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10.3 二项式定理及其应用
思维导图
知识点总结
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝C a n ＋
C a n － 1 b ＋
…
＋
C a n － k b k ＋
…
＋
C b n (n∈N*)；
(2)通项：Tk＋1＝C a n － k b k ，它表示第k ＋
1 项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由C＝C 得到．
直线r＝将函数ƒ(r)＝C 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值
因为C＝
＝C，
1
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即＝，所以，当>1，即k<时，C 随k 的增加而增大；由对称性知，当k>时，C 随k 的增
加而减小．当n 是偶数时，中间的一项
取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项
与
相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2 n ；
(2)C＋C＋C＋…＝2 n － 1 ；
(3)C＋C＋C＋…＝2 n － 1 .
1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注
意顺序问题．
2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．
3．(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
典型例题分析
考向一 求展开式中的特定项或特定项系数
【例1】 (1)(2022·上海奉贤区二模)已知n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则
n 的值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 B
解析 依题意，得n的二项展开式的通项为Tk＋1＝C()n－kk＝·
，k∈N，k≤n，于是
有C＋C＝2×C，即1＋＝n，整理得n2－9n＋8＝0，而n≥2，解得n＝8，所以n 的值为8.故
选B.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案 －28
解析 展开式中含有x2y6的项为1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6.
2
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【变式】(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数
的项的个数是________.
答案 16 5
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝C()9－kxk，k∈N，0≤k≤9，当为常数项时，k＝0，T1＝
C()9x0＝()9＝16.当项的系数为有理数时，9－k 为偶数，可得k＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的
项的个数是5.
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式得所求．
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合
组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
考向二 二项展开式中系数的和
【例2】 若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(
)
A．－1
B．1
C．27
D．－27
答案 A
解析 由题意，得C＋C＋…＋C＝2n＝8，即n＝3，所以3的展开式的系数之和为(1－2)3
＝－1.故选A.
赋值法的应用
(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝
1.
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.
(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n
的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋
bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
3
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【变式】(多选)若(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2022x2022(x∈R)，则( )
A．a0＝1
B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝
C．a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝
D.＋＋＋…＋＝－1
答案 ACD
解析 由题意知，当x＝0 时，a0＝12022＝1，当x＝1 时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2022＝(－
1)2022＝1，当x＝－1 时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＋a2022＝32022，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2021
＝，a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝，＋＋…＋＝a1×＋a2×2＋…＋a2022×2022，当x＝时，0＝a0＋a1×
＋a2×2＋…＋a2022×2022，所以a1×＋a2×2＋…＋a2022×2022＝－a0＝－1.故选ACD.
考向三 二项式系数的最值问题
【例3】二项式n的展开式中只有第11 项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数
的项的个数为( )
A．3
B．5
C．6
D．7
答案 D
解析 根据n的展开式中只有第11 项的二项式系数最大，得n＝20，∴20的展开式的通项
为Tk ＋1＝C(x)20 －k·k＝
，要使x 的指数是整数，需k 是3 的倍数，∴k＝
0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数为整数的项共有7 个．故选D.
求二项式系数最大的项
(1)如果n 是偶数，那么中间一项的二项式系数最大．
(2)如果n 是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大．
【变式】设m 为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的
二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )
4
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A．5
B．6
C．7
D．8
答案 B
解析 由题意，得a＝C，b＝C，
则13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6.经检验m＝6 为原方程的解．故选B.
考向四 项的系数的最值问题
【例4】 (1)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
答案 A
解析 ∵∴即<x<.故选A.
【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数
和为________.
答案 64
解析 由题意可知
∴∴5<n<7.又n∈N*，∴n＝6.令x＝1，得(1＋x)6的系数和为26＝64.
求展开式中系数最大的项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系
数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k 项系数最大，应用从而解出k 来．
【变式2】已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n 的展开式的二项式系数和大
992，则在2n 的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为
________.
答案 －8064 －15360x4
解析 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)·(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式
系数的性质知，10 的展开式中第6 项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝
C(2x)5·5＝－8064.设第k＋1 项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝C·(2x)10－k·k＝(－1)kC·210－k·x10－
2k，
令得
即解得≤k≤，因为k∈Z，所以k＝3.故系数的绝对值最大的项是第4 项，T4＝－C·27·x4＝
5
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－15360x4.故二项式系数最大的项为－8064，系数的绝对值最大的项为－15360x4.
考向五 二项式定理的应用
【例5】设a∈Z，且0≤a<13，若512022＋a 能被13 整除，则a＝( )
A．0
B．1
C．11
D．12
答案 D
解析 由于51＝52－1，(52－1)2022＝C·522022－C522021＋…－C521＋1，又13 能整除52，所
以只需13 能整除1＋a，又0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.
【变式】0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分
别为( )
A．9,0,4
B．9,4,0
C．9,2,0
D．9,0,2
答案 A
解析 0.9910＝(1－0.01)10＝C×110×(－0.01)0＋C×19×(－0.01)1＋C×18×(－0.01)2＋…＝1－
0.1＋0.0045＋…≈0.9045.故选A.
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含
有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n 不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【变式】 9.1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C 除以88 的余数是( )
A．－1
B．1
C．－87
D．87
答案 B
解析 1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝
8810＋C×889＋…＋C×88＋1.∵前10 项均能被88 整除，∴余数是1.故选B.
6
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基础题型训练
一、单选题
1．设
，
是常数，则
的
值是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【分析】利用赋值法求解，先令
，求出
的值，再令
求出
，从而可求出
的值
【详解】解：令
，可得
，
令
，可得
，
所以
.
故选：A.
2．
的展开式中第6 项与第7 项的二项式系数相等，则n 为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】B
【分析】根据二项式系数的定义求解即可.
【详解】因为
的展开式中第6 项与第7 项的二项式系数相等，
所以
，解得
.
故选：B.
3．
的展开式中，含
项的系数是（ ）
7
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A．
B．28
C．29
D．
【答案】D
【分析】含
的项由一个括号里的常数项与其它四个括号里的一次项相乘组成，组合即可
【详解】由题，含
的项由一个括号里的常数项与其它四个括号里的一次项相乘组成，即
，故含
项的系数是：
，
故选：D
4．
的展开式中，含
项的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用二项式定理求得
中
项的系数，进而可求得
的
展开式中含
项的系数.
【详解】当
且
，
的展开式通项为
，
所以，
的展开式中含
的系数为
，
的展开式中，含
项的系数是
.
故选：D.
【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.
5．如果
，那么
的值等于
A．－1
B．－2
C．0
D．2
【答案】A
【详解】试题分析：令
，代入二项式
，得
，令
，代入二项式
，得
，所以
，即
，故选A．
8
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考点：二项式定理的应用．
6．若
展开式中存在常数项，则正整数n 的最小值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】根据二项展开式的公式，求得
的指数为0 时满足的关系式，再结合整数的性质分析即可
【详解】易得
的通项
，又展开式中存在常数项则
有解，即
，故正整数n 的最小值是5，此时
故选：A
二、多选题
7．
展开式中二项式系数最大的是
，则
可以是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】BCD
【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.
【详解】根据二项式系数的对称关系，
当
时，所有二项式系数中，
，且
均为最大；
当
时，所有二项式系数中，
最大；
当
时，所有二项式系数中，
，且
均为最大；
故选:BCD.
8．已知二项式
展开式的第5 项为15，则（ ）
A．
B．
9
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C．
展开式的系数的最大值为20
D．
展开式的各项系数之和为64
【答案】BCD
【分析】由二项式
展开式的第5 项为15，可得
，再代入逐一验证即可.
【详解】解：
，
由题可得
，
解得
，
所以
错误；
，
正确；
展开式系数的最大值为
，C 正确；
令
，则
，
即
展开式的各项系数之和为64，D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．二项展开式
，则
；
．
【答案】 80 130
10
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【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
【详解】解：
，
则
．
．
故答案为：80；130．
10．在
展开式中，含有
项的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项展开式可求得展开式中含有
项的系数.
【详解】因为
的展开式通项为
，
由题意可知，在
展开式中，含有
项的系数为
.
故答案为：
.
11．已知
的展开式中含
项的系数为6，则实数
的值为 .
【答案】2
【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令
的指数为
，求出，再代入得到方程，解得即可；
【详解】解：由题意可知，
的展开式通项为
，令
，解得
，
所以展开式中含
项的系数为
，解得
.
故答案为：
12．已知
的展开式中含
项的系数为
，则
.
【答案】
/
【分析】求出
的展开式通项，然后利用含
项的系数为
列方程求解.
【详解】
，
11
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又
的展开式通项为
，
的展开式通项为
，
，解得
.
故答案为：
.
四、解答题
13．已知
的展开式前两项的二项式系数的和为10.
(1) 求
的值.
(2) 这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.
【答案】(1)9 (2)常数项为
【详解】试题分析：
，于是第7 项是常数项,
常数项为
.
考点：二项式定理
点评：二项式系数依次为
，求展开式中的某一项首先是求出通项
常数项即x
的次数为0 的项
14．已知
展开式中第4 项与第2 项系数比为15：1，求展开式中的倒数第3 项．
【答案】
.
【分析】根据二项展开式得到展开式的通项结合条件可得
，即可求解展开式中倒数第项.
【详解】因为二项展开式的通项
，
12
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由
，得
，
解得：
或
(舍去)
所以倒数第3 项为
.
15．在
的展开式中
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项?
【答案】（1）
；（2）第6 项和第7 项.
【分析】（1）利用通项公式求出中间项即得二项式系数最大的项.
（2）设第
项系数的绝对值最大，则由不等式组
可求
的值.
【详解】展开式的通项公式为
（1）二项式系数最大的项为中间项，即为第5 项，
故
.
(2) 设第
项系数的绝对值最大，
则
，即
，
整理得
，于是
或.
故系数绝对值最大的项是第6 项和第7 项.
16．已知二项式
的展开式中，前三项系数成等差数列.
（1）求正整数
的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
13
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（3）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）8；（2）
；（3）
和
.
【分析】（1）首先写出展开式的通项，再根据前三项的系数成等差数列得到方程，解得即可；
（2）由（1）可知第5 项的二项式系数最大，再将
代入通项即可；
（3）依题意得到不等式组
，求出的取值范围，再代入通项计算可得；
【详解】解：（1）二项式
展开式的通项为
，
由于展开式系数的前三项成等差数列，则
，
即
，整理得
，解得
或
∵
，解得
；
（2）第
项的二项式系数为
，因此，第5 项的二项式系数最大，
此时，
；所以
；
（3）由
，得
，
整理得
，解得
，
所以当
或3 时项的系数最大.
因此，展开式中系数最大的项为
和
.
14
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提升题型训练
一、单选题
1．已知
展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则
项系数为（ ）
A．10
B．32
C．40
D．80
【答案】D
【分析】根据二项式定理通项公式
可得常数项，然后二项式系数和，可得
，最后依据
，可得结果.
【详解】由题可知：
当
时，常数项为
又
展开式的二项式系数和为
由
所以
当
时，
所以
项系数为
故选：D
【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.
2．已知
的展开式中常数项系数为4，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
15
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【分析】将原式变形为
，再写出
的通项，即可得到展开式中常数项，从而
求出参数的值；
【详解】解：
其中
展开式的通项为
所以
展开式中常数项为
，解得
．
故选：D
3．在
的二项展开式中，二项式系数的最大值为
，含
项的系数为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含
项的系数，进而可
求出结果.
【详解】因为
的二项展开式的通项为：
，
因此二项式系数的最大值为：
，
令
得
，
所以，含
项的系数为
，
因此
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题
型.
4．
的展开式中，含
项的系数为
16
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A．
B．
C．
D．18
【答案】A
【详解】分析：化简
，求出
展开式中
的系数分别为
，从而可得结果.
详解：因为
，
展开式的通为
，
令
，可得
展开式中
的系数分别为
，
所以含
项的系数为
，故选A.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热
点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项
公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式
系数和；（3）二项展开式定理的应用.
5．
的展开式中
的系数为（ ）
A．448
B．
C．672
D．
【答案】B
【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5 进行求解即可．
【详解】展开式的通项公式
，
由
得
，
所以展开式中
的系数为
，
17
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故选：B．
【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单
题目.
6．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别令
和
，所得两个式子相加可求得
；令
可得
，代入即可得到
结果.
【详解】令
，则
；
令
，则
；
两式相加可得：
，即
；
令
，则
，
.
故选：D.
二、多选题
7．已知
，
，成递增等比数列，则在
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数之和为
B．各项系数之和为
C．展开式中二项式系数最大的项是第
项
D．展开式中第项为常数项
【答案】ACD
【分析】先根据等比数列求出
的值，再令
可求二项式系数和，令
可求系数和，根据展开
式的总项数可得二项式系数最大项，根据展开式的通项公式求第5 项．
18
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【详解】由
，
，成递增等比数列可得
，则
，
则
的二项式系数之和为
，A 正确；
令
，
，则
的各项系数之和为
，B 错误；
的展开式共有项，则二项式系数最大的项是第
项，C 正确；
的展开式中展开式中第项
为常数项，D 正确，
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用赋值法判断A、B、C，利用展开式的通项，即可判断D.
【详解】由
，
令
得
，A 选项正确.
令
得
，所以
，B 选项错误.
二项式
展开式的通项公式为
（
且
），
由此可知
是负数，
为正数，
所以令
得
，
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，
即
，C 选项错误；
令
，可得
，所以
，故D 正确；
故选：AD
三、填空题
9．
展开式中
的系数为
，则
= .
【答案】6
【解析】由二项式定理求解即可.
【详解】展开式中
的系数为
，解得
.
故答案为：
10．二项式
的展开式中的常数项为 .
【答案】
【分析】展开式的通项为
，由
得出，代入即可得出答案.
【详解】二项式
的展开式的通项为
.
由
，可得
，
所以，常数项为
.
故答案为：
.
11．若
对任意
恒成立，则
.
【答案】
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【分析】将等式左侧变型为
，根据二项式定理可整理得到展开式通项，代入
即可求得结果.
【详解】
，
展开式通项为：
；
展开式通项为：
；
为
的系数，令
，
.
故答案为：
.
12．若
，则
＝ ．
【答案】1023
【解析】赋值法 令
得：
；
令
得：
,再两式相减可得.
【详解】解：∵
，
令
得：
；①
令
得：
； ②
由①②可得：
；
故答案为：
．
【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如
，
(
)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令
即可．
(2)对形如
的式子求其展开式各项系数之和，只需令
即可．
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(3)若
，则
展开式中各项系数之和为
．
四、解答题
13．已知二项式
的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．
(1)求n 的值：
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1)
(2)672
【分析】（1）根据二项式系数和求得
.
（2）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【详解】（1）因为
的展开式中所有项的二项式系数之和为512，
所以
，解得
．
（2）由通项公式
，
令
，可得
，
所以展开式中的常数项为
．
14．设
，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
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【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令
即可求解；
（2）令
求出
，再令
求出
，再联立方程组进行求
解即可；
（3）利用平方差公式，结合（2）中结果进行求解即可.
【详解】（1）在
中，
令
，得
．
（2）令
，得
，
令
，得
②，
两式相减，得
．
（3）
．
15．（1）求
的二项展开式；
（2）求
的二项展开式中的常数项；
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（3）求
的二项展开式中
的系数；
（4）在
的二项展开式中，如果第
项和第
项的系数的绝对值相等，求此展开式的第4r 项．
【答案】（1）答案见解析；（2）
；（3）
；（4）
【分析】（1）根据二项展开式计算即可；
（2）求出展开式的通项，令
的指数等于零，即可得解；
（3）求出展开式的通项，令
的指数等于，即可得解；
（2）求出展开式的通项，再根据题意求出，即可得解.
【详解】（1）
；
（2）
展开式的通项为
，
令
，得
，
所以
的二项展开式中的常数项为
；
（3）
展开式的通项为
，
令
，得
，
所以
的二项展开式中
的系数为
；
（4）
展开式的通项为
，
因为第
项和第
项的系数的绝对值相等，
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所以
，
即
，
若
，解得
，不符题意，舍去，
若
，解得
，
综上
，
所以此展开式的第4r 项为
.
16．已知
展开式中的
项按
的升幂排列依次为
、
、
、
、
、
.
（1）若
，求
的值；
（2）记
，求和
.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，列出关于
的方程，求解即可；
（2）先求出
的表达式，然后结合二项式展开式定理的逆用即可求出结果.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，解得
；
（2）由题意得
，
所以
，
所以
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