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7.5 空间几何的外接球（精练）
1．（2023 秋·贵州铜仁）在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，则三棱
锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图：
∵
平面ABC，
，
∴
，AC，AP 两两互相垂直，
，
把三棱锥
补成为正方体，则正方体的外接球即三棱锥
的外接球，
正方体的体对角线长为
，即其外接球直径
，
∴三棱锥外接球的表面积为
.
故选：B．
2．（2023 春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥
的体积是
，
底面
是正方形，
是等边三角形，平面
平面
，则四棱锥
外接球表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
1
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【解析】
设正方形
的边长为
，在等边三角形
中，过
点作
于E，
由于平面
平面
，∴
平面
．
由于
是等边三角形，则
，
∴
，解得
．
设四棱锥外接球的半径为
，
为正方形ABCD 中心，
为等边三角形PAB 中心，
O 为四棱锥P－ABCD 外接球球心，则易知
为矩形，
则
，
，
，
∴外接球表面积
．
故选：C．
3．（2023 春·甘肃酒泉）一个到球心距离为1 的平面截球所得截面的面积为π，则它的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
2
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作出球的截面示意图，如图
是平面截球所得小圆的直径，
是小圆圆心，
是球心，
设小圆半径为
，依题意得
，解得
，由
，得到
，
又
即为球心到小圆所在平面距离，故
，为球的半径，
根据球的体积公式，体积为：
.
故选：D
4．（2023 春·辽宁大连）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1 的球的体积相等，则该圆锥的母
线长为（ ）
A．2
B．
C．5
D．
【答案】D
【解析】根据题意，圆锥的底面半径为
，设圆锥的高为h，
圆锥体积与半径为1 的球的体积相等，则
，解得
，
所以母线长为
．
故选：D．
5．（2023 春·陕西榆林 ）若正三棱锥
的高为
，
，其各顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】已知正三棱锥
的底面边长为
，高为
，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，
如图所示：
3
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，
设点
为
的中心，
为外接球的球心，
可能在三棱锥内部，也可能在外部，
，即
，解得
．
该球的表面积为
．
故选：C
6．（2023 春·广东韶关 ）已知三棱锥
的顶点都在球
的球面上，
平面
，若球
的体积为
，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，易知三角形
为等腰直角三角形，
又
平面
，所以
为三棱锥
的高，
则可将三棱锥
放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即
为球直径，
，
解得
，
又
，
解得
，
，所以
4
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所以三棱锥的体积
，
故选：A
7．（2023 春·湖南）2022 年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代
“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们
蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥
如图所示，
顶点A 在底面的射影落在△BCD 内，它的体积为
，其中△BCD 和△ABC 都是边长为
的正
三角形，则该“鞠”的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，取
的中点
，连接
，作
于点
，
因为△BCD 和△ABC 都是正三角形，
所以
，
又
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
平面
，
所以
平面
，
则
，
即
，解得
，
5
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，
则
，
设
外接圆的圆心为
，三棱锥外接球的球心为点
，则
平面
，
外接圆的半径
，
，
设外接球的半径为
，
，
则
，
，
故
，解得
，
所以
，
所以该“鞠”的表面积为
.
故选：B.
8．（2023 春·山西太原）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是
，则该正方体的
体积为（ ）
A．4
B．16
C．8
D．64
【答案】D
【解析】根据球的体积公式，
，解得
.
6
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因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为
，故正方体的体积为
.
故选：D.
9．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥
的底面
是矩形，高为
，
，
，
，
，则四棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，在矩形
中，连接对角线
，记
，则点
为矩形
的外接圆
圆心，
取
的中点
，连接
，记
的外接圆圆心为
，易知
，且
共线.
因为
，
平面
，所以
平面
，
所以
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
所以
平面
，所以
，所以
，易得
，
所以由正弦定理得
的外接圆半径为
，即
.
过
作
平面
，且
，连接
，由
平面
，
可知
，则四边形
为矩形，所以
，则
平面
.
根据球的性质，可得点
为四棱锥
的外接球的球心，
因为
，所以四棱锥
的外接球的表面积为
.
故选：C
7
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10．（2023·全国·高三专题练习）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1 的相同的圆锥形成的组合体，
设它的体积为
，它的内切球的体积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为
，半径等于点
到
的距离，设半径为，则
，
所以
，
所以
，
故选：D
11．（2023 秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知一个圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥内切球的
表面积与圆锥的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，设圆锥的底面圆半径为，则
，
则圆锥的的侧面积为
，故圆锥的表面积为
，
设圆锥的内切球球心为
，过点
作
⊥
于点
，设内切球的半径为
，
8
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则
，
因为
，所以
，即
，
解得
，故内切球的表面积为
，
则圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为
.
故选：B
12．（2023 春·广西南宁 ）在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在
中，
，
，
，则
，
设
外接圆半径为，则
，即
，令
外接圆圆心为
，
三棱锥
外接球球心为
，半径为
，有
平面
，
由
平面
，得
，又
，取
中点
，于是四边形
为矩形，
9
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则球心
到平面
的距离
，
因此
，所以三棱锥
外接球的表面积
.
故选：C
13．（2023 春·重庆江津 ）如图，已知棱长为1 的正方体
中，下列命题正确的是（ ）
A．正方体外接球的半径为
B．点
在线段
上运动，则四面体
的体积不变
C．与所有12 条棱都相切的球的体积为
D．
是正方体的内切球的球面上任意一点，则
长的最小值是
【答案】D
【解析】选项A：连接
，则
为正方体外接球的直径，
又
，则正方体外接球的直径为
，故A 错误；
选项B：
为边长是
的等边三角形，面积为定值，
点
在线段
上运动，
，
与平面
相交，
所以
与平面
相交，所以四面体
的高是变化的，
10
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所以四面体
的体积是变化的，故B 错误；
选项C：与所有12 条棱都相切的球的半径为
，
该球体积为
，
则与所有12 条棱都相切的球的体积为
，故C 错误；
选项D：正方体的内切球的半径为
，球心为
中点，
是球面上任意一点，则
长的最小值是
,故D 正确.
故选:D.
14．（2023 春·陕西安康·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥
中，已知
，
，
，
，平面
平面
，三棱锥
的体积为
，若点
，
，
，
都在球
的球面上，则球
的表面积为（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
的中点
，连接
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
为三棱锥
外接球的球心，
设
，则
，
，
因为
，
，所以
为等腰直角三角形，且
，
所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
，
，所以
，
所以
，解得
，
所以球
的表面积为
，
故选：B
15．（2023 春·山东济宁 ）在三棱锥
中，
，
是边长为6 的等边三角形，
若平面
平面
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
的中点
，
的中点
，连接
，
，如图所示，
12
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由
，有
，则
，所以点
为
的外心，
因为
为等边三角形，取
的外心
，
分别过点
，
作
平面
，
平面
，且
，
则点
为三棱锥
的外接球的球心，
设外接球的半径为
，连接
，则
为外接球的半径，
由题可知
，
又平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
所以四边形
为矩形，
所以
，又
，
所以
，
所以三棱锥
的外接球的表面积
．
故选：B．
16．（2023 秋·浙江丽水 ）在四面体PABC 中，
，
是边长为2 的等边三角形，若二面角
的大小为
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设正
的重心为
，则
是正
的外接圆的圆心，
13
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取
的中点
， 因为
，所以
是
的外接圆的圆心，
过
作
平面
，过
作
平面
，
，如图，
则
为四面体
的外接球的球心，
又二面角
的大小为
，则
，
又在正
中，
，
则在
中，
，
设四面体PABC 的外接球的半径为
，
则
，
所以四面体PABC 的外接球的表面积为
.
故选：C.
17．（2023 春·四川宜宾 ）在矩形
中，
，
为
的中点，将
和
沿
，
翻折，使点
与点
重合于点
，若
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
.
又
平面PAD，
平面PAD，所以MP⊥平面PAD.
14
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设△ADP 的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得
，即
，
所以
，设三棱锥M-PAD 的外接球的半径为R，则
，
所以外接球的表面积为
.
故选：B
18．（2023 秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥
中，
，二面角
的大小为
，则三棱锥
的外接球的表面积为
．
【答案】
/
【解析】取
的中点
，连接
，因为
，
所以
和
都是等边三角形，所以
，
所以
是二面角
的平面角，即
，
设球心为
，
和
的中心分别为
，则
平面
，
平面
，
因为
，
公共边，所以
≌
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以三棱锥
的外接球的表面积为
故答案为：
15
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19（2023 春·贵州黔西·高一校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂
直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中
底面
，
，
，
，则该“阳马”的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，以
为棱作长方体，
则长方体的对角线即为该“阳马”的外接球的直径，设直径为
，
则
，所以
，
所以该“阳马”的外接球的表面积为
.
故答案为：
.
20．（2023 春·四川成都 ）已知圆锥的底面半径为2，高为
，则该圆锥的内切球表面积为 .
【答案】
【解析】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，
16
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设该内切球的球心为
，内切球的半径为，
为切点，
所以，
，
由已知得
，
，
所以，在
中，
，即
，解得
，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为：
.
20．（2023 春·辽宁沈阳 ）已知四面体
中，
，
，则该四
面体外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】对于四面体
中，因为
，
，
所以可以把四面体
放入一个长方体，如图：
设从同一个顶点出发的三条边长分别为
、
、，则有：
，解得
，
点
、
、
、
均为长、宽、高分别为
，
，
的长方体的顶点，
17
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且四面体
的外接球即为该长方体的外接球，
于是长方体的体对角线即为外接球的直径，
不妨设外接球的半径为
，∴
，
∴外接球的表面积为
.
故答案为：
.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知点
均在球
的球面上运动，且满足
，若三棱锥
体积的最大值为
，则球
的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示，当点
位于垂直于面
的直径端点时，三棱锥
的体积最大，
设球
的半径为
，此时
，
故
，则球
的体积为
.
故答案为：
22．（2023 春·河北承德 ）已知三棱锥
的各侧棱长均为
，且
，则
三棱锥
的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图：
18
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过P 点作平面ABC 的垂线，垂足为M，则
都是直角三角形，
又
，同理可得
，
，
所以M 点是
的外心；
又
，
是以
斜边的直角三角形，
在底面
的射影为斜边
的中点
，如下图：
则
，设三棱锥
外接球的球心为
，半径为，
则
在
上，则
，即
，得
，外接球的表面积为
；
故答案为：
23．（2023 春·江西赣州 ）如图，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为线段AB 的中点，
，
，将
沿
所在直线进行翻折，得到三棱锥
，当
时，此三棱锥的外接
球表面积为 ．
19
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【答案】
【解析】因为
是等腰直角三角形，点P 为线段AB 的中点，
，
，
所以
，
，则
，
因为
，所以
，则
，
所以将该三棱锥补成正方体，如下图所示：
则三棱锥
的外接球就是边长为的正方体的外接球，
所以该外接球的直径为正方体的体对角线，即
，
所以外接球表面积为
.
故答案为：
.
24．（2023 春·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥
的顶点都在球O 的球面
上，其侧棱与底面所成角为
，且
，则球O 的表面积为
【答案】
【解析】如图，正三棱锥
中，设点Q 为
的中心，则PQ⊥平面ABC，
20
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∴
，∴
，PQ＝3．
球心O 在直线PQ 上，连接AO，设球O 的半径为r，
则
，
，
在
中，
，即
，解得
，
∴球O 的表面积为
．
故答案为：
.
1．（2024 秋·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）在三棱锥
中，
为等边三角形，
，则三棱锥
外接球的表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：如图所示：
由题意可得，
，所以
，
则
，又
，
所以
，
即
.又
平面
，
所以
平面
.
设
，则
，
取正
的外心为
，三棱锥
外接球的球心
，连接
，
则
平面
，
21
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底面外接圆的半径
，
所以三棱锥
外接球的半径
.
当
时，
有最小值为
，
所以三棱锥
外接球表面积的最小值为
.
故选：B.
2．（2023 秋·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥
中，
，
，二面角
的平面角为
，则三棱锥
外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当D 在△ACD 的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，
故可使D 点动到一个使得DA=DC 的位置，取AC 的中点M，连接
，
因为
，DA=DC，所以
，
，故
即为二面角
的平面角，
△ACB 的外心为O1，过O1作平面ABC 的垂线，过△ACD 的外心M 作平面ACD 的垂线，两条垂线均在平
面BMD 内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；
在平面ABC 内，设
，则
，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
22
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令
，则
，
所以
，当且仅当
时取等，
故选:B
3．（2023 春·江西赣州 ）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球
，然后再放入一
个球
，使得球
与球
及正四面体的三个侧面都相切，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，正四面体
，设点
是底面
的中心，点
是
的中点，连接
.
则由已知可得，
平面
，球心
在线段
上，球
切平面
的切点在线段
上，分别
设为
.
23
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则易知
，
，设球
的半径分别为
.
因为
，根据重心定理可知，
.
，
，
，
，
.
由
可得，
，
即
，解得，
，所以
.
由
可得，
，
即
，解得
，
所以，球
的体积为
.
故选：A.
4．（2023 春·贵州遵义 ）已知三棱锥
中，
，
，
，三棱锥
的外接球的表面积为
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设三棱锥
外接球的半径为
，则
，解得
，
又
，
，即
为直角三角形，则
外接圆的直径即为直角三角形的斜边
，
且
，
即
外接圆的半径
，所以
为外接球中的大圆，
即为三棱锥
外接球的直径，设
的中点为
，则
即为球心，
24
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设
，
，则
，
所以
，当且仅当
时取等号，
即
，
此时
，且
，又
，
则
且
，所以
，
则
且
，
，
平面
，所以
平面
，
所以
，
所以
，
即三棱锥
体积的最大值为
.
故选：D
5．（2023 春·浙江丽水）如图，在三棱柱
中，
底面
，
，
，
，
在上底面
（包括边界）上运动，则三棱锥
的外接球体积的最大值为
（ ）
25
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图，取
中点为
，
中点为
，连接
，取
的中点为
，连接
.
因为
为直角三角形，所以
外接圆的圆心即为
.
同理，
外接圆的圆心即为
.
所以，当
位于
顶点时（不妨假设点
与点
重合），三棱锥
的外接球的球心恰好与三
棱柱
的外接球的球心重合，即三棱锥
的外接球的半径等于三棱柱
的外
接球的半径，此时体积有最大值.
因为
分别为
的中点，
26
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根据三棱柱的性质可知，
，且
，
所以，四边形
是平行四边形，
所以
，且
，
.
根据三棱柱的性质可知
平面
，
所以
平面
.
又
分别为
以及
外接圆的圆心，
所以，线段
的中点
即为三棱柱
的外接球的球心，
所以，三棱柱
的外接球的半径即等于
.
又
，所以
，
.
因为
平面
，
平面
，所以
，即
，
所以，
，
所以，三棱锥
的外接球体积的最大值为
.
故选：C.
6．（2023 春·山东聊城 ）（多选）已知正三棱锥的侧棱长为
，底面边长为6，则（ ）
A．正三棱锥的高为6
B．正三棱锥的表面积为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的外接球的体积为
【答案】AC
27
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【解析】
如图，在正三棱锥
中，过
作
交
于
，过
作
面
，
为外接球球心，易
知
在
上，连接
.
对于A，
，
，
，
故
，即正三棱锥的高为6，故A 正确；
对于B，正三棱锥的表面积为
，故B 错误；
对于C，正三棱锥的体积为
，故C 正确；
对于D，设外接球半径为
，
，由
，
可得
，解得
，故外接球的体积为
，故D 错误.
故选：AC.
7．（2023 春·浙江金华）（多选）在三棱锥
中，
两两垂直，
，点
分别在侧面
和棱
上运动且
为线段
的中点，则下列说法正确的是（ ）
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A．三棱锥
的内切球的半径为
B．三棱锥
的外接球的表面积为
C．点
到底面
的距离的最小值为
D．三棱锥
的体积的最大值为
【答案】BC
【解析】对于A，因为
两两垂直，
，
所以
，
，
，
所以
，
设三棱锥
的内切球的半径为，则
，
所以
，
解得
，所以A 错误，
对于B，因为
两两垂直，所以将三棱锥
补成如图所示的长方体，
则长方体的体对角线等于三棱锥
外接球的直径，
29
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设三棱锥
外接球半径为
，则
，解得
，
所以三棱锥
的外接球的表面积为
，所以B 正确，
对于C，因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
所以
，
因为
为线段
的中点，所以
，
所以点
的轨迹是以
为球心，1 为半径的
球面上，
设点
到平面
的距离为
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，
所以点
到底面
的距离的最小值为
，所以C 正确，
对于D，由选项C 可知点
的轨迹是以
为球心，1 为半径的
球面上，
30
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因为
的面积为定值，所以当点
到底面
的距离最大值时，三棱锥
的体积最大，
设球面分别交
于点
，
因为
，所以当点
与点
或
重合时，点
到底面
的距离最大，设为
，则有
，得
，
所以三棱锥
的体积的最大值为
，所以D 错误，
故选：BC
8．（2023 春·湖北武汉）（多选）如图，在四边形
中，
和
是全等三角形，
，
，
，
．下面有两种折叠方法将四边形
折成三棱锥．折法①；将
沿着
折起，得到三棱锥
，如图1．折法②：将
沿着
折起，得到三棱锥
，
如图2．下列说法正确的是（ ）．
A．按照折法①，三棱锥
的外接球表面积恒为
B．按照折法①，存在
满足
C．按照折法②﹐三棱锥
体积的最大值为
31
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D．按照折法②，存在
满足
平面
，且此时
与平面
所成线面角正弦值为
【答案】ACD
【解析】由题意知
，
取
的中点
,由于
和
是直角三角形且全等，
故
,
故在折法①的折叠过程中,三棱锥
的外接球的球心为
,半径为1,
故该球的表面积恒为
,故A 选项正确；
按照折法①,在折起过程中,点
在平面
内的投影
在线段
上(不包括端点),
而线段
(不包括端点)不存在
使得
，故不存在
满足
，故B 选项错误；
按照折法②，取
的中点
，
，
当平面
平面
时，三棱锥
体积取得最大值，
此时体积
,故C 选项正确;
当
时，
，
，
故此时
,
,
又因为
平面
,
故
平面
,
故
为
与平面
所成线面角,
则
，故D 选项正确.
32
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故选:ACD.
9（2023 春·江苏南通）（多选）如图，圆锥
内有一个内切球
，球
与母线
分别切于点
.若
是边长为2 的等边三角形，
为圆锥底面圆的中心，
为圆
的一条直径（
与
不重合），
则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为
B．平面
截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C．四面体
的体积的取值范围是
D．若
为球面和圆锥侧面的交线上一点，则
最大值为
【答案】ABD
【解析】对选项A，设圆锥的底面半径为，球的半径为
，圆锥的母线长为，
因为
是边长为2 的等边三角形，则
，
，
连接
，
，
，由条件可知，
，
，且
，
33
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则
，所以
，
则
，即
，
所以球的表面积
，圆锥的侧面积
，
所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为
，故选项A 正确；
因为平面
与母线VB 平行，所以截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故选项B 正确；
对选项C，由题意
是
的中点，所以四面体
的体积等于
，
设点
到平面
的距离为
，当
，
处于
，
时，
，
当
，
处于弧
中点时，
最大，为1，所以
，
如图作
交
于
，由对选项A 可知，
，
则
，
，所以
，从而
，
所以
的面积
，
所以
，
因为
，所以
，故
，
所以四面体
的体积的取值范围是
，故选项C 不正确；
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对选项D，由题意得球面和圆锥侧面的交线为以
为直径的圆，
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，设
，
则
，
，
所以
，
所以
即
，
所以当
时，
有最大值
，故选项D 正确.
故选：ABD.
10．（2023 秋·全国·高三校联考开学考试））在三棱锥
中，平面
平面
，底面
是
边长为3 的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为
，则该三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【解析】依题意，点
是三棱锥
外接球的球心，设球
的半径为
是
外接圆的圆心，
设圆
的半径为，点
到底面
的距离为，
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由题意，可得
，则
.
因为
是边长为3 的正三角形，
所以由正弦定理，可得
，则
.
所以三棱锥
的体积为
，
三棱锥
的体积取最大值则需要最大.
由题意可知，点
在过
且与底面
（此处底面
为水平）垂直的截面圆的圆周上运动，当点
运
动到该圆的最高点时，最大.
取
的中点
，连接
，过点
作
.如图所示，
由圆的对称性可知，此时
，则
.
又平面
平面
，且平面
平面
平面
，
所以
平面
.
因为在
中，
，
又
，
所以
.
易得四边形
为矩形，
所以
.
因为在
中，
，
36
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所以
，
所以
.
故答案为：
.
11（2023 春·甘肃金昌 ）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，顶点M 在底面的射影恰为A
点，且
为等腰三角形，则四棱锥
外接球的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示，在四棱锥
中，顶点M 在底面的射影恰为A 点，
则
平面
，
平面
，
所以
，
，
，
因为
为正方形，所以
，且
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
且
，且
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
取
的中点
，连接
，
因为
都是直角三角形，所以
，
则球心为
，底面是边长为4 的正方形，
为等腰三角形，则
，
∴
，∴
，
则四棱锥
外接球的半径为
，
其体积
.
故答案为：
.
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12．（2023 春·海南 ）已知四棱锥
的外接球
的体积为
，
平面
，且底面
为矩形，
，则四棱锥
体积的最大值为 .
【答案】32
【解析】由于
平面
，故可将四棱锥
补成长方体，如图示：
可知四棱锥
外接球直径即为该长方体的体对角线；
设四棱锥
外接球半径为R，则
，
设长方体的长、宽、高分别为
，不妨设
，其中
，
则
，即
，
由
，即
，当且仅当
时等号成立，
所以底面
面积的最大值为24，
故四棱锥
体积的最大值为
，
故答案为：32
13．（2023 春·江西九江 ）正四棱台
的高为
，
，
，球
在该正四棱台
的内部，则球
表面积的最大值为 .
【答案】
【解析】设正四棱台
上底面、下底面的中心为
，
，
球
在该正四棱台的内部，要使球
的表面积尽可能大，
则球
与正四棱台
的尽可能多的面相切，显然球心
在
上，
设球
与面
，面
分别切于点
，
，
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过
、
、
、
作其正四棱台的截面如图所示，则
，
，
过点
作
交
于点
，则
，
，
，
所以
，
连接
，则
，
所以
，
解得
或
，
显然
为锐角，所以
，则
，解得
，
此时球的直径为
，符合题意，
即正四棱台
内的最大球的半径
，此时球与下底面、及四个侧面均相切，与上底面
不相切，
所以球的表面积为
故答案为：
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