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专题06 万有引力与宇宙航行
模型一 开普勒定律
1.开普勒定律具有普遍适用性，既适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球、卫星绕地球
的运动等。
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1Δtr1＝v2Δtr2，解得＝，即行星在两个位置的速度之
比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
3.开普勒第三定律＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同，因此
该定律只能用在同一中心天体的星体之间
。
【例题精讲】
1．在人类对行星运动规律的认识过程，开普勒作出了划时代的贡献。对开普勒行星运动定律的理解，下列
说法中正确的是（ ）
A．此定律只适用于行星绕太阳运动，不适用于卫星绕行星的运动
B．由开普勒第三定律a
3
T
2 =k可知，k 是一个与中心天体有关的常量
C．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据，发现了行星运动规律
D．行星绕太阳做椭圆轨道运动时，线速度方向时刻在变，但大小始终不变
2．开普勒分别于1609 年和1619 年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于
开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
D．离太阳越近的行星的运动周期越长
3．中国空间站核心舱组合体的运行轨道简化为如图所示的绕地球O 运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个
焦点上，其中A 为近地点，B 为远地点。假设每隔Δt 时间记录一次核心舱的位置，记录点如图所示，已
知E 为椭圆轨道的中心，C、D、E 在同一条直线上且CD⊥AB，AB 的距离为2a，CD 的距离为2b，椭
圆的面积公式为S＝πab，则核心舱从C 运动到B 所需的最短时间为（ ）
A．7 Δt
2 + 7
❑√a
2−b
2 Δt
πb
B．7 Δt
2 + 7
❑√a
2−b
2 Δt
πa
C．7 Δt
2
D．12Δt
4．2030 年之前，中国航天员将登上月球。如图所示，月球的半径为R，假设甲、乙两艘宇宙飞船分别绕月
球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲的近地点正好在月面，远地点与月面的最近距离为2R，甲的远地点与乙
轨道的最近距离为R，则甲、乙的周期之比为（ ）
A．1：1
B．2：1
C．2❑√2：1
D．3 ❑√3：2❑√2
5．如图所示为哈雷彗星绕太阳运行的轨迹，a、b、c、d 轨迹上的四个点，它们与太阳连线扫过的面积分别
为S1和S2，且S2＝2S1。则彗星从a 到b 和从c 到d 的时间t1、t2的关系（ ）
A．t2＝t1
B．t2＝2t1
C．t2= 1
2
t1
D．无法确定
（多选）6．中国农历二十四节气划分方法是地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，图为北半球二十
四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则（ ）
A．夏至时地球公转速度比冬至时小
B．立春时地球公转的加速度与立夏时大小相等
C．芒种到夏至的时间间隔比大雪到冬至的时间间隔长
D．春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份
（多选）7．天文学家利用万有引力定律计算天王星位置的过程中，出现了一定的误差。他们猜测在天王星
的轨道外，肯定有一颗没有发现的行星，该行星的引力不断地影响着天王星的运动。最终，科学家们通
过计算“找”到了这颗遥远的行星——海王星。若海王星绕太阳逆时针运行的运动轨迹如图所示，图中
AC 为长轴，BD 为短轴，若只考虑万有引力的作用，下列说法正确的是（ ）
A．海王星在A 点的速率大于在B 点的速率
B．海王星在B 点的加速度与在D 点的加速度相同
C．海王星从A 到B 的过程中与太阳的连线在相同单位时间内扫过的面积比从B 到C 的大
D．海王星从C 到D 所用的时间大于从D 到A 的时间
模型二 万有引力的理解与计算
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是产生重力
mg
，二是提供物体随地球自转
的向心力F 向，如图所示。
2.重力加速度的大小
（1）地球赤道上：G ＝
mg
1＋
mω
2 R .
（2）地球两极上：G ＝
mg
0.
（3）地面一般位置：万有引力G 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。
(4）距离地面高度h 处：G
Mm
( R+h)
2 =m g
'.
（5）结论：①纬度越高，
g 值越大；高度越大，
g 值越小
。
②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即
G ＝
mg
.
3.“自力更生”法（gR）
（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R，由G ＝
mg
得天体质量M＝.
（2）天体密度ρ＝＝＝.
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
4.“借助外援”法（Tr）
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r.
（1）由
G ＝
m r 得天体的质量
M
＝
.
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
（3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ ＝
，可
见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【例题精讲】
1．在一个质量为M、半径为R 的均匀实心球体内部，距球心R
2
处有一个质点P，其受到的万有引力为F1。
另一个质量为M、半径为R 的均匀实心球体，现将其内部同心挖去一个半径为R
2
的球体，剩余部分对于
球体外表面的质点Q 产生的万有引力为F2，已知质点P、Q 的质量相等，均匀球壳内部的物体受到球壳
的万有引力为零，空心球对外部的万有引力等于质量集中于球心产生的万有引力。则F1与F2的比值为（
）
A．4
7
B．7
4
C．2
7
D．7
2
2．2025 年10 月6 日，国家航天局和国家原子能机构联合发布了嫦娥六号月球背面样品研究最新成果。如
图所示，嫦娥六号绕月运行时，近月点M 与远月点N 距月球中心的距离之比约为1：5。假设嫦娥六号只
受到来自月球的万有引力，则嫦娥六号（ ）
A．轨道半长轴的三次方与公转周期平方的比值与自身质量有关
B．通过M 点与N 点时加速度大小之比约为1：25
C．通过路径PNQ 所用时间小于通过路径QMP 所用时间
D．通过M 点与N 点时线速度大小之比约为5：1
3．两个质量相等的匀质球，球心相距r，它们之间的万有引力为F。若将两球心的距离增大到原来的2 倍，
它们之间的万有引力变为（ ）
A．1
4
F
B．F
2
C．2F
D．4F
4．人造地球卫星在离地面高为h 的轨道上做匀速圆周运动，已知地球的质量为M、半径为R，引力常量为
G。则卫星做匀速圆周运动的角速度ω 为（ ）
A．❑√
GM
R
B．❑√
GM
h
3
C．❑√
GM
R
3
D．❑√
GM
( R+h)
3
5．二十四节气是古人智慧的结晶，它对于我们现在的生产和生活影响意义深远，我们把春分夏至秋分冬至
按照如图位置安排，则下列说法中正确的是（ ）
A．地球每年运行到冬至位置时线速度最小
B．由秋分到冬至的时间为周期的四分之一
C．地球经过冬至和夏至位置时速度比为r1
r2
D．地球在夏至与冬至位置时受到太阳的万有引力之比为( r1
2
r2
2 )
（多选）6．要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4 倍，下列方法可行的是（ ）
A．使两物体的质量各变成原来2 倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4 倍，距离不变
C．使两物体间的距离减少为原来的1
2
，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的1
2
（多选）7．位于贵州的500 米口径球面射电望远镜，其反射面相当于30 个足球场的大小，灵敏度达到世界
第二大望远镜的2.5 倍以上，大幅拓展了人类的视野。射电望远镜观测到某行星的卫星A、B 绕以其为焦
点的椭圆轨道运行，B 星的运行周期约为A 星的2❑√2倍，A 星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2 倍，
B 星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的3 倍。假设A、B 只受到行星的引力，则下列叙述正确的是（
）
A．A 星受到行星的引力最大值与最小值之比为4：1
B．B 星受到行星的引力始终小于A 星
C．A 星受到行星的引力最大值与B 星受到行星的引力最小值之比为9：2
D．B 星轨迹近点到行星的距离小于A 星轨迹远点到行星的距离
模型三 卫星发射及变轨 卫星的追及、相遇问题
一、卫星发射及变轨
1.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道（如图所示）
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上
。
（2）在
A 点点火加速
，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进
入椭圆轨道Ⅱ.
（3）在B 点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.变轨过程分析
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B
点时速率分别为vA、vB．在A 点加速，则vA>v1，在B 点加速，则v3>vB，又因v1> v 3，故有
vA>v1>v3>vB．
（2）加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经
过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过
B 点的加速度也相同，有
aⅠA＝
a ⅡA＞
a ⅡB＞
a ⅢB．
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为
r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜
T 2＜
T 3.
（4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的
机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则
E1< E 2< E 3.
二、卫星的追及、相遇问题
1.问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图
乙时刻，地球和行星相距最远。
2.解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。
角度关
系
相距最近
ω1t －
ω 2t ＝
n ·2π(
n ＝
1,2,3
，…
）
，即两天体转过的角度之
差等于2π 的整数倍时再次相遇
相距最远
ω1t －
ω 2t ＝
(2
n －
1)π
(n＝1,2,3，…），即两天体转过的角
度之差等于π 的奇数倍时相距最远
圈数关
系
相距最近
-=n(n＝1,2,3，…)
相距最远
-=
n - （
n ＝
1,2,3
，…
）
【例题精讲】
1．如图所示，A、B 是围绕地球运转的两颗卫星，A 与B 的轨道平面共面，其中A 卫星的轨道半径为RA，
B 卫星的轨道半径为RB，此时A、B 以及地心刚好在一条直线上，关于这两颗卫星，下列说法正确的是
（ ）
A．当A、B 以及地心再次到达一条直线上时，A 转过的角度大于B 转过的角度
B．A 卫星所受万有引力小于B 卫星所受万有引力
C．通过轨道的调整A、B 中的某一颗卫星可以始终位于宁波的上空
D．若卫星想要进入更高轨道，则需要加速
2．2025 年2 月，我国实践25 号卫星与位于地球同步轨道上的北斗G7 卫星完成对接，实现了世界首次同步
卫星在轨燃料补加。图中圆形轨道Ⅰ为实践25 的运行轨道，圆形轨道Ⅱ为G7 卫星的运行轨道，椭圆形
转移轨道Ⅲ与Ⅰ、Ⅱ分别相切于A、C 两点，A、C 连线与轨道Ⅱ交于B 点。则下列相关说法中正确的是
（ ）
A．实践25 从轨道Ⅰ由A 点减速才能进入转移轨道Ⅲ
B．实践25 沿轨道Ⅲ无动力到达C 点时的速度与G7 卫星的速度相等
C．实践25 在轨道Ⅲ上运动的周期大于在轨道Ⅰ运动的周期
D．若实践25 在轨道Ⅲ上经过A 点的同时G7 卫星经过B 点，则二者可在C 点完成对接
3．中国预计在2028 年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。图是“嫦娥一号奔
月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为
绕月卫星。关于“嫦娥一号”，以下说法正确的是（ ）
A．发射速度必须达到第二宇宙速度
B．16h 轨道与24h 轨道半长轴的平方与公转周期的立方之比相等
C．轨道Ⅲ上Q 点的速度大于轨道Ⅱ上Q 点的速度
D．轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ时，需点火加速
4．如图甲所示，太阳系外行星M、N 均绕恒星Q 做同向匀速圆周运动。由于N 的遮挡，行星M 被Q 照亮
的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为M 绕Q 运动的公转周期。则两行星M、N 的轨道半
径之比为（ ）
A．9：1
B．3：1
C．13：1
D．4：1
5．2025 年7 月15 日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。
天舟九号与空间站对接过程耗时约3 小时，若对接完成时空间站在轨道上的位置如图所示。空间站与地
球同步卫星的轨道半径的比值约为0.16，对接过程空间站中看到日出的次数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
（多选）6．2025 年4 月25 日1 时17 分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6
次“太空会师”。如图A 为中国空间站，B 为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地
球的公转周期为90 分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（ ）
A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能
B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为4
3√4
C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量
D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96 分钟
（多选）7．如图所示为我国某卫星发射的示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ分别为半径为r 和3r 的圆轨道，卫星在
这两个轨道上均做匀速圆周运动，轨道Ⅱ为椭圆轨道，P、Q 分别为轨道Ⅰ、Ⅱ和轨道Ⅱ、Ⅲ的切点，下
列说法正确的是（ ）
A．卫星的发射速度大于16.7km/s
B．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的周期比为1：2❑√2
C．卫星在轨道Ⅱ过P 点的速度大于在轨道Ⅲ过Q 点的速度
D．卫星在轨道Ⅱ过Q 点的加速度大于在轨道Ⅲ过Q 点的加速度
模型四 双星与多星系统
1.双星系统及规律
被相互引力联系在一起、互相绕转的两颗星就叫双星系统。双星是绕公共圆心转动的一对
恒星。对于如图所示的双星系统，具有以下几个关系：
（1）各自所需向心力由彼此间的万有引力提供，即G＝m1ωr1；G＝m2ωr2.
（2）两颗星的周期及角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
（3）两颗星的运行轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
（4）两颗星到公共圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
2.三星及多星模型
情境导图
运动特点
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周
运动半径相等
受力特点
各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
解题规律
甲：＋＝man；
乙：×cos 30°×2＝man
解题关键
乙中r＝
【例题精讲】
1．如图所示，宇宙中有一个由P 和Q 两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O 点
逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P 有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P 顺时针以周期T2
做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M 对恒星P、Q 的运动没有影响，且忽略恒星Q 对卫星M 的影响，
万有引力常量为G，下列说法不正确的是（ ）
A．由已知条件可以求出Q 的质量M Q= 4 π
2r P(r P+rQ)
2
GT 1
2
B．恒星P、Q 之间的万有引力为F = 16 π
4r M
3 r P
GT 1
2T 2
2
C．若Q 也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M 的轨道半径
D．P、Q、M 由图示位置到再次共线所需时间为
T 1T 2
2(T 1−T 2)
2．天文观测已经确定了月地距离r，以及月地环绕运动的周期T，如图所示。在不考虑宇宙中其它天体影响
的情况下，若已知万有引力常量G，可以有两种方案利用r、T、G 对这一系统的其它量进行估算：方案
一是认为地球不动，月球绕地球做匀速圆周运动；方案二是将地球和月球视作双星系统，它们都绕其连
线上某点做匀速圆周运动。则下列说法中错误的是（ ）
A．按照方案一，只能估算地球的质量，不能估算地球和月球的总质量
B．按照方案二，只能估算地球和月球的总质量，不能估算地球的质量
C．按照方案一估算的月球速度大于按照方案二估算的月球速度
D．按照方案一估算的月球加速度小于按照方案二估算的月球加速度
3．如图所示，相距为L 的A、B 星球构成的双星系统正绕O 点做匀速圆周运动，运动周期为T，环绕半径
分别为RA、RB，且RA＜RB。C 为B 的卫星，D 为A 的卫星，C、D 做匀速圆周运动的轨道半径均为R，
忽略A 与C、B 与D 之间的引力，且A 与B 之间的引力远大于C 与B、A 与D 之间的引力。已知引力常
量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．D 绕A 运行的周期等于C 绕B 运行的周期
B．C 绕B 运行的周期等于❑√
( R
RB
)
3T
C．A、B 的质量之比为R A
RB
D．A、B 的质量之和为4 π
2 L
3
GT
2
4．在天文学研究中，科学家通过引力波探测器观测到一个双星系统，该系统由两颗恒星组成，质量分别为
m1和m2，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动。已知两颗恒星之间的距离为L，引力常量为G。根据最
新的观测数据，科学家发现该双星系统的运动周期T 与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。此外，
该双星系统的轨道偏心率很小，可以近似为圆轨道。关于该双星系统，下列说法正确的是（ ）
A．两颗恒星所受的向心力大小不相等
B．该双星系统的质量比m1
m2
越大，两颗恒星的轨道半径比r1
r2
也越大
C．两颗恒星的运动周期T 与❑√L
3成反比，与❑√(m1+m2)成正比
D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离L 会逐渐减小，运动周期T
也会逐渐减小
5．宇宙中，两颗靠得比较近的星体，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。如图所
示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做匀速圆周运动。现测得两
颗星之间的距离为L，且mA＝3M，mB＝M，万有引力常量为G。则（ ）
A．星球A、B 做圆周运动的线速度之比为1：2
B．星球A、B 做圆周运动的角速度之比为3：1
C．星球B 做圆周运动的周期为π
❑√
L
3
GM
D．若质量较大的A 星球会“吸食”质量较小的B 星球的表面物质，从而实现质量转移。则在“吸食”
的最初阶段，A、B 运动的周期变大
（多选）6．中国天眼FAST 已发现约500 颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星
团M92 第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L 的A、B 星球构成的双星系统绕O 点做匀
速圆周运动情景，其运动周期为T。C 为B 的卫星，绕B 做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，
忽略A 与C 之间的引力，且A 与B 之间的引力远大于C 与B 之间的引力。引力常量为G，则（ ）
A．A、B 的轨道半径之比为L
3−R
2
R
3
B．C 的质量为4 π R
2 R
3
GT
2
C．A、B 的质量和为4 π
2 L
3
GT
2
D．A 的质量为4 π
2
GT
2 ( L
3−R
3)
（多选）7．宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C 组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC 的三个
顶点上，绕一个固定且共同的圆心O 做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＞rB＞rC，忽
略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体（ ）
A．加速度大小关系是aA＞aB＞aC
B．线速度大小关系是vA＞vB＞vC
C．质量大小关系是mA＞mB＞mC
D．所受万有引力合力的大小关系是FA＞FB＞FC
课时精练
一．选择题（共28 小题）
1．2024 年6 月25 日嫦娥六号月球背面“挖宝”归来，实现世界首次月球背面采样返回。当它靠近月球后，
先悬停在月面上方一定高度，然后关闭发动机自由下落，经过2.25s 到达月面（已知月球表面重力加速度
约为地球的六分之一），此时探测器的速度大小最接近（ ）
A．3.5m/s
B．5m/s
C．10m/s
D．20m/s
2．若金星与地球的质量之比为a、半径之比为b，则金星与地球的第一宇宙速度之比为（ ）
A．a
b
B．b
a
C．❑√
a
b
D．❑√
b
a
3．航天员用同一装置使同一单摆分别在地球和月球表面做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线。将月
球视为密度均匀、半径为R 的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影
响。下列说法正确的是（ ）
A．该单摆在月球上的共振频率为f2
B．所用单摆的摆长为4 π
2f 1
2
g
C．月球表面的重力加速度为f 2
2
f 1
2 g
D．月球的密度为3 g f 1
2
4 πGR f 2
2
4．2025 年10 月31 日23 时44 分，神舟二十一号载人飞船从酒泉卫星发射中心发射升空，三名航天员随飞
船一起前往中国空间站开展太空科研工作。下列说法正确的是（ ）
A．加速起飞时航天员的重力变大
B．加速起飞时航天员处于失重状态
C．在空间站内，航天员不受重力
D．在空间站内，航天员处于完全失重状态
5．2025 年12 月8 日，水星发生西大距时，太阳、水星、地球三者构成直角三角形（水星位于直角顶点，
如图），已知水星平均轨道半径约为0.387AU（1AU＝1.49×1011m，称为一个天文单位），地球平均轨道
半径约为1AU，水星的体积比地球小，则下列说法正确的是（ ）
A．水星公转的线速度小于地球的公转线速度
B．水星和地球的公转周期之比约为❑√(0.387)
3：1
C．若水星的轨道半径变为原来的2 倍，周期将变为原来的4 倍
D．水星的第一宇宙速度和地球的第一宇宙速度之比等于两者质量之比的平方根
6．2024 年6 月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1 上绕月球飞
行，在A 点变轨后进入椭圆轨道2，B 为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（ ）
A．在轨道2 上从A 点向B 点运动过程中速度逐渐增大
B．利用引力常量和轨道1 的周期，可求出月球的质量
C．在轨道2 上机械能与在轨道1 上相等
D．在轨道1 运行时A 点的加速度与在轨道2 运行时A 点的加速度相同
7．如图所示，某一行星围绕太阳运动，从1→2、从3→4 行星与太阳的连线扫过面积相等，运动时间分别
是t12和t34；运动到1 和3 处绕太阳的角速度分别是ω1和ω3。下面物理量的比较正确的是（ ）
A．t12＝t34，ω1＝ω3
B．t12＜t34，ω1＜ω3
C．t12＞t34，ω1＞ω3
D．t12＝t34，ω1＞ω3
8．已知同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球转的向心
加速度为a2；第一宇宙速度为v2，地球半径为R。下列关系式正确的是（ ）
A．a1
a2
= R
r
B．a1
a2
=( R
r )
2
C．v1
v2
= r
R
D．v1
v2
= ❑√
R
r
二．多选题（共3 小题）
（多选）9．如图所示，“鹊桥二号”在环月大椭圆轨道上运行的周期为T，近月点P 到月心的距离为a，远
月点Q 到月心的距离为b，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．月球的质量为4 π
2(a+b)
3
GT
2
B．月球的质量为π
2(a+b)
3
2GT
2
C．“鹊桥二号”在P、Q 两点的速度之比为a
b
D．“鹊桥二号”在P、Q 两点的速度之比为b
a
（多选）10．如图甲，两小行星a、b 在同一平面内绕中心天体的运动可视为匀速圆周运动，测得两小行星
之间的距离Δr 随时间变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是（不考虑两小行星之间的作用力）（
）
A．两星的加速度之比aa：ab＝16：1
B．两星的线速度之比va：vb＝4：1
C．两星的周期之比Ta：Tb＝1：4
D．b 星的运转周期为7T
（多选）11．2025 年9 月5 日，中国深空探测实验室宣布，我国正规划在1000 万公里以外实施“小行星动
能撞击验证”任务，本次任务撞击目标预计为阿登型近地小行星2015XF261。有观测认为，该小行星直
径约为170 米，轨道半长轴约为1.1 天文单位，即为地球到太阳平均距离的1.1 倍，轨道平面与地球轨道
平面近似共面，两者转动方向相同。若将该小行星轨道与地球轨道都近似看成圆轨道，则由以上信息判
断，下列说法正确的是（ ）
A．小行星2015XF261 公转周期约为1.15 年
B．小行星2015XF261 大约每7.5 年接近地球一次
C．到达小行星的航天器发射速度应大于7.9km/s 而小于11.2km/s
D．根据该小行星的轨道周期与半径，万有引力常量，可计算出小行星的质量
三．解答题（共5 小题）
12．观测到某一卫星环绕地球做匀速圆周运动，卫星距地面的高度为h。已知地球半径为R，地球表面处重
力加速度g，引力常量为G，求：
（1）地球的密度；
（2）卫星环绕地球运行的周期T。
13．在太阳系中，哈雷彗星是人一生中唯一裸眼可能看见两次的彗星，哈雷彗星上一次回归在1986 年。
（1）哈雷彗星和行星A 围绕太阳公转的轨道如图1 所示，其中阴影部分分别为它们与太阳连线在相等时
间内扫过的面积S1、S2、S3、S4，则
AC
。
A.S1＝S2
B.S2＝S3
C.S3＝S4
D.S4＝S2
（2）①（简答）在如图2 位置飞临地球阶段，哈雷彗星运动速度的大小如何变化？简述理由。
②已知日地平均距离为1.5 亿千米，哈雷彗星运行到其轨道与地球公转轨道相交时，估算哈雷彗星的加
速度大小为
m/s2（仅考虑太阳的引力，结果保留3 位有效数字）。
（3）哈雷彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18 倍，则哈雷彗星下次飞近地球约在公元
年。
14．如图所示，A、B 两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A 卫星的轨道半径
是B 卫星的4 倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A 运动的周期为T。
（1）求卫星B 环绕地球运动的周期；
（2）求在0～T
2
时间内观察到A、B 两颗卫星相距最近的次数。
15．将地球视为半径为R 的球体，质量分布均匀，密度为ρ，引力常量为G，已知某物体受到的地球的万有
引力相当于球内质量集中于O 点对物体的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零。
（1）求距离地球球心距离为r（r＞R）的质量为m 的物体所受到地球的引力大小F1；
b.求距离地球球心距离为r（r＜R）的质量为m 的物体所受到地球的引力大小F2；
（2）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且
质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图11 所示，以某一点O 为观测点，以质量
为m0的星系P 为观测对象，以P 到O 点的距离r 为半径建立球面。设星系P 到O 点的距离为r0时，宇宙
的密度为ρ0。请推导宇宙膨胀过程中星系P 受到的引力大小F 引随距离r 变化的关系式。
（3）科学家在利用超新星检测宇宙的膨胀速度时，观察数据说明其膨胀的速度越来越大，根据（2）中
的简化模型，请你从力与运动的角度判断理论和实际是否相符；如果相符，进行论证说明其合理性；如
果不相符，请对模型（2）提出修正方案，并论证说明修正方案的合理性。
16．2021 年2 月10 日19 时52 分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实
现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为
T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
（2）火星的质量M；
（3）火星表面的重力加速度的大小g；
（4）火星上的第一宇宙速度是多少？
