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第4 讲 牛顿运动定律的综合应用
学习目标
1.知道连接体的类型及运动特点
2.会用整体法和隔离法分析连接体问题。
3.熟练运用极限法、假设法等，精准识别临界状态，能结合牛顿定律与数学方法（如函数极值）求解临界
条件，做到复杂情境下分析逻辑清晰。
知识梳理
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接
体。系统稳定时连接体一般具有相同的速度、加速度(或速度、加速度大小相等)。
1．共速连接体
两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和相同的加速度。
(1)绳的拉力(或物体间的弹力)相关类连接体
(2)叠加类连接体(一般与摩擦力相关)
2．关联速度连接体
轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。下面三图中A、B 两物体速度和加速度大小
相等，方向不同。
考点一 动力学中的连接体问题
整体法与隔离法在连接体中的应用
1.整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用牛
顿第二定律求出加速度．
2.隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方程
求解．
3.整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度， 且求物体之间的作用
力时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律求相互作用力；若求某一外
力，可以先隔离某一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某一个力．
考向1 共速连接体
【例题】如图所示，水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1 和2，中间用一条水平轻绳连接，两木块
的材料相同，现用力F 向右拉木块2，当两木块一起向右做匀加速直线运动时，已知重力加速度为g，下
列说法正确的是( )
A．若水平面是光滑的，则m2越大，绳的拉力越大
B．若木块和水平面间的动摩擦因数为μ，则绳的拉力为＋μm1g
C．绳的拉力大小与水平面是否粗糙无关
D．绳的拉力大小与水平面是否粗糙有关
拓展 (1)两个质量分别为m1和m2的木块1 和2，中间用一条轻绳连接。
①如图甲所示，用力F 竖直向上拉木块时，绳的拉力FT＝__________；
②如图乙所示，用力F 沿光滑固定斜面向上拉木块时，绳的拉力FT1＝__________；斜面不光滑时绳的拉力
FT2＝__________。
(2)若质量为m1和m2的木块A 和B 叠放在一起，放在光滑水平面上，B 在水平拉力F 的作用下，A、B 一起
(相对静止)做匀加速直线运动，则A 受到的摩擦力为________。
规律方法
1．整体法与隔离法在分析共速连接体中的应用
(1)整体法：若连接体内的物体具有共同加速度，可以把它们看成一个整体，分析整体受到的外力，应用
牛顿第二定律求出加速度；
(2)隔离法：求系统内两物体之间的作用力时，就需要把物体从系统中隔离出来，应用牛顿第二定律列方
程求解；
(3)整体法和隔离法交替使用：一般情况下，若连接体内各物体具有相同的加速度，且求物体之间的作用
力时，可以先用整体法求出加速度，然后再隔离某一物体，应用牛顿第二定律求相互作用力；若求某一外
力，可以先隔离某一物体求出加速度，再用整体法求合外力或某一个力。
2．共速连接体对合力的“分配协议”
一起做匀加速运动的物体系统，若外力F 作用于m1上，则m1和m2之间的相互作用力FT＝，若作用于m2上，
则FT＝。此“协议”与有无摩擦无关(若有摩擦，两物体与接触面间的动摩擦因数必须相同)，与两物体间
有无连接物、何种连接物(轻绳、轻杆、轻弹簧)无关，而且无论物体系统处于平面、斜面还是竖直方向，
此“协议”都成立。
【变式1-1】质量分别为2m 和m 的A、B 两物块，在恒力F 作用下沿光滑的水平面一起向前匀加速运动．
下列情形中A 对B 的作用力最大的是( )
【变式1-2】（多选）（2020·海南卷）如图所示，在倾角为θ 的光滑斜面上，有两个物块P 和Q，质量
分别为m1和m2，用与斜面平行的轻质弹簧相连接，在沿斜面向上的恒力F 作用下，两物块一起向上做匀加
速直线运动，则( )
A．两物块一起运动的加速度大小为a＝
B．弹簧的弹力大小为T＝F
C．若只增大m2，两物块一起向上匀加速运动时，它们的间距变大
D．若只增大θ，两物块一起向上匀加速运动时，它们的间距变大
考向2 关联速度连接体
【例题】(2023·江苏常州市校考)如图所示，足够长的倾角θ＝37°的光滑斜面体固定在水平地面上，一
根轻绳跨过轻质定滑轮，一端与质量为m1＝1 kg 的物块A 连接，另一端与质量为m2＝3 kg 的物块B 连接，
绳与斜面保持平行。开始时，用手按住A，使B 悬于空中，释放后，在B 落地之前，下列说法正确的是(所
有摩擦均忽略不计，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2)( )
A．绳的拉力大小为30 N
B．绳的拉力大小为6 N
C．物块B 的加速度大小为6 m/s2
D．如果将B 物块换成一个竖直向下、大小为30 N 的力，则物块A 的加速度与换前相同
【变式2-1】如图所示，用轻质细绳绕过光滑滑轮将木块与重物连接，且细绳与木板平行，木块与重物的
质量分别为m、M.下列说法中正确的是( )
A. 木块移动的距离等于重物下降的距离
B. 若水平面光滑，重物的加速度等于
C. 若水平面光滑，绳中张力等于重物重力
D. 若水平面不光滑，绳中张力一定等于木块所受摩擦力
【变式2-2】(2024·全国甲卷，15)如图所示，一轻绳跨过光滑定滑轮，轻绳的一端系物块P，P 置于水平
桌面上，与桌面间存在摩擦；绳的另一端悬挂一轻盘（质量可忽略），盘中放置砝码。改变盘中砝码总质
量m，并测量P 的加速度大小a，得到a－m 图像。重力加速度大小为g。在下列a－m 图像中，可能正确的
是( )
【变式2-3】如图所示，C 由质量为M 的物块及右上角光滑轻质定滑轮组成，静置于水平地面上。跨过滑
轮用轻绳连接两质量分别为2m 和m 的物块A、B，除地面外的其余各接触处均光滑。开始用手托住B，使轻
绳刚好伸直。由静止释放B，在B 下落而A 又未碰到滑轮的过程中，C 始终保持静止，下列说法正确的是(
A )
A．地面对C 有向右的摩擦
B．物体C 受到4 个力作用
C．绳中拉力等于mg
D．地面对C 的支持力小于(M＋2m)g
考点二 临界极值问题
1．临界、极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往
往是临界点。
2．常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件：FN＝0。
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛
的临界条件是FT＝0。
3．处理临界问题的三种方法
极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确
解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现
临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
考向1 临界问题
【例题】倾角为θ＝45°、外表面光滑的楔形滑块M 放在水平面AB 上，滑块M 的顶端O 处固定一细线，
细线的另一端拴一小球．已知小球的质量为m＝ kg，当滑块M 以a＝2g 的加速度向右运动时，则细线拉力
的大小为(取g＝10 m/s2)( )
A. 10 N
B. 5 N
C. N
D. N
【变式3-1】（多选）如图所示，一质量M＝3 kg、倾角为α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面
体上有一质量为m＝1 kg 的光滑楔形物体。用一水平向左的恒力F 作用在斜面体上，系统恰好保持相对静
止一起向左运动。重力加速度大小g 取10 m/s2，下列判断正确的是( )
A．系统做匀速直线运动
B．F＝40 N
C．斜面体对楔形物体的作用力大小为5 N
D．增大力F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动
【变式3-2】两个质量均为m 的物块叠放压在一个轻弹簧上面，处于静止状态，弹簧的劲度系数为k，t＝
0 时刻，给A 物体一个竖直向上的作用力F，使得物体以0.5g 的加速度匀加速上升．则( )
A. A、B 分离前系统合外力大小与时间的平方成线性关系
B. 分离时弹簧处于原长状态
C. 在t＝ 时刻A、B 分离
D. 分离时B 的速度为 g
【变式3-3】（多选）如图所示，A、B 两物块的质量分别为2m 和m，静止叠放在水平地面上。A、B 间的动
摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为μ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对A
施加一水平拉力F，则( )
A．当F＜2μmg 时，A、B 都相对地面静止
B．当F＝μmg 时，A 的加速度为μg
C．当F＞3μmg 时，A 相对B 滑动
D．无论F 为何值，B 的加速度不会超过μg
考向2 极值问题
【例题】如图所示，一质量m＝0.4 kg 的物块，以v0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作
用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A、B 之间的距离L＝10 m。已
知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝。重力加速度大小g 取10 m/s2。
(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。
(2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？
【变式4-1】如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ 可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一
小物块恰好能沿着木板匀速下滑。如图乙所示，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v0
＝10 m/s 沿木板向上运动，随着θ 的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x 将发生变化，重力加速度大
小g 取10 m/s2。
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ 角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值。
【变式4-2】如图所示，质量均为m 的物块甲、乙静止于倾角为θ 的固定光滑斜面上，二者间用平行于斜
面的轻质弹簧相连，乙紧靠在垂直于斜面的挡板上。给甲一个沿斜面向上的初速度，此后运动过程中乙始
终不脱离挡板，且挡板对乙的弹力最小值为0，重力加速度为g。挡板对乙的弹力最大值为( )
A．2mg sin θ
B．3mg sin θ
C．4mg sin θ
D．5mg sin θ
【变式4-3】（多选）如图所示，轻杆带转轴一端与物块B 连接，轻杆可绕转轴在如图所示的竖直面内转
动，其上端固定小球A，A、B 质量均为m 且置于质量为2m 的小车中，小车放在光滑水平面上。细线右端固
定于车厢壁C 点，左端与A 球相连，A、C 等高，物块B 与车厢地板间的动摩擦因数为μ。给小车施加水平
向左的作用力F，保证轻杆与竖直方向的夹角θ＝30°且与小车始终保持相对静止（假设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力），重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．轻杆对小球的作用力大小一定为mg，方向沿杆斜向上
B．细线拉力为0 时，小车的加速度大小为g
C．当μ＝时，F≤mg
D．当μ＝时，F≤mg
跟踪训练-考点拓展
1. (2020·江苏卷)中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际经贸合作贡献了中国力量．某运送
物资的班列由40 节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2 节车厢对
第3 节的牵引力为F.若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3 节车厢对倒数第2 节的牵引力
为( )
A. F
B.
C.
D.
2. 如图所示，a、b 两物体的质量分别为ma和mb，由轻质弹簧相连，当用恒力F 水平向右拉着a，使a、b
一起沿光滑水平桌面做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x1，加速度大小为a1；当用大小仍为F 的恒力沿
竖直方向拉着a，使a、b 一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2，加速度大小为a2，则( )
A. a1＝a2，x1>x2
B. a1＝a2，x1＝x2
C. a1>a2，x1＝x2
D. a1<a2，x1>x2
3．（多选）质量分别为M 和m 的物块A 和B 形状、大小均相同，将它们通过轻绳跨过光滑定滑轮连接，如
图甲所示，轻绳平行于倾角为α 的斜面，A 恰好能静止在斜面上，不考虑A、B 与斜面之间的摩擦，若互
换两物块位置，按图乙放置，然后释放A，斜面仍保持静止，则下列说法正确的是( )
A．轻绳的拉力等于mg
B．轻绳的拉力等于Mg
C.A 运动的加速度大小为(1－sin α)g
D．A 运动的加速度大小为g
4．如图所示的装置叫作阿特伍德机，是阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运
动的规律。已知物体A、B 的质量相等均为M，物体C 的质量为m，轻绳与轻滑轮间的摩擦不计，轻绳不可
伸长，如果m＝M，重力加速度为g。求：
(1)物体B 运动过程中的加速度大小；
(2)系统由静止释放后，运动过程中物体B、C 间作用力的大小。
5.如图所示，水平面上的小车内固定一个倾角为θ＝30°的光滑斜面，平行于斜面的细绳一端固定在车
上，另一端系着一个质量为m 的小球，小球和小车均处于静止状态。如果小车在水平面上向左加速且加速
度大小不超过a1时，小球仍能够和小车保持相对静止；如果小车在水平面上向右加速且加速度大小不超过
a2时，小球仍能够和小车保持相对静止。则a1和a2的大小之比为( )
A．∶1
B．∶3
C．3∶1
D．1∶3
6.如图所示，质量为M 的一只长方体形空铁箱在水平拉力的作用下沿水平面向右匀加速运动，这时铁箱内
一个质量为m 的木块恰好能静止在后壁上，已知铁箱与水平面间的动摩擦因数为μ1，木块与铁箱内壁间
的动摩擦因数为μ2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，求：
(1)木块对铁箱的压力的大小；
(2)水平拉力F 的大小。
7.如图，P、Q 两物体叠放在水平面上，已知两物体质量均为m＝2 kg，P 与Q 间的动摩擦因数为μ1＝
0.3，Q 与水平面间的动摩擦因数为μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2，
当水平向右的外力F＝12 N 作用在Q 物体上时，下列说法正确的是( )
A．Q 对P 的摩擦力方向水平向左
B．水平面对Q 的摩擦力大小为2 N
C．P 与Q 之间的摩擦力大小为4 N
D．P 与Q 发生相对滑动
8．（多选）如图所示，现采用前拉后推的方式在光滑的固定斜面上移动A、B 两个物体，斜面倾角为30°
且足够长，两物体相互接触但不黏合，质量为mA＝2 kg，mB＝3 kg。从t＝0 时刻开始，推力FA和拉力FB
分别作用于A、B 上，FA和FB随时间变化的规律为FA＝(50－t)(N)，FB＝(20＋t)(N)，重力加速度大小g 取
10 m/s2。则关于两个物体的运动以下说法正确的是( )
A．t＝10 s 的时刻，A 的加速度大小为15 m/s2
B．t＝10 s 的时刻，B 的加速度大小为9 m/s2
C．t＝40 s 的时刻，B 的加速度大小为15 m/s2
D．t＝40 s 的时刻，A 的加速度大小为9 m/s2
9.(多选)马车是古代交通运输的主要工具，如图所示为一匹马水平拉动一车货物的示意图。木板A 和B、B
和车之间的接触面都水平，A、B 之间的动摩擦因数为μ1，B 与车之间的动摩擦因数为μ2，A 的质量为m，
B 的质量为3m，车的质量为5m，地面对车的摩擦不计，马给车的水平拉力为F，A、B 始终没有离开车的表
面，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A.若μ1>μ2，不管F 多大，A、B 都不会发生相对滑动
B.若μ1>μ2，当F＝10μ2mg 时，B 与车之间开始相对滑动
C.若μ1<μ2，逐渐增大F，A 相对于B 先滑动
D.若μ1<μ2，A、B 与车都相对静止，F 的最大值为8μ1mg
10．（多选）如图所示，质量mB＝2 kg 的水平托盘B 与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一质量mA＝1
kg 的小物块A，整个装置静止。现对小物块A 施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2
m/s2做匀加速直线运动，已知弹簧的劲度系数k＝600 N/m，重力加速度大小g 取10 m/s2。下列结论正确
的是( )
A．变力F 的最小值为2 N
B．变力F 的最小值为6 N
C．小物块A 与托盘B 分离瞬间的速度为0.2 m/s
D．小物块A 与托盘B 分离瞬间的速度为 m/s
11．（多选）（2022·全国甲卷）如图所示，质量相等的两滑块P、Q 置于水平桌面上，二者用一轻弹簧
水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为μ。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F 拉动P，使
两滑块均做匀速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前( )
A．P 的加速度大小的最大值为2μg
B．Q 的加速度大小的最大值为2μg
C．P 的位移大小一定大于Q 的位移大小
D．P 的速度大小均不大于同一时刻Q 的速度大小
12．（多选）如图甲所示，劲度系数k＝500 N/m 的轻弹簧，一端固定在倾角为θ＝37°的带有挡板的光
滑斜面体的底端，另一端和质量为mA的小物块A 相连，质量为mB的物块B 紧靠A 一起静止，现用水平推力
使斜面体以加速度a 向左匀加速运动，稳定后弹簧的形变量大小为x。在不同推力作用下，稳定时弹簧形
变量大小x 随加速度a 的变化如图乙所示。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度大小g 取
10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A．a0＝7.5 m/s2
B．mA＝3 kg
C．若a＝a0，稳定时A、B 间弹力大小为0
D．若a＝a0，稳定时A 对斜面的压力大小为12.5 N
