MST 一轮复习·达标训练
1.1 集合·达标训练
1．集合{x，x 2 - 1，2} 中的x 不能取的值是
(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若用列举法表示集合A = {(x , y)
2x+y=6
x-y=3
，
则下列表示正确的是( )
A．{x = 3，y = 0}
B．{(3 , 0)}
C．{3，0}
D．{0，3}
3
．
已
知
集
合
A
=
{
(
x
,
y
)
x2
4 + y2
3 ≤1，x∈Z，y∈Z
，则A 中元素的个数
为( )
A．7
B．9
C．11
D．13
4．已知集合M = {x ∈N 4
x ∈N
，则( )
A．8 ∈M
B．2 ∈M
C．M 的子集个数为4
D．M 的子集个数为8
5．已知集合A = {x|x ≥1}，B = {x|x > 2}，则
( )
A．x ∈A，x ∈B
B．x ∈B，x ∉A
C．∀x ∈A，x ∉B
D．∀x ∈A，x ∈B
6．已知集合A = {m +
5 n|m ∈Z , n ∈N } , B =
{m -
5 n|m ∈Z , n ∈N }，则下列判断正确的是
( )
A．A ⋂B ≠
B．若a ∈A，b ∈B，则a + b ∈B
C．若a ∈A，b ∈A，则a + b ∈A
D．若a ∈A，b ∈B，则ab ∈A∪B
7．已知集合A = {x| -5 < x3 < 5}，B = {-3，
-1，0，2，3}，则A ∩B = ()
A．{-1，0}
B．{2，3}
C．{-3，-1，0}
D．{-1，0，2}
8．已知集合A = {x| x2 > x} , B = {x|
3 x3 > x}，
则( )
A．A = ∅
B．B = ∅
C．A = R
D．B = R
9．已知集合A = {x ∈N|0 < x < 3}，则集合A 的
子集个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
10．已知集合M = {x|x 2 - x - 6 < 0}，N =
{x|
2
log x ≤2}，P = {x x∈M∪N，x∉M∩N
，
则P = ( )
A．(0 , 3)
B．(-2，4] C．(-2 , 0) ∪[3，4]
D．(-2，0] ∪[3，4]
11．已知集合A = {x|x = 2k + 1，k ∈N }，B =
{x|x = 4m + 1，m ∈N}，则( )
A．A ⊆B
B．A ⊇B
C．A = B
D．A ∩B = ∅
12．设集合为N = {x x= k
2 + 1
4 ,k∈Z
，M =
{x x= k
4 + 1
2 ,k∈Z
，则( )
A．MN
B．NM
C．M = N
D．M ∩N = ϕ
13．设集合A = {x||x| < 1}，B = {x||x| >-1}，
则下列结论中错误的是( )
A．AB
B．A ∪B = A
C．A ∪B = R
D．A ∩B = A
14．已知集合A = {x ∈R 1
x <1
，B = {x ∈
R 1
x ≥1
，则( )
A．A = B
B．A ⊊∁RB
C．A ∪B =
D．A ∪B = R
15．设全集U = R，集合A = {x| -1 < x < 4}，B
= {x|y = ln(x - 2)}，则A ∩(∁UB) = ( )
A．(-∞, 4) B．(-1，2] C．(-1 ,+∞)
D．
(2 , 4)
16．已知集合A = {1，|a - 1|，a + 2}，且2 ∈A，
则实数a 的值为 ．
17．已知集合A = {x||x - 2| < 1}，B = {x|x <
a}，A ∪B = B，则实数a 的取值范围为( )
A．[1，+∞)
B．[3，+∞)
C．(-∞，1]
D．(-∞，3]
-1-
MST 一轮复习·达标训练
18．已知集合A = {x|x <-2 或x > 4}，B = {x|a
- 7 < x < a}，且A ∩B = B，则实数a 的取值范
围为( )
A．(-∞，-2) ∪(11，+∞)
B．[-2，11]
C．(-2 , 11)
D．(-∞，-2] ∪[11，+∞)
19．设全集U = R，A = {x x-2
x-1 ≥0
，若m ∈
∁UA，则实数m 的取值范围是( )
A．(1 , 2)
B．[1，2)
C．(1，2]
D．(-∞, 1) ∪[2，+∞)
20．如果集合A = {x|ax2 - 4x - 1 = 0} 只有一个元
素，则实数a 的值是( )
A．0 或4
B．4
C．0 或-4
D．0
21．设集合A = {-2，1，a}，B = {-1，a2}，
若A ∪B 含有4 个元素，则a = ( )
A．-1
B．0
C．1
D．2
22．集合A = {x| -1 ≤x ≤1}，B = {x|a - 1 ≤x
≤2a - 1}，若BA，则实数a 的取值范围是( )
A．a ≤1
B．a < 1
C．0 ≤a ≤1
D．0 < a < 1
23．若集合M = {x|(m + 1)x2 - mx + m - 1 = 0}
的所有子集个数是2，则m 的取值是( )
A．-1
B．2 3
3
C．± 2 3
3
D．± 2 3
3
或-1
24．(2026• 白银区校级二模) 已知全集U = R，集
合A = {x||x - 1| ≥2}，B = {x|x2 - 4x < 0}，则
图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x| -1 ≤x < 0}
B．{x|3 ≤x < 4}
C．{x|0 < x ≤3}
D．{x|x ≥4}
25．下列Venn 图能正确表示集合M = {0，1，2}
和N = {x|x2- 2x = 0} 关系的是( )
A．
B．
C．
D．
26．设a，b，c 为实数，记集合A = {x|(x + a)
(x2 + bx + c) = 0，x ∈R}，B = {x|(ax + 1) (cx2
+ bx + 1) = 0，x ∈R}．若card(A)，card(B) 分
别为集合A，B 的元素个数，则下列结论不可能的
是( )
A．card(A) = 1 且card(B) = 0
B．card(A) = 1 且card(B) = 1
C．card(A) = 2 且card(B) = 2
D．card(A) = 2 且card(B) = 3
27．设集合A = {-1，0，1}，B = {(x1，x2，
x3，x4，x5)|xi ∈A，i = 1，2，3，4，5}，那么
集合B 中满足1 ≤|x1| +|x2| +|x3| +|x4| +|x5| ≤3 的
元素的个数为( )
A．60
B．100
C．120
D．130
28．已知ai ≥0，i = 1，2，3，4，5，且
5
i=1
ai =
1，记A = max{a1 + a2，a2 + a3，a3 + a4，a4 +
a5}，其中max{r1，r2，…，rk} 表示r1，r2，…，
rk这k 个数中最大的数，则A 的最小值是( )
A．1
5
B．1
3
C．1
2
D．2
5
29．记集合A 中元素个数为|A|．已知集合M =
{x|x2 = 9}，N = {x|(ax2 - x) (x2 + ax + 1) = 0}．
若a = 1，则||M | -|N || = 0 ；若||M | -|N ||
= 1，则a 可能值的集合为
30．设集合A = {a1，a2，a3，…，an} (n ≥2 , n
∈N)，且a1，a2，a3，…，an 均为正数，若集合
A 中的元素满足a1a2a3…an= a1+ a2+ a3+ … +an，
则下列说法错误的是( )
A．当n = 2 时，a1+ a2> 4
B．当n = 2 时，集合A 中的元素至多有一个正整
数
-2-
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C．当n = 3 时，元素均为正整数的集合A 有且只
有一个
D．∀n ≥4，n ∈N ，存在元素均为正整数的集
合A
31. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%
的学生喜欢足球或游泳，60% 的学生喜欢足球，
82% 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜
欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62%
B．56%
C．46%
D．42%
1.2 常用逻辑用语·达标训练
1．已知a，b ∈R，则“a > b > 0”是“ b+1
a+1 >
b
a ”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知a > 0，b > 0，则a > b 是2lna > 1
2 lnb
的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设a，b ∈R，则2a> 2b是|a| > b 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知x、y 为实数，则“x 3 > y 3”是“3x >
3y+1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．“∀x ∈[1，2]，x2 + ax + 1 ≤0”的一个充分
不必要条件是( )
A．a ≥-1
B．a ≤-2
C．a ≤- 5
2
D．a ≤-3
6．“x ∈R，使ax2 - 4x - 3 > 0”的一个充分不
必要条件是( )
A．a ≤0
B．a <- 4
3
C．a ≥1
D．a <- 4
3 或a
7．已知集合A = {-1，0，1}，B = {1，2，3}，
以下判断正确的是( )
A．x ∈A 是x ∈B 的充分条件
-3-
MST 一轮复习·达标训练
B．x ∈A ∩B 是x ∈B 的既不充分也不必要条件
C．x ∈A 是x ∈A ∪B 的必要条件
D．x ∈A ∩B 是x ∈{1} 的充要条件
8．设命题p : 1 < x < 2；命题q : (x - a) (x - 1) ≤
0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值
范围是 ．
9．已知p : x ≥a，q : |x + 2a| < 3，且p 是q 的必
要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )
A．(-∞，-1]
B．(-∞,-1)
C．[1，+∞)
D．(1 ,+∞)
10．已知直线l1 : mx + 3y - 3 = 0，l2 : (3m - 2)x
+ my + 1 = 0．则“m =- 1
3 ”是“l 1 ⊥l 2”的
(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
11．设x ∈R，则“cos x = 1”是“sin x = 0”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
12．设a，b是向量，则“(a+ b) ⋅(a- b) = 0”是
“a=-b或a= b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．对于任意的x ∈R，[x] 表示不超过x 的最大
整数，例如[3.7] = 3，[2] = 2，[-1.3] =-2，那
么“|x - y| < 1”是“[x] = [y]”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知命题p :∀x > 1，x2 + 2x - 3 > 0，则¬p
为( )
A．x > 1，x2+ 2x - 3 ≤0
B．x ≤1，x2+ 2x - 3 ≤0
C．∀x > 1，x2+ 2x - 3 < 0
D．x > 1，x2+ 2x - 3 > 0
15．命题“x ∈R，x 3 + |x| -2 > 0”的否定是
(
)
A．x ∉R，x3+ |x| -2 ≤0
B．x ∈R，x3+ |x| -2 ≤0
C．∀x ∈R，x3+ |x| -2 ≤0
D．∀x ∉R，x3+ |x| -2 ≤0
16. 已知命题p :∀x ∈R，ax2 + 2x + 3 > 0 的否定
是真命题，那么实数a 的取值范围是( )
A．a < 1
3
B．0 < a ≤1
3
C．a ≤1
3
D．a ≥1
3
-4-
MST 一轮复习·达标训练
1.3 不等式·达标训练
1．已知a < b < 0，c > d > 0，则下列结论不成立
的是( )
A．ac < bd
B．a2c > b2d
C．1
a + c > 1
b + d
D．a - c > b - d
2．已知a、b 为非零实数，且a < b，则下列命题
一定成立的是( )
A．a2< b2
B．a2b < ab2
C．1
ab2 < 1
a2b
D．b
a < a
b
3．下列说法正确的是( )
A．若a > b，则ac2> bc2
B．若a > b > c，则a - c < b - c
C．若a > b，则1
a < 1
b
D．若a > b > c > 0，则b
a < b+c
a+c
4．已知2 < a < 3，-2 < b <-1，则2a + b 的取
值范围是( )
A．(2 , 5)
B．(-5 ,-2)
C．(1 , 3)
D．(-3 ,-1)
5．下列说法不正确的是( )
A．命题p :∀x ∈R，x2> 0，则命题p 的否定：x
∈R，x2≤0
B．若集合A = {x|ax2+ x + 1 = 0} 中只有一个元
素，则a = 1
4
C．若1 < x < 3，-2 < y <-1，则3 < 2x - y <
8p
D．已知集合M = {0，1}，且NM，满足条件的
集合N 的个数为4
6．已知正数a，b 满足a + 2b = 1，则ab 的最大值
为( )
A．
2
2
B．
2
4
C．1
4
D．1
8
7．已知a，b ∈R，且2a + 3b = 2，则4a + 8b 的最
小值是( )
A．2 6
B．4 2
C．2 2
D．4
8．若正实数a，b 满足2
a + 1
b = 1，则a + 2b +
ab 的最小值为( )
A．8 + 2 2
B．8 +
2
C．6 + 2 2
D．6 +
2
9．函数f(x) =
3x
x-3 + x(x > 3) 的最小值为( )
A．9
B．12
C．6 + 2 3
D．3 + 2 3
10．已知a > 1
2 ，则a +
2
2a-1 的最小值为( )
A．1
2
B．3
2
C．5
2
D．3
11．已知x > 1，则3x2-5x+5
x-1
的最小值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
12．若|x| +|y| = 1(xy ≠0)，则5
|x| + 1
|y| 的最小
值为( )
A．8
B．6 + 2 5
C．10
D．5 + 2 6
13．已知x，y 都是正数，x + y = 1 且1
x + 1
xy ≥
m 恒成立，则m 的取值范围( )
A．m ≤3 + 2 2
B．m ≥3 + 2 2
C．m ≤2 + 2 2
D．m ≥2 + 2 2
14．对于使-x2 + 2x ≤M 成立的所有常数M 中，
我们把M 的最小值1 叫做-x2 + 2x 的上确界．若
a > 0，b > 0 且a + b = 1，则- 1
2a - 2a
b
的上确
界为( )
A．- 9
2
B．- 5
2
C．- 3
2
D．-4
15．若f(x) = max+1 + n，(m , n ∈R) 恒过定点(
-1 , 2)，则
3
log
1
m + 1
n +7
的最小值为 ．
16．函数f(x) = 3
x +
16
1-3x 0<x< 1
3
的最小值
为( )
A．16
B．25
C．36
D．49
-5-
MST 一轮复习·达标训练
17. 已知0 < a < 1，0 < b < 1，且4ab - 4a - 4b +
3 = 0，则1
a + 3
b 的最小值是( )
A．16+4 3
3
B．3
C．2 3
D．8
18. 若x，y 满足x2+ y2- xy = 1，则( )
A．x + y ≤1
B．x + y ≥-2
C．x2+ y2≤2
D．x2+ y2≥1
19. 实数a、b，满足a2- a + b2= 0，则使a + λb ≤
2 恒成立的实数λ 的最大值为
.
20. 已知非0 实数a , b 满足a
b + b
a + 2ab = a2- b2，
则a2+ b2的最小值为
.
21. 若正实数a，b 满足a2 - 4b2 = 4，则a2 + ab 的
最小值为 ．
22. 若x2 - xy + y2 = 1(x , y ∈R)，则x2 + 2y2 的最
小值为
．
23. 若正实数a，b 满足a2 - 4b2 = 4，则a2 + ab 的
最小值为 ．
24. 对于所有的正实数x，y，都有x +
3xy ≤
a(x + y)，则整数a 的最小值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
25. 已知x > 0，y > 0，x + y = 1，则2x2+x+1
xy
的最小值为( )
A．7
B．14
3
C．
2 + 2
D．2 2 + 1
26. 已知x > 0 , y > 0，若x + 4y + 2 xy ≤m(2x
+ 3y) 恒成立，则m 的最小值为
27. 知实数a，b，c 满足5a2 + b2 + c2 = 4，则a(2b
+ c) 的最大值为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
28. 若x > 0 , y > 0，则x+
x2+9y2
2x+3y
的最小值为
.
29. 已知正实数x，y 满足4x2 - 9xy + 2y2 =-4，
且y
4 < x < 2y，则3x + y 的最小值为
．
30. 已知正实数a，b，c 满足ab = a + 2b 且abc =
a + 2b + c，则c 的最大值为
．
31. 已知正实数a，b，c，d 满足c > d 且a + 4b =
1，则a2c2+bc2
ab
+
1
cd-d2 的最小值为___.
32．已知点(m , n) 是函数y = x-1 在第一象限内的
图象上的一点，则1
m + 4
n 的最小值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
33．设bi > 0(i = 1，2，
，n)，则称n b1b2⋯bn
为b1，b2，
，bn 这n 个数的几何平均数．若从
等比数列1，2，22，
，2n 中删除一个数2m(1
≤m ≤n - 1 , m ∈N *)，剩下的n 个数的几何平均
数为22025，则n = ．
34．已知随机变量ξ ∼N(2 , 4)，a、b 是正实数，
满足P(ξ ≥a) + P(ξ > 2b) = 1，则2
a + 3
b 的最小
值为 ．
35．已知正方形ABCD 的边长为2，E，F 分别
为AD , AB 上的点，当△AEF 的周长为4 时，
△AEF 面积的最大值为 ．
36．已知直线l1 : (a - 2)x - 3y + 5 = 0 和l2 : 3x -
(b + 1)y - 7 = 0 互相垂直，且a，b ∈R+，则2
a +
1
b 的最小值为 ．
37. 已知正实数m，n，满足m + n = 1，则下列不
等式中错误的是( )
A．mn ≤1
4
B．2m2+ 2n2≥1
C．1
m + 2
n ≥3 + 2 2 D．
m +
n ≤1
38. 若正数x、y 满足x + 2y = 2xy，若不等式x +
2y ≥m 的恒成立，则m 的最大值等于( )
A．4
B．9
2
C．4 2
D．8
39. 若a > 0，b > 0，且(4a - 1) (b - 1) = 4，则
( )
A．ab 的最小值为5
2
B．ab 的最大值为9
4
C．4a + b 的最小值为6
D．a + b 的最大值为
7
2
-6-
MST 一轮复习·达标训练
40. 已知a，b 为正实数，且ab + 2a + b = 6，则下
列选项错误的是( )
A．ab 的最大值为2
B．2a + b 的最小值为4
C．a + b 的最小值为3
D．
1
a+1 +
1
b+2 的最小值为
2
2
41. 若a，b ∈R+，a + b = 1，则下列说法正确的
有( )
A．a+ 1
a
b+ 1
b
的最小值为4
B．
1+a +
1+b 的最大值为
6
C．1
a + 2
b 的最小值为3 + 2 2
D．
2a
a2+b +
b
a+b2 的最大值是3+2 3
3
42. 已知x，y 为非负实数，且x + 2y = 2，则
x2+1
x
+ 2y2
y+1 的最小值为(
)
A．3
4
B．9
4
C．3
2
D．9
2
43. 定义: min{x，y} 为实数x，y 中较小的数已知
h = min{a , b
b
a2+4b2 } , 其中a，b 均为正实数, 则
h 的最大值是
．
44. 以maxM (minM ) 表示数集M 中最大(小) 的
数. 设a > 0，b > 0，c > 0 , 已知a2c + b2c = 1 , 则
min max 1
a ，1
b ，1
c
=
．
45. 设x ∈R，使不等式3x2 + x - 2 < 0 成立的x 的
取值范围为 ．
46. 已知二次函数y =-x2 + 2x + 3，当t ≤x ≤t +
2 时，若该函数的最大值为m，最小值为-5，则
m 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
47. 已知二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a ≠0)，恒
有f(x + 2) - f(x) = 4x，f(0) = 3．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 设g(x) = f(x) - mx，若函数g(x) 在区间[1，
2] 上的最大值为3，求实数m 的值．
48.(多选题) 已知a , b 为常数, 给出关于x 的不等式
ax ≤x2- x + 1 ≤bx , 则( )
A. 当a = 1 , b = 3
2 时, 不等式ax ≤x2 - x + 1 ≤bx
的解集为x 1
2 ≤x≤2
B. 当a < b < 1 时, 不等式ax ≤x2 - x + 1 ≤bx 的
解集为{x ∣m ≤x 或x ≥n} 的形式, 其中m < n
C. 当1 < a < b 时, 不等式ax ≤x2 - x + 1 ≤bx 的
解集为{x ∣m ≤x ≤n , 或p ≤x ≤q} 的形式, 其中
m < n , p < q
D. 当a < 1 < b 时, 不等式ax ≤x2 - x + 1 ≤bx 的
解集为x∣m≤x≤n
的形式, 其中m < n
49. 方程(2m + 1)x2 - 2mx + (m - 1) = 0 有一正根
和一负根的充分不必要条件是( )
A．- 1
2 < m < 1
B．m <- 1
2
C．0 < m < 1
D．-2 < m < 1
50. 已知a > b , 关于x 的不等式ax2 + 2x + b ≥0 对
于一切实数x 恒成立, 又存在实数x0 , 使得ax2
0 +
2x0+ b = 0 成立, 则a2+b2
a-b 最小值为_____.
-7-
MST 一轮复习·达标训练
2.1 函数的概念及表示·达标训
练
1．函数f(x) =
x+1
x
的定义域为( )
A．(-∞，-1] ∪(0 ,+∞)
B．(-∞，-1] ∪[0，+∞)
C．[-1，0)
D．[-1，0]
2．已知函数f(x2 + 1) 的定义域为[1，2]，则函数
g(x) =
f(x)
lg(x-2) 的定义域为( )
A．[2，5]
B．(2，3) ∪(3，5]
C．(2，5]
D．[2，3) ∪(3，5]
3．函数f(x) =
1
2x+10 +
1
2
x
-8 的定义域为
( )
A．(-∞，-5) ∪(-5，-3)
B．(-∞,-3)
C．(-∞，-5) ∪(-5，-3]
D．(-∞，-3]
4. 函数f(x) =
ax2-ax+2 的定义域为R，则a 的
取值范围为( )
A．[8，+∞)
B．(0，8]
C．[0，8]
D．{0} ∪[8，+∞)
5．已知函数y =
ax+1 的定义域为A，且-3 ∈
A，则a 的取值范围是 ．
6．若函数f(x) =
2x2-2ax+a-1 的定义域为R，则
实数a 的取值范围是
．
7．已知函数f(x) =
ln2x，f(x) 定义域为A，值
域为B，那么下列说法正确的是( )
A．A ∩B = R
B．A ∪B = B
C．A ∈B
D．{0} ∈A
8. 求函数y = 2x - 3 +
13-4x 的值域．
9．函数f(x) =
3
9+4x 的值域为
．
10．正割(Secant) 及余割(Cosecant) 这两个概念
是由伊朗数学家、天文学家阿布尔⋅威发首先引
入，sec，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在
《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．
在三角中，定义正割secα =
1
cosα ，余割cscα =
1
sinα ．则函数f (x) =
1
secx +
1
cscx 的值域为
(
)
A．[-1，1]
B．[- 2 ,
2]
C．[-2，2]
D．[- 2 ,-1) ∪(-1 , 1) ∪(1 ,
2]
11．已知f(x) = 1 +
3
log x(1 ≤x ≤9)，设g(x) = f 2
(x) + f(x2)，则函数y = g(x) 的值域为
．
12．定义新运算
：当m ≥n 时，mn = m；当
m < n 时，mn = n．设函数f (x) = [(2x2) -
(1
2
log x)]2x，则f(x) 在(0 , 2) 上值域为
．
13．已知函数f(x) = log2 x + log4(4 - ax) 的值域
为(-∞，1]，则实数a 的值为 ．
14．函数y =
a-ax (a > 0 , a ≠1) 的定义域和值
域都是[0，1]，则
a
log 5
6 +
a
log 48
5 = ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
15．已知函数f(x) = 2ax2-x+1 的值域为M ．若(1 ,
+∞)M，则实数a 的取值范围是( )
A．-∞, 1
4
B．0, 1
4
C．-∞,- 1
4
∪
1
4 ,+∞
D．
1
4 ,+∞
16．下列函数中，既满足f(-x) = f(x)，又满足
f
1
x
=-f(x) 的为( )
A．f(x) = x + 1
x
B．f(x) = x - 1
x
C．f(x) = x2+ 1
x2
D．f(x) = x2- 1
x2
17．已知函数y = f(x) (x > 0) 的图象如图所示，
则其解析式可能为( )
-8-
MST 一轮复习·达标训练
A．y = 2x - 2
B．y = 2 - x-1
C．y =
2
log (2x)
D．y = 3 - 22-x
18. 已知f
1
x
=
1
1+x ，那么函数f(x) 的解析式及
定义域正确的是( )
A．f(x) =
x
1+x (x ≠-1)
B．f x
=
x
1+x x≠-1且x≠0
C．f(x) =
1
1+x
D．f(x) = 1 + x
19. 已知二次函数f(x) 满足f(0) = 2，f(x) - f(x -
1) = 2x + 1，求函数f(x2+ 1) 的最小值．
20. 求函数y =
x2-x+1
2x2-2x+3 的值域．
21. 求函数y = x +
1-x2 的值域．
22．已知函数f(x) 对任意x ∈R，都有2f(x) - 3f(
-x) = 5sin2x + cos2x，以下关于f(x) 的命题，正
确的是( )
A．函数y = f(x) 在区间0, 2π
3
上单调递增
B．直线x = π
8 是函数y = f(x) 图像的一条对称轴
C．点
5π
8 ,0
是函数y = f(x) 图像的一个对称中
心
D．将函数y = f(x) 图像向右平移π
8 个单位，可
得到y =
2 sin2x 的图像
23. 设函数f(x) 是R →R 的函数，满足对一切x ∈
R，都有f(x) + xf(2 - x) = 2，则f(x) 的解析式为
f(x) =
．
24．已知函数f(x) =
x
ax+b (a，b 为常数，且a ≠
0) 满足f(2) = 1，方程f(x) = x 有唯一解，则函数
f(x) 的解析式为
．
25．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者
之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的
“高斯函数”为：设x ∈R，用[x] 表示不超过x
的最大整数，则y = [x] 称为“高斯函数”，例
如：[-2.5] =-3，[2.7] = 2．已知函数f(x) =
ex-1
ex+1 ，则函数[f(x)] 的值域是( )
A．{-1，1}
B．{-1，0}
C．(-1 , 1)
D．(-1 , 0)
26．函数f(x) = 2x-1,
x<-2
x2-1,
x≥-2
的值域为( )
A．-1,- 3
4
B．[-1，+∞)
C．(-∞,+∞)
D．-1,- 3
4
27．已知[x] 是表示不超过x 的最大整数(比如：[
- 1 .1 ] =- 2 ，[ 1 .9 ] = 1 ) ，若函数h ( x ) =
1+sinx，则[h(x)] 的值域是
．
28．已知m ∈R，若定义[m] 表示不超过m 的最
大整数，如[-1.7] =-2，[-1] =-1，[0.6] = 0，
[1.6] = 1．若f(x) = 3
2 sin2x +
3
2
cos x -
3
2 ，
x ∈0, π
2
，则函数y = [f(x)] 值域为( )
-9-
MST 一轮复习·达标训练
A．[-1，2]
B．[-1，1]
C．{-1，0，1，2}
D．{-1，0，1}
29. 定义符号函数sgnx =
1，x>0
0，x=0
-1，x<0
，设函数
f(x) = sgn(1-x)+1
2
⋅f1(x) + sgn(x-1)
2
⋅f2(x)，
x ∈(0，2) 其中f1(x) = x2 + 1，f2(x) =-2x + 4．
若f(f(a)) ∈(0，1)，则实数a 的取值范围是( )
A．(0，
2
2 )
B．(1，5
4 )
C．(0，
2
2 ) ∪(1，5
4 )
D．(
2
2 ，1) ∪(1，5
4 )
30 ．已知a > 0 且a ≠1 ，若函数f ( x ) =
-x2-2ax-2,
x<0
ax+1,
x≥0
的值域为R，则a 的取值范
围是( )
A．(1，2]
B．[2，+∞)
C．(0 , 1)
D．(1 ,+∞)
31．已知函数f(x) =
(1-a)x+2a,x<1,
x- 1
x ,x≥1.
的值域
为R，则a 的取值范围是( )
A．(-∞, 1)
B．(-1 ,+∞)
C．[-1，1)
D．(1 ,+∞)
32．已知函数f(x) = (1-3a)x+5a,
x<1
5
log x,
x≥1
的值
域为R，则实数a 的取值范围是( )
A．- 1
2 , 1
3
B．-∞, 1
3
C．
1
3 ,+∞
D．- 1
2 , 1
3
33．已知函数f(x) = log2x+2x,
x>2
ax2+2ax+4a+6,
x≤2
的
值域为R，则实数a 的取值范围为( )
A．- 1
12 ,+∞
B．- 1
12 ,0
C．- 1
3 ,0
D．- 1
3 ,+∞
34．已知函数f(x) = 4-2x,
x≤1
1+loga(x+1),
x>1
，若
f(x) 的值域为[2，+∞)，则实数a 的取值范围是
( )
A．(1 ,
2]
B．( 2 , 2]
C．(1 , 3 2]
D．( 3 2 , 2]
35．若函数f(x) = 8-2x,
x≤2
3+logax,
x>2
(a > 0 且a ≠
1) 的值域是[4，+∞)，则实数a 的取值范围是(
)
A．(1 ,+∞)
B．(2 ,+∞)
C．(1，2]
D．( 5 2，2]
36．若函数f(x) = 3x,
x≤1
-2x2+m,
x>1
的值域为(
-∞，3]，则实数m 的取值范围是
．
37. 已知函数f(x) =
x2-2x，x≤m
- 2
3 x，x>m
的值域为R，
侧实数m 的取值范围是
．
38 . 已知f ( x ) =
x+1，x≤0，
x2+1，x>0，
若f ( x ) +
f x- 1
2
> 1，则x 的取值范围是( )
A．(- 1
2 ，+∞)
B．(-∞，0)
C．(- 1
4 ，+∞)
D．( 1
4 ，+∞)
39. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之
一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高
斯，人们把函数y = [x]，x ∈R 称为高斯函数，
其中[x] 表示不超过x 的最大整数，例如：[-2.1]
=-3，[3.1] = 3．那么函数f(x) = [2sinx ⋅cosx]
+ [sinx + cosx] 的值域内元素的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
40. 我们用符号max{a ⬝，b，c} 表示a，b，c
三个数中较大的数，若x ∈R，f(x) = max{-x +
3，3
2 x + 1
2 ，x2 - 4x + 3}，则f(x) 的最小值为
( )
A．-1
B．1
C．2
D．3
-10-
MST 一轮复习·达标训练
2. 2 函数基本性质·达标训练
1．记双曲余弦函数coshx = ex+e-x
2
为f(x)，则
函数g(x) = f(2x) - f(x) (x ∈R) 的最小值为( )
A．0
B．1
C．- 9
8
D．- 3
4
2．函数y =
x2+4x-5 的单调减区间为 ．
3．曼哈顿距离(Manhattan Distance) 也称为城
市街区距离，是一种在几何空间中测量两点之间距
离的度量方式．在二维空间中，曼哈顿距离可以理
解为从一个点到另一个点只能沿着水平或垂直方向
行走的最小距离．两点P(x1，y1)，Q(x2，y2) 的
“曼哈顿距离”定义为|x1 - x2| +|y1 - y2|，记为
d(P , Q)．
(1) 已知点P(x , y) 在抛物线y = x2 上，点A(1 , 1)
与点P 的曼哈顿距离为d(A , P)，求d(A , P) 关于
x 的表达式；
(2) 若函数f(x) = xex，-1 ≤x ≤e 的图象上有一
动点B，其中e 是自然对数的底数，点N(m , n)，
d(B , N ) 的最大值为M (m , n)，求M (m , n) 的最
小值．
4．已知定义在R 上的函数f(x) 满足f(x) = f(2 -
x)，且在区间(1 ,+∞) 上单调递增，则满足f(2 -
x) > f(x + 4) 的x 的取值范围为( )
A．(-1 ,+∞)
B．(-∞,-1)
C．(-1 , 1)
D．(-∞, 1)
5．已知定义在R 上的函数f(x) 的图象是一条连续
不断的曲线，且f(x) 满足f(x) = f(4 - x)，f(x) 在
区间(-∞, 2) 上单调递减，f(4) + f(0) = 0，则关
于x 的不等式f(x)
2-x < 0 的解集为( )
6．函数f(x) = (1 - 4a)
2a
log
4- 2
a
x
在(-∞,
0) 上单调递减，则a 的取值范围是( )
A．0, 1
4
B．
1
4 , 1
2
C．
1
2 ,2
D．
1
2 ,+∞
7．(多选) 已知定义域为I = (-∞，0) ∪(0，+∞)
的函数f(x) 满足：对任意的x，y ∈I，f(xy) =
f(x) + f(y)，且当x > 1 时，f(x) < 0，则( )
A．f(1) = 0
B．f(x) 是偶函数
C．f(x) 在区间(0 ,+∞) 上单调递增
D．f(x) 在区间(0 ,+∞) 上单调递减
8．(多选) 若函数f(x) 的定义域为R，则下列说法
正确的是( )
A．若f(x) =-f(x)，则f(x) = 0
B．若对∀x ∈R，f(x + 1) + f(x) = 1，则f(x + 2)
< f(x)
C．若对∀x1，x2∈R 且x1≠x2，[f(x1) - f(x2)]
(x1- x2) > 0，则f(x) 是R 上的增函数
D．若对∀x ∈R，|f(-x)| = |f(x)|，则f(x) = 0
9 ．设0 < a < 1 ，函数
f ( x ) =
a(x+2),x<-a,
a2-x2,-a≤x≤a,
-a(x-2),x>a.
则f(x) ( )
A．是偶函数，且有最大值
B．是偶函数，且没有最大值
C．是奇函数，且有最大值
D．是奇函数，且没有最大值
-11-
MST 一轮复习·达标训练
10．已知函数f(x) = x2-bx+c,x≤1,
-ax,x>1
是减函数，
则当b(a + c) 取得最小值时，a + b + c = ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
11．已知f(x) = -x2+(2a-3)x+3a,
x<0
a
log (x+1)+6,
x≥0
(a >
0 且a ≠1) 是R 上的单调函数，则a 的取值范围是
( )
A．(1，2]
B．
3
2 ,+∞
C．
3
2 ,2
D．1, 3
2
12．已知函数f (x) =
(2a-1)ln(e-x),x<0,
2-a2
eax ,x≥0
在
R 上单调递减，则a 的取值范围是( )
A．
1
2 ,1
B．
1
2 ,
2
C．[1 ,
2)
D．
1
2 ,+∞
13．已知函数f(x) = a-2-x,
x≤0
ln(x+1),
x>0
是R 上的
增函数，且关于x 的不等式f(a + x2) ≥f(x) 恒成
立，则实数a 的取值范围是( )
A．0, 1
4
B．- 1
4 ,1
C．- 1
4 , 1
4
D．
1
4 ,1
14．已知f(x) = -2x2,x>0,
ln(1-x),x≤0,
则不等式f(x +
3) < f(x2+ 3x) 的解集是( )
A．(-3 , 1)
B．(0 , 1)
C．(-∞，-3) ∪(1，+∞)
D．(1 ,+∞)
15．已知函数f(x) 在定义域R 上单调，且x ∈(0 ,
+∞) 时均有f(f(x) + 2x) = 1，则f(-2) 的值为(
)
A．3
B．1
C．0
D．-1
16．定义在(0 ,+∞) 上的单调函数f(x) 对任意的x
∈(0 ,+∞) 都有f(f(x) -
3
log x) = 4，则关于x 的不
等式f(x2+ 2x) > 4 的解集为
．
17．若函数f(x) 的定义域为R，则“f(x) 是偶函
数”是“ f (|x|) = f (x) 对切x ∈R 恒成立”的
(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
18．已知函数f(x) = aex - e-x(a 为常数)，则(
)
A．∀a ∈R，f(x) 为奇函数
B．a ∈R，f(x) 为偶函数
C．∀a ∈R，f(x) 为增函数
D．a ∈R，f(x) 为减函数
19．已知函数f(x) =
2
3-3x ，则下列是奇函数的
是( )
A．f(x + 2) + 1
3
B．f(x + 1) - 1
3
C．f(x + 2) + 3
D．f(x + 1) - 3
20．函数f(x) = lg a+
2
1+x
为奇函数，则实数a
= ．
21．设φ ∈R，则“φ = 0”是“f(x) = cos(2x + φ)
(x ∈R) 为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
22．若存在正实数a，使得函数f(x) = 3ex-1
ex-1
-
b 是定义在(-∞，-a)(a，+∞) 上的奇函数，
则b = ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
23．已知f(x) 是R 上的偶函数，且当x ≤0 时，
f(x) = 3x2+ 2x - 1，则当x > 0 时，f(x) = ( )
A．-3x2+ 2x - 1
B．-3x2- 2x - 1
C．3x2+ 2x - 1
D．3x2- 2x - 1
24．已知函数f(x) 是定义在R 上的奇函数，且当
x ≤0 时，f(x) = x(x - 1)，则当x > 0 时，f(x) =
-12-
MST 一轮复习·达标训练
．
25．已知定义在[-1，1] 上的单调递增函数f(x)，
且y = f(x) - 3 为奇函数，则不等式f(3 - 2x2) +
f(3x - 4) < 6 的解集为( )
A．(-∞, 1) ∪[ 2 ,+∞)
B．[1 ,
2)
C．(-∞, 1] ∪( 2 ,+∞)
D．(1 ,
2]
26．若f(x) = ex+2 + e-x，g(x) = x3 + a，若F(x)
= f[g(x)] 为偶函数，则a = ( )
A．-1
B．-2
C．0
D．2
27．若偶函数f(x) 和奇函数g(x) 满足f(x) + g(x)
= ln|x| +4x3+ 2，则f(1) + g(-1) = ( )
A．-2
B．-3
C．2
D．3
28．已知定义在(-∞，0) (0，+∞) 上的函数
f (x) 满足f (xy) = f(-x)
y
+ f(-y)
x
+
1
xy ，则
(
)
A．f(x) 是奇函数且在(0 ,+∞) 上单调递减
B．f(x) 是奇函数且在(-∞, 0) 上单调递增
C．f(x) 是偶函数且在(0 ,+∞) 上单调递减
D．f(x) 是偶函数且在(-∞, 0) 上单调递增
29．已知函数f(x) 的定义域为R，f(1) = 0，若
f(xy) - f(x)f(y) = f(x + y) - 1，则下列说法正确
的是( )
A．f(0) = 1
B．
19
n=1
f(n) = 190
C．函数f(x + 1) 是奇函数
D．函数f(x) + 1 是偶函数
30．已知f(x) = sinx + x3 + 1，若f(-a) = m，则
f(a) = ( )
A．-m
B．1 - m
C．2 - m
D．m - 1
31．已知函数图像如图所示，则下列函数中符合此
图像的为( )
A．f(x) =
x
ex+e-x
B．g(x) = xsinx
C．h(x) = x(ex- e-x)
D．p(x) = cosx(ex+ e-x)
32．在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研
究函数的性质，也可以用函数的性质如奇偶性、单
调性来琢磨函数的图像，则函数f(x) =
2
x2+|x| 的
图象大致为( )
A．
B．
C．
D．
33．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直
观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家
万事休．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数
的解析式琢磨函数图像的特征．如函数y =
x
x2-1
的图像大致为( )
A．
B．
C．
D.
34．已知函数f(x) 的部分图象如图所示，则f(x)
的解析式可能为( )
-13-
MST 一轮复习·达标训练
A．f(x) =
ln|x|⋅sin
π
2 - x
2
x
B．f(x) =
ln|x|⋅sin
π
2 -x
x2
C．f(x) =
ln|x|⋅sin
π
2 -x
x
D．f(x) = ln|x|⋅sinx
x
35．已知函数f(x) 的部分图象如下，则f(x) 的解
析式可能为( )
A．sin2x
x2+1 + 1
B．sinx
x2+1 + 1
C．
2x
cos
x2+1
D．
x
cos
x2+1
36．下侧图象对应的函数解析式可能是( )
A．y = xsin 1
x
B．y = xcos 1
x
C．y = 1
x sin 1
x
D．y = 1
x cos 1
x
37．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是
减函数的是( )
A．f(x) = 1
x
B．f(x) =
-x
C．f(x) = 2-x- 2x
D．f(x) =
1
2
log |x|
38．若f(x) =
a
ex+1 - 1 为奇函数，则g(x) = ln[
(x - 1) (x - a)] 的单调递增区间是( )
A．(0 , 1)
B．(1 ,+∞)
C．
3
2 ,+∞
D．(2 ,+∞)
39. 已知定义在R 上的偶函数y = f(x) 在[0，+∞)
上是严格减函数，若f(x - 1) > f(1)，则x 的取值
范围为( )
A．(0 , 2)
B．(-2 , 2)
C．(-2 , 0)
D．(-1 , 1)
40.(多选) 悬链线指的是一种曲线，指两端固定的
一条(粗细与质量分布) 均匀、柔软(不能伸长) 的
链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬
索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下
下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方
程是一个双曲余弦函数，其标准方程为y =
acosh x
a (acosh x
a = a ⋅e
x
a +e
- x
a
2
，其中a 为非零常
数，e 为自然对数的底数)．当a = 1 时，记f x
= coshx，则下列说法正确的是( )
A．f 2x
= 2f2 x
- 1
B．f x
是周期函数
C．f x
的导函数fx
是奇函数
D．f x
在-∞,0
上单调递减
41.(多选) 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，
双曲正弦函数sinh(x) = ex-e-x
2
，双曲余弦函数
cosh(x) = ex+e-x
2
(其中e 为自然对数的底数)，则
下列判断正确的是( )
A．sinh(x) 为奇函数，cosh(x) 为偶函数
B．sinh(2x) = sinh(x) ⋅cosh(x)
C．函数cosh(x) 在R 上的最小值为1
D．函数g(x) = cosh(2x) - cosh(x) 在R 上只有一
个零点
42．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成
的曲线是“悬链线”．在适当坐标系下，该曲线的
解析式为f(x) = ex+e-x
2
，称为双曲余弦函数，与
之对应的函数g(x) = ex-e-x
2
称为双曲正弦函数．
若对任意x ∈R，都有f(2x) ≥ag(x) 成立，则实数
a 的取值范围是( )
A．a ≤-2 2
B．a ≤2 2
C．-2 2 ≤a ≤2 2
D．a ≥-2 2
43．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函
数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦
函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关)．其
中双曲正弦函数：sinh(x) = ex-e-x
2
，双曲余弦
函数：cosh(x) = ex+e-x
2
(e 是自然对数的底数，
-14-
MST 一轮复习·达标训练
e = 2.71828…)．
(1) 求
2
cosh (x) -
2
sinh (x) 的值；
(2) 证明：两角和的双曲余弦公式cosh (x + y) =
cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)；
(3) 若关于x 的不等式4m
2
cosh (x) - 2sinh(2x) -
3 ≥0 在
1
2 ,+∞
上恒成立，求实数m 的取值范
围．
2. 3 基本初等函数·达标训练
1．设5m = 10，5n= 20，则52m-n= ( )
A．10
B．5
2
C．25
D．5
2．已知x < 0，y > 0，化简
4 9x8y4 得( )
A．- 3x2y
B．
3x2y
C．-3x2y
D．3x2y
3．已知2x = 3y = 5z(x，y，z ≠0)，且1
x + 1
y =
a
z ，则a = ( )
A．
2
log 3
B．
2
log 5
C．
3
log 5
D．
5
log 6
4．(多选) 已知2a = 5b = 10，则下列关系正确的是
( )
A．ea-b> 1
B．a + b < ab
C．a + 4b < 9
D．
1
a +1
2
+
1
b +2
2
> 8
5．已知正数x，y，z，满足3x = 4y = 6z，则下列
说法不正确的是( )
A．1
x + 1
2y = 1
z
B．3x > 4y > 6z
C．x + y >
3
2 +
2
z D．xy > 2z2
6．已知2a = 9
4
log a + 3 × 6
4
log a，3b = 2 × 4
6
log b -
9
6
log b，则a
b = ( )
A．
17-3
2
B．
17+3
4
C．
17+3
2
D．
17-3
4
7．已知函数f(x) = (m2 - m - 1)xm2-2m-2 是幂函
数，且为奇函数，则实数m = ( )
A．2 或-1
B．-1
C．4
D．2
8．已知函数f(x) = ax-3 + 3(a > 0 且a ≠1) 的图像
过定点P，若角θ 的终边过点P，则sinθ =
．
9．若函数f(x) = xb 与g(x) = ex 的图象在第一象限
内有公共点，则实数b 的取值范围为
．
-15-
MST 一轮复习·达标训练
10．已知2lgy = lgx - lgx
1
3 ，则满足此式的点M
(x , y) 的全体构成的图象是( )
A．
B．
C．
D．
11．对于函数f(x)，若∀a，b，c ∈R，f(a)，
f(b)，f(c) 为某一三角形的三边长，则称f(x) 为
“可构造三角形函数”．已知函数f(x) = ex+t
ex+1
是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是
( )
A．
1
2 ，2
B．[0，1]
C．[1，2]
D．[0，+∞)
12．已知4x + (x - 2) ⋅2x - 1 = 0，4y + y ⋅2y+2 - 16
= 0，则2026x+y = ( )
A．2026
B．20262
C．20263
D．20264
13．已知(x1，y1)，(x2，y2) 是函数y = 2x 的图象
上两个不同的点，则( )
A．log2
y1+y2
2
< x1+x2
2
B．log2
y1+y2
2
> x1+x2
2
C．log2
y1+y2
2
< x1+ x2
D．log2
y1+y2
2
> x1+ x2
14．已知幂函数f(x) 过点(9 , 3)，若f(2a - 1) <
f(3 - 2a)，则实数a 的取值范围是 ．
15．(多选) 下列选项中说法正确的是( )
A．函数f(x) = log2(x2- 2x) 的单调减区间为(
-∞, 1)
B．幂函数f(x) = mxα过点
1
2 ,
2
2
，则m + α
= 3
2
C．函数y = f(x) 的定义域为[1，2]，则函数y =
f(2x) 的定义域为
1
2 ,1
D．若函数f(x) = lg(ax2+ 5x + 4) 的值域为R，则
实数a 的取值范围是0, 25
16
16．已知a > 0 且a ≠1，若函数f(x) =
(a+2)
log
x -
a
log x 与g(x) = (a + 2)x + ax 在区间(0 ,+∞) 上都单
调递增，则实数a 的取值范围是( )
A．(0 ,
3 - 1)
B．( 2 - 1 , 1)
C．[ 3 - 1 , 1)
D．[ 2 - 1 , 1)
17．已知函数f(x) =
2
log (|x - 1| +|x - 5| -a)．
(1) 当a = 2 时，求函数f(x) 的最小值；
(2) 当函数f(x) 的定义域为R 时，求实数a 的取值
范围．
18．已知P，Q 分别是曲线y = ex 与曲线y = lnx
上的点，则|PQ| 的取值范围是( )
A．( 2 ,+∞)
B．[ 2 ,+∞)
C．(2 ,+∞)
D．[2，+∞)
19．(多选) 已知函数f(x) = lnx，g(x) 为f(x) 的
反函数，若f(x)、g(x) 的图象与直线y =-x 交点
的横坐标分别为x1，x2，则( )
A．x2> lnx1
B．x1+ x2= 0
C．x1∈
1
2 ,1
D．x1- x2∈1, 1
2 +ln2
-16-
MST 一轮复习·达标训练
20．(多选) 已知函数f(x) =
a
log x(a > 0 , a ≠1) 的
反函数为g(x)，则( )
A．g(x) = ax(a > 0 , a ≠1) 且定义域是(0 ,+∞)
B．若f(9) = 2，则g(3) = 27
C．函数f(x) 与g(x) 的图象关于直线y = x 对称
D．函数f(x) 与g(x) 的图象的交点个数可能为0，
1，2，3
21．(2021• 甲卷) 青少年视力是社会普遍关注的问
题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录
法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数
据L 和小数记录法的数据V 满足L = 5 + lgV．已
知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视
力的小数记录法的数据约为( ) (10 10 ≈1.259)
A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6
22．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现
方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优
化中，指数衰减的学习率模型为L = L0D
G
G0 ，其中
L 表示每一轮优化时使用的学习率，L0 表示初始
学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，
G0 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模
型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练
迭代轮数为20 时，学习率衰减为0.54，则学习率
衰减到0.06 以下(不含0.06) 所需的训练迭代轮数
至少为( ) (参考数据：lg2 ≈0.3010，lg3 ≈
0.4771)
A．9
B．12
C．437
D．481
23．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中
废气的污染物含量P(单位：mg/L) 与时间t(单
位：h) 间的关系为P = P0e-kt，其中P0，k 是正的
常数．如果在前5h 消除了1
3 的污染物，那么要消
除2
3 的污染物大约需要(参考数据：lg2 ≈0.301，
lg3 ≈0.477) ( )
A．10h
B．12h
C．14h
D．16h
24．若0 < b < a < 1，则在ab，ba，aa，bb 中最大
值是( )
A．ba
B．aa
C．ab
D．bb
25．若正数a，b，c 满足ea + 2a = eb + 3b = ec +
c(e 为自然对数底数)，则( )
A．a > b > c
B．b > a > c
C．c > b > a
D．c > a > b
26．已知a =
4
log 3 +
9
log 2，b =
1.5
log
a，c = 2a
- 2，则a，b，c 的大小关系为( )
A．a > b > c
B．b > a > c
C．a > c > b
D．b > c > a
27.(2020• 天津) 设a = 30.7，b =
1
3
-0.8
，c =
log0.70.8，则a，b，c 的大小关系为( )
A．a < b < c
B．b < a < c
C．b < c < a
D．c < a < b
28.(2021• 新高考Ⅱ) 已知a = log52，b = log83，c
= 1
2 ，则下列判断正确的是( )
A．c < b < a
B．b < a < c
C．a < c < b
D．a < b < c
29．设a = 4.1-0.5，b = log 1
5
1
4 ，c = cos1，则a，
b，c 的大小关系为( )
A．b < a < c
B．c < a < b
C．c < b < a
D．a < c < b
30．已知a = log52，b = log5(log52)，c = (log52)
2，则a，b，c 的大小关系为( )
A．a < c < b
B．b < a < c
C．c < b < a
D．b < c < a
31．已知57 > 310，410 > 77，设a = log 47，b =
2log72 + log73，c = log925，则( )
A．a < b < c
B．c < a < b
C．b < c < a
D．b < a < c
32．已知实数a，b，c，满足log3a =
1
5
b
= 3c，
则下列关系不可能成立的是( )
A．b < c < a
B．b < a < c
C．c < b < a
D．c < a < b
-17-
MST 一轮复习·达标训练
33．(多选) 若实数x1，x2，x3 满足x3 ⋅2x1 = x3 ⋅3x2
= 1，则下列不等关系可能成立的是( )
A．x1< x2< x3
B．x2< x3< x1
C．x3< x2< x1
D．x3< x1< x2
34. 已知函数f x
是定义在R 上的偶函数，且在
0,+∞
上单调递减，若a = f(log20.2)，b =
f(20.2)，c = f(0.20.3) 则a，b，c 大小关系为
( )
A．a < b < c
B．c < a < b
C．a < c < b
D．b < a < c
35. 比较大小：log68 与log79；
36. 比较大小：log74 与log96；
37．设函数f(x) 的定义域为D，若函数f(x) 满足
条件：存在[a，b] ⊆D，使f(x) 在[a，b] 上的值
域为
a
2 ，b
2
，则称f(x) 为“倍缩函数”，若函
数f(x) = log2(2x + t) 为“倍缩函数”，则t 的范围
为
．
38．(多选) 一般地，若函数f(x) 的定义域为[a，
b]，值域为[ka，kb]，则称为的“k 倍跟随区
间”；若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，
b]，则称[a，b] 为f(x) 的“跟随区间”．下列结
论正确的是( )
A．若[1，b] 为f(x) = x2- 2x + 2 的跟随区间，
则b = 2
B．函数f(x) = 1 + 1
x 存在跟随区间
C．若函数f(x) = m -
x+1 存在跟随区间，则
m ∈- 1
4 ，0
D．二次函数f(x) =- 1
2 x2+ x 存在“3 倍跟随区
间”
39．若函数f(x) 为定义域D 上单调函数，且存在
区间[a，b] ⊆D(其中a < b)，使得当x ∈[a，b]
时，f(x) 的取值范围恰为[a，b]，则称函数f(x)
是D 上的正函数，区间[a，b] 叫做等域区间．
(1) 是否存在实数m，使得函数g(x) = x2 + m 是(
-∞, 0) 上的正函数？若存在，请求出实数m 的取
值范围；若不存在，请说明理由．
(2) 若h(x) = x2 + 2mx + m，且不等式a ≤h(x) ≤
b 的解集恰为[a，b] (a , b ∈Z)，求函数h(x) 的解
析式．并判断[a，b] 是否为函数h(x) 的等域区
间．
-18-
MST 一轮复习·达标训练
2.4 函数的周期性与对称性·达
标训练
1．设函数f(x) 满足f(x + 4) = f(x) 对任意x ∈R
成立，且当x ∈[0，4) 时，f(x) = x2 - 3x + 1，
则f(9) 的值为( )
A．0
B．1
C．-1
D．2
2 ．已知函数f ( x ) =
sin -2πx
3
,
x<0
f(x-5),
x≥0
，则
f(2026) = ( )
A．- 1
2
B．-
3
2
C．1
2
D．
3
2
3．已知定义在R 上的函数y = f(x) 满足f(x + 4)
=
1
f(x) ，当0 < x < 4 时，若f(x) = ax + b(a > 0，
b > 0)，且f(2025) = 1，则1
a + 2
b 的最小值是(
)
A．3 +
2
B．2 +
2
C．3 + 2 2
D．2 + 3 2
4．已知定义在R 上的函数f(x) 满足f(x + 1) =
f(x) + f(x + 2)，f(1) =-1，则f(37) = ( )
A．-2
B．-1
C．1
D．2
5．若f(x + 1) - f(x - 1) =-x，且f(3) + f(5) = 6，
则f(21) = ( )
A．5
B．-67
C．-103
D．-108
6．已知函数f(x) 的定义域为R，且f(x + 2) - 2 为
奇函数，f (3x + 1) 为偶函数，f (1) = 0，则
2026
k=1
f(k) = ( )
A．4050
B．4048
C．4044
D．4036
7．已知函数f(x) 的定义域为R，f(x) > 0，且
3f(x + y) = f(x)f(y)，f(1) = 9，则f(x) + f(2 - x)
的最小值为( )
A．9
B．12
C．16
D．18
8.(多选) 定义在(0 ,+∞) 上的函数f(x) 满足下列条
件：(1)f
x
y
= yf(x) - xf(y)；(2) 当x > 1 时，
f(x) > 0，则( )
A．f(1) = 0
B．f(x) 在(1 ,+∞) 上单调递增
C．当x > 0 时，f
1
x
= f(x)
D．当x > 1 时，f(x2n) > 2nf(x) (n ∈N *)
9．已知定义在R 上的函数f(x) 满足f(x - 4) = f(
-x)，f(2x - 1) 是奇函数，则下列说法一定在确的
是( )
A．f(2026) = 0
B．f(x) 的一个周期为2
C．f(x) 的图象关于点- 1
2 ,0
对称
D．f(x) 的图象关于直线x = 2026 对称
10．(多选) 已知定义在R 上的函数f(x) 为偶函数，
且满足f(1 + x) + f(x - 1) = 0，当x ∈[1，2] 时，
f(x) = x2- 4x + 3，则下列说法正确的是( )
A．f(x) 为周期函数
B．f(x) 的图象关于点(2 , 0) 对称
C．当x ∈[-1，1] 时f(x) = 1 - x2
D．f(2026) < f
2x
x2+1
11．(多选) 已知定义在R 上的函数f(x) 满足f(x)
= f(2 - x)，f(x) + f(4 - x) = 0，当1 ≤x ≤2 时，
f(x) =-x + 2，则下列结论正确的是( )
A．f(x) 为周期函数，且周期T = 2
B．x = 3 是f(x) 的一条对称轴
C．f(x) 为奇函数
D．f(2024) = 0
12.(2021• 甲卷文) 设f(x) 是定义域为R 的奇函数，
且f(1 + x) = f(-x)．若f - 1
3
= 1
3 ，则f
5
3
=
( )
A．- 5
3
B．- 1
3
C．1
3
D．5
3
-19-
MST 一轮复习·达标训练
13.(2021• 甲卷理) 设函数f(x) 的定义域为R，f(x
+ 1) 为奇函数，f(x + 2) 为偶函数，当x ∈[1，2]
时，f(x) = ax2 + b．若f(0) + f(3) = 6，则f
9
2
= ( )
A．- 9
4
B．- 3
2
C．7
4
D．5
2
14．已知f(x) 是定义在R 上的奇函数，∀x ∈R，
恒有f(x) + f(x + 2) = 0，且当x ∈(0，1] 时，
f (x) = 1 + 2x，则f (1) + f (2) + … + f (2024) +
f(2025) = ．
15．已知奇函数f(x) 对任意实数x 均有f(1 + x) -
f(1 - x) = 2x3+ 6x，且f(1) = 2，则( )
A．f(2025) > 20253
B．f(2025) < 20252
C．f(2026) > 20263
D．f(2026) < 20262
16．已知奇函数f(x) 的定义域为R，其导函数为f'
(x)，若f(x) = f(2 - x) + 2x - 2，则f'(101) = (
)
A．1
B．0
C．-1
D．2
17．已知函数f(x)，g(x) 的定义域为R，g(x) 是
g(x) 的导数，且f(x) + g(x) = 5，f(x - 1) - g'(5
- x) = 5，若g(x) 为偶函数，则
15
k=1
f(k) = ( )
A．80
B．75
C．70
D．65
18．(多选) 已知函数f(x) 及其导函数g(x) 的定义
域均为R，g(x) 在R 上单调递增，g(x + 1) 为奇函
数，则( )
A．g(1) = 0
B．g(x) = g(2 - x)
C．f(x) 的图象关于直线x = 1 对称
D．f log2 4
3
< f(log45)
19. 已知定义在R 上的函数f(x) 满足f(x) = 2f(x +
1)，当0 ≤x < 1 时，f(x) = 8sinπx，则函数g(x)
= f(x) - lnx 的零点的个数为
．
20. 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x + 2) = 2f(x)，
且当
x
∈
( 2 ，
4 ]
时，
f ( x )
=
-x2+4x,
2<x≤3
x2+2
x
,
3<x≤4
，g(x) = ax + 1，对任意x1
∈(-2，0]，存在x2 ∈[-2，1]，使得g(x2) =
f(x1)，则正实数a 的取值范围为( )
A．
1
8 ，+∞
B．(0，8]
C．0，1
8
D．[8，+∞)
21. 定义在[1 ,+∞) 上的函数f x
满足:
(1) f 2x
= 2f x
;
(2) 当2 ≤x ≤4 时, f x
= 1 - x-3
.
则集合
x∣f x
= f 61
中的最小元素是
．
22. 若定义在R 上的函数f(x) 满足：对任意x1，x2
∈R 有f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) + 1，则下列说法
一定正确的是( )
A．f(x) 为奇函数
B．f(x) 为偶函数
C．f(x) + 1 为奇函数
D．f(x) + 1 为偶函数
23. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数：
f(x) =
．
①f(x1x2) = f(x1) + f(x2)；
②当x ∈(0，+∞) 时，f(x) 单调递减；
③f(x) 为偶函数．
24. 【多选】已知定义域为R 的函数f(x) 对任意实
数x，y 都有f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)，
且f
1
2
= 0 , f(0) ≠0，则( )
A．f(0) = 1
B．f(-x) = f(x)
C．f(1 - x) + f(x) = 0
D．f(x + 1) = f(x)
-20-
MST 一轮复习·达标训练
25. 【多选题】已知定义在R 上的函数f(x) 不恒等
于零，f(π) = 0，且对任意的x，y ∈R，有f(2x)
+ f(2y) = f(x + y)f(x - y)，则( )
A．f(0) = 2
B．f(x) 是偶函数
C．f(x) 的图象关于点(π , 0) 中心对称
D．2π 是f(x) 的一个周期
26．已知函数为f(x) 的定义域为R，当x < 3 时，
f(x) = x；当x ≥3 时，f(x) < f(x - 1) + f(x - 2)，
则下列结论中一定正确的是( )
A．f(6) > 10
B．f(9) > 60
C．f(6) < 10
D．f(9) < 60
27．已知函数f(x) 的定义域为R，f(x - 1) = f(x)
+ f(x - 2)，且f(35) > f(25)，f(30) > f(10)，则
下列结论中一定正确的是( )
A．f(20) > 100
B．f(20) < 1000
C．f(30) > 1000
D．f(30) < 10000
2.5 函数图像与零点·达标训练
1. 作出下列函数的图象
(1)f(x) =
1
2
x
；(2)f(x) = 2x-1
；(3)f(x) =
2 x-1
；
2. 已知函数f(x) =
3x,
(x≤1)
log 1
3 x,
(x>1)
，则y = f(2 -
x) 的大致图象是( )
A．
B．
C．
D．
3. 方程9x + 3x- 63
2 = 0 的根为x1，方程x + log3
(x - 2) - 7
2 = 0 的根为x2，则x1+ x2的值为(
)
A．7
2
B．9
2
C．11
2
D．13
2
-21-
MST 一轮复习·达标训练
4．若函数f(x) = x3 - 3x + 2a 在区间(0 , 2) 内有两
个零点，则实数a 的取值范围是( )
A．(1 ,+∞)
B．(2 ,+∞)
C．(0 , 2)
D．(0 , 1)
5．函数f(x) = ex +
2
log x - 3 的零点所在的区间是
( )
A．(0 , 1)
B．(1 , 2)
C．(2 , 3)
D．(3 , 4)
6．已知函数f(x) = x +
2
log (x + 1) - 6 的零点为
x0，若x0∈(n , n + 1)，且n ∈N，则n = ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．函数f(x) = 2x + lnx - 4 的零点所在的一个区间
为( )
A．(0 , 1)
B．(1 , 2)
C．(2 , 3)
D．(3 , 4)
8．函数f(x) = 2x + x，g(x) =
2
log x + x，h(x) =
x + x 的零点分别为a，b，c，则a，b，c 的大
小顺序为( )
A．a > b > c
B．b > a > c
C．b > c > a
D．c > a > b
9．已知函数f(x) = e|x|cosπx，则方程f(x) = 1
3 在
区间[-3，3] 上的实数根个数为( )
A．10
B．8
C．6
D．4
10．函数f(x) = 3
2 sinπx -
3x-x2 所有零点的和
等于( )
A．6
B．7.5
C．9
D．12
11．已知n ∈N *，设函数f(x) = sin
π
2 x- π
2
-
log(4n-1)x 的零点个数为an，则a1 + a2 + … +a10 =
( )
A．120
B．210
C．75
D．240
12．已知函数f(x) =
2x
x2+1 ,x≥0,
- 1
x ,x<0,
若方程f(x) = t
恰有2 个实根，则实数t 的取值范围是( )
A．{0，1}
B．{1}
C．(-∞, 2)
D．(1 ,+∞)
13．已知函数f(x) = (lnx)2 + axlnx - x2 有且仅有
三个零点，则a 的取值范围是( )
A．0,e- 1
e
B．1,e+ 1
e
C．e- 1
e ,+∞
D．e+ 1
e ,+∞
14．设函数f(x) =
lnx
x ,
x≥1
-(x-1)3,
x<1
，若关于x
的方程[f(x)]2 + mf(x) - 2m - 4 = 0 恰好有4 个不
相等的实数解，则实数m 的取值范围是( )
A．-2, 1
e -2
B．-2- 1
e ,-2
C．2, 1
e +2
D．0, 1
e
15．已知函数f(x) = alnx(a > 0)，若函数g(x) =
|f(|x|)| -2025，则g(x) 的所有零点之积为 ；
方程| f(x)| = x 有三个不同的解，则实数a 的范围
为 ．
16．已知函数f(x) = x+2,
x<0
x,
x≥0
，设a 为正实
数，若方程f(x + a) = f(x) 有实数解，则a 的取值
范围是
．
17．设函数f(x) =
1
3
x,
x≤0
f(x-1),
x>0
，若方程f(x)
= x + a 有且仅有三个解，则实数a 的取值范围为
( )
A．(-∞, 2)
B．(-∞, 3)
C．(1 , 2)
D．(1 , 3)
18．已知函数f (x) =
1
2
|x+1|,
x≤0
|lnx|,
x>0
，若函数
g(x) = 4[f(x)]2 - (4t + 3)f(x) + 3t 有七个不同的零
点，则实数t 的取值范围是( )
A．
1
2 ,1
B．0, 1
2
C．
1
2 ,+∞
D．0, 1
2
1
-22-
MST 一轮复习·达标训练
19．设函数f(x) = x2+2x+1,
x≤0
lnx,
x>0
，则函数y
= f(f(x) - 1) - 1 的零点个数为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
20．已知函数f(x)，g(x) 分别是定义在R 上的偶
函数和奇函数，且满足f(x) + g(x) = 2x- x，若函
数h(x) = 2|x-2023|- λf(x - 2023) - 2λ2有唯一零点，
则实数λ 的值为
．
21．已知定义在R 上的函数f(x) 的满足：f(1 + x)
+ f(1 - x) = 2，g(x) = (x - 1)3 + 1，若函数f(x)
图象与函数g(x) 图象的交点为(x1，y1)，(x2，
y2)，…，(x2023，y2023)，则
2023
i=1
(xi + yj) =
．
22．已知函数f(x) =
2x-1
,
x<1
lnx,
x≥1
，若存在实
数a，b，c 满足f(a) = f(b) = f(c)，且a < b < c，
则4a+ 2b+ lnc 的取值范围是( )
A．(2 , 3)
B．[2，3)
C．(e ,+∞)
D．(1 , e)
23．设函数f(x) = |x2 - 4x + 3| -a(a > 0)，若f(x)
有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足x1 <
x2< x3< x4，则x2+x4
x1+x3
的取值范围是( )
A．1, 9+4 2
7
B．(2 , 3)
C．(3 , 4)
D．(4 , 5)
24．已知函数f(x) =
- 1
2 x2- 5
2 x,
x<0
ex-2
,
x≥0
，若关
于x 的方程f(x) = m 有四个不同的根x1，x2，x3，
x4(x1 < x2 < x3 < x4)，则2ex3 - x1x4 - x2x4 的最大
值是( )
A．5ln 5
2 + 3
B．5ln2 + 4
C．5ln3
D．13 - 2e
25．函数f(x) =
|
2
log x|,
0<x<4
4sin
π
6 x+ π
6
,
4≤x≤14
，若
方程f(x) = m 有四个不等的实根x1，x2，x3，x4，
且x1< x2< x3< x4，则下列结论正确的是( )
A．0 ≤m ≤2
B．x1x2= 2
C．x3+ x4= 16
D．x1x3取值范围为(0 , 5)
-23-
MST 一轮复习·达标训练
3.1~2 导数·达标训练
第一节小题篇
1. 若2a +
2
log a < 22b +
2
log b + 1，则下列不正确的
是( )
A．ln(2b - a + 1) < 0
B．ln(2b - a + 1) > 0
C．ln|a - 2b| > 0
D．ln|a - 2b| < 0
2. 设实数a > 0，若不等式aeax - 1 ≥ln x
e 对任意
x > 0 恒成立，则a 的最小值为( )
A．e
B．2e
C．1
e
D．1
2e
3. 若正实数x1 是函数f(x) = xex - x - e2 的一个零
点，x2 是函数g(x) = (x - e) (lnx - 1) - e3 的一个
大于e 的零点，则x1(x2-e)
e2
的值为(
)
A．1
e
B．1
e2
C．e
D．e2
4. 已知实数x1、x2 满足ex1 + x1 = 6 , ln 5 5x2+3 +
x2= 3
5 ，则x1+ 5x2=
．
5. 函数f(x) = ex
x - m(x > 0) , g(x) =
x
lnx - m(x >
1)，则( )
A．若函数f(x) ≥0 恒成立，则m ≤1
B．若函数g(x) 有两个不同的零点，记为x1，x2，
则x1+ x2> 2e
C．若函数f(x) 和g(x) 共有两个不同的零点，则
m = e
D．若函数f(x) 和g(x) 共有三个不同的零点，记
为x1，x2，x3，且x1< x2< x3，则x1⋅x3= x2
2
6. 已知函数f(x) = alnx，g(x) = bex，若直线y =
kx(k > 0) 与函数f(x)，g(x) 的图象都相切，则4a
+ 1
b 的最小值为
．
7. 已知函数f(x) = aex，g(x) = 2x + b，若f(x) ≥
g(x) 恒成立，则b
a 的最大值是( )
A．-1
B．1
C．2
D．
2
8. 已知函数f(x) = ax
ex-1 + x - ln(ax) - 2(a > 0)，
若函数f(x) 在区间(0，+∞) 内存在零点，则实数
a 的取值范围是(
)
A．(0，1]
B．[1，+∞)
C．(0，e]
D．[3，+∞)
9. 若对于∀x ∈(0 ,+∞)，关于x 的不等式lnx -
ax + 2 ≤0 恒成立，则实数a 的取值范围是
．
10.(2022• 新高考Ⅰ• 多选) 已知函数f(x) = x3 - x
+ 1，则( )
A．f(x) 有两个极值点
B．f(x) 有三个零点
C．点(0 , 1) 是曲线y = f(x) 的对称中心
D．直线y = 2x 是曲线y = f(x) 的切线
11. 设f'(x) 是函数f(x) 的导数，f''(x) 是函数f'(x)
的导数，若方程f''(x) = 0 有实数解x0，则称点为
(x0，f(x0)) 函数f(x) 的拐点．某同学经过探究发
现：任何一个三次函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a
≠0) 都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，
且拐点就是对称中心，设函数g(x) = x3 - 3x2 + 4x
+ 2 ，利用上述探究结果计算：g
1
2025
+
g
2
2025
+ … +g 4048
2025
+ g 4049
2025
=
．
12. 已知函数f(x) = ex - 1
2 x2 - 1，对于任意的实
数a，b，下列结论一定成立的有( )
A．若a + b > 0，则f(a) + f(b) > 0
B．若a + b > 0，则f(a) - f(-b) > 0
C．若f(a) + f(b) > 0，则a + b > 0
D．若f(a) + f(b) < 0，则a + b < 0
13. 已知正数α，β 满足e α - e β >
1
2α+sinα -
1
2β+sinβ ，则下列不等式正确的是( )
A．1
α + 1
β <
4
a+β
B．2α-β+1> 2
C．lnα + α < lnβ + β
D．1
ea + 1
α < 1
eβ + 1
β
14. 过坐标原点作曲线y = ex-2 + 1 的切线，则切线
方程为( )
A．y = x
B．y = 2x
C．y = 1
e2 x
D．y = ex
-24-
MST 一轮复习·达标训练
15. 过平面内一点P 作曲线y = |lnx| 两条互相垂直
的切线l1、l2，切点为P1、P2(P1、P2 不重合)，设
直线l1、l2分别与y 轴交于点A、B，则( )
A．P1、P2两点的纵坐标之积为定值
B．直线P1P2的斜率为定值
C．线段AB 的长度为定值
D．ΔABP 面积的取值范围为(0 , 1)
16. 对于两个函数h(t) = et-1 t> 1
2
与g(t) = ln(2t
- 1) + 2 t> 1
2
，若这两个函数值相等时对应的自
变量分别为t1，t2，则t2- t1的最小值为( )
A．-1
B．-ln2
C．1 - ln3
D．1 - 2ln2
17 . 已知P ，Q 分别是函数y = 1
2 e 2x , y =
ln2+lnx
2
图象上的动点，则|PQ| 的最小值为
．
18. 已知过点A(a , 0) 作曲线y = (1 - x)ex 的切线有
且仅有1 条，则a = ( )
A．-3
B．3
C．-3 或1
D．3 或1
19. 函数f(x) = x
ex ，过点(a，b) 作曲线f(x) 的切
线，下列说法正确的(
)
A. 当a = 0，b = 0 时，有且仅有一条切线
B．当a = 0 时，可作三条切线，0 < b < 4
e2
C．当a = 2，b > 0 时，可作两条切线
D．0 < a < 2 时，可作两条切线，b = 4-a
e2
或
a
ea
20. 已知函数f x
= x - e
x
a a>0
，且y = f x
的
图象在x = 0 处的切线l 与曲y = ex 相切，符合情
况的切线有(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
21. 已知函数f(x)，g(x) 的定义域为R，f'(x) 为
f(x) 的导函数，f(x) - g x+ 1
2
= 1，f(x) = f(1
- x)，f'(x) = f'(-1 - x)．若f
3
2
= 1 , g(1) =
-1，则
2026
i=1
g(i) = ( )
A．2026
B．1013
C．1
D．-1
22. 已知函数f(x) 是定义在R 上的增函数，f(x) +
2 > f(x)，f(0) = 1，则不等式ln[ f(x) + 2] > ln3
+ x 的解集为(
)
A．(-∞, 0)
B．(0 ,+∞)
C．(-∞, 1)
D．(1 ,+∞)
23. 已知定义在(-2 , 2) 上的函数f(x) 满足f(x) +
e4xf(-x) = 0，f(1) = e2，f(x) 为f(x) 的导函数，
当x ∈[0，2) 时，f(x) > 2f(x)，则不等式e2xf(2
- x) < e4的解集为( )
A．(-1 , 1)
B．(-1 , 2)
C．(1 , 4)
D．(1 , 5)
24. 若a = ln1.1，b = 1
11 ，c = sin0.1，d = 21
220 ，
则( )
A．a < b
B．b < c
C．a < d
D．c < d
25. 已知a = 20242026，b = 20252025，c = 20262024，
则( )
A．c > b > a
B．b > a > c
C．a > b > c
D．a > c > b
26. 若alna > blnb > clnc = 1，则( )
A．eb+clna > ea+clnb > ea+blnc
B．ea+blnc > ea+clnb > eb+clna
C．ea+clnb > eb+clna > ea+blnc
D．ea+blnc > eb+clna > ea+clnb
27. 已知正数a，b，c ∈(1 ,+∞)，满足2a-1
a-1 =
2 + log 2a，3b-2
b-1
= 3 + log 3b，4c-3
c-1
= 4 +
log4c，则下列不等式成立的是( )
A．c < b < a
B．a < b < c
C．a < c < b
D．c < a < b
28. 对任意实数m，n，不等式kmen-1 - 2n + 1 +
(2n - 2m + 1)e2n-m ≥0 恒成立，求实数k 的取值范
围
.
29. 若f(x) = aex + ln
a
x+2 - 2(a > 0)，若f(x) >
0 恒成立，则a 的值不可以是( )
A．e
B．1
C．2e
D．2
-25-
MST 一轮复习·达标训练
30. 已知函数f(x) = xex + 2a，g(x) = elnx
x
，任意
x1 ∈[1，2]，∃x2 ∈[1 , 3]，都有不等式f(x1) ≥
g(x2) 成立，则a 的取值范围是( )
A．[-e2，+∞)
B．
1-e
2
,+∞
C．- e
2 ,+∞
D．
1
2 -e2,+∞
31. 已知函数f (x) = a
x2- 1
2 +
2
2 b - ex，若
f (x) = 0 在
e
3 ,e
上有解，则a 2 + b 2 的最小值
．
32. 已知t 是函数f(x) =
2m + n x + e
x
2 的一个零
点，且t ∈[1，2]，则
e
m2+n2 的最大值为
33. 已知x ∈0, π
2
，且ax < sinx < bx 恒成立，
则b - a 的最小值为( )
A．1
B．2
π
C．2
π - 1
D．1 - 2
π
34. 已知函数f(x) = (e - a)ex - ma + x，(m，a 为
实数)，若存在实数a，使得f(x) ≤0 对任意x ∈R
恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A．- 1
e ，+∞
B．[-e，+∞)
C．
1
e ，e
D．-e，- 1
e
35. 若关于x 的不等式ex - (a + 1)x - b ≥0(e 为自
然对数的底数) 在R 上恒成立，则(a + 1)b 的最大
值为( )
A．e + 1
B．e + 1
2
C．e
2
D．e
4
36. 已知函数f(x) = x2 - 2aex + b(a , b ∈R)，若
f(x) 有两个极值点x1，x2(x1 < x2)，且x2 < 2x1，
则a 的取值范围是(
)
A．(0，1
e )
B．(-∞，ln2
2 )
C．( ln2
2 ，1
e )
D．(0，ln2
2 )
第二节大题篇练习
1.(2025• 北京卷T 20) 函数
f x
的定义域为
-1,+∞
的，且f 0
= 0 , f' x
= ln x+1
x+1
,
f x
在A a, f a
处的切线为l1 ．
(1) 求f' x
的最大值；
(2) 证：当-1 < a < 0 时，除切点A 外，y =
f x
均在l1 上方；
(3) 当a > 0 时，直线l2 过A 点且与l1 垂直，
l1 , l2 与x 轴的交点横坐标分别为x1 , x2 ，求
2a-x2-x1
x2-x1
的取值范围．
2. 已知f(x) = logax , g(x) = ax，其中a > 1．
(1) 请利用y = lnx 的导函数推出f(x) 导函数，并
求函数h(x) = f(x) -
x
lna 的递增区间；
(2) 若曲线y = f(x) 在点(x1，f(x1)) 处的切线与曲
线y = g(x) 在点(x2，f(x2)) 的切线平行，求f(x1)
+ x2(化简为只含a 的代数式)；
(3) 证明：当a ≥e
1
e 时，存在直线l，使得l 既是y
= f(x) 的一条切线，也是y = g(x) 的一条切线．
-26-
MST 一轮复习·达标训练
3. 已知函数f(x) = x3- x2+ ax + 1．
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 求曲线y = f(x) 过坐标原点的切线与曲线y =
f(x) 的公共点的坐标．
4. 已知f(x) = x
ex , g(x) = lnx
x ．
(1) 求函数y = f(x)、y = g(x) 的单调区间和极值；
(2) 请严格证明曲线y = f(x)、y = g(x) 有唯一交
点；
(3) 对于常数a ∈0, 1
e
，若直线y = a 和曲线y =
f(x)、y = g(x) 共有三个不同交点(x1，a)、(x2，
a)、(x3，a)，其中x1 < x2 < x3，求证：x1、x2、
x3成等比数列．
5. 已知函数f(x) = x - a
ex - 1
2 (sinx - cosx)．
(1) 当a = 0 时，判断函数f(x) 的单调性；
(2) 已知f(x) ≥1 对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值
范围．
6. 求证：(1) ln(x+1)
x
< 2，(2) ln(x+1)
x
< 1
7. 已知函数f(x) = ax - axlnx + 1(a ∈R，a ≠0)．
证明: a =-2，f(x) ≤x2- 3x + 1
x + 2lnx．
8. 麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，
f(x) 的麦克劳林展开式为：f(x) = f(0) + f'(0)x +
f''(0)
2!
x2 +⋯+ f(n)(0)
n!
xn +⋯=
∞
n=0
f(n)(0)
n!
xn，其中
f (n)(0) 表示f(x) 的n 阶导数在0 处的取值，我们称
Tn = f(n)(0)
n!
xn 为f(x) 麦克劳林展开式的第n + 1
项．例如：ex= 1 + x + x2
2! + x3
3! + x4
4! +⋯．
(1) 请写出f(x) = sinx 的麦克劳林展开式中的第2
项与第4 项；
(2) 数学竞赛小组发现ln(1 + x) 的麦克劳林展开式
为ln(1 + x) = x - x2
2 + x3
3 - x4
4 +⋯，这意味着：
当x > 0 时，ln(1 + x) > x - x2
2 ，你能帮助数学竞
赛小组完成对此不等式的证明吗？
(3) 当x ≥1 时，若ex + lnx + 1
2 > x3
6 + mx，求
整数m 的最大值．
-27-
MST 一轮复习·达标训练
9. 已知f(x) = a(x - lnx) + 2x-1
x2
，a ∈R
(1) 讨论f(x) 的单调性；
(2) 当a = 1 时，证明f(x) > f′ (x) + 3
2 对于任意的
x ∈[1，2] 成立．
10. 已知曲线f(x) = mx-m
ex
在点(1，f(1)) 处的
切线斜率为- 1
e ．
(1) 求m 的值，并求函数f(x) 的极小值；
(2) 当x ∈(0，π) 时，求证：exsinx - x + ex-2 + 1
> exxcosx．
11.(1) 求证：x ≥0 时，cosx ≥1 - 1
2 x2恒成立；
(2) 当a ≥1 时，∀x ∈[0，+∞)，证明不等式xeax
+ xcosx + 1 ≥(1 + sinx)2恒成立．
12. 已知函数f(x) = ln2x + a(lnx+1)
x
, a > 0
求证：x > 0 , ex> x2
讨论f(x) 单调性
求证：∀a > 0 , f(x) 有唯一零点
13. 已知函数f x
= xlnx + ax2．
若f x
存在两个极值点，求a 的取值范围．
14. 已知a > 0 , x > 0 , f(x) = a(x + 1)ex - 1 - 1
x ，
判断f(x) 的零点个数.
15. 已知函数f(x) = ln(1 + x) + axe-x.
(1) 当a = 1 时，求曲线y = f(x) 在点(0，f(0)) 处
的切线方程;
(2) 若f(x) 在区间(-1，0)，(0，+∞) 各恰有一个
零点，求a 的取值范围.
-28-
MST 一轮复习·达标训练
16. 已知函数f(x) = ax - xex(a > 0)．
(1) 求(0，f(0)) 处的切线方程；
(2) 求证：f(x) 仅有一个极值点；
(3) 若存在a，使f(x) ≤a + b 对任意的x ∈R 恒成
立，求实数b 的取值范围
17. 已知函数f(x) 满足f(x) = f′ (1)ex-1 - f(0)x +
1
2 x2．
(1) 求f(x) 的解析式及单调区间；
(2) 若f(x) ≥1
2 x2+ ax + b，求(a + 1)b 的最大值．
18. 已知函数f(x) = λx - ex．
(1) 当λ = 2 时，曲线y = f(x) 与y = g(x) 关于点(2
, 3) 中心对称，求函数g(x) 的解析式；
(2) 讨论f(x) 在2,6
上的单调性；
(3) 若关于x 的不等式f(x) + ex ≤1
6 x3 + sinx 在
0,+∞
上恒成立，求实数λ 的取值范围．
19. 已知f(x) = ax - sinx
cos3x ，x ∈0, π
2
．
(1) 若a = 8，讨论f(x) 的单调性；
(2) 若f(x) < sin2x 恒成立，求a 的取值范围．
20. 已知函数f(x) = ex + acosx -
2 x - 2，f(x)
为f(x) 的导函数．
(1) 讨论f(x) 在区间(0，π
2 ) 内极值点的个数；
(2) 若x ∈- π
2 ，0
时，f(x) ≥0 恒成立，求实数
a 的取值范围．
-29-
MST 一轮复习·达标训练
21. 已知函数f(x) = ex，g(x) = sinx + cosx，其中
e 为自然对数的底数．
(1) 证明：x ≥0 时，ex- 1 ≥x ≥sinx；
(2) 求函数h(x) = f(x) - g(x) 在- 5
4 π,+∞
内的
零点个数；
(3) 若f(x) + g(x) ≥ax + 2，求a 的取值范围．
22. 已知函数f(x) = ex-1
x
．若f(x) > ax，其中a >
0 且a ≠1，求实数a 的值．
23. 已知函数f(x) = ex- ax(a ∈R)．
(3) 若x ∈- π
2 ,+∞
时，xf(x) ≥2x - xcos x，
求a 的取值范围．
24. 已知函数f(x) = aex-1 - lnx + lna．若f(x) ≥
1，求a 的取值范围．
25. 已知函数f(x) = lnx - 1
x2 + 2a
x - ax．若∃m
> 0，使得f(m) ≥a2，则实数a 的最大值为．
26. 已知1 < a ≤2，函数f(x) = ex - x - a，其中e
= 2.71828… 为自然对数的底数．
(Ⅰ) 证明：函数y = f(x) 在(0 ,+∞) 上有唯一零
点；
(Ⅱ) 记x0 为函数y = f(x) 在(0 ,+∞) 上的零点，证
明：(ⅰ) a-1 ≤x0 ≤
2(a-1) ；(ⅱ)x0 f(ex0) ≥
(e - 1) (a - 1)a．
27. 已知函数f(x) = 1
2 x2- x + alnx，(a > 0)．
(1) 若a = 1，求f(x) 在(1，f(1)) 处的切线方程；
(2) 讨论f(x) 的单调性；
(3) 若f(x) 存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)
+ f(x2) > -3-2ln2
4
．
-30-
MST 一轮复习·达标训练
28. 已知函数f(x) = lnx - ax，其中a > 0．
(Ⅰ) 当a = 2 时，求曲线y = f(x) 在点(1，f(1)) 处
的切线方程；
(Ⅱ) 若f(x) 的最大值是alna - a，求a 的值；
(Ⅲ) 设函数g(x) = f(x) + a
x ，若g(x) 有两个极值
点x1，x2，证明：g(x1) + g(x2) + g(x1 + x2) > ln2
- 3
4 ．
29. 已知函数f x
= xlnx - ax2+ x , a ∈R．
(1) 若函数f x
是减函数，求a 的取值范围；
(2) 若f x
有两个零点x1 , x2，且x2 > 2x1，证明：
x1x2> 8
e2 ．
30. 已知函数f(x) = xlnx - a(x2- 1) + x．
(1) 若f(x) 单调递减，求a 的取值范围；
(2) 若f(x) 有两个极值点x1，x2，且x2 > 2x1，证
明：e6x1x2
2> 32．
31. 已知函数f(x) = a
x + lnx , g(x) = ax - lnx - 2.
(1) 若a > 0，当f(x) 与g(x) 的极小值之和为0 时，
求正实数a 的值；
(2) 若f x1
= f x2
= 2 x1≠x2
，求证：1
x1
+ 1
x2
> 2
a .
32. 已知函数f x
= 1
2 x2 - acosx + bxlnx - bx ,
f x
的导函数为fx
，(a , b ∈R , e 为自然对数的
底数).
(1) 当a = b = 1 时，求函数f x
在点π, f π
处
的切线的斜率；
(2) 若b = 0 且函数f x
在0, π
2
上是单调递增函
数，求a 的取值范围；
(3) 若0 < a < 1 , x1, x2满足fx1
= fx2
，证明：
x1 +
x2 > 2
-b
1+a .
-31-
MST 一轮复习·达标训练
33. 已知函数f(x) = a(x - 1) - xlnx，且f(x) ≤0.
(1) 求a ;
(2) 已知f(x) 为函数f(x) 的导函数，证明：对任
意的0 < x1< x2，均有f(x1) > f(x2)- f(x1)
x2-x1
；
(3) 证明：对任意的n ∈N *，均有
1
n+2 +
1
n+3
+⋅⋅⋅+
1
2n+1 < ln2.
34. 已知函数f(x) = ex- x + a.
(1) 若x 轴是曲线y = f x
的一条切线，求实数a
的值；
(2) 若f x
≥0 在x ∈R 上恒成立，求a 的最小值；
(3) 证明：1+1
1+ 1
4
⋯1+ 1
n2
< e2(n ∈N *
且n ≥2).
35. 已知函数f x
= 2e x + xsinx + cosx - ax -
3 a∈R
．
(1) 若a = 1，求曲线y = f x
在点0, f 0
处的切
线方程；
(2) 若f x
≥0 对任意的x ∈0,+∞
恒成立，求a
的取值范围.
(3) 证明：
n
k=1
1
k+1
< ln(n + 1) <
n
k=1
1
k ,(n∈N *)
36. 已知函数f(x) = ex-1- 1
2 x2．
(1) 求函数f(x) 的零点个数；
(2) 若n ∈N ，且n ≥2，求证：1 +
1
2 +
1
3 +
⋯+ 1
n ≤n + ln n+1
2n
．
-32-
MST 一轮复习·达标训练
37. 已知函数f x
= m 2-x2
- cosx m∈R
(1) 当m = 1 时，求f x
的零点个数；
(2) 若∀x ∈R , f(x) ≤0，求m 的最大值；
(3) 证明：∀n ∈N *, n - 1 <
n
i=1
cos
1
i .
38. 已知函数f x
= cosx + m x+ π
2
sinx，其中
m ≤1．
(1) 证明：曲线y = f x
是中心对称图形；
(2) 讨论函数f x
在-π,0
内零点的个数；
(3) 若存在t > 0，当x ∈- π
2 -t,- π
2
时，总有
f x
<-2x - π 成立，求符合条件的m 的最小值．
4.1 基本公式·达标训练
1. 把-1 125° 化成α + 2kπ(0 ≤α < 2π，k ∈Z) 的
形式是( )
A. 3π
4
- 6π
B. 7π
4
- 6π
C. 3π
4
- 8π
D. 7π
4
- 8π
2. 已知角α 的终边在图中阴影部分内，则角α 的取
值集合为 .
3. 若α 为第一象限角，则α
2 为( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一象限角或第三象限角
D．第二象限角或第四象限角
4. 某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣
传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇
形OAD 挖去扇形OBC 后构成的). 已知OA = 2
米，OB = x 米(0 < x < 2)，线段BA，线段CD
与BC
，AD
的长度之和为6 米，圆心角为θ 弧度.
(1) 求θ 关于x 的函数解析式；
(2) 记该宣传牌的面积为y，试问x 取何值时，y 的
值最大？并求出最大值.
5.(多选) 已知角θ 的终边经过点(-2，- 3 )，且
θ 与α 的终边关于x 轴对称，则( )
A.sin θ =-
21
7
B.α 为钝角
C.cos α =- 2 7
7
D. 点(tan θ，tan α) 在第
四象限
6.(2020• 上海) “α = β”是“
2
sin α +
2
cos β = 1”
的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
-33-
MST 一轮复习·达标训练
7.(2023• 乙卷) 若θ ∈0, π
2
，tan θ = 1
3 ，则
sinθ - cosθ = ．
8.(多选) 已知α ∈(0 , π)，且sinα + cosα = 1
5 ，则
( )
A．π
2 < α < π
B．sinαcosα =- 12
25
C．cosα - sinα = 7
5
D．cosα - sinα =- 7
5
9.(2021• 全国) 已知tanx = 2，则2sinx+cosx
2sinx-cosx =
( )
A．3
B．5
3
C．3
5
D．1
3
10.(多选) 已知sinα+cosα
sinα-cosα = 3，- π
2 < α < π
2 ，
则( )
A.tan α = 2
B.sin α - cos α =-
5
5
C.sin4α - cos4α = 3
5
D. 1-2sinαcosα
sin2α-cos2α = 1
3
11.
3
sin20° -
1
cos20° = ( )
A．-4
B．-2
C．2
D．4
4.2 恒等变换·达标训练
1.(2015• 新课标Ⅰ)sin20°cos10° -cos160°sin10° =
( )
A．-
3
2
B．
3
2
C．- 1
2
D．1
2
2.(2017• 全国)cos20°cos25° -sin20°sin25° = (
)
A．
2
2
B．1
2
C．0
D．-
2
2
3. 已知tanαtan β = 2，cos(α - β) = 1
3 ，则cos
(α + β) = ．
4. 已知角A，B，C 满足A + B + C = π，且cosA
+ cosB + cosC = 1，则(1 - cosA) (1 - cosB) (1
- cosC) = ( )
5.(2016• 上海) 若函数f(x) = 4sinx + acosx 的最大
值为5，则常数a = ．
6.(2024• 上海春季) 已知f(x) = sin ωx+ π
3
，ω >
0．
(1) 设ω = 1，求解：y = f(x)，x ∈[0，π] 的值
域；
(2)a > π(a ∈R)，f(x) 的最小正周期为π，若在x
∈[π，a] 上恰有3 个零点，求a 的取值范围．
7. 已知α ∈(0 , π)，α + β + γ = π，且2sin α +
tanβ + tanγ = 2sinαtanβtanγ，则α = (
)
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
-34-
MST 一轮复习·达标训练
8. 在锐角ΔABC 中，tan A = t + 1，tan B = t -
1，则实数t 的取值范围是( )
A．( 2，+∞)
B．(1 ,+∞)
C．(1 ,
2)
D．(-1 , 1)
9.(2018• 上海) 已知y = cosx．
(1) 若f(α) = 1
3 ，且α ∈[0，π]，求f α- π
3
的
值；
(2) 求函数y = f(2x) - 2f(x) 的最小值．
10.(2017• 新课标Ⅲ) 已知sin α - cos α = 4
3 ，则
sin2α = ( )
A．- 7
9
B．- 2
9
C．2
9
D．7
9
11.(2025• 天津卷) 设x ∈R , 则“ x = 0 ” 是
“ sin2x = 0 ” 的(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
12. 求函数y = x + 2 +
1-(x+1)2 的值域．
13. 记M = |x - 1| + 4-x2，则M 的最大值为(
)
A．4
B．1 + 2 2
C．3
D．1 +
2
4.3 图像性质·达标训练
1.(2014• 新课标Ⅰ) 在函数①y = cos|2x|，②y =
| cos x | ，③y = cos 2x+ π
6
，④y =
tan 2x- π
4
中，最小正周期为π 的所有函数为
( )
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
2 . 函数y = sin -2x+ π
4
的单调递增区间是
(
)
A．2kπ+ 3
8 π,2kπ+ 7
8 π
(k ∈Z)
B．kπ+ 3
8 π,kπ+ 7
8 π
(k ∈Z)
C．kπ- 1
8 π,kπ+ 3
8 π
(k ∈Z)
D．kπ- 5
8 π,kπ- 1
8 π
(k ∈Z)
3.(2024• 天津) 已知函数f(x) = 3sin ωx+ π
3
(ω >
0) 的最小正周期为π．则f(x) 在区间- π
12 , π
6
上的最小值为( )
A．- 3 3
2
B．- 3
2
C．0
D．3
2
4.(2024• 甲卷) 函数f(x) = sinx -
3 cosx 在[0，
π] 上的最大值是
5. 已知函数f(x) = 2cos
π
3 + x
2
(1) 求函数的最小正周期；
(2) 求f(x) 的单调递增区间；
(3) 若x ∈[-π，π]，求f(x) 的最大值和最小值．
-35-
MST 一轮复习·达标训练
6. 将函数f x
= sin x+φ
sin x+ π
2 +φ
0<φ< π
2
的图象向左平移π
3 个单位长度后，所
得图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是
( )
A．f x
的最小正周期为2π
B．φ = 5π
12
C．f x
在区间0, π
3
上单调递减
D．f x
的图象关于点
2π
3 ,0
对称
7. 已知函数f x
= 7cos ωx+ π
5
ω>0
仅存在一
个极值点和两个零点在区间
π
4 , π
2
内，则实数ω
的取值范围为
.
8. 设函数f x
= 2sin 2ωx+ π
6
+ 1 ω>0
，若
f x
在
π
4 , π
3
上单调递增，则ω 的取值范围是
．
9 . 已知函数f ( x ) = A sin ( φx + φ )
A>0，ω>0，|φ|< π
2
，x =- π
4 是函数的一个
零点，且x = π
4 是其图象的一条对称轴．若
π
9 , π
6
是f(x) 的一个单调区间，则ω 的最大值
为(
)
A．18
B．17
C．15
D．13
10. 已知函数f(x) = 2sin(ωx + φ) (ω > 0，0 < φ <
π
2 )，x =- π
3 为f(x) 的一个零点，x = π
3 为y =
f(x) 图象的一条对称轴，且f(x) 在(
π
2022 ，π
6 ) 内
不单调，则ω 的最小值为
．
11. 函数f(x) = xsin 2πx - 1 在区间(0，3] 上的零
点个数为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
12. 已知函数f(x) =
3π
6
sin(ωx + φ) (ω > 0，0 <
φ < π) 的部分图象如图中实线所示，圆C 与f(x)
图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则圆C 的
半径为 .
13. 函数f(x) = cos ωx- π
3
(ω > 0) 在[0 , π] 上的
值域为
1
2 ,1
，则ω 的取值范围是(
)
A．
1
3 , 2
3 ]
B．0，2
3
C．
2
3 ,1
D．
1
3 ,1
14. 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，
其工作示意图如图所示，设水车的半径为4m，其
中心O 到水面的距离为2m，水车逆时针匀速旋
转，旋转一周的时间为60s，当水车上的一个水筒
A 从水中(A0 处) 浮现时开始计时经过t(单位：s)
后水筒A 距离水面的高度为f(t) (在水面下高度为
负数)，则f(130) = ()
A．3m
B．4m
C．5m
D．6m
15 已知函数f x
= sin 2ωx- π
6
ω>0
，则下列
结论中正确的是( )
A．f x
的最小正周期为2π
ω
B．若f
π
3
= 0，则ω 的最小值为1
4
C．若ω = 1
2 ，关于x 的方程f x+φ
= 1
2
φ∈R
在区间0, 8
3 π
上最多有4 个不相等的实数解
D．当ω = 1 时，设f x
在区间
t- π
8 ,t+ π
8
t∈R
上的最大值为M t
，最小值
为m t
，若h t
= M t
- m t
，则h t
的最小
值为1 -
2
2
-36-
MST 一轮复习·达标训练
5.1 解三角形基础篇·达标训练
1. 在△ABC 中，b = 2，c =
3，△ABC 面积S =
3
2 ，由∠A =
．
2.(2024• 甲卷) 在ΔABC 中，内角A，B，C 所对
边分别为a，b，c，若B = π
3 ，b2 = 9
4 ac，则
sinA + sinC = ( )
A．3
2
B．
2
C．
7
2
D．
3
2
3. 如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜
角为β 的斜坡向上走a 米到B，在B 处测得山顶P
的仰角为γ，则山高h = ( )
A．acosαsin(γ-α)
sin(γ-β)
B．asinαsin(γ-α)
sin(γ-β)
C．acosαsin(γ-β)
sin(γ-α)
D．asinαsin(γ-β)
sin(γ-α)
4. 《中国建筑史》(梁思成著) 载：“大雄殿之左
侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔．“该塔位于蓬溪
县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼阁式砖石
塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今
已800 余年，充分体现了中国传统建筑技术水平．
某数学兴趣小组为了测得塔高，如图，在A 点测
得塔底位于北偏东60° 方向上的点D 处，塔顶C 的
仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点44m 的B
点测得塔底位于北偏西45° 方向上(A，B，D 在
同一水平面)，则塔的高度CD 约为( ) (参考数
据：
6 ≈2.45)
A．42m
B．45m
C．36m
D．38m
5.(2012• 上海) 在ΔABC 中，若
2
sin A +
2
sin B <
2
sin C，则ΔABC 的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
6. 在ΔABC 中，若b = 3，c = 3 2
2
，B = 45°，则
此三角形解的情况为( )
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不能确定
7.(2023• 乙卷) 在ΔABC 中，内角A，B，C 的对
边分别是a，b，c，若acosB - bcosA = c，且C
= π
5 ，则∠B = ( )
A．π
10
B．π
5
C．3π
10
D．2π
5
8.(多选) 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别
是a，b，c，若a =
10，a2+ b2- c2= absin C，
acos B + bsin A = c，则下列结论正确的是( )
A.tan C = 2
B.A = π
4
C.
b =
2
D.△ABC 的面积为6
9. 在△ABC 中，sin(B - A) = 1
4 ，2a2+ c2= 2b2，
则sin C 等于( )
A. 2
3
B.
3
2
C. 1
2
D.1
10. 已知△ABC 的面积S = 1
4 (b2 + c2) (其中b，c
为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为
11. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述
了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，
C 所对的边分别为a，b，c，则△ABC 的面积S
= 1
2
(cb)2- c2+b2-a2
2
2
. 根据此公式，若acos
B + (b -
2c)cos A = 0，且b2 + c2 - a2 =
2，则
△ABC 的面积为 .
-37-
MST 一轮复习·达标训练
12.(2025·南昌模拟) 如图，两块直角三角形模具，
斜边靠在一起，其中公共斜边AC = 10，∠BAC
= π
3 ，∠DAC = π
4 ，BD 交AC 于点E.
(1) 求BD2；
(2) 求AE.
5.2 解三角形二级结论·达标训
练
1. 在ΔABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，若c - acos B = (2a - b)cos A，则ΔABC
为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
2. 在锐角三角形ABC 中，若
3 sinB + cosB = 2，
且满足cosB
b
+ cosC
c
= sinA⋅sinB
3sinC
，则ΔABC
的周长最大值为( )
A．
3
B．2 3
C．4 3
D．6 3
3. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边长分别为
a，b，c，且满足sinB + sinC = 2sinAcosB．点
D 在线段AB 的延长线上，则下列选项中正确的是
( )
A．a2- b2= bc
B．若2c = a + b，则cos∠ABC = 4
5
C．A = 2B
D．若AB
= 3 , BD
= 1，当点C 运动时，CD
- CA
为定值
4. 在ΔABC 中，∠BAC = 60°，AB = 2，BC =
6，∠BAC 的角平分线交BC 于D，则AD = (
)
A．
3
B．2
C．2 2
D．2 3
-38-
MST 一轮复习·达标训练
5. 如图，在△ABC 中，∠BAC = 2π
3 ，点E，F
分别在边AB，AC 上，线段AE 和AF 的长均不
超过9，点P 在线段EF 上，且AP 平分∠EAF，
AP = 3，则EF 长度的取值范围是_____.
6．△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b ,
c ，设sinAcosB = sinB(2 - cosA) ．
(1) 若b + c =
3a ，求A ；
(2) 若a = 2 ，求△ABC 的面积的最大值．
7.(2021• 新高考Ⅰ) 记△ABC 的内角A，B，C 的
对边分别为a，b，c．已知b2 = ac，点D 在边
AC 上，BDsinABC = asinC．
(1) 证明：BD = b；
(2) 若AD = 2DC，求cosABC．
8.(多选) 已知ΔABC 三个内角A，B，C 的对应边
分别为a，b，c，且∠C = π
3 ，c = 2，则下列结
论正确的有( )
A．ΔABC 面积的最大值为
3
B．bcosA + acosB =
2
C．ΔABC 周长的最大值为6
D．cosB
cosA 的取值范围为-∞,
3
2
∪( 3 ,+∞)
9. 设锐角△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为
a , b , c ，已知
3 sinB + cosB = 2 , c = 2 3 ，
则△ABC 面积的取值范围为____ ．
10. 在斜三角形ABC 中，下列结论可能成立的是
( )
A．sinA = sinB - sinC
B．tanA = tanB + tanC
C．sinA = cosB - cosC
D．cosA = sinB + sinC
-39-
MST 一轮复习·达标训练
5.3 解三角形方法论·达标训练
1.△ABC 中、角A、B、C 所对的边分别为a，b，
c，已知4asinA = bsinCcosA + csinAcosB．
(1) 求sinA
sinC 的值；
(2)B 的角平分线BD 交AC 于D，
(i) 证明：BD2= BA ⋅BC - DA ⋅DC；
(ii) 若a = 1，求BD ⋅AC 的最大值．
2. 在ΔABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，
b，c，2csinAcosB + bsinB = 5
2 csinA．
(1) 求sinA
sinC ．
(2) 若a > c，角B 的平分线交AC 于D，
(Ⅰ) 求证：BD2= BA ⋅BC - DA ⋅DC．
(Ⅱ) 若a = 1，求DB ⋅AC 的最大值．
3. 已知a，b，c 分别为△ABC 的内角A，B，C
的对边，且a =
3sinA，则
abc
2c2+2abcosC 的最
大值为
.
4. 记△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c，
若△ABC 的面积S =
b+c
2-a2
2
，则2b+c
a
的取
值范围是
．
5. 在△ABC 中，已知角A、B、C 的对边分别为
a、b、c，且S△ABC =
3
4
a2+b2-c2
.
(1) 求角C 大小；
(2) 求证：a + b ≤2c；
(3) 设I 为△ABC 的内心，求AB
CI
的最小值.
6. 已知F 1,0
是椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)
的右焦点，过F 作直线l 交椭圆于A , B 两点，其
中A 在x 轴上方。当AB ⊥x 轴时，AB
= 3 。
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设P 4,0
，
(i) 求证：∠APF = ∠BPF
(ii) 设点M 在椭圆C 上，点N 是ΔFMP 的
外接圆与椭圆C 的另一个交点(异于M )，若
MF 平分∠AMB ，且
1
NA
+
1
NB
=
3
NF
，
求cos∠ANB 的值。
7.△ABC 中，D 为边BC 上靠近点B 的三等
分点，且∠DAB = 2∠DAC ，AD = 1 ，则BC
长度的取值范围为_____.
-40-
MST 一轮复习·达标训练
5.4 解三角形大题综合·达标训
练
1.ΔABC 中，角A，B，C 所对边分别是a，b，
c，tanA
tanB + tanA
tanC = 2
bc ，bcosC + ccosB = 1．
(Ⅰ) 求角A 及边a；
(Ⅱ) 求2b + c 的最大值．
2.(2024• 北京) 在ΔABC 中，内角A，B，C 的对
边分别为a，b，c，∠A 为钝角，a = 7，sin2B
=
3
7 bcosB．
(1) 求∠A；
(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使得ΔABC 存在，求ΔABC 的
面积．
条件①：b = 7；
条件②：cosB = 13
14 ；
条件③：csinA = 5
2
3．
3. 已知ΔABC 的内角A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，f(x) = 4cos xsin x- π
6
的最大值为
f(A)．
(1) 求角A；
(2) 若点D 在BC 上，满足BC = 3DC，且AD =
7，AB =
3，求角C．
4. 已知ΔABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，且2acosB = 2c - b．
(1) 求A；
(2) 若ΔABC 的面积为9 3
4
，点D 在线段BC 上，
且BD = 1
2 CD，求AD 的最小值．
-41-
MST 一轮复习·达标训练
5. 已知ΔABC 中，内角A，B，C 所对的边分别
为a，b，c，且满足
sinA
sinB+sinC = c-b
b
．
(1) 若C = π
3 ，求B；
(2) 求a+c
b
的取值范围．
6. 在钝角ΔABC 中，内角A，B，C 的对边为a，
b，c，已知
cosA
1-sinA =
cosA+cosB
1-sinA+sinB ．
(1) 若C = 2π
3 ，求sinA；
(2) 求a2+c2
b2
的取值范围．
7.(2026• 门头沟区一模) 在△ABC 中，b = 2 6 ,
csin2B = 4 6
3
sin(A + B)
(I) 求cosB ；
( II ) 再从以下条件(1)、条件(2)、条件(3) 这三
个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在，
求△ABC 的周长．
条件(1)：c = 10 ；
条件(2)；cosA =
6
3
；
条件(3)：△ABC 的面积为5 2 ．
-42-
MST 一轮复习·达标训练
6.1 线性运算·达标训练
1. (多选) 化简以下各式，结果为0的有( )
A．AB
+ BC
+ CA
B．AB
- AC
+ BD
- CD
C．OA
+ OD
+ AD
D．NQ
+ QP
+ MN
- MP
2.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，则
MA
+ 2MB
+ 2MC
+ MD
= ( )
A．AB
B．CD
C．2AB
D．1
2 CD
3.已知a，b是平面内两个不共线向量，AB
= ma
+ 2b，BC
= 3a- b，A，B，C 三点共线，则m
= ( )
A．- 2
3
B．2
3
C．-6
D．6
4.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且
BC
= 3CD
，点O 在线段CD 上(与点C、D 不重
合)，若AO
= xAB
+ 1-x
AC
, 则x 的取值范围
是( )
A．0, 1
2
B．0, 1
3
C．- 1
2 ,0
D．- 1
3 ,0
5.在ΔABC 中，AD
= 3
2 DC
，P 是直线BD 上的
一点，若AP
= t AB
+ 2
5 AC
则实数t 的值为
(
) A．- 1
3
B．1
3
C．- 2
3 D．2
3
6.在ΔABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AC 边
上一点且满足AE = 2EC，AD 与BE 交于F，若
AF
= λAD
, BF
= μBE
，则λ + μ 的值是( )
A．1
B．7
6
C．7
5
D．3
2
7.如图，圆O 是边长为2 3 的等边三角形ABC 的
内切圆，其与BC 边相切于点D，点M 为圆上任意
一点，BM
= xBA
+ yBD
(x , y ∈R)，则2x + y 的
最大值为(
)
A．
2
B．
3
C．2
D．2 2
8.如图，平面内有三个向量OA
，OB
，OC
，其
中OA
与OB
的夹角为120°，OA
与OC
的夹角为
30°，且OA
= OB
= 1，OC
= 2 3．若OC
=
mOA
+ nOB
(m，n ∈R)，则m + n 的值为
．
-43-
MST 一轮复习·达标训练
6.2 数量积习题·达标训练
1.已知向量a, b满足|a| = 1 , |b- 2a| = 2 3 , a⋅(b
- 2a) = 0，则|b| = ( )
A．2
B．2 3
C．4
D．3 2
2.已知向量a，b满足a+ b= (2 , 3)，a- b= (-2
, 1)，则|a|2- |b|2= ( )
A．-2
B．-1
C．0
D．1
3.已知向量a，b满足|a| = 5，|b| = 6，a⋅b=-6，
则cos < a，a+ b>= ( )
A．- 31
35
B．- 19
35
C．17
35
D．19
35
4.已知向量a，b满足|a| = 1，|b| =
3，|a- 2b|
= 3，则a⋅b= ( )
A．-2
B．-1
C．1
D．2
5.邢台一中数学探索馆中“圆与非圆- 搬运”的
教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，
以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在
另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三
角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形
中，已知AB = 2 ，P 为弧AC 上的一点，且
∠PBC = α，则BP
⋅PC
的最小值为( )
A．0
B．2 3 - 4
C．-2
D．2
6. (2024• 新高考Ⅰ) 已知向量a= (0 , 1)，b= (2 ,
x)，若b⊥(b- 4a)，则x = ( )
A．-2
B．-1
C．1
D．2
7.已知向量a= (1 , 4)，b= (x , 2)，若a⎳(3a-
b)，则x = ( )
A．-1
B．- 1
2
C．1
2
D．1
8. 已知向量a= (3 ,-1)，b= (-2 , 1)，c= (-1 ,
2)，若λa+ b与c平行，则λ = ( )
A．- 3
5
B．3
5
C．-1
D．1
9. 已知向量a= (1 , 2) , b= (x , 3) , c= (4 , y)，若
a⎳(b+ c)，则|b- c| 的最小值为 ．
10.已知P 是函数y = x + 1
x (x > 0) 的图象上的任
意一点，过P 分别向直线y = x 和y 轴作垂线，垂
足分别为A，B，则PA
⋅PB
= ( )
A．-1
B．- 1
2
C．0
D．1
2
11.(多选) 已知向量a= (1 , t)，b= -1, 1
t
，则
( )
A．存在t ∈R，使得a⎳b
B．|a+ b| 的最小值为2
C．若t = 1，则(a+ b) ⊥(a- b)
D．2a+ b与a的夹角为锐角
12.边长为1 的正方形内有一内切圆, MN 是内
切圆的一条弦, 点P 为正方形四条边上的动点,
当弦MN 的长度最大时, PM
⋅PN
的取值范围
是_____.
13.在△ABC 中，AB
⋅AC
= 0，AB = 2，AC =
3
2 ，E ，F 为线段AB 上的点且AE = BF =
1
4 AB，则CE
⋅CF
= ( )
A．3
B．21
8
C．2
D．7
4
-44-
MST 一轮复习·达标训练
14.已知点O 为ΔABC 内一点，且OA
+ 2OB
+
3OC
= 0，则ΔAOB、ΔAOC、ΔBOC 的面积之
比等于(
)
A．9 ∶4 ∶1
B．1 ∶4 ∶9
C．3 ∶2 ∶1
D．1 ∶2 ∶3
15.在ΔABC 中，AC = 3，AB = 1，O 是ΔABC
的外心，则BC
⋅AO
的值为( )
A．8
B．6
C．4
D．3
16. 在ΔABC 中，OA
⋅OB
= OB
⋅OC
= OC
⋅
OA
，D 为BC 边上一点(不含端点)，AB
⋅AC
=
3
2 ，则AO
⋅AD
= ( )
A．1
B．
3
C．
3
2
D．2
17.已知直角三角形ABC 满足A = 90°，AB = 3，
AC = 4，则下列结论正确的是( )
A．若点O 为ΔABC 的重心，则AO
= 1
3 AB
+
1
3 AC
B．若点O 为ΔABC 的外心，则AO
= 1
2 AB
+
1
2 AC
C．若点O 为ΔABC 的垂心，则AO
= 16
25 AB
+
9
25 AC
D．若点O 为ΔABC 的内心，则AO
= 1
3 AB
+
1
4 AC
18.如图．P 为ΔABC 内任意一点，角A，B，C
的对边分别为a，b，c，总有优美等式SΔPBCPA
+ SΔPACPB
+ SΔPABPC
=
0 成立，因该图形酷似奔
驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真
命题的有( )
A．若P 是ΔABC 的重心，则有PA
+ PB
+ PC
=
0
B．若aPA
+ bPB
+ cPC
=
0 成立，则P 是
ΔABC 的内心
C．若AP
= 2
5 AB
+ 1
5 AC
，则SΔABP : SΔABC = 2 :
5
D．若P 是ΔABC 的外心，A = π
4 ，PA
= mPB
+ nPC
，则m + n ∈[- 2 , 1)
19.已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动
点P 满足OP
= OA
+ λ |AB|⬝AB
sinC
+ |AC|⬝AC
sinB
，
λ ∈R，则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的
心．
20.已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动
点P 满足
OP
= OA
+ λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
，λ ∈(0，
+∞)，则动点P 的轨迹一定通过ΔABC 的 心．
21.已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动
点P 满足
OP
= OB
+OC
2
+ λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
，
λ ∈[0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过ΔABC 的
心．
22.已知O 是锐角ΔABC 所在平面内的一定点，动
点P 满足：OP
=
OA
+ λ
AB
|AB
2|sin∠ABC
+
AC
|AC|2sin∠ACB
，
λ ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过ΔABC 的
心．
23. (多选) 在ΔABC 中，AB = AC = 3，BC = 4，
O 为ΔABC 内的一点，
设AO
= λAB
+ μAC
，则下列说法正确的是( )
A．若O 为ΔABC 的重心，则λ + μ = 2
3
B．若O 为ΔABC 的内心，则λ + μ = 2
5
C．若O 为ΔABC 的外心，则λ + μ = 9
10
D．若O 为ΔABC 的垂心，则λ + μ = 1
5
-45-
MST 一轮复习·达标训练
24.在△ABC 中, 已知P0 是边AB 上的定点, 满
足P0B = 1
4 AB , 且对于AB 上的任意一点P ，
恒有PB
⋅PC
≥P0B
⋅P0C
，则(
).
A. ∠ABC = 90°
B. ∠BAC = 90°
C. AB = AC
D. AC = B
25.设向量e1 , e2 满足
e1
= 2 , e2
= 1 , e1 , e2 的
夹角是60° . 若2te1 + 7e2 与e1 + te2 的夹角为
钝角，则t 的取值范围是_____.
26. 已知a , b , c 是平面内的三个单位向量，且
a ⊥b ，则
a+2c
+ 3a+2b-c
的最小值为__
___.
-46-
MST 一轮复习·达标训练
7.1 常见的空间几何体·达标训练
1．下列说法中，正确的是( )
A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶
点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的
部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行
四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边
形
2. 正三棱锥S - ABC 侧棱长为1，E，F 分别是
SA，SC 上的动点，当△BEF 周长的最小值为
2
时，三棱锥的侧面积为( )
A．3
4
B．1
C．5
4
D．2
3. 某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升
篓”．升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口
小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子．如
图是一个正四棱台形的升篓，体积3500 7
3
cm3，
上、下底面棱长分别为20cm，10cm，则该正四
棱台的侧面积为( )
A．75 7cm2
B．225cm2
C．300 2cm2
D．600 2cm2
4. “李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句
中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量
蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了
一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究
“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底
的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积
为( )
A．12 2
B．32
C．20 + 12 2
D．20 + 12 3
5. 在2023 年3 月12 日马来西亚吉隆坡举行的
YongJunKLSpeedcubing 比赛半决赛中，来自中
国的9 岁魔方天才王艺衡以4.69 秒的成绩打破了
“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称
号．如图，一个三阶魔方由27 个单位正方体组成，
把魔方的中间一层转动了45° 之后，表面积增加了
( )
A．54
B．54 - 36 2
C．108 - 72 2
D．81 - 72 2
6. 柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多
面体．由于太完美，因此数量很少，只有正四、
六、八、十二、二十面体五种．如果用边数不同的
正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那
么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构
建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的
多面体叫做半正多面体．古希腊数学家物理学家阿
基米德对这些正多面体进行研究并发现了13 种半
正多面体(后人称为“阿基米德多面体” )．现在
正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿
基米德家族中的一个，又名截角四面体．设原正四
面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为
( )
A．20 3
B．24 3
C．28 3
D．32 3
7. 攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见
的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖
等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的
屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究
性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它
可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组
合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单
位：dm) 分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相
-47-
MST 一轮复习·达标训练
等，则该结构表面积为( )
A．34 3 + 8dm2
B．34 3 + 44dm2
C．34 3 + 48dm2
D．34 5 + 8dm2
8. 古代祭祀用的礼器中，“笾”是盛放干果的器
具，足座常为正四棱台，上承盘体，下接底座．如
图，在一个盛满干果的“笾”中，AB = 30cm，
A1B1 = 10cm，若从中取出3800g 干果后，干果的
高度约下降半，则剩余的干果的质量约为( )
A．1000g
B．1200g
C．1400g
D．1900g
9. 如图，正三棱柱ABC - A1B1C1 的所有棱长都为
2，点P，Q，R 分别在棱AA1，BB1，CC1 上，
其中AP = PA1，BQ = 1
2 QB1，CR = 2RC1，则
几何体PQR - ABC 的体积为( )
A．
3
2
B．2 3
3
C．
3
D．4 3
3
10. 如图，一块边长为6 的正方形铁片上有四块阴
影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四
个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正
四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为( )
A．
3
2
B．
3
C．3
D．2 3
11. 在如图所示的三棱锥容器S - ABC 中，D，
E，F 分别为三条侧棱上的小洞，SD : DA = CF :
FS = 2 : 1，BE = SE，若用该容器盛水，则最多
可盛水的体积是原三棱锥容器体积的( )
A．8
9
B．7
9
C．2
3
D．5
9
12. 如图，过圆锥PO 的轴的截面是边长为4 的正
三角形，过PO 的中点O作平行于底面的截面，
以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面
积为( )
A．11π +
3π
B．11π + 2 3π
C．12π +
3π
D．12π + 2 3π
13．如图，圆台O1O 的高为
15 ，QP 是母线，
O1Q = 3，OP = QP．现在将圆台的侧面沿QP 剪
开，并展开成平面图形，点P 在侧面展开图中对
应的点为P1，P2，则线段P1P2的长度为( )
A．8
B．8 2
C．16
D．16 2
14. 已知底面半径为r(r > 0) 的圆锥，其轴截面是
正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为r
4 ，
则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为( )
A．
3
5
B．2 3
5
C．3 3
16
D．3 3
8
-48-
MST 一轮复习·达标训练
15. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它
是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重
檐圆亭(图1) 是常见的一类亭，其顶层部分可以看
作是一个圆锥以及一个圆台(图2) 的组合体．已知
某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3 所示，则该
圆台部分的侧面积为( )
( 参考公式：圆台的表面积
S
=
π r2
上+r2
下+r上l+r下l
(r上，r下分别是上、下底面
的半径，l 是母线长))
A．3.8πm2
B．3.6πm2
C．7.2πm2
D．11.34πm2
16. 碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗，
其形状与当今无多大区别．如图，该碗碗口直径
为12cm，碗底直径为4cm，它的形状可以近似看
作是上部分为圆台，下部分底座为圆柱的组合体
(碗的厚度忽略不计)，若圆台部分与圆柱部分的体
积之比为26 : 1，则圆台部分与圆柱部分的高之比
为( )
A．4 : 1
B．5 : 1
C．6 : 1
D．8 : 1
17. 已知圆柱O1O2 的底面半径为r，高为2r，上、
下底面圆的圆心分别是O 1，O 2，点O 为线段
O2O1 的延长线上一点，圆锥OO2 的底面为圆柱的
下底面，顶点为O．若圆锥OO2 的表面积与圆柱
O1O2 的表面积相等，则圆锥OO2 与圆柱O1O2 的体
积的比值为( )
A．
3
3
B．2
3
C．
6
3
D．2 2
3
18. 已知圆锥底面与圆台下底面半径相等，高相等．
若圆台体积为圆锥体积的7
4 倍，则圆台上，下底
面积的比值为( )
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．
2
2
19. 如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AB =
1，CD = 2，AD ⊥DC ，O 是AD 的中点，以
AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点P．APD
与
梯形ABCD 以AD 为旋转轴旋转一周，可以分别
得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体
积之比为
．
20. 在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方
形，EF ⎳AB，AE = DE = BF = CF，AB = 4，
EF = 2．
(1) 若点G 在边CF 上，证明：存在λ ∈[0，1]，
使得AG
= λ+1
2
AB
+ λAD
+ (1 - λ)AE
；
(2) 若E 到平面ABCD 的距离为2，将梯形ABEF
绕边AB 旋转一周，求所形成旋转体的体积．
-49-
MST 一轮复习·达标训练
21. 如图，在多面体PQABCD 中，平面PAD ⊥平
面ABCD，AB ⎳CD ⎳PQ，PD ⊥CD，△PAD
是边长为
2 的等边三角形，AB = PQ = 1
2 CD．
(1) 求证：AB ⊥平面PAD；
(2) 若PC 与平面ABCD 所成的角为π
6 ，求多面体
PQABCD 的体积．
22. 科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几
何体．其构造过程是：从一个正四面体开始，在该
几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶
点的小三角形，并以此小三角形为底面，向外构建
小正四面体．如图，持续重复对新生成的几何体执
行上述操作，最终得到科赫四面体．
现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模
型，此模型是由棱长为6 2 的正四面体经过持续
重复上述操作得到的．记第n 次操作后生成的几何
体为Fn，设Fn的表面积为Sn，体积为Vn．
(1) 求S1，S2，V1，V2；
(2) 在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定
义为比表面积，其值越大，吸附能力越强．根据比
表面积Sn
Vn
随n 的变化趋势，说明该材料吸附能力
强的原因．
(3) 是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放
入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，
请说明理由．
-50-
MST 一轮复习·达标训练
7.2 立体几何中点线面位置关系·
达标训练
1．在三棱锥P - ABC 中，若PA ⊥平面ABC，
AB ⊥BC，则平面ABC、平面PAB、平面PBC、
平面PAC 中相互垂直的共有( )
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
2．已知直线m，n 与平面α，β，γ，则α ⊥β 的
一个充分条件是( )
A．m ⊥α，m ⊥β
B．α ⊥γ，β ⊥γ
C．m ⊥β，m ∈α
D．αβ = n，m ∈α，m ⊥n
3．已知m，n 为空间两条不同的直线，α，β 是
空间两个不同的平面，现有如下命题，正确的是
( )
A．若m ⎳α，n ⎳β，m ⎳n，则α ⎳β
B．若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n，则α ⊥β
C．若m ⊥α，α ⎳β，n ∈β，则m ⎳n
D．若α ⊥β，αβ = m，m ⊥n，则n ⊥α
4．已知a，b 是两条不同直线，α，β 是两个不同
的平面，且a ∈α，b ∈β，a ⎳β，b ⎳α，则“a
与b 为异面直线”是“α ⎳β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，直线A1C 与
平面AB1D1 的交点为M，O 为线段B1D1 的中点，
则下列结论错误的是( )
A．A，M，O 三点共线
B．M，O，A1，A 四点共面
C．B，B1，O，M 四点共面
D．A，O，C，M 四点共面
6. (2023• 乙卷) 如图，在三棱锥P - ABC 中，AB
⊥BC，AB = 2，BC = 2 2 ，PB = PC =
6 ，
BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，点F 在
AC 上，BF ⊥AO．
(1) 求证：EF ⎳平面ADO；
(2) 若∠POF = 120°，求三棱锥P - ABC 的体积．
7. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB ⎳CD，EF
⊥AB，CF = EF = 2DF = 2，AE = 3，将四边形
AEFD 沿EF 进行折叠，使AD 到达A'D' 位置，
且平面A'D'FE ⊥平面BCFE，连接A'B，D'C
(如图2)．
(1) 求证：平面A'EB ⎳平面D'FC；
(2) 求平面AA'D' 与平面BA'D' 夹角的余弦值；
(3) 若C，E，F，D' 四点在一个球面上，求这个
球的体积．
-51-
MST 一轮复习·达标训练
8. 如图，四棱锥P - ABCD 中，PA = PC，DP
= 6，BP = 6 3 ，底面ABCD 是边长为6 的正方
形．
(1) 证明：PD ⊥平面ABCD；
(2) 若E 是AP 的中点，G 是PC 的中点，点F 满
足PF
= 2FB
，平面EFG 与棱PD 交于点H ，求
PH 的长度．
9. 如图1，在平面四边形ABCD 中，AB = BC =
CD =
2 ，∠B = 90°，将△ACD 沿AC 翻折，得
到如图2 所示的三棱锥D - ABC ，且D 在平面
ABC 上的射影恰为△ABC 的外接圆的圆心．
(1) 证明：平面ABC ⊥平面ACD；
(2) 设点M 满足DM
= λDC
(0 < λ < 1)，若平面
DAB 与平面MAB 夹角的余弦值为2 2
3
，求λ 的
值．
10. 在四面体ABCD 中，AB = AC = AD = BD =
CD = 2，BC = 2 2 ，E 为CD 的中点，则异面直
线BE 与AD 所成角的余弦值为( )
A．
5
10
B．
5
5
C．2 5
5
D．9
10
11. 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥平面
ABCD，四边形ABCD 为正方形，PA = AB，E
为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的
余弦值为( )
A．
2
5
B．
5
5
C．
10
5
D．
15
5
12. 如图，已知两个正方形ABCD，ABEF 的边长
都是1，且它们所在的平面互相垂直．点M，N 分
别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM =
BN = a(0 < a <
2 )．当MN 的长最小时，直线
MN 和AB 夹角的余弦值是( )
A．1
2
B．0
C．
2
2
D．
5
4
13. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，
AB 为圆锥底面圆的直径，C 是AB
的中点，D 是
母线SA 的中点，则异面直线SC 与BD 所成角的
余弦值为( )
A．
3
4
B．
10
20
C．
3
3
D．
3
2
-52-
MST 一轮复习·达标训练
14.如图, 已知正方形ABCD , E 是边AB 的中
点, 将
△ADE
沿
DE
折起至
ADE
，若
△ADC 为正三角形，则ED 与平面ADC 所成
角的余弦值是_____.
15.在三棱锥P - ABC 中，G 为△ABC 的重心，
PD
= λPA
, PE
= μPB
，PF
= 1
2 PC
，λ，μ ∈(0 ,
1)，若PG 交平面DEF 于点M，且PM
= 1
2 PG
，
则λ + μ 的最小值为( )
A．1
2
B．2
3
C．1
D．4
3
16. 已知直线l ⎳平面α，且l 的一个方向向量为a
= (-1，2，m)，平面α 的一个法向量为b=
2，- m
2 ，m
，则实数m 的值为( )
A．-1
B．2
C．2 或-1
D．-2 或1
17. 在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，AA1 = 2，
以A 为球心，表面积为4π 的球与平面A1BD 只有
1 个公共点，若E 为棱CC1 的中点，则点A1 到平
面BDE 的距离为( )
A．3 7
7
B．
21
2
C．
57
3
D．6 7
7
18. 已知正方体ABCD - A1B1C1D1 中，M 是DD1
的中点，则平面MAB1 与平面ABCD 的夹角余弦
值是( )
A．2 2
3
B．
6
3
C．
5
3
D．2
3
19. 如图1，E，F，G 分别为边长为4 的正方形三
边AB，CD，AD 的中点．将四边形AEFD 沿着
线段EF 折起(如图2)，且点M 是线段CF 上一点．
(1) 求证：EF ⊥DM；
(2) 若二面角A - EF - B 的大小为2π
3 ．且三棱锥
M - DFG 的体积为
3
3 ，设过直线AB 且与直线
GM 平行的平面为α，求平面α 与平面BCFE 所成
角的余弦值．
-53-
MST 一轮复习·达标训练
22. 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥底面
ABCD，AB ⊥AD，平面PAC ⊥平面PBD，
AB = AP =
3 ，AD = 1，四棱锥P - ABCD 的
体积为2．
(1) 求证：BD ⊥PC；
(2) 求平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值．
23.如图，三棱锥A - BCD 中，AB = AC = BD
= CD = 3，AD = BC = 2，点M，N 分别是AD，
BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余
弦值是
．
24.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，
他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，
E、F 分别为AB、BC 的中点，设异面直线EM
与AF 所成的角为θ，则cosθ 的最大值为 ．
23.如图，在正四面体A - BCD 中，P 是棱CD 上
的动点，设CP = tCD，t ∈(0 , 1)，记AP 与BC，
BD 所成的角分别为α，β，则(
).
A.α ≥β
B. 当t ∈(0 , 1
2 ] 时，α ≥β
C.α ≤β
D. 当t ∈(0 , 1
2 ] 时，α ≤β
24. (多选) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥
底面ABCD，BC = CD = 2，AC = 4，∠ACB =
∠ACD = π
3 ，E 为PC 的中点，AE ⊥PB. 则下
列判断正确的是( )
A. 面BDE ⊥面PAC
B. B.PA = 2 3
C. 二面角B - PC - D 的正弦值为
14
4
D. 求二面角B - AE - D 的正弦值为3 7
8
-54-
MST 一轮复习·达标训练
25. (多选) 如图，在四面体A - BCD 中，AD ⊥
平面BCD.BC ⊥CD，AD = 2，BD = 2 2 .M 是
AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC
上，且AQ = 3QC , 二面角C - BM - D 的大小为
60°，则下列判断正确的是( )
A.PQ ∥平面BCD
B. 二面角B - MC - D 的大小为60°
C.∠BDC = 60°
D.A - BCD 体积为2 3
3
7.3 常考几何体性质·达标训练
1. 已知三棱锥P - ABC 的顶点P 在底面的射影O
与ΔABC 的垂心重合，且S△ABC
S△PBC
= S△PBC
S△OBC
．若三
棱锥P - ABC 的外接球半径为
3 ，则S △PAB +
S△PBC + S△PAC 的最大值为(
)
A．6
B．8
C．10
D．12
2. 已知球O 是正三棱锥A - BCD(底面是正三角
形，顶点在底面的射影为底面中心) 的外接球，
BC = 3，AB = 2 3 ，点E 在线段BD 上，且BD
= 3BE．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积
的最小值是(
)
A．2π
B．3π
C．4π
D．5π
3. 已知平面图形PABCD，ABCD 为矩形，AB =
4，PAD 是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图
所示，将△PAD 沿着AD 翻折至△PAD，当四棱
锥P- ABCD 体积的最大值为16
3 ，此时四棱锥
P- ABCD 外接球的表面积为(
)
A．12π
B．16π
C．24π
D．32π
4. 在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD，△ABC
是边长为6 的正三角形．将该四边形沿对角线AC
折成一个大小为θ，θ ∈
π
6 , 5π
6
的二面角D -
AC - B，则四面体ABCD 的外接球半径的取值范
围为
．
5. 正方体ABCD - A1B1C1D1棱长为2，E，F 分
别是棱CD，DD1的中点，M 是正方体的表面上一
动点，当四面体BEFM 的体积最大时，四面体
BEFM 的外接球的表面积为______．
-55-
MST 一轮复习·达标训练
6．(多选) 我国古代数学著作《九章算术》中记
载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体
沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如
图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = 3，
BC = 4，AA1 = 5，将长方体ABCD - A1B1C1D1
沿平面ABC 1D 1 一分为二，得到堑堵BCC 1 -
ADD1，下列结论正确的序号为( )
A．堑堵BCC1- ADD1的体积为30
B．C1B 与平面ABCD 所成角的正弦值为4 41
41
C．堑堵BCC1- ADD1外接球的表面积为50π
D．堑堵BCC1- ADD1没有内切球
7.已知某圆台的上、下底面的半径分别为4 和2，
且该圆台有内切球(球与圆台的侧面及两个底面均
相切)，在圆台上底面圆O1 的圆周上取一点A，在
圆台下底面圆O2 的圆周上取一点B，且O1A ⊥
O2B，则直线AB 与平面O1O2A 所成角的正弦值
为( )
A．
7
7
B．
2
4
C．
3
6
D．
13
13
8. 正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图
所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的
表面积为( )
A．4 2
3
π
B．8 3
27 π
C．8
3 π
D．16
3 π
9．如图，正四面体ABCD 的棱长为a，在正四面
体中放入n 个小球，第一个小球O1 为正四面体的
内切球，半径为r1，从第二个小球开始，小球Ok
放在小球Ok-1(k ≥2) 的上方并与之相切，且与正
四面体的三个面相切，以此类推，设小球On 的半
径为rn，则小球On的半径为
．
10.已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱
柱的所有棱都相切，则该球的体积为( )
A．π
6
B．4 3π
27
C．4π
3
D．4 3π
3
11.已知某棱长为2 2 的正四面体的各条棱都与同
一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为
( )
A．π
2
B．π
3
C．
3π
3
D．
2π
2
12.(多选）如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，
点P 在线段B1C 上运动，则下列结论正确的是(
)
A．AP ⎳平面A1C1D
B．不存在点P，使得平面PBD1⊥平面A1C1D
C．直线C1P 与平面A1C1D 所成角的正弦值的最
大值为
6
3
D．若正方体棱长为1，则以P 为球心，PD 为半
径的球体被平面A1C1D 所截图形面积的最小值为
2
3 π
-56-
MST 一轮复习·达标训练
13.(多选) 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，
AD = AA1 = 1，AB = 2，点P 是棱AA1 上的动点
(不含端点)，过点D1，B，P 作长方体的截面，并
将长方体分成上下两部分，体积分别为V1，V2，
则( )
A．截面是平行四边形
B．若A1P
PA = 2
3 ，则V1
V2
= 2
3
C．存在点P，使得截面为长方形
D．截面的面积存在最小值2 30
5
14. 在棱长为2 的正方体ABCD - A1B1C1D1 中，点
P 在正方形BCC1B1 及其内部上运动，若点P 到
AB 的距离是到CD 距离的两倍，则点P 的轨迹长
度为
．
15. 若四面体的三组对棱分别相等，即AB = CD，
AC = BD，AD = BC，给出下列结论：
①四面体每组对棱相互垂直；
②四面体每个面的面积相等；
③连接四面体每组对棱中点的连线相交于一点；
④从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大
于90° 而小于180°；
其中正确结论的序号是 ．(写出所有正确结论
的序号)
15. 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直
三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜
边长为2 的等腰直角三角形，高为2，则该“堑
堵”的表面积为( )
A．2 2 + 2
B．2 2 + 3
C．4 2 + 4
D．4 2 + 6
7.4 立体几何综合应用·达标训练
1.(多选) 在棱长为2 的正方体ABCD - A1B1C1D1
中，A1E
= EB1
，BF
= FB1
，过D 1F 且平行于
AE 的平面记为α．下列说法正确的是( )
A．若棱AB 与α 交于点M，则AM
= 3
4 AB
B．若棱B1C1与α 交于点N，则B1N
= 1
4 B1C1
C．α 截正方体所得截面是五边形
D．α 截正方体所得截面的面积为9
4
5
2. 在四棱锥P - ABCD 中, AB =
3 ，BC = 3，
AD = 2，∠ABC = 90°，∠BAD = 150°，且PA ⊥
平面ABCD，过点A 的平面α 与侧棱PB，PC，
PD 分别交于点E，F，G，若四边形AEFG 为菱
形，则PA =
．
3. 在三棱锥P - ABC 中，PA ⊥平面ABC，PA
= AB = 4，∠ACB = 90°，若Q 为侧面PAB 内的
动点，CQ = 2 2，当该三棱锥的体积最大时，Q
的轨迹与AB，PB 所围成区域的面积为 ．
4. 已知点M 为正三棱柱ABC - A1B1C1 的外接
球上的动点，且MB = 2MA ，若AA1 = 2 ，
AB = 3 ，则点M 的轨迹长度为_____.
-57-
MST 一轮复习·达标训练
5. 如图1，圆内接四边形ABCD 中，△BCD 为等
腰直角三角形，且∠BCD = 90°，AB =
6 ，AD
=
2．
(1) 求AC 的长；
(2) 如图2，将△ABD 沿BD 翻折，形成四面体
ABCD，当AC =
6 时．
(i) 求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值；
(ii) 找出一组依次排列的四个相互平行的平面α1，
α2，α3，α4，使得A ∈α1，D ∈α2，C ∈α3，B ∈
α4，且其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求
出相邻两个平面间的距离．
6 . ( 多选) 如图1 所示，在四边形ABCD 中，
∠ABC = ∠ACD = π
2 ，∠CAD = π
6 ，AB = BC
= 2 6．如图2 所示，把△ABC 沿AC 边折起，使
点B 不在平面ACD 内，连接BD．则下列选项正
确的是( )
A．当平面ABC ⊥平面ACD 时，点C 到平面
ABD 的距离为4 15
5
B．异面直线AB 与CD 所成角的取值范围为
π
4 , π
2
C．M、N 分别为CD、BC 的中点，在翻折的过
程中，存在某个位置，使得MN =
30
D．三棱锥B - ACD 的外接球的表面积的最小值
为64π
7.(多选) 在棱长为2 正方体ABCD - A1B1C1D1中，
E 为AB 的中点，F 是侧面BB1C1C 内的一点(包
含边界)，则以下结论正确的是( )
A．若|AF| =
5，则点F 的轨迹长度为π
2
B．EF 与A1D 所成角的最大值为π
3
C．若三棱锥A1- DEF 的体积为4
3 ，则点F 的轨
迹长度为2 2
D．若F 在线段CC1上，则三棱锥A - BB1F 的外
接球表面积的取值范围是
41π
4
,12π
8.已知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，AB =
2. CC1= 2 2 E 为CC1的中点，则直线AC1与平
面BED 的距离为
A．2
B．
3
C．
2
D．1
-58-
MST 一轮复习·达标训练
9.在三棱锥P - ABC 中，PC ⊥底面ABC ,
∠BAC = 90° , AB = AC = 4 , ∠PBC = 45°，则点C
到平面PAB 的距离是( )
A．4 6
3
B．2 6
3
C．4 3
3
D．4 2
3
10.在长方体ABCD - A1B1C1D1中，已知AB = 3，
BC = 4，AC1与平面ABCD 所成角的大小是30°，
那么平面ABCD 到平面A1B1C1D1的距离是
．
11.已知矩形ABCD，AB = 1，BC =
3，沿对角
线AC 将ΔABC 折起，若二面角B - AC - D 的大
小为120°，则B，D 两点之间的距离为
．
12.如图所示，在直三棱柱ABC - A1B1C1 中．
AA1 = 1，AB = BC =
3 ，cos ∠ABC = 1
3 ，P
是A1B 上的一动点，则AP + PC1 的最小值为(
)
A．
5
B．
7
C．1 +
3
D．3
13.如图，棱长为2 正方体ABCD - A1B1C1D1，O
为底面AC 的中心，点P 在侧面BC 1 内运动且
D1O ⊥OP，则点P 到底面ABCD 的距离与它到
点B 的距离之和最小是(
)
A．8
5
B．12
5
C．
5
D．2 2
14.如图，E , F 是正四面体ABCD 棱AB 上的两
个三等分点，分别过E , F 作同时平行于AD , BC
的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分
别记为V上, V中, V下，则V上: V中: V下=
．
15.如图，正方体ABCD - A1B1C1D1棱长为1，点
M 是侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P，Q
分别为棱CC1，B1C1的中点，过点A，P，Q 的
平面记为α，则( )
A．若M 在线段A1D 上，则C1M ⎳平面AB1CB．
B. 若C1M ⎳α，则点M 的运动路径的长度为
2
2
C．存在点M，使得AC1⊥平面PQM
D．α 分正方体两部分的体积为V1，V2(V1< V2)，
则V1= 25
72
16.(多选) 如图，用一个不垂直于轴的平面截两个
顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面，则所得截
口曲线(截面与圆锥面的交线) 可能是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
-59-
MST 一轮复习·达标训练
17. 如图，是由两个平行平面截半径为2cm 且足够
高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成
45°，上、下截面间的距离为
2 cm，天津一中学
数学兴趣小组对该几何体进行了探究后得出下列四
个结论，其中正确结论的个数是( )
①截口曲线的离心率为1
2
②AB = 2cm
③该几何体的体积为8πcm3
④该几何体的侧面积为8πcm2
A．1
B．2
C．3
D．4
18.(多选) 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面
截圆锥，可以得到不同的截口曲线．如图，当平面
垂直于圆锥的轴时，截口曲线是一个圆．当平面不
垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭曲线”，则是椭
圆；若平面与圆锥的一条母线平行，得到抛物线
(部分)；若平面平行于圆锥的轴，得到双曲线(部
分)．已知以P 为顶点的圆锥PO，底面半径为1，
高为
3，点A 为底面圆周上一定点，圆锥侧面上
有一动点T 满足TA = TP，则下列结论正确的是
( )
A．点T 的轨迹为椭圆
B．点T 可能在以O 为球心，1 为半径的球外
C．TP 可能与TA 垂直
D．三棱锥P - ATO 的体积最大值为
6
12
19. 如图，圆锥的顶点为V，将半径为R 的球O置
于该圆锥内，使得球O与圆锥侧面相切于圆O，
平面β 与球O 切于点F，A 为圆O 上一点，V，
A，O，F，四点共面，且VA ⎳平面β，平面β
截该圆锥所得截口曲线为Γ，M 为曲线Γ 上一动
点，记圆O 所在平面为平面α，αβ = l，MN ⊥
l，垂足为N ，VM 交圆O 于点P，∠AVO = θ．
某同学根据自己的研究给出下列四个结果：
①PM = MF；
②MN ⎳VA；
③F 是双曲线的一部分；
④若Rtanθ 越大，则曲线Γ 的开口越大．
则上述四个结果中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
-60-
MST 一轮复习·达标训练
8.1 数列的概念·达标训练
1.数列1，3，6，10，x，21，28，… 中，由给
出的数之间的关系可知x 的值是( )
A．12
B．15
C．17
D．18
2.下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，
0，… 的通项公式的有( )
A．an= 1+(-1)n+1
2
B．an= sin nπ
2
C．an=
2
cos (n-1)π
2
D．an= 1,n是奇数
0,n是偶数
3. 我们可以利用数列{ a n } 的递推公式a n =
n,n为奇数时
a n
2 ,n为偶数时
n∈N +
，求出这个数列各项的
值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64 +
a65= ．
4.已知数列{an} 的前n 项和Sn = n2 - 2n，那么它
的通项公式为an=
．
5.数列的前n 项和Sn = 2n2 + n + 1，那么它的通项
公式是
．
6.已知数列{an} 满足an+1 > an，且其前n 项和Sn
满足Sn+1 < Sn，请写出一个符合上述条件的数列
的通项公式an=
．
7.已知数列{an} 满足a1 + a2
22 + a3
32 +⋯+ an
n2 = n2
- 10n，则{an} 中的最小项的值为 ．
8.已知数列{an} 的前n 项和Sn = 20n2 + 3n - 2n，
则an的最大值为
．
9.已知数列{an} 的前n 项积Tn =
2n
n+1 ．求数列
{an} 的通项公式．
10.已知数列{an} 的通项公式为an=
n -
n+1，
求证：此数列为递增数列．
11.已知函数f(x) = 1-2x
x+1 (x ≥1)，构造数列an =
f(n) (n ∈N ∗)．试判断数列的单调性．
12.在数列{an} 中，已知an = n2+λ
2n
，则“λ > 1”
是“{an} 为单调递减数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13.已知数列{an} 的前8 项为1，1，2，3，5，
8，13，21，令f(x) =
8
i=1
(x - ai)2，则f(x) 取最小
值时，x = ．
14.已知an = n-
98
n-
99 ，求该数列前30 项中的最大
项和最小项．
15.已知Sn 是{an} 的前n 项和，a1 = 2 , an = 1 -
1
an-1
，则下列选项错误的是( )
A．a2021= 2
B．S2021= 1012
C．a3n⋅a3n+1⋅a3n+2= 1
D．{an} 是以3 为周期的周期数列
16.数列an
满足a n = 1+an-1
1-an-1
(n ≥2)，a 1 =
- 1
100 ，则a2023= ．
17.已知数列{an} 满足a1 = 0，an+1 = an-
3
3an+1 (n
∈N *)，则a2024等于( )
A．- 3
B．0
C．
3
D．3
-61-
MST 一轮复习·达标训练
18.已知数列{an} 的前n 项和为Sn，a1 = 3，an-1
- anan-1= 1(n ≥2)，则下列结论不正确的是( )
A．a2022=- 1
2
B．S19 = 22
C．∀n ∈N *，a3n⋅a3n+1⋅a3n+2=-1
D．{an} 是以4 为周期的周期数列
19.数列{xn} 满足xn+1= xn- xn-1(n ≥2)，x1= a，
x2= b，Sn= x1+ x2+ … +xn，则下面正确的是
( )
A．x100 =-a，S100 = 2b - a
B．x100 =-b，S100 = 2b - a
C．x100 =-b，S100 = b - a
D．x100 =-a，S100 = b - a
8.2 等差数列·达标训练
1. (2018• 北京) 设{an} 是等差数列，且a1 = 3，a2
+ a5= 36，则{an} 的通项公式为
．
2.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节
气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至
算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊
蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二
个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立
春、春分日影长之和为31．5 尺，小寒、雨水，清
明日影长之和为28．5 尺，则大寒、惊蛰、谷雨
日影长之和为( )
A．25．5 尺
B．34．5 尺
C．37．5 尺
D．96 尺
3. 已知等差数列{ a n } 的公差为π ；集合S =
{sinan|n ∈N *}，若S = {a，b}，则a + b = ( )
A．-1
B．0
C．1
2
D．1
4.图1 是第七届国际数学教育大会(简称ICME -
7) 的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2 所示的
一连串直角三角形演化而成的，其中OA1 = A1A2
= A2A3 = … = A7A8 = 1，如果把图2 中的直角三角
形继续作下去，则第n 个三角形的面积为( )
A．n
2
B．
n
2
C．n2
2
D．
n
5.函数f(x) = (x2 - 6x + m) (ex-3 + e3-x - n) 的四
个零点是以0 为首项的等差数列，则m + n =
．
6.已知数列{an}，则“a2 + a4 = a1 + a5”是“{an}
为等差数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
-62-
MST 一轮复习·达标训练
7.已知等差数列an
满足a1a3+ a2a7+ a3a9+ a7a8
= 100，则a5= ( )
A．5
2
B．5
C．5 或-5
D．5
2 或- 5
2
8.已知数列{an} 为等差数列，且a1+ a5+ a9= 4π，
则tan(a3+ a7) = ( )
A．
3
B．-
3
3
C．- 3
D．
3
3
9.已知数列{an} 为等差数列，a1 + a2 + a3 = 7，a7
+ a8+ a9= 13，则a13 + a14 + a15 = ( )
A．19
B．22
C．25
D．27
10.已知{Sn} 为等差数列{an} 的前n 项和，若S4
= 14，S6= S2+ 22，则S6= ( )
A．26
B．27
C．28
D．29
11. (2019• 新课标Ⅲ) 记Sn 为等差数列{an} 的前n
项和．若a1≠0，a2= 3a1，则S10
S5
=
．
12.记等差数列{an} 与{bn} 的前n 项和分别为Sn
与Tn，若Sn
Tn = n+1
2n+3 ，则a10b5
a5b10
= ( )
A．82
81
B．81
82
C．42
41
D．41
42
13.已知两个等差数列{an} 和{bn} 的前n 项和分别
为An和Bn，且An
Bn
= 7n+45
n+3
，则使得an
bn
为整数
的正整数n 可以是( )
A．1
B．2
C．3
D．6
14.已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn, S4= 3 ,
Sn-4= 12(n ≥5 , n ∈N *) , Sn= 17，则n 的值为(
)
A．8
B．11
C．13
D．17
15.已知等差数列{an} 前n 项和为Sn，满足S39 >
0，S40< 0，若am ⋅am+1< 0，则m = ( )
A．18
B．19
C．20
D．21
16.设等差数列{an} 的前n 项和为Sn，满足S11 >
0，S12 < 0，数列
Sn
an
(1 ≤n ≤11) 中最大的项为
第( ) 项．
A．4
B．5
C．6
D．7
17. (多选) 已知Sn 为等差数列{an} 的前n 项和，
a9 + a10 + a11 > 0，a9 + a12 < 0，则下列选项错误的
是( )
A．数列{an} 是单调递增数列
B．当n = 11 时，Sn最大
C．S19 ⋅S20> 0
D．S11< S9
18.已知等差数列{an} 共有2n - 1 项，奇数项之和
为60，偶数项之和为54，则n = ．
19.已知等差数列{an} 中，前m(m 为奇数) 项的和
为77，其中偶数项之和为33，且a1 - am = 18，则
数列{an} 的通项公式为an=
．
20.已知数列{an} 满足：a1 = 6，an-1an - 6an-1 +
9 = 0，n ∈N ∗且n ≥2，求证：
1
an-3
为等差
数列．
-63-
MST 一轮复习·达标训练
21.已知数列{an} 满足(an+1 - 1) (an - 1) = 3(an -
an+1)，a1= 2，令bn=
1
an-1 ．
(1) 求证：数列{bn} 是等差数列；
(2) 求数列{an} 的通项公式．
22.若数列{an} 的前n 项和为Sn，且满足Sn(Sn -
an) + 2an= 0(n ≥2)，a1= 2，
(1) 求证：
1
Sn
成等差数列；
(2) 求数列{an} 的通项公式．
8.3 等比数列·达标训练
1.等比数列{an} 中，已知a1+ a3= 8，a5+ a7= 4，
则a7+ a9= ( )
A．2 2
B．2
C．
2
D．1
2.已知{an} 是等比数列，且a6 - a4 =-24，a7 -
a5= 48，则a1= ( )
A．-1
B．1
2
C．1
D．2
3.设{an} 为等比数列，a2 = 2a4 + 3a6，则a4-a7
a2-a5
= ( )
A．1
9
B．1
3
C．3
D．9
4. (2023• 乙卷) 已知{an} 为等比数列，a2a4a5 =
a3a6，a9a10 =-8，则a7= ．
5.已知在正项等比数列{an} 中3a1，1
2 a3，2a2 成
等差数列，则a2022+a2021
a2020+a2019
=
．
6.在等比数列an
中，a1+ a2+ a3+ a4+ a5=
- 11
4 ，a3=- 1
4 ，则1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+ 1
a4
+ 1
a5
=
( )
A．-44
B．- 64
11
C．16
11
D．11
7.等比数列an
满足：a1> 0 , q > 0 , a1a3a5a7a9=
32，则a2+ a8的最小值为
．
8.已知在等比数列an
中，a3、a7分别是函数y
= x3- 6x2+ 6x - 1 的两个驻点，则a5=
．
9. (2023• 新高考Ⅱ) 记Sn 为等比数列{an} 的前n
项和，若S4=-5，S6= 21S2，则S8= ( )
A．120
B．85
C．-85
D．-120
10. (2023• 甲卷) 已知正项等比数列{an} 中，a1 =
1，Sn 为{an} 前n 项和，S5 = 5S3 - 4，则S4 = (
)
A．7
B．9
C．15
D．30
-64-
MST 一轮复习·达标训练
11. (2019• 上海) 已知数列{an} 前n 项和为Sn，且
满足Sn+ an= 2，则S5= ．
12.设Sn是等比数列an
的前n 项和，若S3, S9,
S6成等差数列，a1=-2，则a7的值为( )
A．-2
B．- 1
2
C．1
2
D．1
13. (1) 已知等比数列{a n} 共有2n 项，其和为
-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比
q = _______．
(2) 设等比数列{an} 的前n 项和记为Sn，若S10 : S5
= 1 : 2，则S15 : S5= _______．
14.已知数列{an} 的前n 项和为Sn，a1= a，
3an+1+ 5Sn= 10(n ∈N *)，其中a ∈R+．
判断数列{an} 是否为等比数列，并说明理由．
15.已知数列{an} 的前n 项和为Sn，满足2Sn =
3an- 2n+ 1．
求证：数列{an + 2n} 是等比数列，并求数列{an}
的通项公式．
16.已知a1 = 2，点(an，an+1) 在函数f(x) = x2 +
2x 的图象上，其中n ∈N ∗.
(1) 证明数列{lg(1 + an)} 是等比数列；
(2) 求数列{an} 的通项．
17.数列{an} 的前n 项和Sn 满足a1 = 3，a2 = 0，
an= 6Sn-2，n ≥3，n ∈N *．
(1) 证明：数列{Sn+ 2Sn-1} 为等比数列；
(2) 求{an} 的通项公式．
18.按复利计算，存入一笔5 万元的三年定期存款，
年利率为4%，则3 年后支取可获得利息为( )
A．(5 × 0.04)3万元
B．5(1 + 0.04)3万元
C．5(1 + 0.04)3- 5 万元
D．3 × (5 × 0.04) 万元
-65-
MST 一轮复习·达标训练
19.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力
介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感
染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、
感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染
的概率决定．假定某种传染病的基本传染数R0=
3，那么感染人数由1 个初始感染者增加到2000 人
大约需要的传染轮数为( )
注：初始感染者传染R0个人为第一轮传染，每个
感染者再传染R0个人为第二轮感染．
A．5
B．6
C．7
D．8
20.甲型Hln1 流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，
若该细胞开始时2 个，记为a0 = 2，它们按以下规
律进行分裂，1 小时后分裂成4 个并死去1 个，2
小时后分裂成6 个并死去1 个，3 小时后分裂成10
个并死去1 个，…，记n 小时后细胞的个数为an，
则an= (用n 表示)．
21.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每
年存栏数的增长率为5%，且在每年年底卖出100
头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次
为数列c1，c2，c3，…，且满足递推公式：cn+1 -
k = r(cn - k)，{Sn} 为数列{cn} 的前n 项和，则
S10 =
(1.0510 ≈1.63 答案精确到1)．
8.4 数列的递推与通项公式·达标
训练
1.已知正整数列an
的前n 项和为Sn，且对任意
的自然数满足2 Sn = an+ 1. 求an
的通项公式.
2.已知数列{an} 中，a1 = 3，前n 项和Sn = 1
2 (n
+ 1) (an+ 1) - 1．求数列{an} 的通项公式．
3.已知数列{an} 满足a1 = 1，an = an-1 +
n+1 -
n(n ≥2)，求an.
4.已知数列an
满足a1= 1，且an+1
n+1 - an
n =
1
n n+1
，求an
的通项公式；
5.数列an
中，n an+1-an
= an n∈N ∗
，且a3
= π，则an等于
.
6.已知数列an
中，a2= 1，设Sn为an
前n 项
和，2Sn= nan，求an
的通项公式．
-66-
MST 一轮复习·达标训练
7.在数列an
中，a1= 1，an+1= 2an+ 2，则an
为( )．
A．3 × 2n-1
B．3 × 2n-1- 2
C．4 × 2n-1- 3
D．2n- 1
8.已知数列{an} 的前n 项和为Sn，2a2- a1=-2，
Sn= 3 + an+1，求数列{an} 的通项公式．
9.已知数列{an} 满足：a1 = 1
2 ，对∀n ∈N+，都
有an+1= an
2 + n
2 + 1，求出数列{an} 的通项公式．
10.在数列an
中，a1= 2 且∀n ∈N *，= 3an+ 2
× 3n，则数列an
的通项公式为
．
11.已知正项数列an
中，a1= 2 , an+1= 2an+ 3 ×
5n，则数列an
的通项an= ( )
A．-3 × 2n-1
B．3 × 2n-1
C．5n+ 3 × 2n-1
D．5n- 3 × 2n-1
12.已知数列an
满足a1= 1 , an+1=
an
an+2 ，设
1
an
的前n 项和为Sn，则a2024 S2024+2024
=
( )
A．22024- 1
B．22024- 2
C．1
D．2
13.已知a1 = 2，点(an，an+1) 在函数f(x) = x2 +
2x 的图象上，其中n ∈N ∗，则数列an
的通项公
式为an=
．
14.已知a1= 1，a2= 1，an= an-1+ 2an-2+ 1(n ≥
3，n ∈N ∗)，Sn为其前n 项和，则S60=
( )
A．230- 31
B．430- 31
C．230- 30
D．430- 30
15.已知数列{an} 的首项a1= a，an+ an+1= 3n -
54，求数列{an} 的通项公式．
16.已知数列{an} 满足an+2= qan(q ≠1) , n ∈N *,
a1= 1 , a2= 2，且a2+ a3, a3+ a4, a4+ a5成等差数
列. 求数列{an} 的通项公式.
17. 已知数列
an
满足a 1 = 1 ，a n+1 =- a n +
1 n∈N *
，则an= _______.
18.已知数列an
满足a1 = 2，an+1 =-
1
an+2 ，则
an= ______.
19. 设数列
an
满足a 1 = 1
2 ，且a n+1 =
1+an
1-an n∈N *
，则a20= ______.
20.已知数列an
中，a1 = 1，a2 = 2，且an+2 =
-an+1+ 2an n∈N *
，则an= ______.
-67-
MST 一轮复习·达标训练
21.斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家
斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契
数列an
满足a1= 0，a2= 1，an+2= an+1+
an n∈N *
，若记a1+ a3+ a5+⋯+a2019 = M，a2
+ a4+ a6+⋯+a2020= N，则a2022= ______．
(用M，N 表示)
22. (多选) 若数列{Fn} 满足F1 = 1，F2 = 1，Fn =
Fn-1 + Fn-2，(n ≥3 , n ∈N *)，则称数列{Fn} 为
Fibonacci 数列，该数列是由意大利数学家斐波那
契于1202 年提出，此数列在现代物理、准晶体结
构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论正
确的是( )
A．F1+ F3+ F5+ … +F2023= F2024
B．数列{Fn} 各项除以2 后所得的余数构成一个新
数列{an}，若数列{an} 的前n 项和为Sn，则S2023
= 1349
C．记F2023= m，则数列{Fn} 的前2021 项的和为
m - 2
D．F 2
1 +F 2
2 +…+F 2
2022
F2022
= F2023
23. (多选)2024 年11 月23 日是斐波那契纪念日，
其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼
梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次
上1 或2 个台阶，若爬上第n 个台阶的方法数为
bn，则( )
A．b7= 21
B．b1+ b2+ b3+ b5+ b7= 51
C．b2
1 + b2
2+ … +b2
n= bn⋅bn+1- 1
D．bn-2+ bn+2= 3bn
8.5 数列求和习题·达标训练
1.已知数列an
的前n 项和为Sn= n2+ 2n + 3．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 求数列Sn
前n 项和Tn．
2.已知an= 2n - 1，设bn= (-1)nan，求数列bn
的前n 项和Tn．
3.已知数列{an} 的前n 项和为Sn，a1= 1，Sn+
Sn-1= 4n2(n ≥2 , n ∈N *)，则a100 =
．
4. (2021• 新高考I 卷) 已知数列{an} 满足a1= 1，
an+1= an+1，n为奇数
an+2，n为偶数
．
(1) 记bn= a2n，写出b1，b2，并求数列{bn} 的通项
公式；
(2) 求{an} 的前20 项和．
4.已知等差数列an
的首项为1，公差为2．正项
数列bn
的前n 项和为Sn，且2Sn= b2
n+ bn．
(1) 求数列an
和数列bn
的通项公式；
(2) 若cn= an,n为奇数
2bn,n为偶数
，求数列cn
的前2n 项
和．
-68-
MST 一轮复习·达标训练
5. (2023• 新高考Ⅱ) 已知{an} 为等差数列，bn =
an-6,n为奇数
2an,n为偶数
，记Sn，Tn 为{an}，{bn} 的前n
项和，S4= 32，T3= 16．
(1) 求{an} 的通项公式；
(2) 证明：当n > 5 时，Tn> Sn．
6. (2012• 全国新课标文) 数列an
满足an+1+
-1
n⋅an= 2n - 1，求an
前60 项和．
7.南宋数学家在《解析九章算法》和《算术通变本
末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等
差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后
两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差
成等差数列，例如：3，4，6，9，13，… 为二
阶等差数列．现有数列，其前7 项分别为1，3，
13，31，57，91，133，则该数列的前20 项和为
．(参考公式：12+ 22+ 32+ … +n2=
n(n+1)(2n+1)
6
)
8.设函数f(x) = 1
2 + log2
x
1-x ，定义Sn = f
1
n
+ f
2
n
+ f
3
n
+⋯+f
n-1
n
，其中n ∈N+，
(n ≥2) 则Sn= ．
9.已知函数f x
= 1
2 x2+ 1
2 x，数列an
的前n
项和为Sn，点n,Sn
n∈N *
均在函数f x
的图
象上，函数g x
=
4x
4x+2 .
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 求g x
+ g 1-x
的值；
(3) 令bn= g
an
2021
n∈N *
，求数列bn
的前
2020 项和T2020.
10. (2023• 乙卷) 记Sn 为等差数列{an} 的前n 项
和，已知a2= 11，S10 = 40．
(1) 求{an} 的通项公式；
(2) 求数列{|an|} 的前n 项和Tn．
-69-
MST 一轮复习·达标训练
11.已知数列
2n+1
(2n+n)(2n+1+n+1)
(n ∈N ∗) 的
前n 项和为Sn，当Sn > 17
60 时，n 的最小值是
．
12.已知等差数列an
满足an+an+1
4
= n + 1.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 设bn=
1
an-1
an+1+1
，数列bn
的前n 项
和为Tn，证明：Tn< 3
16 .
13.已知数列an
的前n 项和为Sn= n2，
(1) 求数列an
的通项公式an；
(2) 设bn=
1+ 1
Sn +
1
Sn+1 ，求数列bn
的前n 项
和Tn．
14.已知数列an
的前n 项和为Sn，an> 0，且a2
n
+ 2an= 4Sn- 1．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 设bn=
Sn
anan+1
的前n 项和为Pn，求Pn．
(3) 记数列
- 1
2
an+1
2
的前n 项和为Tn，若λ ≤Tn
- 1
Tn ≤t 恒成立，求t - λ 的最小值．
15.设数列an
的前n 项和为Sn，且Sn= 2an- n，
n ∈N *.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 令bn=
-1
n+1 3an+1
anan+1
，求数列bn
的前2n
项和为T2n.
-70-
MST 一轮复习·达标训练
16.设等比数列an
的前n 项和为Sn，数列bn
为
等差数列，且公差d ≠0 , a1= b1= 2，a3= b3, S3
= b5.
(1) 求数列an
的通项公式以及前n 项和Sn；
(2) 数列
2n+1
n2 bn+4
2
的前n 项和为Tn，求证：Tn
≤1
9 .
17.已知数列an
中，a2= 1，设Sn为an
前n 项
和，2Sn= nan．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 若bn=
sin1
cos an+1
cos an+1+1
，求数列bn
的前n 项和Tn
18.在数列{an} 中，a1= 2，2an+1= a2
n+ 1，n ∈
N *，设bn= 2an-1
an+1 ，若数列{bn} 的前2022 项和
S2022> t，则整数t 的最大值为
．
19. (2021• 乙卷) 设{an} 是首项为1 的等比数列，
数列{bn} 满足bn = nan
3
，已知a1，3a2，9a3 成等
差数列．
(1) 求{an} 和{bn} 的通项公式；
(2) 记Sn 和Tn 分别为{an} 和{bn} 的前n 项和．证
明：Tn< Sn
2 ．
-71-
MST 一轮复习·达标训练
20.已知数列an
的首项a1= 1，且满足an+1= 2an
+ n - 1，等比数列bn
的首项b1= 1
2 ，且满足b2n
= b2
n.
(1) 求证：数列an+n
是等比数列，并求数列
an
的通项公式；
(2) 求数列anbn
的前n 项和Sn．
21. (2021·乙卷) 设an
是首项为1 的等比数列，数
列bn
满足bn = nan
3
，已知a1，3a2，9a3 成等差
数列．
(1) 求an
和bn
的通项公式；
(2) 记Sn和Tn分别为an
和bn
的前n 项和．证
明：Tn< Sn
2 ．
22.已知数列{an} 的前n 项和为Sn，且4Sn=
2n-1
an+1+ 1，a1= 1．
(1) 求数列{an} 的通项公式；
(2) 设bn=
1
an Sn
，数列{bn} 的前n 项和为Tn，
证明Tn< 3
2 ．
-72-
MST 一轮复习·达标训练
23.若数列an
满足a1= 1，an+1- an= 2n．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 证明：1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an < 2．
24.已知数列an
满足a1= 2 ,
an+1 an-1,n为奇数
2an+2,n为偶数
，记bn= a2n-1．
(1) 证明：数列bn
为等比数列，并求出数列bn
的通项公式；
(2) 求数列an
的前2n 项和S2n．
(3) 设cn=
1
n+1
log2bn+1
，记数列cn
的前n 项
和为Tn，求证：Tn< 3
4 ．
25.记Sn为数列an
的前n 项和，已知a1= 2，
3an-2Sn
是公差为2 的等差数列．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 证明：1
a1
+ 1
a2
+⋅⋅⋅+ 1
an < 1．
26.已知数列an
的前n 项和为Sn，a1= 3，Sn=
2 + an+1．
(1) 证明：数列Sn-2
为等比数列；
(2) 记数列
1
Sn
的前n 项和为Tn，证明：Tn< 2．
27. (2021·天津卷) 已知an
是公差为2 的等差数
列，其前8 项和为64．bn
是公比大于0 的等比
数列，b1= 4 , b3- b2= 48．
(I) 求an
和bn
的通项公式；
(II) 记cn= b2n+ 1
bn
, n ∈N *，
(i) 证明c2
n-c2n
是等比数列；
(ii) 证明
n
k=1
akak+1
c2
k-c2k
< 2 2 n∈N *
-73-
MST 一轮复习·达标训练
8.6 数列放缩本质论·达标训练
1.已知数列an
满足a1 = 1
2 ，an+1 =
1
2
an，则下
列结论成立的是( )
A．a2022< a2023< a2024
B．a2024< a2023< a2022
C．a2023< a2022< a2024
D．a2023< a2024< a2022
2.已知数列an
满足：0 < a1< 1，an+1= an+
ln 3-an
．则下列说法正确的是(
)．
A．0 < a2020< 1
B．1 < a2020< 2
C．2 < a2020< 5
2
D．5
2 < a2020< 2 2
3. 已知正项数列{an} 满足：a2
n+1 = an + 2，n ∈
N *，则以下结论正确的是( )
A．若a1∈(0 , 2) 时，数列{an} 单调递减
B．若a1∈(2 ,+∞) 时，数列{an} 单调递增
C．若a1∈(2 ,+∞) 时，2 < an< a1
D．若a1= 1，数列{an} 的前n 项和Sn= a1+ …
+an，则Sn≤2n - 1(n ≥2 , n ∈N *)
4.在数列{an} 中，a1= 2，2an+1= a2
n+ 1，n ∈
N *，设bn= 2an-1
an+1 ，若数列{bn} 的前2025 项和
S2025> t，则整数t 的最大值为
．
5.已知数列an
满足a1 = 0，ean+1+an = ean + 1，前
n 项和Sn，
证明：求数列不动点并证明an 与不动点的大小关
系.
6.已知数列an
满足a1 = 0，ean+1+an = ean + 1，前
n 项和Sn，
证明：求数列不动点并证明an 与不动点的大小关
系.
7.已知函数f(x) = ex-b
ax
的图像在点(1 , f(1)) 处
的切线为x - y + e - 2 = 0，
(Ⅰ) 求a , b 的值
(Ⅱ) 若正项数列{an} 前n 项和为Sn，且an+1=
lnf(an) , a1= 3，证明：
A．an+1< an
B．Sn≥9
2
1- 1
3n
-74-
MST 一轮复习·达标训练
8.已知函数f(x) = a
2 x - ex(e 是自然对数的底数)．
(1) 若a = 2e，求f(x) 的极值；
(2) 若x ∈(-1 ,+∞)，∀n ∈N *，f(x) ≤f(x) ≤(x
+ 2)n- x - 3，求a；
(3) 利用(2) 中求得的a，若F(x) = f(lnx) + x +
1
x ，数列{an} 满足a1 ∈(0 , 1)，且an+1 = F(an)，
证明：2an+1+ an+3- 1 > 2an+2．
9.已知函数f(x) = xe-x．
(1) 若0 < x < 1，证明：ln(1+x)
x+1
< f(x) < ln(1
+ x)；
(2) 记数列{an} 的前n 项和为Sn．
(i) 若an= f(n)，证明：Sn<
e
(e-1)2 ．
(ii) 已知函数g(x) = 3x - 1 + ln( f(x))，若an+1 =
g(an)，a1= 3，an> 1，证明：Sn≤3n+ n - 1．
8.7 拓展思维·达标训练
1.给定函数f(x)，若数列{xn} 满足xn+1= xn-
f(xn)
f′(xn) ，则称数列{xn} 为函数f(x) 的牛顿数列．
已知数列{xn} 为函数f(x) = x2- x - 2 的牛顿数
列，an= ln xn-2
xn+1
，且a1= 1，xn> 2(n ∈N+)，
数列{an} 的前n 项和为Sn．则S2024= ( )
A．22024- 1
B．22023- 1
C．1
2
2024
- 1
D．
1
2
2023
- 1
2. (多选) 牛顿选代法是求函数零点近似值的一种
方法，它的原理是利用曲线一系列切线与x 轴交点
的横坐标来通近函数的零点．已知f(x) = x2 - x -
1，设α，β 为f(x) 的两个零点(α < β)，令a1 =
-1，在点(a1，f(a1)) 处作函数f(x) 的切线，设切
线与x 轴的交点为a2，继续在点(a2，f(a2)) 处作
f(x) 的切线，切线与x 轴的交点为a3，⋯如此重
复，得到一系列切线，它们与x 轴的交点的横坐标
形成数列{a n}，易得a n < 0(n ∈N *)．设b n =
ln an-α
an-β (n ∈N *)，{bn} 的前n 项和为Tn，则下列
说法中，正确的是( )
A．a2=- 3
5
B．an< α
C．{an} 是单调递增数列
D．T4= 15b1
3.符号x
表示不超过实数x 的最大整数，如
2.3
= 2，-1.9
=-2. 已知数列an
满足a1=
1，a2= 5，an+2+ 4an= 5an+1. 若bn= log2an+1
，
Sn为数列
8100
bnbn+1
的前n 项和，则S2025
=
( )
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
-75-
MST 一轮复习·达标训练
4.对于一个给定的数列an
，把它的连续两项
an+1与an的差an+1- an记为bn，得到一个新数列
bn
，把数列bn
称为原数列an
的一阶差数列.
若数列bn
为原数列an
的一阶差数列，数列
cn
为原数列bn
的一阶差数列，则称数列cn
为原数列an
的二阶差数列. 已知数列an
的二阶
差数列是等比数列，且a1= 2 , a2= 3 , a3= 6 , a4=
13，则数列an
的通项公式an=
.
5.定义: 对于任意数列an
, 假如存在一个常数a
使得对任意的正整数n 都有an< a , 且lim
n→+∞an= a ,
则称a 为数列an
的“上渐近值”．已知数列
an
有a1= a , a2= p(p 为常数, 且p > 0) , 它的前
n 项和为Sn, 并且满足Sn= n an-a1
2
, 令pn=
Sn+2
Sn+1
+ Sn+1
Sn+2
, 记数列p1+p2+⋯+pn-2n
的“上
渐近值”为k , 则cos 100π
k
的值为_____．
-76-
MST 一轮复习·达标训练
9.1 直线与圆·达标训练
1.直线l 过(0 ,-1) 与连接A(2 , 3)，B(-3 , 2) 的线
段相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )
A．[-1，2]
B．(-∞，-2][1，+∞)
C．[-2，1](2 , 3)
D．[2，+∞)(-∞，-1]
2.已知直线l : ax + by + c = 0，点M (x1，y1)、N
(x2，y2)，设λ1= ax1+ by1+ c，λ2= ax2+ by2+ c，
以下选项中命题都正确的为( )
(1) 若λ1+ λ2= 0，则线段MN 的中点在直线l 上
(2) 若λ1- λ2= 0，则直线MN 与直线l 平行
(3) 若λ1⋅λ2< 0，则点M、N 分布在直线l 的两侧
(4) 若λ1
λ2
> 1，则直线l 与线段MN 的延长线相交
A．(1) (2) (3)
B．(2) (3) (4)
C．(1) (3) (4)
D．(1) (2) (3) (4)
3. (多选) 下列说法错误的是( )
A．过任意两点(x1，y1)，(x2，y2) 的直线方程为
y-y1
y2-y1
= x-x1
x2-x1
B．经过点(1 , 1) 且在x 轴和y 轴上截距都相等的
直线方程为x + y - 2 = 0
C．若直线倾斜角α ∈
π
4 , 2π
3
，则斜率k 的取值
范围是(-∞,- 3][1 ,+∞)
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
4. (多选) 已知△ABC 为等边三角形，直线AB，
AC 的斜率分别为0，
3，则( )
A．直线BC 的斜率为- 3
B．BC 边上的高所在直线的斜率为
3
3
C．AB 边上的高所在直线的倾斜角为π
2
D．AC 边上的高所在直线的倾斜角为π
6
5.已知直线l1 : (2a + 1)x + ay + 1 = 0，l2 : (a + 2)x
+ ay + 2 = 0，则“a = 1”是“l1⎳l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.已知直线l1 : (a - 1)x + y - 1 = 0 和直线l2 : x +
(a - 1)y + 1 = 0 互相垂直，则实数a 的值为( )
A．-1
B．1
C．-2
D．2
7. 已知x ，y ∈R ，S =
(x+1)2+y2 +
(x-1)2+y2，则S 的最小值是( )
A．0
B．2
C．4
D. 2
8.求函数y =
x2-8x+20 +
x2+1 的最小值．
9.已知点A(m , 1) 关于直线l : x + y - n = 0 对称的
点B 恰好在y 轴上，则n 的值是( )
A．-1
B．0
C．1
D．无法确定的
10.一条光线从x 轴上的点P 发出，经y 轴反射，
反射光线经过点Q(6 , 6)，若该过程中光线从点P
到点Q 经过的路程为10，则反射光线所在的直线
方程为( )
A．3x - 2y - 6 = 0
B．2x - 3y + 6 = 0
C．4x - 3y - 6 = 0
D．3x - 4y + 6 = 0
11.在平面直角坐标系中，直线l1 : 2x + 3y - 1 = 0
关于直线l : x - y + 2 = 0 对称的直线l2 的方程是
( )
A．3x - 2y + 1 = 0
B．3x - 2y - 1 = 0
C．3x + 2y - 1 = 0
D．3x + 2y + 1 = 0
12.已知点P 在直线x - y = 0 上，点A(1 , 3)，B
(3 , 4)，则当△ABP 的周长取得最小值时，点P 的
坐标为 ．
13.若方程x2 + y2 - 2y + m2 - m + 1 = 0 表示圆，
则实数m 的取值范围为( )
A．(-2 , 1)
B．-1, 1
2
C．(-∞，0)(1，+∞)
D．(0 , 1)
14.已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且圆心到
直线2x - y = 0 的距离为2 5
5
，若点M(0 ,
3) 在
圆C 上，则圆C 的方程为
．
-77-
MST 一轮复习·达标训练
15.已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，圆心到直线
2x - y = 0 的距离为4 5
5
，点M (0 ,
5 ) 在圆C
上，求圆C 的方程．
16. (1) 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M
(0 ,
5 ) 在圆C 上，且圆心到直线2x - y = 0 的距
离为4 5
5
，求圆C 的方程．
(2) 求圆心在x 轴上，且过点A(5 , 2) 和B(3 ,-2)
的圆的标准方程．
17.若点P(2 , 1) 在圆x2 + y2 + 4x - 2y + k - 1 = 0
外，则实数k 的取值范围为( )
A．(-10 ,+∞)
B．(-10 , 6)
C．(-∞,-10)
D．(6 ,+∞)
18.若点M 是圆C : x2 + y2 - 4x = 0 上的任一点，
直线l : x + y + 2 = 0 与x 轴、y 轴分别相交于A、
B 两点，则∠MAB 的最小值为( )
A．π
12
B．π
4
C．π
3
D．π
6
19.已知圆C 经过点A(2 , 0)，与直线x + y = 2 相
切，且圆心C 在直线2x + y - 1 = 0 上．
(1) 求圆C 的方程；
(2) 已知直线l 经过点P(0 , 1)，并且直线l 与圆C
交于M ，N 两点，若CM ⊥CN ，求直线l 的方
程．
20. (1) 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M
(0 ,
5 ) 在圆C 上，且圆心到直线2x - y = 0 的距
离为4 5
5
，则圆C 的方程为
；
(2) 与y 轴相切，且圆心坐标为(-5 ,-3) 的圆的标
准方程为 ．
21.若圆x2 + y2 - 2x - 6y + 1 = 0 上恰有三点到直
线y = kx 的距离为2，则k 的值为( )
A．1
2 或2
B．3
4 或4
3
C．2
D．4
3
22.直线l1、l2 为圆C1 : x2 + y2 = 1 与C2 : x2 + y2 -
6x - 8y = 0 的公切线，设l1、l2 的夹角为θ，则
sinθ 的值为( )
A．3
5
B．4
5
C．12
25
D．24
25
23.过点P(3 , 2) 作圆C : (x - 1)2 + (y - 1)2 = 3 的两
条切线，切点分别为A 和B，则切点弦AB 所在直
线的方程为( )
A．2x + y - 6 = 0
B．x + 2y - 7 = 0
C．x - y + 1 = 0
D．3x + y - 9 = 0
24.已知圆C : (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4，过点A(-2 ,
-1) 向圆C 作切线，切点为B，则|AB| = ( )
A．
14
B．
10
C．
6
D．3 2
-78-
MST 一轮复习·达标训练
25.已知圆C1 : x2 + y2 - 2mx + m2 - 16 = 0 与圆C2
: x2 + y2 - 2y = 0，若C1 与C2 有且仅有一条公切
线，则实数m 的值为( )
A．± 2
B．± 3
C．±2
D．±2 2
26.若直线y = 2x + a 和直线y = 2x + b 与圆x2 -
2x + y2 - 2y + 1 = 0 的四个交点构成正方形，则a2
+ b2= ．
27.若圆(x - a)2 + (y - a)2 = 4(a ∈R) 上到直线x
+ y = 0 的距离为1 的点恰有三个，则a 的值为(
)
A．±3
B．± 2
C．±1
D．±
2
2
28.已知圆C : (x - 1)2 + (y + 1)2 = 4 与直线l : mx
- 2ny - 1 = 0(m > 0 , n > 0)，若l 平分圆C 的周
长，则1
m + 2
n 的最小值为( )
A．1
B．3
C．9
D．18
29.直线x - y + 2 = 0 分别于x 轴，y 轴交于A，
B 两点，点P 在圆(x - 2)2 + y2 = 2 上，则△ABP
面积的最大值是( )
A．6
B．8
C．3 2
D．2 2
30.已知直线l : x + ay - 1 - 2a = 0 与圆C : (x - 3)2
+ (y - 4)2 = 9 交于A，B 两点，则cos∠ACB 的最
大值为( )
A．1
3
B．1
2
C．5
9
D．7
9
31.已知圆O : x2 + y2 = 1，点P(x0，y0) 是直线l :
3x + 2y - 4 = 0 上的动点，若圆O 上总存在不同的
两点A，B，使得直线AB 垂直平分OP，则x0 的
取值范围为( )
A．0, 24
13
B．0, 24
13
C．- 10
13 ,2
D．- 10
13 ,2
32.已知S = {(x，y)|(x - 2)2 + (y - m)2 = 1，y ≥
0}{(x，y)|(x - 2)2 + (y + m)2 = 1，y ≥0}，T
= {(x , y) y= 1
2 x
，P = ST，则下列结论中正
确的是
．
①当m = 1
2 时，S { ( x , y ) | y = 0 } =
2-
3
2 ,0
, 2+
3
2 ,0
；
②当m =
5
2
+ 1 时，P 有1 个元素；
③
若
P
有
2
个
元
素
，
则
m
∈
-
5
2 -1,-
5
2 +1
5
2 -1,
5
2 +1
；
-79-
MST 一轮复习·达标训练
9.2 圆锥曲线小题·达标训练
1.若点P 在椭圆C1 : x2
2 + y2 = 1 上，C1 的右焦点
为F，点Q 在圆C2: x2+ y2+ 10x - 8y + 39 = 0 上，
则|PQ| -|PF| 的最小值为
．
2.设椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分
别为F1、F2，其焦距为2c，点Q c, a
2
在椭圆内
部，点P 是椭圆上动点，且|PF1| +|PQ| < 6|F1F2|
恒成立．则椭圆离心率的取值范围是
．
3. △ABC 的顶点A(-5 , 0)，B(5 , 0)，△ABC 的
内切圆圆心在直线x = 3 上，则顶点C 的轨迹方程
是( )
A．x2
9 - y2
16 = 1
B．x2
16 - y2
9 = 1
C．x2
9 - y2
16 = 1(x > 3)
D．x2
16 - y2
9 = 1(x > 4)
4. (多选) 设M 为双曲线C : y2- x2
3 = 1 上一动点，
F1、F2 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正
确的是( )
A．若点N(0 , 8)，则|MN| 最小值为7
B．若过点O 的直线交C 于A、B 两点(A、B 与
M 均不重合)，则kMAkMB = 1
3
C．若点Q(8 , 1)，M 在双曲线C 的上支，则
|MF2| +|MQ| 最小值为2 +
65
D．过F1的直线l 交C 于G、H 不同两点，若
|GH| = 7，则l 有4 条
5.已知定点A、B，且|AB| = 4，动点P 满足
|PA| -|PB| = 3，则|PA| 的最小值是 ．
6.双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 过点A1(18
, 20)，离心率e = 3
2 ，F1，F2 为双曲线的左右焦
点．
(1) 双曲线C 上一动点P(x , y) 到右焦点F2 的距离
和点P 到直线x = m 的距离的比为定值3
2 ，求m
的值；
(2) 当点P'(x0，y0) (y0 ≠0) 在双曲线右支上时，
求△P'F1F2内切圆的标准方程；
7.点A(x0，y0) 在双曲线x2
4 - y2
32 = 1 的右支上，
若点A 到右焦点的距离等于2x0，则x0= ．
8.已知斜率为2 的直线l 与椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a
> b > 0) 交于A，B 两点，M 为线段AB 的中点，
O 为坐标原点，若OM 的斜率为- 3
8 ，则C 的离
心率为( )
A．
3
2
B．3
4
C．2
3
D．1
2
-80-
MST 一轮复习·达标训练
9.设椭圆Γ : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F
(c , 0)，点A(3c , 0) 在椭圆外，P、Q 在椭圆上，
且P 是线段AQ 的中点．若直线PQ，PF 的斜率
之积为- 1
2 ，则椭圆的离心率为 ．
10.已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 上有
不同的三点A，B，P，且A，B 关于原点对称，
直线PA，PB 的斜率分别为kPA，kPB，且kPA ⋅
kPB ∈
1
4 ,1
，则离心率e 的取值范围是
．
11.已知点P 在椭圆T : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上，
点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A，
点P 关于x 轴的对称点为Q，设PD
= 3
4 PQ
，直
线AD 与椭圆T 的另一个交点为B，若PA ⊥PB，
则椭圆T 的离心率e = (
)
A．1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
3
3
12.已知双曲线x2 - y2
2 = 1，过点P(1 , 1) 的直线l
与该双曲线相交于A，B 两点，若P 是线段AB 的
中点，则直线l 的方程为( )
A．2x - y - 1 = 0
B．2x + y - 1 = 0
C．2x - y + 1 = 0
D．该直线不存在
13.已知点F1 是椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左
焦点，过原点作直线l 交椭圆于A、B 两点，M、
N 分别是AF1、BF1 的中点，若∠MON = 90°，则
椭圆离心率的最小值为( )
A．1
4
B．
3
4
C．1
2
D．
2
2
14.已知F 是椭圆E : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左
焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两
点，若|PF| = 5|QF| 且∠PFQ = 120°，则椭圆E
的离心率为( )
A．
7
6
B．1
3
C．
21
6
D．
21
5
15.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是
它们的一个交点，且∠F1PF2 = π
3 ，记椭圆和双曲
线的离心率分别为e1，e2，则
1
e1e2
的最大值是(
)
A．2 3
3
B．4 3
3
C．2
D．3
16.已知点P 是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
上
的动点，F1、F2 是其左、右焦点，O 坐标原点，
若存在四个点P 满足PF1
+ PF2
OP
=
6 ，则此双
曲线的离心率取值范围
．
17.已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的焦点为
F1，F2，若点P 在椭圆上，且满足|PO|2 = |PF1| ⋅
|PF2|(其中O 为坐标原点) 的P 的个数( )
A．0
B．2
C．4
D．8
18.已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点
为F1、F2，P 为该椭圆上一点，O 为坐标原点且
|OP| = λa，满足|F1F2|2 = |PF1| ⋅|PF2|，则λ 的取值
范围为
3
2 ，1
．
19.以椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的短轴的一
个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形，且椭
圆C 上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆C 的标
准方程为( )
A．x2
4 + y2
3 = 1
B．x2
4 + y2
2 = 1
C．x2
4 + y2= 1
D．x2
8 + y2
4 = 1
-81-
MST 一轮复习·达标训练
20.已知F1，F2为椭圆的焦点且|F1F2| = 2 5，M，
N 是椭圆上两点，且MF1
= 2F1N
，以F1F2 为直径
的圆经过M 点，则△MNF2的周长为( )
A．4
B．6
C．8
D．12
21.已知双曲线C : 4x2 - y2 = 1 的左、右焦点分别
为F1，F2，过F1 作直线l 交C 的左支于A，B 两
点，且|AB| = 6，则△ABF2的周长为 ．
22.已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 的左
焦点为F1，直线y = kx(k > 0) 与双曲线C 交于P，
Q 两点，且∠PF1Q = 2π
3 ，PF1
⋅F1Q
= 4，则当
1
2 a2 + b2
a2 取得最小值时，双曲线C 的离心率为
( )
A．3
B．
3
C．2
D．
2
23. (多选) 在平面直角坐标系xOy 中，已知F1，
F2 分别是椭圆C : x2
4 + y2
2 = 1 的左，右焦点，点
A，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足
AF1
= λF1B
，则( )
A．ΔABF2的周长为定值
B．AB 的长度最小值为1
C．若AB ⊥AF2，则λ = 3
D．λ 的取值范围是[1，5]
24.已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 的
左、右焦点分别为F1、F2，过F2 且斜率为- 3 的
直线l 与C 在第一象限交于N 点，若|NF1| = 7a，
则双曲线的离心率为( )
A．2
B．4
C．5
D．6
25.梯形ABCD 中，AB = 2CD，线段AC 交以
A，B 为焦点且过C ，D 的双曲线于点E ，若
|AE|
|EC| = 2
3 ，则双曲线的离心率为
．
26.如图所示，F1，F2 是双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a
> 0 , b > 0) 的左、右焦点，双曲线C 的右支上存
在一点B 满足BF1 ⊥BF2，BF1 与双曲线C 的左支
的交点A 平分线段BF1，则双曲线C 的离心率为
( )
A．3
B．2 3
C．
13
D．
15
27.如图，已知F1、F2 分别为x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b >
0) 椭圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P、
Q 两点，若QF1
⋅QP
= |PQ|2，PF2
= 2F2Q
，则
∠F1PQ =
，椭圆的离心率为 ．
28.已知A，B，C 是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 ,
b > 0) 上的三个点，直线AB 经过原点O，AC 经
过右焦点F，若BF ⊥AC，且3AF = CF，则该
双曲线的离心率为(
)
A．
10
2
B．5
2
C．
10
3
D．2
3
-82-
MST 一轮复习·达标训练
29.已知F1，F2 是双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b
> 0) 的左、右焦点，过F1 的直线l 与双曲线C 交
于M，N 两点，且F1N
= 3F1M
，|F2M| = |F2N|，
则下列说法正确的是( )
A．△F2MN 是等边三角形
B．双曲线C 的离心率为
7
C．双曲线C 的渐近线方程为y =± 6x
D．点F1到直线
6x - y = 0 的距离为
6a
30.已知抛物线C : y2 = 2px 的焦点为F(1 , 0)，准
线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，
△PQF 为等边三角形，过PQ 的中点M 作直线
MR ⎳QF，交x 轴于R 点，则直线MR 的方程为
( )
A．
3x + y - 2 3 = 0
B．
3x + y - 3 3 = 0
C．x +
3y - 2 3 = 0
D．x +
3y - 3 3 = 0
31.已知抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点F 为椭圆
x2
4 + y2
3 = 1 的右焦点，直线l 过点F 交抛物线于
A，B 两点，且|AB| = 8．直线l1，l2 分别过点
A，B 且均与x 轴平行，在直线l1，l2 上分别取点
M ，N (M ，N 均在点A，B 的右侧)，∠ABN 和
∠BAM 的角平分线相交于点P，则ΔPAB 的面积
为
．
32. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y2
= 4x 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|
= 2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为
．
33. (多选) 已知抛物线y2= 2px(p > 0) 上有两点A
(x1，y1)、B(x2，y2)，焦点为F，下列选项中是
“直线AB 经过焦点F”的必要不充分条件的是(
)
A．OA
⋅OB
=- 3
4 p2
B．y1y2=-p2
C．x1x2= p2
4
D．
1
|FA| +
1
|FB| = 2
p
34. (多选) 已知抛物线C : y2= 2px(p > 0) 过点B
(1，2)，过点A(-1，0) 的直线交拋物线于M，N
两点，点N 在点M 右侧，若F 为焦点，直线NF，
MF 分别交抛物线于P，Q 两点，则(
)
A．|MF| ⋅|NF| > 4
B．|OM| ⋅|ON| = |OB|2
C．A、P、Q 三点共线
D．∠AMP ≤π
4
35. (多选) 已知抛物线C : y2 = 12x，点F 是抛物线
C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点M (4 ,
3)，则下列说法正确的是( )
A．抛物线C 的准线方程为x =-3
B．若|PF| = 7，则ΔPMF 的面积为2 3 - 3
2
C．|PF| -|PM| 的最大值为
10
D．ΔPMF 的周长的最小值为7 +
10
36.设椭圆C1 : x2
a2 + y2 = 1(a > 1)，C2 : x2
4 + y2 =
1 的离心率分别为e1，e2．若e2 =
3 e1，则a =
( )
A．2 3
3
B．
2
C．
3
D．
6
37.过椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 左焦点F(
-c , 0) 作倾斜角为π
6 的直线l，与椭圆C 交于A，
B 两点，其中P 为线段AB 的中点，线段PF 的长
为
3
3 c，则椭圆C 的离心率为( )
A．
5
5
B．1
2
C．
3
2
D．
6
3
-83-
MST 一轮复习·达标训练
38.设F 是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(b > a > 0) 的一个
焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两
条渐近线分别交于A，B 两点．若FB
= 2FA
，则
双曲线的离心率为(
)
A．
2
B．
3
C．2
D．5
39.已知双曲线E : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0，b > 0) 的
左焦点为F1，过点F1 的直线与两条渐近线的交点
分别为M、N 两点(点F1 位于点M 与点N 之间)，
且MF1
= 2F1N
，又过点F1 作F1P ⊥OM 于P(点O
为坐标原点)，且|ON| = |OP|，则双曲线E 的离心
率e = (
)
A．
5
B．
3
C．2 3
3
D．
6
2
40.已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 的右焦
点与抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点重合，抛物线的
准线交双曲线于A，B 两点，交双曲线的渐近线
于C，D 两点，若|CD| =
2|AB|，则双曲线的离
心率为( )
A．
2
B．
3
C．2
D．3
41.已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，焦点F1(-c
, 0)，F2(c，0) (c > 0)．若过F1 的直线和圆
x- 1
2 c
2
+ y2 = c2 相切，与椭圆的第一象限交于
点P，且PF2⊥x 轴，则该直线的斜率是
，
椭圆的离心率是
．
42.已知F1，F2 分别是双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 ,
b > 0) 的左、右焦点，过F1 且垂直于x 轴的直线与
双曲线交于A，B 两点，若∠AF2F1 = 45°，则该双
曲线的离心率为( )
A．1 +
2
B．1 +
3
C．5
2
D．
5
43.已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 的
左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2 为直径的圆与
C 在第一象限的交点为A，直线AF1 与C 的左支交
于点B，且|AB| = |AF2|．设C 的离心率为e，则
e2= ( )
A．4 - 2 2
B．5 - 2 2
C．4 + 2 2
D．5 + 2 2
44.已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 的
左，右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是
( )
A．若a = 2，b =
3，则双曲线的任一焦点到渐
近线的距离为
3
B．若点P 在双曲线C 上，则直线PF1与PF2的斜
率之积为b2
a2
C．以线段F1F2为直径的圆与双曲线C 在第一象限
交于点P，且|PO| = |PF2|，则双曲线C 的离心率
e =
3 + 1
D．若过F2的直线l 与x 轴垂直且与渐近线交于
A，B 两点，∠AF1O = π
3 ，则双曲线C 的渐近线
方程为y =±2 3x
45.已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 的左、
右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，射线
PA 是∠F1PF2 的角平分线，其与x 轴的交点为点
A，∠PF1F2 的角平分线与直线PA 交于点B，若
PB
= 3
4 PA
，则椭圆C 的离心率为( )
A．1
4
B．1
3
C．2
3
D．3
4
46.古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的
光学性质：从椭圆的一个焦点F1 发出的光线经过
椭圆上的P 点反射后，反射光线经过椭圆的另一
个焦点F2，且在P 点处的切线垂直于法线(即
∠F1PF2 的角平分线)．已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a
> b > 0) 上点P 处的法线l 交x 轴于点Q，且F1Q
= 3QF2
，入射角∠F1PQ = π
3 ，则C 的离心率为
.
-84-
MST 一轮复习·达标训练
47.已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右
焦点分别是F1、F2，其离心率e =
3
2 ，过F1 且垂
直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点
P 作斜率为k 的直线l，使得l 与椭圆C 有且只有一
个公共点，设直线PF1、PF2 的斜率分别为k1、
k2，若k ≠0，证明：
1
kk1
+
1
kk2
为定值，并求出
这个定值；
(3) 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设
∠F1PF2 的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点M(m
, 0)，求m 的取值范围．
48.已知F1、F2 是椭圆x2
a2 + y2
3 = 1(a >
3 ) 左、
右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF1 为直径作
圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q(点Q 不在椭圆内
部)，则QF1
⋅QF2
= ．
49.已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F，点
P(m ,-2 2) 在C 上．若以P 为圆心，PF 为半径
的圆被y 轴截得的弦长为2 5 ，则该圆的面积为
( )
A．4π
B．6π
C．9π
D．10π
50. (1) 设P 是椭圆M : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上
任意一点，P 是焦点．证明：以PF 为直径的圆与
以椭圆长轴为直径的圆相切；
(2) 设P 是双曲线M : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0) 上
任意一点，F 是焦点，请你类比(1)，写出一个类
似的结论，并证明．
51.已知正四面体ABCD，空间一动点P 满足BP
⊥AD，且△PAD 的面积为定值，则点P 的轨迹
为(
).
A. 直线
B. 圆
C. 圆
D. 抛物线
52.已知圆柱的轴截面ABCD 是边长为2 的正方
形，M 为正方形ABCD 对角线的交点，动点P 在
圆柱下底面内(包括圆周). 若直线AM 与直线MP
所成的角为45°，则点P 形成的轨迹为(
).
A. 椭圆的一部分
B. 抛物线的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 圆的一部分
-85-
MST 一轮复习·达标训练
53.设m 是平面α 内的一条定直线，P 是平面α 外
的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成30° 角，
则直线n 与平面α 的交点Q 的轨迹是(
).
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
54.如图所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们
都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切)，切点
圆(图中粗线所示) 分别为⊙C1，⊙C2. 这两个球
都与平面α 相切，切点分别为F1，F2，丹德林(G ⋅
Dandelin) 利用这个模型证明了平面α 与圆锥侧面
的交线为椭圆，F1，F2 为此椭圆的两个焦点，这
两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它
的轴的夹角为30°，⊙C1，⊙C2 的半径分别为1，
4，点M 为⊙C2 上的一个定点，点P 为椭圆上的
一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线
长与线段PF1的长之和的最小值是( )
A．6
B．8
C．3 3
D．4 3
55.如图，已知圆锥PO 的高PO 与母线所成的角
为α，过A1 的平面与圆锥的高所成的角为β，该平
面截这个圆锥所得的截面为椭圆C，椭圆C 的长
轴为A1A2，短轴为B1B2，长轴长为2a，C 的中心
为N ，再以B1B2 为弦且垂直于PO 的圆截面，记
该圆与直线PA1交于C1，与直线PA2交于C2，
(1) 用a，α，β 分别表示|NC1|，|NC2|；
(2) 若cosα = 1
3 , cosβ = 1
9 , a = 3；
(ⅰ) 求椭圆C 的焦距；
(ⅱ) 椭圆C 左右焦点分别为F1，F2，C 上不同两
点D，E 在长轴同侧，且DF1⎳EF2，设直线F1E，
F2D 交于点Q，记S△QDE = s，设S四边形EDF1F2= f s
，
请写出f(s) 的解析式(不要求求出定义域)．
-86-
MST 一轮复习·达标训练
9.3 圆锥曲线大题·达标训练
1.已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 与抛物线
M : y2 = 4x 有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆
截得的弦长为3．
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 过椭圆C 的右焦点作一条斜率为k(k ≠0) 的直
线交椭圆于A，B 两点，交y 轴于点E，P 为弦
AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点
Q，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定
值？若存在，则求出点H，若不存在，请说明理
由．
2.曲线E : x2
t +
y2
1-t = 1(0 < t < 1) 与直线l : x +
y = 1 交于点A，过点A 且与l 垂直的直线交曲线
E 于另外的点B，设线段AB 的中点为P，定点Q
的坐标为
1
8 , 1
8
．
(1) 用t 表示点A 的坐标；
(2) 证明：|PA| +|PQ| 为定值；
(3) 是否存在某条直线始终与以PQ 为直径的圆相
切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说
明理由．
3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1(-c , 0)，
F2(c , 0)．已知(1 , e) 和e,
3
2
都在椭圆上，其
中e 为椭圆的离心率．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设A，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直
线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．
(ⅰ) 若AF1- BF2=
6
2 ，求直线AF1的斜率；
(ⅱ) 求证：PF1+ PF2是定值．
-87-
MST 一轮复习·达标训练
4.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直
线l : y =-1 上一点，动点F 满足FE ⊥l，OF
⊥
OE
．
(1) 求动点F 的轨迹C 的方程；
(2) 若过点T
1
2 ,0
作直线与C 交于不同的两点
M，N，点P(1 , 1)，过点M 作y 轴的垂线分别与
直线OP，ON 交于点A，B．证明：A 为线段
BM 的中点．
5.如图，D 为圆O : x2 + y2 = 1 上一动点，过点D
分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A，B，连
接BA 并延长至点W，使得|WA| = 1，点W 的轨
迹记为曲线C．
(1) 求曲线C 的方程；
(2) 若过点K(-2 , 0) 的两条直线l1，l2 分别交曲线
C 于M，N 两点，且l1 ⊥l2，求证：直线MN 过定
点；
(3) 若曲线C 交y 轴正半轴于点S，直线x = x0 与
曲线C 交于不同的两点G，H，直线SH，SG 分
别交x 轴于P，Q 两点．请探究：y 轴上是否存在
点R，使得∠ORP + ∠ORQ = π
2 ？若存在，求出
点R 坐标；若不存在，请说明理由．
-88-
MST 一轮复习·达标训练
6.已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右顶
点分别为A1，A2，点
2,-
6
2
在椭圆C 上，
过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆
相交于D，E 两点，且四边形A1DA2E 的面积为
.
7．(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 点P 椭圆上异于A1，A2 的一点，直线A1P 的
斜率为k1，直线A2P 的斜率为k2，求证k1k2 为定
值；
(3)x 轴上有一点P(m，0) (-2 < m < 2)，直线l 过
点P 且与椭圆C 相交于M ，N 两点，若|PM |2 +
|PN|2的值与m 的取值无关，求直线l 的斜率．
8.已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦
点分别为F1，F2，抛物线Γ : y2 = 4x 的焦点和椭圆
的右焦点重合，且椭圆C 和抛物线Γ 的准线在第
二象限交点的纵坐标为3
2 ．
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 过右焦点F2 的直线l 与椭圆C 相交于P，Q 两
点，点Q 关于x 轴的对称点为Q1，试问△F2PQ1
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大
值；若不存在，请说明理由．
9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(-2 , 0)，
B(2 , 0)，动点W(x , y) 满足直线AW 与BW 的斜
率之积为- 1
4 ，记W 的轨迹为曲线C．
(1) 求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2) 已知直线l 与C 交于M ，N 两点，与圆O : x2
+ y2 = 4 交于P，Q 两点，若不重合的两条直线l1 :
y = k1x 与l2: y = k2x 分别平分线段MN，PQ．
①求证：k1
k2
为定值；
②已知直线l1 与曲线C 交于E，G 两点，l2 与曲
线C 交于D，F 两点，OH
+ 3HD
= 0，求四边形
EFGH 面积的最大值．
-89-
MST 一轮复习·达标训练
10.已知点A(0 ,-2)，椭圆E : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b >
0) 的离心率为
3
2 ，F 是椭圆的右焦点，直线AF
的斜率为2 3
3
，O 为坐标原点．
(1) 求椭圆E 的方程；
(2) 设过点A 的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，
当ΔOPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．
11.已知椭圆C : x2
4 + y2= 1 的左右顶点分别为A，
B，过D 6
5 ,0
的直线与椭圆C 交于E，F 两点
(异于左右顶点)，直线AE，BF 相交于点P．
(1) 求证：点P 在定直线上；
(2) 线段EF 的中点为M ，求△OMP 面积的最大
值．
12.设椭圆x2
a2 + y2
3 = 1(a >
3 ) 的右焦点为F，
右顶点为A．已知
1
|OF| +
1
|OA| =
3e
|FA| ，其中
O 为原点，e 为椭圆的离心率．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设过点A 的直线l 与椭圆交于点B(B 不在x 轴
上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴于点
H，若BF ⊥HF，且∠MOA ≤∠MAO，求直线l
的斜率的取值范围．
13.已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0)，F 为其焦点，
直线l 过点F 交抛物线C 于A、B 两点，若三角形
OAB 面积的最小值为9
2 ．
(1) 求p；
(2) 若三角形OAB 外接圆与抛物线的最后一个交
点为点T．
(i) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，T(x3，y3)，证明：
y3=- (y1+ y2)．
(ii) 若TF 平分∠ATB，求线段TF 长度的所有可
能取值．
-90-
MST 一轮复习·达标训练
14.设A，B 为曲线C : y = x2
4 上两点, A 与B 的横
坐标之和为4.
(1) 求直线AB 的斜率;
(2) 设M 为曲线C 上一点, C 在M 处的切线与直线
AB 平行, 且AM ⊥BM , 求直线AB 的方程.
15. 已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 的准线与x 轴的
交点为H，直线过抛物线C 的焦点F 且与C 交于
A，B 两点，ΔHAB 的面积的最小值为4．
(1) 求抛物线C 的方程；
(2) 若过点Q 17
4 ,1
的动直线l 交C 于M ，N 两
点，试问抛物线C 上是否存在定点E，使得对任意
的直线l，都有EM ⊥EN ，若存在，求出点E 的
坐标；若不存在，则说明理由．
16. 设抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为F，点D
(p , 0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线
MD 垂直于x 轴时，|MF| = 3．
(1) 求C 的方程；
(2) 若点A(-1 , 0)，B(1 ,-1)，过点A 的动直线l
交抛物线C 于P、Q，直线PB 交抛物线C 于另一
点R，连接QB 并延长交抛物线于点S．证明直线
QR 与直线PS 的斜率之和为定值．
17.过抛物线C1 : x2 = y 上一点P(-2，4) 作圆C2 :
x2 + (y - 2)2 = 1 的两条切线交C1 于点A，B，求
直线AB 的方程.
-91-
MST 一轮复习·达标训练
18.抛物线C1 : y2 = 2px(p > 0) 的焦点到准线的距
离等于椭圆C2: x2+ 16y2= 1 的短轴长．
(1) 求抛物线C1的方程；
(2) 设D(1 , t) 是抛物线C1上位于第一象限的一点，
过D 作圆E : (x - 2)2 + y2 = r2(其中0 < r < 1) 的两
条切线，分别交抛物线C1 于点M，N，证明：直
线MN 经过定点．
19. 椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1 ( a > b > 0 ) 经过点
P 1, 3
2
，右焦点为F(1 , 0)，直线l : x = 4．
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 经过点F 的直线AB 与椭圆C 交于A、B 两
点(都不与点P 重合)，与直线l 相交于点M ，记
PA，PB，PM 的斜率分别为k1，k2，k3．问：是
否存在常数λ，使得k1 + k2 = λk3？若存在，求出λ
的值；若不存在，请说明理由．
20.已知椭圆E : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左焦点
为F(-c，0)，离心率为e，椭圆过点P(-2，3)
与Q( 2
e ，0)．
(1) 求此椭圆的方程；
(2) 设经过点P 的直线与圆O : x2 + y2 = 28 的交点
为M、N，若PF = PM，求PN 的长；
(3) 设不经过点P 的直线l : y = kx + m 与椭圆E 交
于两点A、B，记直线PA 与PB 的斜率分别为k1、
k2，且4k1k2+ 3 = 0，求m 的值．
-92-
MST 一轮复习·达标训练
21.已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的下顶点
为点D，右焦点为F2(1 , 0)．延长DF2 交椭圆C 于
点E，且满足|DF2| = 3|F2E|．
(1) 试求椭圆C 的标准方程；
(2)A，B 分别是椭圆长轴的左、右两个端点，M，
N 是椭圆上与A，B 均不重合的相异两点，设直
线AM ，AN 的斜率分别是k1，k2. 若直线MN 过
点(
2
2 ，0)，求证：k1⬝k2=- 1
6 ．
22.如图，椭圆E : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 经过点
A(0，-1)，右准线l : x = 2，设O 为坐标原点，若
不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点P，
Q(均异于点A)，直线AP 交l 于M(点M 在x 轴下
方)．
(1) 求椭圆E 的标准方程；
(2) 过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆
交于C，D 两点，若CD =
6，求圆H 的方程；
(3) 若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线
PQ 过定点，并求出该定点．
23.已知椭圆Q : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率
为
2
2
, 椭圆Q 上的点，与P(1，0) 的最大距离
为2 2 + 1.
(1) 求椭圆Q 的方程；
(2) 设椭圆Q 的下、上顶点分别为A、B , 过点P
的直线与椭圆Q 交于C、D 两点，与y 轴交于点
M ，直线AC 与直线BD 交于点N ，试探究
OM⋅
ON
是否为定值.
24.已知椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的一个顶
点A(0 ,-2)，以椭圆E 的四个顶点围成的四边形
面积为4 5.
(I) 求椭圆E 的方程；
(II) 过点P 0,-3
作斜率为k 的直线与椭圆E 交于
不同的两点B，C，直线AB、AC 分别与直线y
=-3 交于点M、N，当PM
+ PN
≤15 时，求
k 的取值范围.
-93-
MST 一轮复习·达标训练
25.已知动点M(x , y) 与定点F(1 , 0) 的距离和M
到定直线l：x = 4 的距离的比是常数1
2 .
(1) 求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹即曲线C 的
形状.
(2) 过A(-1 , 3
2 ) 作两直线与抛物线y = tx2(t < 0)
相切，且分别与曲线C 交于D，E 两点，直线
AD，AE 的斜率分别为k1，k2.
①求证：1
k1
+ 1
k2
为定值；
②试问直线DE 是否过定点，若是，求出定点坐
标；若不是，说明理由.
26.已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0)，O 为坐标原
点，焦点在直线2x + 4y - 1 = 0 上．
(Ⅰ) 求抛物线的标准方程；
(Ⅱ) 过点(4 , 0) 作动直线l 与抛物线C 交于M，N
两点，直线OM，ON 分别与圆(x - 1)2 + y2 = 1 交
于点P，Q 两点(异于点O)，设直线OM，ON 斜
率分别为k1，k2．
①求证：k1⋅k2为定值；
②求证：直线PQ 恒过定点．
27.已知点F(0 , 1) 为抛物线x2= 2py 的焦点．
(1) 求抛物线C 的方程；
(2) 点A、B、C 是抛物线上三点且FA
+ FB
+
FC
= 0，求△ABC 面积的最大值．
28.在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C : x2
= 2py(p > 0) 的焦点，M 是抛物线C 上位于第一
象限内的任意一点，过M ，F，O 三点的圆的圆
心为Q，点Q 到抛物线C 的准线的距离为3
4 ．
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；
(Ⅱ) 是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相
切于点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，
说明理由；
(Ⅲ) 若点M 的横坐标为
2 ，直线l : y = kx + 1
4
与抛物线C 有两个不同的交点A，B，l 与圆Q 有
两个不同的交点D，E ，求当1
2 ≤k ≤2 时，
|AB|2+ |DE|2的最小值．
-94-
MST 一轮复习·达标训练
29.椭圆上x2
a2 + y2
b2 = 1 一动点M (x0，y0)，A(
-m，0)，B(m，0) 直线MA，MB 分别交椭圆
于P，Q 两点，
且AM
= λAP
，BM
= μBQ
，求证λ + μ 为定值.
30.椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1，Q(m，0) 为x 轴上一点，
过Q 点的直线交椭圆于M，N 两点，交y 轴于T.
若TM
= λMQ
，TM
= μNQ
，证明λ + μ 为定值.
31.已知抛物线C : y2 = 2px(p > 0)，抛物线C 上一
点P1 在第一象限，按照如下方式依次构造点Pn(n
= 2 , 3…)：过点Pn-1 作斜率为k1 的直线交C 于
Qn-1，再过点Qn-1作斜率为k2的直线交C 于点Pn．
(1) 若点Q1(1 ,-2)，且k1+ k2= 0；
(i) 求抛物线C 的方程，并写出准线方程；(ii) 求
直线P1P2的斜率；
(2) 记Sn 为△PnPn+1Pn+2 的面积，求Sn 的表达式
(用k1，k2，p 表示)．
-95-
MST 一轮复习·达标训练
32.已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b > 0)，F1(
-2 , 0)，F2(2 , 0) 分别为左、右焦点，点A(2 ,
2)
在双曲线C 上．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 如图，在双曲线的右支上任取一点P0(x0，y0)，
以P0 为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于
M0，N0 两点，过M0，N0 两点分别作两渐近线的
平行线交于点P1，过P1 作直线M0N0 的平行线分别
交两渐近线于M1，N1 两点，再过M1，N1 两点分
别作两渐近线的平行线交于点P2，一直反复操作，
可得P1，P2，P3，…，Pn．
①证明：点O，P0，P1，P2，P3，…，Pn 在同一
条直线上，并求该直线方程；
②记△Pi-1MiNi(i = 1，2，…，n) 的面积为Si，记
bn=
n
i=1
Si，证明：1
b1
+ 1
b2
+ … + 1
bn
< 1
3 ．
33.在平面直角坐标系中，矩形ABB'A'，动点R
在线段AB 上，动点Q 在B'B 延长线上，满足
AR
AB = BQ
BB' = λ，直线A'R 与直线AQ 交于P 点，
已知AA' = 4，AB = 2．
(1) 证明：动点P 点所在曲线方程为双曲线C : x2
4
- y2= 1．
(2) 在C 的右支上任取一点P0(x0，y0)，以P0 为切
点作C 的切线交两条渐近线于M1，N1 两点，过
M1，N1 两点分别作两条渐近线的平行线交于P1，
过P1 作直线M1N1 的平行线，分别交两条渐近线于
M2，N2，再过M2，N2 两点分别作两条渐近线的
平行线交于P2，一直反复操作，可得P1，P2，
P3…Pn．
(i) 写出直线M1N1 的方程(不需要证明)，并证明点
O，P0，P1，P2，…，Pn在同一条直线上．
(ii) 设S△M1N1P1 = S1，S△M2N2P2 = S2，以此类推．证
明：1
S1
+ 1
S2
+ … + 1
Sn
< 2
3 ．
-96-
MST 一轮复习·达标训练
34.设曲线C1 : x2
a2 + y2 = 1(a 为正常数) 与C2 : y2 =
2(x + m) 在x 轴上方仅有一个公共点P．
(1) 求实数m 的取值范围(用a 表示)；
(2)O 为原点，若C1 与x 轴的负半轴交于点A，当
0 < a < 1
2 时，试求△OAP 的面积的最大值(用a
表示)．
35.已知双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0
过点
A 4 2,3
, 且焦距为10 .
(1) 求C 的方程；
(2) 已知点B 4 2,-3
，D 2 2,0
，E 为线
段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H
两点. 证明:
GD
GE
= HD
HE
.
-97-
MST 一轮复习·达标训练
10.1 计数原理与排列组合习题·
达标训练
1. 5A2
5+ 4C2
4 = ( )
A．74
B．98
C．124
D．148
2.已知Am
14 = 14 × 13 × 12 ×⋅⋅⋅× 5，那么m =
( )
A．5
B．9
C．10
D．11
3.解不等式: Ax
9 > 6Ax-2
9
.
4.已知C2x
17 = Cx+2
17
x∈N *
，求x.
5.若
1
Cm
5
-
1
Cm
6
=
7
10Cm
7
，求Cm
8 ．
6.要为5 位同学和2 位老师拍照留念，要求排成一
排，且2 位老师相邻，不同的排法有____ 种.
7. 2023 年5 月21 日，中国羽毛球队在2023 年苏迪
曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3
: 0 战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、
丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中
甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同
的站法共有( )
A．18 种
B．24 种
C．30 种
D．36 种
8.一排有7 个空座位，有3 人各不相邻而坐，则不
同的坐法共有( )
A．120 种
B．60 种
C．40 种
D．20 种
9.张老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸
部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检
数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而
张老师决定腹部彩超和胸部CT 两项不连在一起检
查，则不同的检查方案一共有
种.
10.要排一个有5 个独唱节目和3 个舞蹈节目的节
目单，如果舞蹈节目不在排头，且任何两个舞蹈节
目不相邻，则不同的排法总数为_________．
11. (2025 上海)9. 4 个家长和2 个儿童去爬山,
6 个人需要排成一条队列, 要求队列的头和尾均是
家长, 则不同的排列个数有_____ 种.
12. (2023• 甲卷) 有五名志愿者参加社区服务，共
服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加
服务，则两天中恰有1 人连续参加两天服务的选择
种数为( )
A．120
B．60
C．40
D．30
13.某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙、
衡阳、郴州、株洲、益阳这5 个城市中选择4 个
(选择的4 个城市按照到达的先后顺序分别记为第
一站、第二站、第三站、第四站)，且第一站不去
株洲，则该旅游团四站的城市安排共有( )
A．96 种
B．84 种
C．72 种
D．60 种
14.要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，
体育，艺术6 门课各一节的课程表，要求数学课排
在前3 节，英语课不排在第6 节，则不同的排法种
数为( )
A．24
B．72
C．144
D．288
15.从编号为1，2，3，4，5 的5 个球中任取4
个，放在编号为A，B，C，D 的4 个盒子里，每
盒一球，且2 号球不能放在B 盒中的不同的方法数
是( )
A．24
B．48
C．54
D．96
16.某高中从3 名男教师和2 名女教师中选出3 名
教师，派到3 个不同的乡村支教，要求这3 名教师
中男女都有，则不同的选派方案共有
种.
17. (2018• 新课标Ⅰ) 从2 位女生，4 位男生中选3
人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同
的选法共有
种．(用数字填写答案)
18.把6 名实习生分配到7 个车间实习, 共有
种不同的分法．
19.某校计划选拔4 名学生参加科技创新大赛. 现
从3 名女生、5 名男生中进行选择，要求队伍中至
少包含男、女生各1 名，则不同选法的总数为
( )
A．65
B．60
C．35
D．30
-98-
MST 一轮复习·达标训练
20. (2023• 甲卷) 有五名志愿者参加社区服务，共
服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加
服务，则两天中恰有1 人连续参加两天服务的选择
种数为( )
A．120
B．60
C．40
D．30
21. (2020• 山东)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做
志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1
名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的
安排方法共有( )
A．120 种
B．90 种
C．60 种
D．30 种
22.中国空间站(China Space Station) 的主体结
构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.
2022 年10 月31 日15：37 分，我国将“梦天实验
舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发
射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划
成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国
空间站建设完毕.2023 年，中国空间站将正式进入
运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6 名航天员
开展实验，三舲中每个舱中都有2 人，则不同的安
排方法有( )
A．72 种
B．90 种
C．360 种
D．540 种
23. 2023 年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县
为响应国家政策，选派了6 名工作人员到A、B、
C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1
人，不同的安排方式共有(
) 种．
A．540
B．480
C．360
D．240
24. (2021• 乙卷) 将5 名北京冬奥会志愿者分配到
花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培
训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少
分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
25. (2020• 海南) 要安排3 名学生到2 个乡村做志愿
者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有
一名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A．2 种
B．3 种
C．6 种
D．8 种
26. (2017• 新课标Ⅱ) 安排3 名志愿者完成4 项工
作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则
不同的安排方式共有( )
A．36 种
B．24 种
C．18 种
D．12 种
27.书架上某层有8 本书，新买2 本插进去，要保
持原有8 本书的顺序，则有________ 种不同
的插法(具体数字作答)
28.城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四
大节庆品牌之一，至今已举办25 届. 假设在即将举
办的第26 届“六月六山歌节”中，组委会要在原
定排好的10 个“本土歌舞”节目中增加2 个“歌
王对唱”节目. 若保持原来10 个节目的相对顺序不
变，则不同的排法种数为( )
A．110
B．144
C．132
D．156
29.某高校举行一场智能机器人大赛. 该高校理学院
获得8 个参赛名额. 已知理学院共有4 个班，每个
班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的
分配方法共有( )
A．20 种
B．21 种
C．28 种
D．35 种
30.某国际旅行社现有11 名对外翻译人员，其中有
5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会
法语，现从这11 人中选出4 人当英语翻译，4 人当
法语翻译，则共有( ) 种不同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
31.用6 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要
求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有
( )
A．240
B．360
C．480
D．600
-99-
MST 一轮复习·达标训练
32.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部
分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n ≥
3，n ∈N *) 等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同
的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
(1) 如图(1)，圆环分成3 等份，分别为a1，a2，
a3，则有
种不同的种植方法；
(2) 如图(2)，圆环分成4 等份，分别为a1，a2，
a3，a4，则有
种不同的种植方法．
33.重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青
藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、
湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4 种
颜色标注6 个省份的地图区域，相邻省份地图颜色
不相同，则共有
种涂色方式．
34.编号为1，2，3，4 的四位同学，分别就座于
编号为1，2，3，4 的四个座位上，每位座位恰好
坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致
的坐法种数为___________.
35.有10 个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种
不同的坐法？
36.马路上有编号为1，2，3 ⋯，9 九只路灯，现
要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三
盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方
案有多少种？
37. (2016• 新课标Ⅱ) 如图，小明从街道的E 处出
发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的
老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以
选择的最短路径条数为( )
A．24
B．18
C．12
D．9
38.已知0，1，2，3，4，5，6 共7 个数字．
(1) 可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2) 可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3) 可以组成多少个没有重复数字且能被5 整除的
四位数？(结果用数字作答)
39. (2018• 浙江) 从1，3，5，7，9 中任取2 个数
字，从0，2，4，6 中任取2 个数字，一共可以组
成
个没有重复数字的四位数．(用数字作
答)．
-100-
MST 一轮复习·达标训练
10.2 二项式定理与杨辉三角·达
标训练
1.如果1 + 2C 1
n + 22C 2
n +⋯+2nC n
n = 2187，则C 2
2 +
C2
3 +⋯+C2
n =
.
2. (2022• 上海) 在x3+ 1
x
12
的展开式中，则含
1
x4 项的系数为
．
3. (2025 天津) 在
x-1
6 的展开式中, x3 项的
系数为_____.
4. (2025 上海) 在二项式
2x-1
5 的展开式中，
x3 的系数为_____.
5.（多选）已知x- 1
3 x
n
n∈N ∗
的展开式中含
有常数项，则n 的可能取值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
6.若x+1
n的展开式中第3 项与第9 项的二项式
系数相等，则n =
7. (2019• 浙江) 在二项式( 2 + x)9 展开式中，常
数项是
，系数为有理数的项的个数是
．
8.在1+x
2+ 1+x
3+ 1+x
4+⋅⋅⋅+ 1+x
9+
1+x
10 展开式中，x2项的系数为
.
9. 2x-3
x-1
6展开式中x3的系数为(
)
A．-90 B．-30
C．30
D．90
10. (2022• 新高考Ⅰ) 1- y
x
(x + y)8 的展开式中
x2y6的系数为 (用数字作答)．
11.若二项式2- x
a
(1 - 2x)4的展开式中x3项的
系数是-58 , 则实数a 的值为( )
A．-2
B．2
C．-4
D．4
12.已知多项式x+2
2 x-1
4= a0+ a1x + a2x2+
a3x3+ a4x4+ a5x5+ a6x6，则a3=
，a1+ a2
+ a3+ a4+ a5+ a6=
．
13.(x + y - 1)6的展开式中xy2的系数为( )
A．-60
B．60
C．-120
D．120
14. x4-x- 1
x3
5
的展开式的常数项为
．
15.在(2x + y + z)5的展开式中，形如x3ymzn(m , n
∈N) 的所有项系数之和是
．
16. (2021• 浙江) 已知多项式(x - 1)3+ (x + 1)4=
x4+ a1x3+ a2x2+ a3x + a4，则a1=
；a2+
a3+ a4=
．
17.若1+x
6 1-2x
5= a0+ a1x + a2x2+⋯
+a11x11，则a1+ a2+ a3+⋯+a11=
；
a0+ a2+ a4+⋯+a10
．
18.在二项式2x-y
9的展开式中，求：
(1) 二项式系数之和；
(2) 各项系数之和；
(3) 所有偶数项系数之和；
(4) 系数绝对值之和.
19.（多选）已知
1-2x
6= a0+ a1x + a2x2+⋯⋯
+a6x6，则( )
A．a3= 160
B．a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6= 0
C．此二项式展开式的二项式系数和为64
D．此二项式系数最大项为第4 项
20.（多选）已知二项式3x+
x
n 的展开式中共
有7 项，则下列说法正确的有( )
A．n 为7
B．所有项的二项式系数和为32
C．二项式系数最大的项为第4 项
D．没有常数项
21.已知2x+ 1
x
n
的展开式的所有二项式系数之
和为64．
(1) 求该二项式及其展开式中的常数项；
(2) 求展开式中系数最大的项．
-101-
MST 一轮复习·达标训练
22.已知a = 1 + sin0.1，b = 1 + ln1.1，c = 1.0110，
则( )
A．a < b < c
B．b < a < c
C．c < a < b
D．b < c < a
23.已知a = 1 + C1
202 + C2
2022+ C3
2023+⋯+C20
20220，
则a 被10 除所得的余数为( )
A．9
B．3
C．
1
D．0
24. (多选) “杨辉三角”是二项式系数在三角形中
的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261 年
所著的《解析九章算法》一书中就有出现，比欧洲
早393 年发现．在“杨辉三角”中．除每行(不含
第0 行) 两边的数都是1 外．其余每个数都是其
“肩上”的两个数之和．例如：第4 行的6 为第3
行中两个3 的和．则下列说法正确的是( )
A．第6 行从左到右第3 个数是15
B．第n 行的所有数字之和为2n-1
C．第10 行所有数字的平方和等于C10
20
D．若第n 行的第i 个数记为ai，则
n+1
i=1
(2i-1⋅ai) =
3n
25.如图给出的三角形数阵是数学史上有名的杨辉
三角，图中虚线上的数1、3、6、10、…，依次
构成数列(an)，则1
a1
+ 1
a2
+ … +
1
a2026
= 4052
2027
．
-102-
MST 一轮复习·达标训练
11.1 条件概率与全概率公式·达标
训练
1．对于事件A、B，P(A) = 2
5 ，P(B|A) = 1
4 ，
P(A + B) = 1，则P(B) = ( )
A．0.7
B．0.75
C．0.85
D．0.9
2．小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打
车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮
挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误
的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是( )
A．1
10
B．1
9
C．1
8
D．3
10
3．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A 为“第一
次出现偶数点”，事件B 为“两次出现的点数和
为9”，则P(A|B) = ( )
A．1
9
B．1
18
C．1
3
D．1
2
4．在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同
学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深
入研究．事件A：甲、乙选择的专题不同；事件
B：乙、丙选择的专题相同，则P(B|A) = ( )
A．1
3
B．2
9
C．1
6
D．1
2
5．从编号1 ∼10 的10 张卡片中依次不放回地抽出
两张，记事件A：“第一次抽到数字为5 的倍
数”，事件B：“第二次抽到的数字小于第一
次”，则P(B|A) = ( )
A．1
5
B．5
18
C．13
18
D．13
90
6．对于事件A，B，P(A) = 3
5 ，P(B|A) = 1
6 ，
P AB
= 1，则P(B) = ( )
A．7
10
B．3
5
C．1
2
D．2
5
7．已知A，B 为样本空间中的两个随机事件，其
中P(A) = 2
3 , P(B|A) = 1
4 , P(B|A) = 1
2 ，则P
(B) = ( )
A．5
12
B．1
2
C．7
12
D．2
3
8．袋子中有8 个大小相同的小球，其中5 个红球，
3 个蓝球，每次从袋子中随机摸出1 个球，摸出的
球不再放回，则在第1 次摸到红球的条件下，第2
次摸到蓝球的概率为( )
A．5
8
B．3
8
C．3
7
D．2
7
9．(多选) 甲箱中有2 个红球和2 个白球，乙箱中
有2 个红球和2 个白球(两箱中的球除颜色外没有
其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，
分别用事件A1 和A2 表示从甲箱中取出的球是红球
和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B 表
示从乙箱中取出的两球都是红球，则( )
A．P(A1) = 1
2
B．P(B) = 1
5
C．P(B|A1) = 3
10
D．P A2|B)= 1
20
10．(多选) 设A，B 是一个随机试验中的两个事
件，且P(A) = 2
3 , P(B) = 1
2 , P(AB) = 1
4 ，则
( )
A．P(A) = 1
3
B．P(A + B) = 5
6
C．P(B|A) = 3
8
D．P(AB) = 5
12
11．(多选) 已知甲袋中有5 个红球，2 个白球和3
个黑球，乙袋中有4 个红球，3 个白球和3 个黑
球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以
A1，A2，A3 表示由甲袋取出的球是红球，白球，
黑球的事件，再从乙袋中随机取出1 球，以B 表示
事件；由乙袋取出的球是红球，则下列结论中正确
的是( )
A．P(B|A1) = 5
11
B．P(B) = 2
5
C．P(A1|B) = 5
9
D．P A2|B)= 6
55
-103-
MST 一轮复习·达标训练
12．(多选) 已知随机事件A，B 满足P(A) = 1
2 ,
P(B) = 2
3 ，P(B|A) = 3
4 ，则下列说法正确的是
( )
A．P(B) = 1
3
B．P(AB) = 1
3
C．P(A + B) = 19
24
D．P A|B)= 5
8
13．两个三口之家进行游戏活动，从6 人中随机选
出2 人，则这2 人来自同一个家庭的概率为2
5
；
若选出的2 人来自同一个家庭，游戏成功的概率
为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为
0.3，则游戏成功的概率为 ．
14．现有两个罐子，1 号罐子中装有3 个红球、2
个黑球，2 号罐子中装有2 个红球、3 个黑球．现
先从1 号罐子中随机取出一个球放入2 号罐子，再
从2 号罐子中取一个球，则从2 号罐子中取出的球
是红球的概率为 ．
15．已知某盒中装有6 个大小、质地一致的乒乓
球，其中有4 个新球(从未被使用过)2 个旧球，第
一次比赛时从此盒中任取2 个球来使用，赛后仍将
两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取2 个
球使用．
(i) 第二次比赛时取出的2 个球都是新球的概率为
4
25
；
(ii) 在第一次比赛时取出2 个旧球，赛后将两球放
回盒中的条件下，第二次比赛时取出的2 个球都是
新球的概率为 ．
11.2 离散型随机变量的分布列与
数字特征·达标训练
1．若随机变量X 服从两点分布，其中P(X = 0) =
2
3 ，则D(X) = ( )
A．1
9
B．2
9
C．1
3
D．2
3
2．离散型随机变量ξ 的取值为1，2，3，…，9，
P(ξ = k) = ak(k = 1，2，3，…，9)．若数列{ak}
为等差数列，则a5= ( )
A．1
5
B．1
9
C．1
10
D．1
19
3. 已知随机变量X，Y 均服从两点分布，且P(X
= 1) = 1
2 ，P(Y = 1) = 2
3 ，若P(X = 1 , Y = 1) =
2
5 ，则P(Y = 1|X = 0) = ( )
A．2
5
B．3
5
C．7
15
D．8
15
4．某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮
是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的
情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望
为( )
A．4
B．45
16
C．3
D．5
2
5．一袋子里装有大小、形状完全相同的3 个红
球、2 个白球和1 个黄球，共6 个球．现从袋中随
机不放回摸球，每次摸取1 个球，直到摸到红球为
止．记摸球的次数为X，则X 的数学期望E(X) =
( )
A．3
B．8
3
C．9
4
D．7
4
-104-
MST 一轮复习·达标训练
6．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，
规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负)，且每
一局甲赢的概率都是1
3 ，随机变量X 表示最终的
比赛局数，则( )
A．E(X) = 26
9 , D(X) = 8
81
B．E(X) = 26
9 , D(X) = 20
81
C．E(X) = 22
9 , D(X) = 8
81
D．E(X) = 22
9 , D(X) = 20
81
7．小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至
少戴一件，他每天戴帽子的概率为1
2 ，戴墨镜的
概率为4
5 ，各天穿戴的情况独立，X 表示他在20
天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望E(X)
= ( )
A．4 天
B．8 天
C．10 天
D．16 天
7．抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，
2，3，4，5，6 的正方体骰子，当出现6 点时，
就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则
在30 次试验中成功次数X 的均值和方差分别为
( )
A．5，25
36
B．5，25
6
C．10，25
6
D．10，25
36
9．设m ∈(0 , 1)，随机变量X 的分布列为
X
0
m
1
p
m
2
1
2
1-m
2
则( )
A．D(X) 在(0 , 1) 上单调递增
B．D(X) 在(0 , 1) 上单调递减
C．D(X) 的最小值为1
8
D．D(X) 的最大值为1
4
10．某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一
种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智
能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门
有2 名红色工牌员工、1 名蓝色工牌员工，乙部门
有2 名红色工牌员工、2 名蓝色工牌员工，系统执
行一次随机交换指令：从甲、乙2 个部门中随机各
选取1 名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工
牌员工的人数为X，则X 的期望为( )
A．7
4
B．5
3
C．11
6
D．13
6
11．某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的
数据．卫星每次过顶时，会发送10 个独立的数据
包．由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有
20% 的概率丢失(收不到)，有80% 的概率被成功
接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否
相互独立．随机变量X 表示卫星一次过顶中成功
接收的数据包个数，则E(3X - 2) = ( )
A．26
B．24
C．22
D．20
12．（多选）某单位有职工450 人，其中男职工
150 人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层
随机抽样的方法抽取了一个容量为90 的样本，得
出体重情况：男职工的平均体重为63kg，女职工
的平均体重为54kg．则下列说法正确的是( )
A．抽查的样本中女职工人数为30
B．该单位男职工的体重普遍比女职工重
C．估计该单位职工平均体重为58.5kg
D．男、女职工被抽中的可能性均为1
5
13．（多选）下列说法正确的有( )
A．从10 名男生，5 名女生中选取4 人，则其中至
少有一名女生的概率为4
13
B．若随机变量X ∼B 10, 1
3
，则方差D(3X + 2)
= 20
C．若随机变量X ∼N(1 , σ2)，P(X < 4) = 0.79，
则P(X ≤-2) = 0.21
D．已知随机变量X 的分布列为P(X = i) =
a
i(i+1) (i = 1 , 2 , 3)，则P(X = 2) = 2
9
-105-
MST 一轮复习·达标训练
14．（多选）下列结论正确的是( )
A．若随机变量X ∼N(3 , 4)，则P(X ≤-1) = P
(X ≥7)
B．已知随机变量X，Y 满足X + 2Y = 6，若X
∼B(4 , 0.5)，则E(Y) = 2，D(Y) = 0.25
C．这组数据：0，7，5，1，6，11，12 的第70
百分位数为6
D．离散型随机变量X 服从两点分布，且P(X =
0) = 2 - 3P(X = 1) = a，则a = 1
2
15．（多选）下列说法正确的是( )
A．随机事件A，B 相互独立的充要条件是P(AB)
= [1 - P(A)] ⋅P(B)
B．设X 为随机变量，则E(X2) = D(X) + [E(X)]2
C．若X ∼B 3, 1
3
，则E(X) = 1，D(X) = 2
D．若X ∼N(1，22)，记函数f(x) = P(X ≤x)，
x ∈R，则f(x) 的图象关于点1, 1
2
对称
16．（多选）设正整数n = a0 ⋅20 + a1 ⋅21 +⋯+a8 ⋅
28+ a9⋅29，其中ai ∈{0，1}，i = 0，1，2，
，
9，定义ω(n) = a0 + a1 ++ a9．设集合A = {n|ω(n)
= 2}，从A 中随机选取一个元素，记为X，则(
)
A．10 ∈A
B．A 中的元素个数为36
C．P(X ≥100) = 8
15
D．E(X) = 1023
5
17．（多选）下列有关说法正确的有( )
A．设随机变量ξ 服从正态分布N(μ , 2)，若P(ξ <
1) = P(ξ > 9)，则μ = 5
B．记两个变量的样本相关系数为r，若|r| 越接近
0，线性相关程度越强
C．已知随机变量ξ ∼B 4, 1
4
，则E(3ξ - 2) = 1
D．数据1，3，9，4，5，16，7，11 的下四分
位数为3.5
18．已知随机变量X 的分布列为P(X = k) = a
2k ,
k = 1 , 2 , 3 , 4，则P(2 ≤X ≤3) 的值为 ．
19．(2026• 呼和浩特期末) 设随机变量ξ 的概率分
布为P(ξ = k) =
a
k(k+1) ，k = 1、2、3、4、5，
则P(ξ = 3) =
．
20．已知随机变量X 的概率分布为P(X = n) =
a
n2+n (a ∈R , n = 1 , 2 , 3)，则a = ．
21．甲乙两个袋子，甲袋有1 白2 黑3 个球，乙袋
有2 个白球．现从两袋各取1 球，交换放入甲乙两
袋．如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，
则D(X) = 32
81
．
22．将(2 - x)4 二项展开式中的各项等可能地随机
重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相
邻，若存在，则记随机变量X = 1，否则记X = 0，
则E[X] =
．
23．设集合A = {n
n=a0⋅20+a1⋅21+⋯+a8⋅28+a9⋅29,ai∈{0,1},
i=0,1,2,⋯,9,
9
i=0
ai=3
，
从A 中随机选取一个元素，记为X，则X 的期望
为
．(结果用数值表示)
24．某学校组织了种类丰富的社团活动．某寝室6
名同学中，有2 人选择了其中的2 类，有3 人选择
了其中的3 类，有1 人选择了其中的4 类，现从这
6 人中随机选出2 人进行满意度测评．
(1) 求选出的2 人选择社团种类的个数相同的概率；
(2) 记选出的2 人选择社团种类的个数之和为X，
求X 的分布列和期望．
-106-
MST 一轮复习·达标训练
25．如今，AI 赋能快递行业，在揽派前端，圆通
的“业务员AI 助手”可实现批量外呼、分堆播报
等功能．圆通速递的AI 智能客服系统通过引入自
然员处理NLP 和机器学习技术，能高效处理查询、
理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担．通过
采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰
时，AI 智能客服的回答被采纳的概率为7
8 ；当输
入的问题表达不清晰时，AI 智能客服的回答被采
纳的概率仅为1
2 ．已知输入的问题表达不清晰的
概率为1
5 ，每次回答是否被采纳相互独立．
(1) 求AI 智能客服的回答被采纳的概率；
(2) 在某次测试中输入了3 个问题，设X 表示AI 智
能客服的回答被采纳的次数，求X 的分布列及期
望、方差；
(3) 公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随
机抽取了10 个问题，AI 智能客服的回答每被采纳
1 次计10 分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数
的总得分为Y，若E(Y) ≥75，则推广使用该功
能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由．
26．某校举办“数学文化节”，设有n 个不同主题
的展区(n ≥2)，每个展区有唯一的主题编号，分
别为1，2，…，n．游客从任一展区开始参观打
卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能
地随机选择一个作为下一个参观的展区．规定：若
连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观
者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者
参观完所有展区获得的纪念章枚数为X．
(1) 当n = 3 时，求参观者仅获得1 枚纪念章的概
率；
(2) 当n = 4 时，求参观者获得纪念章枚数X 的分
布列和数学期望；
(3) 设an 为n 个展区时参观者获得纪念章枚数X 的
期望值，求an 关于n 的表达式，并证明{an} 是递
增数列．
-107-
MST 一轮复习·达标训练
27．某种比赛采用“2n + 1 局n + 1 胜” (n ∈N *)
制(即累计先赢n + 1 局者获得本场比赛胜利)．在
该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲
获胜的概率为p，乙获胜的概率为1 - p(每局比赛
结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局)．
(1) 当n = 1 时，若p = 1
2 ，结束比赛时，比赛的局
数为X，求X 的分布列与数学期望；
(2) 如果选择以下方案中的一种：
方案一：若采用“5 局3 胜”制，甲累计先赢3 局
比赛结束的概率为P(A)．
方案二：设甲乙赛满5 局比赛，甲至少赢3 局比赛
的概率为P(B)．
比较P(A) 和P(B) 的大小；
(3) 记“2n - 1 局n 胜” (n ∈N *) 制比赛中甲获得
最终胜利的概率为p1，记“2n + 1 局n + 1 胜”
(n ∈N *) 制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得
最终胜利的概率为p2，证明：p1 - p2 = C n
2n-1pn(1
- p)n．
11.3 常见分布·达标训练
1．若随机变量X ∼B(5 , 0.4)，则D(3X - 5) =
(
)
A．1.2
B．3.6
C．5.8 D．10.8
2．随机变量X ∼B(4 , p)，若P(X ≥1) = 65
81 ，则
D(X) = ( )
A．32
81
B．16
27
C．8
9
D．64
243
3．下列说法正确的是( )
A．某单位有男职工60 人，女职工40 人，其中男
职工平均年龄为36 岁，女职工平均年龄为30 岁，
则该单位全体职工的平均年龄是33 岁
B．将4 封不同的信全部投入3 个邮筒，共有64 种
不同的投法
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越
接近于1
D．某人每次投篮的命中率为3
5 ，现投篮5 次，设
投中次数为随机变量Y，则E(2Y + 1) = 7
4．下列说法错误的个数为( )
①若随机变量X 服从两点分布(或0 - 1 分布)，且
E(X) = 1
2 ，则D(X) = 1
8 ；
②要将4 个不同的礼物分给3 位同学，每人至少1
个，不同分法的种数是36 种；
③同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A 为第
一枚骰子投出的点数为奇数，事件B 为两枚骰子
点数之和为8，则P(B|A) = 1
9 ；
④某人射击1 次，未击中目标的概率为0.2，连续
射击10 次，设击中目标的次数为Z，且每次射击
相互没有影响，则Z ∼B(10 , 0.8)．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．某人在n 次射击中击中目标的次数为X，且X
∼B(n , 0.8)，记Pk = P(X = k)，k = 0，1，2，
，n，若P7 是唯一的最大值，则n 的值为
(
)
A．7
B．8
C．9
D．10
-108-
MST 一轮复习·达标训练
6．某市高二学生参加2026 年4 月期中考试，数学
成绩近似服从正态分布N (105 , 100)，全市共有
10000 名考生，据此估计，该市期中考试数学分数
X 介于75 到115 之间的人数为( )
参考数据：若X ∼N(μ , σ2)，则P(μ - σ < X < μ
+ σ) ≈0.6827，P(μ - 2σ < X < μ + 2σ) ≈0.9545，
P(μ - 3σ < X < μ + 3σ) ≈0.9973．
A．6636
B．8186
C．8400
D．9759
7．若随机变量X 服从正态分布N(1 , σ2)，且P(1 <
X ≤1.5) = 0.36，则P(X > 0.5) = ( )
A．0.86
B．0.72
C．0.36
D．0.14
8．已知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服
从正态分布，甲班成绩X ∼N(μ1，σ2
1)，乙班成绩
Y ∼N (μ2，σ2
2)，其密度曲线如图所示，则有(
)
A．μ1< μ2且σ1< σ2
B．μ1> μ2且σ1> σ2
C．P(X ≤70) = P(Y ≥75)
D．P(X ≥75) > P(Y ≥75)
9．已知随机变量ξ ∼N (2 , σ2)，且P(ξ ≤a - 3b)
= P(ξ ≥b)，则当b < x < a
2 时，
1
a-2x +
1
x-b
的最小值为( )
A．1+
2
4
B．3+2 2
4
C．7
4
D．9
4
10．下列结论中错误的是( )
A．在回归模型中，决定系数R2越大，则回归拟
合的效果越好
B．样本数据2x1+ 1，2x2+ 1，
，2x9+ 1 的方
差为8，则数据x1，x2，
，x9的方差为2
C．若随机变量X 服从正态分布N(3 , σ2)，且P
(X ≤4) = 0.6，则P(3 < X < 4) = 0.2
D．具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归
方程为y= 0.4x - m，若样本点中心为(m , 3)，则
m =-5
11．(多选) 下列说法正确的是( )
A．数据1，3，3，5，5，5，7，9，11 的第80
百分位数为9
B．样本数据的相关系数r 越大，成对数据的相关
程度也越强
C．随机变量X ∼B 8, 3
4
，则方差D(2X + 1) =
6
D．随机变量X ∼N(2 , σ2)，则当σ 变化时，P(1
< X < 2) + P(X > 3) 为定值
12．(多选) 若X1 与X2 是相互独立的随机变量，均
服从二项分布，且X1 ∼B(n1，p)，X2 ∼B(n2，
p)，其中n1 ∈N *，n2 ∈N *，0 < p < 1，则下列说
法中正确的是( )
A．E(X1) = n1p
B．D(X1) = (1 - p)E(X1)
C．令X = X1+ X2，则X ∼B(n1+ n2，p2)
D．若k ∈N *，n ∈N *，满足n - n2≤k ≤n1，则
有P X1=k|X1+X2=n)= Ck
n1Cn-k
n2
Cn
n1+n2
13．(多选) 下列说法正确的是( )
A．设随机变量X 服从二项分布B 6, 1
2
，则P
(X = 3) = 5
16
B．若P(AB) = 0.5 , P(AB) = 0.2，则P(B) = 0.3
C．甲、乙、丙三人均准备在3 个旅游景点中任选
一处去游玩，则在至少有1 个景点未被选择的条件
下，恰有2 个景点未被选择的概率是1
7
D．E(2X + 3) = 2E(X) + 3，D(2X + 3) = 2D(X)
+ 3
-109-
MST 一轮复习·达标训练
14．(多选) 某自动流水线生产的一种新能源汽车
零配件产品的质量X(单位：g) 服从正态分布N(μ
, σ2)，且P(X < 14) = 1
8 ，P(X ≤18) = 7
8 ．从该
流水线上随机抽取4 件产品，这4 件产品中质量X
在区间[14，18] 上的件数记为ξ，则( )
A．μ = 16
B．P(14 ≤X ≤18) = 3
4
C．P(ξ = 1) = 27
64
D．E(ξ) = 3
15．(多选) 已知连续型随机变量Y 服从正态分布
N(2，22)，记函数f(x) = P(x ≤Y ≤x + 2)，g(x)
= P(Y ≥x)，则() (注：若X ∼N (μ , σ2)，则P(μ
- σ ≤X ≤μ + σ) ≈0.68，P(μ - 2σ ≤X ≤μ + 2σ)
≈0.95)
A．f(2) ≈0.34
B．g(0) = 0.5
C．f(x) 的图象关于直线x = 1 对称
D．g(x) 的图象关于点1, 1
2
对称
16．(多选) 李明上学有时坐公交车，有时骑自行
车．他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的
时间，经数据分析后得出坐公交车用时X 和骑自
行车用时Y 都服从正态分布，利用信息技术工具
画出X 和Y 的分布密度曲线(如图)，如果某天有
kmin 可用，根据图中信息李明选择坐公交去学
校，k 取值可以是( )
A．26
B．29
C．38
D．40
17．设随机变量X 服从二项分布B(2 , p)，随机变
量Y 服从二项分布B(4 , p)，若P(X ≥1) = 5
9 ，
则P(Y ≥2) =
．
18．在一个盒子中装有4 张卡片，卡片上的编号依
次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m 次卡
片，每次仅抽取1 张，记这m 次抽取的卡片的最
大编号为X，则使得E(X) ≥13
4 成立的最小的m
的值为 ．
19．50 张彩票中只有2 张中奖票，今从中任取n
张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大
于0.5，n 至少为 ．
20．某电子管正品率为3
4 ，次品率为1
4 现对该批
电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P
(X = 3) = ．
U. 随机变量X 的概率密度函数f ( x ) =
1
σ 2π e
- (x-1)2
2σ2 (x ∈R)，设P(X ≥2) = 0.2，
则P(0 ≤X ≤1) = ．
22．某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，
其设计标准直径μ 为10.00mm，根据长期生产数
据，该活塞销的实际直径服从正态分布，标准差σ
为0.02mm，规定：活塞销的直径在9.96mm 到
10.04mm 之间为合格品．随机抽取一个活塞销，
其为合格品的概率是 ．(结果保留三位小数)
参考数据：若随机变量X ∼N (μ , σ2)，则P(μ - σ
< X ≤μ + σ) ≈0.683，P(μ - 2σ < X ≤μ + 2σ) ≈
0.954，P(μ - 3σ < X ≤μ + 3σ) ≈0.997．
23．一批电阻的阻值X(单位：Ω) 服从正态分布N
(1000，52)，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一
只电阻，测得阻值分别为1011Ω 和982Ω，可以认
为 .(填写所有正确结论的序号)
①甲、乙两箱电阻均可出厂；
②甲、乙两箱电阻均不可出厂；
③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；
④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂．
-110-
MST 一轮复习·达标训练
24．甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮
活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对
的概率都为1
2 ．甲如果第k(k ∈N *) 轮猜对，则他
第k + 1 轮也猜对的概率为2
3 ，如果第k 轮猜错，
则他第k + 1 轮也猜错的概率为2
3 ；乙如果第k 轮
猜对，则他第k + 1 轮也猜对的概率为1
3 ，如果第
k 轮猜错，则他第k + 1 轮也猜错的概率为1
3 ．在
每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响．
(1) 求第二轮活动中甲乙都猜对成语的概率；
(2) 若一条信息有n(n > 1 , n ∈N *) 种可能的情形
且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为P1，
P2，
，Pn，则称H =-
n
i=1
(Pilog2Pi) 为该条信息
的信息熵(单位为比特)，用于量度该条信息的复杂
程度．试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个
数X 的信息熵H；
(3) 如果“星队”共参加了n(n ∈N *) 轮猜成语活
动，设在这n 轮活动中，每轮活动至少有一人猜对
成语的轮数为随机变量Y，求E(Y)．
25．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型
分布．若随机变量X 服从参数为λ(λ > 0) 的泊松分
布(记作X ∼P(λ))，则其概率分布为P(X = k) =
λk
k! e-λ , k ∈N，其中e 为自然对数的底数．
(1) 当λ ≥20 时，泊松分布可以用正态分布来近似，
当λ ≥50 时，泊松分布基本上就等于正态分布，
此时可认为X ∼N (λ , λ)．若X ∼P(81)，求P(90
< X < 99) 的值；
(2) 设X ∼B(n , p)，当p ≤0.05 且n ≥20 时，二
项分布可近似看作泊松分布，即P(X = k) = C k
npk
(1 - p)n-k≈λk
k! e-λ , k ∈N，其中λ = E(X)．
某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件
是否为次品相互独立，记X 为产品中的次品数，
按泊松分布近似计算．
(i) 这1000 件产品中恰有2 件次品的概率；
(ii) 求使得P(X = i) 最大时的i 值．
(参考数据：e-3≈0.05；若X ∼N(μ , σ2)，则有P
(μ - σ < X < μ + σ) ≈0.6827，P(μ - 2σ < X < μ
+ 2σ) ≈0.9545，P(μ - 3σ < X < μ + 3σ) ≈0.9973)
-111-
MST 一轮复习·达标训练
26．已知甲口袋有m(m ≥1 , m ∈N *) 个红球和2
个白球，乙口袋有n(n ≥1 , n ∈N *) 个红球和2 个
白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2 次，每次
摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2
次，每次摸出一个球．
(1) 当m = 4，n = 2 时，
(i) 求小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球的概率；
(ii) 设小明4 次摸球中，摸出白球的个数为X，求
X 的数学期望；
(2) 当m = n 时，设小明4 次摸球中，恰有3 次摸
出红球的概率为P，则当m 为何值时，P 最大？
27．某款产品的尺寸误差X(单位：μm) 服从正态
分布N(0，102)，若一件产品的尺寸误差的绝对值
不小于19.6μm，则认为该件产品不合格．
(1) 任取一件产品，求这件产品不合格的概率；
(2) 在计算二项分布的概率时，若重复性试验的次
数很多且每次试验事件发生的概率很小，则可利用
泊松分布代替二项分布进行近似计算．设随机变
量ξ 服从二项分布B(n , p)，若n ≥20，且p ≤
0.1，则P(ξ = k) ≈λke-λ
k!
，k = 0，1，…，n，其
中λ = E(5)．
现对某一批产品抽取40 件进行检测，若不合格产
品超过3 件，则认为这批产品不合格．估算这批产
品不合格的概率(精确到0.01)．
附：若X ∼N (μ , σ2)，则P(|X - μ| < 1.96σ) =
0.95；e2= 7.389…
-112-
MST 一轮复习·达标训练
28．某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防
治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表
明，该地区整个冬季的流感患病率是52.28%，至
冬季结束仍然有95% 的居民未接种疫苗，这些没
有接种过流感疫苗的居民的患病率为55%．
(1) 现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这
人患病的概率；
(2) 已知泊松分布的概率分布列为P(X = k) =
λk
k! e-λ(k = 0 , 1 , 2 , …)，其中e 为自然对数的底
数，λ 是泊松分布的均值．若随机变量X 服从二项
分布，当n ≥100 且p ≤0.01 时，二项分布近似于
泊松分布，其中λ = np，即X ∼B(n , p)，P(X =
i) = e-np(np)i
i!
(i ∈N )．现从该地区接种疫苗的人
群中随机抽取1000 人，按上述泊松分布近似计算：
①求1000 人中流感的患病率小于0.3% 的概率约为
多少；
②设1000 人中患流感的人数为X，求使得P(X =
i) 最大时的X 值．
(参考数据：e-6≈0.0025)
11.4 成对数据的统计分析·达标
训练
1．林林是一名大学生返乡创业者，带领自己的助
农直播团队通过线上平台销售家乡特色血橙．团队
对销售数据和促销方案进行了分析，发现血橙日销
售量y(吨) 与直播时长x(小时) 之间存在较强的线
性相关关系．现抽取五场直播数据，根据下表样本
数据：
x
2
3
4
5
6
y
2
4
6
8.5
11.5
得到的线性回归方程为y= bx + a，则( )
A．a> 0，b< 0
B．a< 0，b< 0
C．20b+ 5a= 32
D．4b+ a= 32
2．(2026• 萍乡二模) 为了研究y 与x 的线性相关
关系，某同学收集了5 组样本数据(如下表)，利用
最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为y= ax
+ 1，则下列说法正确的是( )
x
1
2
3
4
5
y
2
4
5.5
9
7
A．a= 2.5
B．这5 组样本数据中，y 的40% 分位数为4
C．当x = 6 时，y 的预测值为10
D．去掉样本点(3 , 5.5) 后，x 与y 的样本相关系
数r 必会改变
3．为研究蔬菜植株感染红叶螨能否引起植株形成
某种抗体，使用2 × 2 列联表独立性检验．随机抽
取一定量植株，获得观察数据，制作2 × 2 列联表．
提出原假设H0；感染与形成抗体______；确
定显著性水平α = 0.05；若计算得χ2 ≈0.057；依
据P(χ2 ≥3.841) ≈0.05，从而______ 原假设，
即得统计决断．( )
A．有关；拒绝
B．有关；接受
C．无关；拒绝
D．无关；接受
4．用模型y = a ⋅ekx(a > 0) 拟合一组数据，令z =
lny，若根据样本数据计算可得x= 4.04，z= 1.1，
且x 与z 的经验回归方程为z = 0.5x + m，则a ≈
(
) (参考数据ln0.3 ≈-1.2，ln0.4 ≈-0.92)
A．1.2
B．0.92
C．0.3
D．0.4
-113-
MST 一轮复习·达标训练
5．现有10 个样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，
(x10，y10)，可得经验回归方程为y= 3x + 1，且x
= 1，若去掉一个数据点(1 , 13) 后，可以得到新的
经验回归方程为y= bx + 2，则实数b的值为(
)
A．1
B．
2
C．
3
D．2
6．已知一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，
y3)，…，(x12，y12)，画出相应散点图，发现变量
x，y 有较强的线性关系，利用最小二乘法得其回
归方程为y= 2x - 6．若y1 + y2 + y3 + … +y12 =
24，则x1+ x2+ x3+ … +x12 = ( )
A．-24
B．4
C．15
D．48
7．下列说法中错误的是( )
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9 的第80 百
分位数是8
B．线性回归直线y = ax + b一定经过样本点的中
心(x, y)
C．两个随机变量相关系数r 越小，表明两个变量
相关性越弱
D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果
越好
8．下列说法中，错误的有( )
①回归直线y= bx + a恒过点(x, y)，且至少过一
个样本点；
②根据2 × 2 列联表中的数据计算得出χ2 ≥6.635，
而P(χ2 ≥6.635) ≈0.01，则有99% 的把握认为两
个分类变量有关系，即有1% 的可能性使得“两个
分类变量有关系”的推断出现错误；
③在做回归分析时，可以用决定系数R2 刻画模型
的回归效果，若R2 越大，则说明模型拟合的效果
越好；
④某项测量结果ξ 服从正态分布N(1 , σ2)，若P(ξ
≤5) = 0.81，则P(ξ ≤-3) = 0.19
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．(多选) 某社会机构统计了某市四所大学2024 年
毕业生人数及自主创业人数如表：
A 大学
B 大学
C 大学
D 大学
毕业生
人数
x(千人)
3
4
5
m
自主创
业人数
y(千人)
0.1
0.2
0.4
0.5
根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数
的经验回归方程为y= 0.14x - 0.33，则( )
A．y 与x 正相关
B．m = 6
C．当x = 3 时，残差为-0.01
D．样本的相关系数r 为负数
10．(多选) 下列命题成立的是( )
A．已知ξ ∼N(0 , 1)，若P(ξ > 1) = p，则P(-1
≤ξ ≤0) = 1
2 - p
B．若一组样本数据(xi，yi) (i = 1，2，3，n) 对
应的样本点都在直线y =-2x + 3 上，则这组样本
数据的相关系数r 为-1
C．以模型y = cekx去拟合一组数据时，为了求出
回归方程，设z = lny，求得线性回归方程为z=
0.3x + 4，则c，k 的值分别是4 和0.3
D．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量χ2
来说，χ2值越大，判断“X 与Y 有关系”的把握
性越小
11．(多选) 某公司统计了去年1 月份到5 月份某种
产品的销售额如下表：
月份x
1
2
3
4
5
销售额y/ 万元
1.8
2.2
t
2.8
3.1
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方
程为y= 0.32x + 1.54，则( )
A．变量y 与x 正相关
B．t = 2.6
C．样本数据y 的下四分位数为1.8
D．当x = 8 时，y 的预测值为4.1 万元
-114-
MST 一轮复习·达标训练
12．(多选) 下列说法正确的是( )
A．两点分布中，p = 1
2 时，方差最大
B．设10 件产品中有3 件次品，从中抽取2 件进行
检查，则查得次品的均值为0.6
C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联
性，如果把2 × 2 的列联表中所有的数据都扩大为
原来的10 倍，在相同的检验标准下，结论不受任
何影响
D．由两个分类变量X，Y 的成对样本数据计算得
到χ2= 8.612，依据α = 0.001 的独立性检验(χ2
0.001
= 10.828)，可判断X 与Y 独立
13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体
重W(单位：克) 与心率f(单位：次/ 分钟) 的对应
数据(Wi，fi) (i = 1，2，…，8)．根据生物学常
识和散点图得出f 与W 近似满足f = cW k(c，k 为
参数)．令xi = lnWi，yi = lnfi，计算得x= 8，y
= 5．由最小二乘法得经验回归方程为y= bx +
7.4，则k 的值为
．
14.某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产
某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘
制了2 × 2 列联表，设原假设H0：两种不同的操作
方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出
统计量χ2 = 5.284，已知P(χ2 ≥3.841) ≈0.05，则
在显著性水平α = 0.05 下，
推断的结论为
H0．(用“拒绝”或“接受”
填空)
15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件
所花费的时间，为此进行了5 次试验．得到数据如
下表：
零件个数x
10
20
30
40
50
加工时间
y(min)
53
65
71
76
85
根据上表可得经验回归方程y= bx + a中的b=
0.75，则经验回归方程y= bx + a中a= ；
据此估计，加工的零件个数为60 时所花费的时间
为 min．
16．某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平
面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检
任务，在某次巡检的路径中经过了点：(-3 ,-2)、
(-2 , m)、(-1 ,-2)、(0 ,-1)、(1 , 0)、(2 , 1)、
(3 , 2)，若该机器人经过的点的纵坐标y 关于横坐
标x 的一元线性回归方程是y = 11
14 x - 5
7 ，则m
的值为 ．
17．为了研究某班学生的听力成绩x(单位：分) 与
笔试成绩y(单位：分) 的关系，从该班随机抽取
20 名学生，根据散点图发现x 与y 之间有线性关
系，设其回归直线为y= bx + a，已知
20
i=1
x i =
400，
20
i=1
yi = 1560，a=-2，若该班某学生的听力
成绩为28，据此估计其笔试成绩约为 ．
-115-
MST 一轮复习·达标训练
18．2025 年，我国能源安全保障能力再上新台阶，
全口径发电量占全球总发电量的30.4%，稳居世界
第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定
保障．某学习小组收集了2021 年至2025 年我国全
口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表
格和散点图．
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
x
1
2
3
4
5
我国全口
径发电量
y
(单位：万
亿千瓦时)
8.52
8.85
9.46
10.09
10.58
(1) 由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x
的关系，请用相关系数加以说明；
(2) 建立y 关于x 的经验回归方程，并预测2026 年
我国全口径发电量．
参考数据：y= 9.5，
5
i=1
(yi - y)2 = 2.9，
5
i=1
xiyi =
147.86，
29 ≈5.39．
参考公式：回归方程y= bx + a中斜率和截距的最
小二乘估计公式分别为：b=
n
i=1
(xi-x)(yi-y)
n
i=1
(xi-x)2
=
n
i=1
xiyi-nxy
n
i=1
x2
i -nx2
, a= y- bx，相关系数r =
n
i=1
(xi-x)(yi-y)
n
i=1
(xi-x)2
n
i=1
(yi-y)2
．
-116-
MST 一轮复习·达标训练
19．为研究昼夜温差(单位：°C) 与某植物种子当
日的百粒发芽数(单位：粒) 之间的关系，实验室
记录了6 天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽
数，如表所示：
日期编
号i
1
2
3
4
5
6
温差xi
9
13
11
15
10
14
百粒发
芽数yi
23
28
26
31
25
29
(1) 根据表中的数据，计算样本相关系数(精确到
0.01)；
(2) 求百粒发芽数y 关于温差x 的经验回归方程，
并估计昼夜温差为17°C 时，这种植物种子当日的
百粒发芽数．
参
考
公
式
：
相
关
系
数
r
=
n
i=1
(xi-x)(yi-y)
n
i=1
(xi-x)2
n
i=1
(yi-y)2
，
b=
n
i=1
(xi-x)(yi-y)
n
i=1
(xi-x)2
, a= y- bx．
参考数据：
6
i=1
(xi - x) (yi - y) = 34，
6
i=1
(xi - x)2
= 28，
6
i=1
(yi - y)2= 42，
6 ≈2.45．
20．人工智能技术(简称AI 技术) 已成为引领世界
新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速
在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例
外．某市教体局为调查本市中学教师使用AI 技术
辅助教学的情况，随机抽取了该市120 名中学教
师，统计了他们一个月内使用AI 技术帮助制作课
件的情况，并将一周内使用AI 技术帮助制作课件
的节次不少于4 次的认定为喜欢使用AI 技术，否
则认定为不喜欢使用AI 技术，经统计得到如下列
联表．
年龄
是否喜欢使
用AI 技术
合计
是
否
不超过
45 岁
46
14
60
超过45
岁
32
28
60
合计
78
42
120
(1) 依据小概率值α = 0.01 的独立性检验，能否认
为该市中学教师是否喜欢使用AI 技术与年龄有关；
(2) 将频率视为概率，现从所抽取的120 名中学教
师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI 技术的教
师的条件下，求此人年龄超过45 岁的概率．
附：χ2 =
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n = a
+ b + c + d．
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
-117-
MST 一轮复习·达标训练
21．为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学
习的影响，在高一年级随机抽取6 名学生，对其入
学的数学成绩x(分) 和高一第一学期期末考试数学
成绩y(分) 进行了统计，如下表：
中考数
学成绩
x
50
60
70
80
90
10
0
高一第
一学期
期末数
学成绩
y
65
80
95
105
120
13
0
(1) 规定高一期末数学成绩不低于90 分为及格，不
低于120 分为优秀，从所抽取的6 人中随机选取1
人，记A 为“学生的高一第一学期期末数学成绩
及格”，B 为“学生的高一第一学期期末数学成
绩优秀”，求P(B|A)；
(2) 由散点图可知y 与x 之间具有线性相关关系，
求y 关于x 的经验回归方程并估计某中考数学成绩
为110 分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩
(成绩保留整数，采用四舍五入法)．
附：经验回归模型y= bx + a中，b=
n
i=1
xiyi-nx⋅y
n
i=1
x2
i -nx2
, a= y- bx；
参考数据：
6
i=1
xiyi = 46900 ,
6
i=1
x2
i = 35500．
-118-
MST 一轮复习·达标训练
12 复数·达标训练
1.已知i 是虚数单位，复数1 + i5的虚部为( )
A．-1
B．0
C．1
D．i
2. a = 0 是复数a + bi(a , b ∈R) 为纯虚数的( )
条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
3.已知a，b ∈R，a + 3i = (b + i)i(i 为虚数单位)，
则( )
A．a = 1，b =-3
B．a =-1，b = 3
C．a =-1，b =-3
D．a = 1，b = 3
4. (2019• 新课标Ⅱ) 设z = i(2 + i)，则z= ( )
A．1 + 2i
B．-1 + 2i
C．1 - 2i
D．-1 - 2i
5. (2021• 新高考Ⅰ) 已知z = 2 - i，则z(z+ i) =
( )
A．6 - 2i
B．4 - 2i
C．6 + 2i
D．4 + 2i
6. (2022• 新高考Ⅰ) 若i(1 - z) = 1，则z + z= (
)
A．-2
B．-1
C．1
D．2
7.若复数z = 1 + i，则(z + 2)i = ( )
A．-1 + 3i
B．-1 - 3i
C．1 + 3i
D．1 - 3i
8. (多选) 设z，z1，z2是复数，则( )
A．若|z| = 2，则z2= 4
B．若z1= z2
，则z2= z1
C．若z2≠0，则z1
z2
= |z1|
|z2|
D．若z + z= 0，则z 为纯虚数
9. (2018• 新课标Ⅰ) 设z = 1-i
1+i + 2i，则|z| = (
)
A．0
B．1
2
C．1
D．
2
10. (2017• 山东) 已知a ∈R，i 是虚数单位，若z
=
3 + ai，|z| = 2，则a = ( )
A．
7 或- 7
B．1 或-1
C．2
D．-2
11. (2021• 新高考Ⅱ) 复数2-i
1-3i 在复平面内对应
点所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
12. 18 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标
平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几
何意义，例如|z| = |OZ|，也即复数z 的模的几何
意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满
足|z| = 2，则|z - 3 - 4i| 的最大值为( )
A．3
B．5
C．7
D．9
13. (多选) 已知i 为虚数单位，以下四个说法中正
确的是( )
A．i + i2+ i3+ i4= 0
B．3 + i > 1 - i
C．若z = (1 + 2i)2，则复数z 对应的点位于第四象
限
D．已知复数z 满足：|z - 2i| = 3，则z 在复平面
内对应的点的轨迹为圆
14.任意复数z = a + bi(a，b ∈R，i 为虚数单位)
都可以写成z = r(cosθ + isinθ) 的形式，其中r =
a2+b2，(0 ≤θ < 2π) 该形式为复数的三角形式，
其中θ 称为复数的辐角主值．若复数z =
3
2
+
1
2 i，则z 的辐角主值为( )
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
15.已知复数z = cosθ + isinθ(i 为虚数单位)，则
( )
A．|z| =
2
B．z2= 1
C．z ⋅z= 1
D．z + 1
z 为纯虚数
-119-
MST 一轮复习·达标训练
16.任意一个复数z 都可以表示成三角形式，即a
+ bi = r(cosθ + isinθ)．棣莫弗定理是由法国数学
家棣莫弗(1667 - 1754 年) 创立的，指的是：设两
个复数(用三角函数形式表示)z 1 = r 1( cos θ 1 +
isinθ1)，z2 = r2(cosθ2 + isinθ2)，则：z1z2 = r1r2
[cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2)]”，已知复数z = 1
2
+
3
2 i，则z17 + z = ．
17. n 元向量(n - tuplevector) 也叫n 维向量，是
平面向量的推广，设n 为正整数，数集P 中的n 个
元素构成的有序组(a1，a2，
，an) 称为P 上的
n 元向量，其中ai(i = 1，2，
，n) 为该向量的
第i 个分量．n 元向量通常用希腊字母α, β, γ等表
示，如α= (a1 , a2 ,⋯, an) , P 上全体n 元向量构成
的集合记为Pn．对于α, β∈Pn , n ∈N *，记α=
(a1, a2,⋯, an) , β= (b1, b2,⋯, bn)，定义如下运算：
加法法则α+ β= (a1 + b1 , a2 + b2 ,⋯, an + bn)，模
公式||α|| =
n
i=1
a2
i =
a2
1+a2
2+⋯+a2
n ，内积α⋅β
=
n
i=1
aibi = a1b1 , a2b2 , … , anbn，设α, β的夹角为
θ，则cosθ =
α⋅β
||α||⋅||β||
．
(1) 设α, β∈Pn , n ≥3 , n ∈N * , α= (1 ,-1 , 1 , 1 ,
⋯, 1) , β= (-1 , 1 , 1 ,⋯, 1)，解决下面问题：
①求||α+ β||；
②设α与α+ β的夹角为θ，求cosθ；
(2) 对于一个n 元向量α= (a1 , a2 ,⋯, an)，若|ai| =
1(i = 1，2，
，n)，称α为n 维信号向量．规定
α⋅β= 0 ⇔α⊥β，已知k 个两两垂直的120 维信号
向量α1
, α2
,⋯, αk
满足它们的前m 个分量都相同，
证明：
km < 11．
18.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对
表示向量．类似的，我们可以把有序复数对(z1，
z2) (z1，z2 ∈C) 看作一个向量，记a= (z1，z2)，
则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，
对于a= (z1，z2)，b= (z3，z4)，z1、z2、z3、
z4、λ ∈C，我们有如下运算法则：①a± b= (z1
± z3，z2 ± z4)；②λa= (λz1，λz2)；③a⋅b= z1z3
+ z2z4
④|a| =
a⋅a．
(1) 设a= (i , 1 + i)，b= (2 , 2 - i)，求a+ b和a⋅
b．
(2) 由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比
得到复向量的相关结论：
①a⋅b= b⋅a②a⋅(b+ c) = a⋅b+ a⋅c；
(3) (λa) ⋅b= a⋅(λb)．
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以
证明．
(3) 若a= (2i , 1)，集合Ω = {p|p= (x , y) , y = 2x
+ 1 , x , y ∈C}，b∈Ω．对于任意的c∈Ω，求出
满足条件(a- b) ⋅(b- c) = 0 的b，并将此时的b记
为b0
，证明对任意的b∈Ω，不等式|a- b| ≥|a-
b0
| 恒成立．
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的
命题(不需要证明)．
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