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8.2 两条直线的位置关系
目录
01
标
求
课
要
...........................................................................................................................................2
02
知识
落实主干
...................................................................................................................................3
知识点一、直线平行与垂直的判定....................................................................................................3
知识点二、三种距离公式....................................................................................................................3
03
题型
探究核心
...................................................................................................................................4
题型一：位置关系的判定....................................................................................................................4
题型二：距离公式的简单应用问题....................................................................................................6
题型三：线段和差最值问题................................................................................................................8
题型四：含参数双直线问题.............................................................................................................. 11
题型五：点关于线对称......................................................................................................................14
题型六：线关于点对称......................................................................................................................16
题型七：线关于线对称......................................................................................................................18
题型八：将军饮马问题、胡不归问题、建桥选址问题..................................................................20
04 课时精练.........................................................................................................................................25
1
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（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
2
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知识点一、直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或
中有一个为
0，另一个不存在．
知识点二、三种距离公式
1、两点间的距离
平面上两点
的距离公式为
．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点
到直线
的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点
到l 的距离
；若直线为l：y=n，则点
到
l 的距离
3、两条平行线间的距离
已知
是两条平行线，求
间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设
，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y 前面对应系数要相等．
3
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题型一：位置关系的判定
【典例1-1】（2025·高三·浙江·月考）已知点
，
是曲线
（为非零常数）
上两个不同的点，则关于x，y 的方程组
的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．当
时，对任意的
，方程组总是有解
B．当
时，对任意的
，方程组总是有解
C．当
时，存在
，使方程组有唯一解
D．当
时，存在
，使方程组有唯一解
【答案】A
【解析】对
的解的情况，即考虑两条直线的斜率
之间的关系，即考虑方程
的根的个数，也就是两函数
与
的图象之间交点的个数，分类讨论验证即
可.由题知
．对
的解的情况，
即考虑两条直线的斜率
之间的关系，即考虑方程
的根的个数，也就是两函数
与
的图象之间交点
的个数．
当
时，存在
使得图象
，
有两个交点，即
，两条直线平行，即方程无解，
故A 选项错误；也存在
，使得两图象没有交点，即
无解，即两直线相交，方程组有唯一解，故
选项C 正确；
当
时，图象
有且仅有一个交点，故方程的解存在且唯一，不存在不同的点，使得
无解，即两直线相交，方程组有唯一解B 和D 选项均正确，
故选：A．
4
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【典例1-2】已知集合
，
．若
，则的
所有取值是（ ）
A．0，1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
当
时，
，满足
，
当
时，
，
或点
在直线上，即
，
整理得
，解得
或
，
综上，的取值为
，
故选：D
【解题方法总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设
（
不全为0），
（
不全为0），则：
当
时，直线
相交；
当
时，
直线平行或重合，代回检验；
当
时，
直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
【变式1-1】已知直线
与射线
恒有公共点，则m 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】联立
，得
，
∵直线
与射线
恒有公共点，
∴
，
解得
.
5
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∴m 的取值范围是
.
故选：C.
【变式1-2】若直线
与直线
的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，即交点为
，
因为交点在第一象限，所以
.
故选：A
【变式1-3】若直线
与直线
的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，此时
，不满足题意；
当
时，解方程组
得
，
由题知
，解得
，
即实数a 的取值范围为
.
故选：A
题型二：距离公式的简单应用问题
【典例2-1】已知平行四边形
的三个顶点
，
，
，而且，，，
按逆时针
方向排列，则线段
的长度为 ，
点的坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意，在平行四边形
中，
,
,
，
6
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所以
，
，
所以
，即
，
故答案为：
；
.
【典例2-2】原点
到直线
的距离
.
【答案】5
【解析】原点
到直线的距离为
.
故答案为：5
【解题方法总结】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式2-1】以
和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为 .
【答案】或
【解析】∵点
，∴
，
设点P 到
的距离为d，
∵
的面积为5，∴
，得
，
∵直线
的方程为
，即
，
设P 的坐标为
，
∴
，解得
或
，
∴的纵坐标为或
．
故答案为：或
．
【变式2-2】已知点
到直线
的距离为1，则
.
【答案】或
【解析】因为点
到直线
的距离为1，
所以
，解得
或
.
故答案为：或.
【变式2-3】直线
与直线
之间的距离为 .
7
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【答案】
/
【解析】因为
，
所以平行线间的距离为
，
故答案为：
.
【变式2-4】若直线
与直线
间的距离为1，则
.
【答案】6 或
【解析】直线
化为
，
根据平行线间的距离公式：
，
解得：
或
.
故答案为：6 或-14
题型三：线段和差最值问题
【典例3-1】（2025·高三·上海杨浦·期中）设
，
的最小值为 ；
【答案】
【解析】设
，设
，
把
以为旋转中心逆时针旋转时，得出
，则
，
所以
，
当且仅当
四点共线时取最小值
则
的最小值为
.
故答案为：
.
8
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【典例3-2】（2025·高三·黑龙江·月考）函数
的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以问题可转化为求动点
与点
，
的距离之差的最大值．
如图：
因为
，当且仅当，，三点共线时等号成立，
所以
，此时
．
故答案为：
【解题方法总结】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
【变式3-1】（2025·陕西西安·一模）已知，满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，
所以
.
所以表示圆
上的点到
与到
的距离和.
如图：
9
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所以
（当为线段
与圆
的交点时取等号）.
故答案为：
【变式3-2】函数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，
记点
、
、
，
利用几何意义
，根据两边之差小于第三边，
又注意到、、三点共线时
可以取到最小值
，
故
，如下图所示：
又因为
，则
，
当
时，
，此时
；
当
时，设
，
则
，
10
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此时
.
综上所述，函数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3-3】已知函数
，则
的最小值为 ．
【答案】5
【解析】
，
转化为x 轴上的动点到两定点
，
的距离之和最小，
由图可知
，距离之和的最小值为5．
故答案为：.
题型四：含参数双直线问题
【典例4-1】设
，过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交于点P，点
P 不与点A，B 重合，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】由
以及
得
，
，
因
，则两条直线垂直，
则
，
则
11
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，
当且仅当
，结合
，即
时等号成立，
故
的最小值是
．
故选：B．
【典例4-2】已知直线
恒过定点，点也在直线
上，其中
、均为正数，
则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】由
，得
，
由
得
，则直线过定点
，故
，
代入直线
，得
，整理得
，
，
当且仅当
时，即
时取等号，
故
最小值为.
故选：D．
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化
【变式4-1】（2025·河北·模拟预测）已知直线
，直线
，若与的交点
为，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】可变形为
由
可得
，则恒过定点
，
同理可得恒过定点
，且有
，则
，
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此时的轨迹是以
为直径的圆：
（除去点
）．
因
，由图知，当点在线段
上时，
的值最小，其最小值为
.
故选：A．
【变式4-2】设
，过定点的动直线
和过定点的动直线
交于点，则下
列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹是一条线段
B．
的最大值为2
C．
的最大值为4
D．点到直线
的距离的最大值为
【答案】C
【解析】由直线
，令
，得
，可得过定点
，
动直线
，
令
，可得
，即恒过定点
，
由
，
所以两条直线
始终互相垂直，是两条直线的交点，所以
，
所以点在以
为直径的圆上，A 错；
,
由于
，又
，
所以
，
所以
，故
，当且仅当
取等号，
故B 错，C 对；
设到直线
的距离为，由于
，
故
，当
取等号，故最大值为
，故D 错，
故选：C
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【变式4-3】已知直线：
与直线：
交于点
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．8
C．32
D．64
【答案】D
【解析】直线
恒过定点
，
直线
化简为
，恒过点
，
当
时，直线的斜率不存在，直线的斜率
，则
，
当
时，
，
，
，则
，
综上：直线恒过定点
，直线恒过定点
，且
，
因为直线与直线交于点
，
所以点在以
为直径的圆上，线段
的中点坐标为
，
且
，则其轨迹方程为
，圆的半径
，
又
转化为
，其表示圆上的点
到
距离的平方，
设
，
则
，所以
的最大值为64．
故选：D.
题型五：点关于线对称
【典例5-1】已知点
与
关于轴对称，点与点
关于轴对称，点与点关于直线
对
称，则点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解析
，
，则
．故选B．
14
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【典例5-2】点
关于直线
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得：
，
点
关于直线
的对称点为
.
故选：B.
【方法技巧】
求点
关于直线对称的点
方法一：（一中一垂），即线段
的中点M 在对称轴上，若直线
的斜率存在，则直线
的
斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点
且垂直于对称轴的直线（法线），然后由
得线段
的中
点
，从而得
【变式5-1】点
关于直线
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点
关于直线
的对称点为
，
则满足
，解得
，即
.
故选：C.
【变式5-2】（2025·广东深圳·模拟预测）点
关于直线
的对称点为，则点到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
关于直线
的对称点为
，
15
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由对称关系可得
，
解得
．
则点
到直线：
的距离为
．
故选：C．
【变式5-3】点
关于直线
的对称点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设对称点的坐标为
则
解得：
故选：B.
题型六：线关于点对称
【典例6-1】以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1 的正方形的四条边的方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设，方程所得图形关于原点、
轴对称，
若
在图形上，则
、
、
均在图形上，
显然
、
满足，
、
不满足，
又图形是对角线在坐标轴上，边长为1 的正方形，
所以，点
在图形上，故方程为
.
故选：D
【典例6-2】点
在直线上，直线与关于点
对称，则一定在直线上的点为（ ）
16
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A．
B．
C．
D．（1，0）
【答案】C
【解析】由题设
关于
对称的点为
，若该点必在上，
∴
，解得
，即
一定在直线上.
故选：C.
【方法技巧】
求直线l 关于点
中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l 上取一点
关于点
中心对称得
，再利用
，由点
斜式方程求得直线的方程（或者由
，且点
到直线l 及的距离相等来求解）．
【变式6-1】直线l：
关于点
对称的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
不在直线l：
上，
所以可设直线l：
关于点
对称的直线方程为
，
则
，解得
或
（舍去），
故所求直线方程为：
.
故选：A
【变式6-2】直线ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【解析】由ax＋y＋3a－1＝0 得
，
由
，得
，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程为
，
∴
，解得:C＝12 或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
17
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【变式6-3】直线
关于点
对称的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为
,则其关于点
对称的点的坐标为
，以
代换原直线方程中的
得
，即
.
故选：D.
题型七：线关于线对称
【典例7-1】已知直线l：
，则直线m：
关于直线的对称直线
的方程为 ．
【答案】
【解析】解法一：在直线
上取一点，不妨取
，则
关于直线的对称点
必在
上．
设
，则
，解得
即
．
设
与的交点为
，则由
，得
，即
．
又
经过点
，所以由两点式得直线
的方程为
，
即
．
故答案为：
．
解法二：直线
：
关于直线：
对称的直线方程为
，
即
，所以直线
的方程为
．
故答案为：
．
【典例7-2】已知直线
，
，若直线与关于直线l 对称，则直线l 的方程为
.
【答案】
或
18
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【解析】
易知与纵轴交于
，交横轴于点
，
联立直线与方程
，得两直线交点为
，
如上图所示网格中构造直角三角形
，易知
，
即
，
又
，
所以
，
即
为两直线与夹角的平分线，
所以直线
符合题意，易知其方程为
；
当直线l 过点C 且与
垂直时，也符合题意，此时直线方程为
.
故答案为：
或
.
【方法技巧】
求直线l 关于直线对称的直线
若直线
，则
，且对称轴
与直线l 及
之间的距离相等．
此
时
分
别
为
，
由
，求得
，从而得
．
若直线l 与
不平行，则
．在直线l 上取异于Q 的一点
，然后求得
关于直线
对称的点
，再由
两点确定直线
（其中
）．
【变式7-1】若直线l 与直线
的夹角平分线为
，则直线l 的方程为 .
【答案】
【解析】由题意可得直线l 与直线
关于直线
对称，
由于直线
上的任意一点
关于直线
的对称点为
，
因为已知直线
，则的方程是
，即
，
故答案为：
.
19
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【变式7-2】若直线与直线
关于直线
对称，则直线的一般式方程为 .
【答案】
【解析】设直线上任意一点
，则点
关于直线
对称点
，
因为直线与直线
关于直线
对称，所以
在直线
上，
即
，得到直线的一般式方程为
故答案为：
【变式7-3】直线：
关于直线
：
的对称直线方程为 ．
【答案】
【解析】设直线关于直线
对称的直线为
，由
，解得
，
则点
在直线
上；
在直线上取一点
，设其关于直线
对称的点为
，
则
，解得
，即
，
所以直线
的方程为
，即
．
故答案为：
题型八：将军饮马问题、胡不归问题、建桥选址问题
【典例8-1】（2025·高三·江西·月考）相传我国古代有这样一个故事：一个身处他乡的小伙子得知父亲病
重的消息，便连夜赶回家，他父亲弥留之际不停念叨“胡不归？胡不归？”，这就是流传千百年的“胡不
归问题”.如图，假设小伙子处于
地，家在
地，
是驿道，其他地方均为沙地，
，小伙子在驿道，沙地上行走的速度分别为
，若小伙子为了更快
回到家中，从
沿
走到
（
在
上），再从
走沙地直线回家，设
，则此
方案所用时间为（ ）
20
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
中，由正弦定理得
，得
，故
路段用时
，
因为
，则
，
故
，因此
.
故
路段用时
，
则此方案所用时间为
.
故选：A.
【典例8-2】已知
，
是直线
上两动点，且
，点
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设点
在点
的左边，因为直线
的倾斜角为
，
且
，所以点
的坐标为
，
则
．
记
，
则可将
理解为直线
上一动点
到
的距离之和，
如图，作出点
关于直线
的对称点
，
则
，连接
，交直线
于点
，
则
即
的最小值，
且
，
故
的最小值为
．
21
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故选：A.
【方法技巧】
利用几何意义进行转化．
【变式8-1】唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着数学中的“将军饮马”问
题．在平面直角坐标系
中，军营所表示的区域为
，军营附近有两条河流
，
，河
流
的方程为
，河流
的方程为
．一位将军观望烽火之后从山脚点
处出发，先
到河流
处饮马，再到河流
处饮马，最后返回军营（只要到达军营所在区域即为返回军营），则“将军
饮马”的总路程最短为 ．
【答案】9
【解析】
如图，过点A 作河流
的对称点
，易得
，
过点
作河流
的对称点
，
由
解得
，即
．
连结
，交河流
于点
，交河流
于点
，
连结
交圆
（军营边界）于点
，
则“将军饮马”的总路程最短为
，
故答案为：9．
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【变式8-2】2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出
塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐
代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个
有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，
怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是
，军营所在位置为
，河
岸线所在直线的方程为
，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程
最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【答案】
【解析】
由题可知
在
的同侧，
设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
即
．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为
，又
，
所以直线
的方程为
，
设将军在河边饮马的地点为
，
则
即为
与
的交点，
，解得
，
所以
．
故答案为：
【变式8-3】（2025·高三·吉林长春·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后
从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军
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营所在位置为
，若将军从点
处出发，河岸线所在直线方程为
．则“将军饮马”
的最短总路程为 ．
【答案】5
【解析】作出图示，
设点
关于直线
的对称点为
，
在直线
上取点
，由对称性可得
，
所以
，
当且仅当A、
、
三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故答案为：.
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1．如图，已知两点
，
，从点
射出的光线经直线
反射后射到直线
上，再经直线
反射后射到
点，则光线所经过的路程
等于（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2
【答案】A
【解析】易知直线
的方程为
，
设点
关于直线
的对称点
，
则
且
，解得
，即
，
又点
关于
轴的对称点
，
由光的反射规律可知，
共线，
共线，从而
共线，
所以光线所经过的路程长为
.
故选：A.
2．（2025·高三·河北石家庄·月考）已知
的顶点
，
边上的中线
所在直线方程为
，直线
的方程为
，则
边上的高
所在直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】联立
与
的方程，
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得
，解得：
；
设
，则
，
即
，
将
代入
得，
，
联立①②，解得：
，即
，
直线
的斜率为
，
高
的斜率为：
，
所以直线
的方程为：
，
，
故选：D．
3．（2025·高三·北京顺义·月考）长度为4 的线段
的两个端点分别在
轴及
轴上运动，则线段
的
中点到直线
距离的最大值为（ ）
A．
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【解析】设
，则
，即
.
记线段
的中点为点
，设点
的坐标为
，则
.
所以
，即
.
所以点
的轨迹为以原点
为圆心，半径
的圆.
点
到直线
的距离为
.
所以点
到直线
的距离的最大值为
.
故选：D.
4．（2025·高三·河北·期中）已知
，且
.若直线
与直线
平
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行，且两直线间的距离为
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】因为直线
与直线
平行，所以
，且
，所以
，
所以直线
与直线
平行，
两直线间的距离为
，且
，
所以
，所以
.
故选：C.
5．已知实数
满足
，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．9
D．16
【答案】B
【解析】实数
满足
，
，
即实数
满足
，
，
则
在直线
上，
在直线
上，
直线
与直线
平行，
所以
、
两点间的最短距离为
，
所以
的最小值为
.
故选：B
6．求点
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．5
【答案】D
【解析】因为直线的方程为
，所以直线过定点
，
所以直线表示过定点
的斜率存在的直线，
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如图，当
时，
表示点到直线的距离，
当
不垂直于时，
表示点到直线的距离，显然
，
所以点
到直线距离的最大值为
,
所以点
到直线距离的最大值为
.
故选：D
7．已知x，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
可看成点
到点
的距离的平方，
点
在直线
的图象上，点
在反比例函数
的图象上，
问题转化为在图象
上找一点，使得它到直线
的距离的平方最小.
注意到反比例函数
的图象关于直线
对称，直线
也关于
对称，
设
，因为
所以
到直线
的距离为
，
当且仅当
即
时距离最小，
最短距离为
，所以
的最小值为
.
故选：A.
8．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期中）设
，点
，
，若
，则直线AB 的斜率
可能为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】设
，点
，
，若
，所以
，
所以直线AB 的斜率可能为
或
.
故选：AD.
9．（2025·上海普陀·一模）设
，直线
经过点
，若向量
，则点
到直线的
距离为 ．
【答案】
【解析】由直线
经过点
，设
，
由向量
，得
，
所以点
到直线的距离
.
故答案为：
10．（2025·高三·河北石家庄·月考）已知直线：
与直线
：
交于点M，点M
关于直线
对称的点为
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
，解得
，可得
，
所以
，即
，
，
当
时，
，
，则
无意义；
当
时，
，
当且仅当
即
时等号成立；
当
时，
，
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当且仅当
即
时等号成立；
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
11．（2025·高三·陕西西安·月考）若抛物线
与抛物线
关于直线
对称，则
的焦点坐
标为 ．
【答案】
【解析】由题意得
的焦点为
，设
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，故
的焦点坐标为
．
故答案为：
.
12．（2025·高三·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，设
为点
到直线
的距离，
当
变化时
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】由题意，
，
因为
，所以
，
即
，所以
的最大值为
.
故答案为：
.
13．已知直线
与直线
平行，则平行线间的距离为 .
【答案】
/
【解析】因为直线
与直线
平行，
所以
，解得
，所以直线
可化为
，
所以两平行直线间的距离是
.
故答案为：
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14．（2025·高三·上海嘉定·月考）在直角坐标平面
内有一直角
，
，顶点
的坐标为
，
所在直线方程为
，则顶点
的坐标为 .
【答案】
.
【解析】因为
，即
，且
所在直线方程为
，
可设
所在直线方程为
，
代入点
可得
，解得
，
即
所在直线方程为
，
联立方程组
，解得
，
所以顶点
的坐标为
.
故答案为：
.
15．求函数
的最小值．
【解析】解析 因为
，所以函数
是
轴上的点
与两定点
、
距离之和．
的最小值就是
的最小值．由平面几何知识可知，若
关于
轴的
对称点为
，则
的最小值等于
，即
．所以
．
16．求函数
的值域.
【解析】将函数变形为
，此式可看成定点
到点
的
距离与定点
到点
的距离之差.即
.
由图可知：（1）当点
在
轴上且不是直线
与
轴的交点时，如点
，则构成
，根据三角形
两边之差小于第三边，有
，即
.
（2）当点
恰好为直线
与
轴的交点时，有
，
综上所述，函数
的值域为
.
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17．（2025·高三·甘肃天水·期中）已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所
在直线的方程为
，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标.
【解析】
斜边所在直线过原点，且斜率为，
斜边所在直线方程为
；
设直角顶点为
，
到直线
的距离为
，
则
，解得：
；
设
是与直线
平行且距离为
的直线，则
与的交点即为直角顶点
，
设
，则
，解得：
；
当
时，由
得：
，
；
当
时，由
得：
，
；
综上所述：此直角三角形直角顶点的坐标为
或
.
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