文档文本内容
专题02 轻松突破二项式定理的七大热点题型
题型
考情分析
考向预测
1.求二项展开式特定项或项的系数
2025 年上海卷 第4 题考查求二项展开式特定
项的系数
2024 年天津卷 第11 题考查求二项展开式的
常数项
2024 年全国甲卷 第13 题考查二项展开式系
数的最值
2025 年北京卷：第14 题考查二项展开式系数
的和
结合近年高考命
题规律与新课标导
向——“基础稳、
交汇活、文化
浓”，大概率以选
择题或者填空题出
现，难度基础或者
中档，掌握公式，
掌握通性通法，基
础题遇到必拿分。
2.求两个二项式乘积展开式中特定
项的系数
3.求三项展开式的特定项或特定项
的系数
4.用赋值法求系数和
5.求系数最大（小）的项
6.杨辉三角问题
7.二项式定理的应用
题型1 求二项展开式特定项或项的系数
3.
1
【例1】（安徽蚌埠市2026 届高三下学期适应性考试数学试题）二项式
展开式中的常数项是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（25-26 高三下·重庆渝中·月考）在
的二项展开式中，若常数项为240，则
项的
系数为（ ）
A．60
B．36
C．729
D．6
【变式1-2】（25-26 高三上·河北邯郸·期中）若
的展开式中
的系数比
的系数小300，则实
数
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
题型2 求两个二项式乘积展开式中特定项的系数
2
【例2】（2026 高三上·贵州贵阳·月考）
的展开式中，含
的项的系数是（ ）
A．35
B．5
C．
D．
【变式2-1】（2026 高三上·河北邢台·月考）在
的展开式中，含
的项的系数为
_____________．
【变式2-2】（2025 高二下·云南昭通·期中）
的展开式中按x 的升幂排列的第3 项的系数为
（ ）
A．26 B．
C．6
D．
题型3 求三项展开式的特定项或特定项系数
3
【例3】（2025·浙江·二模）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．60
B．120
C．240
D．360
【变式3-1】（2025·江西·二模）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．3
B．6
C．60
D．30
题型4 用赋值法求系数和
【例4】（多选）（2026 高三上·湖南长沙·月考·多选）若
，则下列
正确的是（ ）
A．
4
B．
C．
D．
【变式4-1】（多选）（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设
，则（
）
A．
B．
C．
D．
题型5 求系数最大（小）的项
【例5】（2025 高三下·浙江宁波·月考）二项式
展开式中，系数最大值为（ ）
A．280
B．448
C．560
D．672
【变式5-1】（2025 高二下·江苏徐州·月考）
的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别
为（ ）
A．第1 项和第3 项
B．第2 项和第4 项
5
C．第3 项和第1 项
D．第4 项和第2 项
题型6 杨辉三角问题
高频考点与固定套路
【例6】（多选）（2025 高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261 年所
著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393 年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边
的数都是1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4 行的6 为第3 行中两个3 的和．则下
列命题中正确的是（ ）
6
A．第6 行中，有两个相等的最大数
B．
C．第
行所有数之和为
D．在第3 行以后，还会出现全为奇数的行
【变式6-1】(多选)（2025 高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，
并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 二项式定理的应用
7
【例7】（2025 高二上·辽宁锦州·期末）若
既能被整除又能被
整除，则正整数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2025·江西吉安·模拟预测）
的小数点后第二位的数字是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．5
【变式7-2】（25-26 高三上·山东菏泽·期末）数列
中的项
，若存在奇数，使得
均不为偶数，则称数列
为阶除序列．
(1)数列
为
阶除序列，当
，求出所有的
；
(2)已知
，对任意的
，恒有
，求证：数列
是5 阶除序列．
8
一、单选题
1.
（2026 高三下·吉林·月考）若
展开式的各项系数和为32，则该展开式中
的系数是
（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
2.
（2026 高三下·北京·月考）二项式
的展开式中的常数项为（ ）
A．60
B．
C．64
D．
3.
（2026·吉林·模拟预测）在
的展开式中，
的系数为（ ）．
A．120
B．80
C．40
D．
4.
（2026·河北邢台·一模）
的展开式中的常数项为（ ）
A．4
B．
C．1
D．
5.
（2026 高三·山东泰安·月考）在
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.
（2026 高三下·北京·月考）若
.则
的值是
（ ）
A．
B．
C．3
D．5
二、多选题
7.
（2026·河北衡水·模拟预测）关于
的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．展开式共有6 项
B．展开式的各二项式系数的和为64
C．展开式的第6 项的系数为30
D．展开式中二项式系数最大的项是第4 项
8.
（2026 高二上·河南驻马店·期末）已知
的二项式展开式中，二项式系数和为256，所
9
有项的系数绝对值的和为
，则（ ）
A．
B．二项式系数最大的项为
C．第6 项的系数为448
D．所有奇数项的系数和为3281
9.
（2026 高二上·吉林长春·期末）已知
的展开式的各二项式系数之和为128，则（ ）
A．
B．展开式中无常数项
C．展开式中第4 项和第5 项的二项式系数最大
D．展开式的各项系数之和是
10. （2025 高二下·重庆·月考）已知
的展开式中仅第4 项的二项式系数最大，则展开式中系数
最大的项是第（ ）项
A．2
B．3
C．4
D．5
11. （2026 高三上·福建福州·开学考试）
的展开式中，各二项式系数的和为256，则（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中存在常数项
D．展开式中
的系数为16
12. （2026 高三上·浙江宁波·期末）已知
的展开式中常数项为3，
，则下列说法正确的有
（ ）
A．
10
B．
的展开式中
的系数为3
C．
的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和
D．
的展开式中系数最大的项为第2 项或第3 项
13. （2026·辽宁朝阳·一模）若
，
，为常数，则（ ）
A．
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
14. （2026 高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《解析九章算法》一书
中
展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ）
A．第48 行的所有数字之和被7 除的余数为1
B．第20 行第7 个数和第8 个数的比为
C．从第4 行起到第19 行，每一行的第4 列数字之和为
D．第
行所有数的平方和等于第
行最中间的数
三、填空题
15. （2026 高三上·浙江杭州·期末）
展开式中
项的系数为________.
11
16．（25-26 高三下·江西·月考）若
，且
，则
的值为
______.
17．（2026·广东·模拟）在
的展开式中，记
项的系数为
，若
，则
的值为________.
18.（2026 高三下·天津·专题练习）已知多项式
，则
______．
19.（2026 高三下·广东深圳·月考）在
的展开式中，仅第
项的二项式系数最大，则展开式中系
数最大的项是______．
20.（2026 高三上·广东东莞·期中）若
被
除之余式为
，
被
除之余式为
，
则
被
除所得余式为____________
21．（2026 高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）
被9 除的余数是
___________.
22.（2026 高二上·河南驻马店·月考）已知
，且
恰能被
整除，则
的最小正整数取值为
__________．
12
