文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02
知识
落实主干
..................................................................................................................................3
知识点一．直线与圆的位置关系判断................................................................................................3
知识点二．两圆位置关系的判断........................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03
题型
探究核心
..................................................................................................................................5
题型一：直线与圆的位置关系............................................................................................................5
题型二：弦长问题................................................................................................................................6
题型三：切线问题................................................................................................................................7
题型四：切点弦问题............................................................................................................................8
题型五：圆上的点到直线距离个数问题............................................................................................8
题型六：最值与范围问题....................................................................................................................9
题型七：圆与圆的位置关系..............................................................................................................10
题型八：公共弦问题.......................................................................................................................... 11
题型九：公切线问题..........................................................................................................................12
04
课时精练(
题、
题
真
模拟
)...........................................................................................................13
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
知识点一．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心
到直线
的距离，则
：
直线与圆相交，交于两点
，
；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由
，
消元得到一元二次方程
，
判别式为
，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
知识点二．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆
的半径分别是
，（不妨设
），且两圆的圆心距为
，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（
时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为
，
，圆心距为
，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实
数解
一组实
数解
两组实数解
一组实
数解
无实数解
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
公切线条数
4
3
2
1
0
常用二级结论
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆
上一点
的圆的切线方程为
．
（2）过圆
上一点
的圆的切线方程为
（3）过圆
上一点
的圆的切线方程为
（4）求过圆
外一点
的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为
，利用圆
心到切线的距离等于半径，列出关于
的方程，求出
值．若求出的
值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的
值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
题型一：直线与圆的位置关系
【例题1】直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
【例题2】直线
与圆
（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．位置关系不确定
【解题总结】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d 与r 的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ 判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
【变式1】（25-26 高三上·四川成都·月考）设直线l 的方程为
，圆C 的方程为
，则直线l 与圆C 的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
【变式2】（25-26 高二上·上海·月考）已知直线l：
与圆C：
，点
，则下
列说法错误的是（ ）
A．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
【变式3】（25-26 高三上·广西柳州·开学考试）直线
与圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定的
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
题型二：弦长问题
【例题3】（2025·四川达州·一模）已知圆
，若过点
有且仅有两条直线被圆
所截得
的弦长为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题4】过点
作直线与曲线
相交于
，
两点，
为坐标原点，当
时，直
线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
弦长问题
①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系
，这也是求弦长最常
用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦
长．
③利用弦长公式：设直线
，与圆的两交点
，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数关系得弦长：
．
【变式4】（2025·四川成都·模拟预测）已知直线
截圆
所得的弦长为4，
则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】已知圆
，直线过点
，且与
交于
两点，
是
上异于
的
一点，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．9
【变式6】（24-25 高三上·山东临沂·月考）过点
作圆
的两条切线，切点为
、
，若
，则四边形
（
为圆
的圆心）的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
题型三：切线问题
【例题5】（2025·广东·模拟预测）若圆
上点
处的切线与抛物线
有且
仅有一个公共点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题6】（2025·高三·甘肃武威·月考）过点
且与圆
相切的两条直线的夹角
为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点
在圆上，
法一：利用切线的斜率
与圆心和该点连线的斜率
的乘积等于
，即
．
法二：圆心
到直线的距离等于半径．
②点
在圆外，则设切线方程：
，变成一般式：
，因为
与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有
一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆
上一点
的切线方程是
；
过圆
上一点
的切线方程是
．
【变式7】（2025·高三·湖北武汉·期中）已知点
在圆
上，直线l 过点A 且与圆
C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为M､N，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【变式8】（2025·高二·贵州黔西·期末）过原点且与圆
相切的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9】（2025·高二·重庆渝北·期中）过直线
上一动点
作圆
的切线，切
点为
，则线段
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
题型四：切点弦问题
【例题7】（2025·高二·河南漯河·期末）设点P 为直线l：
上任意一点，过点P 作圆O：
的切线，切点分别为A，B，则直线AB 必过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题8】（2025·浙江·模拟预测）过点
作圆
：
的两条切线，切点分别为
，
，则原点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
过圆
外一点
作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上
，做曲线的切线，只需把
替换为
，
替换为
，替换为
，替
换为
即可，因此可得到上面的结论．
【变式10】（2025·高三·海南·月考）过点
作圆
的两条切线，设切点分别为
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11】（2025·高二·浙江·期末）已知圆
与直线
，过上任意一
点
向圆
引切线，切点为
和
，若线段
长度的最小值为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12】（2025·高二·江苏盐城·期末）已知圆
与
轴正半轴的交点为
，从直线
上任一动点
向圆作切线，切点分别为
，
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
题型五：圆上的点到直线距离个数问题
【例题9】（2025·高二·江苏常州·月考）若圆
上到直线
的距离为1 的点有
且仅有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题10】（2025·高三·河南·月考）若圆
上到直线
的距离为
的点有且
仅有2 个，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
临界法
【变式13】（2025·高二·河北衡水·期末）若圆
上仅有4 个点到直线
的距离为
1，则实数r 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式14】（2025·高三·陕西商洛·期中）若圆
上有且仅有3 个点到直线
的距离为1，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【变式15】（2025·高三·广东·开学考试）已知直线
与圆
，则“
”是“圆
上恰有3 个点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型六：最值与范围问题
【例题11】（多选题）（2025·高三·江西南昌·开学考试）已知P 是圆C：
上的一个动
点，过原点O 的动直线与圆C 交于M，N 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．|OP|的最大值为
B．|OP|的最小值为
C．|MN|最大值为6
D．|MN|最小值为2
【例题12】（多选题）（2025·高三·黑龙江·月考）过直线
上的动点
，作圆
的
两条切线，切点分别为
，
，则（ ）
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．直线
恒过点
B．线段
的中点
在一个定圆上运动
C．
的取值范围是
D．四边形
面积的最小值
【解题总结】
直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的
最近和最远距离再加减半径长的问题．
【变式16】（多选题）（2025·高三·河南·月考）已知直线
与
交于
，
两
点，
为实数，则下列正确的有（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．若
，则
D．若
上恰有4 个点到直线l 的距离为，则
【变式17】（多选题）（2025·高三·吉林·月考）若动直线
与圆
相交于
两点，则（ ）
A．直线过定点
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．过直线
上一点作圆C 的切线，切线长的最小值是
【变式18】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·月考）已知直线
，圆
，则下列说法正确的是（ ）.
A．直线过定点
B．圆心
到直线距离的最大值是
C．直线被圆
截得的弦长最小值为
D．若点
在圆
上，则
的取值范围为
题型七：圆与圆的位置关系
【例题13】（2025·高三·重庆·月考）已知圆
，圆
，则这
两圆的位置关系为（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．内含
B．相切
C．相交
D．外离
【例题14】（2025·高二·湖北·期中）已知直线
与圆
相切，则圆
和圆
的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【解题总结】
已知两圆半径分别为
，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离
；
（2）两圆外切
；
（3）两圆相交
；
（4）两圆内切
；
（5）两圆内含
；
【变式19】（2025·高二·陕西榆林·期中）圆
与圆
的位置关
系是（ ）
A．相交
B．内切
C．外切
D．内含
【变式20】（2025·高二·河北保定·期中）已知圆
与圆
的
位置关系为（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
【变式21】（2025·高二·重庆长寿·期中）已知两圆分别为圆
和圆
，
这两圆的位置关系是（ ）
A．相离
B．外切
C．内含
D．相交
题型八：公共弦问题
【例题15】（2025·高二·天津·期中）若圆
，与圆
相交于A，B，则公共弦
AB 的长为 .
【例题16】（2025·高三·重庆·月考）圆
与圆
的公共弦所在的直线
方程的斜率等于 ．
【解题总结】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【变式22】若圆
与圆
（
）的公共弦的长为
，则
.
【变式23】已知圆
与圆
相交，则公共弦所在的直线方程为
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
．
【变式24】（2025·天津北辰·三模）已知圆
与圆
相交的两个公共点
所在直线为，若与抛物线
交于
两点，则
.
题型九：公切线问题
【例题17】（2025·高三·天津武清·月考）在平面直角坐标系
中，已知圆
与
圆
，则两圆的公切线的条数是 ．
【例题18】（2025·江苏·模拟预测）写出与圆
和
都相切的一条直线的方程
．
【解题总结】
待定系数法
【变式25】（2025·高二·北京大兴·期中）已知圆
与圆
有4
条公切线，则实数
可以取的一个值为 .
【变式26】已知圆
与圆
，若两圆有四条公切线，则直线
与圆
的位置关系是 ．
【变式27】（2025·高三·福建福州·月考）已知点
，符合点A，B 到直线l 的距离分别为1，2
的直线方程为 （写出一条即可）.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
1．（2026·河南郑州·模拟预测）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川乐山·模拟预测）已知点
，圆
，以
为直径的圆与圆
相
交于
，
两点，则直线
与圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．不确定
3．（2025·陕西·模拟预测）若直线
与圆
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）过点
作直线l 交圆
于点M，N，若
，则点N
的横坐标是（ ）
A．
B．2
C．
D．
5．（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆
交于
，
两点，
为圆心，若
的面积等于8，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·重庆·模拟预测）已知圆
，直线
与圆
相切，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
7．（24-25 高二上·江苏徐州·期末）已知点
，若圆
上存在点
，使得
为坐标原点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆
与圆
有两个交点，
则r 的取值范围为（ ）
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）（2025·浙江宁波·模拟预测）已知圆
，点
，（ ）
A．若过点A 作圆C 的切线有且仅有一条，则
B．若圆C 上总存在两点到点
的距离为
，则
C．若过点A 且横纵截距相等的直线被圆C 截得的弦长为
，则
D．若圆C 与圆心在
上且半径为1 的圆
交于M，N 两点，则当
最大时，
10．（多选题）如图，
，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，弧
是以
为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线
，则
（ ）
A．曲线
与
轴围成的图形的面积等于
B．曲线
上有5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．弧
所在圆的方程为
D．弧
与弧
的公切线方程为
11．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知直线l：
与圆C：
，下列说法
正确的是（ ）
A．直线l 过定点（0，1）
B．直线l 与圆恒相交
C．直线l 被圆截得的最短线段长为
D．圆C 与圆M：
有2 条公共切线
12．（2025·广东·模拟预测）已知圆
与圆
交于
，
两点，则公共弦长
．
13．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知圆
：
，定直线经过点
，若对
任意的实数
，定直线被圆
截得的弦长始终为定值
，则定值
．
14．（2025·上海徐汇·一模）某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点
，城市有两个交通枢纽站点
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
、
，其中站点
在市中心
的正东方向，距离
点4 公里，站点
在市中心
的正北方向，距离
点
也是4 公里．为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心
点2 公里的位置，设置一个移动数据采
集点
，通过监测
的大小来优化信号．当
最大时，
．（结果精确到
）
15．（24-25 高二上·天津·期中）已知圆C 的方程为
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，且倾斜角为
，求直线l 的方程；
(2)若直线
与圆C 交于A，B 两点，求弦AB 的长.
16．（25-26 高二上·河北石家庄·月考）已知圆心为C 的圆经过
，
两点，且圆心
在直线
上.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)已知线段PQ 的端点Q 的坐标是
，端点P 在圆C 上运动，线段PQ 的中点T 的轨迹为曲线S，曲线
S 与圆C 相交于D，E 两点，求
.
17．（2025·上海徐汇·一模）已知抛物线
的焦点为
，准线为．
(1)若点
在抛物线
上，求
所在直线的斜率；
(2)若准线
，点
为抛物线
准线上的一个动点，过点
作圆
的两条切线，
切点分别为
、
．若两条切线
、
与
轴分别交于点、
，求
的最小值；
(3)若点
到准线的距离为
，过抛物线
的准线上一点
作圆
的两条切线、
，且、
分别与
交于
、
两点和
、
两点．问：是否存在某个圆
，
使得当点
运动时，
为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
18．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知直线
与圆
交于
两点，点
（不同于点
）在圆
上
(1)若
时，求
的面积；
(2)若
，求直线l 的方程．
16
