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专题11 解三角形综合压轴小题归类
目录
题型一： 三角形几解求参...................................................................................................................................................1
题型二：判断三角形形状：化角为边型.............................................................................................................................2
题型三：判断三角形形状：化边为角型.............................................................................................................................3
题型四：面积公式的应用.....................................................................................................................................................3
题型五：求边长或者周长.....................................................................................................................................................4
题型六：解三角形求角度.....................................................................................................................................................5
题型七：范围与最值：知角和边求周长.............................................................................................................................6
题型八：范围与最值：知角和边求面积.............................................................................................................................7
题型九：范围与最值：判断角型.........................................................................................................................................8
题型十：范围与最值：无长度求比值型.............................................................................................................................9
题型十一：范围与最值：正切型最值.................................................................................................................................9
题型十二：正余弦定理与三角形外心...............................................................................................................................10
题型十三：正余弦定理与角平分线...................................................................................................................................11
题型十四：正余弦定理与中线...........................................................................................................................................12
题型十五：正余弦定理与三角形高...................................................................................................................................14
题型十六：解三角形综合应用...........................................................................................................................................15
题型一： 三角形几解求参
1．（23-24 高三·陕西榆林·）在
中，角
的对边分别为
，
，，若
，
，
只有一个解，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·江苏南通·）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若满足条件
，
的
有两个，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·四川绵阳·模拟预测）命题
：“若
与
满足：
判断三角形解的个数有2 种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
1
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，则
”．已知命题
是真命题，则
的值不可以
是（ ）
A．1
B．2
C．
D．
4．（23-24 高三下·浙江·）在
中，
，且满足该条件的
有两个，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高三·北京）已知在
中，
，若满足条件的三角形有且只有一个，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
题型二：判断三角形形状：化角为边型
1．（2021 高三·全国·专题练习）设△
的三边长为
，
，
，若
，
，则△
是（ ）．
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
2．（20-21 高三·上海浦东新·）已知
的三条边
和与之对应的三个角
满足等式
则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
3．（18-19 高三·四川雅安·阶段练习）在△ABC 中，
，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4．（23-24 高三·江苏徐州）在
中，若
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．（23-24 高三·安徽芜湖·）已知
分别是
三个内角
的对边，下列关于
的形状判断
正余弦定理：化角为边型
若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
2
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一定正确的为（ ）
A．
，则
为直角三角形
B．
，则
为等腰三角形
C．
，则
为直角三角形
D．
，则
为等腰三角形
题型三：判断三角形形状：化边为角型
1．（22-23 高三·上海青浦·阶段练习）已知
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，下列命题中，
真命题的个数是（ ）
（1）若
，则
是等腰三角形；
（2）若
，则
是直角三角形；
（3）若
，则
是钝角三角形；
（4）若
，则
是等边三角形．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（22-23 高三·福建福州·）
中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：①
；②若
，则
是等腰直角三角形；③
；④
，则
是等腰或直
角三角形.其中正确的命题是
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
3．（23-24 高三·重庆·）
中，角
所对应的边分别是
，
，则
的
形状是 （ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
4．（23-24 高三·广东广州·）在
中，角A、B、C 所对的边为a、b、c 若
，则
的形
状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
5．（2024·山东·二模）在
中，设内角
的对边分别为
，设甲：
，设
乙：
是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
题型四：面积公式的应用
正余弦定理：化边为角型
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
3
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1．（23-24 高三·重庆·）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
的面积为，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·江西景德镇·模拟预测）已知
中，设角
、B、C 所对的边分别为a、b、c，
的面积
为，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．（2023·海南·二模）在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知
,
,
,则
的面积
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高三上·江西宜春·）在ΔABC中,角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，且
，则ΔABC的面积为
A．
B．
C．
或
D．
或
5．（23-24 高三·广西百色）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：求边长或者周长
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S
ABC
△
＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝
②S
ABC
△
＝(a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)
4
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1．（23-24 高三·湖北黄冈·）在
中，内角
的对边分别为
，
，，已知
，
，
为钝角，
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．（23-24 高三·江苏淮安·）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
3．（23-24 高三·山西长治·）在
中，角
，
，
所对应的边分别为
，
，，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
4．（23-24 高三·四川成都）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，若
，
，且
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．5
5．（23-24 高三·江苏南京）在
中，角A，B，C 对边分别为a，b，c．若
，
，
，则实数a 的值为（ ）
A．6
B．3
C．
D．
题型六：解三角形求角度
1．（23-24 高三下·江苏南京）在
中，已知
分别为角
的对边．若
，且
，则
（ ）
解三角形，主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式，同角间的三角
函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边
的齐次
式或关于角的正弦
的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，
通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．
求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借助
其他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。
5
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A．
B．
C．
D．
或
2．（23-24 高三·青海西宁）在
中，内角
所对的边分别是
，若
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·安徽蚌埠）在
中，角
的对边分别为
，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·江西宜春·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三·江苏·假期作业）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．若
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
或
题型七：范围与最值：知角和边求周长
1．（23-24 高三·江苏淮安）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且
，则
的周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·黑龙江大庆）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，S 为
的面积，
，
且
，则
的周长的取值范围是（ ）
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度
有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
6
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A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角
中，若
，且
，则
能取到的值有（ ）
A．5
B．4
C．
D．3
4．（22-23 高三·福建福州）设锐角
的三个内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且
，
则
周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高三上·福建泉州·开学考试）在锐角
中，角
的对边分别为
，为
的面
积，
，且
，则
的周长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：范围与最值：知角和边求面积
1．（23-24 高三·山东淄博）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·山东聊城）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．（23-24 高三·陕西渭南·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝
②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)
7
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4．（22-23 高三下·山西·阶段练习）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，则
面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（20-21 高三·安徽·阶段练习）在
中，角
的对边分别是
，且
.若
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：范围与最值：判断角型
1．（23-24 高三·广东湛江·阶段练习）记
的内角
的对边分别为
，已知
，若
为锐角三角形，则角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·湖南株洲·期末）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·江苏连云港）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，则角
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三·上海）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，满足
，则角
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
求复合型角，
1.
以给了函数值的角度为基角来拆角。
2.
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
8
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5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知
角
的对边分别为
满足
，则
角
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：范围与最值：无长度求比值型
1．（23-24 高三·江苏南京·阶段练习）在锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·吉林）已知锐角
是单位圆的内接三角形，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·陕西商洛）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三·湖北·阶段练习）在锐角
中，角
的对边分别为
，且
的面积
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三·江苏南通）在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的取
值范围是（ ）
解三角形：最值范围
1、可以用余弦定理+均值不等式来求解。
2、可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与
范围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
9
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A．
B．
C．
D．
题型十一：范围与最值：正切型最值
1．（23-24 高三上·四川南充·阶段练习）
的周长为18，若
，则
的内切圆半
径的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
2．（2022·黑龙江哈尔滨·二模）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
的面积为
S，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·山东德州·阶段练习）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，S 为
的面积，且
，则
的取值范围为 .
4．（22-23 高三下·四川南充·开学考试）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，则
的取值范围为
5．（21-22 高三上·江苏南通·）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，则
的最小值是 ．
1.正切主要恒等式：
tan(α＋β)＝ (T(α＋β))
tan(α－β)＝ (T(α－β))
正切和差公式变形：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
2.在三角形中，
10
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题型十二：正余弦定理与三角形外心
1．（2023 高三上·全国·专题练习）在
中，D 为边AC 上一点，
，若
的外
心恰在线段BD 上，则
．
2．（21-22 高三上·河南·阶段练习）在钝角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知A
＞
，a＝2，点O 为△ABC 的外心，△OBC 的面积为
，则△OAB 与△OAC 的面积之和的最大值为
．
3．（17-18 高三·湖南·开学考试）若点
是等腰
的外心，且
，底边
，则
的面积是 ．
4．（22-23 高三·四川达州）已知
的内角
所对的边分别为
，满足
，
，
若M 为
的外心，AM 的延长线交BC 于D，且
，则
= ；
的面积为 .
5．（22-23 高三·湖北·阶段练习）在△ABC 中，已知
，P 是△ABC 的外心，则
的余弦值为 .
题型十三：正余弦定理与角平分线
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三
角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R 为 外接圆半径
11
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1．（2023·江西·模拟预测）如图，若AD 是
的角平分线，则
，该结论由英
国数学家斯库顿发现，故称之为斯库顿定理，常用于解决三角形中的一些角平分线问题．若图中
，在
内任取一点P，则点P 恰好落在
内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·青海玉树·模拟预测）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，
为
的角平分线，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三·浙江杭州·期中）在
中，
，AD 是
的角平分线，
，
，
E 是AC 的中点，则DE 的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高三上·浙江·阶段练习）已知
内接于半径为2 的
，内角A，B，C 的角平分线分别与
相交于D，E，F 三点，若
，则
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（21-22 高三·河北保定）在ΔABC中，
，
为
边上的一点，且
，若
为
的
角平分线，则
的取值范围为
内切圆圆心，是三角形三个内角角平分线的交点，
的三边长分别为
，
的面积为，内切圆
半径为，则
.
12
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A．
B．
C．
D．
题型十四：正余弦定理与中线
1．（23-24 高三·海南海口）
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
，
边上的中线为
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
2．（23-24 高三·江苏镇江·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
，若
边上的中线
，则
的外接圆面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
中线的处理方法
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
2.余弦定理法（补角法）：
如图设
，
在
中，由余弦定理得
，①
在
中，由余弦定理得
，②
因为
，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.
中线分割的俩三角形面积相等
13
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3．（22-23 高三·四川成都）如图，在
中，已知
，
，
，
，
边上的两
条中线
，
相交于点P，则
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（20-21 高三四川自贡·开学考试）如图，在
中，
，
，
为中线，过点
作
于点
，延长
交
于点
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 高三·全国·专题练习）在等腰
中，
，
边上的中线
，则
面积S 的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十五：正余弦定理与三角形高
14
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1．（23-24 高三·河南郑州）在
中，角
所对的边分别是
，若
，
边上
的高为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三广西·阶段练习）在
中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若
，
，
的平分线AD 的长为
，则BC 边上的高AH 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东佛山·一模）已知
中，
，
边上的高与
边上的中线相等，则
.
4．（2022 高三·全国·专题练习）在
中，角
所对的边为
，若AB 边上的高为
，则
的最大值是 ．
5．（2011·江苏南京·一模）ΔABC中，
边上的高
，角
所对的边分别是
，则
的取值范围是 ．
题型十六：解三角形综合应用
1．（20-21 高三·江苏南京）如图所示，在平面四边形
中，已知
，
，
，记
的中垂线与
的中垂线交于一点
，恰好
为
的
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
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角平分线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高三·浙江）如图，已知
是半径为1，圆心角为
的扇形，点
分别是半径
及
扇形弧上的三个动点（不同于
三点）,则ΔABC周长的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·安徽合肥·二模）已知点
在
内部，
平分
，
，对满足
上述条件的所有
，下列说法正确的是（ ）
A．
的三边长一定成等差数列
B．
的三边长一定成等比数列
C．
，
，
的面积一定成等差数列
D．
，
，
的面积一定成等比数列
4．（23-24 高三·安徽六安·阶段练习）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，M 和N 分别是
的重心和内心，且
，则
（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．6
5．（23-24 高三·北京）已知在
中，
，设
， 记
的最大值为
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
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