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大题精练03 动力学与能量综合问题
一、考向分析
1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块——木板问题三类问题中的综合应
用，高考常以计算题压轴题的形式命题。
2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守
恒定律、能量守恒定律)。
二、动力学
牛顿第二运动定律
F 合 = ma 或
或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
传送带分析思路
板块分析思路
1.规律的选择及注意事项
（1）滑块和木板组成的系统所受的合外力为零时，优先选用动量守恒定律解题；若地面不光滑或
受其他外力时，需选用动力学观点解题。
（2）滑块与木板达到相同速度时应注意摩擦力的大小和方向是否发生变化。
（3）应注意区分滑块、木板各自相对地面的位移和它们之间的相对位移。用运动学公式或动能定
理列式时位移用相对地面的位移；求系统摩擦生热时用相对位移（或相对路程）。
2.常见板块模型的分析
常见类型
示意图
v −t 图像
同向快带慢
反向互相阻
三、功能关系和能量观点在传送带模型中的应用
静摩擦力做功的特点
（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；
（2）相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总是等于零，不会转化为内
能
滑动摩擦力做功的特点（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；
（2）相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功之和的绝对
值等于产生的内能
摩擦生热的计算
Q = F f ⋅s相对，其中s相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程
传送带因传送物体多消耗
的能量
（1）等于物体增加的机械能与系统产生的内能之和；
（2）等于传送带克服物体对传送带的摩擦力做的功
四、功和能
动能
= p
2
2m
重力势能
(与零势能面的选择有关)
弹性势能
功
W = Fs cos (恒力做功)
W=Pt（拉力功率不变）
W=f S 相对路程 （阻力大小不变）
功率
平均功率：
即时功率：
动能定理
机械能守恒定律
1
2 mv1
2+mgh1+ 1
2 k x1
2= 1
2 mv2
2+mgh2+ 1
2 k x2
2或者Ep= Ek
【例题1】如图所示为兴趣小组设置的模拟游戏装置，装置由倾角θ1=37
∘的粗糙斜面。光滑水平
面和倾角θ2=30
∘的光滑斜面组成，粗糙斜面与水平面通过小圆弧平滑连接，粗糙斜面上有沿斜
面向下的直轨道AB 长L=5m，光滑水平面上有光滑竖直内圆轨道1，圆心为O1，半径 R1=1m，
与水平面相切于 C、C'点，C、C'均为轨道最低点且略微错开以便质点进出，光滑斜面内固定着
圆心为O2的四分之一圆形透风管道MN，和一个圆心为N 的四分之一圆形透风挡板GH，管道
MN 光滑且半径R2=1m，挡板GH 半径R3=20 ❑√3 m，O2、N、G 三点在平行于斜边且沿斜面向下
的同一条直线上。当质量m=1kg 可视为质点的小滑块在光滑斜面内任意位置运动时都会受到平
行于斜边沿斜面向上大小为0.125mg 的恒定风力。现让该滑块从A 处以一定的初动能沿直轨道
AB 运动，假设小滑块从水平面经过C 点后一定沿轨道1 的内轨道运动，若能经过水平面左端E
点，一定进入可控小圆弧通道，且在小圆弧通道内运动时速率大小不变，离开小圆弧刚好沿斜面
从M 处沿切线方向进入管道MN。若能进入MN 运动，则能击中GH 上的Q 点(Q 点未画出)。小
滑块与AB 轨道间动摩擦因数μ=0.6，重力加速度g=10 m /s
2。
(1)若小滑块在A 处初动能为44J，求小滑块刚运动到C 处时对圆轨道的压力；
(2)为使小滑块在竖直圆轨道1 内运动时不脱离轨道，求小滑块在A 处初动能取值范围；
(3)满足（2）问的小滑块运动到Q 点时动能的最小值？
【例题2】（2025·浙江·一模）如图所示，倾角θ =37°的倾斜传送带AB 长l =1.2m，以速率v 顺
时针匀速运转。一小煤块轻放在传送带上端A 处，经B 到达C (C
′)点进入螺旋圆环轨道，通过轨
道最高点，继续沿轨道经过C
′ (C)点，然后从D 点离开平台，最后落在倾角为a=30°的斜坡上。
环间距正好让小煤块通过，且与圆轨道半径相比可以忽略。已知小煤块与传送带表面间的动摩擦
因数为μ=0.5，其它地方摩擦不计，传送带底部与水平面平滑过渡，DE =3m，sin37° =0.6，
g=10 m/s
2。
(1)若v =0，小煤块恰能过圆环最高点，求圆环轨道最大半径R；
(2)若v =2m/s，求小煤块在传送带上留下的痕迹长度Δ x；
(3)要使小煤块垂直打在斜坡上，求传送带的速率v。
1.
（2025·浙江宁波·模拟预测）某游戏装置如下：光滑水平平台上质量为m=2kg的物体压缩弹簧由
静止释放（物体与弹簧不粘连），物体从B 点水平飞出后恰好沿着C 点切线进入竖直平面内1
4
光滑
圆弧轨道，滑入粗糙的斜面DE，最后滑上放在粗糙水平面上，质量为M = 4 kg的木板EF 上表面继
续运动，木板与水平面间的动摩擦因数μ3= 1
15
。已知BC 的高度差h=0.8 m，物体与DE 的动摩擦
因数μ1= 13
80
，木板F 点与竖直墙壁的距离为d（未知），物体与木板之间的动摩擦因数μ2=0.4，
木板长度为L（未知），圆弧轨道与倾斜斜面DE 相切于D 点，木板与竖直墙壁发生碰撞后以原速
反弹，且发生碰撞后竖直墙壁将会倒塌，变成和左侧一样的足够长粗糙水平面。物体可视为质点，
E 点做平滑处理，木板厚度可忽略，重力加速度g=10 m /s
2，α =37°，R =1m，DE 的高度差
H =3 m，所有轨道均在同一个竖直平面内。求：
(1)弹簧的弹性势能及物体到达E 点速度大小；
(2)若木板未能与竖直墙壁发生碰撞且物体没有滑离木板，求d 和L 各自需要满足什么条件；
(3)若L 足够大，d =0.5 m，求木板最终停下时左端离E 点的距离。
2.
（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图所示为一游戏闯关装置，该装置由倾斜直轨道AB、竖直圆形轨道
BCDEF、水平直轨道FG、传送带GH、水平直轨道HI、两个相同的四分之一圆拼接成的管道IJ、
水平直轨道JK 组成。直线轨道JK 右端为弹性挡板（滑块与挡板碰撞后能原速率返回）。已知螺旋
圆形轨道半径R =0.4 m，LFG=2m，LGH=1.5 m，LHI= 4 m，LJK=2.8 m，四分之一圆轨道IJ 的半径
r =0.4 m。现将质量m=0.1kg的小滑块从倾斜轨道上某高度h 处静止释放，滑块与FG、HI、JK 间
的动摩擦因数μ1=0.25，与传送带间的动摩擦因数μ2=0.6，其余轨道光滑，各轨道间平滑连接。
不计空气阻力，
(1)若滑块恰能经过圆形轨道最高点D，求其过C 点时受到的支持力大小；
(2)将滑块从高h=2.9 m处静止释放
①传送带静止，问滑块最终静止的位置；
②传送带以恒定速度v 顺时针转动，要使滑块停在JK 上，v 需满足的条件。
3.
（2025·浙江·二模）如图所示，长为L2=1.5m 的水平传送带左右两端与水平轨道平滑连接，以
v0=4.0m/s 的速度逆时针匀速转动；左侧粗糙轨道RQ 的长为L1=3.25m，左端R 点固定有弹性挡板；
右侧光滑轨道PN 的长为L3=3.5m，其右端与光滑圆弧轨道相切（N 点为圆弧轨道的最低点）。现将
一可视为质点的小物块从圆弧轨道上某处静止释放，与挡板发生弹性碰撞后向右恰好能运动到P 点。
已知小物块与传送带以及左侧轨道的滑动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速g 取10m/s2，π2=10，不计
物块与挡板的碰撞时间。
(1)求物块第一次到达Q 点时的速度大小；
(2)为满足上述运动，求物块从圆弧轨道上释放高度的范围；
(3)当物块从半径大于100m 圆弧轨道上高度为0.8m 的位置由静止释放后，发现该物块在圆弧轨道
上运动的时间与从N 点运动至第二次到达P 点的时间相等，求圆弧轨道的半径。
4.
（2025·浙江湖州·三模）如图为一弹射游戏装置，它由安装在水平台面上的固定弹射器，水平直轨
道AB，圆心为O 的水平半圆细管道BCD，水平直轨道DE、FG、HI 和逆时针转动的传送带EF 等
组成。木板静止在HI 上，其上表面与FG 相平，左端紧靠竖直边GH。游戏时滑块由A 点弹出，经
过轨道AB、管道BCD、轨道DE、传送带EF 和轨道FG 后，滑上木板。已知可视为质点的滑块质
量m=0.2kg，轨道DE 长度l1=1m，传送带长度l2=0.5 m，速度大小v =3 m/s，木板质量
M =0.2kg，长度l3=0.6 m，BCD 的半径R =0.4 m，滑块与轨道DE、传送带及木板间的动摩擦因
数均为μ1=0.4，木板与轨道HI 间的动摩擦因数μ2=0.1，其余各处均光滑，不考虑弹射过程中能量
损失，各轨道间平滑连接。
(1)若弹簧的弹性势能Ep1=0.9J，求滑块运动到管道最高点时，受到的管道作用力大小FN；
(2)若滑块最终静止在轨道DE 某处，求弹簧的弹性势能Ep2的范围；
(3)若弹簧的弹性势能Ep3=1.6J，求木板运动的位移x。
5.
（2025·浙江·模拟预测）如图所示，圆弧轨道ABC竖直固定在水平地面上，AC是竖直直径，B点
与圆心O等高，劲度系数为k的轻质弹簧放置在水平地面上，左端固定在距A点足够远的地方。控
制小球（视为质点）向左压缩弹簧至E点（未画出），此时弹簧的压缩量等于圆弧轨道的半径，由
静止释放小球，小球经过A点到达C，已知小球在A、C两点受到轨道的弹力大小之差为F0，小球
运动到B点时所受轨道的弹力大小等于小球重力的3 倍。已知弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量
Δ x以及弹簧的劲度系数k之间的关系为Ep= 1
2 k(Δ x)
2，重力加速度为g，不计一切摩擦。
(1)求小球的质量；
(2)求小球在B点的向心加速度大小；
(3)求圆弧轨道的半径；
(4)若圆弧轨道半径可任意调节，小球仍从E点由静止释放，求小球能从C点抛出且落到水平地面上
时离C点的最远水平距离及此时圆弧轨道的半径。
6.
（2024·浙江·模拟预测）图甲是我国古代重要发明—扇车，西汉时就广泛用于清选谷物。谷物从扇
车顶部进谷口进入分离仓，仓右端的鼓风机为仓内提供稳定气流，使谷物中的秕粒(较轻)和饱粒分
离。图乙则是某同学为深入探究扇车原理而精心设计的理想化模型截面图。图乙B 点位于喂料斗入
口的正下方，矩形ABCD 是仓体在竖直方向的截面形状。这里的AC 和CG 是两个出料口，其中底
部出口CGEF 呈现为等腰梯形。已知AB 的长度LAB=lm，AC 的长度LAC=0.2m，GD 的长度
LGD=0.6m，EF 的长度LEF=0.16m，斜面GFM 的高度hGM=0.04m，A 点距离地面的高度H=1.5m。当
喂料口有谷物从B 入口处静止开始落入扇车后，谷物在下落过程中受到风扇匀速转动所产生的恒定
水平风力F=0.5N，能使不同饱满程度的谷粒从不同出料口离开扇车，达到分拣谷物的目的。现有
两种饱满度不同的谷粒，它们从B 入口静止进入扇车，质量分别为m1=50
3
g 和m2=8g，谷粒与斜面
FG 间的动摩擦因数为μ=0.6，g 取10m/s2。求：
(1)质量为m1的谷粒在仓体中运动的时间；
(2)质量为m2的谷粒从出口离开时的动能；
(3)质量为m1的谷粒落到地面时相对进入入口时的机械能变化量。
7.
（2024·浙江金华·模拟预测）如图所示，AOB 是游乐场中的滑道模型，位于竖直平面内，由两个半
径为R 的1
4
圆周连接而成，它们的圆心O1、O2与两圆弧的连接点O 在同一竖直线上。O2B沿水池
的水面方向，B 点右侧为无穷大水平面，水平面上有一系列沿O2B方向的漂浮的木板，木板的质量
为M，长度为2l。一质量为m 的小孩（可视为质点）可由弧AO 的任意点静止开始下滑。不考虑水
与木板接触面的阻力，设木板质量足够大且始终处于水平面上。
（1）若小孩恰能在O 点脱离滑道，求小孩静止下滑处距O 点的高度？
（2）凡能在O 点脱离滑道的小孩，其落水点到O2的距离范围？
（3）若小孩从O 点静止下滑，求脱离轨道时的位置与O2的连线与竖直方向夹角的余弦值？
（4）某小孩从O 点脱离滑道后，恰好落在某木板的中央，经过一段时间振荡和调节后，该木板和
小孩处于静止状态，小孩接下来开始在木板上表演水上漂。如果小孩能一次跳离木板，求小孩做功
的最小值？
8.
（2024·浙江·模拟预测）如图所示，整个装置竖直放置，光滑半圆轨道ABC 的半径R1=0.2m，A 处
竖直放置弹性挡板（碰撞时不损失机械能），光滑半圆轨道CDE 的半径R2=0.4m，CA、CE 分别是
它们的直径，EF 水平台阶长为l=0.5m，紧靠F 点右边放有一长木板，长木板上表面与EF 水平部分
在同一水平面上，开始时小物块（可视为质点）停在F 点，已知小物块质量为m=0.5kg，长木板质
量为M=1kg，小物块与EF 水平部分和长木板的滑动摩擦因数µ1=0.5，长木板与地面的滑动摩擦因
数µ2=0.1，现给小物块一个水平向左的速度v0，g=10m/s2，求解下列问题。
（1）要使小物块与挡板发生碰撞并确保小物块返回过程中均不脱离轨道，求v0的最小值；
（2）若v0= ❑√46 m/s，要使小物块返回F 点并滑上长木板后，不滑出长木板，求长木板长度的最
小值；
（3）若去掉A 处的挡板，给小物块一个向左的速度v0，小物块经过两半圆后从A 点水平抛出，并
将落在半圆CDE 上P 点，求P 点与E 点的竖直高度差h 与v0的函数关系。
9.
（2024·浙江·模拟预测）如图所示装置由传送带、竖直细圆管螺旋轨道（最低点B 分别与水平轨道
AB、BC 连接）组成。开始时可视为质点的滑块静置于传送带左端，由静止开始以可调的加速度a
匀加速启动的传送带带动后，滑块滑过圆管轨道，并滑上上端与轨道BC 相平的6 个紧密排列的相
同木块。已知滑块质量m=0.01kg，每个木块的质量M =0.01kg，宽度d =0.1m，传送带的长度
L=2m，圆管轨道的半径R =0.1m，滑块与传送带及木块间的动摩擦因数分别为μ1=0.2，μ2=0.4，
木块与地面DE 的动摩擦因数为μ3=0.1，各轨道间平滑连接，不计水平轨道与传送带及木块间的间
隙，各轨道均光滑。
（1）若a=1m/s
2，则运动到圆心等高处P 点时，滑块受到的轨道作用力FN大小；
（2）当滑块运动到C 点时，动能Ek与加速度a 之间满足的关系；
（3）若滑块最终静止在木块5 上，求：
①a 大小的范围；
②木块5 的最大速度vm及运动的最远距离xm。
10. （2024·浙江·一模）如图为某游戏装置原理示意图，水平桌面上固定一个半圆形、内侧表面光滑的
竖直挡板，其半径R1=2m，挡板两端A、B 在桌面边缘，A 处固定一个弹射器，B 与半径R2=1m的
光滑圆弧轨道CDE 在同一竖直平面内，过C 点的轨道半径与竖直方向夹角θ =53°，半径R3=2m的
四分之一光滑竖直圆管道EF 与圆弧轨道CDE 稍有错开。在水平光滑平台左侧，有一质量m=1kg
的足够长木板左端恰好与F 端齐平，右侧固定有一根劲度系数k =50 N / m的弹簧。质量m=1kg的
小物块经弹射装置以某一水平初速度由A 点切入挡板内侧，从B 点飞出桌面后，沿C 点切线方向进
入圆弧轨道CDE 内侧，并恰好能到达轨道的最高点F。小物块与桌面之间的动摩擦因数μ1= 1
π
，与
木板的动摩擦因数μ2=0.75。已知弹性势能表达式Ep= 1
2 k x
2（x 为弹簧形变量）。重力加速度
g=10 m /s
2，物块可视为质点，不计空气阻力和其它能量损失。求：
（1）物块到达C 点时对轨道的压力大小；
（2）物块被弹射前弹簧的弹性势能Ep0；
（3）若弹射器内弹性势能Ep1=38J，在竖直平面内移动桌子右侧整个装置，使物块滑上长木板。
在木板右端与弹簧接触前已共速，则该过程小物块相对木板滑动的长度Δ L；
（4）在（3）的基础上，木板继续压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内，则物块与木板刚要相对滑动
时，木板的速度。
