压轴18 圆锥曲线中的定点与定值问题的3 大核心题型
定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参
数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现.
题型01 定点问题
1.（2022 全国乙（理）卷T20）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过
3
0, 2 ,
, 1
2
A
Bæ
-
- ö
ç
÷
è
ø
两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点
1, 2
P
-
的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足
MT
TH
=
uuur
uuur ．证明：直线HN 过定点．
2.（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点
1 ,0
4
F æ
ö
ç
÷
è
ø ，且与直线
1
:
4
l x = -
相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)过点
1,1
A
作倾斜角为a ，b （
0
αβ ¹
）的两条直线交轨迹C 于M，N 两点，若
π
2
a
b
+
=
，求证：直线
MN 恒过定点．
题型02 定直线问题
技法指导
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关
系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
3.（2023 新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
2 5,0
-
，离心率为5 ．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
1A ，
2
A ，过点
4,0
-
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
1
MA 与
2
NA 交于点P．证明:点P 在定直线上.
4.（2025·北京石景山·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,
2 ，短轴长为4．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线:
4
l y
kx
=
+
与椭圆C 交于不同的两点M ，
N ．设直线AN 与直线BM 相交于点G ．试问点G 是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说
明理由．
题型03 定值问题
5.（2024·河南新乡模拟）
,
A B 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点，AB
4
=
，离心率为
2
2
．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)过点
4,0
P
，且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于
,
M N 两个不同的点．设直线AM ，BN 交于点K ，
证明：点K 到y 轴的距离为定值．
6.（2025·吉林·三模）已知
,
A B 分别为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点，
6 2
ab =
，
,
M N 均为椭
技法指导
解决定线问题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有：
(1)待定系数法，设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数确定动点的坐标，确定直线.
(2)设点法，设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确定直线.
技法指导
求解定值问题的三步骤
圆C 上异于顶点的点，H 为椭圆C 上的点，直线HM 经过左焦点
1F ，直线HN 经过右焦点
2 1,0
F
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)试问
1
2
1
2
HF
HF
MF
NF
+
是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
题型04 存在性问题
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的离心率为
3 ，且C 过点
3,
2 ，O 为坐标原点．
(1)求C 的方程．
(2)动直线l 过C 的右焦点F 且与C 交于A ，B 两点，证明：OA OB
×
uuur uuur
为定值．
(3)C 上是否存在互不重合的三点P ，Q ，M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，求出直线PQ的
方程；若不存在，请说明理由．
8.（2026·宁夏银川·一模）已知抛物线C ：
2
2
y
px
=
0
p >
上的点N 与焦点F 的距离为2，点N 到x 轴的距
离也为2.
(1)求C 的方程；
(2)过点F 且斜率为3 的直线与C 交于D ，E 两点，过点F 且斜率为3
- 的直线与C 交于G ，H 两点，求四
边形DHEG 的面积；
(3)过点
,0
P t
且倾斜角为π
4 的直线与C 交于A ，B 两点.点
2
,
M
t
a t
-
，记直线MA ，MB 的斜率分别为
1k ，
2k ，是否存在常数a ，使得
1 2
k k 为常数？若存在，求出a 及
1 2
k k 的值；若不存在，请说明理由.
1.（2025·江西·二模）已知抛物线
2
:
2
(
0)
E y
px p
=
>
与双曲线
2
2
1
9
12
x
y
-
= 的渐近线在第一象限的交点为Q ，
且Q 点的横坐标为6．
(1)求抛物线E 的方程；
存在性问题的求解策略
（1）假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在；
（2）用待定系数法设出；
（3）列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，
元素（点、直线、曲线或参数）不存在.
提醒 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
(2)过点
( 3,0)
M -
的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，B 关于x 轴的对称点为B¢，证明：直线AB¢必过定
点．
2.（2025·河北秦皇岛·三模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右顶点为
,
A B ，右焦点为
5,0 ，
离心率为
5 ．
(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点
2,0
T
的直线l 交双曲线C 于点
,
M N （点M 在第一象限），记直线MA 的斜率为
1k ，直线NB 的斜率
为
2k ，求证：
1
2
k
k 为定值．
3．（山西省部分重点中学2024-2025 学年高三下学期4 月模拟）在坐标平面xOy 中，
1A ，
2
A 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左右顶点，且C 的短轴长为2，离心率为
6
3
.过
1
OA 的中点B 的直线l（不与x 轴
重合）与C 交于D，E 两点.
(1)求C 的方程；
(2)证明：
1
1
A D
A E
^
；
(3)直线
1A D 和
2
A E 的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
4．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，其左顶点为A，上顶点为B，
AOB
V
的面积是1，其中O 是原点，平行于AB 的直线l 与C 交于M，N.
(1)求C 的方程；
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l 的方程；若不
存在，请说明理由.
5．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
：
经过点
2 3
，，且离心率为2．
(1)求C 的方程；
(2)过C 的右焦点且斜率不为0 的直线l 与C 交于
,
A B 两点，设
,
M N 分别为C 的左、右顶点，且直线
,
AM BN
的斜率分别为
1
2
,
k k ，判断：
1
2
k
k 是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．
6．（2026·河北邯郸·一模）已知
4,0 ,
4,0
B
C
-
是
ABC
V
的两个顶点，G 是
ABC
V
的重心，
,
D E 分别是边
,
AB AC 的中点，且
6
BE
CD
-
=
．记点G 的轨迹为曲线Γ ．
(1)求Γ 的方程．
(2)若VGBC 的面积为24，求点A 的坐标．
(3)已知点
1,0 ,
2,0 ,
2,0
F
M
N
-
-
，过F 的直线l 与曲线Γ 交于
,
P Q 两点，直线MP 与NQ 交于点H ，试
判断H 是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
7.（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
,1 0
F -
，
2 1,0
F
，点M
在C 上，
2
MF
x
^
轴，且
2
3
2
MF =
．
(1)求C 的方程；
(2)过点
4,0
P
的直线交C 于不同的两点A、B，
2
AH
MF
^
于点H，证明：直线HB 过定点．
8．（2025·广东广州·一模）已知过点
1,0 的直线与抛物线
2
:
2
0
E
y
px p
=
>
交于A，B 两点，O 为坐标原点，
当直线AB 垂直于x 轴时，
AOB
V
的面积为2 ．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过曲线E 上一点
0
0
1 ,
0
2
P
y
y
æ
ö
>
ç
÷
è
ø
作两条互相垂直的直线，分别交曲线E 于S，T（异于点P）两点，求
证：直线ST 恒过定点．
9．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，虚轴长为2 5 ，点P 在双曲
线C 上，PF 垂直于x 轴，且PF 为实半轴长和半焦距的等差中项.
(1)求双曲线C 的标准方程.
(2)已知直线l 与双曲线C 相切.
①若l 与直线PF 相交于点Q ，与直线
4
3
x =
相交于点R ，证明|
|
|
|
QF
RF 恒为定值，并求此定值；
②若直线l 分别与双曲线C 的两条渐近线交于M，N 两点，O 为坐标原点，判断OMN
V
的面积是否为定值.
10.（2026·广西南宁·一模）已知抛物线
2
:
2
C y
px
=
（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，
2
HF
p
p
=
-
．
(1)求C 的标准方程．
(2)已知点
(7,0)
A
，O 为坐标原点，直线l 交C 于
1
1
2
2
,
,
P x y
Q x
y
，
两点，且P，Q 在x 轴的两侧．
（i）求|
|
AP 的最小值；
（ii）若
140
OP OQ
×
=
uuur uuur
，证明：l 过定点．
11．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦距为4，焦点到渐近线的距离为
3 ．
(1)求C 的方程；
(2)直线
2
1
:
2
3
l x
my
m
æ
ö
=
-
¹
ç
÷
è
ø 与C 相交于A ，B 两点．
（i）O 是坐标原点，若
AOB
V
的面积为3 2 ，求m 的值；
（ii）设C 的左焦点为
1F ，则
1
1
AF
BF
AB
×
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
12.（河北省NT20 名校联合体2024-2025 学年高三下学期第二次调研）平面直角坐标系xOy 中，圆A 的方
程为
2
2
1
16
x
y
+
-
=
，点B 的坐标为
0, 1
-
，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线交半径AP 于点
Q，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E．
(1)求点Q 的轨迹E 的方程；
(2)过点A 作一条直线l 与点Q 的轨迹E 相交于M，N 两点，满足MA
AN
m
=
uuur
uuur
，点H 满足HM
HN
m
=
uuuur
uuur
，问：
点H 是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为4，且点
3 2
, 1
æ
ö
ç
÷
è
ø
P
在椭圆
C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)直线:
(
0,
0)
l y
kx
m k
m
=
+
>
>
与椭圆C 交于A，B 两点，线段AB 的中点为D，连接OD（O 为坐标原点）
并延长，交椭圆C 于点E，交直线
4
x =
于点H．
①若
0
OA OB
×
=
uuur uuur
，求
2
2
1
1
OA
OB
+
∣
∣∣
∣的值；
②若
2
OE
OD OH
=
，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
14．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线E 的渐近线方程为
3
3
y
x
= ±
，右焦点为
(2,0)
F
，直线l 与E 相切于
点P .
(1)若l 与E 的渐近线分别交于A ，B 两点，证明：点P 为线段AB 的中点；
(2)已知直线1l ：
2
x =
，2l ：
3
2
x =
，若l 与1l ，2l 分别交于点M ，N ，是否存在实数l ，使得MF
NF
l
=
恒
成立？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理由.
