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第 13 讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应
用
目录
高频考点类型.......................................................................................2
类型一：泰勒展开式............................................................................2
类型二：利用超越不等式比较大小.....................................................8
类型三：利用对数型超越放缩证明不等式........................................13
类型四：利用指数型超越放缩证明不等式........................................21
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在 处具有 阶导数的函数利用关于 的 次多项式来逼近函数
的方法.
若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有
阶导数，则对闭区间 上任意一点 ，成立下式：
其中： 表示 在 处的 阶导数，等号后的多项式称为函数 在 处
的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小量.
2、麦克劳林(Maclaurin)公式
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取 的特殊结果，由于麦克劳
林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.
3、常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（6）
4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
4.1对数型超越放缩： （ ）
上式（1）中等号右边只取第一项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
对于结论②左右两边同乘“ ”得 ，用 替换“ ”得：
（ ） 结论③
4.2指数型超越放缩： （ ）
上式（2）中等号右边只取前2项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
当 时，对于上式结论② 结
论③
当 时，对于上式结论② 结
论④
高频考点类型
类型一：泰勒展开式
典型例题
例题1．（2024·陕西汉中·一模）苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了
著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建
立的其中一个公式： ，试根据此公式估计下面代数式 的近似值为（ ）（可能用到数值
）
A．2.322 B．4.785 C．4.755 D．1.005
例题2．（23-24高三上·湖南永州·阶段练习）苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)
研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克
劳林建立的其中一个公式： ，试根据此公式估计下
面代数式 的近似值为（ ）（可能用到数值
）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2023·辽宁·二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个
给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A． （i是虚数单位） B． （i是虚数单位）
C． D．
例题4．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算 ， ， ， 等函数的函数值，是通
过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 在含有 的
某个开区间 内可以多次进行求导数运算，则当 ，且 时，有
．
其中 是 的导数， 是 的导数， 是 的导数……．
取 ，则 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ， 精确到0.01的近似值为
．
练透核心考点
1．（2023·宁夏银川·模拟预测）苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立
的其中一个公式： ，试根据此公式估计下面代
数式 的近似值为（ ）（可能用到数值
ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23）
A．3.23 B．2.881 C．1.881 D．1.23
2．（2023·全国·模拟预测）科林·麦克劳林（Colin Maclaurin）是18世纪英国最具有影响的
数学家之一．他研究出数学中著名的Maclaurin级数展开式，下面是麦克劳林建立的其中一
个公式：
，其中 ， ， ，例如： ， ， ．则
的近似值为（参考数据： ，结果精确到0.01）（ ）
A．1.35 B．1.37 C．1.62 D．1.66
3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级
数和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算 ， ， ， 等函数的函数值时，是
通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 在含有
的某个开区间 内可以多次进行求导数运算，则当 ，且 时，有
．其中
是 的导数， 是 的导数， 是 的导数，阶乘 ，
．取 ，则 的“泰勒展开式”中第三个非零项为
， 精确到0.01的近似值为 ．
4．（2023高三·全国·专题练习）计算器计算 ， ， ， 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 在含有 的
某个开区间 内可以多次进行求导数运算，则当 ，且 时，有
．
其中 是 的导数， 是 的导数， 是 的导数……．
取 ，则 的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ， 精确到0．01的近似值
为 ．
类型二：利用超越不等式比较大小
典型例题
例题1．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）若 ，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．练透核心考点
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·甘肃陇南·一模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
类型三：利用对数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数 的最小值为0.
(1)求 ．
(2)证明：（i） ；
（ii）对于任意 .
例题2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 .例题3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： ．
练透核心考点
1．（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)若直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(3)证明： .
2．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）设函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： ， ．3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，研究 在 上的单调性；
(2)①求证： ；
②当 ， 时，求证： .
类型四：利用指数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高三下·江西·开学考试）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 ，设 ．证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．例题2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最小值；
(2)若 ，证明： ．
例题3．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求证： ；
(3)若 且 ，求证： ．
练透核心考点
1．（23-24高三下·山东潍坊·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当 时，证明： ， ．2．（2024·内蒙古包头·一模）设函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性，并证明 ；
(2)证明：①当 时， ；
②当 时， ，当 时， ；
③当 时，函数 存在唯一的零点．
3．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函数 .
(1)当 时，比较 与 的大小；
(2)若 ，比较 与 的大小.
