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专题09 平面向量及其应用
【考点1 平面向量的概念辨析】
【考点2 平面向量的线性运算】
【考点3 向量共线及其应用】
【考点4 基底的概念及判断】
【考点5 用已知基底表示向量】
【考点6 向量运算的坐标表示】
【考点7 平面向量数量积的运算】
【考点8 平面向量的垂直问题】
【考点9 平面向量模的有关问题】
【考点10 平面向量的夹角问题】
【考点11 平面向量的投影向量问题】
【考点12 平面向量数量积的取值范围】
【考点13 向量与几何最值】
【考点14 平面向量在几何其他的应用】
知识点1 ：向量的有关概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：长度为0 的向量，记作
.
3、单位向量：长度等于1 个单位长度的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：
与任一向量平行．
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点2：向量的线性运算
1
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知识点3：共线向量定理/垂直向量的充要条件
①向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝
λ a .
或设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－
x 2y1＝
0 .
②两个向量垂直的充要条件
当⃗a ，⃗b ≠⃗0 时，⃗a ⊥⃗b ⇔⃗a ·⃗b ＝0⇔x1 x2+ y1 y2=0
奎屯
王新敞
新疆
知识点3：向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋
x 2，
y 1＋
y 2)，a－b＝( x 1－
x 2，
y 1－
y 2)，λa＝( λx
1，
λy
1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－
x 1，
y 2－
y 1)，|AB|＝.
知识点4：平面向量的数量积
1.数量积的定义
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量| a || b |cos
θ 叫做向量a 与b 的数量积
(或内积)，记作a·b，即a·b＝| a || b |cos
θ .
2.数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量a，b 的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
2
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(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
常用结论
1．中点公式的向量形式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．
2．OA＝λOB＋μOC(λ,μ 为实数)，若点A，B，C 共线(O 不在直线BC 上)，则λ＋μ＝1.
3．两个向量a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且a，b 不共线；两个向量a，b 的夹角为钝角
⇔a·b<0 且a，b 不共线
4．平面向量数量积运算的常用公式：
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
【考点1 平面向量的概念辨析】
【典例1】多选题（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
B．若⃗a与⃗b共线且模长相等，则⃗a=⃗b
C．若|⃗a|>|⃗b|且⃗a与⃗b方向相同，则⃗a>⃗b
D．(λ⃗a)⋅⃗b= λ(⃗a⋅⃗b)=(λ⃗b)⋅⃗a恒成立
【考点2 平面向量的线性运算】
【典例1】（2024·山西吕梁·三模）已知等边△ABC的边长为1，点D , E分别为AB ,BC的
中点，若⃗DF =3⃗EF，则⃗AF =（ ）
A．1
2⃗AB+ 5
6⃗AC
B．1
2⃗AB+ 3
4⃗AC
C．1
2⃗AB+⃗AC
D．1
2⃗AB+ 3
2⃗AC
【典例2】（2024·广东汕头·三模）已知四边形ABCD是平行四边形，⃗BE =2⃗EC，
3
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DF =⃗FC，则⃗EF =（ ）
A．−1
2⃗AB+ 1
3⃗AD
B．−1
2⃗AB−1
3⃗AD
C．−1
3⃗AB+ 1
2⃗AD
D．−1
3⃗AB−1
2⃗AD
【典例2】（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB =2CD，点
M是BC的中点，则⃗AM =（ ）
A．2
3⃗AB−1
2⃗AD
B．1
2⃗AB+ 2
3⃗AD
C．⃗AB+ 1
2⃗AD
D．3
4⃗AB+ 1
2⃗AD
【典例3】（2024·山东济南·二模）在△ABC中，E为边AB的中点，⃗BD = 2
3⃗BC，则⃗DE =
（ ）
A．−1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
B．5
6⃗AB+ 1
3⃗AC
C．1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
D．1
6⃗AB−2
3⃗AC
【考点3 向量共线及其应用】
【典例1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量⃗e1，⃗e2是平面上两个不共线的单位向量，且⃗
AB =⃗e1+2⃗e2
，⃗BC =−3⃗e1+2⃗e2
，⃗DA =3⃗e1−6⃗e2
，则（ ）
A．A、B、C三点共线
B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线
D．B、C、D三点共线
【典例2】（2024·河北衡水·模拟预测）在△ABC中，D是BC的中点，直线l分别与
AB , AD , AC交于点M , E , N，且⃗AB = 4
3⃗AM，⃗AE =2⃗ED ,⃗AC = λ⃗AN，则λ =（ ）
A．8
5
B．5
3
C．7
4
D．5
2
8．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量⃗a，⃗b满足(⃗a+ λ⃗b)∥(λ⃗a+2⃗b)，则正数
λ =（ ）
A．1
B．√2
C．√3
D．2
4
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【典例3】（2024·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F 为线段BC 上任一点（不含端
点），若⃗AF = x⃗AB+2 y⃗AC (x>0, y >0)，则1
x + 2
y
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
【典例4】（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量⃗e1，⃗e2不共线，⃗a=(2k −1)⃗e1+2⃗e2，⃗
b=⃗e1−⃗e2
，且⃗a//⃗b，则k =（ ）
A．−1
2
B．0
C．1
D．3
2
【典例5】（2024·江苏·二模）已知非零向量⃗a=(cos2α ,sin(α +π
4 ))，⃗
b=(sin(α +π
4 ),1)，若⃗a//⃗b，则sin2α =（ ）
A．−1
B．√10
10
C．4
5
D．3
5
【典例6】（2024·全国·模拟预测）如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线
段AM上一点，⃗AG =2⃗GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点．设⃗
AB = x⃗AP( x>0)，⃗AC = y⃗AQ( y >0)，则4
x +2 +
1
y +1
的最小值为（ ）
A．3
4
B．3
2
C．3
D．6
【考点4 基底的概念及判断】
【典例1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量⃗e1、⃗e2，则以下四组向量中不
能构成平面向量的基底的是（ ）
A．2⃗e1+⃗e2和⃗e1−⃗e2
B． ⃗e1+3⃗e2和⃗e2+3⃗e1
5
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C． 3⃗e1−⃗e2和2⃗e2−6⃗e1
D． ⃗e1和⃗e1+⃗e2
【典例2】（2023·陕西西安·一模）设k ∈R，下列向量中，可与向量⃗q =(1,−1)组成基底
的向量是（ ）
A．⃗b=(k ,k )
B．⃗c =(−k ,−k )
C．⃗d =(k
2+1,k
2+1)
D．⃗e =(k
2−1,k
2−1)
【考点5 用已知基底表示向量】
【典例3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1 的正三角形，⃗
AN = 1
3⃗NC , P是BN上一点且⃗AP =m⃗AB+ 2
9⃗AC，则⃗AP⋅⃗AB =（ ）
A．2
9
B．1
9
C．2
3
D．1
【典例4】（2024·河北衡水·模拟预测）在△ABC中，
∠BAC =60
∘,|⃗AB|=6,|⃗AC|=3,⃗AM =2⃗MB ,⃗CN =⃗NM，则⃗AN ⋅⃗CB =（ ）
A．−9
B．17
2
C．9
D．18
【典例5】（2024·全国·模拟预测）如图，在边长为3 的正三角形ABC中，⃗AD =2⃗DC，⃗
BD = 4⃗BE，则⃗AE⋅⃗AC =（ ）
A．15
4
B．3
C．39
8
D．2
6
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【典例6】（黑龙江·期中）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，
勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵
爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24 届
国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4 个全等的直角三角形和中间的小正方
形组成的，若⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，E 为BF的中点，则⃗AE =（ ）
A．4
5⃗a+ 2
5⃗b
B．2
5⃗a+ 4
5⃗b
C．4
3⃗a+ 2
3⃗b
D．2
3⃗a+ 4
3⃗b
【考点6 向量运算的坐标表示】
【典例1】（23-24 高三下·湖北·开学考试）已知⃗e是单位向量，且|2⃗e−⃗a|=√10, ⃗a+2⃗e在⃗
e上的投影向量为5⃗e，则⃗a与⃗e的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
12
【典例2】（21-22 高三下·云南·阶段练习）已知向量⃑a=(2t ,2)，⃑b=(−t −2,−5)，若向量⃑
a与向量⃑a+⃑b的夹角为钝角，则t的取值范围为（ ）
A．(−3,1)
B．(−3,−1)∪(−1,1)
C．(−1,3)
D．(−1, 1
2)∪(
1
2 ,3)
【考点7 平面向量数量积的运算】
【典例1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若⃗a=(2,0)，|⃗b|=1，|⃗a−⃗b|=√3，则⃗a与⃗a−⃗b的夹
角为（ ）
7
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A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．5π
6
【典例2】（2024·重庆九龙坡·三模）已知|⃗a|=2，⃗b=(1,√2)，|⃗a+2⃗b|=2，则向量⃗a,⃗b
的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【典例3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知向量⃗a，⃗b满足同向共线，且|⃗b|=2，|⃗a−⃗b|=1，
则(⃗a+⃗b)⋅⃗a=（ ）
A．3
B．15
C．−3或15
D．3 或15
【典例4】（2024·四川成都·模拟预测）设向量⃗a，⃗b满足(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+2⃗b)，且
2|⃗a|=3|⃗b|≠0，则cos<⃗a,⃗b>=（ ）
A．−1
6
B．−3
8
C．1
6
D．3
8
【典例5】（2024·上海·三模）已知向量⃗a、⃗b满足|⃗a|=2，|⃗b|=3，|⃗a+⃗b|= 4，则⃗a⋅⃗b=
．
【考点8 平面向量的垂直问题】
【典例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量⃗m，⃗n满足|⃗m|=1，|⃗n|=2，且
(⃗m−⃗n)⊥⃗m，则|⃗m−⃗n|=（ ）
A．1
B．√3
C．√7
D．2
【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）若⃗a，⃗b是夹角为60
°的两个单位向量，λ⃗a+⃗b与2⃗a−⃗b
垂直，则λ =（ ）
A．0
B．2
C．−1
D．−2
【典例3】（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量⃗a=(2,−1),⃗b=(√3,m)，且
(⃗a+⃗b)⊥(⃗a−⃗b)，则m的值为（ ）
8
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A．±1
B．±√2
C．±2
D．±2√3
【考点9 平面向量模的有关问题】
【典例1】（2024·江苏盐城·一模）已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a−⃗b|=√3，|⃗a+⃗b|=|2⃗a−⃗b|，则
|⃗b|=（ ）
A．1
B．√2
C．2
D．√3
【典例2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b的夹角为45
°,|a
→|=1,|b
→|=√2，则
|2⃗b−⃗a|=（ ）
A．√5
B．√7
C．√13
D．5
【典例3】（2023·全国·模拟预测）平面向量⃗a=(2,1)，|⃗b|=2，且⃗a⋅⃗b=2．若
|⃗a−⃗b|=|⃗a+t⃗b|，则t =（ ）
A．0
B．2
C．0 或−1
D．±1
46．（2024·全国·模拟预测）若向量⃗a与⃗b的夹角为π
3
，|⃗a|=2，(⃗a−2⃗b)⊥(−7⃗a+⃗b)，则
|⃗b|= ．
【考点10 平面向量的夹角问题】
【典例1】（2024·北京·三模）若|⃗a|=1,|⃗b|=2,(⃗a−⃗b)⊥⃗a，则向量⃗a与⃗b
的夹角为
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【典例2】（2024·河南·三模）在菱形ABCD中，∠ABD =50
∘，则向量⃗AD与⃗DC的夹角
为（ ）
A．50
∘
B．130
∘
C．80
∘
D．100
∘
【典例3】（2024·山东日照·三模）已知⃗a和⃗b是两个单位向量，若⟨⃗a,⃗b⟩=π
3
，则向量⃗a与
9
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向量⃗a−⃗b的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
【考点11 平面向量的投影向量问题】
【典例1】（2024·山东青岛·二模）已知向量⃗a=(−1,2)，⃗b=(−3,1)，则⃗a在⃗b
上的投影向
量为（ ）
A．(−3
2 , 1
2 )
B．(−1
2 ,1)
C．(−√5
5 , 2√5
5
)
D．(−3√10
10
, √10
10 )
【典例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⃗OA =(1,√3)，点B在
直线x +√3 y −2=0上，则⃗OB在⃗OA上的投影向量为（ ）
A．(1,√3)
B．(1,3)
C．(
1
2 , √3
2 )
D．(
1
2 , 3
2)
【典例3】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量⃗a，⃗b
满足|⃗a|=2，⃗b=(3,0)，
|⃗a−⃗b|=√10，则向量⃗a在向量⃗b方向上的投影向量为（ ）
A．(
1
2 ,0)
B．(
1
3 ,0)
C．(
1
6 ,0)
D．(1,0)
【典例4】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量⃗a=(1,√3)，⃗b=(−√3,1)，则⃗a在⃗b
上的
投影向量的模为（ ）
A．√3
B．1
C．0
D．√3
2
【考点12 平面向量数量积的取值范围】
【典例1】（23-24 高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点
P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则⃗PC ⋅⃗PD的取值范围为
（ ）
10
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A．(0,16]
B．[0,16]
C．(0,4)
D．[0,4]
【典例2】（2023·全国·模拟预测）在等腰△ABC中，角A，B，C 所对应的边为a，b，c，
B =C =π
6
，a=2√3，P 是△ABC外接圆上一点，则⃗PA ⋅⃗PB+⃗PB⋅⃗PC +⃗PC ⋅⃗PA的取值
范围是（ ）
A．[−3,23]
B．[−1,33]
C．[−2,30]
D．[−4,20]
【典例3】（2023·河南·模拟预测）已知|⃗a|=√2,|⃗b|=1，⃗a与⃗b的夹角为45°，求使向量
2⃗a+ λ⃗b与λ⃗a+3⃗b的夹角是锐角，则λ的取值范围 .
【考点13 向量与几何最值】
【典例1】（2024·北京石景山·一模）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗b|=2，⃗a与⃗b的夹角为π
6
，则当实
数λ变化时，|⃗b−λ⃗a|的最小值为 ．
【典例2】（2023·山东·模拟预测）已知A 、P、Q是半径为2 的圆上的三个动点，弦PQ
所对的圆心角为120
∘，则⃗AP⋅⃗AQ的最大值为（ ）
A．6
B．3
C．√6
D．√3
【考点14 平面向量在几何其他的应用】
【典例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在△ABC中，角A ，B，C的对边分别为
a，b，c，已知a=bcosC −√3
3 c sin B
(1)求角B
(2)过B作BD⊥BA，交线段AC于D，且AD =2 DC，求角C.
【典例2】（2024·广东广州·一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
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△ABC的面积为S.已知S =−√3
4 (a
2+c
2−b
2).
(1)求B；
(2)若点D在边AC上，且∠ABD =π
2
，AD =2 DC =2，求△ABC的周长.
【典例3】（2024·吉林白山·一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已
知a=bcosC −√3
3 c sin B．
(1)求角B；
(2)过B作BD⊥BA，交线段AC于D，且AD =2 DC，求角C．
一、单选题
1．已知向量⃗a=(2, x),⃗b=(−2,−1)，若⃗a⊥⃗b
，则x =（ ）
A．1
B．−1
C．−2
D．−4
2．已知向量⃗a=(3,4)，⃗b=(1,−7)，则（ ）
A．⃗a//(⃗a+⃗b)
B．⃗a//(⃗a−⃗b)
C．⃗a⊥(⃗a−⃗b)
D．⃗a⊥(⃗a+⃗b)
3．已知向量⃗a=(2,4),⃗b=(3,−1)，则“k =√2”是“(a⃗+kb⃗)⊥(a⃗−kb⃗)”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=√2,|⃗b|=1,|⃗a+⃗b|=√5，则向量⃗a,⃗b夹角的余弦值为（ ）
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A．√2
2
B．−√2
2
C．1
2
D．−1
2
5．设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件
B．“x =−3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x =0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件
D．“x =−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
6．已知⃗e1,⃗e2是单位向量，⃗e1⋅⃗e2=−1
2
，则⃗e1+2⃗e2与⃗e2的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
7．在平行四边形ABCD中A = 45
∘, AB =1, AD =√2
，若⃗AP =⃗AB+ x⃗AD (x∈R),则
|⃗AP|的最小值为（ ）
A．1
2
B．√2
2
C．1
D．√2
8．已知平面向量⃗a=(−1,2)，⃗b=(3,4)，则⃗a在⃗b
上的投影向量为（ ）
A．(−3
5 ,−4
5)
B．(
3
5 , 4
5)
C．(−1
4 ,−1
3)
D．(
1
4 , 1
3)
9．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，A = 2π
3
，若点D 满足⃗
AD⋅⃗AB =0，且⃗AD = 4
5⃗AC + 1
5⃗AB，则b
c =（ ）
A．1
2
B．2
C．1
4
D．4
10．已知单位向量⃗a，⃗b满足(⃗a−⃗b)⋅⃗a= 1
2
，则⃗a−2⃗b与⃗b的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
二、填空题
11．在△ABC中，已知⃗DC =3⃗BD，P为线段AD的中点，若⃗BP = λ⃗BA + μ⃗BC，则
13
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1
λ + 1
μ = ．
12．已知向量⃗a=(1,√3)，⃗b=(−√3,1)，则⃗a在⃗b
上的投影向量的模为 ．
三、解答题
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，
c
2=⃗BA ⋅⃗BC −2√3 S，其中S为△ABC的面积.
(1)求角A的大小；
(2)设D是边BC的中点，若AB⊥AD，求AD的长.
14．已知向量⃗m=(cos(ωx +π
3 ),cosωx)
，⃗n=(sin(ωx −π
2 ),cosωx),(ω>0)，
f (x)=⃗m⋅⃗n−1
4
，y = f (x)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离√2.
(1)求ω的值及f (x)在[0,π
3 ]上的单调递增区间；
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c =2, A =π
3
，求f (a)的值域.
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