文档文本内容
第16 讲 等差数列
目 录
题型01 等差数列通项公式基本量计算及性质应用
题型02 等差数列前n 项和公式及基本量计算
题型03 等差数列中an 与Sn 的关系
题型04 等差数列前n 项和公式的重要性质
题型05 等差数列中的函数性质
题型06 等差数列的证明
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 等差数列通项公式基本量计算及性质应用
题型点拨
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列
的首项为
，公差为
，那么它的通项公式是
．
（2）通项公式的推广：
．
（3）在等差数列
中，当
时，
．
特别地，若
，则
．
（4）
，…仍是等差数列，公差为
．
（5）等差中项
若三个数
，
，
成等差数列，则
叫做
与
的等差中项，且有
．
（6）若
，
是等差数列，则
也是等差数列．
【典例1】（25-26·北京房山）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有
五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计
量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这
个问题中分得最少的一个得到（ ）
A．
钱
B．
钱
C．
钱
D．1 钱
【变式1】（25-26·河南焦作）已知数列
，
的通项公式分别为
，
，由
，
的公共项从小到大排列得到的数列为
，则
（ ）
A．1941
B．1961
C．1981
D．2001
题型2 等差数列前n 项和公式及基本量计算
题型点拨
设等差数列
的公差为
，其前
项和
．
【典例1】（25-26·甘肃平凉）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用
于各种商业场合．“苏州码子”中0～9 的写法依次为〇、丨、刂、川、〤、δ、〦、〧、〨、攵．某铁路
的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“川丨”代表距离始发车站的里程为31 公
里，已知每隔3 公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“刂〧”，在B 点处里程碑上刻着“〧
δ”，则从A 点到B 点的所有里程碑上所刻数之和为（ ）
A．720
B．792
C．867
D．945
【变式1】（25-26·甘肃兰州）设
为等差数列，公差
，
为其前
项和，若
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 等差数列中an 与Sn 的关系
题型点拨
【典例1】（25-26·上海奉贤）已知数列
的前
项和
满足
，则
的通项公式为
【变式1】（25-26·湖南）已知数列
的前
项和
，则
.
题型4 等差数列前n 项和公式的重要性质
题型点拨
（1）
，…也成等差数列，公差为
．
（2）若
是等差数列，则
也成等差数列，其首项与
首项相同，公差是
公差的
．
为等差数列，公差为
．
（3）若
与
为等差数列，且前
项和为
与
，则
．
【典例1】（25-26·陕西咸阳）已知
，
分别为等差数列
，
的前n 项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·甘肃金昌）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 等差数列中的函数性质
题型点拨
将等差数列前n 项和公式
，整理成关于n 的函数可得
.
当
时，
关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点
在其相应的二次函数的
图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线
上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
【典例1】（25-26·北京海淀）已知无穷等差数列
前
项和为
，若
，则“
有最大值”是“公
差
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（25-26·黑龙江绥化）已知
为数列
的前n 项和，
，
是公差为1 的等差数列，
则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．当且仅当
时，
取得最小值
C．
D．数列
中第5 项的值最大
题型6 等差数列的证明
题型点拨
判断或证明一个数列是等差数列的方法
1、定义法：
（常数）
是等差数列；
2、中项法：
是等差数列；
3、通项公式法：
（
，
为常数）
是等差数列。
【典例1】（25-26·广东湛江）已知
为各项均为正数的数列，其前
项和为
，
.
(1)求
的通项公式；
【变式1】对任意的正整数
，数列
满足
，且
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
强化训练（共10 题）
1．（25-26·甘肃陇南）已知数列
都是等差数列，且
，
，
，则数列
的前10 项的和为（ ）
A．550
B．450
C．1100
D．900
2．（25-26·江苏苏州）设等差数列
的前
项和分别为
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（25-26·重庆）等差数列
的公差为d，前n 项和为
，若
，
，则当
取得最大
值时，
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．（25-26·广东广州）已知
是等差数列
的前
项和，设
为数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26·广东广州）已知两个等差数列
及
，将这两个等差数列的公共项按从
小到大的顺序组成一个新数列
，则
（ ）
A．45
B．50
C．54
D．60
6．（25-26·湖北）已知数列
的前
项和
（
为常数），则“
为递增的等差
数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（多选）数列
的前n 项和为
，已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为等差数列
B．
不可能为常数列
C．若
为递增数列，则
D．若
为递增数列，则
8．（25-26·浙江金华）已知数列
的前n 项和
，则通项公式
= ．
9．已知正项数列
的前
项和为
，且
；
(1)求
和
的值；
(2)求证数列
是等差数列，并求出数列
的通项公式；
10．记数列
的前n 项和为
，已知
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
知识小测（共5 题）
1．（25-26·江苏连云港）已知
为等差数列，
，
，则
（ ）
A．6
B．5
C．12
D．8
2．（25-26·北京东城）做一个木梯需要7 根横梁，这7 根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为
的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为
的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么
正中间的一根横梁的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26·北京）若等差数列
满足
，
，则
（ ）
A．5
B．7
C．
D．
4．（25-26·甘肃兰州）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．11
5．（25-26·广西南宁）已知数列
的前
项和公式为
，则
的通项公式
.
