文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题10 对数与对数函数
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题10 对数与对数函数
命题解读
命题预测
复习建议
对数函数是基本初等函数中
的一个重要函数，对数的运
算是高考必须要掌握的运
算。高考中对于对数函数的
考察主要集中在对数函数的
图象和性质上，这些的考察
主要针对学生的数学运算和
数学思维进行考察.
预计2024 年的高考对数函数
部分一定会考察函数的图象
和性质，但对数运算是基
础，因此在考察对数函数的
过程中会牵扯到对数的运算.
集合复习策略：
1.理解对数的概念及运算性
质；
2.掌握对数函数的概念和对
数函数的图象和性质；
3.理解对数函数是一种重要
的函数模型.
→➊考点精析←
一、对数的概念及运算性质
1．对数：如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x 叫作以a 为底N 的对数,记作x=logaN,其中a 叫作对
数的底数,N 叫作真数,logaN 叫作对数式 .
2．对数的性质：
底数的限制:a>0,且a≠1
对数式与指数式的互化:ax=N⇔ x=logaN
负数和零没有对数
loga1=0
logaa=1
对数恒等式:alog
a
N= N
3．对数的运算法则：a>0,且a≠1,M>0,N>0
loga(M·N)= logaM+logaN
logaM/N=logaM-logaN
logaMn= nlogaM (n∈R)
4.换底公式:logab=lo gcb
lo gc a(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
二、对数函数的图象及性质
概念
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数
底数
a>1
0<a<1
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
图像
定义
域
(0,+∞)
值域
R
性质
过定点(1,0),即x=1 时,y=0
在区间(0,+∞)上是增函数
在区间(0,+∞)上是减函数
→➋真题精讲←
1．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．存在
，使得函数
为奇函数
C．任意
，
D．函数
有且仅有2 个零点
【答案】ABC
【解析】对于A：
，
因为
，所以
，
，因此
，
故
，所以
在
上单调递增，故A 正确；
对于B：令
，则
，令
，定义域为
，关于
原点对称，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
且
，故
为奇函数，B 正确；
对于C：
时，
；
时，
；
时，
；C 正确；
对于D：
时，
，
时，
，
时，
，所以
只有1 个零点，D 错误；
故选：ABC
2．（2023·广东肇庆·统考一模）已知正数
满足等式
，则下列不等
式中可能成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为
，
，
，
所以
，
所以
，
构造
，
所以
，
当
，即
时，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
分析
即可，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，
由
，
所以
，
构造
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，
所以由
得
，
所以
，
故此时
， D 选项错误；
当
时，
，此时
，
所以
可能成立，故C 选项可能正确，
由
，即
，
构造
，
所以
，设
，
当
时，
，所以
在
单调递减，在
上单调递增，
且
，所以当
时，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，
所以
，
构造
，
则
，所以
在
上单调递增，
所以
，故A 可能正确，B 项错误；
故选：AC
3．（2023·广东东莞·校考模拟预测）函数
在
上有定义，若对任意的
，
，有
则称
在
上具有性质
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
在
上具有性质
；
B．
在其定义域上具有性质
；
C．
在
上单调递增；
D．对任意
，
，
，
，有
【答案】BD
【解析】对于A：
定义域为
，设任意的
，
，则
，
，
，则
，因为
当且仅当
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
时取等号，且
在定义域上单调递增，所以
，即
，故A 错误；
对于B：
定义域为
，设任意的
，
，则
，
，
，则
，因为
当且仅当
时取等号，
所以
，故
，故
在其定义域上具有
性质
，故B 正确；
对于C：若
为常数函数，如
，显然对任意的
，
，都有
，满足性质
，但是
不具有单调性，故C 错误；
对于
，有
，故D 正确．
故选：BD
4．（2023·广东广州·统考一模）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，若
.
，则关于x 的不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】令函数
，则
，因此函数
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在
上单调递减，
，因此
，即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
5．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知函数
，
，若
直线
与函数
，
的图象均相切，则
的值为________；若总存在
直线与函数
，
图象均相切，则
的取值范围是________
【答案】
【解析】设直线
与函数
的切点为
，
由
，所以
，解得
，所以切点为
，
所以
，解得
，即切线方程为
，
设直线
与函数
的切点为
，
则
，解得
，即
，
设切线方程为
，
且与
的切点为
，
与
的切点为
则
，
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
整理可得
，
，
所以
，
整理可得
，
设
，
则
，
设
，
则
，
所以
在
为增函数，
又因为
，
所以在
上
，即
，所以
单调递减；
在
上
，即
，所以
单调递增，
所以
，
即
，解得
.
故答案为：
；
6．（2023·广东·统考一模）已知函数
.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求
的极值；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）求导得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，无极大值.
（2）方法一：由题知不等式
在
上恒成立，
则原问题等价于不等式
在
上恒成立，
记
，
则
，
记
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，又
，
所以存在
，使得
，
即当
时，
，此时
；当
时，
，此时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
，得
，
即
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
①当
时，
因为
，所以不等式恒成立，
所以
；
②当
时，
因为存在
，使得
，而
，
此时不满足
，
所以
无解.
综上所述，
.
方法二：由题知不等式
在
上恒成立，
原问题等价于不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
记
，则
，当
单调递减，
单调递增，
因为
即
，
①当
时，
因为
，所以不等式恒成立，所以
；
②当
时，令
，显然
单调递增，且
，
故存在
，使得
，即
，而
，此时不满足
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，所以
无解.
综上所述，
.
7．（（2023·广东广州·统考一模）已知
，函数
.
(1)若
，证明：当
时，
：
(2)若函数
存在极小值点
，证明：
【解析】（1）若
，则
，设
，
，设
，
，则
在
上单调递增，
，即
，
于是
在
上单调递增，
，即
，
所以当
时，
.
（2）函数
，其定义域为
，
，
由（1）知
在
上单调递增，
，
当
时，
，当
时，
，
则由
，解得
或
，其中
且
，即
且
，
否则恒有
，则
在
上单调递增，函数
无极值点，不符合题意，
若
，即
，当
时，
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
在
上单调递减，因此
是
的极小值点，
，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
若
，即
，当
时，
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
在
单调递减，因此
是
的极小值点，
，又
，于是
，
综上所述，函数
存在极小值点
.
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知
，且
，则
（ ）.
A．3
B．6
C．12
D．18
【答案】B
【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到
，从而得到
，计算出
.
【详解】由
得：
，
由换底公式可得：
，
则
，所以
，
因为
，所以
故选：B
2．（2023·江苏·统考二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较
，构造函数
，
，利用导数判断函数的单调性，
再根据函数的单调性即可得解.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上递增，
所以
，即
，即
，
所以
，即
，
综上，
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造函数
，
，
利用中间量
来比较
的大小是解决本题的关键.
3．（2023·江苏·二模）设
，
，
，则（ ）
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性和指数以及对数的运算，并借助中间量进行比较，即得答
案．
【详解】
，
，所以
，
由于
，所以
，
即
，
而
，
所以
，
故选：D．
4．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，且
，
，当
时，
，则
）=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得函数是奇函数也是周期函数，利用周期性和奇偶性，有
，代入已知解析式求解即可.
【详解】由
，有
，可得
，所
以
的周期为2.
令
，代
，可得
，所以
，故函数
为
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
奇函数，
所以
因为
，所以
，所以
.
故选：B
5．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数
，
．下列说法正确的为（ ）
A．若
，则函数
与
的图象有两个公共点
B．若函数
与
的图象有两个公共点，则
C．若
，则函数
有且仅有两个零点
D．若
在
和
处的切线相互垂直，则
【答案】BCD
【分析】解方程得到A 错误，解方程得到
，解得B 正确，计算零点个数为2 得
到C 正确，根据斜率的关系得到
，D 正确，得到答案.
【详解】对选项A：
，故
（无解）或
，
，错误；
对选项B：
，故
或
，故
，
且
，解得
，正确；
对选项C：取
，则
，
，
，则
，
设
，
在
上恒成立，
则
在
上单调递增，则
，故
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，则
，
或
，正确；
对选项D：当
和
同时为正或者同时为负时不成立，
不妨设
，
，
，
，
则
，故
，正确.
故选：BCD
6．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）e 是自然对数的底数，
，已知
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】构建函数
根据题意分析可得
，对A、D：取特值分析
判断；对B、C：根据
的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为
，
构造函数
，则
，
∵
，
当
时，
，则
，即
；
当
时，
，则
，即
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
对于A：取
，则
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∵
在
上单调递增，故
，
即
满足题意，但
，A 错误；
对于B：若
，则有：
当
，即
时，则
，即
；
当
，即
时，由
在
时单调递增，且
，
故
，则
；
综上所述：
， B 正确；
对于C：若
，则有：
当
，即
时，
显然成立；
当
，即
时，令
，
∵
，当且仅当
，即
时等号成立，
∴当
时，所以
，即
，
由
可得
，即
又∵由
在
时单调递增，且
，
∴
，即
；
综上所述：
，C 正确；
对于D：取
，
，则
，
∵
在
上单调递减，故
，
∴故
，
满足题意，但
，D 错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：
，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
①构造形式为：
，构建函数
；
②构造形式为：
，构建函数
；
③构造形式为：
，构建函数
.
（2）商型：
，
①构造形式为：
，构建函数
；
②构造形式为：
，构建函数
；
③构造形式为：
，构建函数
.
7．（2023·江苏·二模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于A 利用基本不等式可判断；对于B 利用不等式的基本性质以及指数函数的单
调性即可判断；对于C 可用特殊值法判断；对于D 直接根据不等式的基本性质判断即可．
【详解】
，
，且
，
，
，
当且仅当
取等号，故A 正确；
，
，且
，
，故B 正确；
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，故D 正确；
取
，则
，故C 错误.
故选：ABD．
8．（2023·广东湛江·统考一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据指数函数和对数函数的性质，可得：
，
，
，
又由
，所以
，故
．
又
，所以
，所以
．
故选：A．
9．（2023·广东广州·统考一模）已知
均为正实数，为自然对数的底数，若
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知
均为正实数，
,
当
时，
，满足
成立，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于C，
，故C 错误，
对于D，由已知
，则，
.
由
则
，
所以
，即
，得
，
，即
.
下面证明
，
.
设
，
，所以
在区间
上单调递增，
所以
>
，即
.
所以
，故D 正确，
故选：D.
10．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数
，
，其中
为实数.
(1)求
的极值；
(2)若
有4 个零点，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，
，
所以
，令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，即
，无极小值.
（2）由
即
，可得
，
令
，则
，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设
，则
，
由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，即
，
，
所以存在
，
使得
，
，
即
，
①，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单
调递增，
故
的极大值为
，极小值为
和
对①式两边取对数可得
，
②，
将①②代入
得
，
同理可得
，
要使
有四个零点，则必有
，解得
，
而
，
，
由零点存在定理可知，当
时
有且仅有
个零点，即
有
个零点，
所以实数
的取值范围为
.
→➍专题训练←
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知
，
，
，
则下列结论中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】比较b、c 只需比较
，
设
，则
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，所以
，即
，
所以
，所以
.
比较a、b 只需比较
，
设
，则
，因为
单调递减，
且
，所以当
时，
，
所以
在
上单调递减.即
，
，
所以
，即
.
综上，
.
故选：A
2．（2023·广东茂名·统考一模）设
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
故可构造函数
，
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
.
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选:B.
3．（2023·广东深圳·统考一模）已知函数
，
，若总存在两条不同
的直线与函数
，
图象均相切，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设函数
上的切点坐标为
，且
，函数
上
的切点坐标为
，且
，
又
，则公切线的斜率
，则
，所以
，
则公切线方程为
，即
，
代入
得：
，则
，整理得
，
若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则方程
有
两个不同的实根，
设
，则
，令
得
，
当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
又
可得
，则
时，
；
时，
，则函数
的大
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
致图象如下：
所以
，解得
，故实数a 的取值范围为
.
故选：B.
4．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数
（
且
），若对
任意
，
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，
由图可知，
，
此时若对任意
，
，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
只需
，即
，
即
.
当
，
，
此时若对任意
，
，即
，
，所以只需
.
令
，则
，
当
单调递增，当
单调递减，
，
.
综上，
.
故选:D.
5．（2023·广东肇庆·统考一模）函数
中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
定义域为
，
又
，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，
又
时
，
，所以
，
所以
，故排除C；
故选：D
6．（2023·广东茂名·统考一模）e 是自然对数的底数，
，已知
，
则下列结论一定正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】原式变形为
，
构造函数
，则
，
∵
，
当
时，
，则
，即
；
当
时，
，则
，即
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
对于A：取
，则
∵
在
上单调递增，故
，
即
满足题意，但
，A 错误；
对于B：若
，则有：
当
，即
时，则
，即
；
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
，即
时，由
在
时单调递增，且
，
故
，则
；
综上所述：
， B 正确；
对于C：若
，则有：
当
，即
时，
显然成立；
当
，即
时，令
，
∵
，当且仅当
，即
时等号成立，
∴当
时，所以
，即
，
由
可得
，即
又∵由
在
时单调递增，且
，
∴
，即
；
综上所述：
，C 正确；
对于D：取
，
，则
，
∵
在
上单调递减，故
，
∴故
，
满足题意，但
，D 错误.
故选：BC.
7．（2023·广东深圳·南山区联考）已知定义在
上的函数
.
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若
，且当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）函数
，
，求导得：
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，由
得
，由
得
，则
在
上递增，
在
上递减，
所以当
时，函数
的递增区间是
；
当
时，函数
的递增区间是
，递减区间是
.
（2）因为
，且当
时，不等式
恒成立，
当
时，
，
恒成立，因此
，
当
时，
，
令
，原不等式等价于
恒成立，
而
，即函数
在
上单调递增，因此
，
即
，令
，
，
当
时，
，当
时，
，函数
在
上单调递增，在
上
单调递减，
，因此
，
综上得
，
所以实数
的取值范围是
.
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2023·广东肇庆·统考一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设
是两个不相等的正数，且
，证明：
.
【解析】（1）
的定义域为
，
，
令
，得：
，
当
变化时
的关系如下表：
0
1
无意义
0
无意义
在
上单调递减；在
上单调递增.
（2）证明：要证
，
只需证：
根据
，只需证：
不妨设
，由
得：
；
两边取指数，
，化简得：
令：
，则
，
根据（1）得
在
上单调递减；
在
上单调递增（如下图所示），
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由于
在
上单调递减，在
上单调递增，
要使
且
，
则必有
，即
由
得：
.
要证
，只需证：
，
由于
在
上单调递增，要证：
，
只需证：
，
又
，只需证：
，
只需证：
，
只需证：
，
只需证：
，
只需证：
，
即证
，
令
，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
只需证：
，
，
令
，
在
上单调递减，
所以
，
所以
所以
在
上单调递减，所以
所以
所以：
.
32
