则
，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
过点
且与
平行的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
所以
，
．
因为
，
平面
，所以
与平面
不垂直，故A 错误；
对于B，连接
，
因为
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
同理
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
，
所以当点
与点
重合时，
平面
，故B 正确；
将平面
与平面
沿
展平，
可得当
三点共线时，
最小，且最小值为
，
所以
周长的最小值为
，故C 错误；
设
为
的外心，连接
，则
底面
，
设
，则由
，得
，
解得
，
所以球
的半径为
，
所以球
的表面积为
，故D 正确．
故选：BD.
【2025 上浙江宁波期末】
14．如图，圆锥SO 的底面圆直径为AB，
，
，D 为底面圆上的动点，则
（ ）
A．当直线SD 与AB 所成角为60°时，直线SD 与OC 所成角为30°
B．当直线SD 与AB 所成角为60°时，直线SD 与OC 所成角为60°
C．直线SD 与AB 所成角的最小值为45°
D．直线SD 与AB 所成角的最大值为60°
【答案】BC
【分析】作出两条异面直线所成的角求解即可判断AB，根据线面角的定义及性质可判断
CD.
【详解】过
作直线分别平行于
，交
分别为
，连接
，如图，
则
为直线
与
所成的角，即
，且
为直线
所成的角，
设
，则
，
在
中，
，
所以
，故A 错误，B 正确；
对于C、D，易知直线
与
所成角的最小值即为直线
与底面
所成角
，同时直线
与
所成角的最大值为直线
与
所成角
，
故D 错误，C 正确.
故选：BC
【2025 上辽宁大连期末】
15．已知抛物线
的焦点为
，经过点
且斜率为
的直线与抛物线
交于A，B 两点（点A 在第一象限），分别以A，B 两点为切点的两条切线交点为
，若
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
【答案】BCD
【分析】直线与抛物线
联立方程组，求出点
的坐标，由
，求得
，进
而求得
，即可判断AB，利用
求得两切线方程，进而求得点
的坐标，计算
可判断C；求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D.
【详解】如图，
，直线的斜率
，则设直线的方程为
，
联立得
，得：
，解得
．
由
，得
，故A 错误；
由于
，则
，故B 正确；
所以
，所以
，
，
又因为
在第一象限，故
在第四象限，
所以
，
，
所以
，
设过点
的切线方程为
，代入抛物线方程可得
，
整理得
，
由判别式等于0，整理可得
，解得
，
所以过点
的切线方程为
，即
①，
同理求得过点
的切线方程为
②，
联立①②可得
，所以
，又
，
所以
，故C 正确；
因为直线的方程为
，原点到直线的距离为
，
所以
，故D 正确．
故选：BCD．
【2024 江苏扬州中学检测】
16．已知复数
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
或
C．若
且
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.
【详解】对于A，若
，例如：
，则
，故A 错误；
对于B，若
，则
，所以
或
至少有一个成立，即
或
，故B 正确；
对于C，由
，则
，∵
，∴
，故C 正确；
对于D：若
，则
，故D 正确.
故选：BCD.
【易错指导】破解此类选择支中含有条件的选择题的关键是时条件认真审读，错误的只需
举出反例即可
17．把函数
的图象向右平移
个单位长度后，得到一个偶函
数的图象，则
的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】函数
的图象向右平移
个单位长度可得
，根据
是偶函数则可
得
，代入即可求解.
【详解】函数
的图象向右平移
个单位长度，
可得
，
根据
是偶函数则可得
，
故
，又因
，
当
时，
满足条件，则C 正确，
当
时，
满足条件，则D 正确，
故选：CD．
【2024 浙江宁波二模】
18．若平面向量
满足
且
，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最大值为5
C．
的最小值为2
D．
的最大值为
【答案】BD
【分析】由向量
方向间的关系，判断
的最大值和最小值；由
，通
过
的最值，计算
的最值.
【详解】当向量
方向相同，与方向相反时，满足
，
此时
有最小值
，A 选项错误；
当向量
方向相同时，满足
，
此时
有最大值
，B 选项正确；
，有
，即
，则
，
向量
方向相同时，
的最小值为0，
的最小值为3，C 选项错误；
向量
方向相反时，
的最大值为2，
的最大值为
，D 选项正确.
故选：BD
【易错指导】对于A，B，乍一看是对立的，其实不然，一个判断最大值一个判断最小值，
故需判断两次，C，D 也是一样的，读题要仔细
【原创】
19．已知
，则使得“
”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】对于A 由不等式的性质可判断；对于B 取特殊值可判断；对于C 不等式
可化为
，由
即可判断；对于D 根据
的单调性以及不等式的性质可判断
【详解】对于A，因为
，所以
得
,故
，故A 正确；
对于B，取
，此时满足
，但
，故B 错误；
对于C，由
可得
，即
，
当
时，
，
而
，故C 错误；
对于D，由
可知，
，因为
，所以
，故D 正确．
故选：AD
【易错指导】此类问题一是要分清是“谁推谁”，题眼“……的一个充分条件可以是”，
则“选项
题干”，切勿与必要各件弄混，否则容易错选B，C
【原创】
20．数列
中，
，记
的前
项和为
，则下列说法正
确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，赋值计算判断A；把
代入，赋值推理判断B；把
代入，
利用等差中项确定等差数列求解判断CD./
【详解】对于A，由
，
，得
，A 正确；
对于B，
，当
时，
，即
，则
，
即
，
，于是
，B 正确；
对于C，若
，则
，
因此数列
为等差数列，公差
，
，C 错误；
对于D，由选项C 知，
，D 正确.
故选：ABD
【易错指导】A，B，C 项的前提条件不一致，则各选项所推导出的结论不能通用，需对选
项逐个分析，但C，D 选项的前提条件一致，故分析D 选项时可直接使用C 选项的结论.在
多选题中务必要注意各选项的前提条件是否一致
【 2024 江西宜春阶段检测】
21．已知
，若关于
的方程
恰好有6 个不
同的实数解，则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】利用导数判断出单调性，作出
的图像. 令
，把题意转化为关于方程
在
内有2 个不等实根.分离参数后，令
，利用图像法
求解.
【详解】记
，则
所以
在
单调增，在
单调减
所以
的大致图像如下所示：
令
，所以关于
的方程
有6 个不同实根等价于关于方程
在
内有2 个不等实根.
即
与
在
内有2 个不同交点
又
的大致图像如下所示：
又
，
所以
.
对照四个选项，AB 符合题意.
故选：AB
【易错指导】破解本题的关键是会转化，会利用换元法，把复杂的方程的根的问题转化为
简单的方程的根的问题，但需注意对新元的特征的识别
【2024 江苏苏州一模】
22．已知函数
（其中
，
，T 为
图象的最小正周期，满
足
，且
在
恰有两个极值点，则有（ ）
A．
B．函数
为奇函数
C．
D．若
，则直线
为
图象的一条切线
【答案】BCD
【分析】根据三角函数的图象与性质可得
，
，继而可判定各选项.
【详解】因为
，
， 所以
，
则
（不符题意，舍去）或
故
，而
，则
，即A 错误；
，而
，所以是奇函数，B 正确；
由
在
恰有两个极值点，根据正弦函数的图象及性质可得
，故C 正确；
当
时，由上可得
，即
，则
当
时，
，则
是
的一条切线，即D
正确.
故选：BCD
【易错指导】破解此类混合型选择支的关键是看好各个选择支所涉及的问题，从不同角度
进行求解，判断其正确性
【2025 下广东开学考试】
23．
中，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对于A，运用正切公式，结合基本不等式计算即可；对于B，运用两角和的余弦，
结合A 选项结论判定；对于C，设函数
，借助导数得到
.再用基本不
等式计算判定；对于D，当
时，
，此时
，结合
，得
解.
【详解】对于
，
因
，故
，故
是锐角三角形.
由
，于是
，故A 正确；
对于
，
由
可知
，故
，故B 正确；
对于C，设函数
，则
，故
在区间
上单调递增，
故当
时，
，即
.于是
，故
，故C 正确；
对于D，当
时，
，此时
，
又因为
，此时
，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：证明三角不等式常见方法有以下几种：
（1）利用三角函数单调性；
（2）利用三角函数值域的有界性：
，
；
（3）利用单位圆中的三角函数线；
（4）利用正余弦定理实现边角互化；
（5）利用求导数：如证明
（
），当
时，构造函数
，对其
求导
，说明
在
上单调递增，
，所以
，即
；
（6）利用基本不等式：满足“一正二定三相等”条件.
【2025 陕西榆林二模】
24．对于
，
满足
，
，且对于任意
，
恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】抽象函数，对于ACD 选项采用赋值法求解，B 选项倒序相加即可；
【详解】A 选项：因为
，所以取
得，
，A 选项正确；
B 选项：令
，则
，
两式相加得
，
解得
，B 选项错误；
C 选项：因为
，所以取
得，
，由
，
取
得，
，解得
，
因为
，所以
，
，
，
，
，C
选项正确；
D 选项：因为
，
，且
，
所以
，即
，D 选项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数，赋值法是基本，针对选项进行赋值即可.
【2025 广东佛山一模】
25．在
中，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
方向上的投影向量为
D．若
，则
【答案】AC
【分析】A 选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成
，然后根据边
角转化求解；B 选项利用两角和的正切公式求解；C 选项结合正弦定理，投影向量公式求
解；D 选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解.
【详解】A 选项，对于
，根据数量积的定义展开可得，
，
即
，即
，由正弦定理，
，
即
，则
为锐角，由
，
解得
，
，A 选项正确，
B 选项：由A 选项和题干可知，
，
，故
，B 选项错误.
C 选项：
在
方向上的投影向量为
，
由B 知，
，
，且
，解得
，
由正弦定理，
，则
，C 选项正
确.
D 选项：由正弦定理，
，即
，解得
，
于是
，
，D 选项错误.
故选：AC
1.试题特点分析：多选题是高考试题中的新题型，绝大部分属于中档题目，每
道题目一般是多个知识点的小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，
基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．
2.解题方法阐述：多选题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”
题快解，“小”题解准．求解的方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：
直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，排除法（筛选法）等．
3.解题经验分享：（1）如果存在一对内容互相对立的选项，而其他三项不存在
内容对立的情况，那么在此对立两项中至少有一个正确项；若存在两对内容互
相对立的选项，则应该从两对对立项中分别选择一个选项作为正确选项；（2）
如果存在两对内容互近选项或类似选项，而这两对选项内容对立，则其中一对
互近或类似选项应该为正确选项；（3）如果两个或两个以上的选项之间存在承
接关系或递进关系，即数个选项能同时成立，则往往这几个选项应一起被选择.
