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专题11 对数与对数函数
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：对数的化简与求值
题型二：对数函数的图象及应用
题型三：对数型复合函数的综合问题
题型四：比较指数式、对数式大小
题型五：解对数方程、不等式
题型六：对数函数性质的综合应用
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理
解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
【考点预测】
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数
的底数，N 叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
1
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(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM
＋
log
aN；
②loga＝logaM
－
log
aN；
③logaMn＝n log
aM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0
，＋
∞
)
值域：R
当x＝1 时，y＝0，即过定点(1
，
0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y ＝
log
ax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关
于直线y ＝
x 对称.它们的定义域和值域正好互换.
【常用结论】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底
数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
2
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由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的
底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底
对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互
化.
4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清
三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1 的大小关系；
三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、
分类讨论、转化与化归思想的应用.
二、【题型归类】
【题型一】对数的化简与求值
【典例1】(1)计算log535＋2log
\f(1,2
－log5－log514 的值．
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log1258＋log254＋log52)的值．
(3)设x，y，z 均为大于1 的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则＋的最小值为________．
【典例2】(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25 的值；
(2)计算(log32＋log92)(log43＋log83)的值；
(3)设函数f1(x)＝x，f2(x)＝log2015x，ai＝(i＝1，2，…，2015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－
fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，则( )
A．I1＜I2
B．I1＝I2
C．I1＞I2
D．I1与I2的大小关系无法确定
【典例3】设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m 等于( )
A. B．10 C．20 D．100
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【题型二】对数函数的图象及应用
【典例1】已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b 满足的关系
是( )
A．0<a－1<b<1
B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1
D．0<a－1<b－1<1
【典例2】若方程4x＝logax 在上有解，则实数a 的取值范围为 ．
【典例3】已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2 的零点，则
＋ln x2的值
为( )
A．e2＋ln 2
B．e＋ln 2
C．2
D．4
【题型三】对数型复合函数的综合问题
【典例1】已知函数f(x)＝log
\f(1,2
(x2－2ax＋3)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a 的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a 的取值范围；
(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围；
(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值．
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【典例2】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
【典例3】已知函数f(x)＝loga是奇函数(a＞0，a≠1)．
(1)求m 的值；
(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性；
(3)当a＝时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f(x)＞＋b 恒成立，求实数b 的取值范围．
【题型四】比较指数式、对数式大小
【典例1】设a＝log3e，b＝e1.5，c＝
，则( )
A．b<a<c
B．c<a<b
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C．c<b<a
D．a<c<b
【典例2】设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则( )
A．b<c<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<b<a
【典例3】设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则( )
A．a>b>c
B．b>c>a
C．a>c>b
D．c>b>a
【题型五】解对数方程、不等式
【典例1】方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
【典例2】已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0 成立，则实数x 的取值范围是____________．
【典例3】若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，a≠1)，则实数a 的取值范围是 ．
【题型六】对数函数性质的综合应用
【典例1】设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )
A．[1,2)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【典例3】已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a 的取值范围是____________
三、【培优训练】
【训练一】已知loga(a＋1)<log(a＋1)a(a>0 且a≠1)，则a 的取值范围是 ．
【训练二】已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．
(1)当k＝－4 时，解不等式f(x)>2；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x 的方程f(x)＝x－2m 有实根，求实数m 的取值范围．
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【训练三】已知函数f(x)＝lg.
(1)计算：f(2 020)＋f(－2 020)；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)<lg 恒成立，求实数m 的取值范围．
【训练四】设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D 内是单调增函数；②存在[m，
n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D 的“成功函
数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0 且a≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【训练五】已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；
(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；
(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；
(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是________.
【训练六】已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k 的取值范围.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
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A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
2. 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x B. C．
D．2x－2
3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－
m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等
是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
4. 若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b 为常数，则函数g(x)＝ax＋b 的图象大
致是( )
5. 设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2)
B．f(a＋1)<f(2)
C．f(a＋1)＝f(2)
D．不能确定
6. 若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )
A．0<a<1
B．0<a<2，a≠1
C．1<a<2
D．a≥2
7. 已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx 是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32 的解集为( )
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，1)
8. 设函数f(x)＝则满足f(x)≤2 的x 的取值范围是( )
A．[－1，2]
B．[0，2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
【多选题】
9. 已知a，b>0 且a≠1，b≠1，若logab>1，则( )
A．(a－1)(a－b)<0
B．(a－1)(a－b)>0
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C．(b－1)(b－a)<0
D．(b－1)(b－a)>0
10. 已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y 轴对称
C．f(x)的最大值为0
D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
11. 已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则( )
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4 对称
12. 在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b 与g(x)＝logbx 的图象如图，则下列关系不正确的是(
)
A．k＜0，0＜b＜1
B．k＞0，b＞1
C．fg(1)＞0(x＞0)
D．x＞1 时，f(x)－g(x)＞0
【填空题】
13. 设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
14. 已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A 的坐标为________；若
点A 也在函数f(x)＝3x＋b 的图象上，则f(log32)＝________．
15. 已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．
16. 已知函数f(x)＝－log2x，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)
①函数f(|x|)为偶函数；
②若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1；
③函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增．
【解答题】
17. 已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
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(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
18. 设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0 且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a 的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
19. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0 时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
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(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
20. 当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax 恒成立，求a 的取值范围？
21. 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0 且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1 时，求使f(x)>0 的x 的解集．
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22. 已知f(x)＝lg，f(1)＝0，当x>0 时，恒有f(x)－f＝lgx.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝lg(m＋x)的解集是∅，求实数m 的取值范围．
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