参考答案
1.1 集合
1. 【解析】集合{x，x2 - 1，2} 中，由互异性可
知，x ≠2，或x2- 1 ≠2 或x ≠x2- 1，
得x ≠2 或x ≠± 3 或x ≠1±
5
2
．故选：C．
2. 【解析】由2x+y=6
x-y=3
，解得x=3
y=0
，
所以A = {(3 , 0)}．故选：B．
3. 【解析】A = {(0 , 0)，(0 , 1)，(0 ,-1)，(1 ,
0)，(-1 , 0)，(2 , 0)，(-2 , 0)，(1 , 1)，(1 ,-1)，
(-1 , 1)，(-1，-1}，共11 个元素．故选：C．
4. 【解析】由题可知M = {x ∈N 4
x ∈N
= {1，
2，4}，则2 ∈M ，B 选项正确，8 ∉M ，A 选项
错误，M 的子集个数为8，C 选项错误，D 选项
正确．故选：BD．
5. 【解析】因为集合A = {x|x ≥1}，B = {x|x >
2}，所以B ⊊A，所以x ∈A，x ∈B，故A 正确，
C 错误；所以∀x ∈B，x ∈A，故B 错误；所以x
∈A，x ∉B，故D 错误．故选：A．
6. 【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，当n = 0 时，m +
5 n = m -
5 n，则
AB ≠，A 正确．对于B，设a = m1 +
5 n1 , b
= m2 -
5n2 , m1，m2 ∈Z，n1，n2 ∈N，则a + b
= m1 + m2 +
5 (n1 - n2) , m1 + m2 ∈Z , n1 - n2 未
必属于N ，B 错误．对于C、D，ab = m1m2 -
5n1n2+
5(m2n1- m1n2)，因为m1，m2∈Z，n1，
n2 ∈N ，所以m1m2 - 5n1n2 ∈Z，m2n1 - m1n2 ∈
Z ，所以ab ∈AB
，D 正确．a + b = (m1 +
m2) +
5 (n1 - n2)，易得ab ∈AB
，C 正确．
故选：ACD．
7. 【解析】集合A = {x| -5 < x3 < 5}，B = {-3，
-1，0，2，3}，(-3)3 =-27，(-1)3 =-1，03 =
0，23 = 8，33 = 27，则AB = {-1，0}．故选：
A．
8. 【解析】当x ≥0 时，
x2 = x，当x < 0 时，
x2 > x，故A = {x|x < 0}，故A 错误，C 错误；
因为
3 x3 = x 对∀x ∈R 都成立，
所以集合B =，故B 正确，D 错误．故选：B．
9. 【解析】因为A = {x ∈N|0 < x < 3} = {1，2}，
集合元素个数为2，所以集合A 的子集个数为22 =
4．故选：C．
10. 【解析】集合M = {x|x2 - x - 6 < 0} = {x|(x +
2) (x - 3) < 0} = (-2，3)，N = {x|
2
log x ≤2} =
{x|
2
log x ≤
2
log 4} = (0，4]，则M N = (0 , 3)，
M
N
=
( - 2 ，
4 ] ，故
P
=
{x x∈M N，x∉M N
= (-2，0][3，4]．
故选：D．
11. 【解析】对于集合A = {x|x = 2k + 1，k ∈N}，
当k = 2n(n ∈Z) 时，x = 4n + 1，当k = 2n + 1(n
∈Z) 时，x = 4n + 3，所以BA，且A ≠B，所以
AB = B．故选：B．
12. 【解析】k ∈Z，k = 2n - 1 或2n，且n ∈Z，
∴M = {x|x = n
2 + 1
4 , 或x = n
2 + 1
2 , n ∈Z}，∴
NM．故选：B．
13. 【解析】由题意可知，集合A = {x||x| < 1} =
{x| -1 < x < 1}，B = {x||x| >-1} = R，
所以AB，故A 正确；所以AB = {x| -1 < x <
1} R = R，故B 错误，C 正确；所以A B =
{x| -1 < x < 1}R = {x| -1 < x < 1} = A，故D
正确．故选：B．
14. 【解析】集合A = {x ∈R 1
x <1
= {x|x > 1 或
x < 0}，B = {x ∈R 1
x ≥1
= {x|0 < x ≤1}，则
A ≠B，选项A 错误；∁RB = {x|x > 1 或x ≤0}，
故A ⊊∁RB，B 正确；AB = {x|x ≠0}，CD 错
误．故选：B．
15. 【解析】由x - 2 > 0，可得B = {x|x > 2}，
故∁UB = {x|x ≤2}．又因为A = {x| -1 < x < 4}，
所以A(∁UB) = {x| -1 < x ≤2}．故选：B．
16. 【解析】由集合A = {1，|a - 1|，a + 2}，且
2 ∈A，得|a - 1| = 2 或a + 2 = 2，解得a = 0 或a
= 3 或a =-1．当a =-1 时，A = {1，2，1}，与
集合中元素的互异性矛盾，舍去．
当a = 0 时，A = {2，1，1}，与集合中元素的互
异性矛盾，舍去；
当a = 3 时，A = {1，2，5}，符合题意；
故实数a 的值为3．故答案为：3．
17. 【解析】由题意可知，集合A = {x||x - 2| < 1}
·121·
= {x|1 < x < 3}，因为AB = B，所以AB，
所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，+∞)．
故选：B．
18. 【解析】因为AB = B，所以BA，
又因为集合A = {x|x <-2 或x > 4}，B = {x|a -
7 < x < a}，且显然B ≠∅，则a ≤-2 或a - 7 ≥4，
解得a ≤-2 或a ≥11，综上所述，实数a 的取值范
围为(-∞，-2][11，+∞)．
故选：D．
19. 【解析】由x-2
x-1 ≥0 可得(x-2)(x-1)≥0
x-1≠0
，
解得x < 1 或x ≥2，则集合A = (-∞, 1)[2，
+∞)，则∁UA = [1，2)，因为m ∈∁UA，所以实数
m 的取值范围是[1，2)，故选：B．
20. 【解析】根据题意知：方程ax2 - 4x - 1 = 0 只
有一个解，当a = 0 时，解得x =- 1
4 ，则A =
- 1
4
，符合题意；当a ≠0 时，△= (-4)2 - 4a
× (-1) = 0，解得a =-4，此时A = - 1
2
，符合
题意，综上可得a = 0 或a =-4．
故选：C．
21. 【解析】根据集合元素的互异性可知，a ≠1，
a ≠-2．因为AB 含有4 个元素，所以AB 仅
含有1 个元素，若a2 ∈A，则a2 = 1 或a2 = a，所
以a = 0 或a =±1．若-1 ∈A，则a =-1．结合集
合元素的互异性可知a = 0 或a =-1，当a =-1
时，A = {-2，1，-1}，B = {-1，1}，AB
= {-2，-1，1}，不符合题意．当a = 0 时，A =
{-2，1，0}，B = {-1，0}，A B = {-2，
-1，0，1}，符合题意．
综上，a = 0．故选：B．
22. 【解析】∵集合A = {x| -1 ≤x ≤1}，B =
{x|a - 1 ≤x ≤2a - 1}，BA，
∴当B = 时，a - 1 > 2a - 1，解得a < 0，
当B ≠时，
a-1≤2a-1
a-1≥-1
2a-1≤1
，解得0 ≤a ≤1．
综上，实数a 的取值范围是{a|a ≤1}．
故选：A．
23. 【解析】因为集合M = {x|(m + 1)x2 - mx + m
- 1 = 0} 的所有子集个数是2，则集合M 有且只有
一个元素，
①当m + 1 = 0 时，即当m =-1 时，则M = {x|x
- 2 = 0} = {2}，合乎题意；
②当m + 1 ≠0 时，即当m ≠-1 时，则关于x 的方
程(m + 1)x2 - mx + m - 1 = 0 只有一个实数解，
则△= m2 - 4(m + 1) (m - 1) = 4 - 3m2 = 0，解得
m =± 2 3
3
．综上所述，m =-1 或± 2 3
3
．故
选：D．
24. 【解析】全集U = R，集合A = {x||x - 1| ≥2}
= {x|x ≥3 或x ≤-1}，B = {x|x2 - 4x < 0} =
{x|0 < x < 4}，则图中阴影部分表示的集合为
AB = {x|3 ≤x < 4}．故选：B．
25. 【解析】因为N = {x|x2 - 2x = 0} = {0，2}，
M = {0，1，2}，故NM．故选：B．
26. 【解析】若card(B) = 3，则方程ax + 1 = 0 有
一解，方程cx2+ bx + 1 = 0 有两不等解，
且x =- 1
a 不是方程cx2+ bx + 1 = 0 的解，
∴c
a2 - b
a + 1 ≠0，则a2 - ab + c ≠0，即x =-a
不是方程x2+ bx + c = 0 的解．
又方程cx2 + bx + 1 = 0 有两不等解，所以△= b2 -
4c > 0，也就是方程x2 + bx + c = 0 有两不等根，
则card(A) = 0 有三个元素，可知D 不可能成立；
对于(x + a) (x2 + bx + c) = 0，此方程至少有一个
根x =-a，当△= b2 - 4c = 0 时，方程还有一根x
=- b
2 ，只要b ≠2a 时，方程(x + a) (x2 + bx + c)
= 0 就有两根，当b = 2a 时，方程(x + a) (x2 + bx
+ c) = 0 只有一个根，
当△= b2 - 4c < 0 时，方程(x + a) (x2 + bx + c) =
0 只有一个根，当△= b2 - 4c > 0 时，方程(x + a)
(x2+ bx + c) = 0 有两根或三个根，
当a = b = c 时，card(A) = 1 且card(B) = 0，故
A 正确；
当a > 0 ，b = 0 ，c > 0 时，card ( A ) = 1 且
card(B) = 1，故B 正确；当a = c = 1，b =-2 时，
card(A) = 2 且card(B) = 2，故C 正确．
故选：D．
27. 【解析】由题意知集合B 中满足1 ≤|x1| +|x2|
+|x3| +|x4| +|x5| ≤3 的元素的个数，
·122·
即指x1，x2，x3，x4，x5 中取值为-1 或1 的个数
和为1 或2 或3，故满足条件的元素的个数为C 1
5 ×
2 + C2
5 × 22+ C3
5 × 23= 10 + 40 + 80 = 130(个)，
故选：D．
28. 【解析】由题意可得，a1 + a2 ≤A，a2 + a3 ≤
A，a3+ a4≤A，a4+ a3≤A，
因为a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 1，
若让a1 + a2 = a2 + a3 = a3 + a4 = a4 + a5 = A，则有
a1 = a3，a2 = a4，a5 = a3，即a1 = a3 = a5，a2 =
a4，代入a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1，可得3a1 + 2a4
= 1，因为a1 + a2 = A，即a1 + a4 = A，所以a4 =
a2 = A - a1，所以3a1 + 2a4 = 3a1 + 2(A - a1) = 2A
+ a1= 1，即a1= 1 - 2A，
同理a1 = A - a4，所以3(A - a4) + 2a4 = 3A - a4 =
1，即a4 = 3A - 1，又因为ai ≥0，所以a1 = 1 -
2A ≥0，a4= 3A - 1 ≥0，
解得1
3 ≤A ≤1
2 ，所以A 的最小值是1
3 ．
故选：B．
29. 【解析】因为M = {x|x2 = 9} = {3，-3}，所
以|M| = 2，当a = 1 时，N = {x|(x2 - x) (x2 + x +
1) = 0} = {0，1}，所以|N | = 2，所以||M | -|N ||
= 0，由|M| = 2，||M| -|N|| = 1，可得|N| = 1 或
|N | = 3，N = {x|(ax2 - x) (x2 + ax + 1) = 0} =
{x|x(ax - 1) (x2+ ax + 1) = 0}，
当|N| = 1 时，由于x = 0 是方程的一个根，则N =
{0}，因此方程ax - 1 = 0 无实根，即a = 0，此时
方程x2 + ax + 1 = 0 变为x2 + 1 = 0，也无实根，
故a = 0 即方程(ax2 - x) (x2 + ax + 1) = 0 只有1 个
根，此时a = 0 满足题意，
当|N | = 3 时，即方程x(ax - 1) (x2 + ax + 1) = 0
有3 个根，显然a ≠0，此时x = 0，ax - 1 = 0 各
有1 个根，且x = 0 , x = 1
a 都不满足方程x2 + ax
+ 1 = 0，所以x2 + ax + 1 = 0 有相等实数根，即
△= a2- 4 = 0，
解得a =±2，
综上可知，a 可能值的集合为{-2，0，2}．
故答案为：0；{-2，0，2}．
30. 【解析】选项A：当n = 2 时，可得A = {a1，
a2}，不妨设0 < a1< a2，
由a1 + a2 = a1a2 <
a1+a2
2
2
，可得a1 + a2 > 4，故
A 正确；选项C：当A = {a1，a2，a3} 时，若a1，
a2，a3是正整数，不妨设a1< a2< a3，
则有
a1≥1
a2≥2
a3≥3
，可得
a1a2≥2
a2a3≥6
a1a3≥3
，则
1
a1a2
+
1
a2a3
+
1
a1a3
≤1
2 + 1
6 + 1
3 = 1，又由a1a2a3 = a1 + a2 +
a3，可得
1
a1a2
+
1
a2a3
+
1
a1a3
= 1，
根据取等条件可知
a1=1
a2=2
a3=3
，即集合A 有唯一解A
= {1，2，3}，故C 正确；
选项B：当A = {a1，a2} 时，由a1a2 = a1 + a2，可
得a1≠1，a2= 1 +
1
a1-1 ，
若a 1，a 2 均是正整数，则a 1 - 1 =±1，于是
a1=0
a2=0
或a1=2
a2=2
，
与a1，a2均为正数和集合元素的互异性矛盾，
所以集合A 中的元素至多有一个正整数，故B 正
确；
选项D：对于集合A = {a1，a2，a3，…，an} (n
≥2 , n ∈N)，不妨设a1< a2< a3< … < an，
则有a 1 + a 2 + a 3 + … + a n < na n ，于是
a1a2a3…an-1an< nan，
即当n ≥2 时，a1a2a3…an-1 < n，即a1a2a3…an-1
≤n - 1，
又当a 1 ，a 2 ，a 3 ，… ，a n 均为正整数时，
a1a2a3…an-1≥1 × 2 × 3 × … × (n - 1)，
可得：1 × 2 × 3 × … × (n - 1) ≤n - 1，
显然当n ≥4 时，上述不等式不成立，故D 错误．
故选：D．
31. 【解析】设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢
游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，
由题意，可得x + z = 60，x + y + z = 96，y + z
= 82，解得z = 46．
∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学
生总数的比例是46%．故选：C．
·123·
1.2 常用逻辑用语
1．【解析】当a > b > 0 时，b+1
a+1 - b
a =
a-b
a(a+1) > 0，即b+1
a+1 > b
a 成立，充分性成立；
当a =- 1
2 ，b = 1 时，b+1
a+1 > b
a 成立，但a > b
> 0 不成立，必要性不成立．
故选：A．
2．【解析】取a = e2，b = e3，则2lna = 2lne2=
4，1
2 lnb = 1
2 lne3= 3
2 ，
故2lna > 1
2 lnb，但a < b，所以a > b 不是2lna >
1
2 lnb 的必要条件；
取a = e-1，b = e-2，则a > b，但lna =-1，lnb =
-2，此时2lna =-2，1
2 lnb =-1，2lna < 1
2 lnb，
所以a > b 不是2lna > 1
2 lnb 的充分条件．综上可
得：a > b 是2lna > 1
2 lnb 的既不充分也不必要条
件．故选：D．
3．【解析】若2a> 2b，则a > b，
因为|a| ≥a，由a > b，可知|a| ≥a > b，
因此“2a > 2b”能推出“|a| > b”，因此充分性成
立；不妨取a =-2，b = 1，满足|a| > b，但2a =
1
4 , 2b= 2，则2a> 2b不成立，因此必要性不成立．
故选：A．
4．【解析】因为函数y = x3在R 上单调递增，
所以“x3> y3” ⇔“x > y”，
因为函数y = 3x在R 上单调递增，
所以“3x> 3y+1” ⇔“x > y + 1”，
又因为由“x > y”推不出“x > y + 1”，而由“x
> y + 1”可以推出“x > y”，
所以“x > y”是“x > y + 1”的必要不充分条件，
即“x3 > y3”是“3x > 3y+1”的必要不充分条件．
故选：B．
5．【解析】∀x ∈[1，2]，x2+ ax + 1 ≤0，
则-a ≥x + 1
x 在[1，2] 上恒成立，
因为y = x + 1
x 在[1，2] 上单调递增，当x = 2
时，该函数取得最大值5
2 ，
故-a ≥5
2 ，即a ≤- 5
2 ，结合选项可知，所求的
一个充分不必要条件为a ≤-3．
故选：D．
6．【解析】因为：x ∈R，使ax2- 4x - 3 > 0，
当a = 0 时，-4x - 3 > 0，解得x <- 3
4 ，符合题
意；当a < 0 时，则△= (-4)2 - 4a × (-3) > 0，解
得a >- 4
3 ，即- 4
3 < a < 0，
当a > 0 时，显然成立；故：x ∈R，使ax2 - 4x
- 3 > 0 成立时：a >- 4
3 ，
结合选项可得“x ∈R，使ax2 - 4x - 3 > 0”的一
个充分不必要条件是：a ≥1．
故选：C．
7．【解析】因为集合A = {-1，0，1}，B = {1，
2，3}，
则AB，则A 错误；
因为AB = {1}，AB = {-1，0，1，2，3}，
则x ∈AB 是x ∈B 的充分不必要条件，B 错误；
x ∈A 是x ∈AB 的充分不必要条件，C 错误；
x ∈AB 是x ∈{1} 的充要条件，D 正确．
故选：D．
8．【解析】命题q : (x - a) (x - 1) ≤0，
a > 1 时，解得1 ≤x ≤a．
a = 1 时，解得x = 1，解集为{1}．
a < 1 时，解得a ≤x ≤1．
∵p 是q 的充分不必要条件，
∴a ≥2，因此实数a 的取值范围是[2，+∞)．
故答案为：[2，+∞)．
9．【解析】因为q : |x + 2a| < 2，所以q :-2a - 3
< x <-2a + 3，记A = {x| -2a - 3 < x <-2a +
3}，p : x ≥a，记为B = {x|x ≥a}，
因为p 是q 的必要不充分条件，所以A ⊊B，
所以a ≤-2a - 3，解得a ≤-1．故选：A．
10．解析】当m =- 1
3 时，直线l1的斜率为1
9 ，
l2的斜率为-9，又1
9 × (-9) =-1，所以l1⊥l2，
充分性成立；直线l1: mx + 3y - 3 = 0，l2: (3m -
2)x + my + 1 = 0，
若l1 ⊥l2，则有m(3m - 2) + 3m = 0，解得m = 0
·124·
或m =- 1
3 ，必要性不成立．所以“m =- 1
3 ”是
“l1⊥l2”的充分不必要条件．
故选：A．
11．【解析】由cosx = 1，
又
2
sin x +
2
cos x =
2
sin x + 1 = 1，
解得sinx = 0，充分性成立，
若sinx = 0，
又
2
sin x +
2
cos x = 0 +
2
cos x = 1，
解得cosx =±1，必要性不成立，
故“cosx = 1”是“sinx = 0”的充分不必要条件．
故选：A．
12．【解析】根据题意，若(a+ b) ⋅(a- b) = 0，
则a2- b2= 0，即|a| = |b|，
则a=-b或a= b不一定成立，
反之，若a=-b或a= b，必有|a| = |b|，即a2 - b2
= 0，变形可得(a+ b) ⋅(a- b) = 0，
故“(a+ b) ⋅(a- b) = 0”是“a=-b或a= b”的
必要不充分条件．
故选：B．
13．【解析】当x = 1.1，y = 0.5 时，满足|x - y|
< 1，但[x] = 1，[y] = 0，不满足[x] = [y]，即
充分性不成立；
当[x] = [y] 时，|x - y| < 1 一定成立，即必要性
成立．故选：B．
14．【解析】命题为全称命题，则命题的否定为x
> 1，x2+ 2x - 3 ≤0，故选：A．
15．【解析】由命题否定的定义可知，
命题“x ∈R，x3 + |x| -2 > 0”的否定是“∀x ∈
R，x3+ |x| -2 ≤0”．
故选：C．
16. 【解析】若命题p :∀x ∈R，ax2+ 2x + 3 > 0
为真命题，
①当a = 0 时，则有2x + 3 > 0，不符合题意；
②当a < 0 时，开口向下，不符合题意；
③当a > 0 时，△= 22- 4 ⋅a ⋅3 < 0，解得a > 1
3 ．
综上可得，a > 1
3 ，故命题p :∀x ∈R，ax2 + 2x
+ 3 > 0 的否定是真命题，实数a 的取值范围是a
≤1
3 ．故选：C．
1.3 不等式
1．【解析】若a < b < 0，c > d > 0，即-a >-b
> 0，则-ac >-bd，所以ac < bd，A 正确；由a
< b < 0 可得，a2> b2> 0，因为c > d > 0，则a2c
> b2d，B 正确；由a < b < 0 可得1
a > 1
b ，因为
c > d > 0，则1
a + c > 1
b + d，C 正确；由a < b
< 0，-c <-d < 0 可得a - c < b - d，D 错误．
故选：D．
2．【解析】令a =-3，b = 1，满足a < b，但a2>
b2，故A 错误；令a =-1，b = 1，满足a < b，但
a2b > ab2，故B 错误；
a、b 为非零实数，且a < b，
则
1
ab2 -
1
a2b = a-b
a2b2 < 0，即
1
ab2 <
1
a2b ，故C
正确；令a = 1，b = 2，满足a < b，则b
a > a
b ，
故D 错误．故选：C．
3．【解析】对于A 选项，当c = 0 时，A 显然错
误；对于B 选项，因为a > b > c，所以a - c > b
- c，故B 错误；
对于C 选项，当a = 2，b =-1 时，C 显然错误；
对于D 选项，b+c
a+c - b
a = a(b+c)-b(a+c)
a(a+c)
=
ac-bc
a(a+c) = c(a-b)
a(a+c) ，
因为a > b > c > 0，所以a - b > 0，所以b
a <
b+c
a+c ，故D 正确．
故选：D．
4．【解析】因为2 < a < 3，所以4 < 2a < 6，
又因为-2 < b <-1，
所以2 < 2a + b < 5．即2a + b 的取值范围为(2 ,
5)．故选：A．
5．【解析】对于A，由全称命题的否定知，命题
p :∀x ∈R，x2> 0，它的否定为x ∈R，x2≤0，
所以A 正确；
对于B，若集合A = {x|ax2 + x + 1 = 0} 中只有一
个元素，
当a = 0 时，A = {x|x =-1}，符合题意，
又a≠0
△=1-4a=0
，解得a = 1
4 ，也符合题意，
·125·
所以a 的值为0 或1
4 ，所以B 不正确；
对于C，因为1 < x < 3，-2 < y <-1，
所以2 < 2x < 6，1 <-y < 2，则3 < 2x - y < 8，
所以C 正确；
对于D，集合M = {0，1}，因为NM ，所以集合
N 的个数为22= 4，所以D 正确．
故选：B．
6．【解析】∵a > 0，b > 0，
∴1 = a + 2b ≥2 2
ab，解得ab ≤1
8 ，
当a = 1
2 , b = 1
4 时，取等号，故D 正确．
故选：D．
7．【解析】因为2a + 3b = 2，
所以4a+ 8b= 22a+ 23b≥2 22a×23b = 2 22a+3b = 4，
当且仅当22a = 23b，即b = 1
3 ，a = 1
2 时，等号成
立，此时4a+ 8b的最小值是4．
故选：D．
8．【解析】因为正实数a，b 满足2
a + 1
b = 1，
所以a + 2b = ab，由基本不等式可得，2
a + 1
b =
1 ≥2
2
ab ，当且仅当a = 2b 时取等号，
所以ab ≥8，则a + 2b +
ab = ab +
ab ≥8 +
2 2．故选：A．
9．【解析】因为x > 3，所以x - 3 > 0，
由题得f(x) = 3x-9+9
x-3
+ x = 3 +
9
x-3 + (x - 3)
+ 3 =
9
x-3 + (x - 3) + 6 ≥2
(x-3)⋅
9
x-3 + 6
= 12
当且仅当
9
x-3 = x - 3，即x = 6 时等号成立，
则函数f(x) =
3x
x-3 + x(x > 3) 的最小值为12．
故选：B．
10．【解析】当a > 1
2 时，则a +
2
2a-1 = a -
1
2 +
1
a- 1
2
+ 1
2 ≥2 + 1
2 = 5
2 ，
当且仅当a - 1
2 =
1
a- 1
2
，即a = 3
2 时取等号．
故选：C．
11．【解析】令t = x - 1，则x = t + 1，t > 0，
可得3x2-5x+5
x-1
= 3(t+1)2-5(t+1)+5
t
= 3t +
3
t + 1 ≥2
3t⋅3
t + 1 = 2 × 3 + 1 = 7，
当且仅当3t = 3
t 时，即t = 1 时，即x = 2 时，等
号成立．故选：D．
12．【解析】由题意|x| > 0，|y| > 0，|x| +|y| =
1，所以5
|x| + 1
|y| =
5
|x| + 1
|y|
(|x| +|y|) = 5 + 1
+ 5|y|
|x| + |x|
|y| ≥6 + 2
5|y|
|x| × |x|
|y| = 6 + 2 5，当
且仅当5|y|
|x| = |x|
|y| ，即|x| = 5-
5
4
, |y| =
5-1
4
时等号成立，所以5
|x| + 1
|y| 的最小值为6 + 2 5．
故选：B．
13．【解析】由x，y 都是正数，且x + y = 1，
则1
x + 1
xy = 1
x + x+y
xy
= 2
x + 1
y =
2
x + 1
y
(x
+ y) = 3 + 2y
x + x
y ≥3 + 2
2y
x ⋅x
y = 3 + 2 2 ，
当且仅当2y
x = x
y 时，即x =
2y，即x = 2 -
2
, y =
2 - 1 时，等号成立，
所以1
x + 1
xy 的最小值为3 + 2 2，
又由1
x + 1
xy ≥m 恒成立，所以m ≤3 + 2 2．
故选：A．
14．【解析】因为a > 0，b > 0，a + b = 1，
∴1
2a + 2a
b
= 1
2a + 2(1-b)
b
= 1
2a + 2
b - 2 = (a
+ b)
1
2a + 2
b
- 2
= b
2a + 2a
b
+ 1
2 ≥2
b
2a × 2a
b
+ 1
2 ≥5
2 ，当且
仅当b = 2a，即a = 1
3 ，b = 2
3 时取等号．
所以- 1
2a - 2a
b ≤- 5
2 ．
故选：B．
15．【解析】∵f(x) = max+1 + n 恒过定点(-1 ,
2)，∴ma0+ n = 2，∴m + n = 2，
设t = 1
m + 1
n ，则t = 1
2
1
m + 1
n
(m + n) =
1
2
1+ n
m + m
n +1
= 1
2
n
m + m
n +2
，
·126·
∵m > 0，n > 0，∴n
m > 0，m
n > 0，
∴n
m + m
n ≥2
n
m ⋅m
n = 2，
当且仅当n
m = m
n 时，即当m = n = 1 时等号成
立，∴n
m + m
n ≥2，∴t = 1
2
n
m + m
n +2
≥1
2
(2 + 2) = 2，∴t = 1
m + 1
n 的最小值为2，∵y =
3
log (t + 7) 为单调递增函数，∴t 取最小值2 时，
y =
3
log (t + 7) 取最小值为y =
3
log 9 = 2．故答案
为：2．
16．【解析】当0 < x < 1
3 时，f(x) =
9
3x +
16
1-3x
(3x + 1 - 3x)
= 25 + 3-9x
x
+
48x
1-3x ≥25 + 2
3-9x
x
⋅48x
1-3x
= 49，当且仅当3-9x
x
=
48x
1-3x x = 1
7 ，即时取
等号．故选：D．
17. 【解析】由4ab - 4a - 4b + 3 = 0，则4a =
4b-3
b-1 ，由0 < a < 1，0 < b < 1，则0 < 4b-3
b-1 <
4，则0 < b < 3
4 ，
故1
a + 3
b = 4
4a + 3
b = 4-4b
3-4b + 3
b = 1 +
1
3-4b
+ 3
b = 1 + 1
3 [(3 - 4b) + 4b]
1
3-4b + 12
4b
= 1 +
1
3
13+
4b
3-4b + 12(3-4b)
4b
≥1 + 1
3 (13 + 2 12 )
= 16+4 3
3
，
当且仅当b =
3 3
4 3+2 时等号成立，
所以
1
a + 3
b
min = 16+4 3
3
．
故选：A．
18. 【解析】法一：三角代换：x2+ y2- xy = 1 ⇒
x- y
2
2
+ 3y2
4
= 1，令x - y
2 = cosα ,
3y
2
=
sinα，则x + y = cosα +
3sinα = 2sin(α + β) ,
tanβ =
3，故x + y ∈[-2 , 2]x2+ y2= 1 + xy = 1
+ 2
3 sin2α + 2 3
3
sinαcosα = 1 + 1
3 (1 - cos2α) +
3
3 sin2α = 4
3 + 2
3 sin 2α- π
6
∈
2
3 ,2
；法二：
若xy ≥0 , x2+ y2- xy = 1 ⇒(x + y)2- 1 = 3xy ≤
3
4 (x + y)2，-2 ≤x + y ≤2，x2+ y2- 1 = xy ≤
x2+y2
2
，x2+ y2≤2，xy < 0 , x2+ y2- xy = 1 ⇒1
- (x2+ y2) =-xy ≤x2+y2
2
，解得x2+ y2≥2
3 ，故
答案为：BC.
19. 【解析】a2- a + b2= 0 ⇒a- 1
2
2
+ b2= 1
4 ，
令a = 1
2 (1 + cosα) , b = 1
2 sinα，则a + λb = 1
2 (1
+ cosα) + 1
2 λsinα = 1
2 + 1
2
1+λ2sin(α + β)，
tanβ = λ，故a + λb = 1
2 + 1
2
1+λ2sin(α + β) ≤
1
2 + 1
2
1+λ2 ≤2，-2 2 ≤λ ≤2 2，故答案
为：2 2.
20. 【解析】令a2 + b2 = r2，可令a = rcosα , b =
rsinα，则sinα
cosα + cosα
sinα + 2r2sinαcosα = r2(sin2α
- cos 2 α ) ，r 2 =
sinα
cosα + cosα
sinα
(sin2α-cos2α-2sinαcosα) =
-
2
sin2α(sin2α+cos2α)
=-
2
1-cos4α
2
+ sin4α
2
，
-
2
1-cos4α
2
+ sin4α
2
=
4
cos4α-sin4α-1
=
4
2cos 4α+ π
4
-1
，由a 2 + b 2 > 0 , 可知
2 cos
4α+ π
4
> 1 ，故cos
4α+ π
4
= 1 ,
4
2cos 4α+ π
4
-1
取最小值，最小值为：4 2 +
4.
21. 【解析】法一：a2 - 4b2 = (a + 2b) (a - 2b) =
4，令a + 2b = m，a - 2b = n，则mn = 4，a =
m+n
2
，b = m-n
4
，所以a2 + ab = a(a + b) =
m+n
2
×
m+n
2
+ m-n
4
= m+n
2
× 3m+n
4
=
3m2+4mn+n2
8
≥1
8 ( 2 3m2n2 + 4 mn ) = 1
8 ×
(2 3 + 4)mn =
3 + 2，当且仅当3m2 = n2，等号
成立．法二(齐次化)：令a2+ab
a2-4b2 = m
4 ，同除以
·127·
b 2 得：
a2
b2 + a
b
a2
b2 -4
= m
4
，令a
b
= t ，所以
1
4 m-1
t2 - t - m = 0，此方程有正根，即Δ = 1
- 4 1
4 m-1
⋅(-m) ≥0，所以m ≥2 +
3 或m
≤2 -
3 (舍)，经检验，有一个正根故答案为：
3 + 2．
22. 【解析】∵x2 - xy + y2 = 1(x , y ∈R)，当x =
0 时，y2 = 1，∴x2 + 2y2 = 2．当x ≠0 时，x2 +
2y2=
x2+2y2
x2-xy+y2 = 1+2t2
1-t+t2 = m，令y
x = t ∈R，
(m - 2)t2 - mt + m - 1 = 0，Δ = m2 - 4(m - 2)
(m - 1) ≥0，所以6-2 3
3
≤m ≤6+2 3
3
，x2
+ 2y2的最小值为6-2 3
3
．故答案为：6-2 3
3
．
23. 【解析】∵a2 - 4b2 = 4，令a = t + 1
t , b =
t- 1
t
2
，则a 2 + ab = t+ 1
t
2
+
t2- 1
t2
2
= 3
2 t 2 +
1
2t2 + 2 ≥
3 + 2，取等条件请自行补充)，故a2 +
ab 的最小值为2.
24. 【解析】两边同除以x 得：1 +
3y
x ≤
a 1+ y
x
，a > 0，令t =
y
x > 0，则1 +
3t ≤
a(1 + t2) ⇒at2-
3t + a - 1 ≥0，所以f(t) = at2-
3t + a - 1 ≥0 在t ∈(0 ,+∞) 上恒成立，当a = 0
时，则f(t) =- 3t - 1 < 0 不满足题设；当a > 0
时，f(t) 对称轴为x =
3
2a ，只需
a>0
△=3-4a(a-1)≤0
，可得a ≥3
2 ，故整数a 的最
小值为2．故选：B．
25. 【解析】因为x > 0，y > 0，x + y = 1，
则
2x2+x+1
xy
=
2x2+x(x+y)+(x+y)2
xy
=
4x2+3xy+y2
xy
= 4x
y
+ y
x + 3 ≥3 + 2
4x
y ⋅y
x =
7，当且仅当y = 2x 且x + y = 1，即x = 1
3 ，y =
2
3 时取等号．
故选：A．
26. 【解析】m ≥x+4y+2 xy
2x+3y
，
x+4y+2 xy
2x+3y
=
x+4y+2
λx⋅1
λ y
2x+3y
≤
x+4y+λx+ 1
λ y
2x+3y
=
(1+λ)x+ 4+ 1
λ
y
2x+3y
所以1+λ
2
=
4+ 1
λ
3
，得λ = 2 ，所以x+4y+2 xy
2x+3y
≤
3x+ 9
2 y
2x+3y = 3
2 ，所以m ≥3
2 .
27. 【解析】5a2+ b2+ c2= ma2+ b2+ pa2+ c2≥
2 mab + 2 pac ⇒m=4p
m+p=5
，所以m=4
p=1
，由
基本不等式可得：a(2b + c) = 2ab + ac ≤
4a2+b2
2
+ a2+c2
2
= 5a2+b2+c2
2
= 2 ，当且仅当
2a = b , a = c 时等号成立，可取a = c =
10
5
, b
= 2 10
5
，所以a(2b + c) 的最大值为2 ．故
选：B.
28.【解析】法一：(待定系数法) 设λ2 + μ2 = 1 ,
x+
x2+9y2
2x+3y
=
x+
(x2+9y2)(λ2+μ2)
2x+3y
≥
x+(λx+3μy)
2x+3y
，要得到最小值，分子为分母的倍
数，故1+λ
2
= 3μ
3 ，解得λ = 3
5 , μ = 4
5 ，
x+(λx+3μy)
2x+3y
= 4
5 ，
法二：(三角代换) 令x = rcosα , 3y = rsinα，则原
式可化为
rcosα+r
2rcosα+rsinα
=
cosα+1
2cosα+sinα
=
2cos2 α
2
2cos2 α
2 -2sin2 α
2 +2sin α
2 cos α
2
=
1
1-t2+t ，t =
tan α
2 ，由二次函数性质：t = 1
2 ，x+
x2+9y2
2x+3y
的最小值为4
5 ，故答案为：4
5 . 29. 【解析】因
为4x2 - 9xy + 2y2 = (4x - y) (x - 2y) =-4，所以
(4x - y) (2y - x) = 4，所以
3x + y = (4x - y) + (2y - x) ≥2 (4x-y)(2y-x)
= 4，(当且仅当4x - y = 2y - x 时，联立4x2 -
9xy + 2y2 =-4，解得x = 6
7 ，y = 10
7 所以3x + y
·128·
的最小值为4，故答案为: 4
30.【解析】ab = a + 2b ⇒b =
a
a-2 ，
由abc = a + 2b + c ⇒c = a+2b
ab-1 =
a+ 2a
a-2
a2
a-2 -1
=
a2-2a+2a
a2-a+2
=
a2
a2-a+2
=
1
a+ 2
a -1
≤
1
2 2-1 = 2 2+1
7
31. 【解析】a2c2+bc2
ab
= c2(a2+b)
ab
= c2 a
b + 1
a
= c2 a
b + a+4b
a
= c2 a
b + 4b
a +1
≥5c2
1
cd-d2 =
1
d c-d
≥
1
d+c-d
2
2 = 4
c2 ，所以
a2c2+bc2
ab
+
1
cd-d2 ≥5c2+ 4
c2 ≥4 5.
32．【解析】由题意可知，m > 0，n > 0 且mn
= 1，
所以1
m + 4
n = 1
m + 4m ≥2
4m
m = 4，
当且仅当4m= 1
m
m>0
时，即当m = 1
2 ，n = 2 时，
等号成立．
故选：A．
33．【解析】若删除的是1，则剩下的n 个数的几
何平均数最大，
最大值为
n 2⋅22⋅2n =
n 21+2+⋅⋅n+n =
n
2
n(1+n)
2
= 2
n+1
2 ；
若删除的是2n，则剩下的n 个数的几何平均数最
小，最小值为
n 20+1+⋯+n-1 =
n
2
n(n-1)
2
= 2
n-1
2 ，则
2
n-1
2 < 22025 < 2
n+1
2 ，所以n-1
2
< 2025 < n+1
2
，解
得4049 < n < 4051，
可得n = 4050．故答案为：4050．
34．【解析】由随机变量ξ ∼N (2 , 4)，且P(ξ ≥
a) + P(ξ > 2b) = 1，得a + 2b = 4，a > 0，b > 0，
则
2
a
+
3
b
=
1
4
( a + 2 b )
2
a + 3
b
=
1
4
8+ 4b
a + 3a
b
≥2 +
3，
当且仅当4b
a = 3a
b ，即a = 2 3 - 2，b = 3 -
3
时取等号．故答案为：2 +
3．
35．【解析】设AE = x，AF = y，(0 ≤x ≤2 , 0
≤y ≤2)，则EF =
x2+y2，
∴x + y +
x2+y2 = 4，∴4 ≥2 xy +
2 ⋅
xy ，
当且仅当x = y 时取等号，
∴xy ≤24 - 16 2，
∴S△AEF = 1
2 xy ≤12 - 8 2，
∴△AEF 面积的最大值为：12 - 8 2．
36．【解析】∵直线l1 : (a - 2)x - 3y + 5 = 0 和l2 :
3x - (b + 1)y - 7 = 0 互相垂直，
∴3(a - 2) + 3(b + 1) = 0 ⇒a + b = 1，
∵a，b 为正数，∴2
a + 1
b =
2
a + 1
b
(a + b) = 3
+ 2b
a + a
b ≥3 + 2
2b
a ⋅a
b = 3 + 2 2，
当且仅当a =
2b 时，等号成立，
可得2
a + 1
b 的最小值为：3 + 2 2，
故答案为：3 + 2 2．
37. 【解析】本题的已知式是m + n = 1，是和式，
目标式中，A 是积式，用基本不等式，BCD 是和
式，显然用柯西不等式.
对于A :∵mn ≤
m+n
2
2
= 1
4 ，当且仅当m = n
= 1
2 时取等号，A 正确；
对于B :∴(m2 + n2) (1 + 1) ≥(m + n)2 = 1，当且仅
当m = n = 1
2 时取等号，B 正确；
对于C ，1
m + 2
n =
1
m + 2
n
(m + n) ≥(
1 +
2 )2 = 3 + 2 2 ，当且仅当2m2 = n2，即m =
2
- 1，n = 2 -
2 时取等号，∴C 正确；
对于D，∵(m + n) (1 + 1) ≥( m +
n)2 ⇒
m +
n ≤
2 ，当且仅当m = n = 1
2 时取等号，∴D
错误．故选：D．
38. 【解析】已知正数x、y 满足x + 2y = 2xy，可
得1 = x+2y
2xy
= 1
x + 1
2y ，所以x + 2y = (x + 2y)
·129·
1
x + 1
2y
≥( 1 +
1)2= 4，当且仅当x = 2y 时，
即x = 2，y = 1 时，等号成立，所以x + 2y 的最小
值为4，所以m ≤4．因此，实数m 的最大值为4．
故选：A．
39. 【解析】由于a > 0，b > 0，且(4a - 1) (b - 1)
= 4，已知式为积式，AB 的目标式为积式，采用
柯西不等式方便，CD 的目标式为和式，用基本不
等式；
对于AB，法一：4ab - 4a - b + 1 = 4，整理得
4ab - 3 = 4a + b ≥4 ab ，当且仅当b = 4a 时取等
号，即4ab - 4 ab - 3 ≥0，故(2 ab + 1) (2 ab
- 3) ≥0，即
ab ≥3
2 或
ab ≤- 1
2 (舍去)，此时
b = 4a = 3，
法二：4 ab = [( 4a - 1) + 1] [( b - 1) + 1] ≥
[ (4a-1)(b-1) + 1]2 = 9，所以ab ≥9
4 ，当且仅
当b - 1 = 4a - 1 = 2 时等号成立，故AB 均不正
确；对于C，
4a-1+b-1
2
2
≥(4a - 1) (b - 1) ∴
4a + b 的最小值为6．C 正确，
对于D，
a- 1
4 +b-1
2
2
≥a- 1
4
(b - 1) = 1，
故a + b ≥13
4 ，D 不正确；故选：C．
40. 【解析】对于A :∵a，b 为正实数，且ab + 2a
+ b = 6，∴6 - ab = 2a + b ≥2 2ab，即2 2ab +
ab - 6 ≤0，∴( ab -
2) ( ab + 3 2) ≤0，故∴
ab 的最大值为2，当且仅当a = 1 , b = 2 时取等号，
故选项A 正确；对于B :∵6 - (2a + b) = ab ≤
(2a+b)2
8
，故(2a+b)2
8
+ (2a + b) - 6 ≥0，解得
2a + b ≥4，当且仅当a = 1 , b = 2 故选项B 正确；
对于C :∵ab + 2a + b = 6，∴ab + 2a + b + 2 = (a
+ 1) (b + 2) = 8，即a + b = a + 1 + b + 2 - 3 ≥
2 (a+1)(b+2) - 3 = 4 2 - 3，a = 2 2 - 1 时取
等号，故选项C 错误；对于D :
1
a+1 +
1
b+2 ≥
2
(a+1)(b+2)
=
2
2 ，即a = 2 2 - 1 时取等号，
∴
1
a+1 +
1
b+2 的最小值是
2
2 ，故选项D 正确．
故选：C．
41. 【解析】对于A 因为a，b 都是正数a + b = 1，
所以1 = a + b ≥2 ab，即0 < ab ≤1
4 ．
a+ 1
a
b+ 1
b
= ab + a
b + b
a + 1
ab = ab +
a2+b2
ab
+ 1
ab = ab + (a+b)2-2ab
ab
+ 1
ab = ab +
2
ab - 2．因为函数y = x + 2
x 在(0 ,
2) 递减，所
以当ab = 1
4 时，ab + 2
ab - 2 取得最小值1
4 +
2
1
4
- 2 = 25
4 ，∴A 错误，B : [(1 + a) + (1 + b)]
(1 + 1) ≥( 1+a +
1+b)2，当且仅当a = b = 1
2
时取等号，∴
1+a +
1+b 的最大值为
6，∴
B 正确，C : 1
a + 2
b =
1
a + 2
b
(a + b) ≥( 1 +
2)2= 2 2 + 3，当且仅当a =
2 - 1，b = 2 -
2 时取等号，∴1
a + 2
b 的最小值为2 2 + 3，∴
C 正确，D :
2a
a2+b +
b
a+b2 =
2a
a2-a+1 +
1-a
a+(1-a)2 =
a+1
a2-a+1 ，∵a2-a+1
a+1
= a + 1 +
3
a+1 - 3 ≥2 3 - 3，当且仅当a =
3 - 1，b = 2
-
3 时取等号，∴
2a
a2+b +
b
a+b2 ≤
1
2 3-3 =
2 3+3
3
，∴
2a
a2+b +
b
a+b2 的最大值为
2 3+3
3
，∴D 正确，故选：BCD．
42. 【解析】法一：因为x，y 为非负实数，且x +
2y = 2，即x + 2(y + 1) = 4，则x2+1
x
+ 2y2
y+1 = x
+ 1
x + 2(y+1)2-4(y+1)+2
y+1
= x + 1
x + 2y + 2 +
2
y+1 - 4 = 1
x +
2
y+1 =
1
x +
2
y+1
[x + 2(y + 1)
] × 1
4 = 1
4
5+ 2y+2
x
+ 2x
y+1
≥
1
4
5+2
2y+2
x
⋅2x
y+1
= 9
4 ，当且仅当x = y +
1，即x = 4
3 ，y = 1
3 时取等号．故选：B．
法二：权方和不等式x2+1
x
+ 2y2
y+1 = x2+2x+1
x
+
4y2
2(y+1) - 2 ≥(x+1+2y)2
x+2(y+1) - 2 = 1
4 ，发现无取
·130·
等条件，故考虑x2+1
x
+ 2y2
y+1 = x2-2x+1
x
+
4y2
2(y+1) + 2 ≥(x-1+2y)2
x+2(y+1) + 2 = 9
4 ，当且仅当
x-1
x
=
2y
2(y+1) 时等号成立，此时x = 4
3 ，y =
1
3 ；故选：B．
43. 【解析】
b
a2+4b2 =
1
a2
b +4b
≤
1
2
a2
b ⋅4b
=
1
4a , 当a ≥
1
4a , 即a ≥1
2 时, h = min { a ，
b
a2+4b2 } =
b
a2+4b2 ≤1
4a ≤1
2 , a = 1
2 ，b = 1
4
时等号成立; 当a < 1
4a , 即a < 1
2 时, h = min{a，
b
a2+4b2 } < 1
2 . 综上所述: h 的最大值是1
2 . 故答案
为: 1
2 .
44. 【解析】由a2c + b2c = 1 , 得a2 + b2 = 1
c , 设
max
1
a ，1
b ，1
c
= M , 则M ≥1
a ，M ≥1
b ，
M ≥1
c = a2+ b2≥2ab,
由3M = 2 M ⋅
M + M ≥2 ⋅
1
a ⋅
1
b + 2ab =
1
ab +
1
ab + 2ab ≥3
3
1
ab ⋅
1
ab ⋅2ab = 3 3 2 ,
当且仅当a = b = c =
1
3 2
时, 取等号,
所以min max 1
a ，1
b ，1
c
=
3 2 . 故答案为:
3 2.
45. 【解析】3x2 + x - 2 < 0，将3x2 + x - 2 分解因
式即有：
(x + 1) (3x - 2) < 0；(x + 1) x- 2
3
< 0；
由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两
边”可得：-1 < x < 2
3 ；即：{x -1<x< 2
3
；
或-1, 2
3
；
故答案为：-1, 2
3
；
46. 【解析】因为二次函数y =-x2+ 2x + 3 =- (x
- 1)2+ 4 的对称轴为x =-
2
2×(-1) = 1，开口向
下，所以x = t 或x = t + 2 时取得函数的最小值，
由-x2+ 2x + 3 =-5，可得x =-2 或x = 4，
当t =-2 时，x = t + 2 = 0 时，ymax = 3，
当t + 2 =-2 时显然不合题意，当t = 4 时显然不合
题意，当t + 2 = 4 时，x = t = 2 时，ymax = 3；所
以m 等于3．故选：C．
47. 【解析】(1) 二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a ≠
0)，f(x + 2) - f(x) = 4x，
则a(x + 2)2 + b(x + 2) + c - (ax2 + bx + c) = 4ax
+ 4a + 2b = 4x，故4a=4
4a+2b=0
，解得a=1
b=-2
，
f(0) = 3，则c = 3，故f(x) = x2- 2x + 3；
(2)g(x) = f(x) - mx = x2- (m + 2)x + 3，
g(x) 的对称轴为x = m+2
2
，开口向上，x ∈[1，
2]，当m+2
2
≥3
2 ，即m ≥1 时，g(x) 在x = 1
时，取得最大值，函数g(x) 在区间[1，2] 上的最
大值为3，
则1 - (m + 2) + 3 = 3，解得m =-1，不符合m ≥
1，舍去，当m+2
2
< 3
2 ，即m < 1 时，
g(x) 在x = 2 时，取得最大值，函数g(x) 在区间
[1，2] 上的最大值为3，则4 - 2(m + 2) + 3 = 3，
解得m = 0，综上所述，m = 0．
48. 【解析】当a = 1 , b = 3
2 时, ax ≤x2 - x + 1 ≤
bx ⇔
x≤x2-x+1
x2-x+1≤3
2 x
, 即
x-1
2≥0
x2- 5
2 x+1≤0
, 解得
1
2 ≤x ≤2 , A 正确;
设直线y = kx , 联立
y=x2-x+1
y=kx
, 得x 2 -
k+1
x + 1 = 0 , 由Δ = k+1
2 - 4 > 0 得k <-3
或k > 1 , 直线y = kx 与抛物线y = x2 - x + 1 有两
个交点; 由Δ = k+1
2 - 4 = 0 得k =-3 或k = 1 ,
直线y = kx 与抛物线y = x2 - x + 1 有一个交点; 由
Δ = k+1
2- 4 < 0 得
图二
·131·
-3 < k < 1 , 直线y = kx 与抛物线y = x2 - x + 1 无
交点. 作出函数y = ax , y = bx , y = x2 - x + 1 的图
象, 当0 < a < b < 1 时, 如图一, 由图可知, 此时不
等式ax ≤x2- x + 1 ≤bx 解集为∅，B 错误; 当1 <
a < b 时, 如图二, 由图可知, C 正确；当a < 1 < b
时, 如图, 由图可知, D 正确. 故选: ACD
49. 【解析】方法1 :
因为方程有一正根和一负根，所以2m + 1 ≠0，m
≠- 1
2 ．
则
△=4m2-4(2m+1)(m-1)>0
x1x2= m-1
2m+1 <0
，解得- 1
2 <
m < 1．所以- 1
2 < m < 1 的一个充分不必要条件
为C．
方法2：设f(x) = (2m + 1)x2 - 2mx + (m - 1)，因
为方程有一正根和一负根，所以2m + 1 ≠0，m ≠
-
1
2
．
所
以
2m+1>0
f(0)=m-1<0
或
者
2m+1<0
f(0)=m-1>0
．解得- 1
2 < m < 1．所以条件
成立的一个充分不必要条件是C．故选：C．
50. 【解析】因为ax2 + 2x + b ≥0 对于一切实数x
恒成立, 所以a > 0 , 且Δ = 4 - 4ab ≤0 , 所以ab ≥
1 ; 再由∃x0 ∈R , 使ax0
2 + 2x0 + b = 0 成立, 可
得Δ = 4 - 4ab ≥0 , 所以ab ≤1 , 所以ab = 1,因为
a > b , 即a - b > 0 , 所以a2+b2
a-b
=
a-b
2+2ab
a-b
= a-b
+
2
a-b ≥2 2 , 当且仅当a - b =
2
a-b ,
即a - b =
2 时, 等号成立, 所以a2+b2
a-b
的最小值
为2 2 , 故答案为: 2 2
2.1 函数的概念及表示
1．【解析】要使原函数有意义，则x+1
x
≥0，
解得：x ≤-1 或x > 0．所以函数f(x) =
x+1
x
的定义域为(-∞，-1](0 ,+∞)．故选：A．
2．【解析】∵函数f(x2+ 1) 的定义域为[1，2]，
∴1 ≤x ≤2，则x2+ 1 ∈[2，5]，即f(x) 的定义域
为[2，5]，又lg(x - 2) ≠0，∴x - 2 > 0 且x - 2
≠1，即x > 2 且x ≠3．
∴函数g(x) =
f(x)
lg(x-2) 的定义域为(2，3)(3，
5]．故选：B．
3．【解析】由题意得，
1
2
x≥8
2x+10≠0
，解得，x ≤
-3 且x ≠-5．故选：C．
4. 【解析】解：由题意得，ax2- ax + 2 ≥0 恒成
立，当a = 0 时，2 ≥0 显然成立，
当a ≠0 时，a>0
Δ=a2-8a≤0
，解得0 < a ≤8，
故0 ≤a ≤8．故选：C．
5．【解析】由题意，ax + 1 ≥0，
当a = 0 时，把x =-3 代入，不等式成立；
当a > 0 时，得x ≥- 1
a ，则- 1
a ≤-3，即0 < a
≤1
3 ；当a < 0 时，把x =-3 代入，不等式成立．
综上所述，a 的取值范围是-∞，1
3
．
故答案为：-∞，1
3
．
6．【解析】函数f(x) =
2x2-2ax+a-1 的定义域为
R，∴2x2-2ax+a- 1 ≥0 在R 上恒成立
即x2- 2ax + a ≥0 在R 上恒成立
该不等式等价于△= 4a2- 4a ≤0，解出0 ≤a ≤1．
故实数a 的取值范围为0 ≤a ≤1
故答案为：0 ≤a ≤1
7．【解析】由题设x>0
ln2x≥0
⇒x ≥1
2 ，则A =
1
2 ,+∞
，值域B = [0，+∞)，所以AB = A，
AB = B，所以A、C、D 错，B 对．
故选：B．
8. 【解析】解：令
13-4x = t 则x = 13-t2
4
，t
≥0 所以y = 13-t2
2
- 3 + t =- 1
2 t2 + t + 7
2 =- 1
2
(t - 1)2 + 4(t ≥0) 根据二次函数的性质可知，当t
= 1 即x = 3 时，函数有最大值4
故答案为：(-∞，4].
·132·
9．【解析】因为4x> 0，所以9 + 4x> 9，
所以0 <
1
9+4x < 1
9 ，故f(x) =
3
9+4x ∈0, 1
3
．
即函数f(x) =
3
9+4x 的值域为0, 1
3
．故答案为：
0, 1
3
．
10．【解析】f(x) =
1
secx +
1
cscx = cosx + sinx
=
2 sin x+ π
4
，其中sinx ≠0，cosx ≠0，所
以- 2 ≤f(x) ≤
2，且f(x) ≠±1，
即f(x) 的值域为[- 2 ,-1)(-1 , 1)(1 ,
2]．
故选：D．
11．【解析】由题意得1≤x≤9
1≤x2≤9
，则1 ≤x ≤3，
即g(x) = f2(x) + f(x2) 的定义域为[1，3]，
故g(x) = f2(x) + f(x2) = (1 + log3x)2 + 1 + log3x2 =
(log3x)2+ 4log3x + 2，
令
3
log x = t，(t ∈[0 , 1])，则y = t2 + 4t + 2 = (t
+ 2)2- 2，
函数y = (t + 2)2 - 2 在[0，1] 上单调递增，故y ∈
[2，7]，
故函数y = g(x) 的值域为[2，7]．
故答案为：[2，7]．
12．【解析】根据题意，2x ≥2，即x ≥1 时，2x2
= 2x；2x < 2，即x < 1 时，2x2 = 2；1 ≥
2
log x，
即0 < x ≤2 时，1
2
log x = 1；1 <
2
log x，即x > 2
时，1
2
log x =
2
log x；
∴f(x) =
2x
0<x<1
22x-2x
1≤x≤2
(2x-log2x) 2x
x>2
；
∴①0 < x < 1 时，f(x) = 2x 是增函数；∴1 < f(x)
< 2；
②1 ≤x < 2 时，f(x) = 22x - 2x = 2x- 1
2
2
- 1
4 ；
∵1 ≤x < 2；∴2 ≤2x< 4；
∴2- 1
2
2
- 1
4 ≤f(x) < 4- 1
2
2
- 1
4 ；
∴2 ≤f(x) < 12；
综上得，f(x) 在(0 , 2) 上的值域为(1 , 12)．
故答案为：(1 , 12)．
13．【解析】f(x) = log2 x + log4(4 - ax) = log4x
+ log4(4 - ax) = log4(4x - ax2)，
由f(x) 的值域为(-∞，1]，且y =
4
log x 在定义域
内为增函数，得y = 4x - ax2的最大值为4，
则a > 0，可得x = 2
a 时，函数y = 4x - ax2 的最
大值为4
a = 4，解得a = 1，
此时f(x) = log2 x + log4(4 - x) 的定义域为(0 ,
4)，f(x) = log4(-x2 + 4x) = log4[- (x - 2)2 + 4]
在(0 , 2) 上单调递增，在(2 , 4) 上单调递减，
则得f(x) ≤f(2) = 1，符合题意．
故答案为：1．
14．【解析】设t = a - ax，则y =
t 为增函数，
则函数y =
a-ax(a > 0 , a ≠1) 为单调函数，当
x = 1 时，y = 0，则函数为减函数，故a > 1，则
当x = 0 时，y = 1，
即y =
a-1 = 1，即a - 1 = 1，则a = 2，
则
a
log 5
6 +
a
log 48
5 =
a
log
5
6 ⋅48
5
=
2
log 8 = 3，
故选：C．
15．【解析】因为f(x) 的值域为M 且(1 ,+∞)M，
当a = 0 时，f(x) = 21-x> 0，符合题意，
当a > 0 时，y = ax2- x + 1 ≥4a-1
4a
，
f(x) = 2ax2-x+1≥2
4a-1
4a ，
所以2
4a-1
4a ≤1，解得0 < a ≤1
4 ，
当a < 0 时，y = ax2- x + 1 ≤4a-1
4a
，
f(x) = 2ax2-x+1≤2
4a-1
4a ，显然不符合题意，
故0 ≤a ≤1
4 ．故选：B．
16．【解析】A 选项，f(-x) =-f(x)，故A 不符
合题意；
B 选项，f(-x) =-f(x)，故B 不符合题意；
C 选项，f
1
x
= f(x)，故C 不符合题意；
D 选项，f (-x) = (-x) 2 -
1
(-x)2 = x 2 - 1
x2 =
f(x)，f
1
x
= 1
x2 - x2 =-f(x)，故D 符合题意．
故选：D．
17．【解析】由函数y = f(x) 的图象知，f(x) 是对
数函数类型，且为单调递增函数，
其解析式可能为y =
2
log (2x)，其他选项对应的函
数均不合题意．故选：C．
·133·
18. 【解析】解：令t = 1
x ，则t ≠0 且t ≠-1，
∴x = 1
t ∵f
1
x
=
1
1+x
∴f t
=
t
1+t t≠-1且t≠0
，
∴f x
=
x
1+x x≠-1且x≠0
故选：B．
19. 【解析】解：∵二次函数f(x) 满足f(0) = 2，
f(x) - f(x - 1) = 2x + 1，
∴设f(x) = ax2+ bx + c，a ≠0，
∴f(0) = c = 2．ax2 + bx + c - a(x - 1)2 - b(x - 1)
- c = 2 x + 1 ．∴2 ax - a + b = 2 x + 1 ，∴
2a=2
b-a=1
，解得a=1
b=2
，
∴f(x) = x2+ 2x + 2，
令t = x2+ 1，则t ≥1．
函数f(x2 + 1) 即为f(t) = t2 + 2t + 2 = (t + 1)2 + 1，
又f(t) 在[1，+∞) 上单调递增．∴f(t)min = f(1)
= 5，∴函数f(x2+ 1) 的最小值为5．
20. 【解析】定义域x ∈R，原式变形为(2y - 1)x2
+ (2y - 1)x + (3y - 1) = 0(⊗)；
①当y = 1
2 时，方程⊗无解；②当y ≠1
2 时，由
于x ∈R，故Δ = (2y - 1)2- 4(2y - 1) (3y - 1) ≥0，
解得3
10 ≤y ≤1
2 ；综上y ∈
3
10 ，1
2
．
21. 【解析】由1 - x2 ≥0，得-1 ≤x ≤1，设x =
cosθ ( θ ∈[ 0 ，π ] ) ，则y = sin θ + cos θ =
2 sin θ+ π
4
，θ +
π
4
∈[ π
4 ，5π
4
] ，
2 sin θ+ π
4
∈[-1，
2 ]，所以原函数的值域
是[-1，
2]．
22．【解析】因为
2f(x)-3f(-x)=5sin2x+cos2x
2f(-x)-3f(x)=-5sin2x+cos2x
可得f(x) = sin2x - cos2x =
2 sin 2x- π
4
，
对于选项A，令2kπ - π
2 ≤2x - π
4 ≤2kπ + π
2 得
kπ - π
8 ≤x ≤kπ + 3π
8 ，
令k = 0，可得f(x) 在- π
8 , 3π
8
上单调递增，
同理可求f(x) 在
3π
8 , 7π
8
上单调递减，A 不正
确；对于选项C，当x = 5π
8 时，2x - π
4 = π，所
以点
5π
8 ,0
是函数y = f(x) 图像的一个对称中
心，C 正确；对于选项B，当x = π
8 时，2x - π
4
= 0，所以直线x = π
8 不是函数y = f(x) 图像的对
称轴，B 不正确；
对于选项D，将函数y = f(x) 图像向右平移π
8 个
单位，可得到y =
2 sin 2x- π
2
的图像，D 不正
确．故选：C．
23. 【解析】因为f(x) + xf(2 - x) = 2，①
所以f(2 - x) + (2 - x)f[2 - (2 - x)] = 2，
即f(2 - x) + (2 - x)f(x) = 2，②
由①②消去f(2 - x) 得：(x - 1)2f(x) = 2(1 - x)，
③
当x = 1 时，由①可得f(1) = 1；
当x ≠1 时，由③可得f(x) =
2
1-x ；
故答案为：f(x) =
1，x=1
2
1-x ，x≠1
．
24．【解析】因为f(x) =
x
ax+b ，且a ≠0，可知
x ≠- b
a ，令f(x) =
x
ax+b = x，整理可得ax2 + (b
- 1)x = 0，解得x = 0 或x = 1-b
a
，
若方程f(x) = x 有唯一解，则1-b
a
= 0 或1-b
a
=
- b
a ，解得b = 1，
又因为f(2) =
2
2a+1 = 1，解得a = 1
2 ，
所以f(x) =
x
1
2 x+1
=
2x
x+2 ．
故答案为：f(x) =
2x
x+2 ．
25．【解析】方法一：函数f(x) = ex-1
ex+1 = 1 -
2
1+ex ，因为ex> 0，所以1 + ex> 1，
所以0 <
1
1+ex < 1．所以-2 <-
2
1+ex < 0．
所以-1 < 1 -
2
1+ex < 1，即-1 < f(x) < 1．
当-1 < f(x) < 0 时，[f(x)] =-1；
当0 ≤f(x) < 1 时，[f(x)] = 0．
·134·
故[f(x)] 的值域为{-1，0}．
方法二：由f(x) = ex-1
ex+1 ，得ex= f(x)+1
1- f(x) ．
因为ex > 0，所以f(x)+1
1- f(x) > 0，解得-1 < f(x) <
1．
当-1 < f(x) < 0 时，[f(x)] =-1；
当0 ≤f(x) < 1 时，[f(x)] = 0．
所以[f(x)] 的值域为{-1，0}．
故选：B．
26．【解析】当x <-2 时，f(x) = 2x- 1，因为函
数y = 2x在(-∞,-2) 上单调递增，
所以函数y = 2x- 1 在(-∞,-2) 上单调递增，
又2x> 0，所以f(x) ∈-1,- 3
4
，
当x ≥-2 时，f(x) = x2 - 1，f(x) ∈[-1，+∞)，
所以f(x) 的值域为[-1，+∞)．
故选：B．
27．【解析】因为-1 ≤sinx ≤1，
所以0 ≤1 + sinx ≤2，故h(x) ∈[0，
2]，
则[h(x)] 的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．
28．【解析】f(x) = 3
2 sin2x +
3
2
cos x -
3
2
=
3
2 sin2x +
3
2 (2
2
cos x - 1)
= 3
2 sin2x +
3
2 cos2x =
3 sin 2x+ π
6
，
又由x ∈0，π
2
，得π
6 ≤2x + π
6 ≤7π
6 ，
故-
3
2
≤f(x) ≤
3 ，则y = [ f(x)] 的值域为{
-1，0，1}．故选：D．
29. 【解析】对不等式分类讨论，即x > 1，x = 1，
x < 1，分别求出f(x)，然后由f(f(a)) ∈(0，1)
①如果x > 1，f (x) = sgn(1-x)+1
2
⋅f 1(x) +
sgn(x-1)
2
⋅f2(x) =-2x + 4；
②如果x = 1 时，f (x) = sgn(1-x)+1
2
⋅f1(x) +
sgn(x-1)
2
⋅f2(x) = x2-2x+5
2
．
③如果当x < 1 时，f(x) = sgn(1-x)+1
2
⋅f1(x) +
sgn(x-1)
2
⋅f2(x) = x2+ 1．
综上所述：f(x) =
x2+1，x<1
1
2 x2-x+2.5，x=1
-2x+4，x>1
，其图象
如图所示：
结合图象可得实数a 的取值范围是(
2
2 ，1) ∪(1，
5
4 )
故选：D．
30．【解析】函数f(x) = -x2-2ax-2,
x<0
ax+1,
x≥0
的值域为R，
若0 < a < 1，当x ≥0 时f(x) = ax + 1，此时f(x)
∈(1，2]，
又当x < 0 时f(x) =-x2 - 2ax - 2 =- (x + a)2 + a2
- 2 ≤a2- 2，
此时f(x) 的值域不可能为R，故舍去；
所以a > 1，则当x ≥0 时f(x) = ax + 1，此时f(x)
∈[2，+∞)；
当x < 0 时f(x) =-x2 - 2ax - 2 =- (x + a)2 + a2 -
2 ≤a2 - 2，要使f(x) 的值域为R，则a2-2≥2
a>1
，
解得a ≥2，即a 的取值范围是[2，+∞)．
故选：B．
31．【解析】当x ≥1 时，y = x - 1
x 单调递增，
故y ≥0，若使得f(x) 的值域为R，
则1-a>0
1-a+2a≥0
，解得-1 ≤a < 1．
故选：C．
32．【解析】因为函数f(x) =
(1-3a)x+5a,
x<1
5
log x,
x≥1
的值域为R，
当x ≥1 时，f(x) =
5
log x ≥0，
故当x < 1 时，f(x) = (1 - 3a)x + 5a 单调递减，
且1 - 3a + 5a ≥0，
即1-3a>0
1+2a≥0
，解得- 1
2 ≤a < 1
3 ．
·135·
故选：D．
33．【解析】由题知，f(x) =
2
log x + 2x 在区间(2
,+∞) 上单调递增，
∴f(x) 在区间(2 ,+∞) 上的值域为(5 ,+∞)，
x ≤2 时，f(x) = ax2 + 2ax + 4a + 6 = a(x + 1)2 +
3a + 6，其对称轴为x =-1，要使f(x) 的值域为
R，则f(x) 在区间(-∞，2] 上的值需取遍区间(
-∞，5] 内所有值，
∴a < 0 且f(-1) = a - 2a + 4a + 6 ≥5，解得- 1
3
≤a < 0．故选：C．
34．【解析】设h(x) = 1 +
a
log (x + 1) (x > 1)，
g(x) = 4 - 2x(x ≤1) 的值域分别为M、N，
当x ≤1 时，由0 < 2x ≤2 可得N = [2，4)；根据
题意，f(x) 的值域为[2，+∞)，所以[4，+∞)
M，+∞)，
可知a > 1 且h(x) ∈(1 +
a
log 2，+∞)，
所以2 ≤1 +
a
log 2 < 4，解得3 2 < a ≤2，即实数
a ∈( 3 2，2]．故选：D．
35．【解析】当x ≤2 时，f(x) = 8 - 2x∈[4，8)，
当x > 2 时，f(x) = 3 +
a
log x，
∵函数f(x) 的值域是[4，+∞)，
∴当x > 2 时的值域是[4，+∞) 的子集，
若0 < a < 1，函数f(x) 为减函数，不满足条件．
当a > 1 时，当x > 2 时，f(x) = 3 +
a
log x 是增函
数，且f(x) > f(2) = 3 +
a
log 2，
此时只要4 ≤3 +
a
log 2 < 8，即1 ≤
a
log 2 < 5，
得1 ≤
1
log2a ≤5，则1
5 <
2
log a ≤1，
得5 2 < a ≤2，即实数a 的取值范围是( 5 2，2]，
故选：D．
36．【解析】∵x ≤1 时，0 < 3x ≤3；x > 1 时，
-2x2 + m < m - 2，且f(x) 的值域为(-∞，3]，
∴0 < m - 2 ≤3，∴2 < m ≤5，
∴实数m 的取值范围是：(2，5]．
故答案为：(2，5]．
37. 【解析】对于函数y1 = x2 - 2x，则y1 = (x - 1)
2- 1 ≥-1，当且仅当x = 1 时取等号，
且函数在(-∞，1) 上单调递减，在(1，+∞) 上单
调递增，对于函数y2 =- 2
3 x，令y2 =-1，则x =
3
2 ，且函数在定义域上单调递减，
令x2 - 2x =- 2
3 x，解得x = 0 或x = 4
3 ，所以y2
=- 2
3 x 与y1 = x2 - 2x 的两个交点分别为(0，0)、
( 4
3 ，- 8
9 )，
则函数y2=- 2
3 x 与y1= x2- 2x 的图象如下所示：
当m > 3
2 时，当x > m 时f(x) ∈(-∞，- 2
3 m)，
当x ≤m 时f(x) ∈[-1，+∞)，
显然- 2
3 m <-1，此时函数f(x) 的值域不为R，
不符合题意；
当m < 0 时，当x > m 时f(x) ∈(-∞，- 2
3 m)，
当x ≤m 时f(x) ∈[m2- 2m，+∞)，
此时m 2 - 2 m -
- 2
3 m
= m 2 - 4
3 m =
m m- 4
3
> 0，即m2 - 2m >- 2
3 m，此时函数
f(x) 的值域不为R，不符合题意；
当0 ≤m ≤4
3 时，在x ∈(0，m) 时y2 > y1，即
m2- 2m <- 2
3 m，
此时f(x) 的值域为R，符合题意，
当4
3 < m ≤3
2 时，当x > m 时f (x) ∈(-∞，
- 2
3 m)，当x ≤m 时f(x) ∈[-1，+∞)，
此时- 1 -
- 2
3 m
= 2
3 m - 1 ≤0 ，即- 1 ≤
- 2
3 m，此时函数f(x) 的值域为R，符合题意；
综上可得0 ≤m ≤3
2 ，即实数m 的取值范围是
·136·
[0，3
2 ]．故答案为：[0，3
2 ]．
38. 【解析】因为f(x) = x+1，x≤0，
x2+1，x>0，
且f(x) +
f x- 1
2
> 1，所以分如下三种情况化简：
①当x ≤0 且x -
1
2
≤0 时，得到
x≤0
x- 1
2 ≤0
x+1+x- 1
2 +1>1
，解得x ∈(- 1
4 ，0]；
②当x > 0 且x -
1
2
≤0 时，得到
x>0
x- 1
2 ≤0
x2+1+x- 1
2 +1>1
，解得x ∈(0，1
2 ]；
③当x > 0 且x -
1
2
> 0 时，得到
x>0
x- 1
2 >0
x2+1+ x- 1
2
2+1>1
，解得x ∈( 1
2 ，+∞)，
综上所述，x ∈( 1
4 ，+∞)，
故选：C．
39. 【解析】令sinx + cosx = t(- 2 ≤t ≤
2)，
则g(t) = f(x) = [2sinx ⋅cosx] + [sinx + cosx]
= [t2- 1] + [t]，
①当t =- 2 时，t2- 1 = 1，
故g(- 2) = 1 - 2 =-1；
②当- 2 < t <-1 时，0 < t2- 1 < 1，
g(t) = 0 - 2 =-2；
③当t =-1 时，t2- 1 = 0，
g(-1) = 0 - 1 =-1；
④当-1 < t < 0 时，-1 < t2- 1 < 0，
g(t) =-1 - 1 =-2；
⑤当t = 0 时，g(0) =-1 + 0 =-1；
⑥当0 < t < 1 时，-1 < t2- 1 < 0，
g(t) = 0 - 1 =-1；
⑦当t = 1 时，g(1) = 0 + 1 = 1；
⑧当1 < t <
2 时，0 < t2- 1 < 1，
g(t) = 0 + 1 = 1；
⑨当t =
2 时，g( 2) = 1 + 1 = 2；
故共有4 个值-2，-1，1，2；
故选：C．
40. 【解析】由
y=-x+3
y= 3
2 x+ 1
2
，解得x=1
y=2
，
由y=-x+3
y=x2-4x+3
，解得x=0
y=3
或x=3
y=0
，
由y= 3
2 x+ 1
2
y=x2-4x+3
，解得
x= 1
2
y= 5
4
或x=5
y=8
，
作出函数f(x) = max{-x + 3，3
2 x + 1
2 ，x2 - 4x
+ 3} 的图象如图：
由图可知，则f(x) 的最小值为f(1) = 2．
故选：C．
2.2 函数基本性质
1．【解析】根据题意，可得g(x) = f(2x) - f(x) =
e2x+e-2x
2
- ex+e-x
2
= 2 ×
ex+e-x
2
2
- ex+e-x
2
- 1，令t = ex+e-x
2
，由基本不等式得t ≥
ex⋅e-x
= 1，
所以g(x) = h(t) = 2t2 - t - 1 = 2 t- 1
4
2
- 9
8 ，其
中t ≥1．在[1，+∞) 上，h(t) 是关于t 的增函数，
所以当t = 1 时，h(t) 的最小值为h(1) = 0，即g(x)
的最小值为0．故选：A．
2．【解析】由x2 + 4x - 5 ≥0，得x ≤-5 或x ≥
1，∵y =
t 为增函数，t = x2 + 4x - 5 在区间(
-∞，-5] 上是减函数，
∴由复合函数的单调性得：函数y =
x2+4x-5 的
单调减区间为(-∞，-5]，
故答案为：(-∞，-5]．
3．【解析】(1) 由题意知，d(A , P) = |x - 1| +|y
-
1 |
=
| x
-
1 |
+ | x
2
-
1 |
=
x2-x,
x<-1
-x2-x+2,
-1≤x<1
x2+x-2,
x≥1
；
(2) 由题意d(B , N ) = |x - m| +|xex - n|，M (m ,
·137·
n) = max{|x + xex - m - n|，|x - xex - m + n|}．
令g(x) = x + xex，-1 ≤x ≤e，则g(x) = 1 + (x
+ 1)ex > 0 在区间[-1，e] 内恒成立，则g(x) 在区
间[-1，e] 内单调递增，
则-1 - 1
e = g(-1) ≤g(x) = e + ex+1；令h(x) = x
- xex，-1 ≤x ≤e，
则h'(x) = 1 - (x + 1)ex，h'(x) > 0 在区间[-1，0)
内恒成立，h(x) < 0 在区间(0，e] 内恒成立，
则h(x) 在区间[-1，0) 内单调递增，在区间(0，
e] 内单调递减，且h(-1) = 1
e - 1 > h(e) = e -
ex+1；可得：当x ∈[-1，e] 时，h(x) ≥h(e) = e
- ee+1，h(x) ≤h(0) = 0，
所以M(m , n) =
max
-1- 1
e -m-n
，
|e+ee+1-m-n|，|e-ee+1-m+n|，|-m+n|
，．
所以M(m，n) ≥
max
e+ee+1- -1- 1
e
2
，|e-ee+1-0|
2
=
e+ee+1+1+ 1
e
2
，当m + n =
e+ee+1-1- 1
e
2
时等
号成立，M(m , n) 取得最小值；
所以M(m , n) 的最小值为
e+ee+1+1+ 1
e
2
．
4．【解析】因为函数f(x) 满足f(x) = f(2 - x)，
所以f(x) 的图象关于直线x = 1 对称，
又f(x) 在区间(1 ,+∞) 上单调递增，
所以f(x) 在区间(-∞, 1) 上单调递减．
因为f(2 - x) > f(x + 4)，
所以|(2 - x) - 1| > |(x + 4) - 1|，
即|1 - x| > |x + 3|，|x - 1| > |x + 3|，
平方得：x2- 2x + 1 > x2+ 6x + 9，
解得x <-1，所以x 的取值范围为(-∞,-1)．
故选：B．
5．【解析】根据题意，定义在R 上的函数f(x) 的
图象是一条连续不断的曲线，且f(x) 满足f(x) =
f(4 - x)，则f(x) 的图象关于直线x = 2 对称，则
有f(0) = f(4)，而f(4) + f(0) = 0，则有f(4) = f(0)
= 0，由f(x) 在(-∞, 2) 上单调递减，可知f(x) 在
(2 ,+∞) 上单调递增，
画出f(x) 的大致图象如下所示，
结合图象及
f(x)
2-x
< 0 可得
2-x>0
0<x<4
或
2-x<0
x 0或x
4
，解得0 < x < 2 或x > 4，
不等式f(x)
2-x < 0 的解集为(0，2)(4，+∞)．
故选：D．
6．【解析】f(x) = (1 - 4a)
2a
log
4- 2
a
x
在(
-∞, 0) 上单调递减，由题意可得2a > 0 及4 - 2
a
< 0，解得0 < a < 1
2 ，所以0 < 2a < 1，故y =
log2a
4- 2
a
x
在(-∞, 0) 上单调递增，
所以1 - 4a < 0，a > 1
4 ，综上可得1
4 < a < 1
2 ，
故选：B．
7．【解析】对任意的x，y ∈I，f(xy) = f(x) +
f(y)，且当x > 1 时，f(x) < 0，
A 选项，令x = y = 1，则f (1) = f (1) + f (1) =
2f(1)，所以f(1) = 0，A 正确；
B 选项，令x = y =-1，则f(1) = f(-1) + f(-1) =
0，所以f(-1) = 0，令y =-1，则f(-x) = f(x) +
f(-1) = f(x)，所以f(x) 是偶函数，B 正确；CD
选项，任取x1，x2 且x1 > x2 > 0，则f(x1) - f(x2)
= f
x1
x2
，因为x1 > x2 > 0，所以x1
x2
> 1，因此，
f(x1) - f(x2) = f
x1
x2
< 0，即f(x1) < f(x2)，所以
f(x) 在区间(0 ,+∞) 上单调递减，C 错误，D 正
确．故选：ABD．
8．【解析】A 选项中，因为f(x) =-f(x)，所以
2f(x) = 0，所以f(x) = 0，故A 正确；
B 选项中，因为f(x + 1) + f(x) = 1，所以f(x + 1)
= 1 - f(x)，所以f(x + 2) = 1 - f(x + 1) = f(x)，
故B 错误；C 选项中，不妨设x1 < x2，则f(x1) <
f(x2)，所以f(x) 是R 上的增函数，故C 正确；D
选项中，若f(x) = x2，满足| f(-x)| = | f(x)|，但
·138·
f(x) = 0 不成立，故D 错误．
故选：AC．
9．【解析】0 < a < 1，函数f(x) =
a(x+2),x<-a,
a2-x2,-a≤x≤a,
-a(x-2),x>a.
，定义域为R，
若x <-a，则-x > a，代入得：f(-x) =-a(-x
- 2) = a(x + 2) = f(x)，
若x > a，则-x <-a，代入得：f(-x) = a(-x +
2) =-a(x - 2) = f(x)，
若-a ≤x ≤a，代入得：f(-x) =
a2-(-x)2 =
a2-x2 = f(x)，即f(-x) = f(x)，因此f(x) 是偶
函数．
①当x <-a 时，f(x) = a(x + 2)，a > 0，函数单
调递增，因此f(x) < a(-a + 2) = 2a - a2，开区间
x <-a 取不到x =-a，因此无法达到2a - a2；
②当x > a 时，f(x) =-a(x - 2)，a > 0，函数单
调递减，
所以f(x) <-a(a - 2) = 2a - a2，同理开区间x >
a 也无法取得2a - a2；
③当-a ≤x ≤a 时，f(x) =
a2-x2 ≤a，由0 <
a < 1 得：2a - a2 - a = a(1 - a) > 0，即a < 2a -
a2，所以中间段最大值也小于2a - a2，
所有函数值都小于2a - a2，且不存在x 使得f(x)
= 2a - a2，所以f(x) 没有最大值．
故选：B．
10．【解析】函数f(x) = x2-bx+c,x≤1,
-ax,x>1
是减
函数，知
a>1
1-b+c≥-a
b
2 ≥1
，则b ≥2，a + c ≥b - 1
≥1，可得b(a + c) ≥b(b - 1) ≥2，当且仅当b =
2，a + c = b - 1 = 1 时等号成立，
于是a + b + c = 1 + 2 = 3．故选：C．
11．【解析】根据题意，函数y =-x2+ (2a - 3)x
+ 3a 为开口向下的二次函数，则f(x) 在(-∞, 0)
上只能递增，故f(x) 在R 上的单调增函数，
则有
a>1
2a-3
2
≥0
3a≤loga1+6
，解可得3
2 ≤a ≤2，即a 的
取值范围为
3
2 ，2
．故选：C．
12．【解析】因为函数在R 上单调递减，所以函
数(-∞, 0) 和[0，+∞) 上都单调递减，
且(2a - 1)ln(e - 0) ≥2 - a2，
解得a ≤-3 或a ≥1；①
又因为y = ln(e - x) 在(-∞, 0) 上单调递减，
所以2a - 1 > 0，解得a > 1
2 ；②
又因为当x ≥0 时，
f(x) = 2-a2
eax
在[0，+∞) 上单调递减，
所以2-a2>0
a>0
或2-a2<0
a<0
，
解得0 < a <
2 或a <- 2；③
由①②③可得，1 ≤a <
2．故选：C．
13．【解析】根据题意，函数f(x) =
a-2-x,
x≤0
ln(x+1),
x>0
是R 上的增函数，
则有a - 1 ≤ln1 = 0，解得a ≤1，
由f(a + x2) ≥f(x) 恒成立，则有a + x2 ≥x，即a
≥- x- 1
2
2
+ 1
4 恒成立，
所以，当x = 1
2 时，函数y =- x- 1
2
2
+ 1
4 取得
最大值1
4 ，所以，a ≥1
4 ，即a ∈
1
4 ,1
，
因此，实数a 的取值范围是
1
4 ,1
．
故选：D．
14．【解析】由题意知，当x ≤0 时，f(x) 单调递
减；当x > 0 时，f(x) 单调递减，且x = 0 时函数
连续，所以f(x) 在R 上单调递减，
故不等式f(x + 3) < f(x2 + 3x) 等价于x + 3 > x2 +
3x，即x2+ 2x - 3 < 0，
解得-3 < x < 1，所以原不等式的解集为(-3 , 1)．
故选：A．
15．【解析】根据题意，函数f(x) 在定义域R 上
单调，且x ∈(0 ,+∞) 时均有f(f(x) + 2x) = 1，则
f(x) + 2x 为常数，设f(x) + 2x = t，则f(x) =-2x
+ t，则有f(t) =-2t + t = 1，解可得t =-1，则
f(x) =-2x - 1，
故f(-2) = 4 - 1 = 3；故选：A．
16．【解析】根据题意，定义在(0 ,+∞) 上的单调
函数f (x) 对任意的x ∈(0 ,+∞) 都有f ( f (x) -
3
log x) = 4，
·139·
则f(x) -
3
log x 为常数，设f(x) -
3
log x = t，则
f(x) =
3
log x + t，
又由f(t) =
3
log t + t = 4，解可得t = 3，
则f(x) =
3
log x + 3，则f(x) 在(0 ,+∞) 上的单调递
增，f(x2 + 2x) > 4 ⇒f(x2 + 2x) > f(3) ⇒x2 + 2x >
3，即x2 + 2x - 3 > 0，解可得x <-3 或x > 1，即
不等式的解集为(-∞，-3)(1，+∞)；
故答案为：(-∞，-3)(1，+∞)．
17．【解析】根据题意，若f(x) 是偶函数，当x ≥
0 时，有f(|x|) = f(x)，当x < 0 时，f(|x|) = f(-x)
= f(x)，
综合可得：f(|x|) = f(x) 对切x ∈R 恒成立，故
“f(x) 是偶函数”是“f(|x|) = f(x) 对切x ∈R 恒
成立”的充分条件；
若f(|x|) = f(x)，而函数f(|x|) 为偶函数，则函数
f(x) 是偶函数，
故“f(x) 是偶函数”是“f(|x|) = f(x) 对切x ∈R
恒成立”的必要条件；
综合：“f(x) 是偶函数”是“f(|x|) = f(x) 对切x
∈R 恒成立”的充分必要条件；
故选：C．
18．【解析】当a = 2 时，f(x) = 2ex- e-x显然不
是奇函数，A 错误；
当a =-1 时，f(x) =-ex- e-x为偶函数，B 正确；
当a =-1 时，f(x) =-ex - e-x，f(0) =-2，f(1) =
-e - 1
e ，显然f(0) > f(1)，C 错误；若f(x) 为减
函数，则存在a ∈R，使得f'(x) = aex + e-x ≤0 恒
成立，
不论a 为正还是负，当x →+∞和x →-∞时，总存
在f'(x) > 0 的情况，
即不存在a，使得a ≤-e-2x恒成立，D 错误．
故选：B．
19．【解析】因为f(x) =
2
3-3x ，
所以f(x + 2) + 1
3 =
2
3-3x+2 + 1
3 = 1-3x
1-3x+1 不是
奇函数；令g(x) = f(x + 1) - 1
3 =
2
3-3x+1 - 1
3 =
1+3x
3(1-3x) ，则g(-x) =
1+3-x
3(1-3-x) =
3x+1
3(3x-1) =
-g(x)，即f(x + 1) 为奇函数；
f (x + 2) + 3 =
2
3-3x+2 + 3 = 11-3x+1
3-2x+2 不是奇函
数；f(x + 1) - 3 =
2
3-3x+1 - 3 = 3x+2-4
3-3x+1 不为奇
函数．故选：B．
20．【解析】根据题意可得，使得函数有意义的条
件：a +
2
1+x > 0 且1 + x ≠0
根据奇函数的性质可得f(0) = 0
所以，lg(a + 2) = 0 , a =-1 满足函数的定义域
故答案为：-1
21．【解析】f(x) = cos(2x + φ) (x ∈R) 为偶函
数，由f(-x) = f(x) 可得：cosφ =±1，
解得φ = kπ，k ∈Z．
∴“φ = 0”是“f(x) = cos(2x + φ) (x ∈R) 为偶函
数”的充分不必要条件．
故选：A．
22．【解析】由题意，令t = ex(t > 0 , t ≠1)，
则f(-x) + f(x) = 3t-1-1
t-1-1
- b + 3t-1
t-1
- b = 0，
所以t-3
t-1
+ 3t-1
t-1
= 2b．
t > 3 时，t-3
t-1
+ 3t-1
t-1
= 4；1 < t < 3 时，
t-3
t-1
+
3t-1
t-1
= 2 +
4
t-1 ；0 < t < 1 时，
t-3
t-1
+ 3t-1
t-1
= 4，
所以2b = 4，所以b = 2．故选：B．
23．【解析】根据题意，当x > 0 时，则-x < 0，
则f(-x) = 3(-x)2+ 2(-x) - 1 = 3x2- 2x - 1，又
由f(x) 为偶函数，则f(x) = f(-x) = 3x2- 2x - 1．
故选：D．
24．【解析】∵f(x) 是定义在R 上的奇函数，且x
≤0 时，f(x) = x(x - 1)，
设x > 0，-x < 0，则：f(-x) =-x(-x - 1) =
-f(x)，∴f(x) =-x(x + 1)．
故答案为：-x(x + 1)．
25．【解析】由函数g(x) = f(x) - 3 为奇函数，可
得g(-x) =-g(x)，
即f (-x) - 3 =- [ f (x) - 3]，所以f (-x) = 6 -
f(x)，又由不等式f(3 - 2x2) + f(3x - 4) < 6，可
得f(3x - 4) < 6 - f(3 - 2x2) = f(2x2- 3)，
因为函数f(x) 是[-1，1] 上的单调递增函数，
·140·
所以
-1≤3x-4≤1
-1≤2x2-3≤1
3x-4<2x2-3
，解得1 < x ≤
2，
所以不等式的解集为(1 ,
2]．故选：D．
26．【解析】因为f(x) = ex+2+ e-x，g(x) = x3+
a，所以F(1) = f[g(1)] = f(a + 1) = ea+3+ e-a-1，
F(-1) = f[g(-1)] = f(a - 1) = ea+1+ e1-a，又F(x)
= f[g(x)] 为偶函数，则ea+3+ e-a-1= ea+1+ e1-a，
左右两边同时乘以ea+1 得，e2a+4 + 1 = e2a+2 + e2，
即(e4 - e2)e2a = e2 - 1，得e2a = e-2，解得a =-1；
检验：当a =-1 时，F(x) = f[g(x)] = f(x3 - 1) =
ex3+1 + e1-x3，F(-x) = e-x3+1 + e1+x3，则F(x) = F(
-x)，故F(x) 为偶函数．故选：A．
27．【解析】因为偶函数f(x) 和奇函数g(x) 满足
f(x) + g(x) = ln|x| +4x3+ 2，
所以f(-1) + g(-1) = ln| -1| +4 × (-1)3 + 2 =-2，
又f(-1) = f(1)，所以f(1) + g(-1) = f(-1) + g(
-1) =-2．故选：A．
28．【解析】令x = y =-1，则f(1) =-2f(1) + 1，
所以f(1) = 1
3 ，令x = y = 1，则f(1) = 2f(-1) +
1，所以f(-1) =- 1
3 ，令y =-1，则f(-x) =-f(
-x) + f(1)
x
- 1
x =-f(-x) + 1
3x - 1
x =-f(-x) -
2
3x ，所以f(-x) =- 1
3x ，
令y = 1，则f(x) = f(-x) + f(-1)
x
+ 1
x =- 1
3x -
1
3x + 1
x = 1
3x ，所以f(x) = 1
3x ，
因为f(-x) =- 1
3x =-f(x)，且定义域关于原点对
称，所以函数f(x) 是奇函数，由反比例函数的单
调性可得函数f(x) = 1
3x 在(0 ,+∞) 上单调递减．
故选：A．
29．【解析】因为函数f(x) 的定义域为R，f(1) =
0，若f(xy) - f(x)f(y) = f(x + y) - 1，
所以针对各个选项分析如下：
对于A，令x = 1，y = 0，则f(0) - f(1)f(0) = f(1)
- 1，故f(0) =-1，故A 错误；
对于B，令y = 1，则f(x) - f(x)f(1) = f(x + 1) -
1，所以f(x + 1) = f(x) + 1，故{f(n)} (n ∈N *) 为
等差数列，首项为零，公差为1，
故
19
n=1
f(n) = 19 × 0 + 19×18
2
× 1 = 171，故B 错
误；对于C，因为f(x + 1) = f(x) + 1，f(1) = 0，
故f(1) = f(0) + 1，
故f(0) =-1，同理f(-1) =-2，
在f(xy) - f(x)f(y) = f(x + y) - 1 中令y =-1，
则f(-x) + 2f(x) = f(x - 1) - 1，由B 的分析可得
f(x - 1) = f(x) - 1，
所以f(-x) + 2f(x) = f(x) - 2，所以f(-x) + f(x)
=-2，所以f(-x) + 1 + f(x) + 1 = 0，所以f(-x +
1) + f(x + 1) = 0，
所以函数f(x + 1) 是奇函数，故C 正确；
对于D，由C 的分析可得f(-x) + f(x) =-2 即f(
-x) + 1 + f(x) + 1 = 0，故函数f(x) + 1 是奇函数，
故D 错误．故选：C．
30．【解析】设g(x) = sinx + x3，显然它定义域
关于原点对称，且g(-x) = sin(-x) + (-x)3=
- (sinx + x3) =-g(x)，
所以g(x) 为奇函数，f(-a) = g(-a) + 1 = m，则g(
-a) =-g(a) = m - 1，所以g(a) = 1 - m，f(a) =
g(a) + 1 = 1 - m + 1 = 2 - m．
故选：C．
31．【解析】由题图知该函数图像关于y 轴对称，
则该函数为偶函数．
对于A，因为f(-x) =
-x
e-x+ex =-f(x)，所以函
数f(x) 是奇函数，故A 不正确；
对于C，当x > 0 时，h(x) > 0 恒成立，与图像不
符，故C 不正确；
对于D，p(0) = 2，与图像不符，故D 不正确；
对于B，因为g(-x) =-xsin(-x) = xsinx = g(x)，
是偶函数，
x →+∞时，xsinx 在x 轴附近振荡，但整体趋势是
振幅越来越大，符合题意，故B 正确．
故选：B．
32．【解析】由已知，f(x) 定义域为{x|x ≠0}，
f(-x) =
2
(-x)2+|-x|
=
2
x2+|x| = f(x)，
所以f(x) 为偶函数，图象关于y 轴对称，故AB 错
误，又x ≠0 时，f(x) > 0 恒成立，所以C 错误，
D 正确．故选：D．
33．【解析】由f(x) =
x
x2-1 得x ≠±1，所以f(x)
·141·
的定义域关于原点对称，且f(-x) =
-x
(-x)2-1
=
-
x
x2-1 =-f(x)，
所以f(x) 是定义域上的奇函数，图象关于原点对
称，排除选项AD；
0 < x < 1 时，x2- 1 < 0，所以f(x) =
x
x2-1 < 0，
排除选项C，选项B 符合题意．
故选：B．
34．【解析】由图象知，f(x) 定义域为{x|x ≠0}，
且为奇函数，
A 选项，f(x) =
ln|x|cos x
2
x
，为奇函数，
B 选项，f(x) = ln|x|cosx
x2
，为偶函数，
C 选项，f(x) = ln|x|cosx
x
，为奇函数，
D 选项，f(x) 为偶函数，故排除BD，
又f(1) = 0，且f(x) 在(1 , 2) 上有一零点，对于A，
令f(x) = 0，得x = 1 后一个零点为x = π > 2，故
不符合题意，
对于C，令f(x) = 0，得x = 1 后一个零点为x =
π
2 < 2，故符合题意．故选：C．
35．【解析】根据图象可知，f(x) 的图象关于y 轴
对称，所以f(x) 是偶函数，则f(-x) = f(x)，且函
数f(x) 过点
π
2 ,0
，
对于B，f(-x) = sin(-x)
(-x)2+1
+ 1 =- sinx
x2+1 + 1 ≠
f(x)，不为偶函数，不符合题意，
对于A，f
π
2
=
sin2 π
2
π
2
2+1
+ 1 =
4
π2+4 + 1 ≠0，
不符合题意，
对于D，当π
2 < x < 3π
2 时，f(x) = cosx
x2+1 < 0，
不符合题意，
对于C，满足f(-x) = f(x)，f
π
2
= 0，以及π
2
< x < 3π
2 时，f(x) > 0，符合图象特征．
故选：C．
36．【解析】由图象得，所求函数为奇函数，
A：令g(x) = xsin 1
x ，函数的定义域为非零实数
集，因为g(-x) =-xsin
1
-x
= xsin
1
x
，所以
该函数为偶函数，不符合题意；
B：令n(x) = xcos 1
x ，函数的定义域为非零实数
集，因为n(-x) =-xcos
1
-x
=-xcos 1
x ，
所以该函数是奇函数，当自变量x 趋于正无穷时，
1
x 趋于0，cos 1
x 趋于1，
所以该函数的函数值x 趋于正无穷，故B 符合；
C：令m(x) = 1
x sin 1
x ，函数的定义域为非零实数
集，因为m(-x) =
1
-x sin
1
-x
= 1
x sin
1
x
，
所以该函数为偶函数，不符合题意；D：设函数
f(x) = 1
x cos 1
x ，函数的定义域为非零实数集，因
为f(-x) =
1
-x cos
1
-x
=- 1
x cos 1
x =-f(x)，
所以该函数是奇函数，
则f
1
4π
= 4π > f
1
2π
= 2π，即f
1
2nπ
= 2nπ，
n 越大，横坐标越接近坐标原点，纵坐标越大并趋
于正无穷，
但图中在横坐标接近坐标原点时没有趋于正无穷的
趋势，所以不符合．故选：B．
37．【解析】A．反比例函数f(x) = 1
x 在定义域
内没有单调性；B．f(x) 定义域为{x|x ≤0}，不
关于原点对称，不是奇函数；
C．f(x) 定义域为R，f(-x) = 2x - 2-x =-f(x)；
∴该函数为奇函数；
f'(x) =-2-xln2 - 2xln2 < 0；∴该函数在定义域内
为减函数；∴该选项正确；
D．f(-x) = f(x)；∴该函数不是奇函数．
故选：C．
38．【解析】函数f(x) =
a
ex+1 - 1 为奇函数，
f(x) 的定义域为R，
由f(-x) + f(x) =
a
e-x+1 - 1 +
a
ex+1 - 1 = a - 2
= 0，∴a = 2，
函数g(x) = ln[(x - 1) (x - 2)] 的定义域为(-∞，
1)(2，+∞)，
·142·
函数y = lnx 在定义域内单调递增，
当x ∈(-∞，1)(2，+∞) 时，y = (x - 1) (x -
2) 的单调递增区间为(2 ,+∞)，
所以g(x) = ln[(x - 1) (x - 2)] 的单调递增区间为
(2 ,+∞)．故选：D．
39. 【解析】定义在R 上的偶函数y = f(x) 在[0，
+∞) 上是严格减函数，
若f(x - 1) > f(1)，则f(|x - 1|) > f(1)，
所以|x - 1| < 1，解得0 < x < 2，即不等式的解集
为(0 , 2)．故选：A．
40. 【解析】f x
= coshx = ex+e-x
2
，
对于A：2f2 x
- 1 = 2 ex+e-x
2
2
- 1 = e2x+e-2x
2
= f 2x
，故A 正确；
对于B：f x+T
= ex+T+e- x+T
2
，不存在非零常
数T，使f x+T
= f x
成立，故B 错误；
对于C：f x
的定义域为R，fx
= ex-e-x
2
，
满足f-x
= e-x-ex
2
=-fx
，所以fx
是奇
函数，故C 正确；
对于D：当x ∈-∞,0
时，fx
= ex-e-x
2
≤0，
所以f x
在-∞,0
上单调递减，故D 正确．故
选：ACD．
41. 【解析】A 正确；sinh (2x) = 2sinh (x)cosh
(x) ≠sinh(x) ⋅cosh(x)，B 错误；
因为cosh(x) = ex+e-x
2
≥
ex⋅e-x = 1，当且仅当
x = 0 时，f(x) 在R 上取得最小值1，C 正确；令
cosh(x) = t，则t ≥1，于是g(x) = 0，即t2 - t - 2
= 0，解得t = 2 或t =-1(舍去)，
即x = 0，因此函数g(x) 在R 上只有一个零点x =
0，D 正确．
故选：ACD．
42．【解析】因为f(x) = ex+e-x
2
，g(x) =
ex-e-x
2
，对任意x ∈R，都有f(2x) ≥ag(x) 成立，
即∀x ∈R，e2x+e-2x
2
≥a ⋅ex-e-x
2
恒成立，令t
= ex- e-x，t ∈R，则t2= e2x+ e-2x- 2，故原式化
简为∀t ∈R，t2+ 2 ≥a ⋅t，即t2- at + 2 ≥0 恒成
立，
故△= a2- 8 ≤0，所以a 的取值为[-2 2 , 2 2]．
故选：C．
43．【解析】(1) 由题意得，
2
cos (x) -
2
sinh (x) =
ex+e-x
2
2
-
ex-e-x
2
2
= e2x+e-2x+2
4
- e2x+e-2x-2
4
= 1；
(2) 证明：因为cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)
= ex+e-x
2
⋅ey+e-y
2
+ ex-e-x
2
⋅ey-e-y
2
=
(ex+e-x)(ey+e-y)
4
+
(ex-e-x)(ey-e-y)
4
=
ex+y+e-(x+y)
2
= cosh(x + y)，故得证；
(3) 由题意，得4m ex+e-x
2
2
- 2 × e2x-e-2x
2
- 3
≥0 在
1
2 ,+∞
上恒成立，
即m ≥e2x-e-2x+3
e2x+e-2x+2 = e4x+3e2x-1
(e2x+1)2
在
1
2 ,+∞
上恒成立，令f (x) = e4x+3e2x-1
(e2x+1)2
，则f (x) =
(e2x+1)2+(e2x+1)-3
(e2x+1)2
=
-3
(e2x+1)2 +
1
e2x+1 + 1，
令t =
1
e2x+1 ，因为x ≥1
2 ，所以e2x + 1 ≥e + 1，
所以0 <
1
e2x+1 ≤
1
e+1 ，
所以f(x) = g(t) =-3t2+ t + 1 =-3 t- 1
6
2
+ 13
12 ，
t ∈0,
1
e+1
，因为函数g(t) =-3t 2 + t + 1 在
0, 1
6
上单调递增，在
1
6 ,
1
e+1
上单调递减，
所以g(t) ≤13
12 ，则m ≥13
12 ，即m 的取值范围为
13
12 ,+∞
．
2.3 基本初等函数
1．【解析】由题意知(5m)2= 52m = (10)2= 100，
所以52m-n= (5m)2
5n
= 100
20 = 5．故选：D．
2．【解析】x < 0，y > 0，化简
4 9x8y4 =
3x
8
4 y
4
4 =
3x2y，故选：B．
3．【解析】2x= 3y = 5z = k，
·143·
则x =
2
log k，y =
3
log k，z =
5
log k，
故1
x + 1
y =
k
log 3 +
k
log 2 =
k
log 6 = a
k
log 5，
故a = logk6
logk5 =
5
log 6．故选：D．
4．【解析】因为2a= 5b= 10，所以a =
2
log 10，b
=
5
log 10，1
a + 1
b = lg2 + lg5 = 1，
所以a > b > 0，a - b > 0，所以ea-b > 1，选项A
正确；
由1
a + 1
b = a+b
ab
= 1，所以a + b = ab，选项B
错误；
因为a + 4b = (a + 4b) 1
a + 1
b
= 5 + 4b
a + a
b ≥5
+ 2
4b
a ⋅a
b = 9，当且仅当4b
a = a
b ，即a = 2b 时
取“=”，所以选项C 错误；
因为1
a + 1
b = 1 ，所以1
a = 1 - 1
b ，所以
1
a +1
2
+
1
b +2
2
= 2- 1
b
2
+ 2+ 1
b
2
= 8 +
2
b2 > 8，选项D 正确．故选：AD．
5．【解析】设3x= 4y = 6z = t > 1，则x =
3
log t，
y =
4
log t，z =
6
log t，
则1
x + 1
2y = logt3 + 1
2 logt4 =
t
log 6 = 1
z ，故A
正确；∵3x = log
3
1
3t，4y = log
4
1
4t，6z = log
6
1
6t，
∵3
1
3
12 = 34 = 81，4
1
4
12 = 43 = 64，6
1
6
12 = 62 =
36，∴3
1
3 > 4
1
4 > 6
1
6 ，又t > 1，
∴3x < 4y < 6z，故B 错误；
x+y
z
= log3t+log4t
log6t
=
3
log 6 +
4
log 6 =
3
log 2 +
3
log 3 +
4
log 2 +
4
log 3
= log32 + 1 + 1
2 log23 + 1
2 = 3
2 + log32 + 1
2 log23
> 3
2 +
2 ，∴x + y >
3
2 +
2
z，故C 正确；
xy
z2 = log3t⋅log4t
log6t⋅log6t =
3
log 6 ⋅
4
log 6 = (
3
log 2 +
3
log 3)
⋅(
4
log 2 +
4
log 3)
= 1
2 (log32 + 1) ⋅(log23 + 1)
= 1
2 (2 + log32 + log23) > 2，
∴xy > 2z2，故D 正确．故选：B．
6．【解析】2a = 9
4
log a+ 3 × 6
4
log a，
令x =
4
log a，则4x = a，所以9
4
log a = 9x = 32x，
6
4
log a= 6x= 2x⋅3x，
即2 ⋅4x = 32x + 3 ⋅2x ⋅3x，所以22x+1 = 32x + 3 ⋅2x ⋅
3x，令u = 2x，v = 3x，则2u2 = v2 + 3uv，所以
2u2- 3uv - v2= 0，即2 u
v
2
- 3 ⋅u
v - 1 = 0，
所以u
v 是一元二次方程的根，且大于0，所以u
v
=
2
3
x
= 3+
17
4
，3b = 2 × 4
6
log b- 9
6
log b，
令y =
6
log b，则6y = b，即3 ⋅6y = 2 × 4y - 9y，所
以3 ⋅2y ⋅3y = 2 ⋅22y - 32y，
令m = 2y，n = 3y，则3mn = 2m2 - n2，所以2m2
- 3mn - n2 = 0，即2 m
n
2
- 3 ⋅m
n - 1 = 0，所以
m
n 是一元二次方程的根，且大于0，所以m
n =
2
3
y
= 3+
17
4
，
因为f (t) =
2
3
t
是单调递减函数，由
2
3
x
=
2
3
y
得x = y，
所以a
b = 4x
6y =
22x
2y⋅3y =
22y
2y⋅3y =
2
3
y
= 3+
17
4
．
故选：B．
7．【解析】由题意得m2- m - 1 = 1，解得m = 2
或m =-1，
当m = 2 时，f(x) = x22-2×2-2 = x-2，为偶函数，故
m = 2 不符合题意，
当m =-1 时，f(x) = x(-1)2-2×(-1)-2= x，为奇函数，
故m =-1 符合题意．
综上所述：m =-1．故选：B．
8．【解析】因为函数f(x) = ax-3+ 3 过定点P，
令x - 3 = 0，解得x = 3，
f(3) = 1 + 3 = 4，故P(3 , 4)，由正弦函数定义可
知sinθ =
4
32+42 = 4
5 ．故答案为：4
5 ．
9．【解析】函数f(x) = xb 与g(x) = ex 的图象在第
一象限内有公共点，等价于xb = ex 在x > 0 时有
解；因为x = 1 时，xb= ex不成立，所以x ≠1 时，
xb = ex 两边取对数，得blnx = x，解得b =
x
lnx ，
x ≠1；设g(x) =
x
lnx ，x > 0 且x ≠1，则g'(x) =
·144·
lnx-1
(lnx)2 ，
令g'(x) = 0，得lnx = 1，解得x = e，
所以x ∈(1 , e) 时，g'(x) < 0，g(x) 单调递减，x
∈(e ,+∞) 时，g'(x) > 0，g(x) 单调递增；
又因为x →1+ 时，lnx →0+，g(x) →+∞，所以
g(x) 在x = e 时取得极小值，也是最小值，为g(e)
= e；所以b ≥e．
0 < x < 1 时，lnx < 0，所以g(x) =
x
lnx < 0；
综上，b 的取值范围是(-∞, 0)[e，+∞)．
故答案为：(-∞, 0)[e，+∞)．
10．【解析】∵2lgy = lgx - lgx
1
3 ，
由对数的运算性质可得，lgy2 = lg x
x
1
3 = lgx
2
3 且y
> 0，x > 0 ∴y2= x
2
3
∴y = x
1
3 (x > 0 , y > 0)
则由幂函数的性质可知满足此式的点M(x , y) 的全
体构成的图象为A 故选：A．
11．【解析】由题意可得f(a) + f(b) > f(c) 对于∀
a，b，c ∈R 都恒成立，
由于f(x) = ex+1+(t-1)
ex+1
= 1 + t-1
ex+1 ，
①当t - 1 = 0，f(x) = 1，此时，f(a)，f(b)，f(c)
都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t - 1 > 0，f(x) 在R 上是减函数，1 < f(a) <
1 + t - 1 = t，
同理1 < f(b) < t，1 < f(c) < t，故f(a) + f(b) >
2．
再由f(a) + f(b) > f(c) 恒成立，可得2 ≥t，结合
大前提t - 1 > 0，解得1 < t ≤2．
③当t - 1 < 0，f(x) 在R 上是增函数，t < f(a) <
1，
同理t < f(b) < 1，t < f(c) < 1，
由f(a) + f(b) > f(c)，可得2t ≥1，解得1 > t ≥
1
2 ．综上可得，1
2 ≤t ≤2，故选：A．
12．【解析】对于4x+ (x - 2) ⋅2x- 1 = 0，令2x=
a，得a2+ (x - 2)a - 1 = 0；
对于4y + y ⋅2y+2- 16 = 0，
令2y = b，b > 0，得b 2 + 4yb - 16 = 0，即1 +
4yb
b2
- 16
b2 = 0，即
4
b
2
+ 4
b (-y) - 1 = 0，
令a = 4
b ，即2x= 4
2y ，则2x+y = 4，
所以x + y = 2，此时
4
b
2
+ 4
b (-y) - 1 = 0，即
为a2+ (x - 2)a - 1 = 0，故x + y = 2，
则2026x+y = 20262．故选：B．
13．【解析】(x1，y1)，(x2，y2) 是y = 2x上的点，
则y1= 2x1，y2= 2x2，
2x1 + 2x2 ≥2 2x1⋅2x2 = 2 2x1+x2 ，当且仅当x1 = x2
时，等号成立，
又(x1，y1)，(x2，y2) 是函数y = 2x 的图象上两个
不同的点，故y1+y2
2
> 2
x1+x2
2 ，
两边同时取对数可得，
2
log y1+y2
2
> x1+x2
2
．
故选：B．
14．【解析】f(x) 是幂函数，则设f(x) = xα，
∵函数f(x) 过点(9 , 3)，
∴9α= 3 ⇒α = 1
2 ，∴函数f(x) = x
1
2 ，
∴函数f(x) = x
1
2 是定义在[0，+∞) 上的增函数，
∵f (2a - 1) < f (3 - 2a)，∴
2a-1≥0
3-2a≥0
2a-1<3-2a
⇒
a≥1
2
a≤3
2
a<1
⇒1
2 ≤a < 1，
∴实数a 的取值范围是
1
2 ,1
．
故答案为：
1
2 ,1
．
15．【解析】对A，由题意可得，x2- 2x > 0，解
得x < 0 或x > 2
因为复合函数同增异减，外层y =
2
log t 是增函数，
内层t = x2- 2x 减区间为(-∞, 1)，
结合定义域得f(x) 的单调减区间为(-∞, 0)，因此
A 错误；
对B，根据幂函数定义，形如y = xα 的函数是幂函
数，因此系数m = 1，
因为函数过
1
2 ,
2
2
，所以
1
2
α
=
2
2 ，解得α
= 1
2 ；
·145·
因此m + α = 1 + 1
2 = 3
2 ，B 正确；
对C，因为y = f(x) 的定义域为[1，2]，所以对y
= f(2x)，满足1 ≤2x ≤2，解得1
2 ≤x ≤1，即y
= f(2x) 的定义域为
1
2 ,1
，C 正确；
对D，因为f(x) = lg(ax2 + 5x + 4) 值域为R，所
以ax2+ 5x + 4 需能取到所有正实数，
当a = 0 时，真数为5x + 4，是一次函数，可取所
有正实数，符合条件；
当a ≠0 时，真数为二次函数，需满足开口向上a >
0，且判别式△= 25 - 16a ≥0，解得a ≤25
16 ，
综上a 的取值范围是0, 25
16
，D 正确．
故选：BCD．
16．【解析】由题意a > 0 且a ≠1，若函数f(x) =
(a+2)
log
x -
a
log x 与g(x) = (a + 2)x+ ax在区间(0 ,
+∞) 上都单调递增，
可知
f
( x )
=
lnx
ln(a+2)
-
lnx
lna
=
1
ln(a+2) - 1
lna
lnx，
因为f (x) 在区间(0 ,+∞) 上单调递增，所以
1
ln(a+2) -
1
lna > 0，
即
1
ln(a+2) >
1
lna ，当a > 1 时，有ln(a + 2) <
lna，即2 < 0，不成立，
当0 < a < 1 时，有ln(a + 2) > 0 > 0，lna < 0，
则
1
ln(a+2) >
1
lna 成立，所以0 < a < 1；
又g(x) = (a + 2)x + ax 在区间(0 ,+∞) 上都单调递
增，
所以g'(x) = (a + 2)xln(a + 2) + axlna ≥0 在x ∈(0 ,
+∞) 时恒成立，
所以1+ 2
a
x
≥-
lna
ln(a+2) 在x ∈(0 ,+∞) 时恒成
立，因为1+ 2
a
x
> 1，
所以-
lna
ln(a+2) ≤1 ⇒-lna ≤ln(a + 2) ⇒lna-1 ≤
ln(a + 2)，所以1
a ≤a + 2 ⇒a2 + 2a - 1 ≥0 ⇒a ≥
2 - 1 或a ≤- 2 - 1，
又0 < a < 1，所以
2 - 1 ≤a < 1．
故选：D．
17．【解析】函数的定义域满足|x - 1| +|x - 5|
-a > 0，即|x - 1| +|x - 5| > a，
(1) 当a = 2 时，f(x) =
2
log (|x - 1| +|x - 5| -2)
设g(x) = |x - 1| +|x - 5|，则g(x) = |x - 1| +|x -
5| =
2x-6
(x≥5)
4
(1<x<5)
6-2x
(x≤1)
．(3 分)
g(x)min = 4，f(x)min =
2
log (4 - 2) = 1．(5 分)
(2) 由(I) 知，g(x) = |x - 1| +|x - 5| 的最小值为
4，7 分|x - 1| +|x - 5| -a > 0，
∴a < 4
∴a 的取值范围是(-∞, 4)．(10 分)
18．【解析】因为曲线y = ex与曲线y = lnx 互为
反函数，则图象关于y = x 对称，
所以只需求出点P 到y = x 上的最小距离d 即可，
设曲线y = ex 上斜率为1 的切线为y = x + b，因为
y' = ex，由ex= 1，可得x = 0，
所以切点为(0 , 1)，即b = 1，则切线方程为y = x
+ 1，所以d = |0-1|
12+12 =
2
2 ，
所以|PQ| 的最小值为
2 ，无最大值，即|PQ| ∈
[ 2 ,+∞)，
故选：B．
19．【解析】A：由题意得x1+ lnx1= 0 , ex2+ x2
= 0，ex2+ x2= 0 可变形为ex2+ lnex2= 0，
又x1 + lnx1 = 0，令h(x) = x + lnx，则h(x1) =
h(ex2)，又h(x) = x + lnx 在(0 ,+∞) 上单调递增，
故ex2= x1，所以x2= lnx1，所以A 错误；
B：由选项A 可得ex2 = x1，由ex2 + x2 = 0，可得x1
+ x2= 0，所以B 正确；
C：由于h
1
2
= 1
2 + ln 1
2 = 1
2 - ln2 = ln e -
ln2 0 , h(1) = 1 0，
结合h(x) = x + lnx 在(0 ,+∞) 上单调递增，由零
点存在性定理得1
2 < x1< 1，故C 正确；
D : x1- x2= x1- lnx1，
令r(x) = x - lnx 1
2 <x<1
，则r'(x) = 1 - 1
x ，
因为1
2 < x < 1，所以r'(x) < 0，所以r(x) 在1
2 <
x < 1 时单调递减，
·146·
所以r(1) < r(x) < r
1
2
，所以1 < r(x1) < 1
2 +
ln2，即1 < x1- x2< 1
2 + ln2，所以D 正确．
故选：BCD．
20．【解析】∵函数f(x) =
a
log x(a > 0 , a ≠1) 的
值域为R，
对于A：函数f(x) =
a
log x(a > 0 , a ≠1) 的反函数
为g(x)，故g(x) = ax(a > 0 , a ≠1) 且定义域是R，
故A 错误；
对于B：由于若f(9) = 2，则a = 3，故g(x) = 3x，
所以g(3) = 27，故B 正确；
对于C：函数f(x) =
a
log x(a > 0 , a ≠1) 与g(x) =
ax(a > 0 , a ≠1) 互为反函数，所以函数f(x) 与g(x)
的图象关于直线y = x 对称，故C 正确；
对于D : (一) 当a > 1 时函数图象呈现以下三种情
况：
如图2，当函数y = ax 与y =
a
log x 有一个公共点
(x0，y0) 在直线y = x 上，且在该公共点处的切线
为y = x，
所以有ax0=x0,①
ax0lna=1,②
，①代入②消ax0 得x0lna =
lnax0 = 1，∴ax0 = e，代入②得a=e
1
e
x0=e2
，y = ax 与
y =
a
log x 的公共点为(e , e)，
结合图象得到以下结论：
(1) 当a > e
1
e 时，函数y = ax 与y =
a
log x 有的图象
无公共点(如图1)；
(2) 当a = e
1
e 时，函数y = ax 与y =
a
log x 的图象
有一个公共点(如图2)；
(3) 当1 < a < e
1
e 时，函数y = ax 与y =
a
log x 的图
象有两个公共点(如图3)；
(二) 当0 < a < 1 时函数图象呈现以下三种情况：
如图5：当函数y = ax 与y =
a
log x 有一个公共点
(x0，y0) 在直线y = x 上，且在该点处有公切线(斜
率为-1)，
所以ax0=x0,①
ax0lna=-1,②
，①代入②得
a=e-e
x0= 1
e
，即函
数y = ax与y =
a
log x 的公共点为
1
e , 1
e
，
结合图象得到以下结论：
(4) 当0 < a < e-e 时，函数y = ax 与y =
a
log x 有的
图象有三个公共点(如图4)；
(5) 当a = e-e 时，函数y = ax 与y =
a
log x 有的图象
有一共点(如图5)；
(6) 当e-e < a < 1 时，函数y = ax 与y =
a
log x 有的
图象有一共点(如图6)；
综上，函数f(x) 与g(x) 的图象的交点个数可能为
0，1，2，3．故D 正确．
故选：BCD．
21．【解析】选C．在L = 5 + lgV 中，L = 4.9，
所以4.9 = 5 + lgV，即lgV =-0.1，
解得V = 10-0.1 =
1
100.1 =
1
10 10
=
1
1.259 ≈0.8，所
以其视力的小数记录法的数据约为0.8．
22．【解析】由题中信息可得L0= 0.6，G0= 20，
则L = 0.6D
G
20，
当G = 20 时，L = 0.54，即0.6D = 0.54，
解得D = 0.9，即L = 0.6 × 0 ⋅9
G
20，
由L = 0.6 × 0 ⋅9
G
20 < 0.06，可得0 ⋅9
G
20 < 0.1，
所以G > 20 log 0.90 .1 = 20lg0.1
lg0.9
=
20lg 1
10
lg 9
10
=
·147·
20
lg10-lg9 =
20
1-2lg3 ≈
20
1-2×0.4771 ≈436.68，
故学习率衰减到0.06 以下(不含0.06) 所需的训练
迭代轮数至少为437．
故选：C．
23．【解析】因为P = P0e -kt，即1 - P
P0
= 1 -
e-kt，设消除2
3 的污染物大约需要t0h，
由题意可得
1-e-5k= 1
3
1-e-kt0= 2
3
，即
e-5k= 2
3
e-kt0= 1
3
，取对数
可得
-5k=ln 2
3
-kt0=ln 1
3
，可得t0
5 =
ln 1
3
ln 2
3
=
lg 1
3
lg 2
3
=
lg3
lg3-lg2 ，则t 0 =
5lg3
lg3-lg2 ≈
5×0.477
0.477-0.301 ≈
13.55 ≈14．故选：C．
24．【解析】∵0 < b < a < 1，
∴y = ax和y = bx均为减函数，
∴ab > aa，ba < bb，又∵y = xb 在(0 ,+∞) 为增函
数，∴ab > bb，即在ab，ba，aa，bb 中最大值是
ab，故选：C．
25．【解析】令f(x) = ex+ x，f'(x) = ex+ 1 > 0，
故f(x) 在R 上单调递增，
又a，b，c 为正数，所以ec + c = ea+ 2a > ea+ a，
即f(c) > f(a)，所以c > a；令g(x) = ex + 2x，则
g(x) 在R 上单调递增，又ea + 2a = eb + 3b > eb +
2b，即g(a) > g(b)，所以a > b，
综上可得c > a > b．故选：D．
26．【解析】y = y
由题意得a =
4
log 3 +
9
log 2 = 1
2
2
log 3 + 1
2
3
log 2 =
1
2
2
log 3+
1
2
log 3
，
令t =
2
log 3，t ∈(1 , 2)，由对勾函数y = t + 1
t
知，函数y = t + 1
t 在(1 ,+∞) 上单调递增，
则a = 1
2
t+ 1
t
∈1，5
4
，
而b =
1.5
log
a <
1.5
log
1.5 = 1，c = 2a - 2 < 1，
方法一、画出y =
1.5
log
x 和y = 2x - 2 在x ∈
1, 5
4
上的图象，如图所示：
由图象知，x ∈1, 5
4
时，y =
1.5
log
x 的图象在y
= 2x - 2 的上面，
所以b > c；
综上，a > b > c．
方法二、令f(a) =
1.5
log
a - (2a - 2)，a ∈1, 5
4
，
因为f(a) =
1.5
log
a - (2a - 2) = lna
ln 3
2
- (2a - 2)，
所以f'(a) =
1
aln 3
2
- 2，
因为y = 1
a 在区间1, 5
4
上单调递减，所以f'(a)
在区间1, 5
4
上单调递减，
因为
3
2
2
= 9
4 < e，所以ln 3
2 < ln e = 1
2 ，所
以f'(1) =
1
ln 3
2
- 2 > 0，
令g(x) = ln(x + 1) -
2x
2+x , x > 0，
可得g' ( x ) =
1
x+1 - 2(2+x)-2x
(2+x)2
=
1
x+1 -
4
(2+x)2 = (2+x)2-4-4x
(x+1)(2+x)2 =
x2
(x+1)(2+x)2 > 0，
所以函数g(x) 在(0 ,+∞) 上单调递增，
所以g
1
2
> 0，即ln 3
2 > 2
5 ，所以f ′
5
4
=
4
5
1
ln 3
2
- 2 < 0，所以存在实数a0 ∈1, 5
4
，使
得f′ (a0) = 0，当a ∈(1 , a0) 时，f′ (a) > 0，当a
∈a0, 5
4
时，f′ (a) < 0，
所以f (a) 在区间(1 , a 0) 上单调递增，在区间
a0, 5
4
上单调递减，
因为f(1) = 0，5
4 >
3
2 ，log1.5 5
4 > log1.5
3
2
= 1
2 ，f
5
4
= log1.5 5
4 - 1
2 > 0，
所以f(a) > 0 在区间1, 5
4
上恒成立，所以b >
c，综上，a > b > c，选项A 正确．
故选：A．
·148·
27. 【解析】选D．a = 30.7，b =
1
3
-0.8
= 30.8，
则b > a > 1，log0.70.8 < log0.70.7 = 1，∴c < a <
b．
28. 【解析】选C ∵log52 < log55
1
2 = 1
2 ，log83 >
log88
1
2 = 1
2 ，∴a < c < b．．
29．【解析】根据题意可知，0 < 4 ⋅1-0.5 =
1
4.1
< 1
2 ，即0 < 4 ⋅1-0.5 < 1
2 ，
cos π
3 < cos1 < cos π
4 ，即1
2 < cos1 <
2
2
< 4
5 ，
45 = 1024 > 625 = 54，则4 > 5
4
5 ，可得log 54 >
log55
4
5 = 4
5 ，即log 1
5
1
4 > 4
5 ，所以4 ⋅1-0.5 < cos1
< log 1
5
1
4 ，即a < c < b．
故答案为：D．
30．【解析】因为log51 < log52 < log55，所以a =
log52 ∈(0 , 1)，
则b = log5(log52) < 0，0 < c = (log52)2 = log52 ⋅
log52 < log52，所以b < c < a．故选：D．
31．【解析】因为57> 310，可得7lg5 > 10lg3，即
lg5
lg3 > 10
7 ，因为a = log47 = lg7
lg4 ，又47= 14384，
74= 2401，所以47> 74，7lg4 > 4lg7，即lg7
lg4 <
7
4 ，
又45 > 1024，所以74 > 45，则4lg7 > 5lg4，所以
lg7
lg4 > 5
4 ，即log47 > 5
4 ，故5
4 < log47 < 7
4 , b
= 2log72 + log73 = log722 + log73 = log7(4 × 3) =
log712，
因为7
5
4 =
4 75 =
4 16807 ，可知
4 16807 > 12，即
7
5
4 > 12，所以log712 < 5
4 ；
因为410 > 77，可得lg410 > lg77，即10lg4 > 7lg7，
则lg7
lg4 < 10
7 ，
c = log925 = lg25
lg9 = 2lg5
2lg3 = lg5
lg3 ，
又7lg5 > 10lg3，可知lg5
lg3 > 10
7 ，所以log925 >
10
7 > 7
4 ，
综上所述，b < a < c．故选：D．
32．【解析】画出函数y = log3x，y =
1
5
x
，y
= 3x的图象，如图所示：
设log3a =
1
5
b
= 3c = k，
则直线y = k 分别与函数y = log3x，y =
1
5
x
，y
= 3x图象交点的横坐标即为a，b，c 的值，
由图可知，当k > 1 时，b < c < a，故A 正确，
当直线y = k 从k > 1 的位置向下移动时，有c < b
< a 和c < a < b，故CD 正确．
故选：B．
33．【解析】由题意可知，x3≠0 , 2x1= 3x2= 1
x3
，
如右图在同一平面直角坐标系中作出函数y = 3x，
y = 2x，y = 1
x
的图象，
则由图象得，x1，x2，x3 的大小关系可能为x3 =
x2< x1，
x3< x2< x1，x2< x3< x1，x2< x3= x1，x2< x1<
x3，x2 = x1 < x3，x1 < x2 < x3，故A、B、C 正
确，D 错误．
故选：ABC．
34. 【解析】选A. log20.2 = log2
1
5 =-log25，
因为f x
是定义在R 上的偶函数，
所以a = f(log20.2) = f(-log25) = f(log25)，
因为log25 > log24 = 2，1 = 20< 20.2 < 21= 2，0 <
0.20.3 < 0.20= 1，
·149·
且f x
在0,+∞
上单调递减，所以f(log25) <
f(20.2) < f(0.20.3)，即a < b < c.
35. 【解析】法1：log 68 = n8
n6 >
n8+ n 7
6
n6+ n 7
6
=
n 56
6
n7
>
n 54
6
n7
= log79；
法2：log 68 - log 79 = log68-1
- log79-1
=
log6 8
6 - log7 9
7 > log7 8
6 - log7 9
7 > 0．
36. 【解析】法1：log 74 = n4
n7 <
n4+ n 9
7
n7+ n 9
7
<
n 36
7
n9
<
n 42
7
n9
= log96；
法2：log 74 - log 96 = log74-1
- log96-1
=
log7 4
7 - log9 6
9 < log9 4
7 - log9 6
9 < 0．
37．【解析】∵函数f(x) = log2(2x + t) 为“倍缩
函数”，
且满足存在[a，b] ⊆D，使f(x) 在[a，b] 上的值
域是
a
2 ，b
2
，∴f(x) 在[a，b] 上是增函数；∴
log2(2a+t)= a
2
log2(2b+t)= b
2
，即2a+t=2
a
2
2b+t=2
b
2
，
∴方程2x - 2
x
2 + t = 0 有两个不等的实根，且两根
都大于0；∴(-1)2-4t>0
t>0
，
解得：0 < t < 1
4 ，∴满足条件t 的范围是
0, 1
4
．故答案为：0, 1
4
．
38．【解析】选项A：由已知可得函数f(x) 在区
间[1，b] 上单调递增，则有f(b) = b2- 2b + 2 = b，
解得b = 2 或1(舍)，所以b = 2，A 正确；
选项B：若存在跟随区间[a，b] (a < b)，又因为
函数在单调区间上递减，
则有
f(a)=b
f(b)=a
，解得
a= 1-
5
2
b= 1+
5
2
，此时f(x) 在[a，
b] 上的值域不包含-1，故不存在，B 不正确；
选项C：由已知函数可得：函数在定义域上单调递
减，若存在跟随区间[a，b] (-1 ≤a < b)，
则有
f(a)=b
f(b)=a
，即b=m-
a+1
a=m-
b+1
，两式做差得：
a - b =
a+1 -
b+1，
即(a - b) ( a+1 +
b+1 ) = a + 1 - (b + 1) = a -
b，
又-1 ≤a < b，所以
a+1 +
b+1 = 1，易得0 ≤
a+1 <
b+1 ≤1，
所以m = b +
a+1 = b + 1 -
b+1 ，设
b+1 =
t ∈[0，1]，则m = t2- t，
即t2 - t - m = 0 在区间[0，1] 上有两个不相等的
实数根，
只需：△=1+4m>0
-m≥0
，解得- 1
4 < m ≤0，C 正
确；
选项D：若函数存在3 倍跟随区间，设定义域为
[a，b]，值域为[3a，3b]，
当a < b ≤1 时，易得函数在定义域上单调递增，
则a，b 是方程- 1
2 x2 + x = 3x 的两个不相等的实
数根，解得x = 0 或-4，
故存在定义域为[-4，0] 使得值域为[-12，0]，
D 正确，
故选：ACD．
39．【解析】(1) 因为函数g(x) = x2 + m 是(-∞,
0) 上的减函数，
所以当x ∈[a，b] 时，
g(a)=b
g(b)=a
，即a2+m=b
b2+m=a
两式相减得a2 - b2 = b - a，即b =- (a + 1)，代入
a2 + m = b 得a2 + a + m + 1 = 0，由a < b < 0，且
b =- (a + 1) 得-1 < a <- 1
2 ，故关于a 的方程a2
+ a + m + 1 = 0 在区间-1,- 1
2
内有实数解，
记h(a) = a2+ a + m + 1，
则
h(-1)>0
h - 1
2
<0
，解得m ∈-1,- 3
4
．
(2)h(x) = x2+ 2mx + m
由不等式a ≤h(x) ≤b 的解集恰为[a，b] (a , b ∈
Z)，且h(x) 为二次函数，
得h(a) = b，h(b) = b 且-2m = a + b , 2m =- (a
+ b) , m =- a+b
2
．
所以a2+ 2ma + m = b，①b2+ 2mb + m = b，②
将2m =- (a + b) , m =- a+b
2
代入①，2ab + a +
3b = 0，
·150·
整理得(2a + 3) (2b + 1) = 3．又a < b，a，b ∈Z，
从而
2a+3=1
2b+1=3
或
2a+3=-3
2b+1=-1
．所以
a=-1
b=1
或
a=-3
b=-1
当a=-1
b=1
时，m = 0，h(x) = x2
当x ∈[-1，1] 时，h(x) ∈[0，1]，所以[-1，1]
不是h(x) 的等域区间．
当a=-3
b=-1
时，m = 2，h(x) = x2+ 4x + 2．
当x ∈[-3，-1] 时，h(x) ∈[-2，-1]，所以[
-3，-1] 不是h(x) 的等域区间．
2.4 函数的周期性与对称性
1．【解析】因为函数f(x) 满足f(x + 4) = f(x) 对
任意x ∈R 成立，
所以f(9) = f(5 + 4) = f(5) = f(1 + 4) = f(1)，
当x ∈[0，4) 时，f(x) = x2- 3x + 1，
所以f(9) = f(1) = 12- 3 × 1 + 1 =-1．
故选：C．
2．【解析】当x ≥0 时，f(x) = f(x - 5)，
令x + 5 = x，代入可得f(x + 5) = f(x)，所以当x
≥0 时，函数f(x) 是周期函数，周期是5，
所以f(2026) = f(405 × 5 + 1) = f(1)，
所以f(1) = f(1 - 5) = f(-4) = sin 8π
3 = sin 2π
3 =
3
2 ．故选：D．
3．【解析】因为f(x + 4) =
1
f(x) ，所以f(x + 4 +
4) =
1
f(x+4) = f(x)，
即f(x + 8) = f(x)，故y = f(x) 的周期为8，
所以f(2025) = f(8 × 253 + 1) = f(1) = a + b = 1，
则1
a + 2
b =
1
a + 2
b
(a + b) = 3 + b
a + 2a
b ，
因为a > 0 ，b > 0 ，所以3 + b
a + 2a
b
≥
2
b
a ⋅2a
b
+ 3 = 3 + 2 2，
当且仅当
b
a = 2a
b
a+b=1
，即a=
2-1
b=2-
2
时，等号成立．
故选：C．
4．【解析】根据题意，函数f(x) 满足f(x + 1) =
f(x) + f(x + 2)，变形可得f(x + 2) = f(x + 1) -
f(x)，
则有f(x + 3) = f(x + 2) - f(x + 1) = f(x + 1) -
f(x) - f(x + 1) =-f(x)，
故f(x + 6) =-f(x + 3) = f(x)，因此函数f(x) 的周
期为6．所以f(37) = f(6 × 6 + 1) = f(1) =-1．故
选：B．
5．【解析】因为f(x + 1) - f(x - 1) =-x，
所以f(x + 2) - f(x) =- (x + 1)，
所以f(21) = f(1) + [f(3) - f(1)] + [f(5) - f(3)] +
[f(7) - f(5)] ++ [f(21) - f(19)]
= f(1) - (2 + 4 + 6 +⋯+20) = f(1) - 10×(2+20)
2
= f(1) - 110，
因为f(x + 1) - f(x - 1) =-x，
所以f(5) - f(3) =-4，又f(3) + f(5) = 6，
所以f(3) = 5，f(5) = 1，
又f(3) - f(1) =-2，则f(1) = 7，
所以f(21) = f(1) - 110 = 7 - 110 =-103．
故选：C．
6．【解析】由f(x + 2) - 2 为奇函数，所以f(-x
+ 2) - 2 =-f(x + 2) + 2，
即f(-x + 2) + f(x + 2) = 4，所以函数f(x) 关于点
(2 , 2) 中心对称，
由f(3x + 1) 为偶函数，则f(-3x + 1) = f(3x + 1)，
即f(-x + 1) = f(x + 1)，
即f(-x) = f(x + 2)，所以函数f(x) 关于x = 1 对
称，
所以f(-x + 2) + f(-x) = 4，即f(x + 2) + f(x) =
4，可得f(x + 4) + f(x + 2) = 4，
所以f(x + 4) = f(x)，所以函数f(x) 为周期为4 的
函数，
由f(1) = 0，所以f(1) + f(3) = 4，则f(3) = 4，
所以f(-1) = f(3) = 4，且f(2) + f(2) = 4，即f(2)
= 2，
又f(4) = f(-2) = f(2)，所以f(4) = 2，
所以f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 8，
所以
2026
k=1
f(k) = 506[f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] + f(1)
+ f(2) = 506 × 8 + 2 = 4050．
故选：A．
7．【解析】因为函数f(x) 的定义域为R，f(x) >
0，且3f(x + y) = f(x)f(y)，
所以令x = 1，y = 0，则3f(1 + 0) = f(1)f(0)，即
·151·
3f(1) = f(1)f(0)．又f(1) = 9，所以f(0) = 3，
又3f(x + 1) = f(x)f(1)，即3f(x + 1) = 9f(x)，即
f(x + 1) = 3f(x)，所以f(2) = 3f(1) = 27，
在3f(x + y) = f(x)f(y) 中令y = 2 - x，得3f(2) =
f(x)f(2 - x)，
即f(x)f(2 - x) = 81．
因为f(x) > 0，f(2 - x) > 0，
所以f(x) + f(2 - x) ≥2
f(x)⋅f(2-x) = 18，
当且仅当f(x) = f(2 - x) = 9，即x = 1 时，等号成
立，所以f(x) + f(2 - x) 的最小值为18．
故选：D．
8. 【解析】对于A，由f x
y
= yf(x) - xf(y)，取
x = y = 1，得f(1) = f(1) - f(1) = 0，故A 正确；
对于B，任取x1> x2> 1，则x1
x2
> 1 依题意，
f x1
x2
> 0，而f x1
x2
= x2f(x1) - x1f(x2)，则
x2f(x1) - x1f(x2) > 0，即f(x1)
x1
> f(x2)
x2
，
即g(x) = f(x)
x
在(1 ,+∞) 上是增函数．于是，对
于f(x) = xg(x)，任取x1 > x2 > 1，因g(x1) > g(x2)
> 0，则x1g(x1) > x2g(x2)，即f(x1) > f(x2)，即函
数f(x) 在(1 ,+∞) 上单调递增，故B 正确；对于
C，由f
x
y
= yf(x) - xf(y)，取x = 1，因f(1) =
0，故f
1
y
=-f(y)，
即f
1
x
=-f(x)，故C 不正确；
对于D，由f x
y
= yf(x) - xf(y)，取x = y2可得，
f(y) = yf(y2) - y2f(y) 整理得，
f ( y 2 ) =
y+ 1
y
f ( y ) ，因为y > 1 ，所以
，故f (y 2) > 2 f (y)，即
f(y2)
f(y) > 2f(x2n) =
f(x2n)
f(x2n-1) ⋅f(x2n-1)
f(x2n-2) ⋅f(x2n-2)
f(x2n-3) ⋅
⋯⋅f(x2)
f(x) ⋅f(x) > 2n f(x) (n ∈N *)，故D 正确．故
选：ABD．
9．【解析】因为f(x) 是定义在R 上的函数满足
f(x - 4) = f(-x)，①
故函数的图象关于x = x-4+(-x)
2
=-2 对称，
即f(-2 - x) = f(-2 + x)，②
又f(2x - 1) 为奇函数，即f(-2x - 1) =-f(2x -
1)，
所以f(-2x - 1) + f(2x - 1) = 0，
所以f(x) 的函数图象关于(-1 , 0) 对称，即f(-2
- x) + f(x) = 0，③
由①②，得f(x) =-f(-2 + x) = f(x - 4)，
故f(x) 是以4 为周期的函数，④
由①④，得f(-x) = f(x)，即f(x) 为偶函数，
故f(2026) = f(4 × 506 + 2) = f(2)，f(2) 不一定为
0，A 错误；
由④知，B 错误；由②③④知，C 错误；
由②④及2026 = 4 × 5067 - 2 知，f(x) 的图象关于
直线x = 2026 对称，D 正确．
故选：D．
10．【解析】f(1 + x) + f(x - 1) = 0，得f(x + 2)
=-f(x)，
所以f(x + 4) =-f(x + 2) = f(x)，故f(x) 是周期为
4 的周期函数，A 正确；
由f(x + 2) =-f(x) 和偶函数性质，得f(2 - x) =
-f(-x) =-f(x)，
因此f(2 + x) = f(2 - x)，图象关于直线x = 2 对
称，而非点(2 , 0) 对称，B 错误；
利用f(x + 2) =-f(x) 和已知区间[1，2] 上的解析
式f(x) = x2- 4x + 3，
当x ∈[-1，0] 时，x + 2 ∈[1，2]，则f(x) =
-f(x + 2) =- [(x + 2)2- 4(x + 2) + 3] = 1 - x2，
再由偶函数得x ∈[0，1] 时f(x) = f(-x) = 1 - (
-x)2= 1 - x2，
故当x ∈[-1，1] 时f(x) = 1 - x2，C 正确；
所以f(2026) = f(2) = 22- 4 × 2 + 3 =-1，
又因为y =
2x
x2+1 为奇函数，当x > 0 时，x2 + 1
≥2x，所以0 <
2x
x2+1 ≤1，从而
2x
x2+1 的值域为[
-1，1]，在此区间上f (x) = 1 - x 2 ≥0，所以
f
2x
x2+1
≥0，故f(2026) =-1 < f
2x
x2+1
恒成
立，选项D 正确．故选：ACD．
11．【解析】由题设f(4 - x) =-f(x) =-f(2 - x)，
·152·
则f(6 - x) =-f(4 - x)，
所以f(6 - x) = f(x)，故x = 3 是f(x) 的一条对称
轴，B 对；
且f(6 - x) = f(2 - x) ⇒f(x + 4) = f(x)，则f(x) 为
周期函数，且周期T = 4，A 错；
所以f(4 - x) = f(-x) =-f(x) 且定义域为R，故
f(x) 为奇函数，C 对；
f(2024) = f(506 × 4) = f(0) = f(2 - 0) = f(2) = 0，
D 对．
故选：BCD．
12. 【解析】法一：由题意得f(-x) =-f(x)，又
f(1 + x) = f(-x)，即-f(x) = f(1 + x)，得T = 2；
则f
5
3
= f 2- 1
3
= f - 1
3
= 1
3 ．故选：C．
法二：由题意函数f(x) 关于原点对称，关于x =
1
2 对称，作图得T = 2；
13. 【解析】∵f(x + 1) 为奇函数，则f(x) 关于(1，
0) 对称；f(x + 2) 为偶函数，则f(x) 关于x = 2 对
称；
故T = 4(如图)，
当x ∈[1，2] 时，f(x) = ax2 + b，f(0) =-f(2) =
-4a - b，(关于(1，0) 对称)
f(3) = f(1) = a + b = 0，(关于x = 2 对称) 又f(0)
+ f(3) = 6，∴-3a = 6，解得a =-2，b = 2，
∴当x ∈[1，2] 时，f(x) =-2x2 + 2，∴f
9
2
=
f
1
2
=-f
3
2
=- -2× 9
4 +2
= 5
2 ．故选：D．
14．【解析】∵∀x ∈R，恒有f(x) + f(x + 2) = 0，
∴f(x + 2) =-f(x)，①
∴f(x + 4) =-f(x + 2) = f(x)，即f(x) 是以4 为周
期的函数；②
又f(x) 是定义在R 上的奇函数，∴f(0) = 0，
又当x ∈(0，1] 时，f(x) = 1 + 2x，
∴f(1) = 1 + 2 = 3；由①②得f(2) =-f(4) =-f(0)
= 0，f(3) =-f(1) =-3，
∴f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 3 + 0 - 3 + 0 = 0，
∴f(1) + f(2) + … +f(2024) + f(2025) = 506[ f(1)
+ f(2) + f(3) + f(4)] + f(1) = 0 + 3 = 3．
故答案为：3．
15．【解析】因为(1 + x)3- (1 - x)3= 2(x3+ 3x)
= 2x3+ 6x，
又f(1 + x) - f(1 - x) = 2x3+ 6x，
故f(1 + x) - (1 + x)3= f(1 - x) - (1 - x)3，
令g(x) = f(x) - x3，则g(x) 关于x = 1 对称，
又g(-x) = f(-x) - (-x)3=- [f(x) - x3] =-g(x)，
所以g(x) 是R 上的奇函数，又g(x) 关于x = 1 对
称，所以g(0) = 0，g(1) = f(1) - 1 = 1，g(2 + x)
= g(-x) =-g(x)，
故g(x + 4) =-g(x + 2) = g(x)，即g(x) 是周期为4
的周期函数，
对于A、B，g(2025) = g(4 × 506 + 1) = g(1) = 1，
所以f(2025) = 20253 + g(2025) = 20253 + 1，故A
正确，B 错误；
对于C、D，f(2026) = 20263 + g(2026) = 20263 +
g(2) = 20263- g(0) = 20263，故C、D 错误．
故选：A．
16．【解析】因为奇函数f(x) 的定义域为R，
所以f(-x) + f(x) = 0，所以-f'(-x) + f'(x) = 0，
所以f'(2 - x) = f(x - 2)，
又f(x) = f(2 - x) + 2x - 2，所以f'(x) =-f'(2 - x)
+ 2，且f'(1) = 1，
·153·
所以f'(x) =-f'(x - 2) + 2，
所以f'(x) + f'(x - 2) = 2，
所以f'(x + 2) + f'(x) = 2，f'(x + 4) + f'(x + 2) =
2，所以f'(x + 4) = f'(x)，所以f'(x) 的周期为4，
所以f'(101) = f'(4 × 25 + 1) = f'(1) = 1．
故选：A．
17．【解析】因为g(x) 为偶函数，所以g(x) = g(
-x)，所以g(x) =-g(-x)，g(x) 是奇函数，
所以g'(0) = 0，
因为f(x) + g(x) = 5，所以f(0) + g'(0) = 5，所以
f(0) = 5；f(x) + g(x) = 5，①
f(x - 1) - g'(5 - x) = 5，②
在②中，用5 - x 替换x，得f(4 - x) - g'(x) = 5，
③
联立①③，得f(4 - x) + f(x) = 10，
所以f(1) + f(3) = 10，f(2) = 5，f(4) = f(0) = 5，
又f(x) = 5 - g'(x) = 5 + g'(-x) = f(x + 4)，所以
f(x) 是周期为4 的函数，
则
15
k=1
f(k) = f(1) + f(2) + … +f(15) = 3 × [ f(1) +
f(2) + f(3) + f(4)] + f(1) + f(2) + f(3) = 75．
故选：B．
18．【解析】因为g(x + 1) 为奇函数，图象关于原
点对称，故g(x) 关于(1 , 0) 对称，得g(1) = 0，故
A 正确；
令t = x + 1，则g(t) =-g(2 - t)，即g(x) =-g(2 -
x)，
若g(x) = g(2 - x)，则g(x) = 0 恒成立，与g(x) 在
R 上单调递增矛盾，故B 错误；
因为g(x) =-g(2 - x)，即g(x) 的图象关于点(1 , 0)
中心对称，
又g(1) = 0，g(x) 在R 上单调递增，x < 1 时g(x)
< 0，x > 1 时g(x) > 0，
故f(x) 在(-∞, 1) 上单调递减，在(1 ,+∞) 上单调
递增，
又函数f(x) 的导函数为g(x)，则f'(x) =-f'(2 -
x)，得f(x) = f(2 - x) + c，其中c 为常数，
令x = 1，得f(1) = f(1) + c，得c = 0，故f(x) =
f(2 - x)，
故f(x) 的图象关于x = 1 对称，故C 正确；
由f log2 4
3
= f 2-log2 4
3
= f(log23)，
因为
2
log 3 =
4
log 9 >
4
log 5 > 1，可知，f log2 4
3
> f(log45)，故D 错误．
故选：AC．
19. 【解析】答案为4．由f(x) = 2f(x + 1)，即自
变量每向右平移一个单位，函数值变为原来的1
2 ，
将x ∈[0，1) 的图象右移一个单位，再把纵坐标压
缩为原来的一半，得到x ∈[1，2) 的图象，依次进
行，得到f (x) 的图象如下图，作出f (x) 图象与
lnx 的图象，函数g(x) = f(x) - lnx 的零点个数，
即方程f(x) = lnx 的根的个数，图象的交点个数；
从图象可知共有4 个交点．
20. 【解析】选A．可得f(x) 在[2，3] 上单调递
减，在(3，4] 上单调递增，
∴f(x) 在[2，3] 上的值域为[3，4]，在(3，4] 上
的值域为
11
3 ，9
2
，∴f(x) 在[2，4] 上的值域
为3，9
2
，∵f(x + 2) = 2f(x)，∴f(x) = 2f(x -
2)，即自变量每向右平移两个单位，函数值变为原
来的2 倍，
∴f(x) 在[-2，0] 上的值域为
3
4 ，9
8
，
当a > 0 时，g(x) 为增函数，g(x) = ax + 1 在[
-2，1] 上的值域为[-2a + 1，a + 1]，
∴
3
4 ≥1-2a
9
8 ≤1+a
，解得a ≥1
8 ；故a 的范围是a ≥
1
8 ．
21. 【解析】由题知f x
= 2f
1
2 x
, 故而说明函
数f x
的横坐标每扩大2 倍, 其纵坐标也同时扩
大2 倍. 如图
·154·
所示, 我们先绘制出x ∈2,4
时f x
的图像, 再
利用前述规则绘制出[1 ,+∞) 时函数的图像. 显
然61 ∈25,26
此时的函数表达式应为f x
=
25 1- x
25 -3
= 32 - x-96
因而有f 61
= 3 . 由图知, 直线y = 3 将首次与
第四个“折线” 的左侧相交, 此时有
22 1- x
22 -3
= 3，解得x = 11 或13 (舍去) ,
故而集合
x∣f x
= f 61
中的最小元素是11 .
22. 【解析】选C．∵对任意x1，x2∈R 有f(x1+
x2) = f(x1) + f(x2) + 1，∴令x1= x2= 0，得f(0) =
-1
∴令x1= x，x2=-x，得f(0) = f(x) + f(-x) + 1，
∴f(x) + 1 =-f(-x) - 1 =- [f(-x) + 1]，
∴f(x) + 1 为奇函数．
23. 【解析】①根据模型(6) 可知，f(x) 为对数函
数；②底数0 < a < 1；③f x
为偶函数；
故f(x) = log 1
2 x
(答案不唯一)．
24. 【解析】选ABC．令x = y = 0，则f(0) + f(0)
= 2f(0)2，又f(0) ≠0，所以f(0) = 1，故A 对；令
x = 0，则有，f(y) + f(-y) = 2f(0)f(y)，由f(0) =
1 得，f(-y) = f(y)，所以函数f(x) 是偶函数，故
B 对；令x = 1
2 ，则有f
1
2 +y
+ f
1
2 -y
=
2f
1
2
f(y)，因为f
1
2
= 0，所以f
1
2 +y
+
f
1
2 -y
= 0，
再令y = 1
2 - x 得，f(1 - x) + f(x) = 0，故C 对，
D 错．
25. 【解析】选ABC．
A 项，令y = x 得f(2x) + f(2x) = f(2x)f(0)，则有
2f(2x) = f(2x)f(0)，
又函数f(x) 不恒等于零，所以f(0) = 2，选项A 正
确；
B 项，令y =-x 得f(2x) + f(-2x) = f(0)f(2x) =
2f(2x)，
所以f(-2x) = f(2x)，故函数f(x) 是偶函数，选项
B 正确；
对于C，D 项，令x = t+π
2
，y = t-π
2
得f(t +
π) + f(t - π) = f(t)f(π) = 0，
即f(t + π) =-f(t - π)，f(t + 4π) =-f(t + 2π) =
f(t)，
所以函数f(x) 是周期函数，且周期为4π，选项D
错误；
又f(x) 是偶函数，即f(t - π) = f(π - t)，所以f(t
+ π) + f(t - π) = f(t + π) + f(π - t) = 0，
即f(t + π) =-f(π - t)，所以f(x) 的图象关于点(π
, 0) 对称，选项C 正确．
26．【解析】由已知，当x < 3 时，f(x) = x，∴
f(1) = 1，f(2) = 2，
又∵x ≥3 时，f(x) < f(x - 1) + f(x - 2)，
∴令x = 3，有f(3) < f(2) + f(1) = 3，
令x = 4，有f(4) < f(3) + f(2) < 5，
令x = 5，有f(5) < f(4) + f(3) < 8，
令x = 6，有f(6) < f(5) + f(4) < 13，
令x = 7，有f(7) < f(6) + f(5) < 21，
令x = 8，有f(8) < f(7) + f(6) < 34，
令x = 9，有f(9) < f(8) + f(7) < 55，
∴D 一定正确，无证据表明ABC 一定正确．故选：
D．
27．【解析】由题，f(x) = f(x - 1) - f(x - 2)，
设f(1) = x，f(2) = y，
则f(3) = y - x，f(4) =-x，f(5) =-y，f(6) =-y
+ x，f(7) = x = f(1)，
所以函数f(x) 的周期为6，
故f(35) = f(5) =-y，f(25) = f(1) = x，
f(30) = f(6) =-y + x，f(10) = f(4) =-x，
由f(35) > f(25)，则-y > x，即x + y < 0，
由f(30) > f(10)，则-y + x >-x，即2x - y > 0，
所以y-2x<0
2x+2y<0
，可得y < 0，x 无法确定，
所以f(20) = f(2) = y < 0 < 1000，f(30) =-y + x
无法判断，
综上所述，f(20) < 1000．故选：B．
2.5 函数图像与零点
·155·
1.【解析】
(1)
(2)
(3)
2. 【解析】选A．函数y = f(2 - x) =
32-x,
(x≥1)
log 1
3 (2-x),
(x<1)
，故f(2 - x) 仍是分段函数，
以x = 1 为界分段，只有A 符合．3. 【解析】选
C．分别作出函数y = 3x-2，函数y = log3(x - 2) 的
图象，可得它们的图象关于直线y = x - 2 对称，
作出直线y = 3.5 - x，它们的交点为(2.75，
0.75)，则x1+x2
2
= 2.75，故x1+ x2= 5.5．
4．【解析】f(x) = x3- 3x + 2a = 0 ⇒a =
-x3+3x
2
(x ∈(0 , 2))，
令g(x) = -x3+3x
2
(x ∈(0 , 2)) ⇒g'(x) = -3x2+3
2
= -3(x+1)(x-1)
2
，
当x ∈(0 , 1) 时，g'(x) > 0，g(x) 单调递增，
当x ∈(1 , 2) 时，g'(x) < 0，g(x) 单调递减，g(1)
= 1，
因为函数f(x) = x3 - 3x + 2a 在区间(0 , 2) 内有两
个零点，
所以直线y = a 与函数g(x) (x ∈(0，2)) 有两个不
同的交点，
所以0 < a < 1．
故选：D．
5．【解析】函数f(x) = ex+
2
log x - 3 的定义域为
(0 ,+∞)，且在定义域内单调递增，
又因为f(1) = e - 3 < 0，f(2) = e2- 2 > 0，
所以函数f(x) = ex +
2
log x - 3 的零点所在的区间
是(1 , 2)．
故选：B．
6．【解析】函数f(x) 的定义域为(-1 ,+∞)，且
f(x) = x +
2
log (x + 1) - 6 在(-1 ,+∞) 上单调递
增，
又f(3) = 3 +
2
log (3 + 1) - 6 = 3 + 2 - 6 =-1 < 0，
f (4) = 4 + log2(4 + 1) - 6 = log25 - 2 = log25 -
log24 = log2 5
4 > 0，所以f(3)f(4) < 0，
根据函数的零点的判定定理可得：函数f(x) = x +
2
log (x + 1) - 6 的零点所在的区间是(3 , 4)，
所以n = 3．
故选：C．
7．【解析】函数f(x) = 2x+ lnx - 4 是增函数，
f(1) =-2，f(2) = ln2 > 0，f(1)f(2) < 0，
所以函数的零点所在区间为：(1 , 2)．
故选：B．
8．【解析】f(x) = 2x+ x = 0，则-x = 2x，
g(x) =
2
log x + x，则- =
2
log x，
h(x) =
x + x = 0，可得x = 0，即c = 0，
∵函数f(x)，g(x) 的零点分别为a，b，
作出函数y = 2x，y =
2
log x，y =-x 的图象如图，
·156·
由图可知：b > 0 = c > a．故选：C．
9．【解析】当x ∈[-3，3] 时，根据函数f(x) =
e|x|cosπx = 1
3 ，可得3cosπx = e-|x|，
作出y = 3cosπx、y = e-|x| 在x ∈[-3，3] 时的图
象如下图所示：
根据图象可知，y = 3cosπx、y = e-|x|在x ∈[-3，
3] 时的图象的交点个数为6，
因此f(x) = 1
3 在区间[-3，3] 上的实数根个数为
6．故选：C．
10．【解析】根据题意，函数f(x) = 3
2 sinπx -
3x-x2，
有3x - x2 ≥0，解得0 ≤x ≤3，则该函数的定义域
是[0，3]．
又由y =
3x-x2 ，变形可得x- 3
2
2
+ y2 = 9
4 ，
(y ≥0)，所以y =
3x-x2 表示以
3
2 ,0
为圆心，
半径为3
2 的半圆．
由f (x) = 3
2 sin πx -
3x-x2 = 0 得3
2 sin πx =
3x-x2，
f(x) 的零点，也即y = 3
2 sinπx , x ∈[0 , 3] 与半圆
y =
3x-x2 的交点的横坐标，
y = 3
2 sin πx 与半圆y =
3x-x2 的图象都关于直
线x = 3
2 对称，
画出y = 3
2 sinπx , x ∈[0 , 3] 与半圆y =
3x-x2
的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有6 个交点，且两两关于
直线x = 3
2 对称，
所以f(x) 的零点和为6 × 3
2 = 9．
故选：C．
11．【解析】因为n ∈N *，f(x) = sin
π
2 x- π
2
- log(4n-1)x 的零点个数为an，
所以y = sin
π
2 x- π
2
与y =
(4n-1)
log
x 的交点个
数为an，
所以作出y = sin
π
2 x- π
2
的图象，
当n = 1 时，作出y =
3
log x 的图象，
n = 2 时，作出y =
7
log x 的图象，
因为
3
log 3 = 1 ，故y =
3
log x 的图象与y =
sin
π
2 x- π
2
图象有3 个交点；
注意到y = sin
π
2 x- π
2
的周期为4，
4n-1
log
(4n
- 1) = 1，
n 每增加1 个单位，4n - 1 也增加4 个单位(一个周
期)，则交点增加2 个，
故数列{an} 是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以a1 + a2 + … +a10 = 3 × 10 + 10×9
2
× 2 = 120．
故选：A．
12．【解析】当x ≥0 时，f(x) =
2x
x2+1 ，则f'(x)
·157·
= 2(x2+1)-2x⋅2x
(x2+1)2
= 2(1+x)(1-x)
(x2+1)2
，
令f'(x) > 0，得0 < x < 1，令f'(x) < 0，得x > 1，
故f(x) =
2x
x2+1 在(0 , 1) 上单调递增，在(1 ,+∞)
上单调递减，
又f(0) = 0，x > 0 时，f(x) > 0，故f(x) =
2x
x2+1
∈[0 , 1]，
当x < 0 时，f(x) =- 1
x 单调递增，且f(x) =- 1
x
∈(0 ,+∞)，
画出f(x) 的图象如下：
方程f(x) = t 恰有2 个实根，即y = f(x) 与y = t 有
2 个交点，
则t = 1，则实数t 的取值范围是{1}．
故选：B．
13．【解析】因为f(x) 有且仅有三个零点，
则方程
lnx
x
2
+ a lnx
x
- 1 = 0 有且仅有三个根，
令h(x) = lnx
x ，则h(x) = 1-lnx
x2
，
由h(x) < 0，得x > e；由h(x) > 0，得0 < x <
e；则h(x) 在(0 , e) 单调递增，在(e ,+∞) 上单调
递减，则h(x)max = h(e) = 1
e ，
因为0 < x < 1 时，h(x) < 0；x > 1 时，h(x) > 0，
且x →+∞时，h(x) →0，
所以h(x) 的函数图象如图：
令t = h(x)，
则原方程转化为t2+ at - 1 = 0，
因为t = 0 不是t2+ at - 1 = 0 的根，
所以g(t) = t2+ at - 1 = 0 有两个根，
其中一个根位于0, 1
e
，另一根位于(-∞, 0) 或
另一根是1
e ，
但方程t2+ at - 1 = 0 的两根的乘积为-1，
所以g(t) = 0 一个根位于0, 1
e
，另一根位于(
-∞, 0)，
则
g(0)=-1<0
g
1
e
= 1
e2 + a
e -1>0
，
得a > e - 1
e ，
故a 的取值范围是e- 1
e ,+∞
．
故选：C．
14．【解析】由方程[f(x)]2+ mf(x) - 2m - 4 =
0，变形为[f(x) - 2] [f(x) + m + 2] = 0，
所以f(x) = 2 或f(x) =-m - 2，当x ≥1 时，f(x)
= 1-lnx
x2
，
所以当x ≥e 时，f(x) ≤0；当1 < x < e 时，f'(x)
> 0．
所以函数在[1，+∞) 上有极大值也是最大值f(e)
= 1
e ，此时0 < f(x) ≤1
e ．画出图像如下：
由图可知y = f(x) 与y = 2 只有一个交点；所以y
= f(x) 与y =-m - 2 必有3 个交点，
所以0 <-m - 2 < 1
e ，解得m ∈-2- 1
e ,-2
．
故选：B．
15．【解析】因为f(x) = alnx，a > 0，x > 0，
所以f(x) 在(0 ,+∞) 上单调递增，
又因为f(|x|) = aln|x|，x ≠0，
所以f(| -x|) = f(|x|)，
所以y = f(|x|) 为偶函数，图象关于y 轴对称，
所以y = | f (|x|)| = |aln(|x|)| = a|ln(|x|)| =
-aln|x|,x∈(-1,0)(0,1)
aln(|x|),x∈(-∞,-1][1,+∞)
，
令g(x) = |f(|x|)| -2025 = 0，
·158·
由有|f(|x|)| = 2025，
如图所示：
则此方程有4 个根，设为x1，x2，x3，x4，且x1 <
x2< x3< x4，
由对数的性质可知aln ( - x 1 ) =- aln ( - x 2 ) ，
-aln(x3) = aln(x4)，
所以ln(-x1) + ln(-x2) = ln(x1x2) = 0，ln(x3) +
ln(x4) = ln(x3x4) = 0，
所以x1x2= 1，x3x4= 1，
所以x1x2x3x4= 1；
因为程|f(x)| = x 有三个不同的解，
即直线y = x 与y = |f(x)| 在(0 ,+∞) 上有三个不同
交点，
又因为y = x 与y = |f(x)| 在(0 , 1) 上有一个交点，
所以y = x 与y = |f(x)| 在(1 ,+∞) 上有两个交点，
即方程x = alnx 在(1 ,+∞) 上有两个不同解，
因为x > 1，所以lnx > 0，
即a =
x
lnx 在(1 ,+∞) 上有两个不同解，
令h(x) =
x
lnx ，x ∈(1 ,+∞)，
所以直线y = a 与y = h(x) 的图象有两个不同交点，
又因为h(x) = lnx-1
ln2x
，
所以当x ∈(1 , e) 时，h(x) < 0，h(x) 单调递减；
当x ∈(e ,+∞) 时，h(x) > 0，h(x) 单调递增；
所以h(x)min = h(e) = e，
所以a > e，
即实数a 的取值范围为(e ,+∞)．
故答案为：1；(e ,+∞)．
16．【解析】①当x < 0，x + a < 0 时，
则f(x) = x + 2，f(x + a) = x + a + 2，
所以方程f(x + a) = f(x)，即为x + a + 2 = x + 2，
解得a = 0，不符合；
②当x < 0，x + a ≥0 时，
则f(x) = x + 2 , f(x + a) =
x+a，
所以方程f(x + a) = f(x)，
即为
x+a = x + 2，所以-2 ≤x < 0，
两边平方得x + a = x2+ 4x + 4，
所以a = x 2 + 3x + 4 = x+ 3
2
2
+ 7
4 ，值域为
7
4 ,4
；
③当x ≥0，x + a ≥0 时，
因为x ≥0，a > 0，则x + a > 0，
则f(x) =
x , f(x + a) =
x+a，
所以方程f(x + a) = f(x)，
即为
x+a =
x，解得a = 0，不符合；
④当x ≥0，x + a < 0，不可能，因为x > 0，a >
0．
综上，a 的取值范围是
7
4 ,4
．
故答案为：
7
4 ,4
．
17．【解析】因为f(x) =
1
3
x,
x≤0
f(x-1),
x>0
，
又方程f(x) = x + a 有且仅有三个解，
所以y = f(x) 与y = x + a 有三个交点，
如下图：作出函数y = f(x) 图象及y = x + 1 与y =
x + 2 图象，
由图象可知，当a < 2 时，y = x + a 与y = f(x) 有
且仅有三个交点，
故实数a 的取值范围为(-∞, 2)．
故选：A．
18．【解析】选D．令g(x) = 4[f(x)]2- (4t + 3)
f(x) + 3t = 0，解得f(x) = 3
4 或f(x) = t，
作出函数y = f(x) 的图象，如图所示，
y = f(x) 与y = 3
4 有4 个交点，即方程f(x) = 3
4
·159·
有4 个不相等的实根，
由题意可得：方程f(x) = t 有3 个不相等的实根，
即y = f(x) 与y = t 有3 个交点，
故实数t 的取值范围是0, 1
2
1
．
19．【解析】选C．令t = f(x) - 1，则由f(t) - 1
= 0 即f(t) = 1 解得t =-2 或0 或e，
在同一平面直角坐标系中分别作出y = f(x)，y =
-1，y = 1，y = e + 1 的图象如图所示，
由图象可知y = f(x) 与y =-1 有1 个交点，即f(x)
- 1 =-2 有1 个根，
y = f(x) 与y = 1 有3 个交点，即f(x) - 1 = 0 有3
个根，
y = f(x) 与y = e + 1 有2 个交点，即f(x) - 1 = e
有2 个根，
所以函数y = f( f(x) - 1) - 1 的零点个数为1 + 3 +
2 = 6 个．
20．【解析】答案为：1
2 或-1．因为函数h(x) =
2|x-2023|- λf(x - 2023) - 2λ2有唯一零点，
所以函数h(x + 2023) = 2|x| - λf(x) - 2λ2 有唯一零
点，
因为函数f(x) 是定义在R 上的偶函数，所以f(-x)
= f(x)，
所以h(-x + 2023) = 2|-x| - λf(-x) - 2λ2 = 2|x| -
λf(x) - 2λ2 = h(x + 2023)，
所以函数h(x + 2023) 为偶函数，又函数h(x +
2023) 有唯一零点，
所以函数h(x + 2023) 的零点为0，所以1 - λf(0) -
2λ2= 0，
因为函数g(x) 是定义在R 上的奇函数，所以g(0)
= 0，
又由f(x) + g(x) = 2x- x，可得f(0) + g(0) = 1，
所以f(0) = 1，所以1 - λ - 2λ2 = 0，解得λ = 1
2 或
λ =-1．
21．【解析】答案为：4046．函数f(x) 及g(x) 的
图象都关于点(1 , 1) 成中心对称，
又函数f(x) 图象与函数g(x) 图象的交点为(x1，
y1)，(x2，y2)，…，(x2023，y2023)，
则这些交点关于点(1 , 1) 对称，故不妨设这些交点
从左向右依次排列，
则x1 + x2023 = 2，x2 + x2022 = 2，
，x1011 + x1013
= 2，2x1012 = 2，
y1+ y2023= 2，y2+ y2022= 2，
，y1011 + y1013 = 2，
2y1012 = 2，
故
2023
i=1
(x i + y j) = (x 1 + x 2023) + (x 2 + x 2022) +⋯
+ (x1011 + x1013) + x1012 + (y1 + y2023) + (y2 + y2022) ++
(y1011 + y1013) + y1012
= 1011 × 2 + 1 + 1011 × 2 + 1 = 4046．
22．【解析】因为f(x) =
2x-1
,
x<1
lnx,
x≥1
，又存
在实数a，b，c 满足f(a) = f(b) = f(c)，且a < b <
c，
所以作出y = f(x) 图象如下：
则- (2a- 1) = 2b- 1 = lnc，
即有2a = 2 - 2b，lnc = 2b - 1，且0 < b < 1，则2b
∈(1 , 2)，
故4a + 2b + lnc = (2 - 2b)2 + 2b + 2b - 1 = 22b - 2 ⋅2b
+ 3 = (2b- 1)2+ 2，
则4a+ 2b+ lnc = (2b- 1)2+ 2 ∈(2 , 3)．
故选：A．
23．【解析】令g(x) = |x2- 4x + 3|，
由f(x) = |x2 - 4x + 3| -a(a > 0) = 0 有四个不同的
零点，
得g(x) = |x2- 4x + 3| 与y = a 有四个不同的交点，
·160·
令x2- 4x + 3 = 0，解得x = 1 或3，
故当x ≤1 或x ≥3 时，g(x) = x2- 4x + 3；
当1 ≤x ≤3 时，g(x) =-x2+ 4x - 3；
且当x = 2，g(x) = |x2- 4x + 3| = 1；
解方程x2- 4x + 3 = 1，得x = 2 ±
2，
作函数g(x) 的图象，对称轴为x = 2，
要使g(x) 与y = a 有四个不同的交点，如图可得0
< a < 1，
又x1，x2，x3，x4满足x1< x2< x3< x4，
则2 -
2 < x1 < 1 < x2 < 2 < x3 < 3 < x4 < 2 +
2，
可得0 < x2- x1<
2，
因为g(x) 图象关于x = 2 对称，所以x1 + x4 = x2 +
x3= 4，
则x3= 4 - x2，x4= 4 - x1，
则x2+x4
x1+x3
= 4-x1+x2
4+x1-x2
，
令t = x2- x1，
则0 < t <
2，
构造函数h(t) = 4+t
4-t ，0 < t <
2，
由h(t) = 4+t
4-t =-1 -
8
t-4 ，
函数h(t) 在(0 ,
2) 单调递增，
则1 < h(t) < 9+4 2
7
，
即x2+x4
x1+x3
∈1, 9+4 2
7
．
故选：A．
24．【解析】函数f(x) =
- 1
2 x2- 5
2 x,
x<0
ex-2
,
x≥0
的
图象如图，
由图可知当且仅当0 < m ≤1 时，方程f(x) = m 有
四个不同的根，
且x1 + x2 = 2 × - 5
2
=-5，由题：2 - ex3 = m ⇒
x3= ln(2 - m)，ex4- 2 = m ⇒x4= ln(m + 2)，
∴2ex3 - x1x4 - x2x4 = 2(2 - m) + 5ln(m + 2) =
-2m + 5ln(m + 2) + 4，
设h(m) =-2m + 5ln(m + 2) + 4(0 < m < 1)，
则h'(m) = 1-2m
m+2 ，令h'(m) < 0 ⇒1
2 < m < 1，
h'(m) > 0 ⇒0 < m < 1
2 ，
故h(m) 在0, 1
2
递增，在
1
2 ,1
递减，⇒h(m)
max = h 1
2
= 5ln 5
2 + 3．
故选：A．
25．【解析】对于A，当0 < x < 1 时，
2
log x < 0，
则f(x) =-
2
log x =
1
2
log x，
易得f(x) 在(0 , 1) 上单调递减，且f(x) > f(1) = 0，
当1 ≤x < 4 时，
2
log x > 0，则f(x) =
2
log x，
易得f(x) 在[1，4) 上单调递增，且f(1) ≤f(x) <
f(4)，即0 ≤f(x) < 2；
当4 ≤x ≤14 时，f(x) = 4sin
π
6 x+ π
6
，
则由正弦函数的性质可得f(x) 在[4，8) 上单调递
减在[8．，14] 上单调递增，
且f ( 4 ) = 4sin 2π
3 + π
6
= 2 ，f ( 5 ) =
4sin 5π
6 + π
6
= 0，f(8) = 4sin 4π
3 + π
6
=-4，
f ( 14 ) = 4sin 7π
3 + π
6
= 4 ，f ( 11 ) =
4sin 11π
6
+ π
6
= 0，
从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出f(x)
的图象，如图所示：
因为方程f(x) = m 有四个不等的实根，
所以f(x) 与y = m 的图象有四个交点，
所以0 < m < 2，故A 错误；
·161·
对于B，结合选项A 中分析可得-
2
log x1=
2
log x2，
所以
2
log x1x2= 0，则x1x2= 1，故B 错误；
对于C，由正弦函数的性质结合图象可知(x3，m)
与(x4，m) 关于x = 8 对称，
所以x3+ x4= 16，故C 正确；
对于D，当0 < x < 1 时，f(x) =
1
2
log x，
令f(x) = 2，得x = 1
4 ，
所以1
4 < x1< 1 , 4 < x3< 5，
由不等式的同向相乘性质可知x1x3 ∈(1 , 5)，故D
错误．
故选：C．
3.1 小题篇
1. 【解析】因为2a + log2a < 22b + log2b + 1 = 22b +
log22b；令令f(x) = 2x +
2
log x，可知f(x) 在(0 ,
+∞) 内单调递增；则f(a) < f(2b) ⇔a < 2b，即
ln(2b - a + 1) > 0；故选：B．
2. 【解析】由题意ae ax - 1 ≥ln x
e ，即axe ax ≥
xlnx = lnxelnx , ax > 0，令f(x) = xex，fx
= (x
+ 1) ⋅ex，故f(x) 在区间-∞,-1
单调递减，在区
间-1,+∞
单调递增，故f(ax) ≥f(lnx) ⇔a ≥
lnx
x ，则a ≥lnx
x
max = 1
e ．
3. 【解析】由题意g(x2) = (x2 - e) (lnx2 - 1) - e3 =
0 ⇒ln x2
e
x2
e -1
- e2= 0，
f(x1) = x1ex1 - x1 - e2 = 0 ⇒x1(ex1 - 1) - e2 = 0，函
数h(x) = x(ex- 1) 在(0，+∞) 单调递增
故x1 = ln x2
e
，故x1(x2-e)
e2
= x1
e2 ⋅
e3
lnx2-1 = e，
故选C．
4. 【解析】ln 5 5x2+3 + x2 = 3
5 ⇒ln(5x2 + 3) +
ln(5x2+ 3) = 6 ⇒eln(5x2+3)+ 5x2+ 3 = 6，
令f(x) = ex + x，f(x) 单调递增，f(x1) = f(ln(5x2
+ 3)) ⇒x1= ln(5x2+ 3)
∴x1+ 5x2= ln(5x2+ 3) + 5x2+ 3 - 3 = 3
5. 【解析】对于A，由f(x) ≥0 恒成立得m ≤ex
x
在(0 ,+∞) 上恒成立，令h(x) = ex
x (x > 0)，则m
≤h(x)min，h'(x) = (x-1)ex
x2
，令h'(x) < 0，得0 <
x < 1；令h'(x) > 0，得x > 1，故h(x) 在(0 , 1) 上
单调递减，在(1 ,+∞) 上单调递增，所以h(x)min =
h(1) = e，即m ≤e，故A 错误；
对于B，易知m > e，x1=mlnx1
x2=mlnx2
⇒
x2-x1
lnx2-lnx1
= m < x1+x2
2
⇒x1+ x2> 2m > 2e，B 正确；
对于C，由选项AB 可知h(x)，φ(x) 的单调性，
且具有相同的极小值e，可作出大致图象如图，若
函数f(x) 和g(x) 共有两个不同的零点，即h(x)，φ
(x) 与y = m 共有两个交点，显然，当且仅当m =
e 时，满足题意，故C 正确；
对于D，右函数f(x) 和g(x) 共有三个不同的零点，
则y = m 经过h(x) 与φ(x) 的交点，如图所示，
因为h(x) = ex
x =
ex
lnex = φ(e x)，所以φ(e x1) =
h(x1) = φ(x2)，因为0 < x1< 1，所以1 < ex1< e，
又1 < x2 < e，且φ(x) 在(1 , e) 上单调递减，故ex1
= x2，同理：ex2= x3，即x2= lnx3，
又由h(x 1) = φ(x 3) 得ex1
x1
=
x3
lnx3
，故x 1 ⋅x 3 =
ex1lnx3= x2
2，故D 正确．
故选：BCD．
6. 【解析】根据ex ≥ex，则bex ≥bex = kx，bex
≥bex = kx，alnx ≤a
e x = kx(原点切线)，故a
e
= be，故4a + 1
b ≥2
4a
b
= 4e，当且仅当a = e
2
, b = 1
2e 时等号成立，此时取得最小值4e．
7. 【解析】因为函数f(x) = aex，g(x) = 2x + b，
且f(x) ≥g(x) 恒成立，所以当a < 0 时，f(x) 是单
调减函数，且f(x) < 0，g(x) 是单调增函数，g(x)
的值域是R，显然不满足题意；
法一：当a > 0 且b > 0 时，由f(x) ≥g(x) 得，aex
·162·
≥2x + b，ex ≥x + 1 ⇔ex+lna-ln2 ≥x + lna - ln2 +
1 ≥x + b
2 ，此时b
2 = ln a
2 + 1，b
a =
2ln ae
2
a
= e
⋅
ln ae
2
ae
2
≤1，此时a = b = 2，即b
a 的最大值是1．
法二(零点比大小)：如图，利用函数凹凸性构造
aex - b ≥2x，令t = ex(t > 0)，即at - b ≥2lnt，
由于h(t) = at - b 零点为t1 = b
a ，p(t) = lnt 的零
点为t2= 1，故t1≤t2= 1；故选：B．
8. 【解析】由题即eln(ax)-x+1 - [ln(ax) - x + 1] - 1
= 0 有解，由e x - x - 1 ≥0，x = 0 取等，故
ln(ax) - x + 1 = 0 有解，即ln(ax) = x - 1，a =
ex-1
x
= 1
e ⋅ex
x ≥1，故选B．
9. 【解析】法一：同构lnx - ax + 2 ≤0 ⇔a ≥
lnx+2
x
max = e2 ln(e2x)
e2x
max = e．
法二：由于lnx - ax + 2 ≤0，故lnax - ax + 1 +
1 - lna ≤0，当ax = 1，lnax - ax + 1 = 0，此时
1 - lna ≤0 ⇒a ≥e，故答案为：a ≥e
10. 【解析】f'(x) = 3x2- 1，令f'(x) > 0，解得x <
-
3
3
或x >
3
3 ，令f'(x) < 0，解得-
3
3
< x <
3
3 ，
∴f(x) 在-∞,-
3
3
,
3
3 ,+∞
上单调递增，
在
-
3
3 ,
3
3
上单调递减，且f -
3
3
=
2 3+9
9
> 0 , f
3
3
= 9-2 3
9
> 0，∴f(x) 有
两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A 正确，
选项B 错误；
又f(x) + f(-x) = x3 - x + 1 - x3 + x + 1 = 2，则
f(x) 关于点(0 , 1) 对称，故选项C 正确；
假设y = 2x 是曲线y = f(x) 的切线，设切点为(a ,
b)，则3a2-1=2
2a=b
，解得a=1
b=2
或a=-1
b=-2
，
显然(1 , 2) 和(-1 ,-2) 均不在曲线y = f(x) 上，故
选项D 错误．
故选：AC．
11. 【解析】由题意可知，g'(x) = 3x2- 6x + 4，g''
(x) = 6x - 6．
由g''(x) = 6x - 6 = 0 ⇒x = 1，又g(1) = 1 - 3 + 4
+ 2 = 4，
方程f''(x) = 0 有实数解x0，则称点为(x0，f(x0))
函数f(x) 的拐点，
所以点(1 , 4) 是函数g(x) 的拐点，即g(x) 的对称
中心，所以g(x) + g(2 - x) = 8，
所以g
1
2025
+ g
4049
2025
= 8 ，g
2
2025
+
g
4048
2025
= 8，…，g
2024
2025
+ g
2026
2025
= 8，
g 2025
2025
= g(1) = 4，g
1
2025
+ g
2
2025
+ ...
+g 4048
2025
+ g 4049
2025
= 8 × 2024 + 4 = 16196．
故答案为：16196．
12. 【解析】f(x) = ex - 1
2 x2 - 1，则f'(x) = ex -
x，f''(x) = ex- 1，当x ∈(0 ,+∞) 时，f''(x) > 0，
f'(x) 单调递增，当x ∈(-∞, 0) 时，f''(x) < 0，f'
(x) 单调递减，所以f'(x) ≥f'(0) = 1，所以f(x) 在
R 上单调递增，且f(0) = 0，
若a + b > 0，则a >-b，所以f(a) > f(-b)，则
f(a) - f(-b) > 0，故B 正确；
f(b) + f(-b) = eb - 1
2 b2 - 1 + e-b- 1
2 b2-1
= eb
+ e-b - b2 - 2，令h(b) = eb + e-b - b2 - 2，h(b) =
eb - e-b - 2b，h(b) 在(0 ,+∞) 上单调递增，在(
-∞, 0) 上单调递减，故h(b) ≥h(0) = 0，
所以f(b) + f(-b) ≥0 ⇒f(a) + f(b) ≥f(a) - f(-b)
> 0，故A 正确；
对于D，若f(a) + f(b) < 0 ⇒f(a) <-f(b) ≤f(-b)
⇒a <-b ,⇒a + b < 0，故D 正确；
设f(c) =-f(b) , 若c < a <-b，则f(c) =-f(b) <
f(a)，满足f(a) + f(b) > 0，但a + b < 0，故C 错
误．故选：ABD．
13 . 【解析】因为正数α ，β 满足e α - e β >
1
2α+sinα -
1
2β+sinβ ，所以ea -
1
2α+sinα > eβ
-
1
2β+sinβ ，
·163·
构造函数f(x) = ex -
1
2x+sinx ，x > 0，令g(x)
= 2x + sinx，g(x) = 2 + cosx > 0 恒成立，
所以g(x) 单调递增，由复合函数的单调性可知
g(x) =-
1
2x+sinx 在(0 ,+∞) 上单调递增，
所以f(x) = ex-
1
2x+sinx 在(0 ,+∞) 上单调递增，
由f(α) > f(β)，可得α > β > 0，
对于A，
1
α + 1
β
(α + β) = 2 + α
β + β
α > 2 +
2
α
β ⋅β
α = 4，所以1
α + 1
β >
4
α+β ，故A 错误；
对于B，由α > β > 0，可得α - β + 1 > 1，所以
2a-β+1> 2，故B 正确；
对于C，由α > β > 0，可得lnα > lnβ，则lnα + α
> lnβ + β，故C 错误；
对于D，由α > β > 0，可得eα> eβ > 0，1
α < 1
β ，
所以1
ea < 1
eβ ，所以1
ea + 1
α < 1
eβ + 1
β ，故D 正
确．
故选：BD．
14. 【解析】法一：由函数y = ex-2 + 1，可得y=
ex-2，
设切点坐标为(t , et-2 + 1)，可得切线方程为y -
(et-2+ 1) = et-2(x - t)，
把原点(0 , 0) 代入方程，可得0 - (et-2 + 1) = et-2
(0 - t)，即(t - 1)et-2= 1，
解得t = 2，所以切线方程为y - (e0 + 1) = e0(x -
2)，即y = x．
法二(极点效应)：设y = kx，设切点(x0 , ex0-2 + 1)
令f ( x ) = e x-2 + 1 - kx ，由极点效应：
f(x0)=ex0-2+1-kx0=0
f(x0)=ex0-2-k=0
⇒x0=2
k=1
，故选：A．
15. 【解析】y =
-lnx,
0<x<1
lnx,
x≥1
，0 < x < 1
时，y' =- 1
x ；x ≥1 时，y' = 1
x ．不妨设P1(x1，
-lnx1) (0 < x1< 1)，
P2(x2，lnx2)，(x2 > 1)，∵切线l1 ⊥l2，∴kl1 ⋅kl2
=- 1
x1
× 1
x2
=-1，∴x1x2 = 1．切线l1、l2 的方程
分别为：y + lnx1 =- 1
x1
(x - x1)，y - lnx2 = 1
x2
(x - x2)，解得xP = 2x1x2
x1+x2
=
2
x1+ 1
x1
∈(0 , 1)，A
(0 , 1 - lnx1)，B(0 , lnx2 - 1)，∴|AB| = |1 - lnx1
- (lnx2 + 1)| = |2 + ln(x1x2)| = 2 为定值，∴ΔABP
面积S = 1
2 × |AB| ⋅xP = xP ∈(0 , 1)；
P1、P2 两点的纵坐标之积为-lnx1lnx2 = ln2x1 不为
定值；直线P 1 P 2 的斜率为-lnx1-lnx2
x1-x2
=
-ln(x1x2)
x1-x2
= 0 为定值．
综上可得：只有BCD 正确．故选：BCD．
16. 【解析】h-1(t) = lnt + 1 t> 1
e
，g-1(t) =
et-2+1
2
，如图所示，t2 - t1 = g-1(t) - h-1(t) =
et-2
2
- lnt - 1
2 = f(t)，
f(t) = 1
2 (et-2 - t + 2 - 1) +
t
2 -ln t
2 -1
- ln2 ≥
-ln2，由于f (2) =-ln2，即t2 - t1 的最小值为
-ln2，故选：B．
17. 【解析】因为y = 1
2 e2x 反解得x = ln2+lny
2
，
所以y = 1
2 e2x 与y = ln2+lnx
2
互为反函数，关于
y = x 对称，
所以|PQ| 的最小值为点P 到直线y = x 的距离的最
小值的2 倍，
当曲线y = 1
2 e2x 在点P 处的切线与y = x 平行时，
点P 到直线y = x 的距离有最小值，
y' = e2x，令y' = 1，解得x = 0，所以P 0, 1
2
，则
点P 到直线y = x 的距离d =
0- 1
2
12+12 =
2
4 ，
所以|PQ| 的最小值为2d =
2
2
．故答案为：
2
2 ．
18. 【解析】法一：设切点为(t，(1 - t)et)，y' =
-xex，∴y'|x=t=-tet，
则切线方程为y - et + tet =-tet(x - t)，切线过点
A(a , 0)，代入得-et+ tet=-tet(a - t)，
∴t2 - (a + 1)t + 1 = 0，即方程t2 - (a + 1)t + 1 = 0
有两个相等的实数根，
·164·
则△= (a + 1)2 - 4 = a2 + 2a - 3 = 0，解得a =-3
或a = 1．
法二：(拐点切线界定)y = (1 - x)ex，y=-xex ,
y =- ( x + 1 ) e x = 0 ⇒x =- 1 ，故
x<0, f(x)>0, f(x)↑
x>0, f(x)<0, f(x)↓
, 拐点切线为：y = x+3
e
，
当x<1,
f(x)>0
x>1,
f(x)<0
, 如图所示：A(a , 0) 作曲线y
= (1 - x)ex 的切线有且仅有1 条，则点A(a , 0) 为
函数与x 轴交点或者拐点切线与x 轴交点
∴a =-3 或a = 1 故选：C．
19. 【解析】作曲线f(x) = x
ex 的图像，并求得其拐
点处2，2
e2
切线方程为y = -x+4
e2
，如图所示，
对于A，当a = 0，b = 0 时，点(0，0) 在函数f(x)
= x
ex 的图象上，过y > 0 的曲线上任意一点能作曲
线f(x) 的两条切线，过y ≤0 的曲线上任意一点仅
能作曲线f(x) 的一条切线，故A 正确；
对于B，当a = 0 时，y 轴被f(x) 和拐点处切线分
为三段，当位于区域1 的部分，即0 < b < 4
e2 ，可
作三条切线，故B 正确；
对于C，当a = 2，b > 0 时，易知位于区域2 和区
域3，属于内弧区域，此区域的点能作y = f(x) 一
条切线，故C 错误；
对于D，当0 < a < 2 时，位于拐点左侧，可作两
条切线，故只能在曲线f(x) = x
ex 的图象或者拐点
处切线y = -x+4
e2
上，则b 的取值为4-a
e2
或a
ea ，
故D 正确．故选：ABD．
20. 【解析】函数f x
= x - e
x
a 的导数为fx
= 1
- 1
a e
x
a , a > 0，易知, 曲线y = f x
在x = 0 处的切
线l 的斜率为1 - 1
a , 切点为(0 ,-1)，可得切线的
方程为y = 1- 1
a
x - 1，假设l 与曲线y = ex 相
切, 设切点为
x0,y0
，即有e x0 = 1 - 1
a =
1- 1
a
x0 - 1，消去a 得ex0 = ex0x0 - 1 , 设h x
=
xex - ex - 1，则hx
= xex 令hx
> 0，则x > 0
所以h x
在(-∞, 0) 上单调递减, 在(0 ,+∞) 上单
调递增，当x →-∞，h x
→-1，x →+∞，h x
→+∞，所以h x
在(0 ,+∞) 有唯一解, 则ex0 > 1，
而a > 0 时, 1 - 1
a < 1 与ex0 > 1 矛盾，不存在．故
选A.
法二：特值法，取a = 1，f x
= x - ex，fx
=
1 - ex, f0
= 0 , 而y = ex> 0，故不存在切线l．
21. 【解析】f(x) - g x+ 1
2
= 1，f(x) = f(1 -
x)，f'(x) = f'(-1 - x)，且f
3
2
= 1 , g(1) =-1，
所以f - 1
2
= f
3
2
= 1，
因为f'(x) = f'(-1 - x)，所以f'(x) 关于直线x =
- 1
2 对称，则原函数f(x) 关于点- 1
2 ,1
对称，
所以f (x) =- f (-1 - x) + 2，所以f (-1 - x) =
-f(1 - x) + 2，
令t =-1 - x，则f(t) =-f(2 + t) + 2，即f(2 + t)
= 2 - f(t)，
所以f (x + 4) = 2 - f (x + 2) = 2 - (2 - f (x)) =
f(x)，所以f(x) 的周期为4，
又f(x) - g x+ 1
2
= 1，即g x+ 1
2
= f(x) - 1，
所以g(x) 的周期也为4，
由f
3
2
= 1 得g(2) = g 3
2 + 1
2
= f
3
2
- 1 = 0，
由f - 1
2
= 1 得g(0) = g - 1
2 + 1
2
= f - 1
2
- 1
= 0，所以g(4) = g(0) = 0，
·165·
由g(1) =-1 得g(1) = g 1
2 + 1
2
= f
1
2
- 1 =-1，
所以f
1
2
= 0，
又f(2 + x) = 2 - f(x)，所以f
5
2
= f 2+ 1
2
= 2
- f
1
2
= 2，所以g(3) = g 5
2 + 1
2
= f
5
2
- 1
= 1，
所以g(1) + g(2) + g(3) + g(4) =-1 + 0 + 1 + 0 = 0，
又2026 ÷ 4 = 5062，所以
2026
i=1
g(i) = 506 × 0 - 1 + 0
=-1．故选：D．
22 . 【解析】令g ( x ) = f(x)+2
ex
，g ′ ( x ) =
f′(x)- f(x)-2
ex
，又f(x) + 2 > f'(x)，则有g'(x) <
0，则函数g(x) 单调递减，f (0) = 1，则g(0) =
f(0)+2
e0
= 3，函数f(x) 单调递增，f(x) + 2 > f′
(x) > 0 ⇒f(x) + 2 > 0 在R 上恒成立；ln[ f(x) +
2] > ln3 + x ⇒ln f(x)+2
3
> x ⇒f(x)+2
3
> ex ⇒
f(x)+2
ex
> 3 ⇒g(x) > g(0)，故g(x) 为减函数，则
有x < 0，故选A．
23. 【解析】令g(x) = f(x)
e2x ，x ∈R，则f(x) +
e4xf(-x) = 0，即g(x) + g(-x) = 0，故函数g(x) 是
定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，2) 时，f'(x) >
2f (x)，则g'(x) = f(x)-2f(x)
e2x
> 0，故g(x) 在
[0，2) 上单调递增，在(-2，0] 上单调递增，又
f(1) = e2，则g(1) = f(1)
e2
= 1，e2x f(2 - x) < e4，
即f(2-x)
e2(2-x)
= g(2 - x) < 1 = g(1)，
故-2<2-x<2
2-x<1
，解得1 < x < 4．故选：C．
24. 【解析】b = 1
11 = 1 - 1
1.1 ，令lnx > 1 - 1
x ，
x ∈[1，1.1]，ln1.1 > 1
11 ，故b < a，
而d =
21
220
=
1.1
2
-
1
2×1.1 ，令lnx <
1
2
x- 1
x
，x ∈[1，1.1]，ln1.1 < 21
220 ，故a <
d，
0.1 - 0.13
6
< sin0.1 < 0.1，所以21
220 < 0.0998 <
sin0.1 < 0.1，则d < c，故b < a < d < c．
故选：BC．
25. 【解析】法一：构造f(x) = (4050 - x)ln(x)，
f(x) =-ln(x) + 4050-x
x
↓，f(2024) =-ln(2024)
+ 4050-2024
2026
< 0，f(x) = (4050 - x)ln(x) ↓，
f(2024) > f(2025) > f(2026)，故a > b > c；
法二：b = (2024 + 1)2025 = 20242025 + C 1
202520242024 +
⋯+1 < 2024 ⋅20242025= 20242026,
c = (2025 + 1)2024 = 20252024 + C1
202420252023 +⋯+1 <
2025 ⋅20252024= 20252025，故a > b > c．
故选：C．
26. 【解析】不妨设g(x) = xlnx，函数定义域为(0
,+∞)，x > 1
e ，函数g(x) 单调递增，所以当x ≥
1，函数g(x) 单调递增，不妨设f(x) = lnx
ex ，函数
定义域为[1，+∞)，可得f'(x) = 1-xlnx
xex
，因为
clnc = 1，所以当x ≥c 时，xlnx ≥1，此时f(x)
≤0，所以函数f(x) 在[1，+∞) 上单调递减，又
alna > blnb > clnc = 1，
所以a > b > c > 1，可得f(a) < f(b) < f(c)，所以
lna
ea
< lnb
eb
< lnc
ec ，即ealnb > eblna，ealnc >
eclna，eblnc > eclnb，所以ea+clnb > eb+clna，
ea+blnc > eb+clna，ea+blnc > ea+clnb，则ea+blnc >
ea+clnb > eb+clna，
故选：B．
27. 【解析】∵正数a，b，c ∈(1 ,+∞)，满足
2a-1
a-1 = 2 + log2a，3b-2
b-1
= 3 + log3b，4c-3
c-1
= 4 + log4c，
可得2a-1
a-1 = 2 + log2a ⇒
1
a-1 = log2a，3b-2
b-1
= 3 + log3b ⇒
1
b-1 = log3b，4c-3
c-1 = 4 + log4c ⇒
1
c-1 = log4c，
·166·
∴
考虑y =
1
x-1 和y =
2
log x，y =
3
log x，y =
4
log x 的图象的交点，根据图象可知：a < b < c．
故选：B．
28. 【解析】由题意有[1 - 2(m - n)]en-m+1 + k(m
- n) + (1 - 2n)e1-n + kn ≥0，构造f(x) = (1 - 2x)
e1-x+ kx，
则有f(m - n) + f(n) ≥0 对任意实数m，n 恒成
立，则f(x) ≥0 恒成立，令g(x) = 2x-1
xex-1 ，g(x)
= -2x2+x+1
x2ex-1
= -(2x+1)(x-1)
x2ex-1
，接下来分类
讨论：当x = 0 显然成立；当x < 0，即k ≤g(x) 恒
成立，k ≤g(x)min = g - 1
2
= 4e
3
2 ；当x > 0，即
k ≥g(x) 恒成立，k ≥g(x)max = g(1) = 1；综上：k
∈[1，4e
3
2 ].
故答案为k ∈[1，4e
3
2 ]
29. 【解析】因为aex + ln
a
x+2 - 2 > 0，等价于
ex+lna+ lna - ln(x + 2) - 2 > 0，
法一(同构单调性)：于ex+lna + (x + lna) > ln(x +
2) + (x + 2) = eln(x+2)+ ln(x + 2)，
即为ex+lna+ (x + lna) > eln(x+2)+ ln(x + 2) 恒成立，
令g(x) = ex+ x，则g(x + lnx) > g(ln(x + 2))，
又易得g(x) = ex + x 在定义域内单调递增，所以x
+ lna > ln(x + 2)，即x - ln(x + 2) + lna > 0，故
x - ln(x + 2) + lna > 0 恒成立，a > x+2
ex
max =
x+2
ex+2 ⋅e2
max = e，
法二(同构保值性)：ex+lna + lna - ln(x + 2) - 2 =
ex+lna - (x + lna) - 1 + (x + 2) - ln(x + 2) - 1 - 2
+ 2lna > 0，令h(x) = ex - x - 1，易知h(x) ≥0，
当且仅当x = 0 时等号成立，h(x + lna) + h(ln(x
+ 2)) - 2 + 2lna ≥0，故利用保值性，2lna - 2 >
0，a > e，当x+lna=0
x+2=1
时取等，故A、B、D
错误，C 正确．
法三(分而治之)：aex > ln e2(x+2)
a
⇔
aex
e2(x+2)
a
min
>
ln e2(x+2)
a
e2(x+2)
a
max，即a2
e3 > 1
e ，a > e 即可，取等
条件为
x+2=1
e2(x+2)
a
=e
⇔x=-1
a=e
，当a ≤e 时，ae-1
≤ln e2
a ，即a
e + lna ≤2，故A、B、D 错误，C
正确．
故选：ABD．
30. 【解析】对任意x1 ∈[1，2]，x2 ∈[1，3]，都
有不等式f(x1) ≥g(x2) 成立⇔f(x)min ≥g(x)min，
f(x) = ex(x + 1)，x ∈[1，2]，f(x) > 0，则f(x)
在区间[1，2] 上单调递增，∴f(x)min = f(1) = e +
2a，
∵g(x) = e(1-lnx)
x2
，∴x ∈[1，e]，g(x) > 0，
则g(x) 在[1，e] 上单调递增，x ∈(e，3]，g(x)
< 0，则g(x) 在(e，3] 上单调递减，又g(1) = 0，
g(3) = eln3
3
> 0，故g(x)min = 0，综上，e + 2a ≥
0 ⇒a ≥- e
2 ．
故选：C．
31. 【解析】设函数f(x) 在
e
3 ,e
上的零点为m，
则a
m2- 1
2 +
2
2 b - em = 0，
e
2m =
a
m2- 1
2 +
2
2 b
2
≤( a
2 + b
2 )
m2- 1
2
2
+
2
2
2
，即a2+ b2≥
e2m
m2
min = e2，
当且仅当m = e 时等号成立，故答案为：e2.
32. 【解析】因为t 是函数f(x) 的一个零点，所以
f(t) =
2m + n t + e
t
2 = 0，
et = ( 2m + n t)2 ≤(m2 + n2) (2 + t) ⇒m2 + n2 ≥
et
2+t
min = e
3 , t = 1 时取等，
所以
e
m2+n2 ≤
3 ，故
e
m2+n2 的最大值为
3．
·167·
故答案为：
3．
33. 【解析】法一：由已知有x > 0，对原不等式同
时除以x，可得：a < sinx
x
< b，构造函数f(x) =
sinx
x
，即要求b - a 的最小值即是求解f(x) 在x ∈
0, π
2
的最大值与最小值即可，f' ( x ) =
cosx⋅x-sinx
x2
，令h(x) = cosx ⋅x - sinx，h'(x)
=-x ⋅sin x，因为x ∈0, π
2
，故h'(x) < 0 恒成
立，故h(x) 在0, π
2
单调递减，又因为h(0) = 0，
故h(x) < h(0) = 0，即f'(x) < 0 在0, π
2
恒成立，
故f(x) 在0, π
2
单调递减，且x →0 时，sinx
x
→
1，当x = π
2 时，f(x) = 2
π ，故b - a 的最小值为
1 - 2
π ，故选：D．
法二(切割线构造)：本方法已经在上一章比大小中
介绍，我们知道sinx < x，但是下界没有锁定，我
们可以利用原点和极值点1，π
2
的连线，形成割
线放缩，即sinx > 2x
π
0<x< π
2
，故b - a 的最
小值为1 - 2
π ．
34. 【解析】法一(构造逆否等价命题)：显然a >
0，否则ex+1 + x ≤0 不可能恒成立，利用逆否命
题，若对于任意实数a > 0，存在x ∈R 使f(x) > 0
成立，构造g(a) = x + ex+1 - a(ex + m) > 0，则
ex+m<0
x+ex+1>0
恒成立，故x>-1
m<-e-1
，由于此命题和
原命题互为逆否命题，故原命题需要满足：m ≥
- 1
e ．
法二(切线找点)：(a - e)ex ≥x - ma 恒成立，所
以ex+ln(a-e) ≥x + ln(a - e) + 1 ≥x - ma 恒成立，
即存在a，满足ln(a - e) + 1 ≥-ma，令a - e = t
> 0，即lnt ≥-m(t + e) - 1 能成立，利用ln(
-mt) ≤-mt - 1，
则lnt ≤-mt - ln(-m) - 1 ≤-m(t + e) - 1，则
-me ≥-ln(-m) ⇒e ≥- 1
m
ln - 1
m
，所以m
≥- 1
e
法三(零点比大小)：由题意即ex+1 + x ≤a(m +
ex)，令ex = t > 0，原式即et + lnt ≤a(t + m)，左
边零点t1 = 1
e ，右边零点t2 =-m，由1
e ≥-m，
得m ≥- 1
e ，故选A．
35. 【解析】法一(切线找点)：ex ≥(a + 1)x + b
⇔ex-ln(a+1) ≥x - ln(a + 1) + 1 = x +
b
a+1 ⇔(a +
1)b =- (a + 1)2ln a+1
e
=- (a + 1) 2ln a+1
e
=- e2
2
(a+1)2
e2
ln (a+1)2
e2
≤
e
2 ；
法二( 基本不等式) ：e x ≥( a + 1 ) x + b ≥
2 (a+1)bx ⇒
ex
2 x ≥
(a+1)b ⇒e2x
4x ≥e
2 ≥(a
+ 1)b，当且仅当(a + 1)x = b 时取等，此时，所以
当且仅当x = 1
2 ，a + 1 =
e ，b =
e
2
时取等，
故选：B．
36. 【解析】因为函数f(x) 有两个极值点x1，x2，
所以f′ (x) = 2x - 2aex = 0 有两个零点x1，x2，即
aex1 = x1，aex2 = x2，a = x
ex ，令g(x) = x
ex ，则g'
(x) = 1-x
ex
，可得g(x) 在(-∞，1) 递增，在(1，
+∞) 递减，即0 < a < 1
e ，x1 < x < x2，因为x2 <
2x1，则x2
x1
= ex2-x1< 2．
法一(差值换元) 令x2 - x1 = t．则et < 2，0 < t <
ln2，可得x1 =
t
et-1 ，令g(t) =
t
et-1 , (0 < t <
ln2)．则g′ (t) = et-1-tet
(et-1)2 ，令h(t) = et- 1 - tet，
则h′ (t) =-tet < 0，所以h(t) 单调递减，即h(t) <
h(0) = 0，则g(t) 单调递减，所以g(t) > g(ln2) =
ln2，即x1 > ln2，a = x1
ex1 > ln2
2 ，所以a 的取值
·168·
范围为( ln2
2 ，1
e )，故选C．
法二(比值换元) 令t = x2
x1
∈(1，2)，x2 = tx1，
即x 1 =
lnt
t-1 ，令h ( t ) =
lnt
t-1 ，h ( t ) =
1- 1
t -lnt
(t-1)2
< 0(由于lnt > 1 - 1
t 恒成立)，故x1
= h(t) ∈(ln2，1)，a ∈( ln2
2 ，1
e )，故选C．
3.2 大题篇练习
1. 【解析】(1) 由同构函数，f(x)max = 1
e
(2) 切线：y - f(a) = f(a) (x - a)
令y = f(x) - f(a) - f(a) (x - a) , y= ln(x+1)
x+1
-
ln(a+1)
a+1
, 显然当x<a,y<0,y↓
x>a,y>0,y↑
ymin = y x=a
= f(a) - f(a) - f(a) (a - a) = 0，故x
≠a , y > 0 当-1 < a < 0 时，除切点A 外，y =
f x
均在l1 上方；
(3)l1 ：y - f(a) = f(a) (x - a)，l2 ：y - f(a) =
-
1
f(a) (x - a)
令y = 0 , x1 =- f(a)
f(a) + a , x2 = f (a)f (a) + a ∴
2a-x1-x2
x2-x1
= 1 +
2
(f(a))2+1
f ( a ) ∈
0，1
e
, 代入得
2a-x2-x1
x2-x1
∈
e2-1
e2+1 ,1
2. 【解析】(1) 由已知有f (x) = logax = lnx
lna =
1
lna ⋅lnx，又因为(lnx)' = 1
x ，
故f'(x) =
1
lna ⋅1
x =
1
xlna ，故h'(x) =
1
xlna -
1
lna =
1
lna
1
x -1
，因为a > 1，故lna > 0，
令h'(x) > 0，解得0 < x < 1，故h(x) 的递增区间
为(0 , 1)；
(2) 由(1) 有：f'(x) =
1
lna ⋅1
x =
1
xlna ，可得y =
f(x) 在点(x1, f(x1))，处的切线的斜率为
1
x1lna ，
由g'(x) = axlna，可得曲线y = g(x) 在点g(x2)) 处
的切线的斜率为ax2lna，
ax2lna =
1
x1lna ，即x1lna ⋅ax2lna = 1，即
a
log x1 +
x2+ 2
a
log (lna) = 0，
∵这两条切线平行，故有ax1lna =
1
x2lna ，即x2ax1
(lna)2= 1，
两边取以a 为底数的对数，得
a
log x 2 + x 1 +
2
a
log lna = 0，
故f ( x 1 ) + x 2 =
a
log x 1 + x 2 =- 2 log a ( lna ) =
-2ln(lna)
lna
，∴f(x1) + x2=- 2lnlna
lna
；
(3) 证明：曲线y = f(x) 在点(x1，ax1) 处的切线l1 :
y - ax1= ax1lna(x - x1)，
曲线y = g(x) 在点(x2，
a
log x2) 处的切线l2 : y -
logax2=
1
x2lna (x - x2)，
要证明当a ≥e
1
e 时，存在直线l，使l 是曲线y =
f(x) 的切线，也是曲线y = g(x) 的切线，
只需证明当a ≥e
1
e 时，存在x1 ∈(-∞,+∞)，x2 ∈
(0 ,+∞)，使得l1与l2重合，
即只需证明当a ≥e
1
e
时，方程组
ax1lna=
1
x2lna ①
ax1-x1ax1lna=logax2-
1
lna ②
，
由①得x2 =
1
ax1(lna)2 ，代入②得：ax1 - x1ax1lna
+ x1+
1
lna + 2lnlna
lna
= 0 ③，
因此，只需证明当a ≥e
1
e 时，关于x1 的方程③存
在实数解．
设函数μ(x) = ax - xaxlna + x +
1
lna + 2lnlna
lna
，
即要证明当a ≥e
1
e 时，函数y = u(x) 存在零点．
u'(x) = 1 - (lna)2xax，可知x ∈(-∞, 0) 时，u'(x)
> 0；x ∈(0 ,+∞) 时，u'(x) 单调递减，
又u'(0) = 1 > 0，μ
1
(lna)2
= 1 - a
1
(lna)2 < 0，
故存在唯一的x0，且x0 > 0，使得u'(x0) = 0，即1
- (lna)2x0ax_0= 0．
由此可得，u(x) 在(-∞, x0) 上单调递增，在+∞)
上单调递减，
u(x) 在x = x0 处取得极大值u(x0)．∵a ≥e
1
e ，故
lnlna ≥-1．
·169·
∴μ(x0) = ax0 - x0ax0lna + x0 +
1
lna + 2lnlna
lna
=
1
x0(lna)2 + x0+ 2lnlna
lna
≥2+2lnlna
lna
≥0．
下面证明存在实数t，使得u(t) < 0，由(Ⅰ) 可得
ax ≥1 + xlna，当x >
1
lna 时，μ(x) ≤(1 + xlna)
(1 - xlna) + x +
1
lna + 2lnlna
lna
=- (lna)2x2 + x +
1 +
1
lna + 2lnlna
lna
，
∴存在实数t，使得u(t) < 0，因此，当a ≥e
1
e 时，
存在x1∈(-∞,+∞)，使得u(x1) = 0．
∴当a ≥e
1
e 时，存在直线l，使l 是曲线y = f(x) 的
切线，也是曲线y = g(x) 的切线．
3. 【解析】(1)f'(x) = 3x2- 2x + a，Δ = 4 - 12a，
①当Δ ≤0，即a ≥1
3 时，由于f'(x) 的图象是开
口向上的抛物线，故此时f'(x) ≥0，则f(x) 在R
上单调递增；
②当Δ > 0，即a < 1
3 时，令f'(x) = 0，解得x1 =
1-
1-3a
3
, x2 = 1+
1-3a
3
，令f'(x) > 0，解
得x < x1 或x > x2，令f'(x) < 0，解得x1 < x <
x2，∴f(x) 在(-∞, x1)，(x2，+∞) 单调递增，在
(x1，x2) 单调递减；
综上，当a ≥1
3 时，f(x) 在R 上单调递增；当a <
1
3
时，
f ( x )
在
-∞, 1-
1-3a
3
,
1+
1-3a
3
,+∞
单
调
递
增
，
在
1-
1-3a
3
, 1+
1-3a
3
单调递减．
(2) 设曲线y = f(x) 过坐标原点的切线为l，切点为
(x0, x3
0- x2
0+ ax0+ 1) , f(x0) = 3x2
0- 2x0+ a，
则切线方程为y - (x3
0 - x2
0 + ax0 + 1) = (3x2
0 - 2x0 +
a) (x - x0)，
将原点代入切线方程有，2x3
0 - x2
0 - 1 = 0，解得x0
= 1，∴切线方程为y = (a + 1)x，
令x3 - x2 + ax + 1 = (a + 1)x，即x3 - x2 - x + 1 =
0，解得x = 1 或x =-1，
∴曲线y = f(x) 过坐标原点的切线与曲线y = f(x)
的公共点的坐标为(1 , a + 1) 和(-1 ,-a - 1)．
4. 【解析】(1) 由同构函数f(x) = x
ex 的极值点为
1，极大值为1
e ，g(x) = lnx
x
的极值点为e，极大
值为1
e ；
令h(x) = exlnx - x2，当0 < x < 1 , h(x) = exlnx -
x2 < 0 , 无零点，当x > 1 , h(x) = ex lnx+ 1
x
-
2x > ex - 2x > 0 , (自证)，h(1) =-1 < 0 , h(e) = ee
- e2> 0，故存在唯一x2∈(1，e)
使得h(x) = 0 ,∴h(x) 有唯一零点，即y = f(x)、y
= g(x) 有唯一交点；
图像如图对于常数a ∈0, 1
e
，直线y = a 和曲线
y = f(x)、y = g(x) 共有三个不同交点，(x1，a)、
(x2，a)、(x3，a)，∴a = f(x2) ∴f(x1) = f(x2) =
g(x2) = g(x3)，0 < x1< 1 < x2< x3，
f (x1) = g(x2) ⇔x1 = lnx2 , f (x2) = g(x3) ⇔x2 =
lnx3，∴x1x3 = ex2lnx2 = x2
2，即x1、x2、x3 成等比
数列．
5. 【解析】(1) 当a = 0 时，f(x) = x - 1
2 (sinx -
cos x ) ，f ( x ) = 1 - 1
2 ( cos x + sin x ) = 1 -
2
2 sin x+ π
4
> 0，
所以f(x) 在R 上单调递增；
(2) 法一将x = 0 代入，故a ≤e0 -1+ 1
2
=- 1
2 ，
当a ≤- 1
2 时，要证f(x) = x - 1
2 (sinx - cosx) -
a
ex ≥x - 1
2 (sinx -
-cosx) +
1
2ex ≥1，即证1 ≥ex(2 - 2x + sinx -
cosx) = g(x)，g(x) = 2ex(sinx - x)，g(0) = 0，
令h(x) = sinx - x，h(x) = cosx - 1 ≤0，则h(x)
单调递减，则x ∈(-∞，0)，h(x) > 0，g(x) >
0，g(x) 单调递增，x ∈(0，+∞)，h(x) < 0，g
(x) < 0，g(x) 单调递减，则g(x)max = g(0) = 1，故
·170·
命题成立；综上a 的取值范围为- 1
2 ]．
法二由f(x) = x - a
ex - 1
2 (sinx - cosx) ≥1 对任
意x ∈R 恒成立，则a
ex ≤x - 1 - 1
2 (sinx - cosx)
对任意x ∈R 恒成立，所以a ≤
x-1- 1
2 sinx+ 1
2 cosx
ex 对任意x ∈R 恒成立，
令g(x) = x-1- 1
2 sinx+ 1
2 cosx
ex，
则g(x) = (x - sinx)ex，令φ(x) = x - sinx，则φ
(x) = 1 - cosx ≥0，所以φ(x) 在x ∈R 上单调递
增，又因为φ(0) = 0，所以x ∈(-∞，0) 时，φ(x)
< 0，即g(x) < 0，g(x) 单调递减；x ∈(0，+∞)
时，φ(x) > 0，即g(x) > 0，g(x) 单调递增，所
以g(x)min = g(0) =- 1
2 ，所以a ≤- 1
2 ，所以a 的
取值范围为- 1
2 ]．
注意：涉及ex 跟三角的综合题，“指数找基友”
能有效避免讨论，属于上乘之策．
6. 【证明】因为f(x) = ln(x+1)
x
< 1(x > 0) (证明
过程省略)，所以f( x) = ln( x+1)
x
< 1(x > 0)，
所以2 > 2ln( x+1)
x
= ln( x+1)2
x
> ln(x+1)
x
，
所以ln(x+1)
x
< 2；
(2) 法一(指数找基友)：令t =
x ，本题转化为
g(t) = ln(t2+1)
t
< 1，只需证t > ln(t2 + 1)，两边
取指数得，只需证et > t2 + 1，构造h(t) = t2+1
et
，
h(t) =- (t-1)2
et
≤0，故h(t) < h(0) = 1，证毕.
法二(对数单身狗)：即证h(x) =
x - ln(x + 1) >
0，h'(x) =
1
2 x -
1
x+1 ≥0，故h(x) 单调递增，
h(x) > h(0) = 0.
7. 【解析】当a =-2 时，f(x) =-2x + 2xlnx + 1，
令x2 - 3x + 1
x + 2lnx - f(x) = x2 - x + 1
x - 1 +
2lnx - 2xlnx = (x - 1) x- 1
x -2lnx
．(后面的因
式就是一个飘带函数)，令g(x) = x - 1
x - 2lnx，
g(x) = 1 + 1
x2 - 2
x = (x-1)2
x2
≥0，所以g(x) 在
(0，+∞) 上单调递增，有g(1) = 0，所以当0 < x <
1 时，g(x) < 0；当x > 1 时，g(x) > 0，所以(x -
1) x- 1
x -2lnx
≥0，即f (x) ≤x2 - 3x + 1
x +
2lnx．
8. 【解析】(1) 因为f'(x) = cos x，f (2)(x) =
-sinx，f(3)(x) =-cosx，
所以第2 项T1 = cos0
1!
x 1 = x , T3 = -cos0
3!
x 3 =
- 1
6 x3．
(2) 证明：设g(x) = ln(1 + x) - x + x2
2 ，g'(x) =
1
x+1 - 1 + x = 1+x2-1
x+1
=
x2
x+1 ，
因为x > 0，所以g'(x) =
x2
x+1 > 0 , g(x) 单调递
增，所以g(x) > g(0) = ln1 - 0 + 0 = 0，
所以ln(1 + x) > x - x2
2 ．
(3) 当x = 1 时，e1 + ln1 + 1
2 > 1
6 + m 成立，得
出m < e + 1
3 ，m 的最大整数为3．
当m = 3 时，设h(x) = ex + lnx + 1
2 - x3
6 - 3x =
1 + x + x2
2 + x3
6 + lnx + 1
2 - x3
6 - 3x，
h(x) = x2
2 + lnx + 3
2 - 2x , h'(x) = x + 1
x - 2 ≥
2
x× 1
x - 2 = 0，
当x > 1，h'(x) > 0，h(x) 单调递增，则h(x) >
h(1) = ln1 + 1
2 - 2 + 3
2 = 0，
所以ex + lnx + 1
2 > x3
6 + 3x，又当x = 1 时，e2
+ ln1 + 1
2 > 1
6 + 3 成立，
所以当x ≥1 时ex+ lnx + 1
2 > x3
6 + 3x．
9. 【解析】(1) 因为函数f (x) = a(x - lnx) +
2x-1
x2
，所以
f ′ ( x ) = a
1- 1
x
+
2x2-(2x-1)⋅2x
x4
= ax-a
x
+ 2-2x
x3
= ax3-ax2+2-2x
x3
= (x-1)(ax2-2)
x3
(x > 0)，若
·171·
a ≤0，则ax2 - 2 < 0 恒成立，当x ∈(0，1) 时，
f′ (x) > 0，f(x)
为增函数，当x ∈(1，+∞) 时，f'(x) < 0，f(x)
为减函数；当a > 0，若0 < a < 2，当x ∈(0，1)
和(
2a
a
，+∞)
时，f′ (x) > 0，f(x) 为增函数，当x ∈(1，
2a
a
)
时，f′ (x) < 0，f(x) 为减函数；若a = 2，f′ (x)
≥0 恒成
立，f(x) 在(0，+∞) 上为增函数；若a > 2，当x
∈(0，
2a
a
) 和(1，+∞) 时，f′ (x) > 0，所以
f(x) 为增函数，
当x ∈(
2a
a
，1) 时，f′ (x) < 0，所以f(x) 为减函
数；
(2) 当a = 1 时，令F(x) = f(x) - f′ (x) - 3
2 = x -
lnx + 2
x - 1
x2 - 1 + 2
x2 + 1
x - 2
x3 = x - lnx + 3
x
+ 1
x2 - 2
x3 - 5
2 ．令
g(x) = x - lnx，由g′ (x) = x-1
x
≥0，可得g(x)
≥g(1) = 1，当且仅当x = 1 时取等号；h(x) = 2
x3
- 1
x2 - 3
x + 5
2 ，令t = 1
x ∈
1
2 ，1
，h(t) = 2t3
- t2 - 3t + 1，h(t) = 6t2 - 2t - 3，又h′
1
2
=
- 5
2 ，h′ (1) = 1，故存在t0 ∈
1
2 ，1
，使得h(t)
= 0，h(t)max = max h 1
2
，h(1)
= h 1
2
= 1，
如图，即当且仅当x = 2 取等号，f(x) - f′ (x) >
g(1)
-h(2) = 0，F(x) > 0 恒成立，即f(x) > f′ (x) +
3
2 对于任意的x ∈[1，2] 成立．
10. 【解析】(1) 由题意，f(x) 的定义域为R．f′
(x) =- m(x-2)
ex
，f′ (1) = m
e =- 1
e ，m =-1．
f(x) = 1-x
ex
，f(x) = x-2
ex
，当x > 2 时，f(x) >
0，f(x) 单调递增；当x < 2 时，f(x) < 0，f(x)
单调递减，x = 2 是f(x) 的极小值点，f(x) 的极小
值为f(2) =- 1
e2 ．
(2) 证明：要证exsinx - x + ex-2 + 1 > exxcosx，两
边同除以ex，只需证1-x
ex
+ 1
e2 > xcosx - sinx
即可．即证f(x) + 1
e2 > xcosx - sinx，分而治之，
由(1) 可知，f(x) + 1
e2 在x = 2 处取得最小值0；
设g(x) = xcosx - sinx，x ∈(0，π)，则g(x) =
cosx - xsinx - cosx =-xsinx，x ∈(0，π)，g
(x) < 0，g(x) 在区间(0，π) 上单调递减，从而
g(x) < g(0) = 0，f(x) + 1
e2 > xcosx - sinx，即
exsinx - x + ex-2+ 1 > exxcosx．
11. 【解析】(1) 令f(x) = cos x - 1 + 1
2 x2，x ∈
[0，+∞)，f(0) = 0．f'(x) =-sinx + x，令u(x)
= x - sinx，
x ∈[0，+∞)，u(0) = 0．则u′ (x) = 1 - cosx ≥0，
函数u(x) 在x ∈[0，+∞) 上单调递增，故u(x) ≥
u(0) = 0．
所以函数f (x) 在x ∈[0，+∞) 上单调递增，故
f(x) ≥f(0) = 0．因此x ≥0 时，cosx ≥1 - 1
2 x2
恒成立．
(2) 由(1) 可得：cosx ≥1 - 1
2 x2，x ≥sinx，在x
∈[0，+∞) 上恒成立．又当a ≥1 时，∀x ∈[0，
+∞)，xeax ≥xex．
当a ≥1 时，∀x ∈[0，+∞)，证明不等式xeax +
xcosx + 1 ≥( 1 + sinx ) 2 恒成立⇔xe x +
x 1- 1
2 x2
+ 1 ≥(1 + x)2，⇔ex -
1
2 x2+x+1
≥0 ，令g(x) = e x -
1
2 x2+x+1
，x ∈[ 0 ，
+∞)，g(0) = 0，求导g′ (x) = ex - x - 1，x ∈[0，
+∞)，令h(x) = ex - x - 1，x ∈[0，+∞)，h(0)
= 0．h′ (x) = ex - 1 ≥0，当x = 0 时取等号，故g′
(x) ≥0，在x ∈[0，+∞) 上恒成立．所以g(x) ≥0
·172·
在x ∈[0，+∞) 上恒成立．所以当a ≥1 时，∀x
∈[0，+∞)，不等式xeax + xcosx + 1 ≥(1 + sinx)
2恒成立．
12. 【解析】(1) 由同构函数x > 0 , ex ≥e2
4 x2 > x2
(同构函数请自证)；
(2)f(x) = ln2x + a(lnx+1)
x
, a > 0，f(x) = 2lnx
x
+ a(-lnx)
x2
= (2x-a)lnx
x2
，
①当a = 2 时，函数f'(x) = 2(x-1)lnx
x2
，当0 < x
≤1 时，(x - 1)lnx ≥0；当x > 1 时，(x - 1)lnx
≥0，
故当x > 0 时，f'(x) ≥0 恒成立，此时f(x) 在(0 ,
+∞) 上单调递增；
②0 < a < 2 时，当x ∈0, a
2
∪(1 ,+∞) 时，f'
(x) > 0，函数f(x) 在0, a
2
和(1 ,+∞) 上单调递
增；
当x ∈
a
2 ,1
时，f'(x) < 0，函数f(x) 在
a
2 ,1
上单调递减；
③a > 2 时，当x ∈(0 , 1) ∪
a
2 ,+∞
时，f'(x) >
0，函数f(x) 在(0 , 1) 和
a
2 ,+∞
上单调递增；
当x ∈1, a
2
时，f'(x) < 0，函数f(x) 在1, a
2
上单调递减；
(3) 证明：f(x) = ln2x + a(lnx+1)
x
，f(1) = a > 0 ,
f a
2
= ln2 a
2 + 2 ln a
2 +1
> 0，当x > 1 , f(x) >
0 恒成立，0 < x < 1 , f(x) = ln2x + a(lnx+1)
x
=
1
x xln2x+a lnx+1
=≤
1
x (2 xln x)2+a lnx+1
≤1
x
1
e2 +a lnx+1
< 1
x 1+a lnx+1
= 0 ⇒
x = e
- 1
a -1，故存在唯一x0 ∈e
- 1
a -1,1
使得f(x) =
0.
13. 【解析】f(x) = xlnx + ax2 , f(x) = 1 + lnx +
2ax , f(x) = 1
x + 2a，当a ≥0 , f(x) > 0 , f(x) ↑，
至多一个极值点，
故a < 0 ,
x<- 1
2a , f(x)>0, f(x)↑
x>- 1
2a , f(x)<0, f(x)↓
, f (x) max =
f - 1
2a
= ln - 1
2a
> 0 ⇒0 > a >- 1
2 ，此时
f
1
e
= 2a
e
< 0，存在唯一x1 ∈
1
e ,- 1
2a
使得
f (x 1) = 0，当x > 1，f (x) = 1 + lnx + 2ax =
x
lnex
x +2a x
=
x
2 eln ex
ex
+2a x
<
x
2
e +2a x
= 0，取x =
1
ea2 ，存在唯一x2 ∈
- 1
2a , 1
ea2
使得f(x2) = 0，所以f(x) 存在两个
极值点，0 > a >- 1
2 .
14. 【解析】法一：f(x) = a(x + 1)ex - 1 - 1
x ↑，
我们发现没有能明显定号的点，故考虑以f(1) 的符
号作为分界线，当f(1) > 0 ⇒a > 1
e , x ∈(0 , 1) ,
f(x) < 2ae - 1 - 1
x = 0，取x =
1
2ae-1 ；
当f(1) < 0 ⇒a < 1
e , x ∈(1 ,+∞) , f(x) > 2aex - 2
= 0，取x = ln 1
a ；
当a = 1
e , f(1) = 0，即f(x) 有唯一零点.
法二：我们的想法时让主体足够大，而且能消掉a
带来的影响，这就需要一定的放缩能力了，
取x = e
1
a ，这显然是大于1 的，为什么指数结构写
成1
a 呢，因为ae
1
a > a ⋅1
a = 1，当然取比x = e
1
a
大的都可以，越远离零点越好取。
故a > 0 , x > 0 , f e
1
a
= a e
1
a +1
ee
1
a - 1 - 1
e
1
a >
a e
1
a +1
e
1
a - 2 > a e
1
a +1
1
a - 2 > 0，当x < e
1
a ，
f ( x ) < a e
1
a +1
e e
1
a - 1 - 1
x
= 0 ⇒x =
1
a e
1
a +1
ee
1
a -1
，故存在唯一
x
0
∈
1
a e
1
a +1
ee
1
a -1
,e
1
a
使得f(x0) = 0，即f(x) 有唯
一零点.
·173·
15 . 【分析】f ( x ) =
1
1+x + a(1-x)
ex
=
ex-ax2+a
(1+x)ex
，且f(0) = 0，f(x) 为开口向上的单
峰函数，故f(0) < 0，即a <-1 时满足题意，本题
就是要将a ≥-1 的情况找出矛盾排除，并在a <
-1 进行找点确认.
本题也是双端点效应，由于f(0) = 0，如果在
x ∈(-1，0) 和x ∈(0，+∞) 两个区间f(x) 单调，
则不会产生零点，故本题就是利用各个区间单调来
排除矛盾，当a <-1 时则需要论证三个单调区间，
三个零点分析.
【解析】(1) 当a = 1 时，f(x) = ln(1 + x) + xe-x，
则f (x) =
1
1+x + a(1-x)
ex
= ex-ax2+a
(1+x)ex
，f (0)
= 1 + 1 = 2，又f(0) = 0，所求切线方程为y = 2x :
(2) ①若a ≥0，当-1 < x < 0 时，
1
1+x > 0，
a(1-x)
ex
> 0，所以f(x) > 0，f(x) 单调递增，则
f(x) < f(0) = 0，故f(x) 在区间(-1，0) 没有零点，
不合题意;
②若a < 0，f(x) = ex-ax2+a
(1+x)ex
，f(0) = 1 + a，
令g(x) = ex- ax2+ a，g(x) = ex- 2ax
i : f(0) = 1 + a ≥0，此时0 > a ≥-1，当x > 0 时，
g(x) = ex - 2ax > ex - 2x > 0，所以g(x) 单调递
增，此时g(x) = ex- ax2+ a > g(0) = 1 + a 恒成立，
所以f(x) > 0 对x ∈(0，+∞) 恒成立，与题意不
符;
ii : f (0) = 1 + a < 0，此时a <-1，g(x) = ex -
2ax 为单调增函数，如图所示，g(-1) = 1
e + 2a <
0，g(0) = 1 > 0
当x ∈(-1，0) 时，∃x0 ∈(-1，0)，使g(x0) =
0，则g(x) 在区间(-1，x0) 单调递减，在区间
(x0，0) 单调递增，由于g(-1) = 1
e > 0，g(0) = 1
+ a < 0，所以∃n ∈(-1，0)，使g(n) = 0，即
f(x) 在区间(-1，n) 单调递增，在区间(n，0) 单
调递减，因为f(0) = 0，所以一定有f(n) > 0，又
因为xe-x∈(-e，0)，所以axe-x∈(0，-ae)，
f(x) = ln(1 + x) + axe-x < ln(1 + x) - ae = 0，取x
= eae - 1，所以f(eae - 1) < 0，所以∃x1 ∈(eae -
1，0)，使f(x1) = 0 ;
当x ∈(0，+∞) 时，g(x) = ex - 2ax > 0，g(x) =
ex - ax2 + a 为单调增函数，g(0) < 0，g(1) = e >
0，所以∃m ∈(0，1)，使g(m) = 0，即f(x) 在区
间(0，m) 单调递减，在区间(m，+∞) 单调递增，
由于f(0) = 0，所以一定有f(m) < 0，又因为xe-x
∈(0，1
e )，所以axe-x ∈( a
e ，0)，f(x) = ln(1 +
x) + axe-x > ln(1 + x) + a
e = 0，取x = e
- a
e - 1，
所以f e
- a
e -1
> 0，所以∃x2 ∈(0，e
- a
e - 1)，使
f(x2) = 0 ; 综上，实数a 的取值范围为(-∞，-1).
注意：三个零点问题，中间零点作显点探路，永远
是问题的最大突破口.
16. 【解析】(1) 在(0，f(0)) 处的切线方程为y =
(a - 1)x；
(2)f(x) = a - (x + 1)ex，f(x) =- (x + 2)ex，当x
≤-1 时，f(x) > 0，函数无极值；当x >-1 时，
f(x) < 0，f(x) 单调递减，f(-1) > 0，由于-1 <
x0，且(x + 1)ex > (x + 1) ⋅1
e ，f(x) = a - (x + 1)
ex < a - (x + 1) ⋅1
e ，取m = ea - 1，f(ea - 1) =
a - aeea = a(1 - eea) < 0，存在唯一的x0 ∈(-1，
ea - 1) 使得f(x0) = 0；
(3) 令h(x) = xex - a(x - 1) + b ≥0，h(x) = (x +
1)ex - a，根据第(2) 问结论可知h(x) 有唯一极小
·174·
值点x0，此时满足a = (x0 + 1)ex0，h(x0) = x0ex0 -
(x0+ 1) (x0- 1)ex0+ b ≥0，所以b ≥(x0
2- x0- 1)ex0
令t(x) = (x2 - x - 1)ex，t(x) = (x2 + x - 2)ex = (x
- 1) (x + 2)ex，由于x >-1，故x ∈(-1，1) 时，
t(x) 单调递减，x ∈(1，+∞) 时，t(x) 单调递增，
t(x)min = t(1) =-e，所以b ≥-e．
17. 【解析】(1) 函数求导得f(x) = f(1)ex-1 - f(0)
+ x，令x = 1，得f(0) = 1，所以f(x) = f(1)ex-1
- x + 1
2 x2，令x = 0，则f(0) = f(1)e-1 = 1，解得
f(1) = e，故函数的解析式为f(x) = ex- x + 1
2 x2，
令g(x) = f(x) = ex - 1 + x，得g(x) = ex + 1 > 0，
由此知y = g(x) 在x ∈R 上单调递增；当x > 0 时，
f(x) > f(0) = 0；当x < 0 时，由f(x) < f(0) = 0
得：函数f(x) = ex - x + 1
2 x2 的单调递增区间为
(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)．
(2) 先证明a + 1 > 0(略)，令g(x) = ex - x - 1，g
(x) = ex - 1 = 0 ⇒x = 0，故g(x)min = g(0) = 0，即
ex ≥x + 1 恒成立，根据题意，f(x) ≥1
2 x2 + ax +
b ⇔e x ≥(a + 1)x + b ⇔
ex
a+1 = e x-ln(a+1) ≥x -
ln(a + 1) + 1 = x +
b
a+1 ，根据切线意义可知：
-ln(a + 1) + 1 =
b
a+1 ⇔b = (a + 1) [1 - ln(a + 1)
] =- (a + 1)ln a+1
e
，由同构令h(x) =-xlnx，由
h(x) =-lnx - 1 = 0 得，x = 1
e ，当x < 1
e 时，h
(x) > 0，当x > 1
e 时，h(x) < 0，故h(x)max =
h
1
e
= 1
e ，( a + 1 ) b =- ( a + 1 ) 2 ln a+1
e
=
- e2
2
(a+1)2
e2
ln (a+1)2
e2
= e2
2 h (a+1)2
e2
≤e
2 ．
18. 【解析】(1) 当λ = 2 时，f(x) = 2x - ex，设点
P(x , y) 为g(x) 图象上任一点，
则点P 关于点(2 , 3) 的对称点为Q(4 - x , 6 - y) 在
y = f(x) 的图象上，
所以6 - y = 2(4 - x) - e4-x，即y = 2x - 2 + e4-x，
所以g(x) = 2x - 2 + e4-x；
(2) 因为f(x) = λx - ex，所以f(x) = λ - ex；
①当λ ≤e2 时，f(x) ≤0 在2,6
上恒成立，所以
f(x) 在2,6
上单调递减；
②当λ ≥e6 时，f(x) ≥0 在2,6
上恒成立，所以
f(x) 在2,6
上单调递增；
③当e2< λ < e6时，令f(x) = 0，解得x = lnλ，
所以当x ∈2,lnλ
时，f(x) > 0，f(x) 单调递增；
当x ∈lnλ,6
时，f(x) < 0，f(x) 单调递减；
综上，当λ ≤e2 时，f(x) 在2,6
上单调递减；当
λ ≥e6时，f(x) 在2,6
上单调递增；
当e2 < λ < e6 时，f(x) 在2,lnλ
上单调递增，在
lnλ,6
上单调递减；
(3) 不等式f(x) + ex ≤1
6 x3 + sinx 在0,+∞
上恒
成立，则λx ≤1
6 x3+ sinx 恒成立，
所以1
6 x3 + sinx - λx ≥0 恒成立，设h(x) = 1
6 x3
+ sinx - λx , x ∈0,+∞
，h(0) = 0，
则h(x) = 1
2 x2 + cosx - λ , h(x) = x - sinx ≥0 ,
h(x) ↑(请自证)，h(0) = 1 - λ ≥0，故λ ≤1,
当λ ≤1，h(x) > h(0) = 0 ⇒h(x) ↑, h(x) ≥h(0) 成
立；
当λ > 1 时，h(0) < 0，h(x) = 1
2 x2 + cosx - λ >
1
4 x2- 1 + 1
4 x2- λ2, 取x = 2 + 2λ , 4λ ⋯，h(4λ) >
0，存在唯一x0 ∈(0 , 4λ) 使得h(x0) = 0，即x ∈(0
, x0) , h(x) < 0 , h(x) ↓, h(x) < h(0) = 0，矛盾！
故λ ∈-∞,1
．
19. 【解析】(1) 已知f(x) = ax - sinx
cos3x ，函数定
义域为
0, π
2
，若a = 8 ，此时f ( x ) = 8 x -
sinx
cos3x ，
可得f'(x) = 8 - cosx⋅
3
cos x+sinx⋅3
2
cos x⋅sinx
cos6x
= (4
2
cos x+3)(2
2
cos x-1)
cos4x
，因为4cos2x + 3 >
0，
4
cos x > 0，所以当cos x >
2
2 ，即0 < x <
π
4 时，f'(x) > 0，f (x) 单调递增；当cos x <
2
2 ，即π
4 < x < π
2 时，f'(x) < 0，f(x) 单调递
减；
(2) 不妨设g(x) = ax - sinx
cos3x - sin2x，函数定义
·175·
域为0, π
2
，
g'(x) = a - 3-2
2
cos x
cos4x
- 2cos2x = a - 3-2
2
cos x
cos4x
- 2(2cos2x - 1)，令cos2x = t，0 < t < 1，此时g'
(t) = a + 2 - 4t + 2
t - 3
t2 ，不妨令h(t) = a + 2 -
4 t + 2
t - 3
t2 ，可得h ′ ( t ) =- 4 - 2
t2 + 6
t3 =
- 2(t-1)(2t2+2t+3)
t3
> 0，所以h(t) 单调递增，
此时h(t) < h(1) = a - 3，
①当a ≤3 时，g′ (x) = h(t) < a - 3 ≤0，所以g(x)
在0, π
2
上单调递减，此时g(x) < g(0) = 0，
则当a ≤3 时，f(x) < sin2x 恒成立，符合题意；
②当a > 3 时，当t →0 时，2
t
-
3
t2
=
-3 1
t - 1
3
2 + 1
3 →-∞，所以h(t) →-∞，又
h(1) = a - 3 > 0，
所以在区间(0 , 1) 上存在一点t0，使得h(t0) = 0，
即存在x0∈0, π
2
，使得g'(x0) = 0，
当t0 < t < 1 时，h(t) > 0，所以当0 < x < x0 时，
g'(x) > 0，g(x) 单调递增，可得当0 < x < x0 时，
g(x) > g(0) = 0，不符合题意，综上，a 的取值范
围为(-∞，3]．
注意：本题我们用泰勒展开不等式来分析一下原
理，利用tanx ≥x + 1
3 x3，sinx ≥x - 1
6 x3，则
sinx
cos3x + sin 2 x = sinx(cos2+sin2x)
cos3x
+ sin 2 x >
tanx + sin2x + tan3x ≥x+ 1
3 x3
+ 2x- 4
3 x3
+
x3≥3x，故f(x) < sin2x 时，a ≤3；
20. 【解析】(1) 由f(x) = ex + acosx -
2 x - 2，
得f(x) = ex - asinx -
2，令g(x) = ex - asinx -
2，则g(x) = ex- acosx，x ∈(0，π
2 )，ex> 1，
0 < cosx < 1，当a ≤1 时，g'(x) > 0，g(x) 单调
递增，即f(x) 在区间(0，π
2 ) 内无极值点，当a >
1 时，g(x) = ex + asinx，x ∈(0，π
2 )，故g(x)
> 0，故g(x) 在(0，π
2 ) 单调递增，又g(0) = 1 -
a < 0，gπ
2
= e
π
2 > 0，故存在x0 ∈(0，π
2 )，使
得g(x0) = 0，且x ∈(0，x0) 时，g(x) < 0，g(x)
递减，x ∈(x0，π
2 ) 时，g(x) > 0，g(x) 单调递
增，故x = x0 为g(x) 的极小值点，此时f(x) 在区
间(0，π
2 ) 内存在1 个极小值点，无极大值点；综
上：当a ≤1 时，f (x) 在区间(0，π
2 ) 内无极值
点，当a > 1 时，f(x) 在区间(0，π
2 ) 内存在1 个
极小值点，无极大值点．
(2) 由于f(0) = a - 1 ≥0 ⇒a ≥1，f(x) = (a - 1)
cosx + ex + cosx -
2x - 2 ≥0，此时(a - 1)cosx
≥0，
故只需证e x + cosx -
2 x - 2 ≥0，只需证1 +
cosx-
2x-2
ex
= g(x) ≥0，g(0) = 0，
g(x) = -sinx-cosx+
2x+2-
2
ex
，令t(x) =
-sinx - cosx +
2x + 2 -
2，
t(x) = sinx - cosx +
2 =
2 +
2 sin x- π
4
>
0，t(x) 在- π
2 ，0
单调递增，t(0) = 1 -
2 <
0，g(x) 在- π
2 ，0
恒负，g(x) 在- π
2 ，0
单
调递减，g(x) ≥g(0) = 0 满足题意．
21. 【解析】(1) 证明：令f1(x) = ex - 1 - x，x ≥
0，则f1'(x) = ex - 1 ≥0，所以f1(x) 在[0，+∞) 单
调递增，所以f1(x) = f1(0) = 0，所以x ≥0 时，
f(x) - 1 ≥x；再令f2(x) = x - sinx，则f2'(x) = 1
- cosx ≥0，所以f2(x) 在[0，+∞) 单调递增，所
以f2(x) ≥f2(0) = 0，所以x ≥0 时，x ≥sinx．综
上所述，x ≥0 时，f(x) - 1 ≥x ≥sinx．
(2)h(x) = f(x) - g(x) = ex - sinx - cosx，h(x) =
ex- cosx + sinx = ex+
2 sin x- π
4
，
①x > 0 时，由(1) 知，h(x) = ex - sinx - cosx >
x + 1 - sin x - cos x = (x - sin x) + (1 - cos x) ≥
0，h(x) 在(0 ,+∞) 没有零点；
②x = 0 时，h(0) = 0，所以x = 0 是函数h(x) 的零
点；
③当x ∈- π
4 ,0
时，h(x) = ex - cosx + sinx，
h (0) = 0，h''(x) = e x + sin x + cos x = e x +
·176·
2 sin x+ π
4
> 0，
则函数h'(x) 在- π
4 ,0
上单调递增，则h'(x) < h'
(0) = 0，
则函数h(x) 在- π
4 ,0
上单调递减，则h(x) >
h(0) = 0；h(x) 在- π
4 ,0
没有零点；
④当x ∈
- 5π
4 ,- π
4
，h ( x ) = e x -
2 sin x+ π
4
> 0，没有零点．
综上所述，当x ∈- 5
4 π,+∞
时，函数h(x) 的零
点个数为1．
(3) 由题意知，即F(x) = ex + sinx + cosx - 2 - ax
≥0 在R 上恒成立，由F(0) = 0，则F(x) ≥F(0)
= 0，故x = 0 是F(x) 的最小值点，也是极小值点；
所以F (0) = 0，由F (x) = ex + cosx - sinx - a，
可得F(0) = 2 - a = 0，即a = 2；
当a = 2 时，要证F(x) = ex + sinx + cosx - 2 - 2x
≥0 恒成立，即证G(x) = 1 + sinx+cosx-2-2x
ex
≥0，G(x) = 2(x-sinx)
ex
，令t(x) = x - sinx，
则t(x) = 1 - cosx ≥0，则t(x) 在R 单调递增，又
t(0) = 0；所以G(x) 在(-∞，0) 上恒负，在(0，
+∞) 上恒正，所以G(x) 在(-∞，0) 上单调递减，
在(0，+∞) 上单调递增；故G(x) ≥F(0) = 0，得
证．所以a = 2．
22 . 【解析】令g ( x ) = e x - 1 - xa x ，即
x<0,
g(x)<0
x>0,
g(x)>0
, g(x) = ex - xaxlna - ax , g(0)
= 0，(此处符合导函数极点效应，导函数在0 的邻
域内需要恒正，在0 处导数值为0)，即g(x) = ex
- 2axlna - xaxln2a , g(0) = 0 ⇒a =
e ，当a =
e , g ( x ) = e x - 1 - xe
x
2 = e
x
2 e
x
2 -e
- x
2 -x
，
x<0,
g(x)<0
x>0,
g(x)>0
, 成立，当a >
e , g(0) = 1 -
2lna < 0，存在x0 > 0 , g(x0) < 0 , 即x ∈(0 , x0) ,
g(x0) < 0 , g(x) ↓, g(x) < g(0) = 0 , g(x) ↓, 则有
g(x0) < 0 , 矛盾，同样的a <
e,
此时会有x1< 0 , g(x1) > 0 , 矛盾，故a =
e.
23. 【解析】分析：由题意即g(x) = xex - ax2 - 2x
+ xcosx ≥0，显然g(0) = 0，
即g(x) = (x + 1)ex - 2ax - 2 + cosx - xsinx , g(0)
= 0 , 故极点效应失效，此题换一种思路，发现每
个部分都有x，
故
考
虑
证
x≥0,h(x)=ex-ax-2+cosx≥0,
- π
2 <x<0,h(x)=ex-ax-2+cosx<0,
考虑到
h(0) = 0 , h(x) = ex- a - sinx , h(0) ≥0 ⇒a ≤1，
注：在0 的邻域必须保证函数递增才会有先负后
正。
当a ≤1 , x ≥0 , h(x) ≥ex - x - 2 + cosx = k(x) , k
(x) = ex - 1 - sinx ≥x - sinx ≥0 , k(x) ↑，x ≥0 ,
h(x) ≥k(x) ≥k(0) = 0 成立，当π
2 < x < 0 , h(x)
= e
x - a - sinx = e
x 1- a+sinx
ex
>
ex 1- 1+sinx
ex
，
故p(x) = 1+sinx
ex
, p (x) = cosx-1-sinx
ex
=
2cos x+ π
4
-1
ex
> 0，p(x) = 1+sinx
ex
↑，p(0)
= 1，故1 - 1+sinx
ex
> 0，
h(x) = ex - a - sinx = ex 1- 1+sinx
ex
> 0 , h(x)
↑，
h ( x )
<
h ( 0 )
=
0 ，故
x≥0,h(x)=ex-ax-2+cosx≥0,
- π
2 <x<0,h(x)=ex-ax-2+cosx<0,
；
综上：a ≤1.
24. 【解析】构造h(x) = aex-1 - lnx + lna - 1，根
据题意，满足
h(x0)=aex0-1-lnx0+lna-1=0
h(x0)=aex0-1- 1
x0 =0
进
行探路，
由h(x0) = aex0-1 - 1
x0
= 0 ⇒a =
1
x0ex0-1 ，h(x0) =
1
x0
- 2lnx0 - x0 = 0，根据飘带函数，所以当且仅
当x0 = 1 时成立，所以h(x) ≥h(1) = a + lna - 1 ≥
0，所以a ≥1.
考试书写：f(x) = a + lna ≥0 ⇒a ≥1，当a ≥1，
f(x) = aex-1 - lnx + lna ≥ex-1 - lnx ≥x - lnx ≥1
成立，得证！
故a ≥1.
·177·
25. 【解析】隐点探路：
g(x)=lnx0- 1
x2
0 + 2a
x0 -ax0-a2=0
g(x)= 1
x0 + 2
x3
0 - 2a
x2
0 -a=0
，解得a= 1
e
x0=e
，
考试书写：考虑不存在的情况：f(e) = 1 - 1
e2 +
2a
e
- ae ≤0 ⇒a ≥1
e ，当a = 1
e , f(x) = lnx -
1
x2 + 2a
x
- ax - a 2 = lnx - 1
e x -
1
x - 1
e
2
，
h(x) = lnx - 1
e x -
1
x -a
2
, h(e) = 0，
故存在a = 1
e , m = e 使得f(m) ≥a2，当a > 1
e ,
h(x) < lnx - 1
e x -
1
x -a
2
< 0，矛盾，综上a 的
最大值为a = 1
e .
26. 【解析】证明：(Ⅰ) ∵f(x) = ex- x - a = 0(x >
0)，∴f'(x) = ex - 1 > 0 恒成立，∴f(x) 在(0 ,
+∞) 上单调递增，
∵1 < a ≤2，∴f(2) = e2 - 2 - a ≥e2 - 4 > 0，又
f(0) = 1 - a < 0，∴函数y = f(x) 在(0 ,+∞) 上有
唯一零点．
(Ⅱ) (ⅰ) 我们先分析数据，关于
a-1 ≤x 0 ≤
2(a-1) ，这是一个涉及找点的不等式，我们可
以直接构造，即
f( a-1)<0
f( 2(a-1))>0
⇒
e a-1-
a-1-a<0
e 2(a-1)-
2(a-1)-a>0
，不妨令t =
a-1 ，t
∈(0，1]，则
2(a-1) =
2 t，本题需要构造
et-t2-t-1<0
e 2t-
2t-t2-1>0
，令g(t) = et - t2 - t - 1，g
(t) = et - 2t - 1，g(t) = et - 2 = 0，t = ln2，所
以g(t) 在(0，ln2) 单调递减，在(ln2，1) 单调递
增，g(0) = 0，g(1) = e - 3 < 0，所以g(t) < 0 对
t ∈(0，1] 恒成立，所以g(t)max = g(0) = 0，所以
f( a-1 ) < 0，即
a-1 ≤x0；再令h(t) = e 2t -
t2 -
2 t - 1，h(t) =
2 (e 2t -
2 t - 1) ≥0，所
以h(t)min = h(0) = 0，所以f( 2(a-1)) > 0，综上
a-1 ≤x0≤
2(a-1)；
(ii) 要证明x0 f(ex0) ≥(e - 1) (a - 1)a，由于f(ex0)
= ee
x0 - ex0 - a，过于复杂，故只需证x0 f(x0 + a)
≥(e - 1) (a - 1)a，
即证x0[ex0+a - (x0 + a) - a] ≥(e - 1) (a - 1)a，双
变量出现，就需要分析谁主元，判断的核心依据就
是单调性，以a 为主元，左边求导后得：x0(ea+x0
- 2) > x0(e - 2) > 0，是单调递增函数，但是右边
(e - 1) (a - 1)a 也是关于a 的单调增函数，无法直
接采用放缩来构造，我们以x0 为主元，右边直接
变成常数，而左边也是很明显的单调递增函数，
由(i) 得只需证
a-1 (e
a-1+a -
a-1 - 2a) ≥(e
- 1)a(a - 1)，
即证e a-1+a -
a-1 - 2a ≥(e - 1)a a-1 ，由于
h(t) = e 2t - t2 -
2 t - 1 ≥0 所以令x =
2 t，故
ex ≥1 + x + 1
2 x2，所以只需证1 + 1
2 ( a-1 + a)2
- a ≥(e - 1)a a-1 ，只需证a2 - ( a-1 )2 - 2(e
- 2)a a-1 ≥0，
即证
a
a-1 -
a-1
a
≥2(e - 2)，∵
a
a-1 =
1
a-1
+
a-1 ∈[ 2 ，+ ∞) ，∴
a
a-1
-
a-1
a
≥2 - 1
2 = 3
2 ≥2(e - 2)，∴x0 f(ex0) ≥(e
- 1) (a - 1)a．
看了此题我们才能明白，高考真题的含金量确实是
远超平常模考题，因为模考题都是按照高考真题的
套路来的，找点先行，构造单调放缩函数在后，把
握变量主元.
27. 【解析】(1)a = 1 时，f(x) = 1
2 x2 - x + lnx，
f'(x) = x - 1 + 1
x (x > 0)，故f(1) =- 1
2 ，f'(1) =
1，
故切线方程为：y - - 1
2
= 1 ⋅(x - 1)，即y = x
- 3
2 ；
(2)f'(x) = x - 1 + a
x = x2-x+a
x
(x > 0)，△= 1
- 4a，当a ≥1
4 时，△= 1 - 4a ≤0，f'(x) ≥0，
f(x) 在(0 ,+∞) 单调递增，当0 < a < 1
4 时，△=
1 - 4a > 0，令f'(x) = 0，解得：x = 1±
1-4a
2
且1±
1-4a
2
> 0，
x ∈0, 1-
1-4a
2
时，f'(x) > 0，f(x) 单调递
·178·
增，x ∈
1-
1-4a
2
，1+
1-4a
2
时，f'(x) <
0，f(x) 单调递减，x ∈
1+
1-4a
2
，+∞
时，
f'(x) > 0，f(x) 单调递增，综上：a ≥1
4 时，f(x)
在(0 ,+∞) 单调递增，
0 < a < 1
4 时，f(x) 在0, 1-
1-4a
2
单调递增，
在
1-
1-4a
2
，1+
1-4a
2
单调递减，在
1+
1-4a
2
，+∞
单调递增；
(3) 证明：∵f(x) = 1
2 x2 - x + alnx，(a > 0)，f'
(x) = x - 1 + a
x = x2-x+a
x
(x > 0)，由题意知x2
- x + a = 0 的两根为x1，x2，且1 - 4a > 0，故
x1+x2=1
x1x2=a
a∈0, 1
4
，∴f(x1) + f(x2) = 1
2 (x2
1 + x2
2) - (x1 +
x2) + alnx1x2
= 1
2 [(x1 + x2)2 - 2x1x2] - (x1 + x2) + alnx1x2 = 1
2
(1 - 2a) - 1 + alna =- 1
2 - a + alna，
令g(a) = alna - a - 1
2
a∈0, 1
4
，则g'(a) =
lna，a ∈0, 1
4
时，g'(a) < 0，g(a) 在0, 1
4
递减，∴f(x1) + f(x2) > g
1
4
= -3-2ln2
4
，∴
f(x1) + f(x2) > -3-2ln2
4
成立．
28. 【解析】解：(Ⅰ) 当a = 2 时，则f(x) = lnx -
2x , f'(x) = 1
x - 2，
所以切线方程为y - f(1) = f(1) (x - 1)，即x + y
+ 1 = 0；
解：(Ⅱ)f(x) = lnx - ax 的定义域为(0 ,+∞)，而
f'(x) = 1-ax
x
，
当x ∈0, 1
a
时，f'(x) > 0，f(x) 单调递增，当
x ∈
1
a ,+∞
时，f'(x) < 0，f(x) 单调递减，
所以f(x) 的最大值为f
1
a
= ln 1
a - 1 =-1 - lna，
故alna - a =-1 - lna，整理得到a-1
1+a = lna，其
中a > 0，设h(a) = a-1
1+a - lna , a > 0，则h'(a)
=
2
(1+a)2 - 1
a = -a2-1
a(1+a)2 < 0，
故h(a) 在(0 ,+∞) 上递减，h(1) = 0，故a = 1，
证明：(Ⅲ) 由题意得：函数g(x) = lnx - ax + a
x
的定义域为(0 ,+∞)，且a > 0，
g'(x) = 1
x - a - a
x2 = -ax2+x-a
x2
，令m(x) =
-ax2+ x - a，
因为函数g(x) 有两个极值点x1，x2，则x1，x2 是
方程m(x) = 0 的两个根，
△> 0，即0 < a < 1
2 ，且x1x2 = 1 , x1 + x2 = 1
a ，
g(x1) + g(x2) + g(x1 + x2) = g(x1) + g
1
x1
+ g 1
a
= lnx1 - a x1- 1
x1
+ ln 1
x1
- a
1
x1
-x1
+ g
1
a
= g
1
a
= ln 1
a - a
1
a -a
=-lna - 1 + a2，令
n(x) =-lnx - 1 + x2 , 0 < x < 1
2 ，则n'(x) =- 1
x
+ 2x = 2x2-1
x
，
当0 < x < 1
2 时，n'(x) < 0，则n(x) 在区间
0, 1
2
上单调递减，故n(x) > n 1
2
= ln2 - 3
4 ，
故g(x1) + g(x2) + g(x1+ x2) > ln2 - 3
4 ．
29. 【解析】(1)f x
= xlnx - ax2 + x , a ∈R 的定
义域为0,+∞
，
f x
= lnx + 1 - 2ax + 1 = lnx - 2ax + 2，函数
f x
是减函数，故f x
= lnx - 2ax + 2 ≤0 在
0,+∞
上恒成立，即2a ≥lnx+2
x
在0,+∞
上
恒成立，
令u x
= lnx+2
x
，x ∈
0,+∞
，u x
=
1-lnx-2
x2
= -lnx-1
x2
，
当x ∈0, 1
e
时，ux
> 0，u x
= lnx+2
x
单
调递增，
当x ∈
1
e ,+∞
时，ux
< 0，u x
= lnx+2
x
·179·
单调递减，故u(x)max = u 1
e
= e，
故2 a ≥e ，解得a ≥e
2 ，故a 的取值范围是
e
2 ,+∞
；
(2) 若有两个零点x1 , x2，则x1lnx1 - ax2
1 + x1 = 0 ,
x2lnx2- ax2
2+ x2= 0，
得a = lnx1+1
x1
= lnx2+1
x2
= lnx2-lnx1
x2-x1
．令x2 =
tx1(t > 2)
故a = lnx1+1
x1
=
lnt
(t-1)x1
⇒lnx1 =
lnt
(t-1) - 1，
lnx2= lnt + lnx1= tlnt
t-1 - 1，
∴ln x1x2
=
t+1
lnt
t-1
- 2，令h t
=
t+1
lnt
t-1
- 2(t > 2)，则ht
=
-2lnt+t- 1
t
(t-1)2
> 0(飘带函
数)，
则h t
在2,+∞
上单调递增，∴h t
> h 2
=
3ln2 - 2 = ln 8
e2 ，即ln x1x2
> ln 8
e2 ，
故x1x2> 8
e2 .
30. 【解析】(1) 由f(x) = xlnx - a(x2 - 1) + x 得f
(x) = lnx - 2ax + 2(x > 0)，因为f(x) 单调递减，
所以f(x) = lnx - 2ax + 2 ≤0 在x > 0 时恒成立，
即2a ≥lnx+2
x
，令g(x) = lnx+2
x
(x > 0)，则g
(x) = -lnx-1
x2
，
可知0 < x < 1
e 时，g(x) > 0，g(x) 单调递增；x
> 1
e 时，g(x) < 0，g(x) 单调递减，
则x = 1
e 时g(x) 取最大值g
1
e
= e，所以2a ≥
e，所以，a 的取值范围是
e
2 ,+∞
．
(2) 证明：由(1) 知，当a ≥e
2 时，f(x) 单调递减，
不合题意；因为函数f(x) 有两个极值点x1，x2，
则f(x) = lnx - 2ax + 2(x > 0) 有两个零点x1，x2，
令φ(x) = f (x) = lnx - 2ax + 2(x > 0)，φ(x) =
1
x - 2a，
当a ≤0 时，φ(x) > 0，φ(x) 单调递增，不合题
意，可知0 < a < e
2 ，且x2> 2x1> 0，
要证明e6x1x2
2 > 32，只需证明lnx1 + 2lnx2 = 5ln2
- 6．由lnx1-2ax1+2=0
lnx2-2ax2+2=0
，得lnx1=2ax1-2
lnx2=2ax2-2
，
则2a = lnx1-lnx2
x1-x2
，所以，lnx1 + 2lnx2 = 2a(x1
+ 2 x 2 ) - 6 = lnx1-lnx2
x1-x2
( x 1 + 2 x 2 ) - 6 =
ln x1
x2
x1
x2 -1
x1
x2
+2
- 6．
令t = x1
x2
，则t ∈0, 1
2
，要证明lnx1 + 2lnx2 >
5ln2 - 6，需证明lnt
t-1 (t + 2) > 5ln2．令h(t) =
lnt
t-1 ( t + 2 ) ，且t ∈
0, 1
2
，则h ( t ) =
t-3lnt- 2
t +1
(t-1)2
，令u(t) = t - 3lnt - 2
t + 1，且t
∈0, 1
2
，则u(t) = 1 - 3
t + 2
t2 = (t-1)(t-2)
t2
>
0，
则u(t) 在t ∈0, 1
2
时单调递增，故u(t) < u 1
2
= 1
2 + 3ln2 - 3 < 0，故h'(t) < 0，则h(t) 在t ∈
0, 1
2
时单调递减，
所以，h(t) > h
1
2
= 5ln2，即lnt
t-1 (t + 2) >
5ln2，则有lnx1 + 2lnx2 > 5ln2 - 6，所以e6x1x2
2 >
32，即原不等式成立．
31. 【解析】(1)f(x) , g(x) 定义域均为(0 ,+∞)，
f(x) =- a
x2 + 1
x = -a+x
x2
，令fx
< 0，解得：
0 < x < a，
令fx
> 0，解得：x > a，
所以f(x) 在(0 , a) 上单调递减，在(a ,+∞) 上单调
递增，
∴在x = a 取极小值，且f(a) = 1 + lna；
又g(x) = a - 1
x ，令gx
< 0，解得：0 < x <
1
a ，令gx
= 0，解得：x = 1
a ，
所以g(x) 在0, 1
a
上单调递减，在
1
a ,+∞
上
单调递增，
·180·
∴g(x)极小值= g 1
a
=-1 + lna，所以1 + lna - 1 +
lna = 0，解得：a = 1.
(2) 令m = 1
x1
, n = 1
x2
，因为x1 ≠x2，所以m ≠
n，
由
f
x1
=
f
x2
=
2 x1≠x2
可得：
a
x1
+lnx1=2
a
x2
+lnx2=2
⇒
1
x2 - 1
x1
ln 1
x2 -ln 1
x1
= 1
a <
1
x2 + 1
x1
2
，
即1
x1
+ 1
x2
> 2
a 成立.
32. 【解析】(1) 当a = b = 1 时，fx
= x + sinx
+ lnx，
∴fπ
= π + lnπ，所以函数f x
在点π, f π
处
的切线的斜率为π + lnπ.
(2) 当b = 0 时，fx
= x + asinx，
因为f x
在
0, π
2
上是单调递增函数，所以
fx
= x + asinx ≥0 在0, π
2
上恒成立，
令g x
= x + asinx，则gx
= 1 + acosx，
当a ≥-1 时，g x
≥x - sinx ≥0 在0, π
2
上恒
成立(自证)，符合题意；
当a <-1 时，g0
= 1 + a < 0 , gπ
2
= 1 > 0，
且gx
在0, π
2
为单调递增函数，
所以存在唯一x0 ∈0, π
2
使得gx0
= 0，所以当
x ∈0,x0
时，gx
< 0 , g x
在0,x0
递减，
即∀x ∈0,x0
, g x
< g 0
= 0，不符合题意；综
上所述a ≥-1.
(3) 证明：f x
= x + asinx + blnx，a ∈0,1
时，由(2) 可知y = x + asinx 是增函数，所以b <
0，设x1 < x2 , x1 + asinx1 + blnx1 = x2 + asinx2 +
blnx
2 ，
x2-x1
+
a
sinx2-sinx1
=
-b
lnx2-lnx1
，由( 2 ) 知x 2 - sinx 2 > x 1 -
sinx 1 ，即sinx 2 - sinx 1 < x 2 - x 1 ，所以
-b
lnx2-lnx1
< a+1
x2-x1
，
设
-b
a+1 <
x2-x1
lnx2-lnx1
= ( x2-
x1)( x2+
x1)
2(ln x2-ln x1)
< ( x2+
x1)2
4
(对数均值不等式)，
所以
x1 +
x2 > 2
-b
a+1 得证！
33. 【解析】(1)a = 1.
(2) 由(1) 知f x
= x - 1 - xlnx，f(x) =-lnx，
要证f ( x 1 ) > f(x2)- f(x1)
x2-x1
，即证- lnx 1 >
x2-x1+x1lnx1-x2lnx2
x2-x1
，
进一步变形为证x2lnx2-x2lnx1-x2+x1
x2-x1
> 0，即
证
x2ln x2
x1 - x2-x1
x2-x1
> 0.
因为0 < x 1 < x 2 ，令t = x2
x1
> 1 ，则需证
tlnt- t-1
t-1
> 0(t > 1)，即证tlnt - t-1
> 0(t
> 1)
设g t
= tlnt - t-1
，t > 1，g(t) = lnt + 1 - 1
= lnt，
当t > 1 时，g(t) > 0，g t
在1,+∞
单调递增，
所以g t
> g 1
= 0，得证.
(3) 由(1) 知f x
= x - 1 - xlnx，且f(x) ≤0，当
x > 0 时，x - 1 - xlnx < 0，即lnx > x-1
x
；
令x = k+1
k
(k ∈N *)，则ln k+1
k
>
k+1
k
-1
k+1
k
=
1
k+1 .
要证
1
n+2 +
1
n+3 +⋯+
1
2n+1 < ln 2 ，即证
2n
k=n+1
1
k+1
< ln2，
因为ln k+1
k
>
1
k+1 ，所以
2n
k=n+1
1
k+1
<
2n
k=n+1
ln k+1
k
，
而
2n
k=n+1
ln k+1
k
= ln n+2
n+1
+ ln n+3
n+2
+⋯
+ln 2n+1
2n
= ln 2n+1
n+1 = ln 2-
1
n+1
< ln2，得
证.
34. 【解析】(1) 解得a =-1.
(2)a 的最小值为-1.
(3) 由(2) 可知ex - x - 1 ≥0，当x = 0 时取等号，
则ex≥x + 1，
·181·
令x = 1
n2 ，n ∈N *且n ≥2，得e
1
n2 > 1
n2 + 1，
1+1
1+ 1
4
⋯1+ 1
n2
< e1 ⋅e
1
4 ⋅⋯⋅e
1
n2 ，令y =
e1⋅e
1
4 ⋅⋯⋅e
1
n2 = e
1+ 1
4 +⋯+ 1
n2，
由1
n2 <
1
n(n-1) =
1
n-1 - 1
n ，可知1 + 1
4 +⋯
+
1
n2
<
1
+
1- 1
2
+
1
2 - 1
3
+⋯
+
1
n-1 - 1
n
，
化简得1 + 1
4 +⋯+ 1
n2 < 2 - 1
n < 2，
所以y < e2，即得1+1
1+ 1
4
⋯1+ 1
n2
< e2，
原命题得证.
35. 【解析】(1) 解：a = 1，f x
= 2ex + xsinx +
cosx - x - 3，fx
= 2ex+ xcosx - 1，
所以f 0
= 0，f0
= 1，所以切线方程为y = x.
(2) 解：fx
= 2ex + xcosx - a，因为f 0
= 0，
f x
≥0 对任意的x ∈0,+∞
恒成立，
所以f 0
≥0，即2 - a ≥0，所以a ≤2. 下证：
当a ≤2 时，f x
≥0 对任意的x ∈0,+∞
恒成
立. 因为x ∈0,+∞
，所以-x ∈-∞,0
，
所以f x
=-x ⋅a + 2ex + xsinx + cosx - 3 ≥2ex
+ xsinx + cosx - 2x - 3，
令φ x
= ex - x - 1，φx
= ex - 1，令φx
= 0
得x = 0，
所以φ x
在-∞,0
上单调递减，0,+∞
上单
调递增，所以φ x
≥φ 0
= 0，即ex≥x + 1.
令g x
= 2 e x + xsinx + cosx - 2 x - 3 , x ∈
0,+∞
，因为cosx ≥-1
gx
= 2ex + xcosx - 2 ≥2 x+1
- x - 2 = 0 , 所
以g x
在0,+∞
上单调递增，所以g x
≥g 0
= 0，从而当a ≤2 时，f x
≥0 对任意的x ∈
0,+∞
恒成立. 综上，a ≤2.
(3) 解：令F x
= lnx - x + 1，F x
= 1-x
x
，
所以F x
在0,1
上单调递增，1,+∞
上单调递
减，所以F x
≤F 1
= 0，即lnx ≤x - 1.
因为k ∈N ∗，所以k+1
k
> 1，所以ln k+1
k
<
k+1
k
- 1 = 1
k ，
所
以
∑
n
k=1
1
k
>
∑
n
k=1 ln k+1
k
=
ln 2
1 × 3
2 ×⋯× n+1
n
= ln n+1
.
又令G x
= lnx - 1 + 1
x ，Gx
= x-1
x2
，所以
G x
在0,1
上单调递减，1,+∞
上单调递增，
所以G x
≥G 1
= 0，即lnx ≥1 - 1
x . 因为k ∈
N ∗，所以k+1
k
> 1，所以ln k+1
k
> 1 -
k
k+1
=
1
k+1 ，
所
以
∑
n
k=1
1
k+1
<
∑
n
k=1 ln k+1
k
=
ln 2
1 × 3
2 ×⋯× n+1
n
= ln n+1
.
综上，∑
n
k=1
1
k+1 < ln(n + 1) < ∑
n
k=1
1
k , (n ∈N *)，得
证.
36. 【解析】(1) 已知f(x) = ex-1 - 1
2 x2，函数定义
域为R，可得f(x) = ex-1 - x，不妨设g(x) = f(x)
= ex-1 - x，函数定义域为R，可得g(x) = ex-1 -
1，当x < 1 时，g(x) < 0，g(x) 单调递减；当x >
1 时，g(x) > 0，g(x) 单调递增，所以g(x) ≥g(1)
= 0，即f'(x) ≥0，仅当x = 1 时等号成立，所以函
数f(x) = ex-1 - 1
2 x2 在R 上单调递增，又f(-1) =
1
e2 - 1
2 < 0，f(0) = 1
e > 0，所以在区间(-1 , 0)
上存在唯一一点x0，使得f(x0) = 0，
则函数f(x) 在定义域上共有1 个零点；
(2) 证明：若n ∈N ，且n ≥2，因为n + ln n+1
2n
= n(1 - ln2) + ln(n + 1) = n(1 - ln2) + ln 2
1 +
ln 3
2 + ... +ln n+1
n
，
要证1 +
1
2 +
1
3 +⋯+ 1
n ≤n + ln n+1
2n
，n
≥2，需证1 +
1
2 +
1
3 +⋯+ 1
n ≤n(1 - ln2)
+ ln 2
1 + ln 3
2 +⋯+ln n+1
n
，n ≥2，要证
1
n -
ln n+1
n
≤1 - ln2，即证
1
n - ln 1+ 1
n
≤1 -
ln2，由(1) 知函数f(x) 在R 上单调递增，
则当0 < x ≤1 时，f(x) ≤f(1)，可得ex-1 - 1
2 x2
·182·
≤1
2 ，即ex-1 ≤1
2 (1 + x2)，整理得x - 1 ≤ln(1 +
x2) - ln2，
即x - ln(1 + x2) ≤1 - ln2，令x =
1
n ，x > 0，
此时
1
n - ln 1+ 1
n
≤1 - ln2，故1 +
1
2 +
1
3 +⋯+ 1
n ≤n + ln n+1
2n
成立．(本题的和式
代换自行完成)
37. 【解析】(1) 当m = 1 时，f x
= 2 - x 2 -
cosx，所以fx
= sinx - 2x，
令h x
= sinx - 2x，则hx
= cosx - 2 < 0，所
以h x
在R 上单调递减，即f x
在R 上单调递
减，又f0
= 0，则fx
< 0 的解集为0,+∞
,
则fx
> 0 的解集为-∞,0
,
所以f x
在区间0,+∞
上单调递减，在区间
-∞,0
上单调递增，
又因为f 0
= 1 > 0 , f 2
= f -2
=-2 - cos2 <
0，
所以存在x1 ∈-2,0
, x2 ∈0,2
，使得f x1
=
f x2
= 0，所以f x
有两个零点.
(2) 由f 0
= 2m - 1 ≤0，得m ≤1
2 ，下证当m =
1
2 时，∀x ∈R , f x
≤0，
令g x
= 1
2
2-x2
- cosx，则gx
= sinx - x，
令φ x
= sinx - x，则φx
= cosx - 1 ≤0，所
以φ x
在R 上单调递减，又φ 0
= sin0 - 0 = 0，
则gx
< 0 的解集为0,+∞
, 则gx
> 0 的解集
为
-∞,0
, 所以g x
在
-∞,0
递增，在
0,+∞
递减，
所以g x
≤g 0
= 1
2 × 2-0
- cos0 = 0，即
f x
≤0，所以m 的最大值为1
2 .
(3) 证明：由(2) 可得cosx ≥1 - 1
2 x2，当且仅当x
= 0 时取等号，
所以cos 1
i > 1 - 1
2
1
i
2
，所以2
n
i=1
cos 1
i
> 2n -
n
i=1
1
i
2
且因为当i ≥2 时，
1
i
2
<
1
i-1
i =
1
i-1 - 1
i 所以
n
i=1
1
i
2
=
1 + 1
22 + 1
32 +⋯+ 1
n2 <
1 + 1 - 1
2 + 1
2 - 1
3 +⋯+
1
n-1 - 1
n = 2 - 1
n <
2，
所以2
n
i=1
cos 1
i
> 2n -
n
i=1
1
i
2
> 2n - 2，即∀n
∈N *, n - 1 <
n
i=1
cos 1
i
.
38 . 【解析】( 1 ) 因为f
x
= cosx +
m x+ π
2
sinx，所以f x- π
2
= cos x- π
2
+
m x- π
2 + π
2
sin x- π
2
= sinx - mxcosx．
因为y = sinx - mxcosx 是奇函数，其图象关于原
点对称，所以f x- π
2
关于点0,0
中心对称，
所以y = f x
是关于点- π
2 ,0
中心对称．
(2) 据题意fx
= m-1
sinx + m x+ π
2
cosx =
F x
，
当0 ≤m ≤1 时，f x
> 0 ，故函数f x
在
-π,0
上单调递增，且f -π
f 1
< 0，
故存在唯一的零点x =- π
2 ．当m < 0 时，F x
= 2m-1
cosx - m x+ π
2
sinx，
当x ∈-π,- π
2
时，F x
> 0，函数fx
单调
递增；当x ∈- π
2 ,0
时，F x
< 0，函数fx
单调递减；
由f-π
< 0，f- π
2
> 0，fx
< 0，可知，
存在唯一的x1∈-π,- π
2
，使得fx1
= 0，
存在唯一的x2∈- π
2 ,0
，使得fx2
= 0．因此，
函数f x
在
-π,x1
和
x2,0
单调递减，在
x1,x2
单调递增．由f -π
< 0，f - π
2
= 0，
f 0
> 0，可知函数f x
有唯一零点．
综上，函数f x
在-π,0
内有且仅有一个零点．
(3) 令g x
=-2x - π - f x
，当m < 0 时，由(1)
可知，当x ∈x1,- π
2
时，f x
< 0，
问题等价于存在t > 0，当x ∈- π
2 -t,- π
2
时，
总有g x
=-2x - π + f x
> 0 成立．
由gx
=-2 + fx
，gx
= fx
> 0，可得函
·183·
数gx
在x1,- π
2
上单调递增．
当m <-1 时，g- π
2
> 0，gx1
< 0，故存在
唯一的t0∈x1,- π
2
，满足gt0
= 0，
因此，当x ∈t0,- π
2
时，函数g x
单调递增，
故g x
< g - π
2
= 0，不合题意．
当m =-1 时，g- π
2
= 0，当x ∈x1,- π
2
时，
gx
< 0，g x
递减，故g x
> g - π
2
= 0，符
合题意．
综上，取t =- π
2 - x1，当x ∈- π
2 -t,- π
2
时，
总有f x
<-2x - π 成立，此时m 的最小值为
-1.
4.1 基本公式
1. 【解析】先将-1125° 化为0° ∼360° 范围内的
终边相同角：-1125° =-3 × 360° -45° =-4 × 360°
+315° 角度转弧度：315° = 315 ×
π
180 = 7π
4
。结
合k ∈ℤ，凑出0 ≤α < 2π 的形式：-1125° =
7π
4 - 8π
2. 【解析】终边在30° 角的终边所在直线上的角的
集合为S1 = {β|β = 30° +k·180°，k ∈Z}，终边在
180° -75° = 105° 角的终边所在直线上的角的集合
为S2 = {γ|γ = 105° +k·180°，k ∈Z}，因此，终边
在题图中阴影部分内的角α 的集合为{ α | 30 °
+k·180° ≤α < 105° +k·180°，k ∈Z}.
3. 【解析】选C．∵α 为第一象限角，∴2kπ < α <
π
2 + 2kπ，k ∈Z，∴kπ < α
2 < π
4 + kπ，k ∈Z，
当k 为偶数时，α
2 为第一象限角，当k 为奇数时，
α
2 为第三象限角，∴α
2 为第一象限角或第三象限
角．
4. 【解析】(1) 根据题意，BC
的长度为xθ 米，
AD
的长度为2θ 米，所以2(2 - x) + xθ + 2θ = 6，
所以θ = 2x+2
x+2 (0 < x < 2). (2) 依据题意，可知y
= S扇形OAD - S扇形OBC = 1
2 θ × 22 - 1
2 θx2 =-x2 + x
+ 2 =- x- 1
2
2
+ 9
4 ，0 < x < 2.所以当x = 1
2
时，y 的值最大，最大值为9
4 .
5. 【解析】ACD [因为角θ 的终边经过点(-2，
- 3)，所以sin θ =-
21
7
，A 正确；
由θ 与α 的终边关于x 轴对称，得α 的终边经过点(
-2，
3)，α 为第二象限角，不一定钝角，cos α
=- 2 7
7
，B 错误，C 正确；因为tan θ =
3
2
>
0，tan α =-
3
2
< 0，所以点(tan θ，tan α) 在
第四象限，D 正确.]
6. 【解析】选A．(1) 若α = β，则
2
sin α +
2
cos β =
2
sin α +
2
cos α = 1，∴“α = β “是“
2
sin α +
2
cos β = 1 “的充分条件；(2) 若
2
sin α +
2
cos β =
1，则
2
sin α =
2
sin β，得不出α = β，
∴“α = β”不是“
2
sin α +
2
cos β = 1”的必要条
件，∴“α = β”是“
2
sin α +
2
cos β = 1”的充分非
必要条件．
7. 【解析】∵θ ∈0, π
2
，tanθ = 1
3 = y
x ，∴令
x = 3，y = 1，设θ 终边上一点的坐标P(3 , 1)，则
r = | OP | =
32+12 =
10 ，则sin θ - cos θ =
1
10 -
3
10 =-
2
10 =-
10
5
．故答案为：
-
10
5
．
8. 【解析】∵sinα + cosα = 1
5 ，∴(sinα + cosα)2
=
2
sin α +
2
cos α + 2sin αcos α = 1 + 2sin αcos α =
1
25 ，∴可得sinαcosα =- 12
25 < 0，故B 正确，又
α ∈(0 , π)，sinα > 0，∴cos α < 0，∴π
2 < α <
π，故A 正确，∴cosα - sinα =-
(cosα-sinα)2
=-
1-2sinαcosα =-
1-2× - 12
25
=- 7
5 ，
故C 错误，D 正确．故选：ABD．
9. 【解析】选B．由tan x = 2，得cos x ≠0，∴
2sinx+cosx
2sinx-cosx = 2tanx+1
2tanx-1 = 2×2+1
2×2-1 = 5
3 ．
·184·
10 【解析】ACD 因为sinα+cosα
sinα-cosα = tanα+1
tanα-1 =
3，所以tan α = 2，故A 正确；因为tan α =
sinα
cosα = 2 > 0，且- π
2 < α < π
2 ，所以0 < α <
π
2 ，所以sin α > 0，cos α > 0，由sinα+cosα
sinα-cosα
= 3 > 0，可得sin α - cos α > 0，故B 错误；
sin4α - cos4α = (sin2α - cos2α) (sin2α + cos2α) =
sin2α - cos2α = sin2α-cos2α
sin2α+cos2α = tan2α-1
tan2α+1 = 4-1
4+1
= 3
5 ，故C 正确；
1-2sinαcosα
sin2α-cos2α
=
(sinα-cosα)2
(sinα-cosα)(sinα+cosα)
=
sinα-cosα
sinα+cosα = 1
3 ，故D 正确.]
11. 【解析】
3
sin20° -
1
cos20°
=
3cos20°-sin20°
sin20°cos20°
=
2cos(20°+30°)
1
2 sin40°
=
2cos50°
1
2 sin40°
= 4．故选：D．
4.2 恒等变换
1 . 【解析】sin20 ° cos10 ° - cos160 ° sin10 ° =
sin20°cos10° +cos20°sin10° = sin30° = 1
2 ．
故选：D．
2 . 【解析】选A ．因为cos20 ° cos25 °
-sin20°sin25° = cos(20° +25°) =
2
2 ．
3. 【解析】因为tanαtan β = sinα⋅sinβ
cosα⋅cosβ = 2，所
以sinαsinβ = 2cosαcosβ，①
又cos ( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β =
3cosαcosβ = 1
3 ，所以cosαcosβ = 1
9 ，②
将②代入①，得sinαsin β = 2
9 ，故cos(α + β) =
cosαcosβ - sinαsinβ =- 1
9 ．故答案为：- 1
9 ．
4. 【解析】因为A + B + C = π ⇒C = π - (A + B)
⇒cosC = cos[π - (A + B)] =-cos(A + B)．
因为cos A + cos B + cos C = 1 ，所以
2cos A+B
2
cos A-B
2
- cos (A + B ) = 1，所以
2cos A+B
2
cos A-B
2
= 1 + cos ( A + B ) =
2cos2 A+B
2
．
所以cos A+B
2
cos A-B
2
-cos A+B
2
= 0，
所以sin C
2 sin B
2 sin A
2 = 0，所以sin A
2 = 0 或
sin B
2 = 0 或sin C
2 = 0．
若sin A
2 = 0，则cos A = 1，则(1 - cos A) (1 -
cosB) (1 - cosC) = 0；
同理，当sin B
2 = 0 或sin C
2 = 0 时，都有(1 -
cosA) (1 - cosB) (1 - cosC) = 0．故选：A．
5. 【解析】由于函数f (x) = 4sin x + a cos x =
16+a2 sin (x + θ)，其中，cos θ =
4
16+a2 ，
sinθ =
a
16+a2 ，
故f(x) 的最大值为
16+a2 = 5，∴a =±3，
故答案为：±3．
6. 【解析】(1) 当ω = 1 时，f(x) = sin ωx+ π
3
=
sin x+ π
3
．因为x ∈[0，π]，所以令t = x + π
3 ，
t ∈
π
3 ，4π
3
，根据y = f(t) = sint 在
π
3 ，π
2
上单调递增，在
π
2 ，4π
3
上单调递减，所以函数
的最大值为sin π
2 = 1，最小值为sin 4π
3 =-sin π
3
=-
3
2 ．因此函数的值域为-
3
2 ，1
．
(2) 由题知T = 2π
ω
= π，所以ω = 2，f (x) =
sin 2x+ π
3
．当f(x) = 0 时，2x + π
3 = kπ，k ∈
Z，即x =- π
6 + kπ
2 ，k ∈Z．当k = 3 时，x =
4π
3 > π，所以4π
3 + T ≤a < 4π
3 + 3
2 T，即7π
3
≤a < 17π
6 ．
因此，a 的取值范围为
7π
3 ，17π
6
．
7 . 【解析】2sin α + tan β + tan γ =
2sin α tan β tan γ，即2sin α + sinβ
cosβ + sinγ
cosγ =
·185·
2sinα sinβ
cosβ ⋅sinγ
cosγ ，故sinβcosγ+sinγcosβ
cosβcosγ
=
2sin α
sinβsinγ
cosβcosγ -1
，所以
sin(β+γ)
cosβcosγ
=
2sinα sinβsinγ-cosβcosγ
cosβcosγ
，
所以sin(β + γ) =-2sinαcos(β + γ)，因为α + β +
γ = π，sin(β + γ) = sinα，cos(β + γ) =-cosα，
所以sin α = 2sin αcos α，因为α ∈(0 , π)，所以
sinα ≠0，故cosα = 1
2 ，解得α = π
3 ．
故选：C．【法二】根据正切恒等式tanα + tanβ
+ tanγ = tanα ⋅tanβ ⋅tanγ，α + β + γ = π，且
2sinα + tanβ + tanγ = 2sinαtanβtanγ，则2sinα
= tanα，即α = π
3 ．
8. 【解析】锐角ΔABC 中，tanA > 0 ⇒t + 1 > 0，
tanB > 0 ⇒t - 1 > 0，tanA + tanB + tanC =
tanA ⋅tanB ⋅tanC ⇒2t + tanC = (t2 - 1) ⋅tanC ⇒
tanC =
2t
t2-2 ，则t >
2，故选A.
9. 【解析】(1) 若f(α) = 1
3 ，且α ∈[0，π]，则
cosα = 1
3 ，则sinα =
1-
1
3
2
=
8
9 = 2 2
3
，
则f
α- π
3
= cos α- π
3
= cos α cos π
3
+
sinαsin π
3 = 1
3 × 1
2 + 2 2
3
×
3
2
= 1
6 +
6
3 ．
(2) 函数y = f (2x) - 2 f (x) = cos2x - 2cos x =
2
2
cos x - 2cosx - 1 = 2 cosx- 1
2
2
- 3
2 ，
∵-1 ≤cosx ≤1，∴当cosx = 1
2 时，函数取得最
小值，最小值为- 3
2 ．
10. 【解析】∵sinα - cosα = 4
3 ，∴(sinα - cosα)
2 = 1 - 2sin αcos α = 1 - sin2α = 16
9 ，∴sin2α =
- 7
9 ，故选：A．
11. 【解析】由x = 0 ⇒sin2x = sin0 = 0 ，则“
x = 0 ” 是“ sin2x = 0 ” 的充分条件；
又当x = π 时, sin2x = sin2π = 0 , 可知sin2x =
0 ⇒x = 0 , 故“ x = 0 ” 不是“ sin2x = 0 ”
的必要条件, 综上可知, “ x = 0 ” 是“ sin2x
= 0 ” 的充分不必要条件.
故选
A.
12. 【解析】因1 - (x + 1)2 ≥0，即(x + 1)2 ≤1，
故令x + 1 = cosα，α ∈[0，π]，所以y = cosα + 1
+
1-cos2α =
cosα + sinα + 1 =
2 sin α+ π
4
+ 1，因为0 ≤α
≤π ，得-
2
2
≤sin α+ π
4
≤1 ，即0 ≤
2 sin α+ π
4
+ 1 ≤1 +
2 ，故所求函数的值域
为[0，1 +
2]．
13. 【解析】设x = 2sinθ，θ ∈[- π
2 ，π
2 ]，所以
M = |x - 1| + 4-x2 = |2sinθ - 1| +2cosθ|；当θ ∈
[- π
2 ，π
6 ] 时，M = 1 - 2sin θ + 2cos θ = 1 -
2 2 sin θ- π
4
，因为θ - π
4 ∈[- 3π
4 ，- π
12 ]，
所以当θ =- π
2 时，M 的最大值为1 + 2 2 ；当θ
∈[ π
6 ，π
2 ] 时，M = 2sin θ + 1 + 2cos θ =
2 2 sin θ+ π
4
+ 1，因为θ + π
4 ∈[ 5π
12 ，3π
4 ]，
所以当θ = π
2 时，M 的最大值为1 + 2 2，综上所
述M 的最大值为1 + 2 2，故选B．
4.3 图像性质
1. 【解析】∵函数①y = cos|2x| = cos2x，它的最
小正周期为2π
2 = π，
②y = |cosx| 的最小正周期为1
2 ⋅2π
1 = π，
③y = cos 2x+ π
6
的最小正周期为2π
2 = π，
④y = tan 2x- π
4
的最小正周期为π
2 ，
故选：A．
2 . 【解析】由于函数y = sin -2x+ π
4
=
·186·
-sin 2x- π
4
，故函数y = sin -2x+ π
4
的单调
递增区间，
即函数y = sin 2x- π
4
的减区间．
令2kπ + π
2 ≤2x - π
4 ≤2kπ + 3π
2 ，k ∈z，求得
kπ + 3π
8 ≤x ≤kπ + 7π
8 ，
故所求的函数y = sin -2x+ π
4
的单调递增区间
是kπ+ 3
8 π,kπ+ 7
8 π
, (k ∈Z)，
故选：B．
3. 【解析】∵函数f(x) = 3sin ωx+ π
3
，(ω > 0)
T = 2π
ω = π，ω = 2，
可得f(x) = 3sin 2x+ π
3
，x ∈- π
12 , π
6
，2x
+ π
3 ∈
π
6 ，2π
3
，所以sin 2x+ π
3
∈
1
2 ，1
，
所以f(x) ∈
3
2 ，3
，故函数取最小值是3
2 ．故
选：D．
4.(2024• 甲卷) 函数f(x) = sinx -
3 cosx 在[0，
π] 上的最大值是
【解析】解：f ( x ) = sin x -
3 cos x =
2sin x- π
3
，x ∈[ 0 ，π ] ，x -
π
3
∈
- π
3 ，2π
3
，
所以当x - π
3 = π
2 ，x = 5π
6 时，f(x) 取得最大
值，f(x)max = f 5π
6
= 2．故答案为：2．
5. 【解析】(1) 函数f(x) = 2cos
π
3 + x
2
的最小正
周期为T = 2π
1
2
= 4π．
(2) 令2kπ - π ≤π
3 + x
2 ≤2kπ，k ∈z，求得4kπ
- 8π
3
≤x ≤4kπ - 2π
3 ，故函数f(x) 的增区间为
4kπ- 8π
3 ，4kπ- 2π
3
，k ∈z．
(3) ∵x ∈[-π，π]，∴- π
6 ≤π
3 + x
2 ≤5π
6 ，∴
-
3
2
≤cos
π
3 + x
2
≤1．
当π
3 + x
2 = 5π
6 时，函数f(x) = 2cos
π
3 + x
2
取
得最小值为- 3 ，当π
3 + x
2 = 0 时，函数f(x) =
2cos
π
3 + x
2
取得最大值为2．
6. 【解析】f x
= sin x+φ
sin x+ π
2 +φ
=
sin x+φ
cos x+φ
= 1
2 sin 2x+2φ
，将f x
图
象向左平移π
3 个单位长度得g x
=
1
2 sin 2 x+ π
3
+2φ
= 1
2 sin 2x+ 2π
3 +2φ
，因
为平移后图象关于y 轴对称，所以2π
3 + 2φ = π
2
+ kπ k∈Z
，所以φ =- π
12 + kπ
2
k∈Z
，因为0
< φ < π
2 ，所以φ = 5π
12 ，所以B 正确；
又f x
= 1
2 sin 2x+ 5π
6
，所以函数f x
的最小
正周期为T = 2π
2 = π，所以A 错误；
令π
2 + 2kπ ≤2x + 5π
6 ≤3π
2 + 2kπ k∈Z
，解得，
- π
6 + kπ ≤x ≤π
3 + kπ k∈Z
当k = 0 时，函数f x
的单调递减区间为
- π
6 , π
3
，又0, π
3
⊆- π
6 , π
3
，
所以f x
在区间0, π
3
上单调递减，所以C 正
确；
令2x + 5π
6 = kπ k∈Z
，解得x =- 5π
12 +
kπ
2
k∈Z
，当k = 1 时，x = π
12 ，当k = 2 时，x
= 7π
12 ，
所以f x
图象关于点
π
12 ,0
和点
7π
12 ,0
对称，
不关于点
2π
3 ,0
对称，所以D 错误.
故选：BC
7. 【解析】设T 为f x
的最小正周期，由题意可
知，T
2 < π
4 < T，即π
ω < π
4 < 2π
ω ，解得4 < ω
< 8，由f x
= 0 得，ωx + π
5 = kπ + π
2 ，k ∈Z，
由x ∈
π
4 , π
2
得，ωx + π
5 ∈
·187·
ωπ
4 + π
5 , ωπ
2 + π
5
，又4 < ω < 8，所以6π
5 ≤
ωπ
4
+ π
5 < 11π
5 ，11π
5
≤ωπ
2
+ π
5 < 21π
5 ，由余
弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对
称轴，即存在一个极值点. 由题意
ωπ
4 + π
5 ≤3π
2
5π
2 < ωπ
2 + π
5 ≤3π
或
ωπ
4 + π
5 >2π
7π
2 < ωπ
2 + π
5 ≤4π
，解得
23
5 < ω ≤26
5 或36
5 < ω ≤38
5 ，故实数ω 的取值
范围为
23
5 , 26
5
∪
36
5 , 38
5
. 故答案为：
23
5 , 26
5
∪
36
5 , 38
5
8. 【解析】由x ∈
π
4 , π
3
, ω > 0 可得：2ωx + π
6
∈
ωπ
2 + π
6 , 2ωπ
3
+ π
6
，因为正弦函数的单调递
增区间是- π
2 +2kπ, π
2 +2kπ
, k ∈Z，所以
ωπ
2 + π
6 ≥- π
2 +2kπ
2ωπ
3 + π
6 ≤π
2 +2kπ
, k ∈Z，解得：
ω≥- 4
3 +4k
ω≤1
2 +3k
, k ∈Z，由- 4
3 + 4k ≤1
2 + 3k 解
得：k ≤11
6 ，因为ω > 0，所以当k = 0 时，有0 <
ω ≤1
2 ，当k = 1 时，有8
3 ≤ω ≤7
2 ，故答案为：
0, 1
2
∪
8
3 , 7
2
9. 【解析】由题意，得2k+1
4
T = π
4 - - π
4
=
π
2 (k ∈Z)，∴T =
2π
2k+1 (k ∈Z)．又T = 2π
ω ，∴
ω = 2k + 1(k ∈Z)．∵
π
9 , π
6
是f(x) 的一个单调
区间，∴π
6 - π
9 ≤T
2 ，即T ≥π
9 ．∵T =
2π
2k+1 ，∴2k + 1 ≤18，即k ≤8.5．如图1，π
6
- π
9 ≤T
2 ，即π
ω ≥π
18 ⇒ω ≤18，π
4 - π
6 ≥T
2
⇒π
12 ≥π
ω ⇒ω ≥12，由于半周期卡根的区间范围
大，故需要进行一个周期的卡根，如图2，即π
4 -
π
9 ≤T ⇒5π
36 ≤2π
ω ⇒ω ≤72
5 = 14.4，故只有ω =
13 符合题意，故选D．
图1
图2
10. 【解析】步骤一：由于区间为(
π
2022 ，π
6 )，
故只能采用周期卡根法，首先卡形式，就是轴心距
来确定ω 的形式，因为x =- π
3 为f(x) 零点，x =
π
3 为f(x) 对称轴，
故π
3 - - π
3
= 2π
3 = 2n-1
4
T = 2n-1
2ω
π ⇒ω =
3
4 (2n - 1)；
步骤二：f(x) 在(
π
2022 ，π
6 ) 上不单调，且x =
π
3 是对称轴，故需要倚靠对称轴来确定卡根区间
的周期，需要分析临界条件，ω 最小，则T 最大，
代表着在(
π
2022 ，π
6 ) 装下的最少周期，当然，这
个装下，也需要原始的对称轴或者对称中心来当
“靠山”，以π
3 当靠山，不妨设
π
2022 为递增区
间起点，T
2 = 673
2022 π ⇒ω0 = 2022
673 ，ω > ω0 时，
此时满足ω 的最小值为15
4 .
故答案为15
4 ．
11. 【解析】函数f(x) = xsin 2πx - 1 在(0，3] 上
零点的个数即方程xsin 2πx - 1 = 0 在(0，3] 上根
的个数，方程xsin 2πx - 1 = 0 化简可得sin 2πx
= 1
x .
在同一平面直角坐标系中作出函数y = sin 2πx 与
函数y = 1
x 的图象如图所示，
由图可知，在区间(0，3] 上，两函数图象有4 个
交点，故函数f(x) = xsin 2πx - 1 在区间(0，3]
上的零点个数为4.
故选C
·188·
12. 【解析】因为点M，N 关于点C 对称，
所以xC = 1
2 × 2π
3 = π
3 ，
函数f(x) 的最小正周期T 满足T
2 = π
3 - - π
6
，
解得T = π，即2π
ω = π，所以ω = 2.
由图象可得f(x) 的最大值点为
1
2
- π
6 + π
3
= π
12 ，所以2 × π
12 + φ = π
2 +
2kπ，k ∈Z，结合0 < φ < π，取k = 0 得φ = π
3 ，
则f(x) =
3π
6
sin 2x+ π
3
.
因此可得OM = f(0) =
3π
6
sin
π
3 = π
4 ，所以圆
C 的半径r =
OM 2+OC2 =
π
4
2
+
π
3
2
= 5π
12 .
13. 【解析】
如图，根据余弦函数y = cosx 的值域为
1
2 ,1
时，x ∈- π
3 , π
3
，∵x ∈[0，π]，又f(0) = 1
2 ，
故右边区间卡根位于0, π
3
范围内，即
0+ π
3
ω
≤
π ≤
π
3 + π
3
ω
，∴1
3 ≤ω ≤2
3 ，故选A．
14. 【解析】由题设，水车的角速度为2π
60 /s =
π
30 /s，又水车的半径为4m，中心O 到水面的距离
2m，设经过t(单位：s) 后水筒A 距离水面的高度
为f(t) = Asin(ωt + φ) + 2 , ω>0,|φ|< π
2
，由题
意可知A = 4 , ω = π
30 ，
由于t = 0 时，水筒A 在A0 处，即f(0) = 4sinφ +
2 = 0，
即sinφ =- 1
2 ，由于|φ| < π
2 ，故取φ =- π
6 ，
故t(单位：s) 后水筒A 距离水面的高度可表示为
f ( t ) = 4sin
πt
30 - π
6
+ 2 ，∴f ( 130 ) =
4sin 130π
30
- π
6
+ 2 = 4(m)．
故选：B．
15. 【解析】对于A，因为f x
=
sin 2ωx- π
6
，所以f x
的最小周期为T =
2π
2ω = π
ω ，故A 错误；
对于B，因为f
π
3
= sin 2ωπ
3
- π
6
= 0，所以
2ωπ
3
- π
6 = kπ , k ∈Z，整理得ω = 1
4 + 3k
2 , k ∈
Z，因为ω > 0，所以当k = 0 时，ω 取得最小值
1
4 ，故B 正确；
对于C，若ω = 1
2 ，则f x
= sin x- π
6
，那
么f x+φ
= sin x+φ- π
6
，
当x ∈0, 8 π
3
时，x + φ - π
6 ∈
φ- π
6 ,φ+ 5π
2
，区间长度为8 π
3
且不包括端
点，
结合正弦函数y = sinx = 1
2 的解的分布，可知
f x+φ
= sin x+φ- π
6
= 1
2 最多有3 个不相
等实数解，故C 错误；
对于D，当ω = 1 时，函数f x
= sin 2x- π
6
，
其最小正周期T = 2π
2 = π，而区间t- π
8 ,t+ π
8
的长度为π
4 ，2x - π
6 长度为π
2 ，h t
= M t
-
m t
，则h t
的最小值时为单位圆重合最多的时
候，所以M = 1，N =
2
2 ，h t
的最小值为1 -
2
2 ，故D 正确. 故选：BD.
5.1 解三角形基础篇
·189·
1. 【解析】由S△= 1
2 bcsinA 得：S = 3
2 = 1
2 ×
2 ×
3sinA ⇒sinA =
3
2 ；故∠A = 60° ; 或∠A =
120°
2. 【解析】因为B = π
3 ，b2 = 9
4 ac，所以由正弦
定理可得，sinAsinC = 4
9
2
sin B = 1
3 ，
由余弦定理可得：b2 = a2 + c2 - 2ac ⋅cosB = a2 +
c2- ac = 9
4 ac，即a2+ c2= 13
4 ac，
2
sin A +
2
sin C = 13
4 sinAsinC = 13
12 ，所以(sinA
+ sin C ) 2 =
2
sin A +
2
sin C + 2sin Asin C = 7
4 ，
sinA + sinC =
7
2 ．故选：C．
3. 【解析】选D．在ΔPAB 中，∠PAB = α - β ,
∠BPA =
π
2 -α
-
π
2 -γ
= γ - α，
由正弦定理得
PB
sin(α-β) =
a
sin(γ-α) ，可得PB
= asin(α-β)
sin(γ-α) ，
过点B 作BD ⊥AQ，
可得CQ = BD = asin β，所以PQ = PC + CQ =
PB ⋅sinγ + asinβ = asinαsin(γ-β)
sin(γ-α)
．
4. 【解析】选C．由题意知，在ΔABD 中，BD =
44，∠DAB = 30°，∠DBA = 45°，
由正弦定理得，
AD
sin∠DBA =
BD
sin∠DAB ，即
AD
sin45° =
44
sin30° ，所以AD = 44 2m，
在ΔADC 中，∠DAC = 30°，所以tan ∠DAC =
CD
AD =
3
3 ，
所以CD =
3
3
AD =
3
3
× 44 2 =
6
3
× 44 ≈
44
3 × 2.45 ≈36m．
5. 【解析】∵
2
sin A +
2
sin B <
2
sin C，
由正弦定理可得，a2+ b2< c2
由余弦定理可得cosC = a2+b2-c2
2ab
< 0
∴π
2 < C < π ∴ΔABC 是钝角三角形故选：C．
6. 【解析】∵h = csinB = 3 2
2
×
2
2
= 3
2 < 3 =
b = AC，又3 > 3 2
2
，
∴三角形只有一解．
故选：C．
7. 【解析】由acosB - bcosA = c 得sinAcosB -
sinBcosA = sinC，
得sin(A - B) = sinC = sin(A + B)，
即sin A cos B - sin B cos A = sin A cos B +
sinBcosA，
即2sinBcosA = 0，得sinBcosA = 0，
在ΔABC 中，sinB ≠0，
∴cosA = 0，即A = π
2 ，
则B = π - A - C = π - π
2 - π
5 = 3π
10 ．
故选：C．
8. 【解析】因为a2+ b2- c2= absin C，
所以cos C = a2+b2-c2
2ab
= absinC
2ab
= sinC
2
，
所以tan C = sinC
cosC = 2，故A 正确；
因为acos B + bsin A = c，利用正弦定理可得
sin Acos B + sin Bsin A = sin C = sin(A + B)
= sin Acos B + cos Asin B，
即sin Bsin A = cos Asin B，
因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以tan A =
1，又A ∈(0，π)，所以A = π
4 ，故B 正确；
因为tan C = 2，C ∈(0，π)，
所以sin C = 2 5
5
，cos C =
5
5 ，
又A = π
4 ，所以sin A = cos A =
2
2 ，
所以sin B = sin(A + C ) = sin Acos C + cos
Asin C =
2
2
×
5
5
+
2
2
× 2 5
5
= 3 10
10
，
因为
a
sinA
=
b
sinB ，所以b = asinB
sinA
=
·190·
10× 3 10
10
2
2
= 3 2，故C 错误；
S△ABC = 1
2 absin C = 1
2 ×
10 × 3 2 × 2 5
5
= 6，
故D 正确.
故选ABD
9. 【解析】∵a2+ c2- b2= 2accos B，
又b2+ c2- a2= 2bccos A，
两式相减，得2a2 - 2b2 = 2accos B - 2bccos A =
-c2，
∴2acos B - 2bcos A =-c，
由正弦定理可得2sin Acos B - 2sin Bcos A =
-2sin(B - A) =-sin C，
又sin(B - A) = 1
4 ，∴sin C = 1
2 .
故选C
10. 【解析】依题意，△ABC 的面积S = 1
4 (b2 +
c2)，
则1
2 bcsin A = 1
4 (b2+ c2)，
即2bcsin A = b2+ c2，
由于0 < A < π，所以0 < sin A ≤1，
所以0 < 2bcsin A ≤2bc，
由基本不等式可知b2+ c2≥2bc，
当且仅当b = c 时等号成立，
所以sin A = 1，A = π
2 ，△ABC 是等腰直角三角
形.
11. 【解析】因为acos B + (b -
2c)cos A = 0，
所以sin Acos B + (sin B -
2sin C)cos A = 0，
所以sin Acos B + sin Bcos A -
2 sin Ccos A
= 0，
所以sin(A + B) -
2sin Ccos A = 0，
所以sin C(1 -
2cos A) = 0，
因为sin C ≠0，所以1 -
2cos A = 0，
解得cos A =
2
2
= b2+c2-a2
2bc
，
所以b2+ c2- a2=
2bc =
2，可得bc = 1，
所以S = 1
2
(cb)2- c2+b2-a2
2
2
= 1
2 ×
1- 1
2 =
2
4 .
12. 【解析】(1) 因为两块直角三角形斜边靠在一
起，其中公共斜边AC = 10 ，∠BAC = π
3 ，
∠DAC = π
4 ，BD 交AC 于点E ，可得AB =
AC · cos ∠BAC = 10 ×
1
2
= 5 ，AD =
AC·cos∠DAC = 10 ×
2
2
= 5 2 ，因为∠BAD =
∠BAC + ∠DAC = π
3 + π
4 ，所以cos∠BAD = cos
π
3 cos π
4 - sin π
3 sin π
4
= 1
2 ×
2
2
-
3
2
×
2
2
=
2-
6
4
，
所以在△ABD 中，BD 2 = AB 2 + AD 2 -
2AB·AD·cos∠BAD
= 25 + 50 - 2 × 5 × 5 2 ×
2-
6
4
= 50 + 25 3.
(2) 因为sin∠BAD = sin π
3 + π
4
=
6+
2
4
，
又因为S△ABD = S△ABE + S△ADE，
所以1
2 ·AB·AD·sin∠BAD = 1
2 ·AB·AE·sin∠BAE
+ 1
2 ·AE·AD·sin∠EAD，
即1
2 × 5 × 5 2 ×
6+
2
4
= 1
2 × 5 × AE ×
3
2
+ 1
2 × AE × 5 2 ×
2
2 ，
解得AE = 5 3 - 5.
5.2 解三角形二级结论
1. 【解析】因为c - acosB = bcosA = (2a - b)
cosA，所以a = b 或者cosA = 0，则A = π
2 或A
= B，所以三角形ABC 为直角三角形或等腰三角
形，
故选：D．
2. 【解析】在锐角三角形ABC 中，若
3 sin B +
cosB = 2，整理得2sin B+ π
6
= 2，故B = π
3 ；
由于cosB
b
+ cosC
c
= sinA⋅sinB
3sinC
，故cosB
b
+
cosC
c
= a⋅sinB
3c
，即ccosB + bcosC = a =
·191·
a⋅bsinB
3
⇒bsinB = 3
解得b = 2 3 ，所以2R =
b
sinB = 2 3
3
2
= 4，所
以2R = 4．
法一(正弦定理化角)：a + c = 2RsinA + 2RsinC
= 4 ( sin A + sin C ) = 4 sinA+sin 2π
3 -A
=
4 3 sin A+ π
6
；
由于A ∈0, π
2
，当A = π
3 时，(a + c) max =
4 3．故ΔABC 的周长的最大值为6 3．
法二(余弦定理+ 不等式化边)：(a + c)2 - b2 =
2ac(1 + cosB) ⇒(a + c)2 = 12 + 3ac ≤12 + 3
4 (a +
c)2，
所以(a + c)max = 4 3 ，当且仅当a = c = b = 2 3
时取得最大值. 故ΔABC 的周长的最大值为6 3．
故选：D．
3. 【解析】对于A，因为sinB + sinC =
2sinAcosB，由正弦定理可得b + c = 2acosB，
再由余弦定理得b + c = 2a ⋅a2+c2-b2
2ac
，整理得a2
- b2= bc，故A 正确；
对于B，若2c = a + b，则a2- b2= a-b
a+b
= 2c a-b
= bc，则a = 3
2 b，c = 5
4 b，由余弦定
理可得cos∠ABC = a2+c2-b2
2ac
=
3
2 b
2+
5
4 b
2-b2
2× 3
2 b× 5
4 b
= 3
4 ，故B 错误；对于C，由
a2- b2= bc 可知：A = 2B，故C 正确；对于D，
因为∠ABC，∠CBD 互补，所以cos∠ABC +
cos∠CBD = 0，结合余弦定理可得a2+c2-b2
2ac
+
a2+ BD
2- CD
2
2a⋅BD
= 0，因为c = AB
= 3，BD
= 1，则a2+9-b2
3
+ a2+1- CD
2
1
= 0，整理得
4a2- b2+ 12 - 3 CD
2= 0，又a2= b2+ bc = b2+
3b，则CD
2= 4
3 a2- 1
3 b2+ 4 = 4
3
b2+3b
- 1
3 b2
+ 4 = b+2
2，从而CD
= b + 2，故CD
- CA
= 2 为定值，故D 正确. 故选：ACD.
4. 【解析】因为在ΔABC 中，∠BAC = 60°，AB
= 2，BC =
6，
所以由余弦定理得BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2AC ⋅
ABcos∠BAC，
则cos60° = AC2+4-6
2×2AC
，即AC 2 - 2AC - 2 = 0，
解得AC = 1 +
3(负值舍)，
而AD 平分∠BAC，即∠BAD = ∠CAD = 30°，
又SΔABC = SΔABD + SΔACD，
故1
2 × 2AC sin60° = 1
2 × 2ADsin30° + 1
2 AC ×
ADsin30°，
则AD = 2 3AC
AC+2 = 2 3×(1+
3)
3+
3
= 2．
故选：B．
5. 【解析】设AE = m，AF = n，EF = x，由题
意可得∠EAP = ∠FAP = 60°，且AP = 3，
因为S△AEF = S△AEP + S△AFP，所以1
2 mnsin120° =
3
2 msin60° + 3
2 nsin60°，
法一(算积)：可得mn = 3 m+n
，m =
3n
n-3 . 因
为0 < m ≤9，0 < n ≤9，所以
0<n≤9,
0< 3n
n-3 ≤9,
解
得9
2 ≤n ≤9，所以mn = 3n2
n-3 = 3n2-27+27
n-3
= 3n + 9 +
27
n-3 = 3 n-3
+
27
n-3 + 18. 令t = n
- 3 ∈
3
2 ,6
，因为函数y = 3t + 27
t + 18 ≥
2
3t× 27
t
+ 18 = 36，当且仅当t = 3 时取等号，
所以由对勾函数性质可得y = 3t + 27
t + 18 在
3
2 ,3
上单调递减，在3,6
上单调递增，所以
当t ∈
3
2 ,6
时，y = 3t + 27
t + 18 ∈36, 81
2
，
则36 ≤mn ≤81
2 . 由余弦定理可得x2= m2+ n2-
2mncos120° = m2+ n2+ mn
·192·
= m+n
2 - mn = 1
9
mn
2 - mn = 1
9
mn- 9
2
2
- 9
4 ∈108, 567
4
，故6 3 ≤x ≤9 7
2
，
法二(算和)：根据角平分线张角定理可知：cos60°
= 1
2 = 1
2
AP
AE + AP
AF
⇒1
m + 1
n = 1
3 ，利用柯
西不等式，(m + n)
1
m + 1
n
≥( 1 +
1 )2，所
以m + n ≥12，当且仅当m = n = 6 取等，考虑边
界和对称性，当m = 9 时，n = 9
2 ，同理n = 9
时，m = 9
2 ，所以通常在边界取得另一个最值(也
可以根据法一进行函数分析)，所以m + n ≤27
2 ，
利用余弦定理转化：(m + n)2 - EF
2 = 2mn(1 +
cos 120 ° ) ⇒EF
2 = ( m + n ) 2 - 3 ( m + n ) ∈
108，567
4
，即EF 长度的取值范围是
6 3, 9 7
2
. 故答案为：6 3, 9 7
2
.
6．【解析】(1) ∵sinAcosB = sinB(2 - cosA) ，
结合正、余弦定理，可得
a a2+c2-b2
2ac
= b ∙
2- b2+c2-a2
2bc
，化简得，c = 2b ，代入b + c
=
3 a ，得a =
3 b ，由余弦定理知，cosA =
b2+c2-a2
2bc
= b2+4b2-3b2
2b⋅2b
= 1
2 ,∵A ∈(0 ，π) ,
∴A = π
3
．
(2) 由(1) 知，c = 2b ，由余弦定理知，cosA =
b2+c2-a2
2bc
= 5b2-4
4b2
= 5
4 - 1
b2 ,∴△ABC 的面积
S
=
1
2
bcsinA
=
b
2 1-cos2A
=
b
2 ⋅
1-
5
4 - 1
b2
2
= b
2 ⋅
- 9
16 + 5
2b2 - 1
b4
=
- 9
16 b4+ 5
2 b2-1 =
- 9
16 b2- 20
9
2
+ 16
9
，当
b2= 20
9
时，S 取得最大值，为4
3
．
7 . 【解析】( 1 ) 证明：由正弦定理可得，
b
sin∠ABC
=
c
sin∠ACB
= 2 R ，则b =
2Rsin∠ABC，c = 2RsinACB，因为b2 = ac，所
以b ⋅2 Rsin ∠ABC = a ⋅2 Rsin ∠ACB ，即
bsinABC = asinC，因为BDsin∠ABC = asinC．
所以BD = b；(2) 由(1) 知BD = b，因为AD =
2DC，所以AD = 2
3 b，DC = 1
3 b，如图，延长
BD 至E，使得BD = 2DE，易知CE ⎳AB，且
CE
= 1
2 AB
= 1
2 c，∠BCE = 180° -∠ABC，
则cos∠ABC + cos∠BCE = 0，即a2+c2-b2
2ac
+
a2+ c2
4 - 9b2
4
ac
= 0，得11b2 = 3c2 + 6a2，因为b2 =
ac，所以3c2 - 11ac + 6a2 = 0，解得c = 3a 或c =
2
3 a，在△ABC 中，由余弦定理知，cos ABC =
a2+c2-b2
2ac
= a2+c2-ac
2ac
，当c = 3 a 时，
cos ABC = 7
6 > 1(舍)；当c = 2
3 a 时，cos ABC
= 7
12 ；综上所述，cosABC = 7
12 ．
8. 【解析】对A 选项，S = 1
4 [(a + b) 2 - c 2]
tan C
2 ≤1
4
c2
sin2 C
2
-c2
tan C
2 =
c2
4tan C
2
=
3，
当且仅当a = b = 2 时，取得等号，∴A 选项正确；
对B 选项，根据射影定理，bcosA + acosB = c =
2，故B 选项错误；
对C 选项，由于a+b
2 - c2 = 2ab 1+cosC
，故
c 2 ≥( a + b ) 2 - (a+b)2
2
( 1 + cosC ) = ( a + b )
2sin2 C
2 ，所以
c
sin C
2
≥(a + b)，所以CΔABC = a +
b + c ≤c +
c
sin C
2
= 6，∴C 选项正确；
对D 选项，∵C = π
3 ，∴A + B = 2π
3 ，∴cosB
cosA
=
cos
2π
3 -A
cosA
=
- 1
2 cosA+
3
2 sinA
cosA
=- 1
2 +
3
2 tanA，
·193·
又A ∈0, 2π
3
，∴tan A ∈(-∞，- 3 ) (0，
+∞)，∴cosB
cosA ∈(-∞,-2)- 1
2 ,+∞
，∴D
选项错误．
故选：AC．
9 . 【解析】由题，
3 sinB + cosB = 2
即
2sin B+ π
6
= 2 ，sin B+ π
6
= 1 ，因为锐角
△ABC ，故B + π
6 = π
2 , B = π
3
．故由B = π
3
, c = 2 3 ，画图，如图所示，AC1 ⊥BC , C2A ⊥
BA ．因为锐角△ABC ，故C 在线段C1C2
上，且不包含C1 , C2 ，又BC1 = BA ⋅cos60° =
3 , AC1 = BA ⋅sin60° = 3 ，AC2 = AB ⋅tan60°
= θ ，故SVABC1 < SVABC < SVABC2 ，即
1
2 BC1 ⋅
AC 1 < S VABC < 1
2 AB ⋅AC 2 故
3 3
2
< S △ABC <
6 3 ，故答案为：
3 3
2
,6 3
10. 【解析】对于A 选项，若sinA = sinB - sinC，
由正弦定理可得a = b - c，由三角形三边关系可知
等式a = b - c 不成立，A 错；对于B 选项，若
tanA = tanB + tanC ⇔2tanA = tanA + tanB +
tanC = tanAtanBtanC ，故只需tanBtanC = 2
即可，合乎题意；对于C 选项，若sinA = cosB -
cosC = cosB + cos(A + B) = cosB(1 + cosA) -
sinAsinB = 2 cos A
2 cos B+ A
2
，则sin A
2
=
cos B+ A
2
，则A + B = π
2 ，这与题意斜三角形
矛盾，C 错；对于D 选项，cosA = sinB + sinC
= sinB + sin(A + B) = cos A
2 sin B+ A
2
，所以
2cos2 A
2 - sin B+ A
2
cos A
2 - 1 = 0 存在一个位
于cos A
2
∈
2
2 ，1
的根，f ( x ) = 2 x 2 -
sin B+ A
2
x - 1 = 0，f
2
2
=-sin B+ A
2
<
0，f(1) = 1 - sin B+ A
2
> 0，故锐角A 存在，
D 对. 故选：BD.
5.3 解三角形方法论
1.【解析】(1) 因为4asinA = bsinCcosA +
csinAcosB，所以由正弦定理得4sin2A =
sinBsinCcosA + sinCsinAcosB =
sinC sinBcosA+sinAcosB
= sinCsin A+B
=
sin2C，
因为A，C ∈0,π
，所以sinA > 0，sinC > 0，
故sinA
sinC = 1
2 ；
(2) (i) 法一：证明：△ABD 中，由正弦定理得
AD
sin∠ABD =
AB
sin∠ADB ①，同理在△BCD 中，
CD
sin∠CBD =
BC
sin∠CDB ②，BD 是∠ABC 的角
平分线，则∠ABD = ∠CBD，则sin∠ABD =
sin∠CBD，
故①÷ ②得AD
CD = AB
BC ，由比例的性质得AD
AC =
AB
AB+BC ，即AD = AB⋅AC
AB+BC ，同理得CD
AC =
BC
AB+BC ，即CD = BC⋅AC
AB+BC ，在△ABD 中，由
余弦定理得AB2= AD2+ BD2- 2AD ⋅BD ⋅
cos∠ADB ③，△BCD 中，由余弦定理得BC2=
CD2+ BD2- 2CD ⋅BD ⋅cos∠CDB ④，又∠ADB
+ ∠CDB = π，故sin∠ADB = sin∠CDB，
cos∠ADB + cos∠CDB = 0，由CD × ③+AD × ④
得CD ⋅AB2+ AD ⋅BC2= CD ⋅AD AD+CD
+
CD+AD
⋅BD2= CD ⋅AD ⋅AC + AC ⋅BD2，
则BD2= CD⋅AB2+AD⋅BC2
AC
- CD ⋅AD =
BC⋅AB2+AB⋅BC2
AB+BC
- CD ⋅AD = BA ⋅BC - DA ⋅
DC，即BD2= BA ⋅BC - DA ⋅DC；
法二(构造外接圆)：如图，延长BD 交ΔABC 外接
·194·
圆于E，因为∠ABD = ∠CBD，∠A = ∠E，所以
ΔABD~ΔEBC，所以AB
BE = BD
BC ⇒BA ⋅BC =
BD ⋅BE ①，利用圆幂定理可知AD ⋅DC = BD ⋅
DE ②，所以由①②得：
BA ⋅BC - AD ⋅DC = BD ⋅BE - BD ⋅DE = BD2；
(ii) 因为sinA
sinC = 1
2 ，故c = 2a，则AD
CD = AB
BC =
2，则AD = 2
3 AC，DC = 1
3 AC，由a = 1 以及
(i) 知BD2= 2 - 2
9 AC2，即BD2+ 2
9 AC2= 2，则
BD2+ 2
9 AC2≥2 2
3
BD ⋅AC，当且仅当BD2=
2
9 AC2，结合BD2+ 2
9 AC2= 2，即BD = 1，AC
= 3 2
2
时等号成立，故BD ⋅AC 的最大值为
3 2
2
．
2. 【解析】(1) 因为2c sin A cos B + b sin B =
5
2 csinA，
结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a2+c2-b2
2ac
+
b2= 5
2 ac，
即2a2 + 2c2 - 5ac = 0，方程两边同时除以c2(c ≠
0)，
得2 a
c
2
+ 2 - 5 a
c = 0，
令a
c = t(t > 0)，所以2t2+ 2 - 5t = 0，
解得t = 2 或1
2 ，
即a
c = 2 或1
2 ，
所以sinA
sinC = a
c = 2 或1
2 ；
(2)
( Ⅰ) 证明：在ΔABD 中，由正弦定理得
AD
sin∠ABD =
AB
sin∠ADB ①，
由余弦定理得AB 2 = AD 2 + BD 2 - 2 AD ⋅
BDcos∠ADB ②，
同理在ΔBCD 中，则
CD
sin∠CBD =
BC
sin∠CDB ③，
BC2= CD2+ BD2- 2CD ⋅BDcos∠CDB ④，
因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD =
∠CBD，
所以sin ∠ABD = sin∠CBD，又∠ADB + ∠CDB
= π，
则sin ∠ADB = sin ∠CDB ，cos ∠ADB +
cos∠CDB = 0，
①÷ ③得AD
CD = AB
BC ⑤，
所以AD
AC =
AB
AB+BC , CD
AC =
BC
AB+BC ，
CD × ②+AD × ④得CD ⋅AB2 + AD ⋅BC 2 = CD ⋅
AD(AD + CD) + (CD + AD) ⋅BD2
= CD ⋅AD ⋅AC + AC ⋅BD2，
所以BD2= CD⋅AB2+AD⋅BC2
AC
- CD ⋅AD
= BC⋅AB2+AB⋅BC2
AB+BC
- CD ⋅AD = BA ⋅BC - DA
⋅DC，得证．
(Ⅱ) 因为a > c，所以sinA
sinC = 2，即a = 2c = 1，
由⑤式可知AD
CD = AB
BC = 1
2 ，
所以AD = 1
3 AC，DC = 2
3 AC，
由(1) 得BD2 = 1
2 - 2
9 AC2，所以BD2 + 2
9 AC2 =
1
2 ，BD 2 + 2
9 AC 2 ≥2 2
3
BD ⋅AC ，当且仅当
BD = 1
2 ，AC = 3 2
4
时等号成立，
所以BD ⋅AC ≤3 2
8
，
故DB ⋅AC 的最大值为3 2
8
．
3. 【解析】法一：由a =
3sinA，根据正弦定理
得
a
sinA =
c
sinC =
3，即c =
3sinC，因为a2
+ b2≥2ab，当且仅当a = b 时等号成立，则
abc
2c2+2abcosC =
abc
2 a2+b2-2abcosC
+2abcosC
=
abc
2 a2+b2
-2abcosC
≤
abc
2⋅2ab-2abcosC =
c
4-2cosC =
3sinC
4-2cosC =
·195·
2 3sin C
2 cos C
2
4 cos2 C
2 +sin2 C
2
-2⋅cos2 C
2 -sin2 C
2
=
3sin C
2 cos C
2
cos2 C
2 +3sin2 C
2
=
3tan C
2
1+3tan2 C
2
，在△ABC 中，0
< C < π，则0 < C
2 < π
2 ，即tan C
2 > 0，
所以
abc
2c2+2abcosC ≤
3tan C
2
1+3tan2 C
2
=
3
1
tan C
2
+3tan C
2
≤
3
2
1
tan C
2
⋅3tan C
2
= 1
2 ，当且
仅当a = b，且
1
tan C
2
= 3tan C
2 ，即a = b，C =
π
3 时等号成立，则
abc
2c2+2abcosC 的最大值为1
2 .
法二(外森比克不等式)：由a =
3sinA，根据正
弦定理得
a
sinA =
c
sinC =
3，即c =
3sinC，
2R =
3，
abc
2c2+2abcosC =
abc
a2+b2+c2 = 2RabsinC
a2+b2+c2 = 2 3 ⋅
S
a2+b2+c2 ≤2 3
4 3 = 1
2 ，故答案为：1
2 .
4. 【解析】由余弦定理得a2= b2+ c2- 2bccosA，
又S =
b+c
2-a2
2
= 1
2 bcsinA，
所以bcsinA = b2+ c2+ 2bc - a2= 2bccosA + 2bc，
所以sinA = 2cosA + 2，
所以sin2A = 2cosA+2
2= 4cos2A + 8cosA + 4，
即5cos2A + 8cosA + 3 = 0，
所以5cosA+3
cosA+1
= 0，又-1 < cosA <
1，所以cosA =- 3
5 .
法一：由正弦定理得2b+c
a
= 2sinB+sinC
sinA
=
2sin A+C
+sinC
sinA
=
2sinAcosC+sinC 1+2cosA
sinA
=
1
4
8cosC-sinC
=
65
4
sin C+θ
，其中sinθ =
8
65 , cosθ =-
1
65 ，且π
2 < θ < A < π，
又π
2 < θ < C + θ < π - A + θ < π，所以
sin π-A+θ
< sin C+θ
< sinθ，
又sin π-A+θ
= sin A-θ
= sinAcosθ -
cosAsinθ = 4
5 × -
1
65
- - 3
5
×
8
65 =
4 65
65
，
所以
65
4
sin C+θ
∈1,2
，所以2b+c
a
的取值
范围是1,2
．
法二：2b+c
a
= 1
4
8cosC-sinC
，令f C
=
1
4
8cosC-sinC
，因为fC
=
1
4
-8sinC-cosC
，而π
2 < A < π，所以0 < C <
π
2 ，所以fC
< 0，f C
在0, π
2
上单调递减，
所以在0,π-A
单调递减，f 0
= 2，f π-A
= 1
4
-8cosA-sinA
= 1，所以2b+c
a
的取值范
围是1,2
．故答案为：1,2
．
5. 【解析】(1) 由S△ABC =
3
4
a2+b2-c2
=
1
2 absinC，则a2+ b2- c2= 2
3 absinC，
根据余弦定理得cosC = a2+b2-c2
2ab
= sinC
3 ，即
tanC =
3，由0 < C < π，则C = π
3 .
(2) 由(1) 知，a2+ b2- c2= ab，则有a+b
2- c2
= 3ab，又ab ≤
a+b
2
4
，当且仅当a = b 时等号成
立，
所以a+b
2- c2≤3
4
a+b
2，解得1
4
a+b
2≤
c2，所以a + b ≤2c，当且仅当a = b 取到等号，
(3) 法一：设△ABC 的内切圆I 的半径为r，由等
面积法可得S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 r a+b+c
，
故r = absinC
a+b+c =
3
2
⋅
ab
a+b+c ，所以CI
=
r
sin C
2
= 2r，故AB
CI
= c
2r =
c
3⋅
ab
a+b+c
=
a+b+c
c
3ab
= c2+ a+b
c
3ab
=
c+ a+b
2
2
- a+b
2
4
3ab
≥
·196·
a+b
2
+ a+b
2
2
- a+b
2
4
3ab
=
3 a+b
2
4
3ab
=
3 a+b
2
4ab
=
3 a2+2ab+b2
4ab
=
3
4
b
a + a
b +2
≥
3
4
⋅2
b
a ⋅a
b +2
=
3，
当且仅当a = b 时等号成立，所以AB
CI
的最小值
为
3.
法二：如图，CI
=
r
sin C
2
= 2r，∠AIH = α，
∠BIH = β，所以AH = rtanα，BH = rtanβ，易
知α + β = 120°，
tan(α + β) = tanα+tanβ
1-tanαtanβ =- 3 ⇒tanα + tanβ
=-
3
(
1
-
tanαtanβ
)
≤-
3
+
3
tanα+tanβ
2
2
，故tanα + tanβ ≥2 3 ，当且
仅当tanα = tanβ =
3 时取等，
AB
CI
=
tanα+tanβ
2
≥
3.
6. 【解析】(1) 由题知，AB = 2b2
a
= 3，又a2 = b2
+ 1，解得a = 2．故椭圆C 的方程为x2
4 + y2
3 = 1．
(2) 记A x1,y1
, B x2,y2
，由题意知y1 > 0 , y2 <
0．
设直线AB 的方程为l : x = my + 1，代入椭圆得：
3m2+4
y2+ 6my - 9 = 0．
则有y1 + y2 =-
6m
3m2+4 , y1y2 =-
9
3m2+4 ，设AP
与BP 的斜率分别为k1, k2，则
k1 + k2 =
y1
x1-4 +
y2
x2-4 = 2my1y2-3 y1+y2
my1-3
my2-3
=
-18m
3m2+4 +
18m
3m2+4
my1-3
my2-3
= 0 , 所以∠APF = ∠BPF．
③设T x0,y0
满足|AM|
|BM| = |AF|
|BF| = |AT|
|BT| ，则
x0-x1
2+ y0-y1
2
x0-x2
2+ y0-y2
2 = y2
1
y2
2
将x1= my1+ 1 , x2= my2+ 1 代入②，并化简得
x 2
0 + y 2
0 - 2 x 0 1+m y1y2
y1+y2
- 2 y 0
y1y2
y1+y2
+
2m y1y2
y1+y2
+ 1 = 0,
将②中①代入③得：x2
0 + y2
0 - 5x0 - 3
m y0 + 4 = 0，
即x0- 5
2
2
+ y0- 3
2m
2
=
9
4m2 + 9
4 ．
又因为直线AB 和直线x = 4 的交点为R 4, 3
m
．
故满足|AM|
|BM| = |AF|
|BF| = |AT|
|BT| 的T 点都在以FR
为直径的圆上．因为R , P , F , M , N 都在以FR 为
直径的圆上，故|AT|
|BT| = |AF|
|BF| = |AN|
|BN| ，所以NF
是∠ANB 的角平分．则SΔANF + SΔBNF = SΔABN，
所以|NA| ⋅|NF| ⋅sin∠ANF + |NB| ⋅|NF| ⋅
sin∠BNF = |NA| ⋅|NB| ⋅sin∠ANB，
即sin∠ANF
|NB|
+ sin∠BNF
|NA|
= sin∠ANB
|NF|
=
2sin∠ANFcos∠ANF
|NF|
．所以
1
|NA| +
1
|NB| =
2cos∠ANF
|NF|
=
3
|NF| ，解得cos∠ANF =
3
2 ，所
以cos∠ANB = 1
2 ．
7. 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴建系，∴
A 1,0
设B x,y
，则C -2x,-2y
，
∴tan∠DAB =
y
1+x , tan∠DAC =
2y
1+2x ，∴由
二倍角得:
y
1-x =
xy 1+2x
1+2x
2-4y2 ，化简得y2
= 3x2- 3
4 ，∴3x2> 3
4 , x > 1
2 ，
∴
BC
=
x+2x
2+ y+2y
2 = 3 x2+y2，
·197·
代入y2 得BC
= 3 14x2-8 > 3
1- 3
x = 3
2 ，即
|BC ∣∈
3
2 ,+∞
，故答案为：| 3
2 ,+∞
5.4 解三角形大题综合
1. 【解析】(I) 又bcosC + ccosB = 1，
由正弦定理
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R，可得
2RsinBcosC + 2RsinCcosB = 1，
可得2R sin A = 1，可得a = 1．因为tanA
tanB +
tanA
tanC = 2
bc ，所以：sinA
cosA
cosB
sinB + cosC
sinC
=
2
bc ，
可得
sinA
cosA
sin(B+C)
sinBsinC
=
2
bc
，可得：
2
sin A
cosAsinBsinC = 2
bc ，所以
a2
cosA⋅bc = 2
bc ，即
a2
cosA = 2 可得cos A = 1
2 ，又A ∈(0 , π)，可得
A = π
3 ．
(Ⅱ) 因为C ∈0, 2π
3
，可得2b + c = 4Rsin B +
2 R sin C =
4 3
3
sin B +
2 3
3
sin C =
4 3
3
sin
π
3 +C
+ 2 3
3
sin C = 2 3
3
( 3 cos C +
2sinC) = 2 21
3
sin(C + φ) ≤2 21
3
，当且仅当C
+ φ = 2kπ + π
2 ，k ∈Z 时，等号成立，所以2b + c
的最大值为2 21
3
．
2 . 【解析】：( 1 ) 因为sin2 B =
3
7
b cos B =
2sin B cos B，因为A 为钝角，所以B 为锐角，
cosB ≠0，所以sinB =
3
14 b，在ΔABC 中，由正
弦定理得
a
sinA =
b
sinB ，因为a = 7，所以sinA
=
3
2 ，因为A 为钝角，所以A = 2π
3 ．
(2) 若选条件①，因为b = 7，a = 7，所以B = A =
2π
3 ，与A + B + C = π 矛盾，
此时ΔABC 不存在，故条件①不符合要求，不选
①；
若选条件②，因为cos B = 13
14 ，所以sin B =
1-
2
cos B = 3 3
14 ，
在ΔABC 中，由正弦定理得
a
sinA =
b
sinB ，所以
b =
a
sinA ⋅sinB =
7
sin 2π
3
× 3 3
14
= 3，
又sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB =
3
2
× 13
14 + - 1
2
× 3 3
14
= 5 3
14 ，
所以ΔABC 的面积为S = 1
2 absinC = 1
2 × 7 × 3 ×
5 3
14
= 15 3
4
；
若选条件③，由(1) 知A = 2π
3 ，因为c sin A =
5
2
3 ，所以c = 5，由余弦定理得a2 = b2 + c2 -
2bccosA，即72 = b2 + 52 - 2b × 5 × cos 2π
3 ，解得
b = 3，
所以ΔABC 的面积为S = 1
2 bcsinA = 1
2 × 3 × 5 ×
sin 2π
3 = 15 3
4
．
3. 【解析】(1) 由f (x) = 4cos x sin x- π
6
=
4cosx sinxcos π
6 -cosxsin π
6
= 2 3 sinxcosx - 2cos2x =
3 sin2x - (cos2x + 1)
= 2sin 2x- π
6
- 1，
由题意及三角函数的性质知：2A - π
6 = π
2 +
2kπ，
即A = π
3 + kπ(k ∈Z)，
又因为A ∈(0 , π)，所以A = π
3 ；
(2) 如图所示，因为BC = 3DC，
所以AD
= AB
+ BD
= AB
+ 2
3 BC
= AB
+ 2
3
(AC
- AB
) = 1
3 AB
+ 2
3 AC
，
所以AD
2 = 4
9 b2 + 2 × 2
9 bccos∠BAC + 1
9 c2 ⇒7 =
4
9 b2+ 2 3
9
b + 1
3 ⇒b = 2 3(负值舍去)，
由余弦定理得：a2 = b2 + c2 - 2bccos∠BAC = 12 +
·198·
3 - 6 = 9，即a = 3，
显然a2+ c2= b2，由勾股定理逆定理得B = π
2 ，
故C = π
6 ．
4. 【解析】(1) 因为2acosB = 2c - b，由正弦定理
得2sinAcosB = 2sinC - sinB，
所以2sin A cos B = 2sin ( A + B ) - sin B = 2
(sinAcosB + cosAsinB) - sinB，
所以2cos Asin B - sin B = 0，又sin B ≠0，所以
cosA = 1
2 ，
所以A = π
3 ；
(2) 由(1)sin A =
3
2 ，所以SΔABC = 1
2 bcsin A =
3
4 bc = 9 3
4
，所以bc = 9，
点D 在线段BC 上，且BD = 1
2 CD，所以AD
=
2
3 AB
+ 1
3 AC
，
AD
2 = 4
9 AB
2 + 1
9 AC
2 + 4
9 AB
⋅AC
= 4
9 c2 + 1
9 b2
+ 4
9 bc ⋅cosA = 4
9 c2+ 1
9 b2+ 2
9 bc
≥2
1
9 b2⋅4
9 c2 + 2
9 bc = 6
9 bc，
所以AD ≥
6 ，当且仅当
1
9 b2= 4
9 c2
bc=9
，即b =
3 2，c = 3 2
2
时等号成立．
所以AD 的最小值为
6．
5. 【解析】(1) ∵
sinA
sinB+sinC = c-b
b
，
∴由正弦定理得
a
b+c = c-b
b
，即ab = c2 - b2，
即c2= ab + b2①，
又C = π
3 ，由余弦定理得c2= a2+ b2- 2abcos π
3 ，
即c2 = a2 + b2 - ab ②，由①②得a2 = 2ab，则a =
2b，∴c =
3b，由余弦定理得cosB = a2+c2-b2
2ac
=
6b2
4 3b2 =
3
2 ，又B ∈(0 , π)，则B = π
6 ；
(2) 由(1) 得c2 = b2 + ab，∴a = c2-b2
b
，c > b，
∴a+c
b
= c2-b2+bc
b2
= c2
b2 + c
b - 1，由三角形三
边关系得a+b>c
b+c>a
，代入化简得b < c < 2b，令x
= c
b ∈(1 , 2)，则f (x) = x2 + x - 1，∴f (x) =
x+ 1
2
2
- 5
4 ∈(1 , 5)，∴c2
b2 + c
b - 1 ∈(1 , 5)，
∴a+c
b
的取值范围是(1 , 5)．
6. 【解析】(1) 因为
cosA
1-sinA =
cosA+cosB
1-sinA+sinB ，
所以cos A - cos A sin A + cos A sin B = cos A +
cos B - cos A sin A - sin A cos B ，即cos B =
sinAcosB + cosAsinB，即cosB = sin(A + B)，
即cos B = sin C ，因为C = 2π
3 ，所以cos B =
sin 2π
3
=
3
2 ，因为C ∈0, π
3
，所以B = π
6 ，
A = π
6 ，所以sinA = 1
2 ；
(2) 由(1) 知，cosB = sinC，所以sin B+ π
2
=
sinC，因为0 < B + C < π，0 < B，C < π，所以
B + π
2 = C 或B + C + π
2 = π，又因为在钝角
ΔABC 中，故B + C ≠π
2 ，所以B + π
2 = C，所
以A，B 为锐角，且
0<B< π
4
0<A= π
2 -2B< π
2
，解得0
< B < π
4 ，所以sin B ∈0,
2
2
，由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，可得
a2+c2
b2
=
2
sin A+
2
sin C
2
sin B
=
2
cos 2B+
2
cos B
2
sin B
=
(1-2
2
sin B)2+1-
2
sin B
2
sin B
= 4
4
sin B-5sinB+2
2
sin B
=
4
2
sin B +
2
2
sin B - 5，令t =
2
sin B，则t ∈0, 1
2
，
所以4
2
sin B +
2
2
sin B - 5 = 4t + 2
t - 5，对应函数
·199·
为f(t) = 4t + 2
t - 5，t ∈0, 1
2
，
f'(t) = 4 - 2
t2 < 0，所以f (t) = 4t + 2
t - 5 在
0, 1
2
为减函数，所以f(t) > f
1
2
= 1，当t 趋
近于0 时，f(t) 趋近于+∞，所以f(t) = 4t + 2
t -
5 的值域为(1 ,+∞)，即a2+c2
b2
的取值范围为(1 ,
+∞)．
7. 【解析】解：( I ) 在△ABC 中，sin(A + B)
= sin(π - C) = sinC ，
所以csin2B = 4 6
3
sin(A + B) = 4 6
3
sinC ，即
2csinBcosB = 4 6
3
sinC ，
结合b = 2 6 ，可得2csinBcosB = 2
3 bsinC ，
根据正弦定理
b
sinB =
c
sinC
，可得bsinC =
csinB ≠0 ，所以2cosB = 2
3
，可得cosB = 1
3
．
(II) 选择条件(1)：c = 10 ，
则由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2accosB = 24 ，即
a2+ 100 - 2a × 10 × 1
3 = 24 ，
整理得a2 - 20
3 a + 76 = 0 , Δ = - 20
3
2
- 4 × 10 ×
76 < 0 ，方程无实数解，
所以当c = 10 时，不存在满足条件的△ABC ；
选择条件(2)；cosA =
6
3
，
则根据
A
为三角形的内角，可得
sinA =
1-cos2A =
3
3
，
同理可得sinB =
1-cos2B = 2 2
3
，
所以sinC = sin(A + B ) =
3
3
× 1
3 +
6
3
×
2 2
3
= 5 3
9
，
由正弦定理，可得
a
sinA =
c
sinC =
b
sinB =
2 6
2 2
3
= 3 3 ，
所以△ABC
的周长a + b + c = 3 3 (sinA +
sinB + sinC)
= 3 3
3
3 + 2 2
3
+ 5 3
9
= 8 + 2 6 ;
条件(3)：△ABC 的面积为5 2 ，
根据sinB =
1-cos2B = 2 2
3
，
可得S△ABC = 1
2 acsinB =
2
3 ac = 5 2 ，解得
ac = 15 ，
由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2accosB = 24 ，可得
a2+ c2- 2 × 15 × 1
3 = 24 ，整理得a2+ c2= 34 ，
所以(a + c)2 = a2 + c2 + 2ac = 64 ，解得a + c =
8(舍负)，
可得△ABC 的周长a + b + c = 8 + 2 6 ．
综上所述，若选择条件(1)，则△ABC 不存在；
若选择条件(2) 或(3)，则△ABC 的周长等于8
+ 2 6 ．
6.1 线性运算
1.【解析】对A，AB
+ BC
+ CA
= AC
+ CA
=
0，故A 正确；对B，AB
- AC
+ BD
- CD
= CB
+ BD
- CD
= 0，故B 正确；对C，OA
+ OD
+
AD
= OA
+ AD
+ OD
= 2OD
，故C 错误；
对D，NQ
+ QP
+ MN
- MP
= NP
+ (MN
- MP
)
= 0，故D 正确．故选：ABD
2.【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴M
是AC ，BD 的中点，∴MA
+ MC
= 0，MB
+
MD
= 0，∴MA
+ 2MB
+ 2MC
+ MD
= MC
+
MB
= 1
2 AC
+ 1
2 DB
= 1
2 (AC
+ DB
) = 1
2 (AC
+
DC
+ CB
) = 1
2 (AB
+ DC
) = AB
= DC
．
故选：A．
3.【解析】∵A，B，C 三点共线，∴AB
与BC
共线，∴存在λ，使AB
= λBC
，∴ma+ 2b= 3λa
- λb，且a, b不共线，∴m=3λ
-λ=2
，解得m =-6．
故选：C．
·200·
4.【解析】设CO
= yBC
，∵AO
= AC
+ CO
=
AC
+ yBC
= AC
+ y(AC
- AB
)
=-yAB
+ (1 + y)AC
，∵BC
= 3CD
，点O 在线
段CD 上(与点C、D 不重合)，即0 < CO < DC，
所以y|BC
| < |DC
|，可得3y ≤1，∴y ∈0, 1
3
，
∵AO
= xAB
+ (1 - x)AC
，可得x =-y，
∴x ∈- 1
3 ,0
故选：D．
5.【解析】因为AD
= 3
2 DC
，且AP
= tAB
+
2
5 AC
，所以AP
= tAB
+ 2
5 AC
= tAB
+ 2
3 AD
；
因为B，P，D 三点共线，所以t + 2
3 = 1，所以
= 1
3 ．故选：B．
6.【解析】由题意得，AF
= λ AD
= λ
2 AB
+
λ
2 AC
，∵B、F、E 三点共线，
∴AF
= xAB
+ (1 - x)AE
，∴AF
= xAB
+ 2
3 (1
- x)AC
，故λ
2 = x 且2
3 (1 - x) = λ
2 ，
解得λ = 4
5 ，x = 2
5 ；故AF
= 2
5 AB
+ 2
5 AC
，
∴BF
= AF
- AB
=- 3
5 AB
+ 2
5 AC
，
BE
= AE
- AB
=-AB
+ 2
3 AC
，即BE
= 3
5 BF
，
故μ = 3
5 ，故λ + μ = 7
5 ，故选：C．
7.【解析】如图BM
= xBA
+ yBD
= 2xBE
+ yBD
(x , y ∈R)，故根据等和线知识2x + y = BM
BN
，
显然当M 位于AC 中点F 时，(2x + y)max = BC
BD
= 2，故选C．
8. 【解析】法一：连接AB，交OC
于点D，
∠DOA = ∠OAD = 30°，∠BOD = 90°，
OD
=
DA
=
3
3
，DB
= 2 3
3
，故OD
= 2
3 OA
+
1
3 OB
；
OC
= 2 3
= 6 OD
∴OC
=
6 2
3 OA
+ 1
3 OB
= 4OA
+ 2OB
，m + n = 6.
法二：根据等和线定理可得：OC
OD
= k = m + n，
根据几何性质OD
OB
= tan30° =
3
3 ，故k = 2 3
3
3
= 6.
6.2 数量积习题
1.【解析】解：由|b- 2a| = 2 3，可得b2 + 4a2 -
4a⋅b= 12，
又|a| = 1，所以b2- 4a⋅b= 8，
由a⋅(b- 2a) = 0，可得a⋅b- 2a2= 0，
则a⋅b= 2，故b2= 16，即|b| = 4．
故选：C．
2.【解析】∵a+ b= (2 , 3)，a- b= (-2 , 1)，
∴a= (0 , 2)，b= (2 , 1)，
∴|a|2- |b|2= 4 - 5 =-1
故选：B．
3.【解析】向量a，b满足|a| = 5，|b| = 6，a⋅b
=-6，
可得|a+ b| =
a2+2a⋅b+b2 =
25-12+36 = 7，
cos < a，a+ b>= a⋅(a+b)
|a||a+b|
= a2+a⋅b
5×7
=
25-6
5×7 = 19
35 ．
故选：D．
4.【解析】因为向量a，b满足|a| = 1，|b| =
3，
·201·
|a- 2b| = 3，
所以| a- 2 b| =
(a-2b)2 =
a2-4a⋅b+4b2 =
1-4a⋅b+4×3 = 3，
两边平方得，13 - 4a⋅b= 9，解得a⋅b= 1，故
选：C．
5.【解析】因为P 为弧AC 上的一点，则|BP
| =
2，且|BC
| = 2，可知BP
⋅PC
= BP
⋅(BC
- BP
)
= BP
⋅BC
- BP
2 = BP
⋅BC
- 4，由图形可知：当
点P 与点A 重合时，向量BP
在BC
方向上的投影
取到最小值，此时BP
⋅PC
= BP
⋅BC
- 4 ≥2 × 2
× 1
2 - 4 =-2，所以BP
⋅PC
的最小值为-2．故
选：C．
6.【解析】a= (0 , 1)，b= (2 , x)，则b- 4a= (2 ,
x - 4)，b⊥(b- 4a)，则2 × 2 + x(x - 4) = (x - 2)
2= 0，解得x = 2．故选：D．
7.【解析】因为向量a= (1 , 4)，b= (x , 2)，所以
3a- b= 3(1，4) - (x，2) = (3 - x，10)，
又a⎳(3a- b)，所以1 × 10 - 4(3 - x) = 0，解得x
= 1
2 ．故选：C．
8. 【解析】解：由a= (3 ,-1)，b= (-2 , 1)，得
λa+ b= λ(3 ,-1) + (-2 , 1) = (3λ - 2 ,-λ + 1)，
又c= (-1 , 2)，且λa+ b与c平行，所以(3λ - 2)
× 2 - (-1) × (-λ + 1) = 0，解得：λ = 3
5 ．故选：
B．
9. 【解析】解：由题意知，b+ c= (x + 4 , 3 + y)，
因为a⎳(b+ c)，所以1 × (3 + y) - 2 × (x + 4) = 0，
即2x - y + 5 = 0，因为b- c= (x - 4 , 3 - y)，所
以|b- c|2 = (x - 4)2 + (3 - y)2，|b- c| 可看作直线
上的点(x , y) 到点(4 , 3) 的距离，所以|b- c|min =
|2×4-3+5|
22+(-1)2 = 10
5 = 2 5．故答案为：2 5．
10.【解析】由P 是函数y = x + 1
x (x > 0) 的图象
上的任意一点，可设P t,t+ 1
t
(t > 0)，A(m ,
m)，则PA
= m-t,m-t- 1
t
，由OA
⋅PA
= 0，
可得m(m - t) + m m-t- 1
t
= 0，解得m = t +
1
2t ，所以A t+ 1
2t ,t+ 1
2t
, B 0,t+ 1
t
，则PA
=
1
2t ,- 1
2t
, PB
= (-t , 0)，所以PA
⋅PB
=-t
× 1
2t + 0 × - 1
2t
=- 1
2 ．故选：B．
11. 【解析】已知向量a= (1 , t)，b= -1, 1
t
，
若1 × 1
t - (-1) × t = 0，则t + 1
t = 0，此时t 不
存在，即不平行，A 错误；
a+ b= 0,t+ 1
t
，则|a+ b| = t+ 1
t
≥2，当且
仅当t2= 1 时取等号，B 正确；
若t = 1，则a+ b= (0 , 2)，a- b= (2 , 0)，则(a
+ b) ⋅(a- b) = 0，
所以(a+ b) ⊥(a- b)，C 正确；
2a+ b= 1,2t+ 1
t
，b= -1, 1
t
，显然不共线，
因为-1 + 1
t × 2t+ 1
t
= 1 + 1
t2 > 0，即夹角为
锐角，D 正确．
故选：BCD．
12.【解析】如下图所示:
设正方形ABCD 的内切圆为圆O , 当弦MN 的
长度最大时, MN 为圆O 的一条直径, PM
⋅PN
=
PO
+OM
⋅
PO
-OM
= PO
2 - OM
2 =
PO
2 - 1
4 ,当P 为正方形ABCD 的某边的中点
时, OP
min = 1
2
,当P 与正方形ABCD 的顶点
重合时,
OP
max =
2
2
, 即
1
2 ≤OP
≤
2
2
,
因此, PM
⋅PN
= PO
2 - 1
4 ∈0, 1
4
. 故答案
为:
0, 1
4
.
13.【解析】取EF 的中点G，根据题意易知点G
也是AB 的中点，所以AG = 1，CG =
13
2
，
·202·
EG = 1
2 ，根据极化恒等式可得CE
⋅CF
= CG2 -
EG2= 3．
故选：A．
14.【解析】
奔驰定理，OA
+ 2OB
+ 3OC
= 0⇒OA
⋅SΔBOC +
OB
⋅SΔAOC + OC
⋅SΔAOB = 0，
故S△AOB : S△AOC : S△BOC = 3 : 2 : 1，故选C．
15.【解析】
过点O 分别作OD ⊥AB 于点D，OE ⊥AC 于点
E，根据圆的性质可得D，E 分别为AB，AC 的
中点，AO
⋅BC
= AO
⋅(AC
- AB
) = (AE
+ EO
) ⋅
AC
- (AD
+ DO
) ⋅AB
== 1
2 (|AC
|2 - |AB
|2) = 1
2
(32- 12) = 4．
故选：C．
16.【解析】由于在ΔABC 中，OA
⋅OB
= OB
⋅
OC
，所以OB
⋅CA
= 0，即OB ⊥AC，
同理：OA ⊥BC，OC ⊥AB；所以O 为ΔABC
的垂心，连接BO 并延长交AC 于点E，如图所示：
由向量的投影可知：AB
⋅AC
= AO
⋅AC
= AO
⋅
AD
=
3
2 ，故选：C．
17.【解析】A，设BC 的中点为D，则AD
= 1
2
(AB
+ AC
)，
∵点O 为ΔABC 的重心，∴AO
= 2
3 AD
= 1
3 AB
+ 1
3 AC
，∴正确，
B，∵直角三角形ABC 满足A = 90°，∴ΔABC 的
外心O 为BC 的中点，
∴AO
= 1
2 AB
+ 1
2 AC
，∴正确，
C，∵直角三角形ABC 满足A = 90°，∴ΔABC 的
垂心O 与A 重合，∴AO
= 0，∴错误，
D，设直角三角形ABC 内切圆的半径为r，
∵1
2 r(AB + AC + BC) = 1
2 × AB × AC，∴r =
1，如下图，
∵OE = OF = 1，A = ∠OFA = ∠OEA = 90°，
∴四边形AEOF 为正方形，∴AE = AF = 1，
∴AO
= AE
+ AF
= 1
3 AB
+ 1
4 AC
，∴正确．
故选：ABD．
18.【解析】对于A：如图所示：因为D、E、F
分别为CA、AB、BC 的中点，
所以CP = 2 PE ，S ΔAEC = 1
2 S ΔABC , S ΔAPC =
2
3 SΔAEC = 1
3 SΔABC，同理可得SΔAPB = 1
3 SΔABC、
SΔBPC = 1
3 SΔABC，所以SΔPBC = SΔPAC = SΔPAB，又
因为SΔPBCPA
+ SΔPACPB
+ SΔPABPC
= 0，所以PA
+ PB
+ PC
= 0．正确；对于C ：因为AP
=
2
5 AB
+ 1
5 AC
，所以PA
=- 2
5 AB
- 1
5 AC
，所
以PB
= PA
+ AB
= 3
5 AB
- 1
5 AC
，所以PC
=
PA
+
AC
=-
2
5 AB
+
4
5 AC
，所以
SΔPBC - 2
5 AB
- 1
5 AC
+ SΔPAC 3
5 AB
- 1
5 AC
+
S
ΔPAB - 2
5 AB
+ 4
5 AC
= 0，化简得：
- 2
5 SΔPBC+ 3
5 SΔPAC- 2
5 SΔPAB
AB
+
·203·
- 1
5 SΔPBC- 1
5 SΔPAC+ 4
5 SΔPAB
AC
= 0，
又因为
AB
,
AC
不共线，所以
- 2
5 SΔPBC+ 3
5 SΔPAC- 2
5 SΔPAB=0
- 1
5 SΔPBC- 1
5 SΔPAC+ 4
5 SΔPAB=0
，
所
以
SΔPBC=2SΔPAB
SΔPAC=2SΔPAB
，
所
以
SΔABP
SΔABC
=
SΔPAB
SΔPBC+SΔPAC+SΔPAB
= 1
5 ，错误；对于B：记点
P 到AB、BC、CA 的距离分别为h1、h2、h3，
SΔPBC = 1
2 a ⋅h2 , SΔPAC = 1
2 b ⋅h3 , SΔPAB = 1
2 c ⋅h1，
因为SΔPBCPA
+ SΔPACPB
+ SΔPABPC
=
0，则1
2 a
⋅h2 ⋅PA
+ 1
2 b ⋅h3 ⋅PB
+ 1
2 c ⋅h1 ⋅PC
= 0，即a ⋅
h 2PA
+ b ⋅h 3PB
+ c ⋅h 1PC
= 0，又因为aPA
+
bPB
+ cPC
= 0，所以h1 = h2 = h3，所以点P 是
ΔABC 的内心，正确；对于D：因为P 是ΔABC
的外心，A = π
4 ，所以∠BPC = π
2 ，|PA
| = |PB
|
= |PC
|，所以PB
⋅PC
= |PB
| × |PC
| × cos∠BPC
= 0，
因为PA
= mPB
+ nPC
，则|PA
|2 = m2|PB
|2 +
2mnPB
⋅PC
+ n2|PC
|2，化简得：m2 + n2 = 1，由
题意知m、n 不同时为正，记m=cosα
n=sinα
，π
2 < α
< 2π，则m + n = cosα + sinα =
2 sin α+ π
4
，
因为3π
4 < α + π
4 < 9π
4 ，所以-1 ≤sin α+ π
4
<
2
2 ，所以-2 ≤
2 sin α+ π
4
< 1，所以m + n
∈[- 2 , 1)，正确．故答案为：ABD．
19.【解析】由正弦定理可知：|AB
|
sinC = |AC
|
sinB =
2R，R 为三角形的外接圆的半径，
所
以
动
点
P
满
足
OP
=
OA
+
λ
|AB| AB
sinC
+ |AC| AC
sinB
= OA
+ 2 λR ( AB
+
AC
)．
因为AB
+ AC
是以AB，AC 为邻边的平行四边形
的对角线A 为起点的向量，
经过BC 的中点，所以P 点的轨迹一定通过三角形
ABC 的重心．
20.【解析】
由OP
= OA
+ λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
⇒OP
- OA
= λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
⇒
AP
= λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
，又∵BC
AP
= λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
BC
=-|BC
|
+|BC
| = 0，
∴AP
⊥BC
，∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨
迹过ΔABC 的垂心
21. 【解析】设BC 的中点为D ，∵OP
=
OB
+OC
2
+ λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
，
∴OP
= OD
+ λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
，即
DP
= λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
，两端同时点乘
BC
，
∵DP
BC
= λ
AB
BC
|AB
|cosB
+ AC
BC
|AC
|cosC
=
λ
|AB
| |BC
|cos(π-B)
|AB
|cosB
+ |AC
| |BC
|cosC
|AC
|cosC
= λ(
-|BC
| +|BC
|) = 0，
∴DP ⊥BC，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即
P 经过ΔABC 的外心
22.【解析】∵|AB
|sinB = |AC
|sinC 设它们等于
1
t ∴OP
= OA
+ λt
AB
|AB| + AC
|AC|
而
AB
|AB| +
AC
|AC| 是两个单位向量的和，
λt
AB
|AB| + AC
|AC|
表示角平分线共线的向量
所以即P 的轨迹一定通过三角形的内心．
·204·
23.【解析】对于A 选项，重心为中线交点，AO
= λAB
+ μAC
= 1
3 AB
+ 1
3 AC
，所以λ + μ = 2
3
(根据等和线也能轻松得出)，故A 正确；
对于B 选项，根据内心定理，即4OA
+ 3OB
+
3OC
= 0，所以AO
= 3
4 OB
+ 3
4 OC
= 3
4 (AB
-
AO
) + 3
4 (AC
- AO
)，所以5
2 AO
= 3
4 AB
+
3
4 AC
，λ + μ = 3
5 ，故B 错误；
对于C 选项，外心为垂直平分线交点，即ΔABC
的外接圆圆心，因为AB = AC = 3，设D 为边BC
的中点，
所以AD
= 1
2 (AB
+ AC
)，且AD
=
32-22 =
5，根据垂径定理，BO
2 = BD
2 + OD
2，即R2
= 4 + ( 5 - R)2，解得：R = 9 5
10 ，因为AO
=
λAB
+ μAC
，根据等和线知识，所以λ + μ =
R
AD
= 9
10 ，故C 正确；
对于D 选项，垂心为高线交点，设BE ⊥AC，垂
足为边AC 上点E ，则B ，E ，O 共线，易知
cosB = cosC = 2
3 ，故CE
BC
= 2
3 ，所以CE
=
8
3 ，BE
= 4
3
5 ，利用相似三角形性质：OD
EC
= BD
BE
，所以OD
= 4
5
5 ，根据等和线知识λ
+ μ = AO
AD
=
5
5
5 = 1
5 ，故D 正确；故选：
ACD．
24.【解析】如图, 取BC 的中点D , 连接PD
, 则PD
2-
BC
2
4
≥P0D
2-
BC
2
4
,
所以PD
2≥P0D
2 , 即PD
≥P0D
.
故P0D ⊥AB , 且P0 是AB 的四等分点, 所以
AC = BC . 故选D.
25.【解析】因为2te1 + 7e2 与e1 + te2 的夹角为
钝角，所以
2te1+7e2
⋅e1+te2
< 0 ，且2te1
+ 7e2 与e1 + te2 不反向共线, 即2t2 + 15t + 7 < 0
, 解得-7 < t <- 1
2 .
若2te1 + 7e2 与e1 + te2 恰好反向共线，则2te1
+ 7e2 = λ e1+te2
, λ < 0 . 从而2t = λ , 7 = λt ,
即t =-
14
2
.综上, -7 < t <- 1
2
且t ≠-
14
2
.
26. 【解析】已知条件中a , b , c 是平面内的三个
单位向量，隐藏着条件: 这三个向量的模长都相等，
故
a+2c
= 2a+c
. 如此转换后，再使用向量
三角不等式就得心应手了.
因为
a
= c
, 由互换系数恒等式知a+2c
=
2a+c
,
所以a+2c
+ 3a+2b-c
= 2a+c
+ 3a+2b-c
≥5a+2b
=
52+22 =
29.
当2a + c 与3a + 2b - c 同向时取等号. 记向量
a = OA
, b = OB
, c = OC
. 如图6.5 - 1 , 向量
2a + c 与3a + 2b - c 同向是可以做到的, 故
a+2c
+ 3a+2b-c
的最小值为
29 .
7.1 常见空间几何体习题
1．【解析】由棱锥的定义：有一个面为多边形，
其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所
围成的几何体是棱锥，判断A 正确；
用一个平面去截棱锥，只有当平面与底面平行时，
棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以B 错误；
棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C 错误；
斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D 错
误．
故选：A．
2. 【解析】将正三棱锥S - ABC 的侧面沿侧棱SB
剪开并展开在同一平面内，如图，
·205·
连接BB'，当E，F 分别为BB' 与SA，SC 的交点
时，△BEF 的周长最小，
此时BB' =
2 ，而SB = SB' = 1，因为12 + 12 =
( 2)2，
所以SB 2 + SB'2 = 2 = BB'2，则∠BSB' = 90°，
∠ASB = 30°，
所以三棱锥的侧面积为3 × 1
2 SA × SB sin30° =
3
4 ．故选：A．
3. 【解析】作出正四棱台如下：
设点O，O1 分别是棱台上下底面的中心，分别取
边CD，C1D1的中点F，E，
设四棱台的高为OO1= h，
则h
3 (202 + 102 + 20 × 10) = 3500 7
3
，解得h =
5 7cm．
由图知，O1E = 1
2 B1C1= 10 , OF = 1
2 BC = 5，
设正四棱台的斜高EF =
h2+(OF-O1E)2 =
(5 7)2+52 = 10 2cm．
所以正四棱台的侧面积为：4 × 1
2 (20 + 10) ×
10 2 = 600 2cm2．故选：D．
4. 【解析】如下图所示：AB = DE = 1，AD = 1
2
× 2 = 1，BC = 4 × 1
2 = 2，
所以CD =
12+(2-1)2 =
2，
所以该四棱台的表面积为：22 + 42 + 4 × 1
2 × (2 +
4) ×
2 = 20 + 12 2，
故选：C．
5. 【解析】如图，
转动了45° 后，此时魔方相对原来魔方多出了16 个
小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角
形，
设直角边x，则斜边为
2x，
则有2x +
2x = 3，得到x = 3 - 3 2
2
，
由几何关系得：阴影部分的面积为S 1 =
1
2
3- 3 2
2
2
= 27
4 - 9 2
2
，
所以增加的面积为S = 16S 1 = 16 27
4 - 9 2
2
=
108 - 72 2．
故选：C．
6. 【解析】设正六多边形的边长为x，
则由题意可知：6 - 2x = x，
所以x = 2，所以每个正六边形的面积为
3
4
× 62
- 3 ×
3
4
× 22= 6 3，
所以所得的截角四面体的表面积为4 × 6 3 + 4 ×
3
4
× 22= 28 3，故选：C．
7. 【解析】由题意可得正三棱柱的外露的表面积
为2 ×
3
4
× 22+ (2 + 2) × 2 = 8 + 2 3，
四棱台外露的表面积为4 × 1
2 × ( 2 + 6 ) ×
42- 6-2
2
2
= 32 3，所以该结构的表面积为：
8 + 2 3 + 32 3 = 8 + 34 3，
故选：A．
8. 【解析】根据题意可得取出的干果质量与剩余的
干果质量之比为上下两正四棱台的体积之比，又上
下两正四棱台的高相等，设其为hcm，
又中间截面正方形的边长为20cm，设剩余的干果
的质量为tg，
则3800
t
=
1
3 ×(302+202+30×20)×h
1
3 ×(202+102+20×10)×h
，
解得t = 1400．故选：C．
·206·
9. 【解析】因为正三棱柱ABC - A1B1C1 所有棱长
为2，所以底面正△ABC 的面积S =
3
4
× 22 =
3，高h = 2，因为AP = PA1 = 2，所以AP = 1，
BQ = 2
3 ，CR = 4
3 ，
如图连接PB，PC，将几何体PQR - ABC 分为
VP-ABC 和VP-BQRC，
因为梯形BQRC 的面积S' = 1
2 (|BQ| +|RC |) ⋅
|BC| = 1
2
2
3 + 4
3
× 2 = 2，
四棱锥P - BQRC 以BQRC 为底面的高等于三角
形ABC 的高h1 = |AB|sin60° = 2 ×
3
2
=
3 ，所
以VP-BQRC = 1
3 × S' × h1 = 1
3 × 2 ×
3 = 2 3
3
，
又因为VP-ABC = 1
3 × S × |AP| = 1
3 ×
3 × 1 =
3
3 ，所以几何体PQR - ABC 体积为V = VP-ABC
+ VP-BQRC =
3
3
+ 2 3
3
=
3．
故选：C．
10. 【解析】因为一块边长为6 的正方形铁片上有
四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，
然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥
形容器，
所以形成的正四棱锥S - ABCD 如图所示，取BC
中点M，连接SM，OM，
由题易知SM 为等腰三角形SBC 的高，所以SM
= 3，设SO = h，Rt△SOM 中OM =
9-h2，
则AB = 2 9-h2 ，正四棱锥S - ABCD 的体积V
= 1
3 AB2h = 1
3 × 4(9 - h2)h，
令f(h) = (9 - h2)h = 9h - h3，其中
9-h2 ≤3 即
0 < h < 3，
正四棱锥S - ABCD 的体积最大即f(h) 取得最大
值，f(h) = 9 - 3h2= 3(3 - h2)，
令f'(h) = 0 得到h =
3，当0 < h <
3 时，f'(h)
> 0，当
3 < h < 3 时，f'(h) < 0，
所以f(h) 在(0 ,
3 ) 上单调递增，在( 3 , 3) 上单
调递减，
则f(h) 在h =
3 时，正四棱锥S - ABCD 的体积
最大．
故选：B．
11. 【解析】因为SD : DA = 2 : 1，所以SD =
2
3 SA，
又因为BE = SE，所以SE = 1
2 SB，
所以ΔSDE 的面积为：
S ΔSDE = 1
2 SD ⋅SE ⋅sin ∠ASB = 1
2 × 2
3 SA ×
1
2 SB × sin∠ASB = 1
3 SΔSAB．
又CF : FS = 2 : 1，所以SF : SC = 1 : 3，
设点F，C 到平面SAB 的距离分别为h1，h2，
所以h1: h2= 1 : 3，
所以VF-SDE : VC-SAB = 1
3 × 1
3 = 1
9 ．
所以这个容器最多可盛原三棱锥容器的1 - 1
9 =
8
9 ．故选：A．
12. 【解析】由题意知，余下几何体的表面积为
S = S 圆锥+ S 圆柱侧= π×2×4+π×22
+ 2π × 1 ×
22-12 = 12π + 2 3π．
故选：D．
13．【解析】如图1，在圆台的轴截面中作QH ⊥
OP 于点H．
设HP = x，由圆台O1O 的高为
15，QP 是母线，
·207·
O1Q = 3，OP = QP，
可得OP = QP = 3 + x，QH =
15，
由勾股定理可得15 = (3 + x)2 - x2，解得x = 1，所
以OP = QP = 4．
侧面展开图如图2，Q1Q2
的长为6π，P1P2
的长为
8π，
所以AQ1
AP1
= 6π
8π = 3
4 ，又P1Q1 = 4，所以AP1 =
16，
所以∠P1AP2 = 8π
16 = π
2 ，所以P1P2 =
2 AP1 =
16 2．
故选：D．
14. 【解析】由题意可知圆锥的轴截面是边长为2r
的正三角形，
则圆锥的高SO =
3r，如图，
由△SO1M ∽△SOB，可得1
4 = O1M
OB
= SO1
SO ，则
SO1= 1
4 SO，
∴OO1= 3
4 SO = 3 3r
4
，
圆柱侧面积S1= 2π ⋅r
4 ⋅3 3r
4
= 3 3
8
πr2，
圆锥侧面积S 2 = 1
2 ⋅2πr ⋅2r = 2πr 2，则S1
S2
=
3 3
8
× 1
2 = 3 3
16 ．
故选：C．
15 . 【解析】由图可知，圆台的母线l =
0⋅62+ 4.6-3
2
2
= 1m，
∴圆台的侧面积S侧= π r上+r下
l = π 3
2 + 4.6
2
×
1 = 3.8πm2，
故选：A．
16. 【解析】设圆台与圆柱的高分别为h1和h2，
则圆台的体积为V1 = 1
3 πh 1(22 + 62 + 2 × 6) =
52
3 πh1，
圆柱的体积为V2= πh2× 22= 4πh2；
由V1
V2
=
52
3 πh1
4πh2
= 26，得h1
h2
= 6，
所以h1: h2= 6 : 1．
故答案为：C．
17. 【解析】设圆锥OO2的母线为l，
由圆锥OO2的表面积与圆柱O1O2的表面积相等，
可得πr2+ πrl = 2πr2+ 4πr2，所以l = 5r，
所以圆锥的高h =
l2-r2 = 2 6r，
所以圆锥OO 2 的体积与圆柱O 1O 2 的体积比为
πr2h
3
πr2×2r = h
6r = 1
6r × 2 6r =
6
3 ．
故选：C．
18. 【解析】由题意圆锥底面与圆台下底面半径相
等，高相等，圆台体积为圆锥体积的7
4 倍，
可设圆台的上、下底面圆的半径分别为r1，r2，高
为h，
可得7
4 × 1
3 πr2
2h = 1
3 (πr2
1 + πr2
2 +
πr2
1×πr2
2)h，
解得r1
r2
= 1
2 , S上
S下
= r2
1
r2
2
= 1
4 ．
故选：A．
19. 【解析】过B 作BE ⊥CD 于点E，如图所示：
则DE = AB = 1，CE = CD - DE = 1．
由题意得，A、P、D 均为圆的切点，
由切线的性质得BP = AB = 1，CP = CD = 2，
所以BC = BP + CP = 3，
所以BE =
CB2-CE 2 = 2 2 ，所以AD = BE =
2 2，
所以球的半径为r =
2，球的体积为V1= 4
3 πr3，
圆台的体积为V2 = 1
3 (S + S' +
SS' ) ⋅2r = 1
3 (π
+ 4π +
4π2) ⋅2r = 7
3 π ⋅2r，
所以V2
V1
=
7
3 π⋅2r
4
3 π⋅r3 = 7
2r2 = 7
4 ．
·208·
故答案为：7 : 4．
20. 【解析】
( 1 ) 证明：因为四边形
ABCD 是正方形，
所以AC
= AB
+ AD
，
则CF
= CA
+ AE
+ EF
=- (AB
+ AD
) + AE
+
1
2 AB
=- 1
2 AB
- AD
+ AE
，
设CG = tCF
, t ∈[0 , 1]，则AG
= AC
+ CG
=
AB
+ AD
+ t - 1
2 AB
-AD
+AE
= 2-t
2
AB
+
(1 - t)AD
+ tAE
，
令
2-t
2
= λ+1
2
λ=1-t
1-λ=t
，得λ = 1 - t，所以λ ∈[0，1]．
即存在λ ∈[0，1]，使得AG
= λ+1
2
AB
+ λAD
+
(1 - λ)AE
，此时CG
= (1 - λ)CF
，即GF
= λCF
．
(2) 取AD 的中点M，取BC 的中点N，连接FN，
连接EM，则EM ⊥AD，FN ⊥BC，
因为AD ⎳BC，所以FN ⊥AD．
由AD = BC，AE = DE = BF = CF，得△ADE ≅
△BCF，
所以EM = FN．
连接MN，则MN ⎳AB，且MN = AB = 4，
因为AB ⎳EF 所以MN ⎳EF，且MN ≠EF，
所以四边形MNFE 是等腰梯形，所以AD ⊥平面
MNFE．
又AD 平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面
MNFE．
过E 作EO ⊥MN ，则由EO 平面MNFE，平面
ABCD平面MNFE = MN，
得EO ⊥平面ABCD．
因为E 到平面ABCD 的距离为2，所以EO = 2．
等腰梯形MNFE 中，EM =
MO2+EO2 =
MN
2
- EF
2
2
+EO2 =
5．
所以AE = BF =
EM 2+MA2 =
5+4 = 3．
过E 作EH ⊥AB，则AH = AB
2
- EF
2
= 1，
所以EH =
AE 2-AH 2 = 2 2．
将梯形ABEF 绕边AB 旋转一周可得两个相同的圆
锥及一个圆柱组成的组合体．
圆锥的高为AH = 1，底面半径为EH = 2 2，一个
圆锥的体积为V1= 1
3 π(2 2)2× 1 = 8π
3 ；
圆柱的高为AB - 2AH = 2，底面半径为EH =
2 2，圆柱的体积为V2= π(2 2)2× 2 = 16π．
体积为2V1+ V2= 16π
3
+ 16π = 64π
3
．
21. 【解析】(1) 证明：取AD 的中点O，连接PO，
因为△PAD 为等边三角形，且O 为AD 中点，所
以PO ⊥AD，
又平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD 平面
ABCD = AD，PO 平面PAD，所以PO ⊥平面
ABCD，
又AB 平面ABCD，因而PO ⊥AB，
因为AB ⎳CD，PD ⊥CD，所以PD ⊥AB，
由PO 平面PAD，PD 平面PAD，POPD = P，
所以AB ⊥平面PAD；
(2) 连接PC、OC，
由题(1) 可知，PO ⊥平面ABCD，所以PC 在平
面ABCD 内的投影为OC，
故∠PCO 是PC 与平面ABCD 所成的角，即
∠PCO = π
6 ，
由题易知PO =
6
2 ，tan∠PCO = PO
CO =
3
3 ，
则CO = 3 2
2
，
因为AB ⊥平面PAD，AB ⎳CD，所以CD ⊥平
面PAD，所以CD ⊥AD，
因此，CD =
CO2-OD2 = 2，PQ = 1
2 CD = 1，
取CD 的中点M，连接BM、QM，
·209·
则VPQABCD = VPAD-QBM + VQ-MBC = AB ⋅S △PAD +
1
3 CM ⋅S△QMB =
3
2
+
3
6
= 2 3
3
，
所以多面体PQABCD 的体积是2 3
3
．
22. 【解析】(1) 正四面体ABCD 的表面积为4 ×
3
4
× (6 2)2= 72 3，
依题意，得S1= 72 3 × 3
2 = 108 3；
S2= 108 3 × 3
2 = 162 3；
正四面体ABCD 的体积为1
3 × 18 3 × 4 3 = 72，
V1= 72 + 72 ×
1
2
3
× 4 = 108；
V2= 108 + 72 ×
1
2
6
× 6 × 4 = 135；
(2) 依题意每次操作后，几何体的表面积变为上一
次的3
2 倍，
故数列{Sn} 是首项为108 3，公比为3
2 的等比数
列，
所以Sn= 72 3 ⋅
3
2
n
；
依题意得Vn- Vn-1= 72 ×
1
8
n
× 6n-1× 4(n ≥2)，
所以Vn = 108 +
n
k=2
72 ×
1
8
k
× 6k-1 × 4 = 108 +
n
k=2
36 ×
3
4
k-1
= 108 + 108 1-
3
4
n-1
= 216 - 144 ×
3
4
n
⋅(n ≥
2)；
又当n = 1 时，216 - 144 ×
3
4
n
= 108 = V1，
故Vn= 216 - 144 ×
3
4
n
(n ∈N *)，
又{Sn} 为递增数列，且当n →+∞时，Sn →+∞；
{Vn} 为递增数列，
且当n →+∞时，Vn →216，所以当n →+∞时，
Sn
Vn
→+∞，
故由此解释，该结构吸附能力强．(或Sn
Vn
≥Sn
V1
，
故当n →+∞时，Sn
Vn
→+∞，类似说法亦可)；
(3) 存在，R 的最小值即为正四面体ABCD 的外接
球半径为3 3，理由如下：
过点A 作AG ⊥平面BCD 于点G，因为四面体
ABCD 为正四面体，故G 为△BCD 外心，即重心，
内心，垂心，则G 在DE 上，且DG = 2GE，同理
得F 在AE 上，且AF = 2FE ，则O 0 为四面体
ABCD 的外接球球心和内切球球心，设四面体棱长
为a，AO0= DO0= R0，GO0= FO0= r0，
则DG = 2
3 ×
3
2 a =
3
3 a，所以AG =
6
3 a，
则由
6
3 a-R0
2
+
3
3 a
2
= R 2
0 ，解得R 0 =
6
4 a，所以r0 =
6
3 a -
6
4 a =
6
12 a，记第1 次
操作后构造的任一正四面体T1(即四面体EHIJ) 的
外接球球心为O 1，连结O 0O 1，则JO 1 ⊥平面
EHI ，设垂足为F' ，AE HI = K ，则F' 为
△EHI 的外心，重心，垂心，故F' 在EK 上，且
EF' = 2
3 EK = 2
3 × 1
2 AE = 1
3 AE，故F' 与F 重
合，所以D，O0，O1，F，J 共线，则O0O1 ⊥平
面EHI，故O0O1=
6
12 a +
6
12
a
2 =
6
8 a，
记第2 次操作后在T1 上构造的任一正四面体T2 的
外接球球心为O2，连结O1O2，
依次类推，第n 次操作后在Tn-1 上构造的任一正四
面体Tn 的外接球球心为On，其任意顶点为Pn，连
结On-1On，OnPn. 则依题意得：|O0O1
| =
6
8
×
6 2 = 3 3
2
, |OnPn
| = 6 2 ×
1
2
n
×
6
4
= 3 3
2n ，
|On-1On
| =
6
12 × 6 2 ×
1
2
n-1
+
6
12 × 6 2 ×
·210·
1
2
n
=
6
12
× 6 2 ×
1
2
n-1
1+ 1
2
= 3 3
2
⋅
1
2
n-1
(n ≥1)，从而|O0O1
| +|O1O2
| +|O2O3
| + ⋯
+|On-1On
| +|OnPn
| = 3 3
2
⋅
1-
1
2
n
1- 1
2
+ 3 3
2n
=
3 3 ．又O0Pn
= O0O1
+ O1O2
+ O2O3
+⋯+On-1On
+ OnPn
，所以|O0Pn
| ≤|O0O1
| +|O1O2
| +|O2O3
|
+ ⋯+|On-1On
| +|OnPn
| = 3 3，故|O0Pn| ≤3 3，
即无论第几次迭代，Fn 的任意顶点到O0 的距离都
不会超过正四面体ABCD 的外接球半径，又O0P1
= 3 3，故R 的最小值即为3 3．
7.2 立体几何中的点线面的位置关系
1．【解析】在三棱锥P - ABC 中，∵PA ⊥平面
ABC，PA 平面PAB，平面PAB ⊥平面ABC；
∵PA ⊥平面ABC，PA 平面PAC，平面PAC ⊥
平面ABC；
∵PA ⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴BC ⊥PA，又AB ⊥BC，ABPA = A，AB，
PA 平面PAB，
∴BC ⊥平面PAB，BC 平面PBC，平面PBC ⊥
平面PAB；
∴平面ABC、平面PAB、平面PBC、平面PAC
中相互垂直的共有3 对．
故选：C．
2．【解析】已知直线m，n 与平面α，β，γ，
A：当m ⊥α，m ⊥β 时，α ⎳β，所以本选项不
符合题意；
B：当α ⊥γ，β ⊥γ 时，平面α，β 可以平行，所
以本选项不符合题意；
C：当m ⊥β，m ∈α 时，由面面垂直的判定定理
可得α ⊥β，所以本选项符合题意；
D：当αβ = n，m ∈α，m ⊥n 时，根据线面垂
直的判定定理，由m ⊥n 不一定能推出m ⊥β，
所以本选项不符合题意．
故选：C．
3．【解析】因为m，n 为空间两条不同的直线，
α，β 是空间两个不同的平面，
所以逐一分析各个选项如下：
选项A，若m ⎳α，n ⎳β，m ⎳n，
则平面α 与平面β 可能平行，可能相交，故A 选项
错误；
选项B，因为m ⊥α，n ⊥β，
所以直线m，n 分别是平面α，β 的法向量所在直
线，
又因为m ⊥n，所以两平面的法向量所在直线互相
垂直，故α ⊥β，故B 选项正确；
选项C，若m ⊥α，α ⎳β，则m ⊥β，又nβ，所
以m ⊥n，故C 选项错误；
选项D，若α ⊥β，αβ = m，m ⊥n，
则n 与α 的关系可能为：n ∈α，n ⎳α，n 与α 相
交(包括垂直与不垂直)，故D 选项错误．
故选：B．
4．【解析】a ∈α，b ∈β，a ⎳β，b ⎳α，
若a 与b 为异面直线，可以通过平移把两条异面直
线平移到一个平面中，成为相交直线，
则有α ⎳β，满足充分性；
反之，若α ⎳β，a ∈α，b ∈β，a ⎳β，b ⎳α，则
a 与b 平行或异面，故不满足必要性．
则“a 与b 为异面直线”是“α ⎳β”的充分不必要
条件．故选：A．
5．【解析】连接A1C1，AC ，则A1C1 ⎳AC ，
A1，C1，C，A 四点共面，
所以A1C 平面ACC1A1，因为M ∈A1C，所以M ∈
平面ACC1A1，
又M ∈平面AB1D1，所以M 在平面ACC1A1 与平
面AB1D1的交线上，
同理O 在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
所以A，M，O 三点共线．
选项A、B、D 均正确，选项C 错误．
故选：C．
·211·
6.【解析】(1) 证明：在ΔABC 中，作FH ⊥AB，
垂足为H，设AH = x，则HB = 2 - x，
因为FH ⎳CB，所以ΔAHF ∽ΔABC，所以AH
AB
= HF
BC ，即x
2 = HF
2 2 ，解得HF =
2x，
又因为∠BFH = ∠FBO，所以∠AOB = ∠FBH，
且∠BHF = ∠OBA = 90°，所以ΔBHF ∽ΔOBA，
所以HF
BH = AB
BO ，即
2x
2-x =
2
2 ，解得x = 1，
即AH = 1，所以H 是AB 的中点，F 是AC 的中
点，又因为E 是PA 的中点，所以EF ⎳PC，同
理，DO ⎳PC，所以EF ⎳DO，又因为EF ⊄平
面ADO，DO 平面ADO，
所以EF ⎳平面ADO；
(2) 过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为
PB = PC ，O 是BC 中点，所以PO ⊥BC ，在
ΔPBO 中，PB =
6 ，BO = 1
2 BC =
2 ，所以
PO =
PB2-OB2 =
6-2 = 2，因为AB ⊥BC，
OF ⎳AB，所以OF ⊥BC ，又PO OF = O，
PO，OF 平面POF，所以BC ⊥平面POF，又
PM 平面POF，所以BC ⊥PM ，又BC FM =
O，BC，FM 平面ABC，所以PM ⊥平面ABC，
即三棱锥P - ABC 的高为PM，
因为∠POF = 120°，所以∠POM = 60°，所以PM
= POsin60° = 2 ×
3
2
=
3，
ΔABC 的面积为SΔABC = 1
2 × AB × BC = 1
2 × 2 ×
2 2 = 2 2，
所以三棱锥P - ABC 的体积为V三棱锥P-ABC = 1
3 ×
2 2 ×
3 = 2 6
3
．
7. 【解析】(1) 证明：依题意，A'E ⎳D'F，A'E
⊄平面D'FC，D'F 平面D'FC，
则A'E ⎳平面D'FC，
又BE ⎳CF，BE ⊄平面D'FC，CF 平面D'FC，
则BE ⎳平面D'FC ，又A'E BE = E，A'E，
BE 平面A'EB，
所以平面A'EB ⎳平面D'FC；
(2) 由四边形ABCD 为等腰梯形，AB ⎳CD，EF
⊥AB，得EF ⊥CD，D'F ⊥EF，
又平面A'D'FE ⊥平面BCFE，平面A'D'FE 平
面BCFE = EF，D'F 平面A'D'FE，
则D'F ⊥平面BCFE，直线FD，FE，FD' 两两
垂直，建立如图所示的空间直角坐标系F - xyz，
点A(3，2，0)，B(-4，2，0)，A'(0，2，3)，
D'(0，0，1)，
得到AA'
= (-3 , 0 , 3) , AD'
= (-3 ,-2 , 1) , BD'
=
(4 ,-2 , 1) , BA'
= (4 , 0 , 3)，
设平面AA'D' 的法向量为m= (x1, y1, z1)，
则AA'
⋅m=-3x1+3z1=0
AD'
⋅m=-3x1-2y1+z1=0
，取x1= 1，
得m= (1 ,-1 , 1)，
设平面BA'D' 的法向量为n= (x2, y2, z2)，
则BA'
⋅n=4x2+3z2=0
BD'
⋅n=4x2-2y2+z2=0
，取x2= 3，
得n= (3 , 4 ,-4)，
可得m⋅n= 1 × 3 - 1 × 4 + 1 × (-4) =-5，|m| =
1+1+1 =
3，|n| =
9+16+16 =
41，
可得cos < m，n>=
m⋅n
|m|⋅|n|
=
-5
3×
41 =
- 5 123
123
，
所以平面AA'D' 与平面BA'D' 夹角的余弦值为
|cos < m，n> | = 5 123
123
；
(3) 点C，E，F，D' 四点在一个球面上，
由(2) 得该球可看成是以FC，FE，FD' 分别为
长、宽、高的长方体的外接球，
因此该外接球的直径为
12+22+22 = 3，
所以所求球的体积为V = 4
3 πR 3 = 4
3 π
3
2
3
=
9
2 π．
8. 【解析】(1) 证明：设AC BD = O，连接OP，
因为PA = PC，所以OP ⊥AC，
由正方形ABCD 知，AC ⊥BD，
又OPBD = O，OP、BD 平面PBD，
·212·
所以AC ⊥平面PBD，
而PD 平面PBD，所以AC ⊥PD，
由DP = 6，BP = 6 3 ，BD = 6 2 ，知BP 2 =
DP2+ BD2，即BD ⊥PD，
又AC BD = O，AC、BD 平面ABCD，
所以PD ⊥平面ABCD．
(2) 以D 为原点，DA，DC，DP 所在直线分别为
x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(3，0，3)，F(4，4，2)，G(0，3，3)，
设H(0，0，t)，t ∈(0 , 6)，
所以FH
= (-4，-4，t - 2)，FE
= (-1，-4，
1)，FG
= (-4，-1，1)，
因为平面EFG 与棱PD 交于点H，
所以不妨设FH
= λFE
+ μFG
，
即(-4，-4，t - 2) = λ(-1，-4，1) + μ(-4，
-1，1) = (-λ - 4μ，-4λ - μ，λ + μ)，
所以
-4=-λ-4μ
-4=-4λ-μ
t-2=λ+μ
，
解得λ + μ = 8
5 ，t = 18
5 ，
所以PH = 6 - t = 6 - 18
5 = 12
5 ．
9. 【解析】(1) 证明：因为AB = BC =
2 ，∠B
= 90°，所以AC = 2，
因为△ABC 是等腰直角三角形，
所以它的外接圆圆心是斜边AC 的中点，记为O，
因为D 在平面ABC 上的射影恰为△ABC 的外接圆
的圆心，
所以DO ⊥平面ABC，
又因为DO ∈平面ACD，
所以平面ABC ⊥平面ACD．
(2) 以O 为原点，直线OA 为x 轴，直线OB 为y
轴，直线OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(-1，0，0)，
B(0，1，0)，D(0，0，1)，
AB
= (-1 , 1 , 0)，AD
= (-1 , 0 , 1)，DC
= (-1 ,
0 ,-1)；
AM
= AD
+ DM
= AD
+ λDC
= (-1 - λ，0，1 -
λ)，
设平面DAB 的法向量为n= (x，y，z)，
则n⋅AB
=-x+y=0
n⋅AD
=-x+z=0
，
取x = 1，可得n= (1，1，1)，
设平面MAB 的法向量为m= (x0, y0, z0)，
则m⋅AB
=-x0+y0=0
m⋅AM
=(-1-λ)x0+(1-λ)z0=0
，
取x = 1，可得m= 1,1, 1+λ
1-λ
，
因为平面DAB 与平面MAB 夹角的余弦值为
2 2
3
，所以| cos < m, n> | = |m⋅n|
|m||n|
=
2+ 1+λ
1-λ
3×
2+
1+λ
1-λ
2 = 2 2
3
，
整理可得21λ2+ 2λ - 3 = 0，
解得λ = 1
3 或λ =- 3
7 (舍)．
10. 【解析】由于AB2+ AC2= BD2+ CD2= BC2，
所以AB ⊥AC，BD ⊥CD，
设E ，F 分别是CD，AC 的中点，连接EF ，
BE，BF，则AD ⎳EF，
所以异面直线BE 与AD 所成角为∠FEB(或其补
角)，
在△BEF 中，BE = BF =
22+12 =
5 ，EF =
1
2 AD = 1，
所以cos∠FEB = ( 5)2+12-( 5)2
2⋅
5⋅1
=
5
10 ，
所以异面直线BE 与AD 所成角的余弦值为
5
10 ．
·213·
故选：A．
11. 【解析】根据题意，以AB，AD，AP 分别为
x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
设AB = PA = 2，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E
(0，0，1)，D(0，2，0)，
PC
= (2，2，-2)，DE
= (0，-2，1)，
cos PC
, DE
=
-6
2 3×
5 =-
3
15 =-
15
5
，
则异面直线PC 与DE 所成角的余弦值为
15
5
．
故选：D．
12. 【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF，BC
⊥AB，BE ⊥AB，
且平面ABCD 平面ABEF = AB ，BC 平面
ABCD，
故CB ⊥平面ABEF，又BE 平面ABEF，
故BC ⊥BE，从而BC，AB，BE 两两垂直，建
立如图所示空间直角坐标系，
因为两个正方形ABCD，ABEF 的边长都是1，
则B(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，0，1)，F
(1，1，0)，E(0，1，0)，
因为CM = BN = a ，即M
a
2 ,0,1- a
2
，
N
a
2 , a
2 ,0
，
MN =
a
2 - a
2
2
+ 0- a
2
2
+ 1- a
2
2
=
a2-
2a+1，
MN =
a2-
2a+1 =
a-
2
2
2
+ 1
2 ，
当a =
2
2
时，MN 最小，最小值为
2
2 ；
即当M，N 为AC、BF 中点时，MN 最短，
则M
1
2 ,0, 1
2
，N
1
2 , 1
2 ,0
，
BA
= (1 , 0 , 0)，MN
= 0, 1
2 ,- 1
2
，
可得BA
⋅MN
= 1 × 0 + 0 × 1
2 + 0 × - 1
2
= 0，
所以BA
⊥MN
，即BA ⊥MN，
所以直线MN 和AB 夹角的余弦值是0．
故选：B．
13. 【解析】延长AB 至点E，使BE = AB，连接
SE，CE，OC，
∵D 是母线SA 的中点，∴SE ⎳BD，
∴∠CSE 或其补角是异面直线SC 与BD 的角，
∵圆锥的底面半径为2，∴OC = 2，OE = 3OB =
6，
∵C 是AB
的中点，∴OC ⊥OB，
在ΔCOE 中，CE =
OC2+OE 2 = 2 10，
∵SA = SB = AB = 4，
∴BD =
3
2 SB = 2 3，SE = 2BD = 4 3，
在ΔSCE 中，由余弦定理知，cos ∠CSE =
SC2+SE 2-CE 2
2SC⋅SE
= 16+48-40
2×4×4 3 =
3
4 ，
∴异面直线SC 与BD 所成角的余弦值为
3
4 ．
故选：A．
14.【解析】如图, 取CD 的中点F , 连接EF ,
AF . 因为△ADC 为正三角形, 所以CD 上平
面AEF , 所以平面ACD ⊥平面AEF.
又AF 2+ AE 2= EF 2 ，得AF ⊥AE.
因此AE ⊥平面ACD , 所以∠ADE 为ED
·214·
与平面ADC 所成的角, 其余弦值为2 5
5
.
15.【解析】G 为△ABC 的重心，
则PG
= PA
+ AG
= PA
+ 2
3 × 1
2 (AB
+ AC
) =
PA
+ 1
3 (AP
+ PB
+ AP
+ PC
) = 1
3 PA
+ 1
3 PB
+
1
3 PC
，
∴PM
= 1
2 PG
= 1
6 (PA
+ PB
+ PC
)．∴PM
=
1
6λ PD
+ 1
6μ PE
+ 1
3 PF
．
∵M ，D，E，F 四点共面，∴1
6λ + 1
6μ + 1
3 =
1，即1
λ + 1
μ = 4．
∵λ + μ = 1
4 (λ + μ)
1
λ + 1
μ
= 1
4
2+ μ
λ + λ
μ
≥
1
4
2+2
μ
λ ⋅λ
μ
= 1
4 × 4 = 1，当且仅当λ = μ =
1
2 时，等号成立，
∴λ + μ 的最小值为1．故选：C
16. 【解析】直线l ⎳平面α，且l 的一个方向向量
为a= (-1，2，m)，平面α 的一个法向量为b=
2，- m
2 ，m
，
∴a⋅b=-2 - 2 × m
2 + m2= 0，
解得m =-1 或m = 2．故选：C．
17. 【解析】设AB = a，则三棱锥A1 - ABD 的体
积为1
3 × 2 × 1
2 a2= 1
3 a2，
由球的表面积为4π，得球的半径r = 1，
又球与平面A1BD 只有1 个公共点，则球与平面
A1BD 相切，
所以点A 到平面A1BD 的距离为1．
在△A1BD 中，A1B = A1D =
a2+4，BD =
2a，
所以△A
1 BD 的面积为
1
2
×
2 a ×
(a2+4)-
1
2 a2
=
2
2 a ×
1
2 a2+4，
所以1
3 a2= 1
3 × 1 ×
2
2 a ×
1
2 a2+4，
解得a2= 8
3 ，即a = 2 6
3
．
以点D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为
x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D ( 0 ，0 ，0 ) ，B
2 6
3
, 2 6
3
,0
，
A1 2 6
3
,0,2
，E 0, 2 6
3
,1
，
所以DB
=
2 6
3
, 2 6
3
,0
，DA1
=
2 6
3
,0,2
，
DE
= 0, 2 6
3
,1
，
设平面BDE 的一个法向量为n= (x , y , z)，
则n⋅DB
n⋅DE
，则n⋅DB
=0
n⋅DE
=0
，即
2 6
3 x+ 2 6
3 y=0
2 6
3 y+z=0
，
取x = 3，则n= (3 ,-3 , 2 6)，
所以A 1 到平面BDE 的距离为d = |DA1
⋅n|
|n|
=
6 6
42 = 6 7
7
．故选：D．
18. 【解析】以点A 为坐标原点，AB、AD、
AA1 所在直线分别为x、y、z 轴建立如下图所示
的空间直角坐标系，
设AB = 2，则A(0，0，0)、B1(2，0，2)、M
(0，2，1)，
则AB1
= (2 , 0 , 2)，AM
= (0 , 2 , 1)，
设平面MAB1的一个法向量为m= (x , y , z)，
所以m⋅AB1
=2x+2z=0
m⋅AM
=2y+z=0
，取z =-2，
可得m= (2 , 1 ,-2)，
易知平面ABCD 的一个法向量为n= (0 , 0 , 1)，
可得m⋅n=-2，|m| =
4+1+4 = 3，|n| = 1，
所以cos < m，n>=
m⋅n
|m|⋅|n|
= -2
3×1 =- 2
3 ，
故平面MAB1与平面ABCD 的夹角余弦值是|cos <
·215·
m，n> | = 2
3 ．
故选：D．
19. 【解析】(1) 证明：因为在原正方形中E，F 分
别是AB，CD 的中点，
所以EF ⊥FD，EF ⊥FC，FDFC = F，
因为FD 平面DFC，FC 平面DFC，
所以EF ⊥平面DFC，
因为DM 平面DFC，
所以EF ⊥DM；
(2)EF ⊥FD，EF ⊥FC，
所以∠DFC 就是二面角A - EF - B 的平面角，即
∠DFC = 2π
3 ，
如图，以F 为原点，FE 为x 轴，FC 为y 轴，过
F 作垂直于平面BCFE 的直线为z 轴，建立空间直
角坐标系，
因为原正方形边长为4，E，F 分别是AB，CD 的
中点，
所以F(0，0，0)，E(4，0，0)，B(4，2，0)，
C(0，2，0)，
因为DF = 2，∠DFC = 2π
3 ，
所以D 0,2cos 2π
3 ,2sin 2π
3
，即D(0 ,-1 ,
3)，
因为AE ⎳DF，AE = 2，
可得FA
= FE
+ EA
= FE
+ FD
= (4 , 0 , 0) + (0 ,
-1 ,
3) = (4 ,-1 ,
3)，
即A(4 ,-1 ,
3)，
因为G 是AD 的中点，
可得FG
= 1
2 (FA
+ FD
) = 1
2 [(4 ,-1 ,
3 ) + (0 ,
-1 ,
3)] = (2 ,-1 ,
3)，
即G(2 ,-1 ,
3)，
设M(0，t，0) (0 ≤t ≤2)，即FM
= (0 , t , 0)，三
棱锥M - DFG 的体积为V，
因为∠DFC = ∠DFM = 2π
3 ，FM = t，DF = 2，
所以S△DFM = 1
2 × 2 × t × sin 2π
3 =
3
2 t，
因为DG = 2，EF ⊥平面DFM ，DG ⎳EF，V
=
3
3 ，
可得V = 1
3 × S △DFM × DG = 1
3 ×
3t
2
× 2 =
3t
3
=
3
3 ，
解得t = 1，即M(0，1，0)，
因为平面α 过直线AB 且与直线GM 平行，
设平面的法向量n= (a , b , c)，
因为AB
= (4 , 2 , 0) - (4 ,-1 ,
3) = (0 , 3 ,- 3)，
GM
= (0 , 1 , 0) - (2 ,-1 ,
3) = (-2 , 2 ,- 3)，
即
n⋅AB
=0
n⋅GM
=0
，即
3b-
3c=0
-2a+2b-
3c=0
，令a =
- 3，
即n= (- 3 , 2 3 , 6)，
因为平面BCFE 在z = 0 的平面上，
平面BCFE 的法向量m= (0 , 0 , 1)，
可得m⋅n= 6，|n| =
3+12+36 =
51 ，|m| =
1，
可得cos < m，n>=
m⋅n
|m|⋅|n|
=
6
1×
51
=
2 51
17
，
平面α 与平面BCFE 所成角θ，
可得cosθ = |cos < m，n> | = 2 51
17
．
20. 【解析】(1) 证明：设AC BD = O，连接
PO，过点C 作CM ⊥PO 于点M，
由平面PAC ⊥平面PBD，PO = 平面PAC 平
面PBD，CM 平面PAC，
故CM ⊥平面PBD，又BD 平面PBD，故CM ⊥
BD，
由PA ⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，故PA ⊥
·216·
BD，
又CM PA ≠，CM 、PA 平面PAC，故BD ⊥
平面PAC，
又PC 平面PAC，故BD ⊥PC；
(2) 由题意，以A 为原点，建立如图所示空间直角
坐标系，
则A(0，0，0)、D(0，1，0)、B( 3 , 0 , 0)、P
(0 , 0 ,
3)，
设C(m，n，0) (m，n > 0)，则PC
= (m , n ,
- 3)，又BD
= (- 3 , 1 , 0)，
则由BD ⊥PC 可得PC
⋅BD
=- 3m + n = 0，即
n =
3m，
由四棱锥P - ABCD 的体积为2，即VP-ABCD = 1
3
⋅(S△ABD + S△BCD) ⋅PA = 2，
则1
3 ⋅
1
2 ⋅AB⋅AD+S△BCD
⋅PA = 2，则S△BCD =
3 3
2
，
BC
= (m -
3 , n , 0)，
则
cos
∠
DBC
=
BD
⋅BC
|BD
|⋅|BC
|
=
3-
3m+n
3+1⋅
(m-
3)2+n2 =
3
2 4m2-2 3m+3
，
故sin ∠DBC =
1-
3
2 4m2-2 3m+3
2
=
1-
9
4(4m2-2 3m+3) ，
故S△BCD = 1
2 |BD
| ⋅|BC
| ⋅sin ∠DBC = 1
2 |BD
| ⋅
|BC
| ⋅
1-
9
4(4m2-2 3m+3)
=
1
2
×
2 4m2-2 3m+3
⋅
1-
9
4(4m2-2 3m+3) =
16m2-8 3m+3
2
=
3 3
2
，
整理得2m2 -
3 m - 3 = (2m +
3 ) (m -
3 ) =
0，
解得m =
3(负值舍去)，
故n =
3m = 3，即C( 3 , 3 , 0)，则BC
= (0 , 3 ,
0)，
PC
= ( 3 , 3 ,- 3)、DC
= ( 3 , 2 , 0)，
设平面PBC 与平面PCD 的法向量分别为m= (x1 ,
y1, z1)、n= (x2, y2, z2)，
则
有
m⋅BC
=3y1=0
m⋅PC
=
3x1+3y1-
3z1=0
，
n⋅DC
=
3x2+2y2=0
n⋅PC
=
3x2+3y2-
3z2=0
，
取x1 = x2 = 1，则y1 = 0、z1 = 1，y2 =-
3
2 ，z2
=- 1
2 ，
即可取m= (1 , 0 , 1)、n= 1,-
3
2 ,- 1
2
，
可得m⋅n= 1 × 1 + 0 × -
3
2
+ 1 × - 1
2
=
1
2 ，|m| =
1+0+1 =
2 ，|n| =
1+ 3
4 + 1
4 =
2，
可得cos < m，n>=
m⋅n
|m|⋅|n|
=
1
2
2×
2 = 1
4 ，
故平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值为|cos <
m，n> | = 1
4 ．
21.【解析】容易求得AN = CM = 2 2 ，MN =
7
，
cos
<
AN
,
CM
>=
(AM 2
+CN 2
)-(AC2
+MN 2
)
2 AN
⋅CM
= 7
8 ．
22. 【解析】设QM = t ∈[ 0 ，1 ] ，cosθ =
EF 2+AM 2-AE 2-MF 2
2EM⋅AF
=
1
2 +1+t2- 1
4 -1- t- 1
2
2
2⋅
5
4 +t2⋅
5
2
=
t
5⋅
5
4 +t2 ≤2
5 ，
当且仅当t = 0 时等号成立.
·217·
故答案为：2
5 ．
23.【解析】设正四面体的棱长为1，则CP = t，
PD = 1 - t，
cosα
=
|AC
|2+|PB
|2-|AB
|2-|PC
|2
2|AP
||BC
|
=
|PB
|2-|PC
|2
2|AP
|
，
cosβ
=
|AD
|2+|PB
|2-|AB
|2-|PD
|2
2|AP
||BD
|
= |PB
|2|-|PD
|2
2|AP
|
，
所以cosα - cosβ = |PD
|2-|PC
|2
2|AP
|
= 1-2t
2|AP
|
.
又α，β ∈(0 , π
2 ]，故选D.
24.【解析】易知AC⊥BD
PA⊥BD
⇒BD ⊥面PAC ⇒
面BDE ⊥面PAC，A 正确；
AE⊥PB
AE⊥BD
⇒AE ⊥面PBD , 设BD 交AC 于点F，
连接PF，易知AE ⊥PF 于G，设AP = x，在平
面PAC 内，此时AE
= 2，x
2
，PF
= (3，-x)，
所以AE
⋅PF
= 6 - x2
2 = 0，所以AP = 2 3 ，B
正确；
针对CD，法一(三正弦)：设二面角B - PC - A
为θ , 则由鳖臑(直三面角) 基本关系得：sinθ =
sin∠BCA
sin∠BCP =
3
2
6
7
=
14
4
，cosθ =
2
4
, 所以二
面角B - PC - A 的正弦值为sin2θ = 2sinθcosθ =
7
4 .
如上图右，设二面角B - AE - C 为φ. 则由鳖臑
(直三面角) 基本关系得：sinφ = sin∠BAC
sin∠BAE =
1
2 × 1
2
2
7 × 1
2
=
7
4 ，cosφ = 3
4 . 所以二面角B - AE
- D 的正弦值为sin2φ = 2sinφcosφ = 3 7
8
，
法二：设二面角B - PC - A 为θ , 过B 作BH ⊥
AC 于H ，易知B 在平面APC 的射影为H ，CH
= BC2
AC
= 1 ，所以cosθ = SPHC
SPBC
= HC⋅PA
BC⋅PB =
1⋅2 3
2⋅2 6 =
2
4 ，所以二面角B - PC - A 的正弦值
为sin2θ = 2sinθcosθ =
7
4 .
设二面角B - AE - C 为φ，AE = BE =
7，易求
得SAEB = 2 3 ，cosϕ = SAEH
SAEB
=
1
2 ⋅AH⋅1
2 PA
2 3
=
3
2 ⋅
3
2 3
= 3
4 , 所以二面角B - AE - D 的正弦值为
sin2φ = 2sinφcosφ = 3 7
8
C 错误；D 正确.
故选ABD.
25.【解析】如中图，作QF ⎳AD ⎳PE , 根据平面
几何知识易得QF = PE = 1
4 AD，所以PQ ⎳EF，
所以PQ ∥平面BCD ，A 正确；由于BC ⊥面
ADC，所以二面角B - MC - D 的大小为90°，B
错误；
对于C, 法一(三正弦三余弦定理)：由于MD ⊥
平面BCD，故二面角B - MCD 是“直三面角”，
见图右，设C - BM - D 的平面角φ = 60 ° ，
∠DBC = α，∠MBC = θ.∠MBD = β. 则由“直三
面角”基本关系得：sinφ = sinα
sinθ =
3
2 ，所以
sinθ = 2 3
3
sinα . 根据三余弦定理，cosθ =
cosαcosβ = 2 2
3
cosα ，sin 2 θ + cos 2 θ = 1 . 即
12
9 sin2α + 8
9 cos2α = 1，即sin2α = 1
4 ，sinα = 1
2 .
所以α = 30°，所以∠BDC = 60°.
·218·
法二(面积射影定理)：过C 作CH ⊥BD 于H，易
知C 在平面MBD 的射影为H ，令∠BDC = α，
BH = BCsinα = BDsin2α = 2 2sin2α，所以cos60°
= SBHM
SBMC
= HB⋅MD
BC⋅MC =
2 2sin2α
2 2sinα⋅
1+8cos2α
=
1
2 ，所以4sin2α - 8cos2α = 1，sin2α = 3
4 ，所以
∠BDC = 60°.C 正确；
V = 1
3 × 1
2 × BC × BDsin30° × AD = 2 3
3
, D 正
确；故选ACD.
7.3 常考几何体性质
1. 【解析】连AO，并延长交BC 于D，顶点P 在
底面的射影O 为ABC 的垂心，所以AD ⊥BC，
又PO ⊥平面ABC，所以PO ⊥BC，因为AD ∩
PO = O，所以BC ⊥面ADP，可得BC ⊥PA，
BC ⊥PD．同理AC ⊥PB，AB ⊥PC．由S△ABC
⋅S△OBC = S2
△PBC，可得AD ⋅OD = PD2，且∠PDO
= ∠PDA，所以△POD ∽△APD，所以∠APD =
∠POD = 90°，所以PA ⊥PD，又PA ⊥BC，BC
∩PD = D，所以AP ⊥面PBC，所以PA ⊥PB，
又PB ⊥AC ，且AP ∩AC = A，所以PB ⊥面
APC，即可得PB ⊥PC，故PA，PB，PC 两两
互相垂直，所以三棱锥P - ABC 的外接球为以
PA，PB，PC 为棱的长方体的外接球，又三棱锥
P - ABC 的外接球半径为
3 ，所以∴PA2 + PB2
+ PC 2 = 12，则S△PAB + S△PBC + S△PAC = PA⋅PB
2
+ PB⋅PC
2
+ PA⋅PC
2
≤PA2+PB2
4
+ PB2+PC2
4
+ PA2+PC2
4
= 6．所以S△PAB + S△PBC + S△PAC 的最
大值为6，当且仅当PA = PB = PC = 2 时，等号
成立．故选：A．
2. 【解析】
如图，O1 是A 在底面的射影，由正弦定理得，
△BCD 的外接圆半径r1=
3
sin60° × 1
2 =
3；
由勾股定理得棱锥的高AO1 =
(2 3)2-
3 2 = 3；
设球O 的半径为R，则R2= (3 - R)2+
3 2，
解得R = 2，所以OO1 = 1；在△BO1E 中，由余弦
定理得O1E 2= 1 + 3 - 2 × 1 ×
3 ×
3
2
= 1，
所以O1E = 1；所以在△OEO1 中，OE =
2 ；当
截面垂直于OE 时，截面面积最小，此时半径为
R2-OE 2 =
2，截面面积为2π．故选：A．
3. 【解析】当△PAD 翻折至与平面ABCD 垂直时，
四棱锥P- ABCD 的体积最大．
因为平行四边形ABCD 面积不变，四棱锥P-
ABCD 的高最大时，该几何体的体积最大.
因为PH = 1
2 AD，所以VP′-ABCD = 1
3 ⋅AB ⋅AD ⋅
P′H = 16
3 ，因为AB = 4，所以2
3 AD2 = 16
3 ，所
以AD2 = 8，则AD = 2 2，此时r1 = 1
2 AD =
2 ,
r2 = 1
2 AC =
6 ，l = AD = 2 2 ，R2 = r1
2 + r2
2 -
l2
4 = 2 + 6 - 2 = 6 则R =
6 ，所以四棱锥P-
ABCD 外接球的表面积4πR2 = 4π × 6 = 24π，故
选：C．
·219·
4. 【解析】
取AC 中点E，由AD ⊥CD，则点E 为△ACD 外
心，所以m = 0，连接BE，取线段BE 上靠近E
点的三等分点M，由△ABC 是正三角形，则点M
为△ABC 外心，所以n = EM
=
3，l = AC
=
6，R2= m2+n2-2mncosα
sin2α
+ l2
4 =
3
sin2α + 9 ∈
[12，21]，即四面体ABCD 的外接球半径的取值
范围为2 3,
21
.
故答案为：2 3,
21
.
5. 【解析】法一：如下图，EF ⎳CD1⎳BA1，即
B , E , F , A1四点共面，要使四面体BEFM 的体积
最大，只需M 点离平面BEFA1最远即可，显然点
D、线段CD1上点到平面BEFA1距离都相等，构
建下图空间直角坐标系D - xyz，则E(0 , 1 , 0) , F
(0 , 0 , 1) , B(2 , 2 , 0)，所以EF
= (0 ,-1 , 1) , EB
=
(2 , 1 , 0)，若面BEFA1的一个法向量为m= (x , y ,
z)，则EF
⋅m=-y+z=0
EB
⋅m=2x+y=0
，令y = 2，则m= (-1
, 2 , 2)，而C(0 , 2 , 0) , C1(0 , 2 , 2) , A(2 , 0 , 0) , B1
(2 , 2 , 2)，则AB
= (0 , 2 , 0)，EC
= (0 , 1 , 0)，
EC1
= (0 , 1 , 2)，BB1
= (0 , 0 , 2)，
所以A 到面BEFA1距离为|m⋅AB
|
|m|
= 4
3 ，C 到面
BEFA1距离为|m⋅EC
|
|m|
= 2
3 ，C1到面BEFA1距离
为|m⋅EC1
|
|m|
= 2，B1到面BEFA1距离为|m⋅BB1
|
|m|
= 4
3 ，综上，正方体的表面上C1到面BEFA1距离
最远，故四面体BEFM 的体积最大，M 与C1重
合，
首先确定△EFC1外接圆圆心O1坐标，将△EFC1
置于如下直角坐标系中，则C1(2 , 2) , F(0 , 1) , E(1
, 0)，则O1是直线DC1: y = x 与FC1的垂直平分线
l 的交点，由kFC1= 1
2 ，则kl =-2，且FC1中点为
1, 3
2
，故l : y - 3
2 =-2(x - 1)，即l : 4x + 2y -
7 = 0，联立y=x
4x+2y-7=0
⇒
x= 7
6
y= 7
6
，即
O1 7
6 , 7
6
对应到空间直角坐标系
坐标为
O1 0, 7
6 , 7
6
，由四面体BEFM 的外接球球心O
在过O1垂直于面EFC1的直线上，设
O n, 7
6 , 7
6
，由|OB| = |OE|，即
(2-n)2+
5
6
2
+
7
6
2
=
n2+
1
6
2
+
7
6
2
，
所以n = 7
6 ，
故外接球半径为
7
6
2
+
1
6
2
+
7
6
2
=
11
4 ，
故外接球的表面积为4π ×
11
4
2
= 11π.
法二(鳄鱼公式)：延长A1F 与BE 交于G，易得
AD = DG = 2 , A1G = BG = 2 5，A1B = 2 2，h
=
AG2- A1B
2
2
= 3 2 ，SGA1B = 2 2⋅h
2
= 6，
易知C1 到面BEF 距离最远，四面体BEFM 的体积
最大，M 与C1 重合，利用面积射影定理可得cosα
=
SAA1B
SGA1B
= 1
3 ，取EF 中点M ，A 1B 中点N ，
MN
= h
2 = 3 2
2
，如图所示，则m2 +
2
2
2
=
·220·
3
2
2-m
2
+ (
2 ) 2 ，解的m =
2 ，同理
3 2
2
-n
2
- n2=
2
2
2
，n = 2 2
3
，
R2 = m2+n2-2mncosα
sin2α
+ l2
4 = 11
4 ，故外接球的
表面积为4πR2= 11π. 故答案为：11π
6．【解析】对于A，由已知，堑堵BCC1 - ADD1
的体积即为长方体ABCD - A1B1C1D1 的体积的一
半，
所以堑堵BCC1 - ADD1 的体积为1
2 × 3 × 4 × 5 =
30，故A 正确；
对于B，由于C1B ⊥AB，CB ⊥AB，AB 在平面
ABCD 内，
所以C 1 B 与平面ABCD 所成角的正弦值为
sin∠C1BC = |C1C|
|C1B| =
5
41 = 5 41
41
，故B 错误；
对于C，记长方体ABCD - A1B1C1D1的中心为O，
则O 到长方体ABCD - A1B1C1D1 的每个顶点的距
离都是体对角线长的一半，
即1
2
9+16+25 = 5 2
2
，
故以O 为球心，半径为5 2
2
的球同时经过堑堵
BCC1- ADD1的每个顶点，
故是堑堵BCC1- ADD1的外接球，
从而堑堵BCC 1 - ADD 1 的外接球表面积S =
4π 5 2
2
2
= 50π，故C 正确；
对于D，假设堑堵BCC1 - ADD1 有内切球，设该
内切球的球心为I，半径为r，
则I 在堑堵BCC1 - ADD1 内部，且到堑堵BCC1 -
ADD1的每个面的距离都是r，
所以堑堵BCC 1 - ADD 1 的体积等于四棱锥I -
ABCD、四棱锥I - ABC1D1、三棱锥I - BCC1 和
三棱锥I - ADD1、四棱锥I - CDD1C1的体积之和，
记矩形ABCD、矩形ABC1D1、三角形BCC1 和三
角形ADD1、矩形CDD1C1 的面积分别为S1，S2，
S3，S4，S5，
则S1 = 3 × 4 = 12，S2 = 3 ×
41 = 3 41，S3 = 1
2
× 4 × 5 = 10，S4 = 1
2 × 4 × 5 = 10，S5 = 3 × 5 =
15，
同时，堑堵BCC 1 - ADD 1 是对长方体ABCD -
A1B1C1D1一分为二得到的，
故堑堵BCC 1 - ADD 1 的体积是长方体ABCD -
A1B1C1D1的一半，
从而堑堵BCC1 - ADD1 的体积V0 = 1
2 × 3 × 4 × 5
= 30，这就说明：
r
=
1
3 r(S1+S2+S3+S4+S5)
1
3 (S1+S2+S3+S4+S5)
=
1
3 rS1+ 1
3 rS2+ 1
3 rS3+ 1
3 rS4+ 1
3 rS5
1
3 (S1+S2+S3+S4+S5)
=
V0
1
3 (S1+S2+S3+S4+S5)
=
3V0
S1+S2+S3+S4+S5
=
90
47+3 41 ，
但是I 到平面BCC1 和平面ADD1 的距离相等，且
平面BCC 1 和平面ADD 1 是长方体ABCD -
A1B1C1D1的一组对面，
故它们平行，且距离为|AB| = 3，
所以I 到平面BCC1 和平面ADD1 的距离都等于平
面BCC1和平面ADD1距离的一半，
从而r = 3
2 ，
这就导致了矛盾，所以堑堵BCC1 - ADD1 不存在
内切球，故D 正确．
故选：ACD．
7.【解析】因为圆台上下底面半径分别为r = 4，
R = 2，且圆台存在内切球，
根据圆台内切球性质，母线长l = r + R = 4 + 2 =
6，
由勾股定理，圆台的高h = O1O2 满足：h2 + (r -
R)2= l2，代入得h2= 62- 22= 32，
即h = 4 2．
以O1 为原点，以O1A 所在直线为x 轴，以过O1 与
O2B 平行的直线为y 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则O 1(0，0，0)，A(-4，0，0)，B (0 , 2 ,
-4 2)，O2(0 , 0 ,-4 2)，
·221·
平面O1O2A 即为y = 0(xOz 平面)，点B 到平面
O1O2A 的距离d = |yB| = 2；
|AB| =
(-4-0)2+(0-2)2+(0+4 2)2 = 2 13，
设直线AB 与平面O1O2A 所成角为θ，
由线面角定义可知sinθ =
d
|AB| =
2
2 13 =
13
13 ．
故选：D．
8. 【解析】以内切球的球心为顶点、正八面体的八
个面为底面，可将正八面体分为8 个全等的正三棱
锥，
设内切球的半径为r，则根据等体积算法可得
8V三棱锥= V正八面体= 2V正四棱锥，
且正四棱锥的高为图中CO，易得CO =
2，
即：8 × 1
3 ×
1
2 ×2×2×
3
2
⋅r = 2 × 1
3 × (2 ×
2) ×
2，
解得r =
6
3 ，∴内切球的表面积为4πR2= 8π
3 ，
故选：C．
9．【解析】设正四面体ABCD 的高为h，表面积
为S，
由VA-BCD = 1
3 S ⋅r1= 1
3 S△BCD ⋅h，
则S = 4S△BCD，可得h = 4r1=
6
3 a，
AO1= 3r1，由小球On与小球On-1外切，
且与平面ABC，ACD，ABD 相切，
可得球心On到顶点A 的距离AOn= 3rn，
所以2r1+ 4r2= h，
2r1 + 2r2 + 4r3 = h，
，2r1 + 2r2 + 2r3 ++ 4rn-1
= h ①，
2r1+ 2r2+ 2r3++ 2rn-1+ 4rn= h ②，
②- ①可得rn = 1
2 rn-1 =
1
2n-1 r1 =
1
2n-1 ⋅
6
12 a =
6
3⋅2n+1 a．
故答案为：
6
3⋅2n+1 a．
10.【解析】如图，正三棱柱ABC - A1B1C1 的高
等于1，
设上底面中心为O1，下底面中心为G，连接O1G，
则球O 的球心O 在O1G 的中点上，设球O 切棱
AA1于F，切棱BC 于E，
则F、E 分别为所在棱的中点，设底面边长为a，
则OF = AG =
3
3 a，
GE =
3
6 a，又OG = 1
2 ，∴OE =
1
4 + a2
12 ，
∴
3
3 a =
1
4 + a2
12 ，解得a = 1．
则球O 的半径为R =
3
3 ，球的体积V = 4
3 π ×
3
3
3
= 4 3π
27
．故选：B．
11.【解析】如图，正方体ABCD - A1B1C1D1 中，
棱长为2，四面体A1BDC1 是棱长为2 2 的正四面
体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为
正方体的内切球，半径为1，该球的体积为4π
3 ，
正四面体的体积为8 - 4 × 1
3 × 1
2 × 2 × 2 × 2 = 8
- 16
3 = 8
3 ，则该球与此正四面体的体积之比为
4π
3
8
3
= π
2 .
12. 【解析】因为在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，
点P 在线段B1C 上运动，
所以逐一分析各个选项如下：
对于A，连接AB1，AC，
·222·
由题意可得AB1⎳DC1，AC ⎳A1C1，
因为DC1平面A1DC1，AB1⊄平面A1DC1，
所以AB1⎳平面A1DC1，
同理可证AC ⎳平面A1DC1，又AC AB1= A，
所以平面ACB1⎳平面A1DC1，又AP 平面ACB1，
所以AP ⎳平面A1C1D，故A 正确；
对B 选项，建系如图：
设正方体的棱长为a，
则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D
(0，0，0)，A1(a，0，a)，B1(a，a，a)，C1
(0，a，a)，D1(0，0，a)，
所以A1C1
= (-a , a , 0)，D1B
= (a , a ,-a)，A1D
= (-a , 0 ,-a)，
所以A1C1
⋅D1B
= 0，D1B
⋅A1D
= 0，
即D1B ⊥A1C1，D1B ⊥A1D，又A1D A1C1 =
A1，
所以D1B ⊥平面A1C1D，又D1B 平面BC1D1，
所以平面BC1D1⊥平面A1C1D，
所以当点P 为B1C 中点时，B，C1，P 三点共线，
此时P ∈BC1平面BC1D1，
所以平面PBD1⊥平面A1C1D，故B 错误；
设P(m，a，m)，m ∈[0，a]，
则C1P
= (m , 0 , m - a)，
取平面A1C1D 的法向量为D1B
= (a , a ,-a)，
设直线C1P 与平面A1C1D 所成角为θ，
则
sin
θ
=
| cos
C1P
,
D1B
|
=
a2
3a⋅
m2+(m-a)2
=
1
3⋅
2 m
a
2-2⋅m
a +1
=
1
3⋅
2 m
a - 1
2
2+ 1
2
，
因为m ∈[0，a]，
所以m
a ∈[0 , 1]，
所以2 m
a - 1
2
2
+ 1
2
min = 1
2 ，
所以
1
3⋅
2 m
a - 1
2
2+ 1
2
≤
1
3⋅
1
2
=
6
3 ，
即直线C1P 与平面A1C1D 所成角的正弦值的最大
值为
6
3 ，故C 正确；
当a = 1 时，易知△A1C1D 为边长为
2 的等边三角
形，
此时P(m，1，m)，m ∈[0，1]，D1B
= (1 , 1 ,
-1)，DP
= (m , 1 , m)，
设点P 到平面A1C1D 的距离为d，
则d = | DP
| ⋅| cos DP
, D1B
| = | DP
| ⋅
|DP
⋅D1B
|
|DP
|⋅|D1B
|
= |DP
⋅D1B
|
|D1B
|
= |m+1-m|
3
=
1
3 ，
当点P 与点C 重合时，DP 取最小值，最小值为
1，
此时截面的半径r 取最小值，且为
DP2-d2 =
1- 1
3 =
2
3 ，
所以截面面积的最小值为πr2= 2π
3 ，故D 正确．
故选：ACD．
13. 【解析】如图：
对于选项A：设平面PBD1 交棱CC1 于点Q，连接
D1Q，BQ．
因为平面ADD1A1 ⎳平面BCC1B1，平面PBD1
平面ADD1A1= PD1，
平面PBD1平面BCC1B1= BQ，
所以PD1⎳BQ．
同理PB ⎳D1Q，所以四边形PBQD1 为平行四边
形，即截面是平行四边形，故A 正确；
对于选项B：因为A1P
PA = 2
3 ，AA 1 = 1，所以
·223·
A1P = 2
5 ，PA = 3
5 ．
又△A 1PD 1 和△CQB 中，∠D 1A 1P = ∠BCQ =
90°，A1D1= CB，PD1= QB．
所以△A1PD1≅△CQB，
所以CQ = A1P = 2
5 ，C1Q = 3
5 ，
连接A1B，C1B，
则V1= VB-A1B1C1D1+ VB-A1PD1+ VB-C1D1Q，
VB-A1PD1= 1
3 S△A1PD1⋅AB = 1
3 × 1
5 × 2 = 2
15 ，
VB-C1D1Q = 1
3 S△C1D1Q ⋅BC = 1
3 × 3
5 × 1 = 1
5 ，
且VB-A1B1C1D1 = 1
3 S四边形A1B1C1D1 ⋅BB1 = 1
3 × 2 × 1 =
2
3 ，
所以V1= 2
3 + 2
15 + 1
5 = 1，又VABCD-A1B1C1D1= 2，
所以V2= 1，所以V1
V2
= 1，故B 错误；
对于选项C：假设存在点P，使得截面为长方形．
设PA = t，则PB = 1 - t，0 < t < 1．
由∠BPD1= 90° ⇒BP2+ D1P2= D1B2，
即(t2 + 4) + [1 + (1 - t)2] = 1 + 1 + 22 ⇒t(t - 1) =
0 ⇒t = 0 或t = 1．
这与0 < t < 1 矛盾，所以假设错误．故不存在点
P，使得截面为长方形．即C 错误；
对于选项D：设PA = t，0 < t < 1，
则PB =
t2+4 ，D 1 P =
1+(1-t)2 =
t2-2t+2，
在△BD 1 P 中，由余弦定理，cos ∠BPD 1 =
PB2+D1P2-D1B2
2⋅PB⋅D1P
=
t2-t
t2+4⋅
t2-2t+2
，
所以
sin ∠BPD
1
=
1-cos2∠BPD1
=
5t2-8t+8
t2+4⋅
t2-2t+2
．
所以S △BD1P = 1
2 ⋅PB ⋅D 1 P ⋅sin ∠BPD 1 =
1
2
5t2-8t+8．
所以截面四边形的面积为2S△BD1P =
5t2-8t+8，
所以当t = 4
5
时，截面的面积最小，为
5× 16
25 -8× 4
5 +8 =
24
5 = 2 30
5
. 故D 正确．
故选：AD．
14. 【解析】易知AB ⊥平面BCC1B1，CD ⊥平
面BCC1B1，
因为点P 到AB 的距离是到CD 距离的两倍，所以
BP = 2PC．
以B 为原点，BC，BB1 所在直线分别为x，y 轴
建立平面直角坐标系，
则C(2 , 0)，设P(x，y) (0 < x < 2，0 < y < 2)，
由BP = 2PC，得x2 + y2 = 4[(x - 2)2 + y2]，整理
得x- 8
3
2
+ y2= 16
9 ，
所以点P 的轨迹是以G 8
3 ,0
为圆心，4
3 为半径
的圆在正方形BCC1B1内部的圆弧EF
．
射线CC1 : x = 2(y ≥0) 交圆G 于点E 2, 2 3
3
，
CE = 2 3
3
，CG = 2
3 ，
tan∠CGE =
3 ，则∠CGE = π
3 ，即圆弧EF
所
对的圆心角为π
3 ，弧长为π
3 × 4
3 = 4π
9 ．
故答案为：4π
9 ．
15. 【解析】由题意可知四面体ABCD 为长方体的
面对角线组成的三棱锥，
故只有当四面体棱长相等时，四面体的对棱垂直，
故①错误；
由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，故
②正确；
由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线必经过
长方体的中心，故③正确；
当四面体的棱长相等时，过任意一个定点的两条棱
的夹角均为60°，故两两夹角之和为180°，故④错
误；
故答案为：②③．
·224·
15. 【解析】由题意可得，下底面为腰为
2 的等腰
直角三角形，又高为2，
∴该“堑堵”的表面积为S = 2 × 2 + 2 ×
2 + 2 ×
2 + 2 × 1
2 × 2 × 1 = 6 + 4 2．
故选：D．
7.4 立体几何综合应用
1 . 【解析】在棱长为2 的正方体ABCD -
A1B1C1D1中，A1E
= EB1
，BF
= FB1
，
过D1F 且平行于AE 的平面记为α，
取AB 的中点H，
∵E 为A1B1 中点，则B1E ⎳AH，B1E = AH = 1，
四边形AHB1E 为平行四边形，则B1H ⎳AE，
过点F 作直线FM ⎳B 1H 交AB 于M ，分别交
A1B1，A1A 的延长线于P，Q，
连接D1P 交B1C1 于N ，连接D1Q 交AD 于G，连
接MG，NF，
由题意知PQ ⎳AE，而PQ 平面PD1Q，AE ⊄平
面PD1Q，∴AE ⎳平面PD1Q，
又D1F 平面PD1Q，则平面PD1Q 是过D1F 且平行
于AE 的平面，平面PD1Q 即为平面α，
对于C ，平面α 截正方体所得截面是五边形
D1NFMG，故C 正确；
对于A，在△BB1H 中，FM ⎳B1H，F 是BB1 中
点，则M 是BH 中点，
∴BM = 1
2 BH = 1
4 AB，AM
= 3
4 AB
，故A 正
确；
对于B，由B1P ⎳BM ，F 是BB1 中点，得B1P =
BM = 1
2 ，而B1N ⎳A1D1，
则B1N
A1D1
= B1P
A1P =
1
2
2+ 1
2
= 1
5 ，即B1N = 1
5 A1D1
= 1
5 B1C1，故B 错误；
对于D，由AQ ⎳BF，得AQ
BF = AM
BM = 3，
则AQ = 3，A1Q = 5，D1Q =
22+52 =
29，
而A1P = 5
2 ，则D1P =
22+
5
2
2
=
41
2
, PQ
=
A1Q2+A1P2 =
52+
5
2
2
= 5 5
2
，
在△PD 1 Q 中，由余弦定理，cos ∠PD 1 Q =
29+ 41
4 - 125
4
2×
29×
41
2
=
8
29×
41 ，
则sin∠PD1Q =
1-
8
29⋅
41
2
=
15 5
29×
41 ，
∴S△PD1Q = 1
2 D1P ⋅D1Qsin∠PD1Q = 1
2 ×
41
2
×
29 ×
15 5
29×
41 = 15 5
4
．
由平面α 平面ABCD = MG ，平面α 平面
A1B1C1D1= D1P，平面ABCD ⎳平面A1B1C1D1，
得MG ⎳D1P，同理NF ⎳D1Q，
又QG
QD1
= AQ
A1Q = 3
5 ，NF
D1Q = NP
D1P = B1N
A1D1
=
1
5 ，
∵△QGM 相似于△QPD1，△PNF 相似于△PD1Q，
则S△QMG = 9
25 S△PD1Q，S△PNF = 1
25 S△PD1Q，
则SD1NFMG = 1- 9
25 - 1
25
S△PD1Q = 3
5 × 15 5
4
=
9 5
4
，故D 正确．
故选：ACD．
2. 【解析】根据题意：补全四边形，
易知△MCD 是边长为4 的正三角形，
A 为MD 的中点，B 为线段MB 上靠近M 的四等
份点，以{AC
, AD
, AP
} 为基底，PA ⊥平面
·225·
ABCD，及其∠DAC = 90°，
则AC，AD，AP 两两垂直，且AC = 2 3 ，AD
= 2，不妨设PA = a，
则AB
= 3
4 AM
+ 1
4 AC
=- 3
4 AD
+ 1
4 AC
，过点
A 的平面α 与侧棱PB，PC，PD 分别交于点E，
F，G，
设PE
= xPB
，PF
= yPC
，PG
= zPD
，则0 <
x，y，z < 1，
于是AE
= AP
+ x(AB
- AP
) = x
4 AC
- 3x
4 AD
+ (1 - x)AP
，AF
= AP
+ y(AC
- AP
) = yAC
+
(1 - y)AP
，
AG
= AP
+ z(AD
- AP
) = zAD
+ (1 - z)AP
，
由于四边形AEFG 为菱形，
则AF
= AE
+ AG
，可列方程组：
y= x
4
z= 3x
4
1-y=1-x+1-z
，解得
x= 2
3
y= 1
6 ,
z= 1
2
则AF
= 1
6 AC
+ 5
6 AP
，EG
= AG
- AE
= AD
- 1
6 AC
+ 1
6 AP
，
AF
⋅EG
= 0，得1
36 (AC
+ 5AP
) ⋅(6AD
- AC
+
AP
) = 0，
知5AP
2= AC
2= 12，
所以PA = 2 15
5
．故答案为：2 15
5
．
3. 【解析】由已知，在三棱锥P - ABC 中，PA
⊥平面ABC，PA = AB = 4，
所以当三棱锥体积最大时，底面△ABC 的面积需
最大，
由于△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，且AB
= 4，
故点C 的轨迹是以AB 的中点O 为圆心，AB 的长
为直径的圆，
故当CO ⊥AB，即点C 到AB 的距离为2 时，
△ABC 的面积最大，
此时AC = BC = 2 2 ，△ABC 的面积为4，三棱
锥的体积最大为1
3 × 4 × 4 = 16
3 ，
因为点Q 为侧面PAB 内的动点，且CQ = 2 2，
又PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥CO，且CO ⊥
AB，所以CO ⊥平面PAB，
所以OQ =
CQ2-OC2 = 2，所以点Q 在以O 为
圆心，AB 为直径的圆上，
所以Q 的轨迹与AB，PB 所围成区域的面积为
1
4 π × 22+ 1
2 × 2 × 2 = π + 2．
故答案为：π + 2．
4. 【解析】设点O 为正三棱柱ABC - A1B1C1
的底面ABC 的中心，O1 为其外接球的球心，
易得O1O ⊥平面ABC , 且O1O = 1
2 AA1 = 1 ,
因AB = 3 , 则OA = 2
3 ×
3
2
× 3 =
3 ,
则该外接球的半径为R = O1A =
12+
3
2 = 2 .
以点O 为坐标原点, 分别以OA , OO1 所在直线
为x , z 轴, 以过点O 与BC 平行的直线为y 轴
建立空间直角坐标系.
则A
3,0,0
, B -
3
2 ,- 3
2 ,0
, O 1 0,0,1
,
设点M x,y,z
,
由MB = 2MA 可得
x+
3
2
2
+ y+ 3
2
2
+z2
= 2
x-
3
2+y2+z2 ,
两边取平方, 展开整理得: x2 - 3 3 x + y2 - y + z2
+ 3 = 0 , 配方可得
x- 3 3
2
2
+ y- 1
2
2
+ z2 = 4
,
则点M 的轨迹为以点O2 3 3
2
, 1
2 ,0
为球心,
半径为2 的球面.
因球
O 1 , O 2
的球心距为
O 1 O 2 =
3 3
2
2
+
1
2
2
+ 0-1
2 = 2 2 ,
两球半径都是2 , 则两球的交线圆的半径r 满足
r =
22-
2
2 =
2 ,
故点M 的轨迹为交线圆, 其周长为L = 2πr =
2 2π , 即点M 的轨迹长度为2 2π .
故答案为: 2 2π .
5 . 【解析】( 1 ) 在圆内接四边形ABCD 中，
·226·
△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD = 90°，所以
∠BAD = 90°，
在Rt△ABD 中，因为AB =
6，AD =
2，
所以∠ABD = 30°，BD =
AB2+AD2 =
6+2 =
2 2，所以BC = CD = 2，
在△ABC 中，cos∠ABC = cos(∠ABD + ∠CBD)
= cos(30 + 45°) =
6-
2
4
，
由余弦定理得AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB ⋅
BCcos∠ABC = 6 + 4 - 2 ×
6 × 2 ×
6-
2
4
= 4
+ 2 3 = ( 3 + 1)2，
所以AC =
3 + 1；
(2) 建立如图所示的空间直角坐标系，
则B( 2，0，0)，C(0，
2，0)，D(- 2，0，
0)，
(i) 设A(x，y，z)，由(1) 可知，AB =
6 ，AD
=
2，
又因为AC =
6，
所以
(x-
2)2+y2+z2=6,
x2+(y-
2)2+z2=6,
(x+
2)2+y2+z2=2,
解得x =-
2
2
, y =
-
2
2 ，z = 1，即A -
2
2 ,-
2
2 ,1
，
则AD
= -
2
2 ,
2
2 ,-1
，
取平面BCD 的一个法向量m= (0，0，1)，
设直线AD 与平面BCD 所成角为θ，
所以sin θ = |cos AD
, n | = |AD
⋅n|
|AD
|⋅|n|
=
1
2 =
2
2 ，
所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为
2
2 ；
(ii) 如图所示，取AB 的三等分点P，Q，AC 的
中点M，
过三点D，P，M 作平面α2，过三点O，Q，C
作平面α3，
因为DP ⎳OQ，DP ⊄平面α3，OQ 平面α3，所
以DP ⎳平面α3，
同理PM ⎳平面α3，
又因为DPPM = P，所以平面α2⎳平面α3，
再过点A，C 分别作平面α1，α4与平面α2平行，
那么四个平面α1，α2，α3，α4依次相互平行，
由线段AB 被平行平面α1，a2，α3，α4 截得的线段
相等知，
其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，a2，
a3，α4为所求平面，
由(i) 可知A -
2
2 ,-
2
2 ,1
，B( 2 ，0，0)，
C(0 ,
2 , 0)，
所以OC
= (0 ,
2 , 0)，
OQ
= OB
+ BQ
= OB
+ 1
3 BA
= (
2 , 0 , 0) +
1
3
- 3 2
2
,-
2
2 ,1
=
2
2 ,-
2
6 , 1
3
，
设平面OCQ 的法向量m= (a , b , c)，
则m⋅OC
=0,
m⋅OQ
=0,
即
2b=0,
2
2 a-
2
6 b+ 1
3 c=0,
可取m= ( 2 , 0 ,-3)，
所以点B 到平面OCQ 的距离d = |OB
⋅m|
|m|
=
2×
2
(- 2)2+32 =
2
11 = 2 11
11
，
故相邻两个平面间的距离为2 11
11
．
6. 【解析】取AC 中点O，作OT ⎳CD，OG ⊥
面ACD，
因为∠ACD = π
2 ，所以AC ⊥OT，
如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，
·227·
因为∠ABC = π
2 ，AB = BC = 2 6 ，由勾股定理
得AC = 4 3，
又因∠CAD = π
6 ，则CD
4 3 =
3
3 ，解得CD = 4，
故O(0，0，0)，A(2 3 , 0 , 0)，C(-2 3 , 0 , 0)，
D(-2 3 , 4 , 0)，
设B(x，y，z)，(z > 0)，则OB
= (x , y , z)，
AC
= (-4 3 , 0 , 0)，
因OB ⊥AC，故-4 3x = 0，得x = 0，
则AB
= (-2 3 , y , z)，CB
= (2 3 , y , z)，
由AB ⊥CB 可得y2 + z2 - 12 = 0，化简得y2 + z2
= 12，
即点B 的轨迹方程是半径为2 3 的圆的一部分，
而该圆的参数方程为y=2 3cosθ
z=2 3sinθ
θ是参数
，θ
∈(0 , π)，
故B(0 , 2 3 cos θ , 2 3 sin θ)，则AB
= (-2 3 ,
2 3 cosθ , 2 3 sinθ)，
设平面ABC 的法向量为n= (x1 , y1 , z1)，则AC
⋅
n=-4 3x1= 0，解得x1= 0，
且AB
⋅n= 2 3 cos θy1 + 2 3 sin θz1 = 0，令y1 =
sinθ，解得z1=-cosθ，
得到n= (0 , sinθ ,-cosθ)，易得平面ACD 的法向
量为m= (0 , 0 , 1)．
对于A，当平面ABC ⊥平面ACD 时，m⋅n= 0，
此时-cosθ = 0，解得θ = π
2 ，
此时B(0 , 0 , 2 3 )，而AB
= (-2 3 , 0 , 2 3 )，
AD
= (-4 3 , 4 , 0)，
设平面ABD 的法向量为s= (a , b , c)，则AD
⋅s=
-4 3a + 4b = 0，
AB
⋅s=-2 3 a + 2 3 c = 0，令a = 1，解得c =
1，b =
3，
故s= (1 ,
3 , 1)，而AC
= (-4 3 , 0 , 0)，
设点C 到面ABD 的距离为d，则d = |AC
⋅s|
|s|
=
|-4 3|
12+12+( 3)2 = 4 15
5
，故A 正确；
对于B，由已知得CD
= (0 , 4 , 0)，AB
= (-2 3 ,
2 3 cosθ , 2 3 sinθ)，
设异面直线AB 与CD 所成角为β，且β ∈0, π
2
，
则
cos
β
=
|AB
⋅DC
|
|AB
|⋅|DC
|
=
|8 3cosθ|
4×
(-2 3)2+(2 3cosθ)2+(2 3sinθ)2
=
2
2 |cosθ|，
而θ ∈(0 , π)，结合余弦函数性质得|cosθ| ∈[0，
1)，
故cos β ∈0,
2
2
，由余弦函数性质解得β ∈
π
4 , π
2
，故B 正确；
对于C，因为M、N 分别为CD、BC 的中点，
所以M ( - 2 3 , 2 , 0 ) ，N ( -
3 ,
3 cos θ ,
3 sinθ)，
则MN =
3+(2-
3cosθ)2，令MN =
30，
则
3+(2-
3cosθ)2 =
30 ，则cos θ = 2 3
3
±
3，无解，故C 错误；
对于D，首先，我们来证明求解外接球半径的鳄鱼
模型，
我们给定三棱锥P - ABC ，设O 1，O 2 分别是
△ABP，△ABC 的外心，
设外接球球心为O，M 是AB 中点，连接O1M ，
O2M，则O1M ⊥AB，O2M ⊥AB，
所以∠O1MO2 是二面角P - AB - C 的平面角，设
∠O1MO2= α，
·228·
设O1M = m，O2M = n，AB = l，连接O1O，
O2O，则OO1⊥面PAB，OO2⊥面ABC，
在四边形OO1MO2 中，可得∠OO1M = ∠OO2M =
π
2 ，
所以O，O 1，M ，O 2 四点共圆，且设四边形
OO1MO2的外接圆半径为r，
所以OM = 2r，连接O1O2，OM ，由正弦定理得
O1O2
sinα = 2r，设O1O2= c，
故OM =
c
sinα ，而在△MO1O2 中，由余弦定理得
c2= m2+ n2- 2mncosα，
连接OA，OB，所以OA = OB，则得OM ⊥AB，
且BM = l
2
设OA = OB = R，在直角三角形OBM 中，R2 =
c2
sin2α + l2
4 ，
所以R2 = m2+n2-2mncosα
sin2α
+ l2
4 ，即鳄鱼模型
得证．
设二面角B - AC - D 的大小为α，且α ∈[0，π]，
AC = l = 4 3，如图，△ABC 的外心为O，找AD
中点Q 作为△ACD 外心，
则由中位线性质得OQ = 2，得到m = 0，n = 2，
此时公式变为R2=
4
sin2α + (4 3)2
4
=
4
sin2α + 12，
若三棱锥B - ACD 的外接球的表面积的最小，半
径最小，可得R2=
4
sin2α + 12，
而α ∈[0，π]，当
2
sin α = 1 时R2最小，
此时R2 = 16，表面积的最小值为16 × 4π = 64π，
故D 正确．
故选：ABD．
7. 【解析】对于选项A：因为点F ∈侧面BB1C1C，
所以BF 平面BB1C1C，
因为AB ⊥平面BB1C1C，BF 平面BB1C1C，所
以AB ⊥BF，
在Rt△ABF 中，因为|BF | =
|AF|2-|AB|2 =
5-4 = 1，
所以点F 的运动轨迹是以B 为圆心，1 为半径，圆
心角为π
2 ，
所以点F 的轨迹长度为π
2 × 1 = π
2 ，故A 正确；
对于选项B：如图所示，连接B1C，B1E，CE，
在Rt△BEB1中，|EB1| =
|EB|2+|BB1|2 =
5，
同理可得|EC| =
5，所以△ECB1为等腰三角形，
当点F 为B1C 的中点时，连接EF，此时有EF ⊥
B1C．
在正方体中易知B1C ⎳A1D，所以EF ⊥A1D，此
时EF 与A1D 所成角为π
2 ，故B 错误；
对于选项C ：因为VA1-DEC = VA1-DEF = 4
3 ，所以
CF ⎳平面ADE，
所以点F 的轨迹为线段B1C，所以点F 的轨迹长度
为2 2，故C 正确；
对于选项D：设∠BFB1 = θ，易知当点F 为CC1 的
中点时，θ 最大．
取BB1 的中点P，则sin∠B1FP = sin θ
2 = |B1P|
|B1F|
·229·
=
1
5 ，cos∠B1FP = cos θ
2 = |PF|
B1F| = 2
5 ，
所以sinθ = 2sin θ
2 cos θ
2 = 4
5 ；
当点F 与点C 或点C1 重合时，θ 最小，此时sinθ
=
2
2 ，所以sinθ ∈
2
2 , 4
5
．
因为B，B1，F 在球面上，所以△BB1F 的外接圆
直径2R = |BB1|
sinθ =
2
sinθ ∈
5
2 ,2 2
．
所以三棱锥A - BB 1F 的外接球的直径为2r =
|AB|2+(2R)2 =
4+4R2 ∈
41
2
,2 3
，
所以三棱锥A - BB 1 F 的外接球的半径r ∈
41
4
,
3
，
所以三棱锥A - BB1F 的外接球的表面积为4πr2 ∈
41π
4
,12π
，故D 正确．
故选：ACD．
8.【解析】试题分析：因为线面平行，所求求线面
距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．
∵AC1⎳平面BDE，∴AC1到平面BDE 的距离等
于A 到平面BDE 的距离，由题计算得VE-ABD =
1
3 SABD × 1
2 CC1= 1
3 × 1
2 × 2 × 2 ×
2 = 2 2
3
，
在△BDE 中，BE = DE =
22+
2
2 =
6 , BD
= 2 2，BD 边上的高=
6
2-
2
2 = 2，
所以S△BDE = 1
2 × 2 2 × 2 = 2 2，所以VA-BDE =
1
3 S△BDEh = 1
3 × 2 2h，
利用等体积法VA-BDE = VE-ABD，得: 1
3 × 2 2h =
2 2
3
，解得: h = 1
9.【解析】 ∵PC ⊥底面ABC，∴PC ⊥AB，
又AB ⊥AC，且PC ∩AC = C , PC , AC ⊂平面
PAC，∴AB ⊥平面PAC，∵PA ⊂平面PAC ∴
AB ⊥PA，∵AC = AB = 4，∴BC = 4 2，
∴PC = 4 2 , PB = 8，在Rt△PAB 中，PA =
82-42 = 4 3，
令点C 到平面PAB 的距离为d，∵VP-ABC =
VC-PAB，∴1
3 × 1
2 × 4 × 4 × 4 2 = 1
3 × 1
2 × 4 ×
4 3 × d，∴d = 4 6
3
．
10.【解析】如图，连接AC，因为CC1⊥平面
ABCD，故∠C1AC 即为AC1与平面ABCD 所成
角，则∠C1AC = 30°，又因为AB = 3，BC = 4，
则AC = 5 ，故在Rt△C1AC 中，C1C = AC ×
tan30° = 5 3
3
，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，
平面ABCD 到平面A1B1C1D1的距离即为棱C1C
的长，即平面ABCD 到平面A1B1C1D1的距离为
5 3
3
．
11.【解析】过B 和D 分别作BE ⊥AC，DF ⊥
AC，由AB = 1，BC =
3，则AC = 2，
∵1
2 AB ⋅BC = 1
2 AC ⋅BE = 1
2 AC ⋅DF，∴BE =
DF =
3
2 ，则AE = CF = 1
2 ，则EF = 2 - 1
2 -
1
2 = 1，
∵二面角B - AC - D 的大小为120°，∴< EB
，
FD
>= 120°，即< BE
，FD
>= 60°，
∵BD
= BE
+ EF
+ FD
，
∴BD
2 = (BE
+ EF
+ FD
)2 = BE
2 + EF
2 + FD
2 +
2BE
⋅EF
+ 2FD
⋅BE
+ 2EF
⋅FD
= BE
2 + EF
2 +
FD
2+ 2FD
⋅BE
= 3
4 + 1 + 3
4 + 2 ×
3
2
×
3
2
× 1
2 = 1 + 9
4 =
13
4 ，即|BD
| =
13
4 =
13
2
，即B，D 之间的距
离为
13
2
．
故答案为：
13
2
．
·230·
12.【解析】连接BC1，得△A1BC1，以A1B 所在
直线为轴，将△A 1 BC 1 所在平面旋转到平面
ABB1A1，设点C1 的新位置为C ，连接AC ，则
AC即为AP + PC1的最小值，
由题意可知AA 1 = 1 ，AB = BC =
3 ，
cos∠ABC = 1
3 ，得A1B = BC= A1C= 2，
∠AA1B = ∠BA1C = 60°，所以在△AA1C 中，
AC=
1+4-2×1×2× - 1
2
=
7，
故选：B．
13.【解析】如图，由正方体性质知，当P 位于C
点时，D1O ⊥OC，当P 位于BB1 的中点P1 时，
由已知得，DD 1 = 2，DO = BO =
2 ，BP1 =
B1P1 = 1，B1D1 = 2 2，求得OD1 =
4+2 =
6，
OP1 =
2+1 =
3 ，D1P1 =
8+1 = 3．∴OD2
1 +
OP2
1 = D1P2
1 ，得OD1⊥OP1．
又OP1OC = O，OP1 平面OP1C ，OC 平面
OP1C，则D1O ⊥平面OP1C，得到P 的轨迹在线
段P1C 上．过B 作关于CP1 的对称点B，过P 作
PH ⊥BC 于H，
当B，P，H 三点共线时，点P 到底面AC 的距离
与它到点B 的距离之和取得最小值．
在直角三角形P1BC 中，BC = 2，P1B = 1，P1C
=
4+1 =
5，
BB=
4
5 ，所以BH = BBsin ∠HBB=
4
5 ×
2
5 = 8
5 ，
故选：A．
14.【解析】由题意可知V上= V下，V中= VABCD -
V上- V下, 设正四面体的棱长为6，则下部分可以看
作一个直棱柱BQK - CNM 两端截去两个体积相同
的四棱锥C - GMNH 和B - QKFP，如图，由题
可知，BC = 6 , PH = FG = 4 , CH = CG = GH = 2
, GM = 1 ; 由直棱柱的性质可知CM = CN =
3 , 所
以△CMN 的高为
2，且为四棱锥C - GMNH 的
高；V上= VBQK-CNM - 2VC-GMNH = 1
2 × 2 ×
2 × 6
- 2 × 1
3 × 1 × 2 ×
2 = 14 2
3
, 棱长为6 的正四面
体高为2 6，其体积为VABCD = 1
3 ×
3
4
× 36 ×
2 6 = 18 2. 所以V中= VABCD - 2V下= 26 2
3
，所
以V上: V中: V下= 7 : 13 : 7. 故答案为：7 : 13 : 7
15.【解析】对于A，由正方体得，A1C1⎳AC，
A1D ⎳B1C，因为A1C1⊄平面AB1C，AC ⊂平面
AB1C，所以A1C1⎳平面AB1C，同理可得A1D ⎳
平面AB1C，又A1C1∩A1D = A1, A1C1, A1D ⊂平
面A1C1D，所以平面A1C1D ⎳平面AB1C，又C1M
⊂平面A1C1D，所以C1M ⎳平面AB1C，故A 正
确；
对于B，作出α 截正方体所得的截面AOPQN，如
图所示，则B1N = 1
3 ，过点C1作平面C1HKI ⎳α，
截得正方体的截面为LKJC1E，如图所示，因为
C1M ⊂平面C1HKI，所以C1M ⎳α，此时EN =
B1N = A1E = 1
3 ，A1H = 1
2 ，进而A1L = AL =
AK = 1
2 ，所以LK =
AL2+AK 2 =
2
2 ，当M
在KL 上运动时，满足C1M ⎳α，故B 正确；
对于C，连接B1C , B1D1, CD1, A1C1, AC，由正方
体得，B1D1⊥A1C1, B1D1⊥AA1，又A1C1∩AA1
= A1, A1C1, AA1⊂平面A1ACC1，所以B1D1⊥平
面A1ACC1，又AC1⊂平面A1ACC1，所以B1D1⊥
AC1，同理得，B1C ⊥AC1，又B1D1∩B1C = B1,
B1D1, B1C ⊂平面B1CD1，所以AC1⊥平面B1CD1，
当过PQ 的平面⊥AC1时，该平面平行于平面
B1CD1，过PQ 作平面GQH ⎳平面B1CD1，交
·231·
A1D1, BC 延长线于点G , H，如图所示，由图可
知，平面GQH 与正方形ADD1A1无交点，故不存
在点M，使得AC1⊥平面PQM，故C 错误；
对于D，作出平面α 截得正方体的截面AOPQN，
则B1N = OC = 1
3 , SB1= B1Q = PC = CR = 1
2 ，
所以VS-ABR = 1
3 SABR × SB = 1
3 × 1
2 × 1 × 3
2 ×
3
2 = 3
8 ，VS-NB1Q = 1
3 SNB1Q × SB1= 1
3 × 1
2 × 1
2
× 1
3 × 1
2 = 1
72 ，
VR-OCP = 1
3 SOCP × CR = 1
3 × 1
2 × 1
3 × 1
2 × 1
2 =
1
72 ，所以V1= 3
8 - 1
72 - 1
72 = 25
72 ，故D 正确；
故选：ABD．
16. 【解析】如图，用一个不垂直于轴的平面截两
个顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面，
对于A，当截面与轴不垂直，且截面不与母线平
行，且只与一个圆锥相交时，截面为椭圆，故A
正确；
对于B，当截面与轴平行，截面是双曲线，故B 正
确；
对于C，当截面平行于圆锥的母线时，截面是抛物
线，故C 正确；
对于D，截面与轴不垂直，故截面不可能为圆，
故D 错误．
故选：ABC．
17. 【解析】对于①：因为截面与圆柱体的轴成
45°，且圆柱体底面半径为2cm，
所以截面椭圆长轴长为2 × 2 ×
2 = 4 2 = 2a，短
轴长为2b = 4，
所以a = 2 2 ，b = 2，c =
a2-b2 = 2，所以e =
c
a =
2
2 2 =
2
2 ，所以①错误；
对于②：因为上、下截面间的距离为
2cm，所以
AB =
2 ×
2 = 2cm，所以②正确；
对于③：将该几何体沿A 点平行于圆柱底面切割
补到以沿点B 平行于圆柱底面的位置，
则正好是以底面半径为2cm，高为2cm 的圆柱，
所以该几何体的体积为V = π × 22 × 2 = 8πcm3，所
以③正确；
对于④：同样以③的方法割补，
该几何体的侧面积为S = 2π × 2 × 2 = 8πcm2，所以
④正确．
故选：C．
18. 【解析】由于TA = TP，则T 在线段AP 的中
垂面上，连接AO 交圆锥于点B，
由于PO =
3 , OA = 1，所以PA = 2，故△PAB
为等边三角形，
取PA 中点为H，连接BH，则BH ⊥PA，则BH
在线段AP 的中垂面上，
由于BH 不垂直于OP，所以形成的是椭圆，故A
正确；
以O 为球心，1 为半径的球被平面α(平面α 为线段
AP 的中垂面) 所截得的截面为以BH 为直径的圆，
而T 的轨迹为以BH 为长轴的椭圆，由于圆的面积
大于椭圆面积，
所以T 不会离开椭圆，故T 在球内或球面上，故
B 错误；
若要TP ⊥TA，由于TP = TA，所以只需要TP
=
2
2 AP =
2
2
× 2 =
2，
当P 在H 处，此时TP 取最小值1，当P 在B 处，
此时TP 取最大值2，由于T 连续变化，
故能够找到点T，使得TP =
2，故C 正确；
VP-ATO = VT-APO = 1
3 S△APOh = 1
3 × 1
2 × 1 ×
3 h
·232·
=
3
6 h(h 为T 到平面POA 的距离)，
因为圆锥轴截面顶角的一半为π
6 ，截面与圆锥轴
的夹角为π
3 ，
所以该椭圆的离心率为
cos π
3
cos π
6
=
3
3
=
1- (hmax)2
3
2
2 ，
所以hmax =
2
2 ，故三棱锥P - ATO 的体积最大
值为
3
6
×
2
2
=
6
12 ，故D 正确．
故选：ACD．
19. 【解析】由题意知，MP、MF 均与球O' 相切，
所以PM = MF，命题①正确；
由VA ⎳平面β，得存在直线mβ，使VA ⎳m，
由αβ = l，MN ⊥l，则VA ⊥l，所以m ⊥l，
所以m ⎳MN，所以VA ⎳MN，命题②正确；
由题意知，F 是抛物线的一部分，命题③错误；
由题意，连接NA，则NA 过点O、P，
由VA = VP，得MN = MP = MF，所以F 为抛物
线的焦点，
作FG ⊥l，垂足为G，取FG 的中点为H ，则
∠HO'F = ∠VAO' = θ，
所以Rtanθ = HF，不妨以H 为原点，以HF 为x
轴建立平面直角坐标系，
所以抛物线的解析式为y2= 4Rtanθx，
所以开口随Rtanθ 增大而增大，命题④正确．
综上，正确的命题序号是①②④．
故选：C．
8.1 数列的概念
1. 【解析】由数列1 ，3 ，6 ，10 ，x ，21 ，
28，… 可知：3 - 1 = 2，6 - 3 = 3，10 - 6 = 4，
x - 10 = 5，∴x = 15．
故选：B．
2.【解析】对A：当n 为奇数时，an= 1+1
2
= 1，
当n 为偶数时，an = 1-1
2
= 0，符合数列1，0，
1，0，1，0，… 的通项公式；
对B：当n 为奇数时，an = sin nπ
2
= 1 或-1，当
n 为偶数时，an = 1-1
2
= 0，不符合数列1，0，
1，0，1，0，… 的通项公式；
对C：当n 为奇数时，an = 1，当n 为偶数时，an
= 0，符合数列1，0，1，0，1，0，… 的通项公
式；
对D：当n 为奇数时，an = 1，当n 为偶数时，an
= 0，符合数列1，0，1，0，1，0，… 的通项公
式．故选：ACD．
3.【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，
1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
∴a64 + a65 = a32 + 65 = a16 + 65 = a8 + 65 = a4 + 65
= 1 + 65 = 66．故答案为：66．
4.【解析】∵数列{an} 的前n 项和Sn = n2 - 2n，
∴n = 1 时，a1= S1=-1．
n ≥2 时，an = Sn - Sn-1 = n2 - 2n - [(n - 1)2 - 2
(n - 1)] = 2n - 3．n = 1 时也成立．
∴an= 2n - 3．故答案为：2n - 3．
5.【解析】当n = 1 时，a1 = S1 = 2 × 12 + 1 + 1 =
4，当n ≥2 时，an = Sn - Sn-1 = 2n2 + n + 1 - [2
(n - 1)2+ (n - 1) + 1] = 4n - 1．
因此a n =
4,
n=1
4n-1,
n≥2
，故答案为：a n =
4,
n=1
4n-1,
n≥2
．
6.【解析】根据题意，数列{an} 满足Sn+1 < Sn，
则有an+1= Sn+1- Sn< 0，
又由数列{an} 满足an+1 > an，故数列{an} 为各项
为负的递增的列
其通项公式可以为：an= (-1)
1
2
n-1
或- 1
n ；
故答案为：(-1)
1
2
n-1
或- 1
n (答案不唯一)
7.【解析】由a1 + a2
22 + a3
32 + …… + an
n2 = n2 -
·233·
10n ①，当n = 1 时，a1=-9，
当n ≥2 时，a1 + a2
22 + a3
32 + …… +
an-1
(n-1)2 = (n
- 1)2- 10(n - 1) ②，
由①- ②得，an
n2 = 2n - 11，∴an = 2n3 - 11n2，
n ≥2，当n = 1 时，a1 =-9 也符合上式，∴an =
2n3- 11n2，n ∈N *．
设f(x) = 2x3- 11x2，x > 0，则f'(x) = 6x2- 22x，
由f'(x) > 0 得x > 11
3 ，由f'(x) < 0 得0 < x <
11
3
，∴f ( x ) 在
0, 11
3
上单调递减，在
11
3 ，+∞
上单调递增，而f(3) =-45 > f(4) =
-48，∴当n = 4 时，an 最小，且最小值为-48．
故答案为：-48．
8.【解析】Sn = 20n2 + 3n - 2n，当n = 1 时，a1
= S1= 20 + 3 - 2 = 21，
当n ≥2 时，Sn-1 = 20(n - 1)2 + 3(n - 1) - 2n-1，
两式相减可得an = 20(2n - 1) + 3 - 2n-1 = 40n -
2n-1- 17，
当
n
=
1
时，
a
1 =
22 ，
∴
a
n =
21,
n=1
40n-2n-1-17,
n≥2
，
当n ≥2 时，则an+1 - an = 40(n + 1) - 2n - 17 -
(40n - 2n-1 - 17) = 40 - 2n-1，∴a8 - a7 < 0，a7 -
a6> 0，
∴当n = 7 时，an 最大，a7 = 40 × 7 - 26 - 17 =
199，当n = 1 时，a1= 21 不是{an} 中的最大值．
故答案为：199．
9.【解析】当n = 1 时，由Tn =
2n
n+1 知，T1 =
2
1+1 = 1；当n ≥2 时，a n =
Tn
Tn-1
=
2n
n+1
2n-1
n
=
2n
n+1 ⋅
n
2n-1 =
2n
n+1 ，而当n = 1 时，a1 = 1 满足
上式．所以数列{an} 的通项公式为an=
2n
n+1 ．
10.【解析】证明：an+1 - an =
n+1 -
n+2 -
( n -
n+1) =
1
n+
n+1 -
1
n+1+
n+2 ，
∵0 <
n +
n+1 <
n+1 +
n+2 ，∴
1
n+
n+1 >
1
n+1+
n+2 ，
∴an+1> an，∴此数列为递增数列．
11.【解析】f (x) = 1-2x
x+1
= -2(x+1)+3
x+1
=-2
+
3
x+1 ．
法1：∵an =-2 +
3
n+1 (n ∈N ∗)，an+1 =-2 +
3
n+2 ，
∴a n+1 - a n =- 2 +
3
n+2
+ 2 -
3
n+1
=
3(n+1-n-2)
(n+1)(n+2) =
-3
(n+1)(n+2) < 0．
∴an+1< an．∴数列an
是递减数列．
法2：设x 1 > x 2 ≥1，则f (x 1) - f (x 2) =-2 +
3
x1+1 + 2 -
3
x2+1 =
3(x2-x1)
(x1+1)(x2+1) ，
∵x1 > x2 ≥1，∴x1 + 1 > 0，x2 + 1 > 0，x2 - x1 <
0，∴f(x1) - f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)，
∴f(x) 在1,+∞
上为减函数，∴an = f(n) 为递减
数列．
12.【解析】解：已知{an} 为单调递减数列，所以
an+1 - an = (n+1)2+λ
2n+1
- n2+λ
2n
= -n2+2n+1-λ
2n+1
< 0 恒成立，
即λ >-n2+ 2n + 1 对任意的n ∈N *恒成立，
因为函数f(n) =-n2 + 2n + 1 在N * 上单调递减，
故f(n)max = f(1) = 2，故λ > 2．
因为{λ|λ > 1} ⊋{λ|λ > 2}，因此“λ > 1”是“{an}
为单调递减数列”的必要不充分条件，故选：B．
13.【解析】根据题意，f(x) =
8
i=1
(x - ai)2 = (x -
1)2 + (x - 1)2 + (x - 2)2 + (x - 3)2 + (x - 5)2 + (x -
8)2+ (x - 13)2+ (x - 21)2
= 8x2 - 108x + 714，是开口向上，对称轴为x =
27
4 ，又由n ∈Z，且n ≥1，
故当x = 27
4 时，f(x) 取得最小值．故答案为：
27
4 ．
14. 【解析】∵a n = n-
98
n-
99 ，∴a n =
n-
99+
99-
98
n-
99
= 1 +
99-
98
n-
99
，而9 <
99 < 10，
99 -
98 > 0，
·234·
若要1 +
99-
98
n-
99
最大，则需要n -
99 取最小
正数，则当n = 10 时，an最大，
若要1 +
99-
98
n-
99
最小，则需要n -
99 取最大
负数，则当n = 9 时，an最小，
所以该数列前30 项中的最大项为a10 = 10-
98
10-
99 ，
最小项为a9= 9-
98
9-
99 ．
15.【解析】由结论可知T = 3，，故D 正确；
a2021= a3×673+2= a2= 1
2 ，故A 错误；
S 2021 = 673 ( a 1 + a 2 + a 3 ) + a 1 + a 2 = 673 ×
2+ 1
2 -1
+ 2 + 1
2 = 1012，故B 正确；
a3n ⋅a3n+1 ⋅a3n+2 = a3 ⋅a1 ⋅a2 = (-1) × 2 × 1
2 =-1，
故C 错误．故选：AC．
或通过a1= 2，a2= 1 - 1
a1
= 1 - 1
2 = 1
2 ，a3= 1
- 1
a2
= 1 - 2 =-1，a4= 1 - 1
a3
= 1 - (-1) = 2，
a5= 1 - 1
2 = 1
2 ，
得到{an} 是以3 为周期的周期数列，结合前面的
分析，故选：AC．
16. 【解析】由结论可知T = 6 ，于是a 2023 =
a337×6+1= a1=- 1
100 ．
17.【解析】由结论可知T = 3，又2 024 = 3 ×
674 + 2，所以a2024= a2=- 3．
18.【解析】由结论可知T = 3，∴a 2022 = a 3 =
- 1
2 ，S19 = 6(a1 + a2 + a3) + a1 = 6 × 3+ 2
3 - 1
2
+ 3 = 22，∀n ∈N *，a3n ⋅a3n+1 ⋅a3n+2 = 3 × 2
3 ×
- 1
2
=-1，故选：D．
19.【解析】由结论可知T = 6，x1= a，x2= b，
x3= b - a，x4=-a，x5=-b，x6= a - b，∴x100
= x6×16+4= x4=-a，S100 = 16 × (x1+ x2+ x3+ x4+
x5+ x6) + x1+ x2+ x3+ x4= 2b - a，故选：A．
8.2 等差数列
1.【解析】∵{an} 是等差数列，且a1 = 3，a2 + a5
= 36，∴a1=3
a1+d+a1+4d=36
，
解得a1 = 3，d = 6，∴an = a1 + (n - 1)d = 3 + (n
- 1) × 6 = 6n - 3．∴{an} 的通项公式为an = 6n -
3．
故答案为：an= 6n - 3．
2.【解析】设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种
这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，设冬
至日的日影长为a1尺，公差为d 尺，
∵冬至、立春、春分日影长之和为31．5 尺，小
寒、雨水，清明日影长之和为28．5 尺，
∴a1+a4+a7=3a1+9d=31.5
a2+a5+a8=3a1+12d=28.5
，解得a1 = 13.5，
d =-1，∴大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为：
a3+ a6+ a9= 3a1+ 15d = 25.5(尺)．故选：A．
3.【解析】∵等差数列{an} 的公差为π，∴an =
a1+ (n - 1)π = nπ + a1- π，
∴sin an = sin (nπ + a1 - π)，∴最小正周期T =
2π
π = 2，
要使集合S = { a ，b } 只有两个元素，则
sina1≠sina2
sina1=sina3
，即sina1≠sin(π+a1)
sina1=sin(2π+a1)
，
不妨取a1 = π
6 ，则a = sin a1 = sin π
6 = 1
2 ，b =
sina2= sin π+ π
6
=- 1
2 ，
所以a + b = 0．故选：B．
4.【解析】设OA1，OA2，OA3，…，OAn 的长
度构成的数列为{an}，
由题意可知，OA1= A1A2= A2A3= … = A7A8= 1，
且△OA1A2，OA2A3，…，△OA7A8 都是直角三角
形，
所以a1 = 1，且a2
n = a2
n-1 + 1(n ≥2)，所以数列
{a2
n} 是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以a2
n = 1 + (n - 1) × 1 = n，又因为an > 0，所以
an=
n，
所以第n 个三角形的面积为1
2 × an × 1 =
n
2 ．故
选：B．
5.【解析】因为f(x) = (x2 - 6x + m) (ex-3 + e3-x -
n) = [(x - 3)2+ m - 9] (ex-3+ e3-x- n)，
所以f(6 - x) = [(3 - x)2 + m - 9] (e3-x + ex-3 - n)
·235·
= f(x)，所以f(x) 关于直线x = 3 对称，
令f(x) = 0 得x2 - 6x + m = 0 或ex-3 + e3-x - n =
0，
由题意这两个方程各有两个根，且四个根是以0 为
首项的等差数列，
①若0 为x2 - 6x + m = 0 的根，则另一个根为6，
则m = 0 × 6 = 0，
又f(x) 关于直线x = 3 对称，且四个根是以0 为首
项的等差数列，所以等差数列的公差为6-0
3
= 2，
所以ex-3 + e3-x - n = 0 的两根为2，4，所以e2-3
+ e3-2- n = 0，所以n = e + 1
e ，
所以m + n = e + 1
e ；
②若0 为ex-3+ e3-x- n = 0 的根，则另一个根为6，
则e-3+ e3- n = 0 即n = e3+ 1
e3 ，
又f(x) 关于直线x = 3 对称，且四个根是以0 为首
项的等差数列，所以等差数列的公差为6-0
3
= 2，
所以x2 - 6x + m = 0 的两根为2，4，所以m = 2
× 4 = 8，所以m + n = 8 + e3+ 1
e3 ．
综上，m + n = e + 1
e 或8 + e3+ 1
e3 ．
故答案为：e + 1
e 或8 + e3+ 1
e3 ．
6.【解析】解：若{an} 为等差数列，所以a2 + a4
= 2a1+ 4d，a1+ a5= 2a1+ 4d，所以必要性成立，
设a2 = 1，a4 = 7，a1 = 0，a5 = 8，则a2 + a4 = a1
+ a5 成立但不是等差数列，充分性不成立，所以
“a2 + a4 = a1 + a5”是“{an} 为等差数列”的必要
不充分条件．
故选：B．
7.【解析】由题a1a3+ a2a7+ a3a9+ a7a8=
a3 a1+a9
+ a7 a2+a8
= 2a5a3+ 2a5a7=
2a5 a3+a7
= 4a2
5= 100，解得a5=±5，故选：C．
8.【解析】∵数列{an} 为等差数列，且a1+ a5+
a9= 4π = 3a5，∴a5= 4π
3 ，
则tan(a3+ a7) = tan2a5= tan 8π
3 = tan - π
3
=
-tan π
3 =- 3，故选：C．
9.【解析】由等差数列性质得三者依然成等差数
列，故a13 + a14 + a15 = 13 + (13 - 7) = 19．故选：
A．
或正常解：∵a1 + a2 + a3 = 7，a7 + a8 + a9 = 13，
∴3a2= 7，3a8= 13，∴a2= 7
3 ，a8= 13
3 ，
∵a2 + a14 = 2a8，a14 = 19
3 ，∴a13 + a14 + a15 = 3a14
= 19．故选：A．
10.【解析】由于S2，S4 - S2，S6 - S4 成等差数
列，∴2(S4 - S2) = S2 + (S6 - S4)，又S4 = 14，S6
= S2+ 22，
∴2[14 - (S6 - 22)] = S6 - 22 + (S6 - 14)，解得S6
= 27．故选：B．
11.【解析】设等差数列{an} 的公差为d，则由a1
≠0，a2 = 3a1 可得，S2
2 = 4a1
2
= 2a1，
Sn
n
为公
差是a1 的等差数列，所以
S10
10
S5
5
= S1+9a1
S1+4a1
= 10a1
5a1
= 2，故S10
S5
== 4，故答案为：4．
12.【解析】由{a n}，{b n} 均为等差数列，得
a10b5
a5b10
= a10
b10
⋅b5
a5
= S19
T19
⋅T9
S9
= 20
41 × 21
10 = 42
41 ．
13.【解析】由{an}，{bn} 均为等差数列，得an
bn
= 2an
2bn
= a1+a2n-1
b1+b2n-1
=
2n-1
2
(a1+a2n-1)
2n-1
2
(b1+b2n-1)
= A2n-1
B2n-1
= 7(2n-1)+45
(2n-1)+3
= 7n+19
n+1
= 7 +
12
n+1 ，所以当
n = 1，2，3，5，11 时，
12
n+1 为整数，即当n
= 1，2，3，5，11 时，an
bn
为整数，故选：
ABC．
14.【解析】法一：由题意可得，S4= a1+ a2+ a3
+ a4= 3 ①，
∵Sn-4 = 12，Sn = 17，∴an-3 + an-2 + an-1 + an =
17 - 12 = 5 ②，
①+ ②可得，(a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) +
(a4+ an-3) = 8，∴a1+ an= 2，
∵Sn= 17，∴Sn= n(a1+an)
2
= 17，解得n = 17．
法二：利用Sm+n
m+n = Sm-Sn
m-n ，令m = n - 4 代
替，n = 4 代替，则Sn
n = Sn-4-S4
n-4-4 ⇒n = 17，故
·236·
选：D．
15.【解析】由题意39(a1+a39)
2
= 39a20 > 0，S40
= 40(a1+a40)
2
= 20(a20 + a21) < 0，故a20 > 0，a21
< 0，
若am ⋅am+1< 0，则m = 20．故选：C．
16.【解析】由题意，可得S12 = 12(a1+a12)
2
= 6
(a6+ a7) < 0，所以a7<-a6< 0，且|a7| > a6，
又由等差数列{an} 的公差d = a7- a6<-2a6< 0，
所以数列{an} 是递减数列，前6 项均为正数，从
第7 项起为负数，
数列{Sn} 的最大项为S6，a6 是数列{|an|} 中的最
小项，且a6> 0，
所以数列
Sn
an
(1 ≤n ≤11) 中最大的项为S6
a6
，即
第6 项．故选：C．
17.【解析】因为等差数列{an} 中，a9 + a10 + a11
= 3a10 > 0，a9+ a12 = a10 + a11< 0，
所以a10 > 0，a11 < 0，d < 0，A 错误；n = 10
时，Sn最大，B 错误；
S19 = 19(a1+a19)
2
= 19a10 > 0，S20 = 20(a1+a20)
2
= 10(a10 + a11) < 0，故S19 ⋅S20< 0，C 错误；
S11 - S9 = a10 + a11 < 0，即S11 < S9，D 正确．故
选：ABC．
18.【解析】由题意得奇数项有n 项，偶数项有n
- 1 项，则S奇
S偶
=
n
n-1 = 60
54 ，解得n = 10．故答
案为：10．
19.【解析】由题意得奇数项有m 项，偶数项有
m-1
2
项，则S奇
S偶
=
m
m-1
2
= 77
33 ，解得m = 7，
又a1 - am = a1 - a7 =-6d = 18，解得d =-3；又
S7= 7a4= 77，得a1= 20，
故an = a1 + (n - 1)d = 20 + (n - 1) × (-3) =-3n +
23．故答案为：-3n + 23．
20.【解析】设bn =
1
an-3 ，则an = 1
bn
+ 3 代入
an-1an - 6an-1 + 9 = 0 可得
1
bn-1
+3
1
bn
+3
- 6 ⋅
1
bn-1
+3
⇒
1
bn-1bn
+
3
bn-1
+ 3
bn
+ 9 -
6
bn-1
- 18 + 9 = 0 ⇒
1
bn-1bn
-
3
bn-1
+ 3
bn
= 0 ⇒bn - bn-1 = 1
3 ，则bn
为等差数列，
即
1
an-3
为等差数列．
21.【解析】(1) 证明：因为
1
an+1-1 -
1
an-1 =
an-an+1
(an+1-1)(an-1) = 1
3 ，即bn+1 - bn = 1
3 ，所以数
列{bn} 是等差数列．
(2) 由(1) 及b1 =
1
a1-1 = 1，得bn = 1
3 n + 2
3 ，所
以an- 1 =
3
n+2 ，所以an= n+5
n+2 ．
22.【解析】(1) 证明：当n ≥2 时，an = Sn - Sn-1
且Sn(Sn- an) + 2an= 0，
所以Sn[Sn - (Sn - Sn-1)] + 2(Sn - Sn-1) = 0 即
SnSn-1+ 2(Sn- Sn-1) = 0，
因为Sn ≠0，所以1
Sn
-
1
Sn-1
= 1
2 ，又1
S1
= 1
a1
= 1
2 ，故数列
1
Sn
是以首项为1
2 ，公差为1
2 的
等差数列．
(2) 由(1) 知1
Sn
= n
2 ，所以Sn = 2
n ，当n ≥2 时，
an = Sn - Sn-1 =-
2
n(n-1) ．当n = 1 时，a1 = 2 不
适合上式，故an=
2，n=1
-
2
n(n-1) ，n≥2
．
8.3 等比数列
1.【解析】等比数列{an} 中，a1 + a3 = 8，a5 + a7
= 4，设等比数列{an} 的公比为q，
由题设
a1(1+q2)=8
a5(1+q2)=4
，则q4 = 1
2 ，即q2 =
1
2 ，
由a7+ a9= (a5+ a7)q2= 2 2．
故选：A．
2.【解析】因为{an} 是等比数列，且a6 - a4 = a4
(q2- 1) =-24，a7- a5= a5(q2- 1) = 48，
两式相除可得，a5
a4
= q =-2，所以a6 - a4 = a1(q5
- q3) =-24a1=-24，所以a1= 1．故选：C．
3.【解析】设等比数列{an} 的公比为q，a2 = 2a4
·237·
+ 3a6，则a2= 2a2⋅q2+ 3a2q4，即3q4+ 2q2- 1 = 0，
解得q2 = 1
3 (负值舍去)，故a4-a7
a2-a5
= q2(a2-a5)
a2-a5
= q2= 1
3 ．故选：B．
4.【解析】∵等比数列{an}，∴a2a4a5 = a2a3a6 =
a3a6，解得a2 = 1，而a9a10 = a2q7a2q8 = (a2)2q15 =
-8，
可得q15 = (q5)3 =-8，即q5 =-2，a7 = a2 ⋅q5 = 1 × (
-2) =-2．故答案为：-2．
5.【解析】设正项等比数列{an} 的公比为q(q >
0)，由3a1，1
2 a3，2a2 成等差数列，得a3 = 3a1 +
2a2，即a1q2 = 3a1 + 2a1q，∴q2 - 2q - 3 = 0，解得
q =- 1 ( 舍去) ，或q = 3 ．∴a2022+a2021
a2020+a2019
=
q2(a2020+a2019)
a2020+a2019
= q2= 9．故答案为：9．
6.【解析】设T5= 1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+ 1
a4
+ 1
a5
，
则2T5 =
1
a1
+ 1
a5
+
1
a2
+ 1
a4
+
1
a3
+ 1
a3
+
1
a4
+ 1
a2
+
1
a5
+ 1
a1
= a1+a5
a1a5
+ a2+a4
a2a4
+ a3+a3
a3a3
+ a2+a4
a2a4
+ a1+a5
a1a5
= 2 a1+a2+a3+a4+a5
a2
3
=
2× - 11
4
- 1
4
2
=-88，
所以T5=-44. 故选：A
7.【解析】依题意，等比数列an
满足：a1> 0 ,
q > 0 , a1a3a5a7a9= 32，
所以a5
5= 32 , a5= 2，且an> 0，所以a2+ a8≥
2 a2⋅a8 = 2 a2
5 = 4，
当且仅当a2= a8= 2 时等号成立，此时an= 2. 所
以a2+ a8的最小值为4. 故答案为：4
8.【解析】由题意可得：y= 3x2- 12x + 6，则
a3、a7是函数y= 3x2- 12x + 6 的零点，则
a3+a7=4>0
a3a7=2>0
，
且an
为等比数列，设公比为q ≠0，可得
a3>0
a7>0
a2
5=a3a7=2
，解得a5=± 2，
注意到a5= a3q2> 0，可得a5=
2. 故答案为：
2.
9.【解析】显然公比q ≠1，设首项为a 1，则
a1(1-q4)
1-q
=-5 ①，a1(1-q6)
1-q
= 21a1(1-q2)
1-q
②，
化简②得q4 + q2 - 20 = 0，解得q2 = 4 或q2 =-5(不
合题意，舍去)，代入①得
a1
1-q = 1
3 ，
所以S8= a1(1-q8)
1-q
=
a1
1-q (1 - q4) (1 + q4) = 1
3 × (
-15) × (1 + 16) =-85．故选：C．
10.【解析】设公比为q，显然q ≠1，(如果q = 1，
可得5 = 15 - 4 矛盾)，
可得1-q5
1-q = 5 ⋅1-q3
1-q - 4，解得q2= 4，即q = 2，
S4= 1-q4
1-q = 1-16
1-2 = 15．故选：C．
11.【解析】由Sn + an = 2 ①，得2a1 = 2，即a1 =
1，且Sn-1+ an-1= 2(n ≥2) ②，
①- ②得：an = 1
2 an-1(n ≥2)．∴数列{an} 是等
比数列，且a1= 1 , q = 1
2 ．
∴S5=
1× 1-
1
2
5
1- 1
2
= 31
16 ．故答案为：31
16 ．
12.【解析】解法一：性质+ 特值.
a1=-2 ⇒a7< 0，排除C，D；
当q = 1 时，2S9= S3+ S6⇒18a1= 3a1+ 6a1= 9a1
⇒a1= 0，矛盾，所以q ≠1，所以a7≠-2，故排
除A，
对B：a7=- 1
2 时，由a1=-2 得q3=- 1
2 ，此时
2S9= 2a1
1-q 1-q9
= 9
4 ⋅
a1
1-q ，
S3+ S6=
a1
1-q 1-q3
+
a1
1-q 1-q6
= 9
4 ⋅
a1
1-q ，
所以2S9= S3+ S6成立. 故选：B．
解法二：基本量运算.
当q = 1 时，2S9= S3+ S6⇒18a1= 3a1+ 6a1= 9a1
⇒a1= 0，矛盾，所以q ≠1，
当q ≠1 时，则2S9= S3+ S6⇒2a1
1-q 1-q9
=
a1
1-q 1-q3
+
a1
1-q 1-q6
⇒q3 q3-1
2q3+1
= 0 ⇒q3=- 1
2 ，∴a7= a1q6=
·238·
-2 × - 1
2
2
=- 1
2 . 故选：B．
解法三：二级结论Sm+n= Sm + qmSn.S9= S3+ q3S6
= S6+ q6S3⇒2S9= S3+ S6+ q3S6+ q6S3，
由2S9= S3+ S6，则q3S6+ q6S3= 0 ⇒S6+ q3S3=
0，又S6= S3+ q3S3= 1+q3
S3，
则-q3S3= 1+q3
S3⇒1+2q3
S3= 0 ⇒q3=- 1
2
或S3= 0，
当S3= 0 时，a1 1+q+q2
= 0，q 无解，故S3= 0
舍去.
所以q3=- 1
2 ,∴a7= a1q6=-2 × - 1
2
2
=- 1
2 . 故
选：B．
13.【解析】(1) 由题意，得S奇+S偶=-240
S奇-S偶=80
解得
S奇=-80
S偶=-160
所以q = S偶
S奇
= -160
-80 = 2．
(2) 法一：S10 = a1(1-q10)
1-q
，S5= a1(1-q5)
1-q
，则
S10
S5
= 1-q10
1-q5 = 1 + q5= 1
2 ，解得q5=- 1
2 ，所以
S15
S5
= a1(1-q15)
1-q
⋅
1-q
a1(1-q5) = 1-q15
1-q5 =
1- - 1
2
3
1- - 1
2
=
9
8
3
2
= 3
4 ．
法二：设等比数列{an} 的公比为q，因为S10 : S5 =
1 : 2，所以公比q ≠1，所以S5，S10 - S5，S15 -
S10 也成等比数列，即(S10 - S5)2 = S5·(S15 - S10)，
将S10 = 1
2 S5代入得S15 : S5= 3 : 4．
14.【解析】当a ≠10
3 时，数列{an} 不是等比数
列；当a = 10
3 时，数列{an} 是等比数列．
理由如下：当n ≥2 时，有3an+1+5Sn=10
3an+5Sn-1=10
，所
以3an+1- 3an+ 5an= 0，即an+1=- 2
3 an．
而当n = 1 时，有3 a 2 + 5S 1 = 10 ，求得a 2 =
10-5a
3
，显然当a2
a1
= 10-5a
3a
≠- 2
3 ，
即a ≠10
3 时，数列{an} 不是等比数列；当a2
a1
=
10-5a
3a
=- 2
3 ，即a = 10
3 时，数列{an} 是等比数
列．
15.【解析】证明：当n = 1 时，可得a1 = 1，2Sn
= 3an- 2n+ 1 ①
当n ≥2 时，2Sn-1= 3an-1- 2n-1+ 1 ②
①- ②得：an = 3an-1 + 2n-1，化简整理得：an +
2n= 3(an-1+ 2n-1)，
故数列{an + 2n} 是以3 为首项，3 为公比的等比数
列，所以an= 3n- 2n．
16.【解析】(1) 由已知an+1 = a2
n + 2an，∴an+1 + 1
= (an + 1)2，∵a1 = 2，∴an + 1 > 1，两边取对数
得lg(1 + an+1) = 2lg(1 + an)，即lg(1+an+1)
lg(1+an)
= 2，
∴{lg(1 + an)} 是公比为2 的等比数列．
(2) 由(2) 知lg(1 + an) = 2n-1 ⋅lg(1 + a1) = 2n-1 ⋅lg3
= lg32n-1，∴1 + an= 32n-1，∴an= 32n-1- 1．
17.【解析】(1) 证明：已知数列{an} 的前n 项和
Sn 满足a1 = 3，a2 = 0，an = 6Sn-2，则Sn - Sn-1 =
6Sn-2，
即Sn+ 2Sn-1= 3(Sn-1+ 2Sn-2)，又S2+ 2S1= 9，
即数列{Sn+ 2Sn-1} 为以9 为首项，3 为公比的等
比数列；
2. 由(1) 可得Sn+ 2Sn-1= 3n，则Sn- 3n+1
5
=
-2 Sn-1- 3n
5
，又S1- 9
5 = 6
5 ，
数列Sn- 3n+1
5
是以6
5 为首项，-2 为公比的等
比数列，则Sn- 3n+1
5
= 6
5 × (-2)n-1，即Sn=
3n+1
5
+ 6
5 × (-2)n-1，
则当n ≥2 时，an= Sn- Sn-1= 3n+1
5
+ 6
5 × (-2)
n-1- 3n
5 - 6
5 × (-2)n-2= 2×3n
5
- 18
5 × (-2)n-2，
又n = 1 时，a1= 3 满足上式，即an=
2×3n+9×(-2)n-1
5
．
18.【解析】根据题意得：定期存款的本息和是以
5(1 + 4%) 为首项，(1 + 4%) 为公比的等比数列，
所以，三年后的本息和为5(1 + 4%) ⋅(1 + 4%)2 = 5
(1 + 4%)3，
则三年后支取可获得的利息为5(1 + 4%)3 - 5(万
元)，故选：C．
19.【解析】初始一名感染者，经过一轮传染后，
·239·
感染人数为1 + R0= 4 人，经过二轮传染后，感染
人数为4 + 4R0= 16 人，经过三轮传染后，感染人
数为16 + 16R0= 64 人；则每一轮传染后的感染人
数构成以4 为首项，以4 为公比的等比数列，设为
{an}，到第n 轮传染后，感染人数为an= 4 ⋅4n-1=
4n，由4n< 2000，
得：n ≤lg2000
lg4
= lg2+3
2lg2
≈5.5，感染人数由1 个
初始感染者增加到2000 人大约需要的传染轮数为
6 轮．故选：B．
20.【解析】解：按规律，a1 = 4 - 1 = 3，a2 = 2
× 3 - 1 = 5，a3 = 2 × 5 - 1 = 9，…，an+1 = 2an -
1；
∴an+1 - 1 = 2(an - 1)，即{an - 1} 是等比数列，其
首项为2，公比为2，故an- 1 = 2n，∴an= 2n+ 1．
故答案为：2n+ 1．
21.【解析】由题知，c 1 = 1200，c 2 = 1.05c 1 -
100，c3= 1.05c2- 100，…，cn+1= 1.05cn- 100，
由cn+1 - k = r(cn - k) 得cn+1 = rcn - rk + k，则
r=1.05
k-rk=-100
，解得r=1.05
k=2000
，
所以cn+1 - 2000 = 1.05(cn - 2000)，则{cn - 2000}
是以-800 为首项，1.05 为公比的等比数列，
因c 1 - 2000 + c 2 - 2000 ++ c 10 - 2000 =
-800(1-1.0510)
1-1.05
≈-10080，
所以S10 = c1 + c2 ++ c10 = 20000 - 10080 = 9920．
故答案为：9920．
8.4 数列的递推与通项公式
1.【解析】由2 Sn = an+ 1，n = 1 代入得a1= 1，
两边平方得4Sn= (an+ 1)2①，
n ≥2 时，4Sn-1 = (an-1 + 1)2 ②，①- ②，得4an
= (an + 1)2 - (an-1 + 1)2，∴(an - 1)2 - (an-1 + 1)2 =
0，
∴[(an - 1) + (an-1 + 1)] [(an - 1) - (an-1 + 1)] =
0，由正数数列{an}，得an- an-1= 2，
∴数列{an} 是以1 为首项，2 为公差的等差数列，
∴有an= 2n - 1；
2.【解析】①∵Sn = 1
2 (n + 1) (an + 1) - 1，Sn+1
= 1
2 (n + 2) (an+1+ 1) - 1，
∵an+1 = Sn+1 - Sn，∴nan+1 = (n + 1)an - 1 ①，∴
(n + 1)an+2= (n + 2)an+1- 1 ②，
②- ①得(n + 1)an+2- nan+1= (n + 2)an+1- (n + 1)
an，∴2(n + 1)an+1= (n + 1) (an+2+ an)，
∴2an+1 = an+2 + an，∴数列{an} 为等差数列，由
nan+1= (n + 1)an- 1，得a2= 2a1- 1 = 5，
又a1 = 3，故公差为2，得an = 3 + (n - 1) × 2 =
2n + 1．
3.【解析】因为an = an-1 +
n+1 -
n (n ≥2)，
所以an- an-1=
n+1 -
n.
所以an = (an - an-1) + (an-1 - an-2) +⋯+ (a2 - a1)
+ a1
= ( n+1 -
n) + ( n -
n-1) +⋯+ ( 3 -
2)
+ 1 =
n+1 -
2 + 1.
又a1 = 1 也符合上式，所以an =
n+1 -
2 + 1，
n ∈N *.
4.【解析】因为an+1
n+1 - an
n =
1
n n+1
= 1
n -
1
n+1 ，所以an
n =
an
n - an-1
n-1
+
an-1
n-1 - an-2
n-2
+⋯+ a2
2 - a1
1
+ a1
=
1
n-1 - 1
n
+
1
n-2 -
1
n-1
+⋯+ 1- 1
2
+
1 = 2 - 1
n ，所以an= 2n - 1．
5.【解析】由题意可知：an+1-an
an
= 1
n ⇒an+1
an
=
n+1
n
⇒an
an-1
=
n
n-1 n≥2
，显然有a2
a1
= 2 , a3
a2
= 3
2 ⇒a2= 2π
3 , a1= π
3 ，
由累乘法可得a4
a3
× a5
a4
×⋯× an
an-1
= 4
3 × 5
4 ×⋯
×
n
n-1 ⇒an
a3
= n
3 ⇒an= nπ
3
n∈N ∗
. 故答案为：
nπ
3
n∈N ∗
6.【解析】数列an
中，a2= 1，Sn为an
前n
项和，当n = 1 时，2S1= a1⇒2a1= a1，∴a1= 0，
当n ≥2 时，2Sn= nan①，2Sn+1= n+1
an+1②，
由②- ①得：2Sn+1- 2Sn= n+1
an+1- nan，
2 Sn+1-Sn
= n+1
an+1- nan，即nan=
n-1
an+1，当n ≥2 时，an+1
an
=
n
n-1 ，
·240·
可得：an
an-1
= n-1
n-2 ，⋯，a4
a3
= 3
2 ，a3
a2
= 2
1 ，
由累乘法可得：an+1
an
⋅an
an-1
⋯a4
a3
⋅a3
a2
=
n
n-1 ×
n-1
n-2 ×⋯× 3
2 × 2
1 ，
an+1
a2
= n，又因为a2= 1，所以an+1= n，即an= n
- 1，经检验，当n = 1 时a1= 0 符合上式，
所以an= n - 1；
7.【解析】由λ =
b
k-1 = 2 得an+1+ 2 = 2 an+2
，
又a1+ 2 = 3 ≠0，所以an+1+2
an+2
= 2，
故an+2
为首项为3，公比为2 的等比数列，所
以an+ 2 = 3 ⋅2n-1，故an= 3 ⋅2n-1- 2. 故选：B.
8.【解析】由Sn= 3 + an+1得，Sn= 3 + Sn+1- Sn，
所以Sn+1 = 2Sn - 3，由λ =
b
k-1 =-3 得Sn+1 - 3
= 2(Sn- 3)，
所以数列{Sn - 3} 为等比数列；当n = 1 时，S1 =
a1 = 3 + a2，又2a2 - a1 =-2，∴S1 = a1 = 4，a2 =
1，
则Sn - 3 = (S1 - 3) ⋅2n-1 = 2n-1，所以Sn = 2n-1 +
3，当n ≥2 时，an = Sn - Sn-1 = 2n-1 + 3 - 2n-2 -
3 = 2n-2，
当n = 1 时，符合该式，故an= 2n-2．
9.【解析】令an+1 + α(n + 1) + β = 1
2 (an + αn +
β)，即an+1 = 1
2 an - 1
2 αn - 1
2 β - α，得α =-1，
β = 0，
故an+1 - (n + 1) = 3(an - n)，∴数列{an - n} 是首
项为- 1
2 ，公比为3 的等比数列，
得a n - n =- 1
2
1
2
n-1
=-
1
2
n
，所以a n =
- 1
2
n
+ n．
10.【解析】由an+1= 3an+ 2 × 3n，两边同除以
3n+1，可得an+1
3n+1 = an
3n + 2
3 ，即an+1
3n+1 - an
3n = 2
3 ，
因为a1= 2，可得a1
3 = 2
3 ，所以数列
an
3n
是首
项为2
3 ，公差为2
3 的等差数列，
可得an
3n = 2
3 + (n - 1) × 2
3 = 2n
3 ，所以an= 2n
3
× 3n= 2n ⋅3n-1，
即数列an
的通项公式为an= 2n ⋅3n-1, n ∈N ∗.
11.【解析】法一两边同时除以5n+1，得an+1
5n+1 =
2
5 × an
5n + 3
5 ①，令bn= an
5n ，则①式变为bn+1=
2
5 bn+ 3
5 ，
即bn+1- 1 = 2
5
bn-1
，所以数列bn-1
是等比
数列，其首项为b1- 1 = a1
5 - 1 =- 3
5 ，公比为
2
5 ，
所以bn- 1 =- 3
5 ×
2
5
n-1
，即bn= 1 - 3
5 ×
2
5
n-1
，所以an
5n = 1 - 3
5 ×
2
5
n-1
= 1 -
3×2n-1
5n
，
所以an= 5n- 3 × 2n-1，
法二设an+1+ k × 5n+1= 2(an+ k × 5n)，则an+1=
2an- 3k × 5n，
与an+1= 2an+ 3 × 5n比较可得k =-1，所以an+1-
5n+1= 2(an- 5n)，
所以数列an-5n
是首项为a1- 5 =-3，公比为2
的等比数列，
所以an- 5n=-3 × 2n-1，所以an= 5n- 3 × 2n-1，
故选：D
12.【解析】因为an+1=
an
an+2 ，所以
1
an+1
=
an+2
an
= 2
an + 1，则
1
an+1
+ 1 = 2
1
an +1
，又1
a1
+ 1 = 2，
所以
1
an +1
是首项为2 公比为2 的等比数列，所
以1
an + 1 = 2n，所以1
an = 2n- 1，an=
1
2n-1 ，
所以a2024 S2024+2024
=
1
22024-1 ×
2 1-22024
1-2
-2024+2024
，
所以a2024 S2024+2024
=
1
22024-1 × -2 1-22024
= 2，故选：D.
13.【解析】由已知an+1 = a2
n + 2an，∴an+1 + 1 =
(an + 1)2，∵a1 = 2，∴an + 1 > 1，两边取对数得
·241·
lg(1 + an+1) = 2lg(1 + an)，即lg(1+an+1)
lg(1+an)
= 2，∴
{lg(1 + an)} 是公比为2 的等比数列．
则lg(1 + an) = 2n-1 ⋅lg(1 + a1) = 2n-1 ⋅lg3 = lg32n-1，
∴1 + an= 32n-1，所以an= 32n-1- 1．
14.【解析】由题设可得an+ an-1+ 1 = 2an-1+
2an-2+ 2 = 2 an-1+an-2+1
，
已知a1= 1，a2= 1，所以a1+ a2+ 1 = 3，
即an+1+an+1
是一个以3 为首项，2 为公比的等
比数列，
所以an+ an-1+ 1 = 3 × 2n-2，即an+ an-1= 3 ×
2n-2- 1(n ≥2 , n ∈N ∗)，
a1+ a2= 3 × 20- 1，a3+ a4= 3 × 22- 1，a5+ a6=
3 × 24- 1，⋯，a59+ a60= 3 × 258- 1，
S60= a1+ a2+⋯+a60= 3 20+22+⋯+258
- 30 = 3
× 1-430
1-4 - 30 = 430- 31，故选B.
15.【解析】∵an+ an+1= 3n - 54，①∴an+ an-1
= 3(n - 1) - 54，②∴由①- ②得an+1- an-1= 3，
法一分奇偶讨论法
由于a1，a3，a5，与a2，a4，a6，都是d = 3 的等
差数列，又a1= a，a1+ a2= 3 - 54 =-51，∴a2=
-51 - a，
∴当n 为奇数时，an= a + 3 n+1
2
-1
=
3n+2a-3
2
；当n 为偶数时，an=-51 - a +
3 n
2 -1
= 3n-2a-108
2
；
∴an=
3n+2a-3
2
n为奇数
3n-2a-108
2
n为偶数
．
法二待定系数法
令an= xn + y + z -1
n，则an+1= xn + x + y +
z -1
n+1，则an+ an+1= 2xn + x + 2y = 3n - 54，
对比系数得：x = 3
2 ，y =- 111
4 ；由于a1= x + y
- z =- 105
4
- z = a ⇒z =- 105
4
- a，
故an= 3
2 n - 111
4
-
105
4
+a
-1
n
16.【解析】由已知，有a3+a4
- a2+a3
=
a4+a5
- a3+a4
，即a4- a2= a5- a3，所以
a2 q-1
= a3 q-1
. 又因为q ≠1，故a3= a2= 2，
由a3= a1⋅q，得q = 2.
当n = 2k - 1(k ∈N ∗) 时，an= a2k-1= 2k-1= 2
n-1
2 ；
当n = 2k(k ∈N ∗) 时，an= a2k= 2k= 2
n
2 .
所以an
的通项公式为an= 2
n-1
2 ,
n=2k-1
2
n
2 ,
n=2k
(k
∈N ∗).
17.【解析】第一步，求不动点，设f x
=-x + 1，
令f x
= x 得：-x + 1 = x，所以x = 1
2 ；
第二步，减不动点an+1 - 1
2 =-an + 1 - 1
2 ，所以
an+1- 1
2 =- an- 1
2
；
第三步，构造数列求通项，因为a1 - 1
2 = 1
2 ，所
以an- 1
2
是首项为1
2 ，公比为-1 的等比数列，
从而an - 1
2 = 1
2 × -1
n-1，故an = 1
2 × -1
n-1
+ 1
2 .
18. 【解析】第一步，求不动点，设f x
=
-
1
x+2 ，令f x
= x 得：-
1
x+2 = x，解得：x
=-1；
第二步，减不动点，a n+1 - -1
=-
1
an+2 -
-1
，化简得：an+1+ 1 = an+1
an+2 ，
所以
1
an+1+1 = an+2
an+1 = an+1+1
an+1
= 1 +
1
an+1 ，
从而
1
an+1+1 -
1
an+1 = 1，
又
1
a1+1 = 1
3 ，所以
1
an+1
是首项为1
3 ，公差
为1 的等差数列，
故
1
an+1 = 1
3 + n-1
× 1 = n - 2
3 ，所以an =
5-3n
3n-2 .
19.【解析】设f x
= 1+x
1-x ，令f x
= x 得：
1+x
1-x = x，化简得：x2+ 1 = 0，无解，
这种情况下an
一般是周期不大的周期数列，我
们来算一下前几项看规律，
由题意，a1 = 1
2 ，a2 = 1+a1
1-a1
= 3，a3 = 1+a2
1-a2
=
-2，a4= 1+a3
1-a3
=- 1
3 ，a5= 1+a4
1-a4
= 1
2 = a1，
·242·
所以an
是周期为4 的周期数列，故a 20 = a4 =
- 1
3 .
20.【解析】特征方程为x2 =-x + 2，解得：x =
-2 或1，所以可设an= A ⋅-2
n+ B，
因为a1 = 1，a2 = 2，所以-2A+B=1
4A+B=2
，解得：
A = 1
6 ，B = 4
3 ，故an= 1
6 × -2
n+ 4
3 .
21.【解析】法一由Sn= a1+ a2+⋅⋅⋅+an= an+2-
1，结合题意得S2020= M + N = a2022- 1，故a2022=
M + N + 1．
法二因为a1+ a3+ a5+⋯+a2019 = M，由a1+ a3+
a5+⋯+a2019 = M，a2+ a4+ a6+⋯+a2020= N，
得S2020= N + M，所以a1+ a1+a2
+ a3+a4
+
a5+a6
+⋯+ a2017+a2018
= a1+ S2018 = M，
得S2018 = M - a1= M，因为a2+ a4+ a6+⋯+a2020
= N，
所以a2+ a2+a3
+ a4+a5
+⋯+ a2018+a2019
=
S2019 - a1+ a2= S2019 + 1 = N，S2019 = N - 1，
所以a2020= S2020- S2019 = N+M
- N-1
= M +
1，a2019 = S2019 - S2018 = N-1
- M = N - M - 1，
所以a2021= a2019 + a2020= N，a2022= a2020+ a2021=
M + N + 1.
故答案为：M + N + 1.
22.【解答】显然A 正确；数列{Fn} 各项除以2 后
所得的余数构成一个新数列为1，1，0，1，1，
0，…，即为最小正周期为3 的数列，可得S2023 =
674 × (1 + 1 + 0) + 1 = 1349，故B 正确；
数列{Fn} 的前2021 项的和为T2021 = F2023 - 1 = m
- 1，故C 错误；
由平方性质得F 2
1 +F 2
2 +…+F 2
2022
F2022
= F2023，故D 正
确．故选ABD．
23.【解析】∵b1 = 1，b2 = 2，b3 = 3，b4 = 5，b5
= 8，∴当n ≥3 时，bn= bn-1+ bn-2，
∴b6 = 13，b7 = 21，A 正确；b1 + b2 + b3 + b5 + b7
= 1 + 2 + 3 + 8 + 21 = 35，B 错误；
∵b2
1 = 1，b2
2 = b2(b3 - b1) = b2b3 - b2b1，∴b2
n = bn
(bn+1- bn-1) = bnbn+1- bnbn-1，
∴b2
1 + b2
2+ … +b2
n= 1 - b1b2+ bn⋅bn+1= bn⋅bn+1- 1，
C 正确；
∵bn-2 = bn - bn-1，bn+2 = bn + bn+1，∴bn-2 + bn+2 =
2bn+ bn+1- bn-1= 3bn，D 正确．
故选：ACD．
注：本题C 选项，也可利用平方关系快速得到b2
1 +
b2
2 +⋯+b2
n = bn ⋅bn+1 - 1，此处减1 是斐波那契数列
的第一项1．
8.5 数列求和
1.【解析】(1) 当n = 1 时a1 = S1 = 12 + 2 × 1 + 3 =
6，当n ≥2 时，Sn-1= n-1
2+ 2 n-1
+ 3，
所以an= Sn- Sn-1= n2+ 2n + 3 -
n-1
2+2 n-1
+3
= 2n + 1，又当n = 1 时，
a1= 6 ≠2 × 1 + 1，
所以an= 6,
n=1
2n+1,
n≥2
，
(2)S n = n 2 + 2n + 3，故Tn = 12+22+⋯+n2
+
5+7+⋯+2n+3
= 1
3 n n+ 1
2
(n + 1) + n(n +
4)．
2.【解析】bn= (-1)nan= (-1)n 2n-1
，
①当n 为偶数时，Tn =-1 + 2 - 3 + 4 +⋯+2n - 1
= 2 × n
2 = n，
②当n 为奇数时，T n = T n-1 +
-2n+1
=
-2n+1
+ 2 × n-1
2
=-n，
故Tn= n，n为偶数
-n，n为奇数
．
3.【解析】根据题意，数列{an} 满足Sn+ Sn-1=
4n2(n ≥2) ①，则有Sn-1+ Sn-2= 4(n - 1)2(n ≥3)
②，
①- ②：Sn- Sn-2= an+ an-1= 8n - 4，(n ≥3)，
则an+1+ an= 8n + 4，
则S99= a1+ (a2+ a3) + (a4+ a5) +⋯+ (a98+ a99) =
1 + (99-1) 8(99+1)+8
4
= 19797，
对于Sn+ Sn-1= 4n2，当n = 100 时，有S100 + S99
= 2S99+ a100 = 40000，
则a100 = 40000 - 2S99= 406，故答案为406．
4.【解析】(1) 由题设可得b1= a2= a1+ 1 = 2 , b2
= a4= a3+ 1 = a2+ 2 + 1 = 5，当n = 2k + 1 时，
a2k+2= a2k+1+ 1；当n = 2k 时，a2k+1= a2k+ 2，(k
·243·
∈N *) 故a2k+2= a2k+ 3，即bn+1= bn+ 3，即bn+1-
bn= 3，所以{bn} 为等差数列，故bn= 2 + (n - 1)
× 3 = 3n - 1．
(2) 法一由(1) 知bn = a2n = 3n - 1，则S20 = a1 +
a2 + a3 +⋯+a20 = (a1 + a3 + a5 +⋯a19) + (a2 + a4 +
a6+⋯+a20)
= (b1 - 1 + b2 - 1 + b3 - 1 +⋯+b10 - 1) + b1 + b2 + b3
+⋯+b10 = 2 × (b1+b10)×10
2
- 10 = 300．
法二由题意知数列an
满足a1 = 1 , a2n = a2n-1 + 1
, a2n+1= a2n+ 2，所以a2n+1= a2n+ 2 = a2n-1+ 3．
所以数列an
的奇数项是以1 为首项，3 为公差的
等差数列；
同理，由a2n+2 = a2n+1 + 1 = a2n + 3 知数列an
的
偶数项是以2 为首项，3 为公差的等差数列．
从而数列an
的前20 项和为：
S20 = (a1 + a3 + a5 +⋯+a19) + (a2 + a4 + a6 +⋯
+a20) = 10 × 1 + 10×9
2
× 3 + 10 × 2 + 10×9
2
× 3 =
300．
4.【解析】(1) 依题意可得an= 1 + 2 n-1
= 2n
- 1，∵2Sn= b2
n+ bn①，当n ≥2 时，2Sn-1= b2
n-1
+ bn-1②，
①- ②⇒2bn= b2
n- b2
n-1+ bn- bn-1⇒
bn+bn-1
bn-bn-1
- bn+bn-1
= 0，⇒
bn+bn-1
bn-bn-1-1
= 0，n≥2
，
∵bn> 0，∴bn- bn-1= 1，且在①式中令n = 1 ⇒
b1= 1 或b1= 0(舍去)，∴bn= 1 + n-1
× 1 = n，
综上可得an= 2n - 1，bn= n．
(2) 由(1) 可得cn= an,n为奇数
2bn,n为偶数
=
2n-1,n为奇数
2n,n为偶数
，
∴c1+ c2+⋯+c2n= c1+c3+⋯+c2n-1
+
c2+c4+⋯+c2n
= 1+5+⋯+4n-3
+ 22+24+⋯+22n
=
4n-2
×n
2
+ 4 1-4n
1-4
= 2n-1
n + 4n+1-4
3
．
5.【解析】(1) 设等差数列{an} 的公差为d，Sn，
Tn为{an} {bn} 的前n 项和，S4= 32，T3= 16，
则
a1+a2+a3+a4=32
a1-6+2a2+a3-6=16
，
即
4a1+ 4(4-1)
2
d=32
a2=7
，解得a1=5
d=2
，故an = 5 + 2(n
- 1) = 2n + 3；
(2) 证明：由(1) 可知，bn = 2n-3,n为奇数
4n+6,n为偶数
，Sn
= (5+2n+3)n
2
= (n + 4)n，
当n 为偶数时，n > 5，Tn =-1 + 3 + … +2(n - 1)
- 3 + 14 + 22 + … +4n + 6
=
n
2 [-1+2(n-1)-3]
2
+
n
2 (14+4n+6)
2
=
n
2 (14+6n)
2
= n(3n+7)
2
，Tn- Sn= n2-n
2
> 0，
当n 为奇数时，n > 5 ，T n = T n-1 + b n =
(n-1)(3n+4)
2
+ 2n - 3 = 3n2+5n-10
2
，
Tn- Sn= n2-3n-10
2
> 25-15-10
2
= 0，
故原式得证
6.【解析】由an+1 + (-1)nan = 2n - 1，显然满足模
型，且A = 2 ，B =-1 ，故S4，S8 - S4，S12
- S8 ⋯是以6A + 2B = 10 为首项，8A = 16 为公差
的等差数列，S60 = S4 + (S8 - S4) +⋯+ (S60 - S56)
= 15S4+ 15×14
2
× 16 = 1830．
7.【解析】易知数列为二阶等差数列，易知d1=
2，d2= 8，
于是S20= 20 + 20(20-1)
2
⋅2 + 20(20-1)(20-2)
6
⋅8 = 9520．
8.【解析】∵函数f(x) = 1
2 + log2
x
1-x ，
∴f(x) + f(1 - x) = 1 + log2
x
1-x + log2 1-x
x
= 1
+ log21 = 1，
∵Sn= f
1
n
+ f
2
n
+ f
3
n
+⋯+f n-1
n
，
∴2Sn = f
1
n
+ f n-1
n
+ f
2
n
+ f n-2
n
+⋯
+f n-1
n
+ f
1
n
= 1 × (n - 1) = n - 1，∴Sn= n-1
2
．
9.【解析】(1) 因为点n,Sn
n∈N *
均在函数
f x
的图象上，所以Sn= 1
2 n2+ 1
2 n，
·244·
当n ≥2 时，an= Sn- Sn-1= 1
2 n2+ 1
2 n -
1
2
n-1
2- 1
2
n-1
= n，
当n = 1 时，a1= S1= 1，适合上式，所以an= n.
(2) 因为g x
=
4x
4x+2 ，所以g 1-x
=
41-x
41-x+2 =
2
4x+2 ，所以g x
+ g 1-x
=
4x
4x+2 +
2
4x+2 = 1.
(3) 由(1) 知an= n，可得bn= g
an
2021
=
g
n
2021
，
所以T2020= b1+ b2+⋯+b2020= g
1
2021
+
g
2
2021
+⋯+g 2020
2021
，①
又因为T2020= b2020+ b2019 +⋯+b1= g 2020
2021
+
g 2019
2021
+⋯+g
1
2021
，②
因为g x
+ g 1-x
= 1，以①+ ②，得2T2020=
2020，所以T2020= 1010.
10.【解析】(1) 在等差数列中，∵a2 = 11，S10 =
40．∴
a1+d=11
10a1+ 10×9
2
d=40
，即
a1+d=11
a1+ 9
2 d=4
，
得a1 = 13，d =-2，则an = 13 - 2(n - 1) =-2n +
15(n ∈N ⋅)．
(2)|an| = | -2n + 15| = -2n+15,
1≤n≤7
2n-15,
n≥8
，即
1 ≤n ≤7 时，|an| = an，当n ≥8 时，|an| =-an，
当1 ≤n ≤7 时，数列{|an|} 的前n 项和Tn = a1 ++
an= 13n + n(n-1)
2
× (-2) =-n2+ 14n，
当n ≥8 时，数列{|an|} 的前n 项和Tn = a1 ++ a7
--
a
n
=- S
n
+
2 ( a
1
++
a
7 )
=
- 13n+ n(n-1)
2
×(-2)
+ 2 × 13+1
2
× 7 = n2 -
14n + 98．
11.【解析】由题意，可得
2n+1
(2n+n)(2n+1+n+1) =
1
2n+n -
1
2n+1+n+1 ，
则S n =
1
21+1 -
1
22+2 +
1
22+2 -
1
32+3 +⋯
+
1
2n+n -
1
2n+1+n+1 = 1
3 -
1
2n+1+n+1 ，
∵Sn> 17
60 ，∴1
3 -
1
2n+1+n+1 > 17
60 ，
即
1
2n+1+n+1 < 1
20 ，∴2n+1 + n + 1 > 20，构造
数列{an}：令an= 2n+1+ n + 1，
则an+1 = 2n+2 + n + 2，∵an+1 - an = 2n+2 + n + 2 -
(2n+1+ n + 1) = 2n+1+ 1 > 0，
∴数列{an} 是单调递增数列，∵当n = 3 时，a3 =
24+ 4 = 20，
当n = 4 时，a4 = 25 + 5 = 37 > 20，∴满足不等式
Sn> 17
60 的n 的最小值为4．
故答案为：4．
12.【解析】(1) 解：由已知可得an+ an+1= 4n +
4，设等差数列an
的公差为d，
则a1+a2=2a1+d=8
a2+a3=2a1+3d=12
，解得a1=3
d=2
，所以，an
= a1+ n-1
d = 3 + 2 n-1
= 2n + 1.
(2) 证明：bn=
1
an-1
an+1+1
=
1
2n 2 n+1
+1+1
=
1
4n n+2
=
1
8
1
n -
1
n+2
，
所以，Tn= 1
8
1- 1
3
+ 1
8
1
2 - 1
4
+
1
8
1
3 - 1
5
+⋯+ 1
8
1
n -
1
n+2
=
1
8
1+ 1
2 -
1
n+1 -
1
n+2
< 1
8 × 3
2 = 3
16 .
故对任意的n ∈N ∗，Tn< 3
16 .
13.【解析】(1) 由当n ≥2 时，bn= Sn- Sn-1=
2n - 1，当n = 1 时，b1= S1= 1 满足上式，所以
bn= 2n - 1，
(2)bn=
1+ 1
Sn +
1
Sn+1 =
1+ 1
n2 +
1
n+1
2 =
n n+1
+1
2
n n+1
2
= n n+1
+1
n n+1
= 1 +
1
n n+1
= 1 + 1
n -
1
n+1 ，
故Tn= b1+ b2+⋅⋅⋅+bn= 1+ 1
1 - 1
2
+
1+ 1
2 - 1
3
+⋅⋅⋅+ 1+ 1
n -
1
n+1
= n + 1 -
·245·
1
n+1 = n2+2n
n+1 ．
14.【解析】(1) 因为a2
n+ 2an= 4Sn- 1，所以当n
= 1 时，a2
1 + 2a1= 4S1- 1 = 4a1- 1，解得a1= 1，
当n ≥2 时，a2
n-1+ 2an-1= 4Sn-1- 1，两式相减
得，a2
n- a2
n-1+ 2an- 2an-1= 4an，
化简得，an-an-1-2
an+an-1
= 0，因为an>
0，所以an+ an-1> 0，则an- an-1= 2，
即an
是首项为a1= 1，公差为2 的等差数列，所
以an
的通项公式为an= 1 + 2 n-1
= 2n - 1
(2) 由(1) 知，Sn= n 1+2n-1
2
= n2，因为bn=
Sn
anan+1
，
所以bn=
n2
2n-1
2n+1
=
n2
4n2-1 = 1
4 +
1
4 2n-1
2n+1
= 1
4 + 1
8
1
2n-1 -
1
2n+1
，
所以Pn= n
4 + 1
8
1- 1
3 + 1
3 -⋯-
1
2n+1
= n
4
+ 1
8
1-
1
2n+1
= n
4 +
n
4 2n+1
= n n+1
2 2n+1
(3) 由(1) 知，- 1
2
an+1
2 = - 1
2
2n-1+1
2
= - 1
2
n
，
所以Tn=- 1
2 + 1
4 - 1
8 + 1
16 +⋯+ - 1
2
n
，
所以当n ≥3 时，T1=- 1
2 < Tn< T2=- 1
4 ，因为
Tn- 1
Tn 随Tn的增大而增大，
所以Tn- 1
Tn
max = T2- 1
T2
=- 1
4 + 4 = 15
4 ，
Tn- 1
Tn
min = T1- 1
T1
=- 1
2 + 2 = 3
2 ，
所以λ ≤3
2 , t ≥15
4 ，所以t - λ 的最小值为15
4 -
3
2 = 9
4
15.【解析】(1) 因为Sn= 2an- n ①，当n = 1 时
S1= 2a1- 1，解得a1= 1，
当n ≥2 时Sn-1= 2an-1- n-1
②，①- ②得Sn
- Sn-1= 2an- n - 2an-1+ n-1
，即an= 2an-
2an-1- 1，
所以an= 2an-1+ 1，则an+ 1 = 2 an-1+1
，所以
an+1
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以an+ 1 = 2n，则an= 2n- 1.
(2) 由(1) 可得bn=
-1
n+1 3an+1
anan+1
=
-1
n+1 3×2n-2
2n-1
2n+1-1
= -1
n+1
1
2n-1 +
1
2n+1-1
，
所以T2n=
1
21-1 +
1
22-1
-
1
22-1 +
1
23-1
+
1
23-1 +
1
24-1
+⋯+ -
1
22n-1 +
1
22n+1-1
=
1
21-1 +
1
22-1 -
1
22-1 -
1
23-1 +
1
23-1 +
1
24-1 +⋯-
1
22n-1 -
1
22n+1-1
=
1
21-1 -
1
22n+1-1 = 1 -
1
22n+1-1 .
16.【解析】(1) 设an
的公比为q，由题意，可
得a1q2=b1+2d
a1+a1q+a1q2=b1+4d
，解得q=2
d=3
，
所以an= 2n，所以Sn= 2× 1-2n
1-2
= 2n+1- 2；
(2) 由(1) 得bn= 2 + 3 n-1
= 3n - 1，所以
2n+1
n2 bn+4
2 =
2n+1
n2(3n+3)2 =
2n+1
9n2(n+1)2 =
1
9
1
n2 -
1
(n+1)2
，
所以Tn= b1+ b2+⋯+bn= 1
9 ×
1- 1
22
+
1
22 - 1
32
+⋯+
1
n2 -
1
(n+1)2
=
1
9 × 1-
1
n+1
2
，
因为1 -
1
n+1
2
< 1，所以Tn≤1
9 ，得证.
17.【解析】(1) 数列an
中，a2= 1，Sn为an
前n 项和，当n = 1 时，2S1= a1⇒2a1= a1，∴a1
= 0，
当n ≥2 时，2Sn= nan①，2Sn+1= n+1
an+1②，
由②- ①得：2Sn+1- 2Sn= n+1
an+1- nan，
2 Sn+1-Sn
= n+1
an+1- nan，即nan=
n-1
an+1，当n ≥2 时，an+1
an
=
n
n-1 ，
由累乘法可得：an+1
an
⋅an
an-1
⋯a4
a3
⋅a3
a2
=
n
n-1 ×
n-1
n-2 ×⋯× 3
2 × 2
1 ，an+1
a2
= n，又因为a2= 1，
所以an+1= n，
即an= n - 1，经检验，当n = 1 时a1= 0 符合上
·246·
式，所以an= n - 1；
(2) 由(1) 可知an= n - 1，an+1= n，所以：bn=
sin1
cos an+1
cos an+1+1
=
sin1
cosncos n+1
=
sin
n+1
-n
cosncos n+1
= sin n+1
cosn-cos n+1
sinn
cosncos n+1
=
sin n+1
cosn
cosncos n+1
- cos n+1
sinn
cosncos n+1
= tan n+1
-
tann，
所以Tn= b1+ b2+ b3+⋯bn
= tan2-tan1
+ tan3-tan2
+⋯
+ tann-tan n-1
+ tan n+1
-tann
=
tan n+1
- tan1；
18.【解析】由题意2an+1= a2
n+ 1 ≥2an，即有数
列{an} 递增，又2(an+1- 1) = a2
n- 1 = (an- 1) (an
+ 1)，可得
1
2(an+1-1) = 1
2
1
an-1 -
1
an+1
，即
有
1
an+1 =
1
an-1 -
1
an+1-1 ，而bn= 2an-1
an+1 = 2
-
3
an+1 ，则S2022= b1+ b2+ b3+⋯+b2022= 2 ×
2022 - 3
1
a1+1 +
1
a2+1 +⋯+
1
a2022+1
= 4044 -
3
1
a1-1 -
1
a2-1 +
1
a2-1 -
1
a3-1 +⋯+
1
a2022-1 -
1
a2023-1
= 4044 - 3 1-
1
a2023-1
= 4041 +
3
a2023-1 ，而数
列{an} 递增，a1= 2，a2= 5
2 ，a3= 29
8 ，a4=
841
128 > 4，所以a2023> 4，由数列{bn} 的前2022 项
和S2022> t，可得整数t 的最大值为4041．故答案
为4041．
19.【解析】(1) ∵a1，3a2，9a3 成等差数列，∴
6a2= a1+ 9a3，
∵{an} 是首项为1 的等比数列，设其公比为q，则
6q = 1 + 9q2，∴q = 1
3 ，
∴an= a1qn-1=
1
3
n-1
，∴bn= nan
3
= n ⋅
1
3
n
．
(2) 证明：由(1) 知an =
1
3
n-1
，bn = n ⋅
1
3
n
，
∴Sn=
1× 1-
1
3
n
1- 1
3
= 3
2 - 1
2 ×
1
3
n-1
，
Tn = 1 ×
1
3
1
+ 2 ×
1
3
2
+ … +n ⋅
1
3
n
①，∴
1
3 Tn= 1 ×
1
3
2
+ 2 ×
1
3
3
+ … +n ⋅
1
3
n+1
②，
①- ②得，2
3 Tn = 1
2
1-
1
3
n
- n
1
3
n+1
，∴
Tn= 3
4 - 1
4 ×
1
3
n-1
- n
2
1
3
n
，
∴Tn - Sn
2
= 3
4 - 1
4 ×
1
3
n-1
- n
2 ⋅
1
3
n
-
3
4 - 1
4 ×
1
3
n-1
< 0，∴Tn< Sn
2 ．
20.【解析】(1) 因为an+1+ n + 1 = 2an+ n - 1 + n
+ 1 = 2an+ 2n = 2 an+n
，又因为a1+ 1 = 2 ≠0，
所以an+n
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以an+ n = 2n，所以an= 2n- n
(2) 因为b2n= b2
n，所以b2= b2
1 = 1
4 = b1q = 1
2 q，故
q = 1
2 ，所以bn= 1
2 ×
1
2
n-1
=
1
2
n
，
令cn= anbn，则cn= 2n-n
1
2
n
= 1 - n ⋅
1
2
n
，
所以Tn= 1 ×
1
2
1
+ 2 ×
1
2
2
+ 3 ×
1
2
3
+⋯+n
×
1
2
n
，
1
2 Tn= 1 ×
1
2
2
+ 2 ×
1
2
3
+ 3 ×
1
2
4
+⋯+ (n -
1) ×
1
2
n
+ n ×
1
2
n+1
，
所以1
2 Tn=
1
2
1
+
1
2
2
+
1
2
3
+⋯+ 1
2
n
- n
×
1
2
n+1
=
1
2 -
1
2
n× 1
2
1- 1
2
- n ×
1
2
n+1
= 1 -
1
2
n
- n ×
1
2
n+1
，
Tn= 2 - (n + 2) ×
1
2
n
，所以Sn= n - 2 + n+2
2n
．
21.【解析】因为an
是首项为1 的等比数列且
a1，3a2，9a3成等差数列，
所以6a2= a1+ 9a3，所以6a1q = a1+ 9a1q2，即9q2
- 6q + 1 = 0，解得q = 1
3 ，所以an=
1
3
n-1
，
所以bn= nan
3
= n
3n ．
·247·
(2) 由(1) 可得Sn=
1× 1- 1
3n
1- 1
3
= 3
2
1- 1
3n
：
法一裂项相消法
不妨设n
3n = An+B
3n-1
- A(n+1)+B
3n
=
2An-A+2B
3n
，比较系数得，2A=1
-A+2B=0
，解
得
A= 1
2
B= 1
4
，
于是
n
3n
=
1
2 n+ 1
4
3n-1
-
1
2 n+ 3
4
3n
= 2n+1
4⋅3n-1
-
2n+3
4⋅3n ，
所以T n =
3
4⋅30 -
5
4⋅31 +
5
4⋅31 -
7
4⋅32 +⋯
+ 2n+1
4⋅3n-1 - 2n+3
4⋅3n
= 3
4 - 2n+3
4⋅3n ，
所以Tn- Sn
2 = 3
4
1- 1
3n
-
n
2⋅3n - 3
4
1- 1
3n
=-
n
2⋅3n < 0，所以Tn< Sn
2 ．:
法二：错位相减法
Tn= 1
3 + 2
32 +⋯+ n-1
3n-1 + n
3n ，①
1
3 Tn= 1
32 + 2
33 +⋯+ n-1
3n
+
n
3n+1 ，②
①- ②得2
3 Tn= 1
3 + 1
32 + 1
33 +⋯+ 1
3n -
n
3n+1
=
1
3 1- 1
3n
1- 1
3
-
n
3n+1 = 1
2
1- 1
3n
-
n
3n+1 ，
所以Tn= 3
4
1- 1
3n
-
n
2⋅3n = 3
4 -
3
4⋅3n -
n
2⋅3n
= 3
4 - 2n+3
4⋅3n ，
所以Tn- Sn
2 = 3
4
1- 1
3n
-
n
2⋅3n - 3
4
1- 1
3n
=-
n
2⋅3n < 0，所以Tn< Sn
2 ．
22.【解析】(1) 因为4Sn= 2n-1
an+1+ 1，所以
4Sn-1= 2n-3
an+ 1 n≥2
，
两式相减，得4an= 2n-1
an+1-
2n-3
an n≥2
，即2n+1
an= 2n-1
an+1，
所以当n ≥2 时，an+1
an
= 2n+1
2n-1 ，在4Sn=
2n-1
an+1+ 1 中，令n = 1，得a2= 3，
所以an= an
an-1
⋅an-1
an-2
⋅an-2
an-3
⋯a3
a2
⋅a2
a1
⋅a1=
2n-1
2n-3 ⋅2n-3
2n-5 ⋅2n-5
2n-7 ⋯5
3 ⋅3
1 ⋅1 = 2n - 1(n ≥
2)，
又a1= 1 满足，所以an= 2n - 1，所以an- an-1=
2n-1
- 2n-3
= 2 n≥2
，
故数列{an} 是首项为1，公差为2 的等差数列，
且an= 2n - 1．
(2)Sn= n + n n-1
2
× 2 = n2，所以bn=
1
an Sn
=
1
2n-1
n =
2
2n 2n-1
<
2
2n 2n-2
=
1
2n-2 - 1
2n ，
当n = 1 时，T1=
1
a1 S1
= 1 < 3
2 ，当n ≥2 时，
Tn< 1+ 1
2 - 1
4 + 1
4 - 1
6 +⋯+
1
2n-2 - 1
2n
=
3
2 - 1
2n < 3
2 ，
所以Tn< 3
2 ．
23.【解析】(1) 因为an+1- an= 2n，a1= 1，所以
an= an-an-1
+ an-1-an-2
+⋯+ a2-a1
+ a1=
2(n - 1) + 2(n - 2) +⋯+2 + 1
= 2n-2+2
2
⋅(n - 1) + 1 = n2- n + 1，故an= n2
- n + 1；
(2) 证明：当n = 1 时，1
a1
= 1 < 2；当n ≥2 时，
1
an =
1
n2-n+1 <
1
n(n-1) =
1
n-1 - 1
n ，
则1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an = 1 + 1
a2
+ 1
a3
+⋯+ 1
an < 1
+
1
1 - 1
2 + 1
2 - 1
3 +⋯+
1
n-1 - 1
n
= 2 - 1
n <
2，
故1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an < 2；综上，an= n2- n + 1．
24.【解析】(1) 证明：因为bn= a2n-1，所以bn+1=
a2n+1= 2a2n+ 2 = 2 a2n-1-1
+ 2 = 2a2n-1= 2bn，
又b1= a1= 2，所以数列bn
是首项为2，公比为
2 的等比数列，所以bn= 2n．
(2)S2n= a1+a3+⋯+a2n-1
+ a2+a4+⋯+a2n
，
= a1+a3+⋯+a2n-1
+
·248·
a1-1
+ a3-1
+⋯+ a2n-1
=
2 a1+a3+⋯+a2n-1
- n = 2 b1+b2+⋯+bn
- n
= 2 ⋅2 1-2n
1-2
- n = 2n+2- n - 4；
(3)cn=
1
(n+1)2 =
1
n2+2n+1 <
1
n2+2n =
1
2
1
n -
1
n+2
，∴Tn<
1
2
1- 1
3 + 1
2 - 1
4 + 1
3 - 1
5 +⋯+ 1
n -
1
n+2
= 1
2
1+ 1
2 -
1
n+1 -
1
n+2
< 3
4 ．
25.【解析】(1) ∵3a1- 2S1= a1= 2，∴3an- 2Sn
= 2 + 2 n-1
= 2n，即Sn= 3
2 an- n；
当n ≥2 且n ∈N ∗时，an= Sn- Sn-1= 3
2 an- n -
3
2 an-1+ n-1
，
即an= 3an-1+ 2，∴an+ 1 = 3 an-1+1
，又a1+ 1
= 3，
∴数列an+1
是以3 为首项，3 为公比的等比数
列，∴an+ 1 = 3n，则an= 3n- 1．
(2) 由(1) 得：1
an =
1
3n-1 ，∵2
3n -
1
3n-1 =
2⋅3n-2-3n
3n 3n-1
=
3n-2
3n 3n-1
> 0，∴1
an < 2
3n ，
∴1
a1
+ 1
a2
+⋅⋅⋅+ 1
an < 2
3 + 2
32 +⋅⋅⋅+ 2
3n = 2 ×
1
3 1- 1
3n
1- 1
3
= 1 - 1
3n < 1．
26.【解析】(1) 因为Sn= 2 + an+1= 2 +
Sn+1-Sn
，所以2Sn= Sn+1+ 2，所以Sn+1- 2 =
2 Sn-2
，
因为S1- 2 ≠0，所以Sn- 1 ≠0，Sn+1-2
Sn-2
= 2，
故数列Sn-2
为等比数列，首项为S1- 2 = 1，公
比为2；
(2) 由(1) 可知Sn- 2 = 2n-1，所以1
Sn
=
1
2+2n-1 <
1
2n-1 ，所以Tn< 1 + 1
2 + 1
22 +⋅⋅⋅+ 1
2n-1 =
1- 1
2n
1- 1
2
= 2 1- 1
2n
< 2．
27.【解析】(I) 因为an
是公差为2 的等差数列，
其前8 项和为64．
所以a1+ a2+⋅⋅⋅+a8= 8a1+ 8×7
2
× 2 = 64，所以
a1= 1，所以an= a1+ 2 n-1
= 2n - 1 , n ∈N ∗；
设等比数列bn
的公比为q , q>0
，所以b3- b2
= b1q2- b1q = 4 q2-q
= 48，解得q = 4(负值舍
去)，
所以bn= b1qn-1= 4n, n ∈N ∗；
(II) (i) 由题意，cn= b2n+ 1
bn
= 42n+ 1
4n ，所以c2
n
- c2n= 42n+ 1
4n
2
- 44n+ 1
42n
= 2 ⋅4n，
所以c2
n- c2n≠0，且c2
n+1-c2n+2
c2
n-c2n
= 2⋅4n+1
2⋅4n
= 4，所
以数列c2
n-c2n
是等比数列；
(ii) 由题意知，anan+1
c2
n-c2n
=
2n-1
2n+1
2⋅4n
=
4n2-1
2⋅22n
< 4n2
2⋅22n ，所以
anan+1
c2
n-c2n
<
4n2
2⋅22n =
2n
2⋅2n =
1
2 ⋅
n
2n-1 ，
所以
n
k=1
akak+1
c2
k-c2k
<
1
2
n
k=1
k
2k-1
，设Tn=
n
k=1
k
2k-1
= 1
20 + 2
21 + 3
22 +⋅⋅⋅+ n
2n-1 ，
则1
2 Tn= 1
21 + 2
22 + 3
23 +⋅⋅⋅+ n
2n ，两式相减得
1
2 Tn= 1 + 1
2 + 1
22 +⋅⋅⋅+ 1
2n-1 - n
2n =
1⋅1- 1
2n
1- 1
2
- n
2n = 2 - n+2
2n
，
所以Tn= 4 - n+2
2n-1 ，所以
n
k=1
akak+1
c2
k-c2k
<
1
2
n
k=1
k
2k-1
=
1
2
4- n+2
2n-1
< 2 2.
8.6 数列放缩本质论
1.【解析】蛛网图迭代，由图像知a2n-1
单调递
增，a2n
单调递减，且
a2n>a2n-1
a2n>a2n+1
，∴a 2023 <
a2024< a20122，
故选D．
·249·
2.【解析】令f x
= x + ln 3-x
0<x<3
，由
fx
= 1 -
1
3-x = 2-x
3-x > 0 可得f x
在0,2
上
单调递增，由fx
< 0 可得f x
在2,3
单调递
减，且f x
≤f 2
= 2，可得an≤2，又f 2
= 2
恒成立，若an= 2，则数列an
为常数列，不满足
0 < a1< 1，所以an< 2，所以数列an
为单调递
增数列，如图所示：
且f 0
= ln3 > lne = 1，a2= f a1
> f 0
> 1，由
图象可得0 < a1< 1 < a2< a3<⋯< an<⋯< 2，
所以1 < a2020< 2，故选：B．
3. 【解析】由a2
n+1 = an + 2 可得：an+1 =
an+2，
构造f(x) =
x+2，如左图，不动点为x0= 2，
当0 < a1< 2 时，2 > an> an-1>⋯> a1，A 错误；
当a1 > 2 时，2 < an < an-1 <⋯< a1，B 错误，C
正确；
对于D，如右图所示，由于f(x) =
1
2 x+2 ，f
(x) < 0，故f(x) 为上凸函数，则a2-2
a1-2 > a3-2
a2-2 >
⋯> an+1-2
an-2 ，
且an+1-2
an-2
> f (2) = 1
4 ，或者按照an+1-2
an-2
=
an+2-2
an-2
=
1
an+2+2 > 1
4 证明，故an+1- 2 <
1
4 (an- 2)，
则n ≥2 时，an - 2 <
1
4
n-1
(a1 - 2) =- 1
4
n-1
，
故an< 2 -
1
4
n-1
，
S n = a 1 + … +a n < 2n -
1-
1
4
n
1- 1
4
= 2n - 4
3 +
4
3
1
4
n
< 2n - 4
3 + 4
3
1
4
= 2n - 1，D 正确．
故选：CD
4.【解析】由题意2an+1 = a2
n + 1 ≥2an，即有数列
{an} 递增，唯一不动点1，故2(an+1 - 1) = a2
n - 1
= ( a n - 1 ) ( a n + 1 ) ，可得
1
2(an+1-1) =
1
2
1
an-1 -
1
an+1
，即有
1
an+1 =
1
an-1 -
1
an+1-1 ，而bn = 2an-1
an+1 = 2 -
3
an+1 ，则S2025 =
b 1 + b 2 + b 3 +⋯+ b 2025 = 2 × 2025 -
3
1
a1+1 +
1
a2+1 +⋯+
1
a2025+1
=
4050
-
3
1
a1-1 -
1
a2-1 +
1
a2-1 -
1
a3-1 +⋯+
1
a2025-1 -
1
a2026-1
= 4050 - 3 1-
1
a2026-1
= 4047 +
3
a2026-1 ，而数
列{an} 递增，a1 = 2，a2 = 5
2 ，a3 = 29
8 ，a4 =
841
128 > 4，所以a2026 > 4，由数列{bn} 的前2025 项
和S2025 > t，可得整数t 的最大值为4047．故答案
为4047．
5.【证明】：令ean = bn ⇒bn+1 = 1 + 1
bn
，令bn+1 =
bn= x > 0，则x2- x - 1 = 0，
不动点x =
1+
5
2
，即
bn+1-
5+1
2
bn-
5+1
2
=
1
bn -
5-1
2
bn-
5+1
2
> 0，故bn+1, bn位于不动点异侧，
即an位于不动点e
1+ 5
2 的异侧.
6.【证明】：令ean = bn ⇒bn+1 = 1 + 1
bn
，令bn+1 =
bn= x > 0，则x2- x - 1 = 0，
不动点x =
1+
5
2
，即
bn+1-
5+1
2
bn-
5+1
2
=
·250·
1
bn -
5-1
2
bn-
5+1
2
> 0，故bn+1, bn位于不动点异侧，
即an位于不动点e
1+ 5
2 的异侧.
7.【解析】(Ⅰ)f′ (x) = axex-aex+ab
a2x2
，
由题意可得k = f′ (1) = ae-ae+ab
a2
= b
a = 1，
则b = a，又f(1) = e-b
a
，切点(1，f(1)) 在切线
x - y + e - 2 = 0 上，
所以1 - e-b
a
+ e - 2 = 0，则(a - 1)e + b = a，所
以a-1=0
b=a
，解得a = 1，b = 1；
(Ⅱ) (i) 因为an+1 = lnf(an)，所以要证an+1 < an，即
证lnf(an) < an，
又f(an) = ean-1
an
，所以即证ean-1
an
< ean，
因为数列{an} 为正项数列，所以可设t = an > 0，
不等式化为(t - 1)et+ 1 > 0，
设g(t) = (t - 1)et + 1，t > 0，则g'(t) = tet > 0 恒
成立，
故函数g(t) 在(0，+∞) 上单调递增，则g(t) >
g(0) = 0 恒成立，
即(t - 1)et + 1 > 0 在t ∈(0，+∞) 上恒成立，则原
命题得证；
(ii) 探路得：做差可证明a n ≥
1
3n-1 ，即an+1
an
=
ln ean-1
an
an
> 1
3
先证明f(x) = ex-1
x
> e
x
3 ，x > 0，
即证ex- xe
x
3 - 1 > 0，x > 0，
设h(x) = ex- xe
x
3 - 1 > 0，x > 0，
则h′ (x) = e x - e
x
3 + x
3 e
x
3
= e x - e
x
3 1+ x
3
=
e
x
3 e
2x
3 -1- x
3
，
又设函数m(x) = ex- x - 1，则m'(x) = ex- 1，
所以x ∈(0，+∞) 时，m'(x) > 0，
则函数在(0，+∞) 上单调递增，故m(x) > m(0)
= 0，
即当x > 0 时，ex - x - 1 > 0 恒成立，所以e
2x
3 -
2x
3 - 1 > 0，
所以e
2x
3 - 2x
3 - 1 + x
3 = e
2x
3 - x
3 - 1 > 0，
所以h(x)' > 0，则h(x) 在(0，+∞) 上单调递增，
所以h(x) > h(0) = 0，
则所证不等式ex- xe
x
3 - 1 > 0，x > 0 成立，
因为an > 0，所以ean+1 = f(an) > e
an
3 ，所以an+1 >
an
3 ，
又a1 = 3，所以a2 > a1
3 = 1，a3 > a2
3 = 1
3 ，⋯，
an> an-1
3
>
1
3n-2 ，
所以当n ≥2 时，Sn = a1 + a2 +⋯+an > 3 + 1 +⋯
+ 1
3n-2 =
3-
1
3n-1
1- 1
3
= 9
2
1- 1
3n
，
又当n = 1 时，a 1 = 9
2
1- 1
3
= 3 ，故S n ≥
9
2
1- 1
3n
．
8.【解析】(1) 由题意得f(x) = ex - ex，
则f′ (x) = e - ex，为减函数，
令f′ (x) = e - ex= 0 得x = 1，
所以当x < 1 时，f′ (x) > 0，f(x) = ex - ex 单调递
增，
当x > 1 时，f′ (x) < 0，f(x) = ex - ex单调递减，
所以f(x) 在x = 1 处取得极大值，极大值为f(1) =
0，无极小值；
(2) 因为x >-1，所以x + 2 > 1，
从而∀n ∈N *，f(x) ≤(x + 2)n - x - 3 ⇔f(x) ≤
(x + 2)1- x - 3 =-1，
所以a
2 x - ex≤-1，即a
2 x - ex+ 1 ≤0，
设g(x) = a
2 x - ex+ 1，注意到g(0) = 0，
所以g(x) ≤g(0)，即x = 0 为g(x) 的极大值点，
由g′ (x) = a
2 - ex，令g′ (0) = a
2 - e0 = 0，解得a
= 2，
检验，当a = 2 时，g′ (x) = 1 - ex，
当x ∈(-1，0) 时，g′ (x) > 0，g(x) 单调递增，
当x ∈(0，+∞) 时，g′ (x) < 0，g(x) 单调递减，
所以g(x) ≤g(0) = 0 成立，
综上，a = 2；
·251·
(3) 证明：由(2) 得f(x) = x - ex，从而F(x) = lnx
- x + x + 1
x = lnx + 1
x ，x > 0，
则F′ (x) = 1
x - 1
x2 = x-1
x2
，
令F′ (x) < 0，解得0 < x < 1，令F′ (x) > 0，解
得x > 1，
所以F(x) 在(0，1) 上单调递减，在(1，+∞) 上单
调递增，
所以F(x) ≥F(1) = 1，
因为a1 ∈(0，1)，所以a2 = F(a1) > 1，a3 = F(a2)
> 1，⋯⋯，an+1= F(an) > 1，
令m(x) = F(x) - x = 1
x + lnx - x(x ≥1)，
则m ′ ( x ) =- 1
x2 + 1
x - 1 = -x2+x-1
x2
=
- x- 1
2
2- 3
4
x2
< 0，
所以m(x) 在[-1，+∞) 上单调递减，且m(x) ≤
m(1) = 0，
因为an+2 - an+1 = F(an+1) - an+1 = m(an+1)，又an+1
> 1，所以m(an+1) < 0，
所以1 < an+2< an+1，
所以m(an+2) > m(an+1)，即F (an+2) - an+2 > F
(an+1) - an+1，
所以a n+3 - a n+2 > a n+2 - a n+1，故a n+3 + a n+1 >
2an+2，
又an+1 > 1，所以an+3 + 2an+1 > 2an+2 + 1，即2an+1
+ an+3- 1 > 2an+2，证毕．
9.【解析】(1) 证明：令h(x) = ex - x - 1，x > 0
时，导函数h′ (x) = ex- 1 > 0，
因此h(x) 在(0，+∞) 上为增函数，因此当x > 0
时，h(x) > h(0) = 0，
因此当x > 0 时，ex> x + 1．
令G(x) = ln(1 + x) -
x
1+x ，当x > 0 时，导函数
G′ (x) =
x
(1+x)2 > 0，
因此G(x) 在(0，+∞) 上单调递增，所以当x > 0
时，G(x) > G(0) = 0，
因此当x > 0 时，ln(x + 1) >
x
1+x ．
所以当0 < x < 1 时，f(x) = x
ex <
x
1+x < ln(1 +
x)．
由于f(x) = xe-x = x
ex ，当0 < x < 1 时，导函数f′
(x) = 1-x
ex
> 0，
因此f(x) 在(0，1) 上为增函数，
由于当0 < x < 1 时，0 < ln(1 + x) < ln2 < 1，并
且根据ex> x + 1，
解得ln(x + 1) < x，因此f(x) > f(ln(1 + x))，所
以f(x) > ln(1+x)
1+x
，
因此ln(1+x)
1+x
< f(x) < ln(1 + x)．
(2) (i) 证明：由于an= f(n) = n
en ，
因此Sn= 1
e + 2
e2 + 3
e3 +⋯+ n-1
en-1 + n
en ，
所以1
e Sn= 1
e2 + 2
e3 + 3
e4 +⋯+ n-1
en
+
n
en+1 ，
因此1- 1
e
Sn = 1
e + 1
e2 + 1
e3 + 1
e4 +⋯+ 1
en -
n
en+1 =
1
e 1-
1
e
n
1- 1
e
-
n
en+1 ，
所以′ 1- 1
e
Sn=
1
e-1 -
1
e-1 × 1
en -
n
en+1 ，
因此Sn =
e
(e-1)2 -
e
(e-1)2 × 1
en -
n
en+1 ×
e
e-1
<
e
(e-1)2 ．
(ii) 证明：由题意得，因为f(x) = xe-x，
所以函数g(x) = 3x - 1 + ln(f(x)) = 2x - 1 + lnx，
由于当x > 0 时，ln(x + 1) < x，
因此当x > 1 时，lnx < x - 1，
因此当an> 1 时，lnan< an- 1，
所以an+1= 2an- 1 + lnan< 3an- 2，
所以an+1- 1 < 3(an- 1)，所以an+1-1
an-1
< 3．
由于a1- 1 = 2 = 2 × 31-1，
因此当n ≥2 时，a n - 1 = (a 1 - 1) × a2-1
a1-1 ×
a3-1
a2-1 × a4-1
a3-1 ×⋯× an-1
an-1-1 < 2 × 3n-1，
综上所述，an - 1 ≤2 × 3n-1，因此an ≤1 + 2 ×
3n-1，
因此Sn≤n + 2×(1-3n)
1-3
= n + 3n- 1，
所以Sn≤3n+ n - 1．
·252·
第八章拓展思维
1.【解析】已知数列{xn} 为函数f(x) = x2- x - 2，
则f′ (x) = 2x - 1
则x n+1 = x n - x2
n-xn-2
2xn-1
=
x2
n+2
2xn-1 ，所以
xn+1-2
xn+1+1 =
x2
n+2
2xn-1 -2
x2
n+2
2xn-1 +1
=
xn-2
xn+1
2
则1n xn+1-2
xn+1+1 = 2ln xn-2
xn+1 ，即an+1 = 2an，又a1 =
1，所以数列{an} 是以1 为首项，2 为公比的等比
数列，由等比数列前n 项和公式可得S 2024 =
1×(1-22024)
1-2
= 22024- 1．故选：A．
2.【解析】由f(x) = x2 - x - 1，设α，β 为f(x) 的
两个零点(α < β)，令f(x) = 0
可得α = 1-
5
2
，β = 1+
5
2
，又f′ (x) = 2x -
1，f(x) 在(an，f(an)) 处的切线l 为：y - f(an)
= f'(an) (x - an)，由题意，l 经过点(an+1，0)，
即0 - f(an) = f'(an) (an+1 - an)，即an+1 = an -
f′(an)
f(an)
= a n - a2
n-an-1
2an-1
=
a2
n+1
2an-1 ，则a 2 =
a2
1+1
2a1-1 =
1+1
-2-1 =- 2
3 ，故A 错误；又a n+1 =
a2
n+1
2an-1 = 1
4
(2an-1)+
5
2an-1
+ 1
2 ，而a n <
0 ，故2 a
n - 1 < 0 ，则
a
n+1 =
-1
4
-(2an-1)+
-5
2an-1
+ 1
2 ≤1-
5
2
，当且仅
当- (2an- 1) =
-5
2an-1 即an= 1-
5
2
时，“=”
成立，又a1 ≠1-
5
2
，则a2 ≠1-
5
2
，则a3 ≠
1-
5
2
，⋯，
所以an < 1-
5
2
= α 恒成立，B 正确；又an+1 -
an =- a2
n-an-1
2an-1
=
an- 1
2
2- 5
4
1-2an
，由an < 1-
5
2
可得an+1 > an，所以数列{an} 为单调递增列，C
正确；
因为α，β 为f(x) 的两个零点，所以f(x) = x2 - x
- 1 = (x - α) (x - β)，
则a n+1 - α = a n - a2
n-an-1
2an-1
- α = a n - α -
(an-α)(an-β)
2an-1
= (an - α) 1- an-β
2an-1
= (an - α)
an-1+β
2an-1
，由韦达定理可得α + β = 1，则an+1
- α = (an-α)2
2an-1 ，同理可得an+1 - β = (an-β)2
2an-1 ，
所以bn+1 = ln an+1-α
an+1-β = ln (an-α)2
(an-β)2 = 2ln an-α
an-β =
2b n，则{b n} 为公比为2 等比数列，所以T4 =
b1(1-24)
1-2
= 15b1，故D 正确．故选：BCD．
3.【解析】因为an+2+ 4an= 5an+1，则an+2- an+1
= 4 an+1-an
，且a2- a1= 4，
所以，数列an+1-an
是首项为4，公比也为4 的
等比数列，所以，an+1- an= 4 × 4n-1= 4n，①
由an+2+ 4an= 5an+1可得an+2- 4an+1= an+1- 4an，
且a2- 4a1= 1，
所以，数列an+1-4an
为常数列，且an+1 - 4an =
1，②由①②可得an= 4n-1
3
，
因为4n+1-1
3
- 4n = 4⋅4n-1-3⋅4n
3
= 4n-1
3
> 0，
4n+1-1
3
- 2 ⋅4n= 4⋅4n-1-6⋅4n
3
=- 2⋅4n+1
3
< 0，
则4n < a n+1 = 4n+1-1
3
< 2 ⋅4n ，所以，2 n <
log2an+1< 2n + 1，所以，bn= log2an+1
= 2n，
所以，
8100
bnbn+1
=
8100
2n⋅2 n+1
=
2025
n n+1
=
2025 1
n -
1
n+1
，所以，
S2025= 2025
1- 1
2 + 1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
4 +⋯+
1
2025 -
1
2026
= 2025 1-
1
2026
= 2025 -
1
2026 ∈2024,2025
，因此，S2025
=
2024
4.【解析】设数列bn
为原数列an
的一阶差数
列，cn
为原数列an
的二阶差数列.
则由题意可知b1= a2- a1= 1 , b2= a3- a2= 3 , b3=
·253·
a4- a3= 7 , c1= b2- b1= 2 , c2= b3- b2= 4.
又cn
为等比数列，故公比q = c2
c1
= 2，所以cn=
2n，即bn+1- bn= 2n.
当n ≥2 时，bn= bn-bn-1
+ bn-1-bn-2
+⋯
+ b2-b1
+ b1= 2n-1+ 2n-2+⋯+21+ 1 = 2n- 1，
将n = 1 代入bn= 2n- 1 得b1= 21- 1 = 1，符合，
所以bn= 2n- 1，n ∈N ∗.
所以an+1- an= 2n- 1，当n ≥2 时，an=
an-an-1
+ an-1-an-2
+⋯+ a2-a1
+ a1=
2n-1-1
+ 2n-2-1
+⋯+ 21-1
+ 2 = 2n-1+ 2n-2
+⋯+21- (n - 1) + 2 = 2n- n + 1，
将n = 1 代入an= 2n- n + 1 得a1= 21- 1 + 1 = 2，
符合，所以an= 2n- n + 1，n ∈N ∗.
5.【解析】解: 当n = 1 时, S1= a1= 1× a1-a1
2
=
0,
当n ≥2 时, an= Sn- Sn-1= n an-a1
2
-
n-1
an-1-a1
2
, 得到an= n-1
n-2 an-1,
根据累乘法: an= n-1
n-2 × n-2
n-3 × n-3
n-4 ×⋯× 3
2
× 2
1 × a2= n-1
p ; 满足n = 1 情况，
故而数列an
是首项为0 , 公差为p 的等差数列,∴
Sn= n n-1
p
2
,
∴pn= Sn+2
Sn+1
+ Sn+1
Sn+2
= n+2
n
+
n
n+2 = 2 +
2 1
n -
1
n+2
,
∴p1+ p2+⋯+pn- 2n = 2n +
2
1- 1
3 + 1
2 - 1
4 + 1
3 - 1
5 +⋯
+
1
n-1 -
1
n+1 + 1
n -
1
n+2
- 2n
= 2 1+ 1
2 -
1
n+1 -
1
n+2
= 3 -
4n+6
n+1
n+2
,
∴lim
n→+∞p1+p2+⋯+pn-2n
=
lim
n→+∞3-
4n+6
n+1
n+2
= 3 ,∴k = 3,
∴cos 100π
k
= cos 100π
3
= cos - 2π
3
=- 1
2 . 故答
案为:- 1
2
9.1 直线与圆
1.【解析】直线l 过点P(0 ,-1)．A(2 , 3)，B(-3
, 2)，如图，由题意，直线l 与线段AB 总有公共
点，
即直线l 以直线PA 为起始位置，绕点P 逆时针旋
转到直线PB 即可，直线l 的斜率为k，直线PA，
PB 的斜率分别为kPA，kPB，于是k ≤kPB 或k ≥
kPA，而kPA = 3-(-1)
2-0
= 2 , kPB = 2-(-1)
-3-0
=-1，
因此k ≤-1 或k ≥2，
即直线l 的斜率k 的取值范围是[2，+∞)(-∞，
-1]．故选：D．
2.【解析】对于(1)，因为λ1 + λ2 = 0，所以ax1 +
by1 + c + ax2 + by2 + c = a(x1 + x2) + b(y1 + y2) + 2c
= 0，
整理得a x1+x2
2
+ b y1+y2
2
+ c = 0，所以线段
MN 的中点在直线l 上，(1) 正确；
对于(2)，当λ1 = λ2 = 0 时，满足λ1 - λ2 = 0，此时
有ax1+ by1+ c = 0，ax2+ by2+ c = 0，
即M (x1，y1)、N (x2，y2) 均在直线l 上，所以得
不出MN 与直线l 平行，(2) 错误；
对于(3)，由λ1 ⋅λ2 < 0，得到(ax1 + by1 + c) ⋅(ax2
+ by2+ c) < 0，
由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异
号”，可知选项C 正确；
对于(4)，由λ1
λ2
> 1，得到ax1+by1+c
ax2+by2+c > 1，则
有(ax1+ by1+ c) ⋅(ax2+ by2+ c) > 0，
由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异
号”，可知点M、N 分布在直线l 的同侧，
且由ax1+by1+c
ax2+by2+c > 1，得到[a(x1- x2) + b(y1- y2)
] (ax2+ by2+ c) > 0，
所以a(x1 - x2) + b(y1 - y2) ≠0，从而有- a
b ≠
·254·
y1-y2
x1-x2
，所以(4) 正确，
故选：C．
3.【解析】A 选项，过任意两点(x1，y1)，(x2，
y2)，当x1 = x2 时，直线方程不能表示y-y1
y2-y1
=
x-x1
x2-x1
，所以A 选项错误；
B 选项，当截距为0 时，直线y = kx，过点(1 , 1)，
可得k = 1，所以此时直线的方程为y = x，所以B
选项错误；
C 选项，直线倾斜角α ∈
π
4 , 2π
3
，k = tanα，则
根据正切函数的性质知k 的取值范围是(-∞,- 3]
[1 ,+∞)，所以C 选项正确；
D 选项，当α = π
2 时，直线的斜率不存在，所以
D 选项错误．
故选：ABD．
4.【解析】因为直线AB，AC 的斜率分别为0，
3，
不妨将三角形的顶点A 放到坐标原点，则B 在x 轴
上(如下图所示)，
则∠BAC = π
3 ，可得直线BC 的倾斜角为π -
∠BAC = 2π
3 ，
A 中，可得直线BC 的斜率为tan 2π
3 =- 3 ，故
A 正确；
B 中，因为BC 边上的高也为∠BAC 的平分线，所
以BC 边上的高所在直线的斜率为tan π
6 =
3
3 ，
故B 正确；
C 中，AB 边上的高所在直线的倾斜角为π
2 ，故C
正确；
D 中，AC 边上的高所在直线的倾斜角为2π
3 + π
6
= 5π
6 ，故D 错误．
故选：ABC．
5.【解析】解：由题意直线l1 : (2a + 1)x + ay + 1
= 0，l2: (a + 2)x + ay + 2 = 0，
直线l1，l2 平行或重合的充要条件是(2a + 1)a = (a
+ 2)a，所以a = 0 或a = 1．
将a = 1 代入直线l1，l2 的方程，得l1 : 3x + y + 1 =
0，l2: 3x + y + 2 = 0，易知l1⎳l2；
将a = 0 代入直线l1，l2 的方程，得l1 : x + 1 = 0，
l2: 2x + 2 = 0，直线l1，l2重合，故a = 0 舍去．
综上所述，“a = 1”是“l1⎳l2”的充要条件．
故选：C．
6.【解析】∵直线l1 : (a - 1)x + y - 1 = 0 和直线l2
: x + (a - 1)y + 1 = 0 互相垂直，
∴(a - 1) × 1 + 1 × (a - 1) = 0，求得a = 1，故选：
B．
7.【解析】S =
(x+1)2+y2 +
(x-1)2+y2 可以
看作是点(x，y) 到点(-1 , 0) 与点(1 , 0) 的距离之
和，易知最小值为2，故选B.
8. 【解析】y =
x-4
2+4 +
x2+1 =
x-4
2+ 0-2
2 +
x-0
2+ 0-1
2 表示y 轴
上的任意一点到点A(4 , 2) 和点B(0，1) 距离的
和，如图，根据对称原理，可知y min =
4-0
2+ 2- -1
2 = 5．
9.【解析】因为点B 在y 轴上，故设B(0，t) (t 为
实数)，
点A(m , 1) 关于直线l : x + y - n = 0 对称的点B 恰
好在y 轴上，
可得直线l 为线段AB 的中垂线，
点A 与点B 的中点为
m+0
2
, 1+t
2
，该点在直
线l 上，
通过两个关键条件建立方程：
1-t
m =1
m
2 + 1+t
2
-n=0
，
化简可得m+t=1
m+t-2n+1=0
，所以n = 1．故选：
C．
10.【解析】一条光线从x 轴上的点P 发出，经y
·255·
轴反射，反射光线经过点Q(6 , 6)，
设P(a , 0)，根据题意，点P，Q 在y 轴的同一侧，
所以a > 0，点P 关于y 轴的对称点为P'(-a , 0)，
若该过程中光线从点P 到点Q 经过的路程为10，
则|PA| +|AQ| = 10，
即|P'A| +|AQ| = |P'Q| =
(6+a)2+62 = 10，解得
a = 2，
反射光线所在的直线即直线P'Q，由P'(-2 , 0)，
Q(6 , 6)，
得直线P'Q 的斜率为kP'Q =
6-0
6-(-2) = 3
4 ，
所以其方程为y = 3
4 (x + 2)，即3x - 4y + 6 = 0．
故选：D．
11. 【解析】解：联立
2x+3y-1=0
x-y+2=0
，解得
x=-1
y=1
，
即直线l1 与直线l 的交点为A(-1 , 1)，设直线l1 上
的点B(2 ,-1) 关于直线l 的对称点为C(x , y)，
则
y+1
x-2 =-1
x+2
2
- y-1
2
+2=0
，解得x=-3
y=4
，则C(-3 ,
4)，
则直线AC 即直线l2 的方程为y - 1 =
4-1
-3+1 (x +
1)，即3x + 2y + 1 = 0．
故选：D．
12.【解析】因为|AB| 为定值，所以当△ABP 的
周长取得最小值时，即|PA| +|PB| 取得最小，
设点A(1 , 3) 关于直线x - y = 0 的对称点为A'(m ,
n)，
连接A'B 交直线x - y = 0 于点P ，此时|PA|
+|PB| 取得最小，如图所示：
则点A(1 , 3) 关于直线x - y = 0 的对称点为A'(3 ,
1)，
因为点B(3 , 4)，故所求点P(3 , 3)．
故答案为：(3 , 3)．
13.【解析】方程x2 + y2 - 2y + m2 - m + 1 = 0 可
变形为x2+ (y - 1)2=-m2+ m，
因为方程表示圆，则-m2 + m > 0，解得0 < m <
1．
故选：D．
14.【解析】由圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设
圆C 的圆心为(a，0) (a > 0)，半径为r，
则圆的方程为(x - a)2 + y2 = r2(a > 0)，由点M(0 ,
3 ) 在圆上，且圆心到直线2x - y = 0 的距离为
2 5
5
，
得a2 + 3 = r2 且
|2a|
22+12 = 2 5
5
，解得a = 1，r2
= 4．∴圆C 的方程为(x - 1)2+ y2= 4．
故答案为：(x - 1)2+ y2= 4．．
15.【解析】设圆心C(a，0) (a > 0)，则圆心到直
线2x - y = 0 的距离为|2a|
5 = 4 5
5
，解得a = 2，
r =
(0-2)2+(0-
5)2 = 3，故圆C 的方程为(x
- 2)2+ y2= 9．
16.【解析】(1) 由题意设圆的方程为(x - a)2 + y2
= r2(a > 0)，由点M(0 ,
5 ) 在圆上，且圆心到直
线2x - y = 0 的距离为4 5
5
，得
a2+5=r2
|2a|
5 = 4 5
5
，解
得a = 2，r = 3．∴圆C 的方程为：(x - 2)2 + y2
= 9．
(2) ∵A(5 , 2)，B(3 ,-2)，∴AB 中点是(4 , 0)，
∵圆心在x 轴上，∴圆心是x 轴与AB 中垂线的交
点，
又AB 中垂线过点(4 , 0)，∴圆心是(4 , 0)，那么
半径r =
(5-4)2+(2-0)2 =
5．
∴圆的标准方程是(x - 4)2+ y2= 5．
17.【解析】将圆方程化为标准形式得(x + 2)2 +
(y - 1)2= 6 - k，所以6 - k > 0，
所以k < 6．又点P(2 , 1) 在圆x2 + y2 + 4x - 2y + k
- 1 = 0 外，所以22 + 12 + 8 - 2 + k - 1 > 0，所以
k >-10，
·256·
所以-10 < k < 6．故选：B．
18. 【解析】由题意可知∠CAB = π
4 ，
若∠MAB 最小，则AM 应为圆C 的切线，
∵|AC| = 4，|MC| = 2，如图所示，可得∠CAM
= π
6 ，∴∠MAB 的最小值为π
4 - π
6 = π
12 ．
故选：A．
19.【解析】(1) 圆C 经过点A(2 , 0)，与直线x +
y = 2 相切，且圆心C 在直线2x + y - 1 = 0 上，可
设圆心为C(a , 1 - 2a)．则点C 到直线x + y = 2 的
距离d = |-a-1|
2
，据题意，d = | AC | ，则
|-a-1|
2
=
(a-2)2+(1-2a)2，
解得a = 1．所以圆心为C(1 ,-1)，半径r = d =
2，则所求圆的方程是(x - 1)2+ (y + 1)2= 2．
(2) 当k 存在时，设直线方程l : kx - y + 1 = 0，
由于CM ⊥CN ，故△CMN 为等腰直角三角形，
因此可得圆心到直线l 的距离为1，
即|k+2|
k2+1
= 1，∴k =- 3
4 ，∴直线方程为3x +
4y - 4 = 0．
当k 不存在时，得：直线l : x = 0，代入圆C 方程
中解得：M(0 , 0)，N(0 ,-2)，
由于kCM ⋅kCN = -1-0
1-0
⋅-1-(-2)
1-0
=-1，所以
CM ⊥CN，符合题意；
综上所述，直线方程为x = 0 或3x + 4y - 4 = 0．
20.【解析】(1) 设圆心C 的坐标为(a，0) (a > 0)，
由题意知|2a|
5 = 4 5
5
，解得a = 2，
则圆C 的半径r = |CM | =
22+( 5)2 = 3，所以
圆C 的标准方程为(x - 2)2+ y2= 9；
(2) 因为圆心坐标为(-5 ,-3)，圆与y 轴相切，所
以该圆的半径为5，
所以该圆的标准方程为(x + 5)2+ (y + 3)2= 25．
21.【解析】圆x2 + y2 - 2x - 6y + 1 = 0 的圆心C
(1 , 3)，半径r = 1
2
4+36-4 = 3，
∵圆上恰有三点到直线y = kx 的距离为2，∴圆心
C(1 , 3) 到直线y = kx 的距离为1，
即d = |k-3|
k2+1
= 1，解得k = 4
3 ．故选：D．
22.【解析】圆C1 : x2 + y2 = 1，圆心为C1(0 , 0)，
半径r1 = 1，圆C2 : x2 + y2 - 6x - 8y = 0 ⇒(x - 3)2
+ (y - 4)2 = 25，圆心为C2(3 , 4)，半径r2 = 5，则
|C1C2| =
32+42 = 5 < r1 + r2 = 6，则两圆相交，
有两条公切线，
设两直线交于P，l1，l2 的夹角为θ，设C1T1 ⊥l1
于T，C2T2⊥l1于T2，如图所示：
则sin∠C1PT2 = sin θ
2 ，|C1T1| = r1 = 1，|C2T2| =
r2 = 5，由几何关系知：
r2
sin θ
2
-
r1
sin θ
2
= |C1C2|
= 5，代入r 1 = 1，r 2 = 5，得sin θ
2 = 4
5 ，则
cos θ
2 = 3
5 ，所以sinθ = 2sin θ
2 cos θ
2 = 24
25 ．
23.【解析】连接CA、CB，则CA ⊥PA，CB ⊥
PB，点P、A、C、B 共圆，
根据∠PAC = ∠PBC = 90°，可知CP 是四边形
PACB 外接圆的直径，由P(3 , 2)，C(1 , 1)，可得
PC 中点为2, 3
2
，
半径等于1
2 |PC| = 1
2
(3-1)2+(2-1)2 =
5
2 ，
所以四边形PACB 的外接圆的方程为(x - 2)2 +
·257·
y- 3
2
2
= 5
4 ，即x2 + y2 - 4x - 3y + 5 = 0… ①，
将圆C : (x - 1)2 + (y - 1)2 = 3 化成一般形式，可得
x2+ y2- 2x - 2y - 1 = 0… ②，
因为直线AB 为是圆C 与四边形PACB 的外接圆的
公共弦所在直线，所以①、②两式相减，化简得
AB 的方程为2x + y - 6 = 0．故选：A．
24.【解析】圆(x - 1)2 + (y + 2)2 = 4 的圆心C(1 ,
-2)，半径r = 2，又A(-2 ,-1)，
则|AC| =
(-2-1)2+(-1+2)2 =
10，
则|AB| =
|AC|2-r2 =
( 10)2-22 =
6．
25.【解析】圆C1 : x2 + y2 - 2mx + m2 - 16 = 0，
可化为C1 : (x - m)2 + y2 = 16，圆心C1(m , 0)，半
径r1= 4；
圆C2: x2+ y2- 2y = 0 可化为C2: x2+ (y - 1)2= 1，
心C2(0 , 1)，半径r1 = 1；因为C1 与C2 有且仅有一
条公切线，
所以两圆内切，所以| C 1 C 2 | = | r 1 - r 2 | ，即
(m-0)2+(0-1)2 = 3，解得m =±2 2．
26.【解析】圆x2 - 2x + y2 - 2y + 1 = 0 的圆心为
(1 , 1)，半径为r = 1，由题意直线y = 2x + a 和直
线y = 2x + b 平行，且与圆的四个交点构成正方
形，则正方形的对角线为圆的直径2，故正方形的
边长为
2 ，则可知圆心到两直线的距离相等且为
2
2
，圆心C 到l : y = 2 x + a 的距离为d 1 =
|1+a|
1+4 =
2
2
⇒|a + 1| =
10
2
，
解得a =±
10
2
- 1，同理可得b =±
10
2
- 1，又
a ≠b，不妨设a =
10
2
- 1 , b =-
10
2
- 1，
所以a2 + b2 =
10
2
-1
2
+ -
10
2
-1
2
= 5
2 × 2
+ 2 = 7．故答案为：7．
27.【解析】圆(x - a)2 + (y - a)2 = 4(a ∈R) 的圆
心(a , a)，半径为2，
因为圆上的点到直线l 的距离等于1 的点恰有3 个，
所以圆心到直线l 的距离d = 1，
即d = |a+a|
1+1 = 1，解得a =±
2
2 ．故选：D．
28.【解析】因为圆C : (x - 1)2 + (y + 1)2 = 4 与直
线l : mx - 2ny - 1 = 0(m > 0 , n > 0)，l 平分圆C
的周长，
所以直线l 过圆C 的圆心，即m + 2n - 1 = 0，即
m + 2n = 1，所以1
m + 2
n =
1
m + 2
n
(m + 2n)
= 1 + 2n
m + 2m
n
+ 4 ≥5 + 2
2n
m × 2m
n
= 5 + 4 =
9，当且仅当m = n = 1
3 取等号．故选：C．
29.【解析】由题意得：A(-2 , 0)，B(0 , 2)，∴
|AB| =
4+4 = 2 2 ，由圆(x - 2)2 + y2 = 2 知：
圆心(2 , 0)，半径r =
2，
∴圆心到直线x - y + 2 = 0 距离d = |2-0+2|
1+1
=
2 2 ，∴P 到直线x - y + 2 = 0 距离的最大值为h
= d +
2 = 3 2 ，∴S △ABC = 1
2 |AB| ⋅h ≤1
2 ×
2 2 × 3 2 = 6．故选：A．
30.【解析】直线l : x + ay - 1 - 2a = 0 经过的定
点(1 , 2)，圆C : (x - 3)2 + (y - 4)2 = 9 的圆心(3 ,
4)，半径为3，
定点与圆心的距离为：
(3-1)2+(4-2)2 = 2 2 <
3，定点在圆的内部，
当AB 取得最小值时，cos ∠ACB 取得最大值，
cos∠ACB = 2 2 2
3
2
- 1 = 7
9 ．故选：D．
31.【解析】解：在圆O 上总存在不同的两点A，
B 使得AB 垂直平分OP，若P 为直线l 与y 轴交
点，得P(0 , 2)，此时圆O 上不存在不同的两点
A，B 满足条件，若P 为直线l 与x 轴交点，得
P 4
3 ,0
，此时直线AB 的方程为x = 2
3 ，满足条
件，x0 = 4
3 ，若P 不为直线l 与坐标轴的交点，则
直线AB 的斜率存在且不为0 时，
因为AB ⊥OP，则kOP = y0
x0
，可得kAB =- x0
y0
，
所以直线AB 方程为y - y0
2 =- x0
y0
x- x0
2
，化
为2x0x + 2y0y - x2
0 - y2
0 = 0，由圆心到直线AB 的
距离d =
x2
0+y2
0
2
< 1，得x2
0+ y2
0< 4，
又因为3x0 + 2y0 - 4 = 0，化为13x2
0 - 24x0 < 0，解
得：0 < x0< 24
13 ，且x0≠4
3 ，
综上所述：x0的取值范围为0, 24
13
．故选：A．
32. 【解析】①当m = 1
2 时，S = { ( x , y )
·258·
(x-2)2+ y- 1
2
2
=1,y≥0
(x,y) (x-2)2+ y+ 1
2
2
=1,y≥0
，
由(x - 2)2 + y- 1
2
2
= 1，令y = 0，解得x = 2 ±
3
2 ，由(x - 2)2 + y+ 1
2
2
= 1，令y = 0，解得x
= 2 ±
3
2 ，
画出S 对应点集如图所示，
所以S {(x , y)|y = 0} =
2-
3
2 ,0
, 2+
3
2 ,0
，所以①正确；
②当m =
5
2
+ 1 时，S = { ( x , y )
(x-2)2+ y-
5
2 +1
2
=1,y≥0
(x,y) (x-2)2+ y+
5
2 +1
2
=1,y≥0
= {(x , y) (x-2)2+ y-
5
2 +1
2
=1,y≥0
，画
出S 对应点集如图所示，
圆( x - 2 ) 2 +
y-
5
2 +1
2
= 1 的圆心为
2,
5
2 +1
，半径为1，直线y = 1
2 x，即x - 2y
= 0，
2,
5
2 +1
到x - 2 y = 0 的距离为
2-2
5
2 +1
5
= 1 ，所以圆( x - 2 ) 2 +
y-
5
2 +1
2
= 1 与直线y = 1
2 x 相切，
所以P = ST 有1 个元素，所以②正确；对于③，
当m = 0 时，S = {(x，y)|(x - 2)2 + y2 = 1，y ≥
0}，
画出S 对应点集如图所示，
半圆的圆心为(2 , 0)，半径为1，(2 , 0) 到直线x -
2y = 0 的距离为
2
5 < 1，此时P 有2 个元素，所
以③错误；
对于④，若|m| ≥1，则S = {(x，y)|(x - 2)2 + (y
- m)2 = 1，y ≥0}{(x，y)|(x - 2)2 + (y + m)2 =
1，y ≥0}
= {(x，y)|(x - 2)2 + (y - |m|)2 = 1，y ≥0}，此时
直线y = 1
2 x 与圆(x - 2)2 + (y - |m|)2 = 1 至多有2
个公共点，不符合题意．若m = 0，则由③的分析
可知P 有2 个元素，综上所述，若P 有4 个元素，
则m 无整数解，所以④正确；故答案为：①②④．
9.2 圆锥曲线小题
1.【解析】设椭圆C1 : x2
2 + y2 = 1 的左焦点为E(
-1 , 0)，右焦点F(1 , 0)，∴|PE| +|PF| = 2a =
2 2，
∴|PQ| -|PF| = |PQ| +|PE| -2 2 ，又圆C2 方程
可化为(x + 5)2 + (y - 4)2 = 2，∴圆心C2 为(-5 ,
4)，半径r =
2，作出图形如图所示，由圆的性质
可得：|PQ| ≥|PC 2| -r = |PC 2| -
2 ，|PQ|
-|PF| = |PQ| +|PE| -2 2
≥| PC 2 | + | PE | - 3 2 ≥| EC 2 | - 3 2 =
(-5+1)2+42 - 3 2 = 4 2 - 3 2 =
2，
当且仅当C2，Q，P，E 四点共线时，等号成立，
∴|PQ| -|PF| 的最小值为
2，
故答案为：
2．
2.【解析】因为点Q c, a
2
在椭圆的内部，所以
b2
a > a
2 ，则2b 2 > a 2，即a 2 > 2c 2，所以c
a <
2
2 ，
则|PF1| +|PQ| = 2a - |PF2| +|PQ|，又因为
·259·
-|QF2|| ≤|PQ| -|PF2| ≤|QF2|，且|QF2 = a
2 ，
要使得|PF1| +|PQ| < 6|F1F2| 恒成立，即2a - |PF2|
+|PQ| ≤2a + a
2 < 6 × 2c，所以5a
2 < 12c，则c
a
> 5
24 ，
所以椭圆的离心率的范围为
5
24 ，
2
2
，故答案
为：
5
24 ，
2
2
．
3.【解析】如图设△ABC 与圆的切点分别为D、
E、F，则有|AD| = |AE| = 8，|BF| = |BE| = 2，
|CD| = |CF|，
所以|CA| -|CB| = 8 - 2 = 6．根据双曲线定义，
所求轨迹是以B 为焦点，实轴长为6 的双曲线的右
支，方程为x2
9 - y2
16 = 1(x > 3)．故选：C．
4.【解析】由双曲线C : y2 - x2
3 = 1，可得F1(0 ,
2)，F2(0 ,-2)，设M(x , y)，
则|MN| =
x2+(y-8)2 =
4(y-2)2+45 ≥3 5，
当且仅当y = 2 时取等号，∴|MN| 最小值为3 5，
故A 错误；
设A、B 两点坐标为(x , y)，(-x ,-y)，M (x0，
y0)，∴kMA= y-y0
x-x0
，kMB = -y-y0
-x-x0
，
∴kMAkMB = y-y0
x-x0
× -y-y0
-x-x0
= y2
0-y2
x2
0-y2 ，又y2 -
x2
3 = 1，y2
0 - x2
0
3 = 1，∴y2
0 - y2 - x2
0
3 + x2
3 = 0，
∴y2
0-y2
x2
0-y2 = 1
3 ，
∴kMAkMB = 1
3 ，故B 正确；
|MF2| +|MQ| = 2 + |MF1| +|MQ| ≥2 + |QF1| = 2 +
82+(2-1)2 = 2 +
65．故C 正确；
由双曲线C : y2 - x2
3 = 1，可得通径长为2b2
a
= 6 <
7，2a = 2 < 7，故l 有4 条，故D 正确．
故选：BCD．
5.【解析】根据双曲线的定义可知P 点轨迹为双曲
线的右支，c = 2，2a = 3，a = 3
2
当P 在双曲线的顶点时|PA| 有最小值2 + 3
2 = 7
2 ，
故答案为：7
2
6.【解析】(1) ∵双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b >
0)，过点A1(18 , 20)，离心率e = 3
2 ，
∴
c
a = 3
2
324
a2 - 400
b2 =1
，解得a = 2，c = 3，b2 = 5．∴
双曲线C 的方程为x2
4 - y2
5 = 1．
又∵动点P(x , y) 到右焦点F2 的距离和点P 到直
线x = m 的距离的比为定值3
2 ，
∴
(x-3)2+y2 = 3
2 |x - m|．得4(x - 3)2 + 4y2 = 9
(x - m)2①又x2
4 - y2
5 = 1 ⇒4y2= 5x2- 20 代入①
得16 - 9m2 = (24 - 18m)x，即24 - 18m = 0，解
得m = 4
3 ．
(2)△P'F1F2 的圆心记为I，分别过点I 作ID 垂直于
F1F2 于点D，IE 垂直于P'F2 于点E，IG 垂直于
P'F1 与点G，∵|P'G| = |P'E|，|F1G| = |F1D|，
|F2E| = |F2D|，
∴|P'F1| -|P'F2| = |P'G| +|GF1| - (|P'E| +|EF2|) =
|GF1| -|EF2| = |DF1| -|DF2| = 2a = 4，
所以D ( 2 , 0 ) ，即D 是双曲线的右顶点，即
△P'F1F2的内切圆圆心横坐标均为2，
由(1) 知P'(x0，y0) 到右焦点(3 , 0) 的距离和点P'
到直线x = 4
3 的距离的比为定值3
2 ，
|P'F2| = 3
2
x0- 4
3
= 3
2 x0 - 2，则|P'F1| = 2a +
|P'F2| = 4 +
3
2 x0-2
= 2 + 3
2 x0，
·260·
设△P'F1F2 的内切圆半径为r，由等面积法得
(|P'F1|+|P'F2|+|F1F2|)r
2
= |F1F2|y0
2
⇒(3x0 + 6)r =
6y0，得r =
2y0
x0+2 ，∴△P'F1F2 的内切圆圆心为
2, 2y0
x0+2
，半径为r =
2y0
x0+2 ．故圆的方程为(x
- 2)2+ y- 2y0
x0+2
2
=
4y2
0
(x0+2)2 (y0≠0)．
7.【解析】a = 2．c = 6，∴右焦点F(6 , 0) 把A
(x0，y0) 代入双曲线x2
4 - y2
32 = 1，得y2
0 = 8x2
0 -
32，∴|AF | =
(x0-6)2+8x2
0-32 = 2x0 ∴2x0 =
3 x0- a2
c
⇒x0= 2．故答案为：2．
8.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2
1
a2 +
y2
1
b2
= 1 , x2
2
a2
+ y2
2
b2
= 1 ，两式作差可得
(y1-y2)(y1+y2)
(x1-x2)(x1+x2) =- b2
a2 ，
因为y1-y2
x1-x2
= kl = 2，又M
x1+x2
2
，y1+y2
2
，
所以y1+y2
x1+x2
= kOM =- 3
8 ，所以- b2
a2 =- 3
4 ，
所以C 的离心率为e = c
a =
1- b2
a2 = 1
2 ．故选：
D．
9.【解析】取P，Q 的中点为M ，连接OM ，
PF，
则由题意可得，|PA| = 2|PM|，|AF| = 2|FO|，所
以ΔAPF ∽ΔAMO，所以PF ⎳MO，
因为直线PQ，PF 的斜率之积为- 1
2 ，所以kPQ ⋅
kOM =- 1
2 ，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有
x2
1
a2 + y2
1
b2 =1
x2
2
a2 + y2
2
b2 =1
，两式相减可得
(x1+x2)(x1-x2)
a2
+ (y1+y2)(y1-y2)
b2
= 0，
即(y1+y2)(y1-y2)
(x1+x2)(x1-x2) =- b2
a2 ，即kPQ ⋅kOM =- b2
a2 =
- 1
2 ，即b2
a2 = 1
2 ，所以椭圆的离心率为e =
1- b2
a2 =
2
2 ．故答案为：
2
2 ．
10.【解析】设P(x0，y0)，A(x1，y1)，因为A，
B 关于原点对称，所以B(-x1，-y1)，
所以kPA = y0-y1
x0-x1
，kPB = y0+y1
x0+x1
，所以kPA ⋅kPB
= y2
0-y2
1
x2
0-x2
1
，又因为点P，A 都在双曲线上，所以
x2
0
a2 - y2
0
b2 =1
x2
1
a2 - y2
1
b2 =1
，两式相减得：x2
0-x2
1
a2
= y2
0-y2
1
b2
，所
以y2
0-y2
1
x2
0-x2
1
= b2
a2 ，所以kPA ⋅kPB = b2
a2 ∈
1
4 ,1
，因
为kPA⋅kPB ∈
1
4 ,1
，
∴即c2-a2
a2
= e2 - 1 ∈
1
4 ,1
，e2 ∈
5
4 ,2
，∴
5
2
< e <
2，故答案为：
5
2 ,
2
．
11.【解析】由椭圆第三定义性质知kAB ⋅kBP = e2
- 1，设P(x1，y1)，所以kAP = y1
x1
，因为AP ⊥
BP，所以kBP =- x1
y1
，因为A(-x1，-y1)，Q(x1，
-y 1)，所以D x1，- 1
2 y1
，所以k AB =
1
2 y1
2x1
，
kAB ⋅kBP =- 1
4 = e2- 1，所以e =
3
2 .
故选：C．
12.【解析】法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且
x1 ≠x2，代入双曲线方程，得x2
1 - y2
1
2 = 1，x2
2 -
y2
2
2 = 1，
·261·
两式相减得：x2
1 - x2
2 = y2
1
2 - y2
2
2 ，可得(x1 - x2)
(x1 + x2) = (y1-y2)(y1+y2)
2
，若P 是线段AB 的中
点，则x1 + x2 = 2，y1 + y2 = 2，∴y1-y2
x1-x2
= 2，得
直线AB 的斜率为2，∴直线AB 方程为：y - 1 =
2 ( x - 1 ) ，即2 x - y - 1 = 0 ．但联立
x2- y2
2 =1
2x-y-1=0
，得2x2 - 4x + 3 = 0，则△= 16 - 4
× 2 × 3 =-8 < 0，方程无解，∴直线l 不存在．
法二：由于x0
2 - y0
2
2 = 1
2 ∈[0，1)，故P 位于双曲
线和渐近线之间的区域，不存在以P 为中点的弦.
故选：D．
一、
13.【解析】设椭圆的右焦点为F2，∵M、N 分别
是AF1、BF1的中点，O 为F1F2的中点，
∴MO ⎳AF2，ON ⎳AF1，又∠MON = 90°，∴
∠F1AF2= 90°，设短轴的一个顶点为P，
则∠F1PF2 ≥90°，设∠F1PF2 = 2θ，∴θ ≥45°，∴
sinθ ≥
2
2 ，又sinθ = c
a ，∴c
a ≥
2
2 ，
∴椭圆离心率的最小值为
2
2 ，故选：D．
14.【解析】设椭圆的右焦点F'，连接PF'，QF'，
易可知四边形PFQF 为平行四边形，则|QF| =
|PF|，且由∠PFQ = 120°，可得∠FPF' = 60°，所
以|PF| +|PF | = 6|PF | = 2a，则|PF | = 1
3 a，
|PF| = 5
3 a，
法一：由余弦定理可得(2c)2 = |PF|2 + |PF |2 -
2|PF||PF|cos60° = (|PF| +|PF|)2- 3|PF||PF|，
即4c2 = 4a2 - 5
3 a2 = 7
3 a2，∴椭圆的离心率e =
c2
a2 =
7
12 =
21
6
，
法二：(等面积法)S△PFF= b2tan θ
2 = b2tan30° =
1
2 PF
PF
sinθ = 1
2 ⋅1
3 a ⋅5
3 a ⋅sin60°，所以5a2
= 12b2，
故选：C．
15.【解析】由椭圆双曲线共焦点的结论可知：
sin230°
e2
1
+ cos230°
e2
2
= 1，即1
e2
1
+ 3
e2
2
= 4，根据基
本不等式，
∴4 = 1
e2
1
+ 3
e2
2
≥2
3
e2
1 e2
2
，∴
1
e1e2
≤2 3
3
，故
选：A．
16.【解析】利用中线定理得：PF1
∙PF2
= b2 -
a2+ OP
2，
PF1
+ PF2
OP
2
= 6 有两个解，
即
PF1
- PF2
2+4 PF1
∙PF2
OP
2
=
4a2+4 b2-a2+ OP
2
OP
2
= 4 +
4b2
OP
2 = 6 有两解，
所以4 + 4b2
a2 > 6，即e >
6
2
故答案为：
6
2 ，+∞
．
17【解析】设P(x0，y0)，则x2
0
a2 + y2
0
b2 = 1，由椭
圆的第二定义可知|PF1| = a - ex0，|PF2| = a +
ex0，
所以|PF1| ⋅|PF2| = a2 - e2x2
0，而|PO|2 = |PF1| ⋅
|PF2|，所以x2
0+ y2
0= a2- e2x2
0，
即x2
0 + b2 1- x2
0
a2
= a2 - e2x2
0，而e2 = 1 - b2
a2 ，解
得x0=±
2a
2
，所以满足条件的P 点有4 个，
故选：C．
18.【解析】设|PF1| = m，|PF2| = n，由题意可得
mn = 4c2，m + n = 2a，∴2a ≥2 mn = 4c，∴e
≤1
2 ，
∴
1- b2
a2 ≤1
2 ，解得b
a ≥
3
2 ，∵|OP| = λa，
·262·
∴b ≤λa ≤a，∴b
a ≤λ ≤1，∴
3
2
≤λ ≤1．
故答案为：
3
2 ，1
．
19.【解析】根据题意，如图，椭圆C : x2
a2 + y2
b2 =
1(a > b > 0) 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的
三角形为正三角形，即△F1F2B 为正三角形，则a
= 2c，若椭圆C 上的点到焦点的最短距离为1，即
a - c = 1，
则有c = 1，则a = 2，则b =
a2-c2 =
3 ，即椭
圆的标准方程为x2
4 + y2
3 = 1，故选：A．
20.【解析】如图，由题意可得，∠F1MF2 = 90°，
设|F1N| = m，则|MF1| = 2m，|MF2| = 2a - 2m，
|NF2| = 2a - m，
由勾股定理可得：4m2+(2a-2m)2=20
9m2+(2a-2m)2=(2a-m)2
，
解得m=1
a=3
．∴△MNF2 的周长为4a = 12．故选：
D．
21.【解析】将双曲线方程化为标准式可得：x2
1
4
- y2 = 1，则a = 1
2 ．因为直线l 经过F1 且与双曲
线的左支交于A，B 两点，由双曲线的定义可得：
|AF2| -|AF1| = 2a = 1，|BF2| -|BF1| = 2a = 1．
上述两式相加得：|AF2| +|BF2| - (|AF1| +|BF1|) =
2，又|AB| = |AF1| +|BF1| = 6，所以|AF2| +|BF2|
= 8，
所以△ABF2 的周长为|AF2| +|BF2| +|AB| = 8 + 6
= 14．故答案为：14．
22.【解析】不妨设P 位于第一象限，双曲线C 的
右焦点为F2，连接PF2，F2Q，如图所示：
法一：令P(x0，y0)，根据焦半径公式：|PF1| =
ex0+ a，|PF2| = |QF1| = ex0- a,
PF1
⋅F1Q
= 4 = 1
2 (e2x0
2 - a2) = |OF1|2 - |OP|2，再
根据中线定理：|QF1|2+ |PF1|2= 2(|OP|2+ |OF1|2)，
即e2x0
2-a2=2|OP|2-2c2=8
e2x0
2+a2=|OP|2+c2
，所以b2 = c2 - a2 =
2，∴1
2 a2 + b2
a2 = a2
2 + 2
a2 ≥2
a2
2 ⋅2
a2 = 2(当且
仅当a2 = 2 时取等号)，∴当1
2 a2 + b2
a2 取得最小值
时，双曲线C 的离心率e =
1+ b2
a2 =
2，
法二：由∠PF1Q = 2π
3 ，且PF1
⋅F1Q
= 4 得：
PF1
⋅PF2
=
2b2
1-cos60° = 8，所以b2 = 2，1
2 a2 +
b2
a2 ≥2
a2
2 ⋅2
a2 = 2(当且仅当a2 = 2 时取等号)，
双曲线C 的离心率e =
1+ b2
a2 =
2，
23.【解析】因为AF
= λF1B
，所以A，B，F1 三
点共线，ΔABF2 周长= 4a = 8 是定值，所以A 选
项正确．
ABmin = 2 ⋅b2
a = 2 ≠1，所以B 选项错误．
因为AB ⊥AF2，且b = c =
2 ，则A 一定在上下
顶点处，AF1
= a = 2 = λ+1
2
b2
a = λ+1
2
⇒λ = 3，
所以C 选项正确．
当λ ≥1，ecosα =
2
2 cosα = λ-1
λ+1 ∈0，
2
2
，
所以1 ≤λ < 3 + 2 2，
同理，0 < λ < 1 时，ecosα =
2
2 cosα = 1-λ
λ+1 ∈
·263·
0，
2
2
，所以3 + 2 2 < λ < 1，所以D 选项错
误．
故选：AC．
24.【解析】由双曲线的定义可得|NF1| = 2a +
|NF2|，又因为|NF1| = 7a，所以|NF2| = 5a，由直线
的斜率为- 3，可得直线l 的倾斜角为120°，所以
∠NF2F1 = 60°，在△NF1F2 中，由余弦定理可得：
|NF1|2= |NF2|2+ |F1F2|2- 2|F2F1||NF2| ⋅cos∠∠NF2F1，
即49a2= 25a2+ 4c2- 2 × 2c × 5a ⋅1
2 ，
整理可得：2c2 - 5ac - 12a2 = 0，所以2e2 - 5e -
12 = 0，e > 1，解得：e = 4，
25.【解析】由题设，如下图示A(-c , 0)，B(c ,
0)，令双曲线为x2
a2 - y2
b2 = 1，
由|AB| = 2|CD| = 2c，则|CD| = c，令x = c
2 ，可
得y =±b
c2
4a2 -1 ，故C
c
2 ,b
c2
4a2 -1
，又
|AE|
|EC| = 2
3 ，
则
x
E
=
-c+ 2
3 × c
2
1+ 2
3
=-
2c
5
，
y
E
=
0+ 2
3 ×b
c2
4a2 -1
1+ 2
3
=
2b
5
c2
4a2 -1
，所以
E - 2c
5 , 2b
5
c2
4a2 -1
，由E 在双曲线上，可得
4
25 ⋅c2
a2 - 4
25
c2
4a2 -1
= 1，整理得e2= 7，且e >
1，则e =
7．
26.【解析】令∠BF1F2 = α , 这里涉及双曲线交两
支的焦比定理，BF1
= 2 AF1
, 故BF1
= λ-1
2
b2
a
= 1
2
b2
a = 2ccosα，
且ecosα = λ+1
λ-1 = 3，故b 2 = 12a 2，可得c =
13a，∴e = c
a =
13，
故选：C．
27.【解析】∵QF1
⋅QP
= |PQ|2，∴|QF1
||QP
| ⋅
cos∠F1QP = |PQ|2，∴|QF1|cos∠F1QP = |PQ|，
∴cos ∠F1QP = |PQ|
|QF1| ，∴∠F1PQ = 90°，因为
|PF2| = 2|F2Q|，所以|PF2| = 3
2 ⋅b2
a ，令∠PF2F1 =
α，由于根据公式ecosα = λ-1
λ+1 可得c
a ⋅3
2 ⋅b2
a ⋅
1
2c = 1
3 ，即b2
a2 = 4
9 ，故e =
5
3 ，故答案为：
90°；
5
3 ．
28.【解析】由3AF = CF，BF ⊥AC，可得四边
形AFBF 为矩形，可得△AF F 为直角三角形，
令∠AFF' = α，AF
=
1
3 +1
2
⋅b2
a = 2
3
b2
a ，借助
公式ecosα = λ-1
λ+1 ，可得：c
a ⋅2
3 ⋅b2
a ⋅1
2c =
1
2 ，即b2
a2 = 3
2 ，e =
10
2
，
故选A．
29.【解析】F1，F2 是双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a >
0 , b > 0) 的左、右焦点，过F1 的直线l 与双曲线C
交于M，N 两点，
且F1N
= 3F1M
，|F2M | = |F2N |，令|F2M | = |F2N |
= m，则|F1M | = m - 2a，|F1N | = m + 2a，可得
m + 2a = 3(m - 2a)，解得m = 4a，所以|F2M | =
|F2N| = 4a，|MN| = 4a，所以△F2MN 是等边三角
形，所以A 正确；
∠F2MF1= 120°，4a2+16a2-4c2
2×2a×4a
= cos120° =- 1
2 ，
·264·
解得7a2= c2，所以e = c
a =
7，所以B 正确；
b
a =
c2-a2
a2
=
6 ，所以双曲线的渐近线方程
为：y =± 6x，所以C 正确；
点F1 到直线
6 x - y = 0 的距离为：| 6c|
6+1 =
6a，所以D 正确．
故选：ABCD．
30.【解析】设直线l 与x 轴交于点H，连接MF，
QF 如图，因为焦点F(1 , 0)，所以抛物线的方程
为y2 = 4x，准线为x =-1，则|FH| = 2，|PF| =
|PQ|，易知△PQF 是边长为4 的等边三角形，则
∠PFQ = ∠PFR = ∠QFH = 60° , |MF| = 2 3 ，则
M (1 , 2 3 )．因为MR ⎳QF，所以直线MR 的斜
率为- 3，
直线MR 的方程为
3x + y - 3 3 = 0．故选：B．
31.【解析】由x2
4 + y2
3 = 1 可得右焦点为(1 , 0)，
由题意可得抛物线的焦点为F(1 , 0)，故p
2 = 1，
则p = 2，
所以抛物线y2 = 4x；显然直线AB 的斜率不为0，
设直线l 的方程为x = my + 1，A(x1，y1)，B(x2，
y2)，
联立x=my+1
y2=4x
，得y2 - 4my - 4 = 0，可得y1 +
y2= 4m，所以x1+ x2= m(y1+ y2) + 2 = 4m2+ 2，
由抛物线的性质可得：|AB| = x1 + x2 + 2 = 4m2 +
4 = 8，可得m =±1，可得直线的斜率k = 1
m =
±1，
由对称性，不妨设k = 1，则∠AFx = 45°，∠FAM
= 135°，因为∠ABN 和∠BAM 的平分线相交于
点P，
因为AM ⎳BN，所以PA ⊥PB，∠ABN = 45°，
∠ABP = 22.5°，所以在ΔABP 中，|AP| =
|AB|sin22.5° = 8sin22.5°，|BP| = |AB|cos22.5° =
8cos22.5°，所以SΔABP = 1
2 ⋅8sin22.5° ⋅8cos22.5
= 32sin22.5°cos22.5° = 16sin45° = 8 2．故答案
为：8 2．
32. 【解析】由抛物线的方程可得焦点F(1 , 0)，要
求OM 的斜率的最大值，设P(x0，y0)，则y0> 0，
M(x1，y1)，则y2
0 = 4x0，又因为M 是线段PF 上的
点，且|PM | = 2|MF|，则PM
= 2MF
，即(x1 -
x0，y1 - y0) = 2(1 - x1，-y1)，可得
x1= 2+x0
3
y1= y0
3
，
即M
2+x0
3
，y0
3
，所以kOM =
y0
3
2+x0
3
=
y0
2+x0
=
y0
2+ y2
0
4
=
4
8
y0 +y0
，
因为y0 > 0 时，所以kOM ≤
4
2
8
y0 ⋅y0
=
2
2 ，所
以直线OM 斜率的最大值为
2
2
．故答案为：
2
2 ．
33.【解析】设直线AB 的方程为x = my + t，则
直线AB 交x 轴于点T(t，0)，且抛物线的焦点F
的坐标为( p
2 ，0)，将直线AB 的方程与抛物线的
方程联立，得y2=2px
x=my+t
，得y2- 2pmy - 2pt =
0，
则y1 + y2 = 2pm，y1y2 =-2pt，对于A : OA
⋅OB
= x1x2 + y1y2 = t2 - 2pt =- 3
4 p2，即t2 - 2pt + 3
4 p2
= 0，
解得t = p
2 或t = 3p
2 ，所以“OA
⋅OB
=- 3
4 p2”
是“直线AB 经过焦点F”的必要不充分条件;
·265·
对于C : x1x2 = y2
1y2
2
4p2 = (-2pt)2
4p2
= t2 = p2
4 ，解得t
=± p
2 ，所以“x1x2 = p2
4 ”是“直线AB 经过焦点
F”的必要不充分条件: 对于B : y1y2 =-2pt =-p2，
得t = p
2 ，此时直线AB 过抛物线的焦点F，所以
“y1y2 =-p2”是“直线AB 经过焦点F”的充要条
件;
对于D :
1
|FA| +
1
|FB| =
1
x1+ p
2
+
1
x2+ p
2
=
1
my1+t+ p
2
+
1
my2+t+ p
2
=
2pm2+2t+p
p2m2+ t+ p
2
2 =
2
p ，化简得t2 = p2
4 ，得t =± p
2 ，所以“
1
|FA| +
1
|FB| = 2
p ”是“直线AB 经过焦点F”的必要不
充分条件. 故选: ACD.
34.【解析】因为抛物线C : y2= 2px(p > 0)
过点B(1，2)，所以4 = 2p，所以抛物线方程为y2
= 4x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设过点A(-1，
0) 的直线方程为x = my - 1，代入y2 = 4x 整理得:
y2 - 4my + 4 = 0，则y1 + y2 = 4m，y1y2 = 4，Δ =
16m2 - 16 > 0 即m <-1 或m > 1，|OM| ⋅|ON| =
x2
1+y2
1
x2
2+y2
2 =
x2
1x2
2+x2
1y2
2+x2
2y2
1+y2
1y2
2 ，又y2
1
= 4x1，y2
2 = 4x2，y1y2 = 4，由定义可知，|MF| =
x1+ 1，|NF| = x2+ 1，
所以|MF | ⋅|NF | = x 1x 2 + x 1 + x 2 + 1 = y2
1y2
2
16
+
y2
1+y2
2
4
+ 1 > 2 + 2y1y2
4
= 4，故A 正确:
所以|OM | ⋅|ON | =
y4
1y4
2
162 + y4
1y2
2
16 + y2
1y4
2
16 +16 =
17+y2
1+y2
2 =
9+16m2 > 5，又|OB|2 = 5，故B
错误;
记P( y2
3
4 ，y3)，Q( y2
4
4 ，y4)，设直线NF 方程为x
= ny + 1，代入y2= 4x 整理得: y2- 4ny - 4 = 0，
则y2y3 =-4，y3 =- 4
y2
，同理可得y4 =- 4
y1
，因
为kAP =
y3
y2
3
4 +1
=
4y3
y2
3+4 = -4y2
4+y2
2
，
kAQ =
y4
y2
4
4 +1
=
4y4
y2
4+4 = -16y1
16+4y2
1
= -4y2
y2
2+4 ，kAP =
kAQ 所以，A，P，Q 三点共线，C 正确; 因为y3 =
- 4
y2
=-y 1，MP ⊥AF ，所以∠AMP = π
2 -
∠MAO，由上可知，直线AM 的斜率-1 < 1
m < 1
且1
m ≠0，所以0 < ∠MAO < π
4 ，所以∠AMP >
π
4 ，D 错误. 故选: AC.
35.【解析】对A 选项，∵y2 = 12x，∴p = 6，∴
F(3 , 0)，准线方程为x =-3，故A 正确；
对B 选项，根据抛物线定义得|PF| = xP + p
2 = xP
+ 3 = 7，∴xP = 4，
∵M (4 , 3)，∴PM ⎳y 轴，当x = 4 时，y =
±4 3 ，若P 点在第一象限时，此时P(4 , 4 3 )，
故PM = 4 3 - 3，ΔPMF 的高为1，故SΔPMF =
1
2 × (4 3 - 3) × 1 = 2 3 - 3
2 ，若点P 在第四象
限，此时P(4 ,-4 3)，
故PM = 4 3 + 3，ΔPMF 的高为1，故SΔPMF =
1
2 × (4 3 + 3) × 1 = 2 3 + 3
2 ，故B 错误；
对C 选项，∵|PF | -|PM | ≤|MF |，∴(|PF |
-|PM |)max = |MF | =
(4-3)2+(3-0)2 =
10 ，
故C 正确；
对D 选项，连接FM，并延长交于抛物线于点P，
此时即为|PF| -|PM| 最大值的情况，
图对应如下：过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D，
ΔPMF 的周长= | PM | + | MF | + | PF | = | PM |
·266·
+|PF| + 10 = |PM| +|PD| + 10，若周长最小，
则|PM| +|PD| 长度和最小，显然当点P，M，D
位于同一条直线上时，|PM| +|MF| 的和最小，此
时|PM| +|MF| = |PD| = 7，
故周长最小值为7 +
10，故D 正确．
故选：ACD．
36.【解析】由椭圆C2 : x2
4 + y2 = 1 可得a2 = 2，
b2 = 1，∴c2 =
4-1 =
3 ，∴椭圆C2 的离心率
为e2=
3
2 ，
∵e2 =
3 e1，∴e1 = 1
2 ，∴c1
a1
= 1
2 ，∴a2
1 = 4c2
1
= 4(a2
1 - b2
1) = 4(a2
1 - 1)，∴a = 2 3
3
或a =- 2 3
3
(舍去)．
故选：A．
37【解析】根据椭圆中倾斜角的焦半径公式可得：
BF=
b2
a
1-ecosθ
AF=
b2
a
1+ecosθ
，(θ 为过焦点的直线的倾斜角)，
设B 点在x 轴上方，A 点在x 轴下方，又θ = π
6 ，
∴AB = BF + AF =
2b2
a
1- 3
4 e2 ，∴PF = AB
2
- AF
=
3
3
c ，∴
b2
a
1- 3
4 e2 -
b2
a
1-
3
2 e
=
3
3
c ，∴
b2
a
3
2 e
1- 3
4 e2
=
3
3
c ，∴
1-e2
e
2 3e
4-3e2
=
3
3 ，∴2(1-e2)
4-3e2
= 1
3 ，∴e =
6
3 ．
故选：D．
38.【解析】法一如图，作FP ⊥l'(另一条渐近
线) 于P，则|PF| = |AF| = b，|OA| = |OP| = a，
△OAB ∽△FPB，则OB
FB = OA
FP ，可知|OB| =
2a，故|AB| =
3 a = |AF| = b，即b2
a2 = 3，故e2
= 1 + b2
a2 = 4，所以e = 2，故选C．
法二由OA ⊥FB，且FA = AB，所以∠FOA =
∠BOA = ∠FOP = 60°，所以e = 2，故选C．
39.【解析】如图所示，因为|ON| = |OP|，且F1P
⊥OM，可得ON ⊥MN，则|F1N| = |F1P| = b．
法一因为MF1
= 2F1N
，所以|F1M| = 2|F1N| = 2b，
可得|MN| = 3b，由勾股定理可得，|ON| = |OP|
=
c2-b2 = a，|PM| =
4b2-b2 =
3b，又
|MN|2+ |ON|2= |OM|2，所以9b2+ a2= (a +
3b)
2，
所以b2
a2 = 1
3 ，则e =
a2+b2
a2
= 2 3
3
，故选C．
法二如图所示，易知b
a < 1，则e <
2 ，MF1
=
2F1N
可知λ = 2，则e =
2 ⋅
λ
λ+1 = 2 2
3
，故
选C．
40.【解析】由题意可得抛物线的准线方程为x =
- p
2 ，由题意可得：p
2 =
a2+b2 ，渐近线的方程
为：y =± b
a x，
可得A - a2+b2，b2
a
，B - a2+b2，- b2
a
，
C
- a2+b2，b a2+b2
a
，
D - a2+b2，- b a2+b2
a
，
所以|AB| = 2b2
a ，|CD| = 2b a2+b2
a
，由|CD| =
2|AB|，解得：c =
2a，所以双曲线的离心率e
= c
a =
2，
故选：A．
41.【解析】由直线过F1，设直线的方程为y = k(x
·267·
+ c)，∵直线和圆x- 1
2 c
2
+ y2 = c2 相切，∴圆
心
1
2 c,0
到直线的距离与半径相等，∴
k⋅c
2 -0+kc
k2+1
= c，解得k = 2 5
5
，由PF2 ⊥x 轴
得P 点坐标为P c, b2
a
，∵tan∠PF1F2 = PF2
F1F2
=
b2
2ac = k = 2 5
5
，∴a2-c2
2ac
= 2 5
5
，∴1-e2
2e
=
2 5
5
，∴e =
5
5 ．故答案为：2 5
5
,
5
5 ．
42.【解析】因为过F1 且垂直于x 轴的直线与双曲
线交于A，B 两点，将x =-c 代入双曲线的方程，
可得y2= b4
a2 ，
又∠AF2F1 = 45°，则|F1F2| = |AF1|，即2c = b2
a ，整
理可得2ac = b2 = c2 - a2，可得e2 - 2e - 1 = 0，解
得e = 2±2 2
2
= 1 ±
2，再由e ∈(1 ,+∞)，
故选：A．
43.【解析】∵|AB| = |AF2|，A 为圆与双曲线在第
一象限交点，即|AF1| > |AF2|，∴B 在线段AF2上，
由双曲线定义可知：|AF1| -|AF2| = 2a，又|AB| =
|AF2|，∴|AF1| -|AF2| = |AF1| -|AB| = |BF1| = 2a，
又|BF2| -|BF1| = 2a，∴|BF2| = 4a，∵A 在以F1F2
为直径的圆上，∴AF1 ⊥AF2，∴|AB| = |AF2| =
2 2a，由|AF1|2 + |AF2|2 = |F1F2|2 得：(2 2a + 2a)
2 + (2 2 a)2 = 4c2，故e2 = c2
a2 = 20+8 2
4
= 5 +
2 2．故选：D．
44.【解析】对于A，由双曲线的性质知，焦点到
渐近线的距离为b，故A 正确；
对于B，在双曲线上取顶点P(a , 0) 时，直线PF1
与PF2的斜率之积为0，故B 错误；
对于C，由题意P 点在圆x2 + y2 = c2 上，又|PO|
= |PF2|，所以xP = c
2 ，
代入圆的方程，可得y P =
3c
2
，将点
P c
2 ,
3c
2
代入双曲线方程，可得c2
4a2 - 3c2
4b2 =
1，
即b2
a2 = 3 + 2 3 ，所以e = c
a =
1+ b2
a2 =
4+2 3 =
3 + 1，故C 正确；
对于D，直线l 方程为x = c，与渐近线y =± b
a x
相交于A c, bc
a
，B c,- bc
a
，所以F1A
=
2c, bc
a
, F1O
= (c , 0)，
即cos π
3 = F1A
⋅F1O
|F1A
||F1O
|
=
2c2
c2
4+ b2
a2
= 1
2 ，化简可
得b2
a2 = 12，解得b
a = 2 3，所以双曲线渐近线方
程为y =±2 3x，故D 正确．故选：ACD．
45.【解析】已知椭圆C : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > 0 , b >
0) 如图，连接F2B，
因为三角形的三条角平分线交于一点，所以射线
F2B 是∠PF2F1 的角平分线，因为PB
= 3
4 PA
，所
以|PB|
|BA| = 3，由角平分线定理得，|PB|
|BA| = |PF1|
|AF1|
= |PF2|
|AF2| = 3，设|AF1| = m，|AF2| = n，则|PF1|
= 3m，|PF2| = 3n，所以|F1F2| = |AF1| +|AF2| = m
+ n = 2c，|PF1| +|PF2| = 3m + 3n = 2a，所以椭
圆C 的离心率e = 2c
2a =
m+n
3m+3n = 1
3 ．故选：
B．
46.【解析】由F1Q
= 3QF2
可得：|F1Q| = 3|QF2|，
由角平分线的性质可得：|F1Q|
|PF1| = |QF2|
|PF2| ，
所以|PF1| = 3|PF2|，设|PF1| = 3|PF2| = 3x，由题
意，因为∠F1PQ = π
3 ，所以∠F1PF2= 2π
3 ，
由余弦定理可得：cos∠F1PQ = F1P2+PQ2-F1Q2
2F1P⋅PQ
= 9x2+x2-4c2
6x2
=- 1
2 ，解得：x = 2 13
13
c，
·268·
又|PF1| +|PF2| = 2a，所以2 13
13
c + 6 13
13
c = 2a，
可得4 13
13
c = a，所以椭圆的离心率为e = c
a =
13
4
．故答案为：
13
4
．
47.【解析】(1) 由于c2 = a2 - b2，将x =-c 代入椭
圆方程x2
a2 + y2
b2 = 1，得y =± b2
a ．由题意知2b2
a
= 1，即a = 2b2．又e = c
a =
1- b2
a2 =
3
2 ，即
b
a = 1
2 ，所以a = 2，b = 1．所以椭圆C 的方程
为x2
4 + y2= 1．
(2) 设P(x0，y0) (y0 ≠0)，则直线l 的方程为y - y0
= k(x - x0)．联立得
x2
4 +y2=1
y-y0=k(x-x0)
，
整理得(1 + 4k2)x2 + 8(ky0 - k2x0)x + 4(y2
0 - 2kx0y0
+ k2x2
0 - 1) = 0，由题意得△= 0，即(4 - x2
0)k2 +
2x0y0k + 1 - y2
0 = 0．又x2
0
4 + y2
0 = 1，所以16y2
0k2 +
8x0y0k + x2
0 = 0，故k =- x0
4y0
．又知1
k1
+ 1
k2
=
x0+
3
y0
+ x0-
3
y0
= 2x0
y0
，所以
1
kk1
+
1
kk2
=
1
k
1
k1
+ 1
k2
= - 4y0
x0
⋅2x0
y0
=-8，
因此
1
kk1
+
1
kk2
为定值，这个定值为-8．
(3) 设P(x0，y0) (y0 ≠0)，又F1(- 3 , 0)，F2( 3 ,
0)，所以直线PF1，PF2 的方程分别为lPF1 : y0x -
(x0 +
3 )y +
3 y0 = 0，lPF2 : y0x - (x0 -
3 )y -
3 y 0 = 0 ．由题意知
|my0+
3y0|
y2
0+(x0+
3)2
=
|my0-
3y0|
y2
0+(x0-
3)2 ，由于点P 在椭圆上，所以x2
0
4 +
y
2
0
=
1 ．所以
|my0+
3y0|
1- x2
0
4 +(x0+
3)2
=
|my0-
3y0|
1- x2
0
4 +(x0-
3)2
，结合y 0 ≠0 整理得到：
|m+
3|
2+
3
2 x0
= |m-
3|
2-
3
2 x0
，而x0∈(-2 , 2)，
故|m+
3|
3
2 x0+2
= | 3-m|
2-
3
2 x0
，而M 在F1，F2 之间，
-
3 < m <
3 ，-2 < x 0 < 2，故m+
3
3
2 x0+2
=
3-m
2-
3
2 x0
即m = 3
4 x0，
因此- 3
2 < m < 3
2 ，即m 的取值范围是
- 3
2 ，3
2
．
48.【解析】如图，连接QP，QF1，QF2，PF2，
设椭圆的半焦距为c，半虚轴为b，
因为以PF1 为直径作圆N，直线ON 与圆N 交于点
Q ，则N 是PF1 的中点，O 是F1 F2 的中点，
∠PQF1= 90°，
所以|QN | = |PF1|
2
，|NO| = |PF2|
2
，所以QF1
⋅
QF2
= (QO
+ OF1
) ⋅(QO
+ OF2
) = (QO
)2- (OF1
)2
= (|QN | +|NO|)2 - c2 =
|PF1|
2
+ |PF2|
2
2
- c2 = a2
- c2= b2= 3．故答案为：3．
49.【解析】P 在抛物线上，则8 = 2pm，∴pm =
4 ①，圆心(m ,-2 2)，r = PF = m + p
2 ，被y 轴
截弦长为2 5 ，r2 = 5 + m2，即m+ p
2
2
= 5 +
·269·
m 2 ②，由①②解得
m=2
p=2,S=πr2=9π
r=3
．故选：
C．
50.【解析】(1) 证明：如图，∵P 是椭圆M : x2
a2
+ y2
b2 = 1(a > b > 0) 上任意一点，F 为其右焦点，
则以PF 为直径的圆的半径是1
2 |PF|，以长轴为直
径的圆的半径为a ，设椭圆左焦点为F' ，
OC ⎳PF'，OC = 1
2 PF'．圆心距|OC| = 1
2 PF'，
∵|OC| + 1
2 |PF| = a，∴两个圆相内切；
(2) 结论：设P 是双曲线M : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0 , b
> 0) 上任意一点，F 是焦点，则以线段PF 为直径
的圆与以实轴为直径的圆相切．
证明：设以实轴|F1F2| 为直径的圆的圆心为O1，其
半径r1 = a，线段PF2 为直径的圆的圆心为O2，其
半径为r 2 = |PF2|
2
，当P 在双曲线左支上时，
|O1O2| = |PF1|
2
，∵r2 - |O1O2| = |PF2|
2
- |PF1|
2
=
a = r1，∴两圆内切；
当P 在双曲线右支上时，|O 1O 2| = |PF1|
2
，∵
|O1O2| -r2 = |PF1|
2
- |PF2|
2
= a = r1，∴r1 + r2 =
|O1O2|，
∴两圆外切．
51.【解析】如图，根据正四面体性质，取AD 中
点E , 连接BE，CE. 因为正四面体ABCD，所以
AD ⊥BC，所以AD ⊥平面BCE，又BP ⊥AD，
所以点P 在平面BCE 内,
因为△PAD 的面积为定值，可得点P 到直线AD
的距离为定值，故点P 在以AD 为轴的圆柱面上，
由于平面BCE 与圆柱的轴垂直，故点P 的轨迹为
圆. 故选B.
52.【解析】因为直线AM 与直线MP 所成的角为
45°，所以直线MP 在以直线AM 为轴的圆锥面上，
易得点P 形成的轨迹为抛物线的一部分，故选B.
53.【解析】动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、平
行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹
就是这两个圆锥面与平面α 的交线，所以点Q 的轨
迹是双曲线. 故选C.
54.【解析】如图所示，在椭圆上任取一点P，连
接VP 交C 1 于Q，交C 2 于点R，连接O 1Q，
O1F1，PO1，PF1，O2R，在△O1PF 与△O1PQ
中，O 1Q = O 1F = r 1，其中r 1 为球O 1 半径，
∠O1QP = ∠O1FP = 90°，O1P 为公共边，所以
△O1PF1 ≅△O1PQ，所以PF1 = PQ，设P 沿圆锥
表面到达M 的路径长为d，
则PF1 + d = PQ + d ≥PQ + PR = QR，当且仅当
P 为直线VM 与椭圆的交点时取等号，
·270·
QR = VR - VQ =
O2R
tan30° -
O1Q
tan30° = r2-r1
3
3
=
4
cos30° -
1
cos30°
3
3
= 6，故从点P 沿圆锥表面到达点
M 的路线长与线段PF1的长之和的最小值是6．
故选：A．
55.【解析】(1) 过N 作NG ⊥PC 1 于G，因为
∠C1A1N = α + β，|NA1| = a，所以|NG| = asin(α
+ β)，
因为∠C 1NG = α，所以|NC 1| =
|NG|
cos∠C1NG =
asin(α+β)
cosα
．同理过N 向PC2作垂线，
可得|NC2| = asin(β-α)
cosα
；
(2) (ⅰ) 由(1) 知|NC1| = asin(α+β)
cosα
，|NC2| =
asin(β-α)
cosα
，所以b2 = |NB1|2 = |NC1| ⋅|NC2| =
a2sin(β+α)sin(β-α)
cos2α
=
a2(sinβcosα+cosβsinα)(sinβcosα-cosβsinα)
cos2α
=
a2(sin2βcos2α-cos2βsin2α)
cos2α
，所以
b2
a2
=
sin2βcos2α-cos2βsin2α
cos2α
= sin2β - cos2βsin2α
cos2α
，
则e2 = 1 - b2
a2 = 1 - sin2β + cos2βsin2α
cos2α
= cos2β +
cos2βsin2α
cos2α
=
cosβ
cosα
2
，所以e = cosβ
cosα =
1
9
1
3
=
1
3 ，
因为a = 3，所以c = 1，则椭圆C 的焦距2c = 2；
(ⅱ) 因为DF1 ⎳EF2，所以S△DF1F2 = S△DF1E，此时
S△DF1F2- S△DF1Q = S△DF1E - S△DF1Q，
所以S△F1QF2 = S△QDE = s，设|DF1| = λ|EF2|，所以
S△EQF2
S△QDE
= |QF2|
|DQ| = |EF2|
|DF1| = 1
λ ，
所以S△EQF2 = 1
λ S△QDE = s
λ ．同理得S△DQF1 = sλ．
所以S四边形EDF1F2= s
λ + sλ + 2s，
延长DF1 交C 于点M ，此时DF1
= λF1M
，设D
(x1，y1)，M(x2，y2)，
可得(-1 - x 1，-y 1) = λ(x 2 + 1，y 2)，所以
x1+λx2=-(1+λ)
y1+λy2=0
，由(ⅰ) 知椭圆的标准方程为
x2
9 + y2
8 = 1，
因为点D，M 均在椭圆上，所以
x2
1
9 + y2
1
8 =1
x2
2
9 + y2
2
8 =1
，即
x2
1
9 + y2
1
8 =1
λ2x2
2
9 + λ2y2
2
8 =λ2
，所以(x1+λx2)(x1-λx2)
9
+
(y1+λy2)(y1-λy2)
8
= 1 - λ2，所以
-(1+λ)(x1-λx2)
9
= 1 - λ2，
可得x1- λx2=-9 + 9λ，因为x1+ λx2=- (1 + λ)，
解得
x1=4λ-5
x2= 4
λ -5
，因为S△DF1F2= S△DQF1+ S△F1QF2=
sλ + s = c|y1| = |y1|，可得(9s2+ 128)λ2+ (18s2-
320)λ + 9s2+ 128 = 0，
所以λ + 1
λ =- 18s2-320
9s2+128 ，则S四边形EDF1F2 = s
λ +
sλ + 2s =- 18s3-320s
9s2+128
+ 2s．故f(s) =
576s
9s2+128 ．
9.3 圆锥曲线大题
1.【解析】(1) 抛物线M : y2= 4x 的焦点为(1 , 0)，
可得a2 - b2 = 1 ①，抛物线的准线x =-1 被椭圆截
得的弦长为3，由x =-1 代入椭圆方程可得y =
± b2
a ，即有2b2
a
= 3 ②，解①②可得a = 2，b =
·271·
3，
所以椭圆C 的方程为x2
4 + y2
3 = 1；
(2) 设直线AB : y = k(x - 1)，A(x1，y1)，B(x2，
y2)，联立直线与椭圆方程y=k(x-1)
3x2+4y2=12
，
消去y 可得(3 + 4k2)x2 - 8k2x + 4k2 - 12 = 0，则x1
+ x2=
8k2
3+4k2 ，x1x2= 4k2-12
3+4k2 ，
所以x1+x2
2
=
4k2
3+4k2 ，y1+y2
2
= k x1+x2
2
-1
= k
4k2
3+4k2 -1
=
-3k
3+4k2 ，
所以P
4k2
3+4k2 ，-3k
3+4k2
，直线OP : y =- 3
4k x
③，直线AB 的方程y = k(x - 1) 中，令x = 0 可得
y =-k，所以E(0 ,-k)，因为直线EQ ⊥OP，所
以直线QE 的方程为y = 4k
3 x - k ④，
将③④联立相乘得到y2 =-x2 + 3
4 x，即x- 3
8
2
+ y2 = 9
64 ，所以点Q 的轨迹为以
3
8 ，0
为圆
心，3
8 为半径的圆，所以存在定点H
3
8 ，0
，
使得QH 的长为定值3
8 ．
本体以韦达定理为母体，难点在于交轨法
2.【解析】(1) 因为曲线E 和直线l 交于点A，所
以将直线l : y = 1 - x 代入曲线E : x2
t +
y2
1-t = 1，
则x2(1 - t) + t(1 - 2x + x2) = t(1 - t)，化简得(x
- t)2= 0，即x = t，即y = 1 - t，所以A(t , 1 - t)；
(2) 证明：因为直线l 斜率为-1，所以直线AB 斜
率为1，即直线AB : y = x + 1 - 2t，
联立直线AB 和曲线E 得：
y=x+1-2t
x2
t + y2
1-t =1
，化简
得：x2+ 2t(1 - 2t)x + t2(4t - 3) = 0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点P(x0，y0)，
由韦达定理可得：x1 + x2 =-2t(1 - 2t)，即x0 =
x1+x2
2
= 2t2 - t，y0 = x0 + 1 - 2t = 2t2 - 3t + 1，
所以．P(2t2- t，2t2- 3t + 1)，
根据两点间距离公式可得：|AB| =
1+12 |xA -
xB| =
2|t - (4t2 - 3t)| =
2|4t - 4t2| = 4 2|t(1 -
t)|，
又因为线段AB 的中点为P，所以|PA| = 1
2 |AB|
= 2 2t(1 - t)，
由两点距离公式可得：
| PQ |
=
2t2-t- 1
8
2
+ 2t2-3t+ 7
8
2
=
(2t2-t)2+(2t2-3t)2+3t2-5t+ 25
32
=
8t4-16t3+13t2-5t+ 25
32
=
2 2t2-2 2t+
5
4 2
2
=
5
4 2 +2 2t2-2 2t
=
5
4 2 + 2 2t2- 2 2t，
所以| PA | + | PQ | = 2 2 t ( 1 - t ) +
5
4 2 +2 2t2-2 2t
) = 5 2
8
，即|PA| +|PQ| 为
定值；
(3) 存在直线l: y =-x 满足条件，下证之．设圆心
为T，半径为r，直线AP 交y =-x 于M，
AP ⊥l，连接OQ，则OQ ⊥l，|OQ| =
2
8 ，
设|PM| = x，|AM| 为y =-x 与y =-x + 1 之间的
距离，
|AM| =
2
2 ，|AP| =
2
2
- x，由(2) 可知，|PA|
+|PQ| = 5 2
8
，
所以|PQ| = x +
2
8
= |OQ| +|PM| = 2r，所以圆
心T 到l的距离d = |OQ|+|PM|
2
= r，
故⊙T 与y =-x 相切，直线y =-x 满足条件．
本题难点在与第二问求出P 点轨迹，是旋转后的抛
物线
3.【解析】(1) 由题设知a2 = b2 + c2，e = c
a ，由
点(1 , e) 在椭圆上，得1
a2 +
c2
a2b2 = 1，∴b = 1，
c2= a2- 1．
·272·
由点
e,
3
2
在椭圆上，得e2
a2 +
3
4b2 = 1 ∴
a2-1
a4
+ 3
4 = 1，∴a2 = 2 ∴椭圆的方程为x2
2 + y2
= 1．
(2) (i) 延长AF1 交椭圆于B' ，连接B'F2 ，由椭
圆的对称性可得：B'F1 平行且等于BF2 ，如图
6.11 所示。设A x1,y1
, B' x2,y2
, B -x2,-y2
．设AB' 方程为y = k(x + 1) ，将其与椭圆方程
联立得
y=k(x+1)
x2
2 +y2=1
，整理为
1+2k2
x2 + 4k2x
+ 2k2 - 2 = 0 ，由韦达定理可得
x1+x2=-
4k2
1+2k2
x1x2= 2k2-2
1+2k2
，若
AF1 - BF1 =
1+k2 x1+x2
=
6
2
，性
1+k2
4k2
1+2k2
=
6
2
，可得k =±
2
2
，
由于AF1> B'F1 ，故k > 0 ，椭圆k =
2
2
．
(ii) 证明：∵直线AF1 与直线BF2 平行，∴PB
PF1
=
BF2
AF1
，即PF1=
AF1
AF1+BF2
× BF1．
由点B 在椭圆上知，BF1 + BF2 = 2 2 ，∴PF1 =
AF1
AF1+BF2
× (2 2 - BF2)．
同理PF2=
BF2
AF1+BF2
× (2 2 - AF1)．
∴PF 1 + PF 2 =
AF1
AF1+BF2
× ( 2 2 - BF 2 ) +
BF2
AF1+BF2
× (2 2 - AF1) = 2 2 - 2AF1×BF2
AF1+BF2
由①②得，AF1 + BF2 = 2 2(m2+1)
m2+2
，AF1 × BF2
= m2+1
m2+2 ，
∴PF1+ PF2= 3 2
2
．
∴PF1+ PF2是定值．
另解：直接求轨迹方程．
若直线AB' 斜率存在，则设AB' : y = k(x + 1) ，
联立
y=k(x+1)
x2
2 +y2=1
，整理为
1+2k2
x2 + 4k2x +
2k2- 2 = 0 ，故x1+ x2= -4k2
1+2k2
，
将k =
y1
x1+1 代入整理可得x2 = -4-3x1
3+2x1
, y2 =
y1
x1+1 x2+1
=
-y1
3+2x1
；
即
B' -4-3x1
3+2x1
,
-y1
3+2x1
．直线AF2 方程为
y
x-1 =
y1
x1-1
，直线BF1 方程为
y
x+1 =
-y2
-x2+1 ，联立
以上两式可得
x+1
x-1 = y1 x2-1
y2 x1-1
⇒x+1
x-1 =
y1
-4-3x1
3+2x1 -1
-y1
3+2x1 x1-1
，即x+1
x-1 = 7+5x1
x1-1 ，
解得
x= 3x1+3
2x1+4
x1= 3-4x
2x-3
,y=
y1
x1-1 (x-1)
⇒y=
y1
x1-1
3x1+3
2x1+4 -1
=
y1
2x1+4
，
则
y
x
=
y1
3x1+3
⇒y
1 =
y
x 3x1+3
=
y
x
9-12x
2x-3 +3
= -6y
2x-3
，即得到
x1= 3-4x
2x-3
y1= -6y
2x-3
，
由于x2
1
2
+ y 2
1 = 1 ，代人可得
3-4x
2x-3
2
+
2
-6y
2x-3
2
= 2，整理可得x2
9
8
+ y2
1
8
= 1 ，此即为
P 点轨迹．
若AB' 直线方程为x =-1，可得A -1,
2
2
，且
P 0,
2
4
满足上述轨迹方程
4.【解析】(1) 设点F(x , y)，则E(x ,-1)，由题意
知OF
⋅OE
= 0，所以x2- y = 0，所以x2= y，
即动点F 的轨迹方程为y = x2．
(2) 证明：因为BM ⊥y 轴，所以设M(x1，y1)，N
·273·
(x2，y2)，A(xA，y1)，B(xB，y1)，
若要证A 为BM 的中点，只需证2xA = xB + x1，即
可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0 时，与抛物
线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率
存在且不为0，x1x2y1y2 ≠0．设直线MN : x = my
+ 1
2 (m ≠0)，
与x2 = y 联立，消去y 得mx2 - x + 1
2 = 0，△= 1
- 4 × m × 1
2 = 1 - 2m，由题意可知直线MN 与抛
物线C 有两个交点，所以△> 0，所以m < 1
2 ，
由根与系数关系得x1 + x2 = 1
m ，x1x2 =
1
2m ，由
题意得，直线OP 方程y = x，所以A(y1，y1)，直
线ON 方程y = y2
x2
⋅x，所以B x2y1
y2
,y1
，所以xB
+ x1 - 2xA = x2y1
y2
+ x1 - 2y1 = x2⋅x2
1
x2
2
+ x1 - 2x2
1 =
x1 x1
x2
+1-2x1
= x1 ⋅x1+x2-2x1x2
x2
= x1
x2
(x1 + x2
- 2x1x2) = x1
x2
1
m - 1
m
= 0，所以A 为线段BM
的中点．
5.【解析】(1) 不妨设W (x , y)，D(x0，y0)，此
时A(x0，0)，B(0 , y0)，因为|AB| = 1，所以WA
= AB
，
此时(x0 - x，-y) = (-x0，y0)，即x0= x
2
y0=-y
，因
为点D 在圆O 上，所以x2
0 + y2
0 = 1，则x2
4 + y2 =
1，
故曲线C 的方程为x2
4 + y2= 1；
(2) 证明：易知直线l1，l2 与坐标轴不平行，不妨
设直线l1 的方程为x = my - 2，此时直线l2 的方程
为x =- 1
m y - 2，联立
x=my-2
x2
4 +y2=1
，消去x 并整
理得(m2 + 4)y2 - 4my = 0，解得y =
4m
m2+4 或y
= 0(舍去)，
所以x = m ⋅
4m
m2+4 - 2 = 2m2-8
m2+4
，此时
M
2m2-8
m2+4 ,
4m
m2+4
，
同
理
得
N
2-8m2
4m2+1 ,-
4m
4m2+1
，
当m ≠±1 时，直线MN 的斜率存在，此时kMN =
4m
m2+4 +
4m
4m2+1
2m2-8
m2+4 - 2-8m2
4m2+1
= 4m(5m2+5)
16m4-16
=
5m
4m2-4 ，
所以直线MN 的方程为y =
5m
4m2-4 x+ 6
5
，易知
直线MN 过定点- 6
5 ,0
；当m =±1 时，直线
MN 斜率不存在，此时直线MN 的方程为x =- 6
5 ，
则直线MN 过定点- 6
5 ,0
，综上，直线MN 过定
点- 6
5 ,0
；
(2) 假设存在点R 使得∠ORP + ∠ORQ = π
2 ，不
妨设R(0 , t)，因为∠ORP + ∠ORQ = π
2 ，所以
∠ORQ = ∠OPR，
此时tan∠ORQ = tan∠OPR，即|OQ|
|OR| = |OR|
|OP| ，
所以|OR|2 = |OP| ⋅|OQ|，因为直线x = x0 与曲线
C 交于不同的两点G、H，易知G、H 关于x 轴对
称，不妨设G(x0，y0)，H(x0，-y0) (y0 ≠±1，y0
≠0)，
易知S(0 , 1)，所以直线SG 方程为y = y0-1
x0
x +
1，令y = 0，解得xP =-
x0
y0-1 ，而直线SH 方程
为y = y0+1
-x0
x + 1，令y = 0，解得xQ =
x0
y0+1 ，
因为|OR|2 = |OP| ⋅|OQ|，所以t2 =
x2
0
|y2
0-1| ，因为
点G 在椭圆上，所以x2
0
4 + y2
0 = 1，解得t =±2，故
存在点R(0 ,±2)，使得∠ORP + ∠ORQ = π
2 ．
6.【解析】(1) 由题意，知|A1A2| = 2a，把x = c
代入椭圆方程有y =± b2
a ，∴|DE | = 2b2
a ，∴
SA1DA2E = 1
2 ⋅|A1A2| ⋅|DE| = 1
2 ⋅2a ⋅b2
a = 6，∴b
=
3 ，∵点
2,-
6
2
在椭圆上，∴2
a2 +
3
2
3
= 1，∴a = 2，
·274·
则椭圆C 的标准方程为x2
4 + y2
3 = 1．
(2) 由题意知A1(-2 , 0)，A2(2 , 0)，设P(x0，y0)，
则k1=
y0
x0+2 , k2=
y0
x0-2 ，
则k 1k 2 =
y0
x0+2 ⋅
y0
x0-2 =
y2
0
x2
0-4 =
3 1- x2
0
4
x2
0-4
=
- 3
4 ．
(3) ②当斜率存在时，则直线的方程为y = k(x -
m)，联立方程有(3 + 4k2)x2 - 8k2mx + 4k2m2 - 12
= 0，
△= 64k4m4 - 4(3 + 4k2) (4k2m2 - 12) = 48(4k2 + 3
- k2m2) > 0 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1 + x2
= 8k2m
3+4k2 ，x1x2 = 4k2m2-12
3+4k2
，∴|PM |2 + |PN |2
= (x1 - m)2 + y2
1 + (x2 - m)2 + y2
2 = (x1 - m)2 +
3 1- x2
1
4
+ (x2- m)2+ 3 1- x2
2
4
= 1
4 x2
1 - 2mx1 + m2 + 3 + 1
4 x2
2 - 2mx2 + m2 + 3 =
1
4 [(x1+ x2)2- 2x1x2] - 2m(x1+ x2) + 2m2+ 6
= 1
4
8k2m
3+4k2
2
- 1
2 ⋅4k2m2
3+4k2 - 2 m ⋅
8k2m
3+4k2 +
2m2 + 6 =
k2+1
(3+4k2)2 [-6m2(4k2 - 3) + 24(3 + 4k2)
]．
要使|PM |2 + |PN |2 的值与m 的取值无关，则4k2
- 3 = 0，∴k =±
3
2 ，则直线l 的斜率为±
3
2 ．
7.【解析】由题意可得
9
4a2 + 3
b2 =1
c
a =
5
3
a2=b2+c2
，解得a2= 9，
b2= 4，故椭圆方程为x2
9 + y2
4 = 1；
(2) 证明：由(1) 得，直线PR 与曲线x2 + y2 = 4，
x > 0 相切，且F( 5 , 0)，
当直线PR 的斜率不存在时，若|PR| = 3，则令
x2
9 + y2
4 = 1 中y = 3
2 ，解得x = 3 7
4
，负值舍
去，
故直线PR 的方程为x = 3 7
4
，不与x2 + y2 = 4，
x > 0 相切，舍去；
当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 方程为y =
kx + t，
|t|
1+k2 = 2，解得t2= 4 + 4k2，
充分性：联立
y=kx+t
x2
9 + y2
4 =1
，消去y 整理得(4 + 9k2)
x2+ 18ktx + 9t2- 36 = 0，
设P(x1，y1)，R(x2，y2)，则x1 + x2 =- 18kt
4+9k2 ,
x1x2= 9t2-36
4+9k2 ，
则
|
PR
|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
- 18kt
4+9k2
2
-4⋅9t2-36
4+9k2
=
1+k2 2 81k2t2-(9t2-36)(4+9k2)
4+9k2
=
1+k2 12 9k2-t2+4
4+9k2
，因为t2= 4 + 4k2，
所以|PR| =
1+k2 12 5k2
4+9k2 = 3，解得k =±2，当
k = 2 时，t =±2 5 ，由图知，当t = 2 5 时，直
线过一，二，三象限，不合要求，舍去，当t =
-2 5 时，直线过一，三，四象限，满足要求，此
时直线PR 方程为y = 2x - 2 5 ，经过点F( 5 ,
0)，同理可得k =-2 时，t = 2 5 ，此时直线PR
方程为y =-2x + 2 5，经过点F( 5 , 0)，
充分性证毕；
必要性：若P，R，F 三点共线，则F( 5 , 0) 在
直线PR 上，故
5 k + t = 0，又t2 = 4 + 4k2，解
得k =±2，
联立y =±2(x -
5 ) 与x2
9 + y2
4 = 1 得40x 2 -
72 5x + 144 = 0，故x1+ x2= 9 5
5
, x1x2= 18
5 ，
故| PR | =
1+4
(x1+x2)2-4x1x2 =
1+4 ×
81
5 - 72
5 = 3，必要性成立；
故P，R，F 三点共线的充要条件是|PR| = 3．
·275·
8.【解析】(1) 由题，抛物线的焦点为(1 , 0)，准
线x =-1，所以c = 1，椭圆C 和抛物线Γ 的准线
在第二象限交点为-1, 3
2
，所以1
a2 + 9
4b2 = 1，
a2 - b2 = 1，解得a2 = 4，b2 = 3，所以x2
4 + y2
3 =
1；
(2) 由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方
程：x = my + 1，Q(x1，y1)，P(x2，y2)，则Q1
(x1，-y1)，
联立
x=my+1,
x2
4 + y2
3 =1
，化简得(3m2 + 4)y2 + 6my - 9
= 0，则△= 36m2 + 36(3m2 + 4) > 0，所以y1 + y2
=
-6m
4+3m2 ，y1 ⋅y2 =
-9
4+3m2 ，直线PQ1 的斜率k
= y2-(-y1)
x2-x1
= y2+y1
x2-x1
，所以直线PQ1 的方程为y
+ y1= y2+y1
x2-x1
(x - x1)，
令
y
=
0
，
得
x
=
x1y2+x2y1
y1+y2
=
(my1+1)y2+(my2+1)y1
y1+y2
= 2my1y2+(y1+y2)
y1+y2
=
2m
-9
4+3m2
+ -6m
4+3m2
-6m
4+3m2
= 4，
即直线PQ 与x 轴交于一个定点，记为M (4 , 0)，
则S△F2PQ1= 1
2 |F2M||y1+ y2| = 3
2 ⋅
6|m|
4+3m2
=
9
3|m|+ 4
|m|
≤
9
4 3 = 3 3
4
，当且仅当3|m| =
4
|m| ，即m =± 2 3
3
，等号成立，
所以△F2PQ1的面积存在最大值3 3
4
．
9.【解析】(1) 由已知，kAW ⋅kBW =
y
x+2 ⋅
y
x-2
=- 1
4 ，整理得x2
4 + y2 = 1(y ≠0)，所以曲线C 的
方程为x2
4 + y2 = 1(y ≠0)，C 是椭圆除去长轴上
的两个端点；
(2) ①证明：如图，显然直线l 与l2 垂直，设直线l :
x = ty + d，直线l 与椭圆交于M(x1，y1)，N(x2，
y2)，
由于直线l2 : y = k2x 平分直线l 与圆O 的交线段，
则有k2 =-t，x2
1+4y2
1=4
x2
2+4y2
2=4
，于是(x1 - x2) x1+x2
2
=-4(y 1 - y 2) y1+y2
2
，由于t = x1-x2
y1-y2
，k 1 =
y1+y2
2
x1+x2
2
，则k1 =- 1
4 t，则1
4 = k1
k2
，故k1
k2
为定值
1
4 ；
②如图，由题可知OH
OD = 3
2 ，则S△EHG = 3
2 S△EDG
= 3
4 S △DEFG ，易知S EFGH = 5
4 S △DEFG ，令
x2+4y2=4
y=k1x
，得x =±
4
4k2
1+1 ，则直线l1 与椭圆
交线长为|EG| = 2 k2
1+1
4
4k2
1+1 ，
同理可得直线l 2 与椭圆的一个交点
D
4
4k2
2+1 ,k2
4
4k2
2+1
，则D 到直线l1 的距离
d =
(k1-k2)
4
4k2
2+1
k2
1+1
=
3
4 k2
4
4k2
2+1
k2
1+1
，所以四
边
形
面
积
S
四边形DEFG
=
EG
d
=
6k2
4k2
1+1
4k2
2+1
，
当k 2 = 0 时，四边形不存在，当k 2 ≠0 时，
S四边形DEFG =
6
k2
2+ 17
4 + 1
k2
2
≤12
5 ，
·276·
所以四边形EFGH 面积的最大值SEFGH = 5
4 S△DEF
= 3，在k2=±1 时取到．
10.【解析】(1) 设F(c , 0)，由条件知2
c = 2 3
3
，
得c =
3 又c
a =
3
2 ，所以a = 2，b2 = a2 - c2 =
1，故E 的方程x2
4 + y2= 1．
(2) 依题意当1 ⊥x 轴不合题意，故设直线1 : y =
kx - 2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2) 将y = kx - 2 代
入x2
4 + y2 = 1，得(1 + 4k2)x2 - 16kx + 12 = 0，当
△= 16 ( 4 k 2 - 3 ) > 0 ，即k 2 > 3
4 时，x =
8k±2 4k2-3
1+4k2
，
从而|PQ| =
k2+1|x1- x2| = 4 k2+1⋅
4k2-3
1+4k2
．
又点O 到直线PQ 的距离d =
2
k2+1
，所以
ΔOPQ 的面积SΔOPQ = 1
2 d|PQ| = 4 4k2-3
1+4k2
，设
4k2-3 = t，则t > 0 , SΔOPQ =
4t
t2+4 =
4
t+ 4
t
≤
1，当且仅当t = 2 , k =±
7
2
等号成立，且满足
△> 0，所以当ΔOPQ 的面积最大时，1 的方程
为：y =
7
2 x - 2 或y =-
7
2 x - 2．
11.【解析】(1) 证明：设直线EF : x = my + 6
5 ，
E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线EF 与椭圆C 的方
程联立得x=my+ 6
5 ,
x2+4y2-4=0,
整理可得(m2 + 4)y2 +
12m
5
y - 64
25 = 0 ，由韦达定理可得y 1 + y 2 =
- 12m
5
m2+4 ，y1y2=
- 64
25
m2+4 ，
将直线AE，BF 方程联立，得
y=
y1
x1+2 (x+2),
y=
y2
x2-2 (x-2),
消去y，得x+2
x-2 = y2(x1+2)
y1(x2-2) =
y2 my1+ 16
5
y1 my2- 4
5
=
my1y2+ 16
5 y2
my1y2- 4
5 y1
=
16
15 (y1+y2)+ 16
5 y2
16
15 (y1+y2)- 4
5 y1
= 4，解得点
P 的横坐标为10
3 ，则点P 在定直线x = 10
3 上；
(2) 由题意知，S△OPM = S△APF - S△ADP - S△PMF -
S 四边形OMFA = S △APF - 1
2 S △ABP - 1
2 S △PEF -
S四边形OMFA
= S △APF -
1
2
S△DEB+S△FEB+S△EAB+S△DEF
-
S 四边形OMFA = S 四边形AEBF - S △FDM - S △BEF -
S四边形OMFA = 1
2 S四边形OEBF，
而S 四边形OEBF =
1
2 OB
⋅
y1-y2 =
y1-y2
=
(y1+y2)2-4y1y2 =
16m2+ 1024
25
(m2+4)2
，
令t = m
2 + 4 ≥4 ，则S
四边形OEBF =
16 t-4
+ 1024
25
t2
=
- 576
25 ⋅1
t2 + 16
t
≤
64
25
= 8
5 ，当m = 0 时取等．
所以△OMP 面积的最大值为4
5 ．
12.【解析】(1) 由
1
|OF| +
1
|OA| =
3e
|FA| ，得
1
a2-3
+ 1
a =
3⋅
a2-3
a
a-
a2-3
，即a+
a2-3
a⋅
a2-3
=
3 a2-3
a(a-
a2-3)
，
∴a[a2 - (a2 - 3)] = 3a(a2 - 3)，解得a = 2．∴椭
圆方程为x2
4 + y2
3 = 1；
(2) 由已知设直线l 的方程为y = k(x - 2)，(k ≠
0)，设B(x1，y1)，M(x0，k(x0- 2))，
∵∠MOA ≤∠MAO，∴x0 ≥1，再设H(0 , yH)，
联立
y=k(x-2)
x2
4 + y2
3 =1
，得(3 + 4k2)x2 - 16k2x + 16k2 -
12 = 0．
△= (-16k2)2 - 4(3 + 4k2) (16k2 - 12) = 144 > 0．由
根与系数的关系得2x1= 16k2-12
3+4k2 ，
∴x1 = 8k2-6
3+4k2 ，y1 = k(x1 - 2) = -12k
3+4k2 ，MH 所
在直线方程为y - k(x0- 2) =- 1
k (x - x0)，
令x = 0，得yH = k+ 1
k
x0 - 2k，∵BF ⊥HF，
·277·
∴BF
⋅HF
= (1 - x1,-y1) ⋅(1 ,-yH) = 0，
即1 - x
1 + y
1 y
H = 1 -
8k2-6
3+4k2
-
12k
3+4k2
k+ 1
k
x0-2k
= 0 ，整理得：x 0 =
9+20k2
12(k2+1) ≥1，即8k2≥3．
∴k ≤-
6
4
或k ≥
6
4 ．
13.【解析】(1) 设直线l : x = my + p
2 ，联立
x=my+ p
2
y2=2px
，整理得y2- 2pmy - p2= 0，
所以△= 4m2p2 + 4p2 > 0，y1 + y2 = 2pm , y1y2 =
-p 2．则S △OAB = 1
2 ⋅|OF | ⋅|y 1 - y 2| = 1
2 ⋅p
2 ⋅
4m2p2+4p2 ≥p2
2 ，
当且仅当m = 0 时等号成立，此时p2
2 = 9
2 ，则p
= 3，抛物线C : y2= 6x．
(2) (i) 由于三角形OAB 的外接圆过原点，则可设
其方程为：x2+ y2+ Dx + Ey = 0，
将其与抛物线方程联立：x2+y2+Dx+Ey=0
y2=6x
，
整理得：1
36 y4+
D
6 +1
y2+ Ey = 0，
由于0，y1，y2，y3 为方程的四个根，所以y4 +
(6D + 36)y2+ 36Ey = y(y - y1) (y - y2) (y - y3)，
展开比较等式两边y3的系数可得y3=- (y1+ y2)；
(ii) 因为TF 平分角ATB，由角平分线定理知：
|TA|
|TB| = |FA|
|FB| = |y1|
|y2| 且y1y2=-p2=-9，
所以y2
1
y2
2
=
|TA|2
|TB|2
=
y2
3
6 - y2
1
6
2
+(y3-y1)2
y2
3
6 - y2
2
6
2
+(y3-y2)2
=
((y1+y2)2-y1)2+36(2y1+y2)2
((y1+y2)2-y2)2+36(2y2+y1)2
= (y2
2-18)2+36(4y2
1+y2
2-36)
(y2
1-18)2+36(4y2
2+y2
1-36)
= y4
2+144y2
1-972
y4
1+144y2
2-972 ．
化简即得：y6
1 + 144y2
1y2
2 - 972y2
1 = y6
2 + 144y2
1y2
2 -
972y2
2，
因式分解可得：(y2
1 - y2
2) (y4
1 + y2
1y2
2+ y4
2- 972) = 0，
此时，若y2
1 = y2
2，则A、B 重合或者O、T 重合，
这都不符合题意，舍去；所以y4
1 + y4
2+ y2
1y2
2= 972，
即(y2
1 + y2
2)2 = 972 + y2
1y2
2 = 1053，所以y2
1 + y2
2 =
9 13 > 18 = 2|y1y2|，这表示满足条件的A、B 两
点存在，
所以(y1 + y2)2 = y2
1 + y2
2 + 2y1y2 = 9 13 - 18，此时
|TF| = y2
3
6 + p
2 = (y1+y2)2
6
+ 3
2 = 3 13-3
2
．
14.【解析】(1) 设A(x1，x2
1
4 )，B(x2，x2
2
4 ) 为曲
线C : y = x2
4 上两点, 则kAB =
x2
1
4 - x2
2
4
x1-x2
= 1
4 (x1+
x2) = 1
4 × 4 = 1 ;
(2)AB：(x1+ x2)x = 4y + x1x2(证明略)，即4x =
4y + x1x2，
同理，AM : (2 + x1)x = 4y + 2x1，BM : (2 + x2)x
= 4y + 2x2，AM ⊥BM，则2+x1
4
⋅2+x2
4
=-1，
x1x2=-28，
所以AB : 4x = 4y - 28，即y = x + 7.
15. 【解析】(1) ∵AB 斜率不为0，∴设AB : x =
λy + p
2 ，代入y2 = 2px(p > 0)，可得y2 - 2pλy -
p2 = 0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1 + y2 =
2pλ , y1y2=-p2，
∴SΔHAB = 1
2 ⋅p|y1 - y2| = 1
2 ⋅p ⋅
(y1+y2)2-4y1y2
= 1
2 p ⋅
4p2λ2+4p2 = p2 λ2+1，
∴当λ = 0 时，SΔHAB 取最小值p2，∴p2 = 4，p =
2，∴抛物线C 的方程为y2= 4x；
2. 假设存在E(x0，y0)，设M (x3，y3)，N (x4，
·278·
y4)，由题意，MN 斜率不为0，，kMN = y4-y3
x4-x3
=
y4-y3
y4
2
4 - y3
2
4
，得到kMN =
4
y3+y4
，故直线MN 方程为:
y - y3 =
4
y3+y4
x- y2
3
4
，化简可得: (y3 + y4)y =
4x + y3y4 ①，又因为点Q 17
4 ,1
在MN 上，所以
y3+ y4= 17 + y3y4②
同理EM : (y0 + y3)y = 4x + y0y3，EN : (y0 + y4)y =
4 x + y 0 y 4 ，由于EM ⊥EN ，故
4
(y0+y3) ⋅
4
(y0+y4) =-1，
y2
0 + (y3 + y4)y0 + y3y4 + 16 = 0，代入②得：y0
2 +
(y3y4 + 17)y0 + y3y4 + 16 = (y0 + y3y4 + 16) (y0 + 1)
= 0
16. 【解析】(1) 直线MD 垂直于x 轴时，D(p , 0)，
可得M 的横坐标为p，又因为|MF| = 3，由抛物线
的性质可得p + p
2 = 3，解得p = 2，所以抛物线的
方程为：y2= 4x；
(2) 证明：由题意之直线l 的斜率存在且不为0，设
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3)，S(x4，y4)，
则直线l 的方程为(y1+ y2)y = 4x + y1y2(请自证)，
由于过点A(-1，0)，所以y1y2= 4，
同理，PR：(y1+ y3)y = 4x + y1y3，QS：(y2+ y4)
y = 4x + y2y4，由于都过点B(1，-1)，所以y1y3+
y1+ y3+ 4 = 0，y2y4+ y2+ y4+ 4 = 0，即y3=-1
-
3
y1+1 ，y4=-1 -
3
y2+1 ，
所以k QR + k PS = y2-y3
x2-x3
+ y1-y4
x1-x4
=
4
y2+y3
+
4
y1+y4
=
4
y2- 4+y1
y1+1
+
4
y1- 4+y2
y2+1
=
4(y1+1)
y1y2+y2-4-y1
+
4(y2+1)
y1y2+y1-4-y2
= 4(y1+1)
y2-y1
+
4(y2+1)
y1-y2
=-4，
即证得kQR + kPS 为定值．
17.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kPA =
y1-4
x1+2 = x2
1-4
x1+2 = x1 - 2，所以PA 方程: (x1 - 2)x
= y - 2x1①;
同理PB 方程: (x2 - 2)x = y - 2x2 ②(①和②是同构
方程)
由于PA 与圆C2 相切，则d =
|2-2x1|
1+(x1-2)2 = 1 ⇒
3x2
1 - 4x1- 1 = 0，即3y1- 4x1- 1 = 0 ③;
根据PB 与圆C2 相切，同理可得: 3x2
2 - 4x2 - 1 =
0，即3y2- 4x2- 1 = 0 ④;
至此发现: A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点均满足同
构方程3y - 4x - 1 = 0，两点确定一条直线，所以
直线AB 的方程为4x - 3y + 1 = 0.
18.【解析】(1) 椭圆C2 : x2 + 16y2 = 1 的b2 = 1
16 ，
即b = 1
4 ，所以它的短轴长为2b = 1
2 ，
由抛物线的性质可得p = 2b = 1
2 ，所以抛物线的方
程为：y2= x；
(2) 证明：由(1) 可得D(1 , 1)，因为0 < r < 1，设
M(y1
2，y1)，N(y2
2，y2)，
则直线MN 的方程为y - y1 =
1
y1+y2
(x - y1
2)，即x
- (y1 + y2)y + y1y2 = 0，同理，DM : x - (y1 + 1)y
+ y1= 0
因为直线DM 为圆的切线，所以
|2+y1|
1+(y1+1)2 =
r，整理可得：(r2 - 1)y1
2 + (2r2 - 4)y1 + 2r2 - 4 =
0，①
同理可得：(r2 - 1)y2
2 + (2r2 - 4)y2 + 2r2 - 4 = 0，
②
由①②可得y1，y2 为方程：(r2 - 1)y2 + (2r2 - 4)y
+ 2r2- 4 = 0 的两个不同的实根，
法一：所以y1+ y2= 2r2-4
r2-1 ，y1y2= 2r2-4
r2-1 ，
代入MN ：x - (y1 + y2)y + y1y2 = 0 中，整理可得
(x + 2y + 2)r2- (x + 4y + 4) = 0，
可得x+2y+2=0
x+4y+4=0
，解得x = 0，y =-1，
·279·
法二：由于y2 = x，所以(r2 - 1)x + (2r2 - 4)y +
2r2- 4 = 0，所以(x + 2y + 2)r2- (x + 4y + 4) = 0，
即直线MN 恒过定点(0 ,-1)．
19.【解析】(Ⅰ) 依题意有，c = 1，因为椭圆C 过
点P 1, 3
2
，所以
a2-b2=1
1
a2 + 9
4b2 =1
，解得a2=4
b2=3
，
所以椭圆C 的方程为x2
4 + y2
3 = 1．
(II) 由题意可设直线AB 的方程为y = k(x - 1)，代
入椭圆方程3x2+ 4y2= 12 并整理，
得(4k2 + 3)x2 - 8k2x + 4(k2 - 3) = 0．设A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则有x1 + x2 =
8k2
4k2+3 , x1x2 =
4(k2-3)
4k2+3 ．①
联立直线AB 与直线l 的方程y=k(x-1)
x=4
得，M
的坐标为(4 , 3k)．
从而k1 =
y1- 3
2
x1-1 , k2 =
y2- 3
2
x2-1 , k3 =
3k- 3
2
4-1
= k -
1
2 ．因为A，F，B 共线，则有k = kAF = kBF，即
有
y1
x1-1 =
y2
x2-1 = k．所以k1 + k2 =
y1- 3
2
x1-1 +
y2- 3
2
x2-1 =
y1
x1-1 +
y2
x2-1 - 3
2
1
x1-1 +
1
x2-2
=
2k - 3
2 ⋅
x1+x2-2
x1x2-(x1+x2)+1 ．
将①代入上式得k 1 + k 2 = 2 k -
3
2
⋅
8k2
4k2+3 -2
4(k2-3)
4k2+3 -
8k2
4k2+3 +1
= 2k - 1，又k3 = k - 1
2 ，所
以k1+ k2= 2k3．
故存在常数λ = 2 符合题意
20.【解析】(1) 因为椭圆过Q( 2
e ，0)，所以a =
2
e = 2a
c ，所以c = 2，则a2 = b2 + c2 = b2 + 4，
将P(-2，3) 代入椭圆方程：
x2
b2+4 + y2
b2 = 1，解
得：b2 = 12，a2 = 16，所以椭圆的标准方程：x2
16
+ y2
12 = 1；
(2) 将坐标原点平移到P 点(椭圆右移2 个单位，下
移3 个单位)
此时的椭圆方程x2
16 + y2
12 = 1 ⇒(x-2)2
16
+
(y+3)2
12
= 1 化简得x2
16 - x
4 + y2
12 + y
2 = 0
此时直线AB 的方程y + 3 = k(x - 2) + m 又设AB
的方程为mx + ny = 1
代入x2
16 - x(mx+ny)
4
+ y2
12 + y(mx+n)
2
= 1，
即
1
16 - m
4
x2+
m
2 - n
4
xy +
1
12 + n
2
y2= 0
整理得
1
12 + n
2
y
x
2
+
m
2 - 1
4
y
x + 1
16 - m
4
= 0，因为k1k2 =- 3
4 所以
1
16 - m
4
1
12 + n
2
=- 3
4 ，化简
得m = 1
2 + 3
2 n 代入AB 的方程
3
2 x+y
n = 1 -
1
2 x，则AB 必过(2，-3)，则平移回去则原直线
必过(0，0) 则m = 0
21.【解析】(1) 由题意可得c = 1，a2 - b2 = 1，设
D(0，-b)，E(m，n)，又F2(1，0)，|DF2| =
3|F2E|，即DF2
= 3F2E
，可得1 = 0+3m
1+3
，0 =
-b+3n
1+3
，解得m = 4
3 ，n = b
3 ，将E( 4
3 ，b
3 )，
代入椭圆方程可得16
9a2 + 1
9 = 1，解得a =
2 ，
则b = 1，可得椭圆方程为x2
2 + y2= 1；
(2) 将A 点平移到坐标原点得，则椭圆方程可化为
(x-
2)2
2
+ y2 = 1 ，x2
2 -
2 x + y2 = 0，设MN
的方程为mx + ny = 1，原直线过
2
2 ，0
，平移
过后过
3 2
2
，0
将MN 的方程与椭圆联立x2
2 -
2 x(mx + ny) + y 2 = 0，所以y 2 -
2 nxy +
1
2 -
2m
x2 = 0，k1k2 = 1
2 -
2 m 因为MN 过
·280·
3 2
2
，0
，代入mx + ny = 1 得3 2
2
m = 1 所以
m =
2
3 2 , k1k2= 1
2 - 2
3 =- 1
6
22.【解析】(1) 将点A 的坐标代入椭圆E 的方程
可得b = 1，右准线方程为x = a2
c = b2+c2
c
=
1+c2
c
= 2，
整理得c2 - 2c + 1 = 0，解得c = 1，所以，a =
b2+c2 =
2 ，因此，椭圆E 的标准方程为x2
2 +
y2= 1；
(2) 设点M 的坐标为(2，m)，其中m < 0，则直
线OM 的方程为y = m
2 x，所以，直线CD 的方程
为y =- 2
m (x - 1)，即2x + my - 2 = 0，线段OM
的中点为H 1, m
2
，所以，圆H 的方程为(x - 1)2
+
y- m
2
2
= m2+4
4
，该圆的半径为r =
m2+4
2
，点H 到直线CD 的距离为d =
m2
2 m2+4
，由垂径定理可得d2 +
CD
2
2
= r2，即
m4
4(m2+4) +
6
2
2
= m2+4
4
，解得m =-2，因
此，圆H 的方程为(x - 1)2+ (y + 1)2= 2；
(3) 由题PQ 不经过坐标原点，点A(0，-1)，可
设PQ 的方程为mx + n(y + 1) = 1
椭圆方程化为x2 + 2(y + 1)2 - 4(y + 1) = 0 则齐次
化x2+ 2(y + 1)2- 4(y + 1) [mx + n(y + 1)] = 0
整理得(2 - 4n) (y + 1)2 - 4mx(y + 1) + x2 = 0，同
除以x2 得，(2 - 4n) y+1
x
2
- 4mx ⋅y+1
x
+ 1 = 0
则
y1+1
x1
+ y2+1
x2
=
2m
1-2n ．所以k AP + k AQ =
y1+1
x1
+ y2+1
x2
=
2m
1-2n = 2 得m = 1 - 2n 代入
PQ 的方程
(x - 1) + n(-2x + y + 1) = 0 恒成立所以x=1
y=1
故
直线PQ 过定点(1，1)
23.【解析】(1) x2
8 + y2
4 = 1
(2) 分析 此题的背景是极点极线，所求直线是极
点M (0 , m) 所对应的极线y = 4
m ，那么点P(1，
0) 在本题中属于多余条件，但往往能够迷惑大家，
不过也能简化一些计算.
因为kBD ⋅kAD =- 1
2 (第三定义自证)，令yN = n，
M(0 , m)，且kAN =kAC
kBN =kBD
，kAN
kBN
= yN +2
yN -2 =
n+2
n-2 ，
所以kAN ⋅kAD = n+2
n-2 ⋅kBN ⋅kAD =-
n+2
2(n-2) ，将
椭圆向上平移2 个单位，得x2
8 + (y-2)2
4
= 1，
即x2
8 + y2
4 - y tx+
y
m+2
= 0，k1k2=
1
8
1
4 -
1
m+2
=-
n+2
2(n-2) ，所以mn = 4.
24.【解析】(I) x2
5 + y2
4 = 1
(II) 将椭圆按照向量AO
: (0，2) 平移，得x2
5 +
(y-2)2
4
= 1，即x2
5 + y2
4 - y = 0，此时B →B, C
→C, BC过定点P(0，-1)，所以BC: mx - y
= 1，联立x2
5 + y2
4 - y(mx - y) = 0，由于x ≠0，
同除以x2得：5
4
y2
x2 - m y
x + 1
5 = 0，kAC ⋅kAB =
·281·
25
4 ，由于AM : y = k1x - 2，AN : y = k2x - 2，当
y =-3，xM = -1
k1
，xN = -1
k2
，|xM| +|xN| =
1
k1
+ 1
k2
= k1+k2
k1k2
= 4
25 |k1+ k2| ≤15，所以
k1+k2
≤25×15
4
，所以|kBC| ≤3，当B、C 重合
时，|kBC| = 1，所以kBC ∈[-3 ,-1) ∪(1 , 3]
25.【解析】(1) x2
4 + y2
3 = 1
( 2 )
y=k1(x+1)+ 3
2
y=tx2
⇒tx2-klx- k1+ 3
2
=0.
Δ
= k2
1 + 4t k1+ 3
2
= 0 ⇒k2
1 + 4tk1 + 6t = 0，同理k2
2
+ 4tk2 + 6t = 0，所以k1、k2 是同构方程k2 + 4tk +
6t = 0 的两根. 所以k1+k2=-4t
k1k2=6t
, 所以1
k1
+ 1
k2
=
- 2
3 ；
将椭圆按照向量AO
= ( 1 ，- 3
2 ) 平移，得:
(x-1)2
4
+
y+ 3
2
2
3
= 1 ，即
x2
4
+
y2
3
+
- 1
2 x+y
= 0，原来DE 对应此时DE ，令D′E′
: mx + ny = 1，则一定有: x2
4 + y2
3 + - 1
2 x+y
(mx + ny) = 0，
同除以x 2 得:
1
3 +n
y2
x2 + m- 1
2 n
y
x + 1
4 -
1
2 m = 0，即
1
3 +n
k2 + m- 1
2 n
k + 1
4 - 1
2 m
= 0，
所以k1 + k2 =
-m+ 1
2 n
1
3 +n
，k1 ⋅k2 =
1
4 - 1
2 m
1
3 +n
，所
以k1+k2
k1k2
=- 2
3 =
-m+ 1
2 n
1
4 - 1
2 m
⇒8m - 3n = 1，
D′E′ 过定点(8，-3) , 所以DE 过(7，- 3
2 ).
26.【解析】(Ⅰ) 易知直线2x + 4y - 1 = 0 与x 轴
交于
1
2 ,0
，所以p
2 = 1
2 , p = 1，抛物线方程为
y2= 2x；
证明：(Ⅱ) ①设直线MN 方程为x = my + 4，M
(x1，y1)，N (x2，y2)，联立方程组x=my+4
y2=2x
，
得y2 - 2my - 8 = 0，所以y1y2 =-8 , k1 ⋅k2 = y1y2
x1x2
=
4
y1y2
=- 4
8 =- 1
2 ；
②设直线PQ 方程为x = ty + n，P(x3，y3)，Q
(x4，y4)，联立方程组x=ty+n
(x-1)2+y2=1
，得(t2 + 1)
y 2 + 2t(n - 1)y + n 2 - 2n = 0，所以y 3 + y 4 =
- 2t(n-1)
t2+1
, y3y4= n2-2n
t2+1 ，
k
1
⋅
k
2
=
y3y4
x3x4
=
y3y4
(ty3+n)(ty4+n)
=
y3y4
t2y3y4+nt(y3+y4)+n2 =- 1
2 ，整理得n-2
n
=
- 1
2 , n = 4
3 ，所以直线PQ 过定点
4
3 ,0
．
27.【解答】(1) 由题意知p
2 = 1，即p = 2，∴抛
物线C 的方程为：x2= 4y；
(2) 令A x1, x2
1
4
, B x2, x2
2
4
, C x3, x2
3
4
，不妨设
直线AB 与y 轴交于点D(0 , yD)，
∴
x2
2
4 - x2
1
4
x2-x1
=
yD- x2
1
4
0-x1
即yD =- x1x2
4
．又∵且FA
+ FB
+ FC
= 0，∴
x1+x2+x3
3
= 0 ，
x2
1
4 + x2
2
4 + x2
3
4
3
= 1．从而x1 + x2 =-x3，x2
1 + x2
2 =
12 - x2
3
∴2x1x2 = (x1 + x2)2 - (x2
1 + x2
2) = 2x2
3 - 12，即x1x2
= x2
3- 6．
S△ABC = 3S△ABF = 3 × 1
2 |1 - yD||x2- x1|，
S2
△ABC = 9
4
1+ x1x2
4
2
(x2
1 + x2
2 - 2x1x2) = 9
64 (4 + x2
3
- 6)2(12 - x2
3- 2x2
3+ 12)
·282·
= 9
64 (x2
3- 2)2(24 - 3x2
3) = 27
64 (x2
3- 2)2(8 - x2
3)．
令t = x2
3 ≥0，y = 27
64 (t - 2)2(8 - t)，y' = 27
64 [2(t
- 2) (8 - t) - (t - 2)2]，令y' = 0，则t1 = 2，t2 =
6．
当t ∈(0 , 2) 时函数单调递减，当t ∈(2 , 6) 时函数
单调递增，t ∈(6 ,+∞) 时函数单调递减且当t = 0
时y = 27
2 ，当t = 6 时y = 27
2 ，∴ymax = 27
2 ．
S△ABCmax = 3 6
2
．
28.【解析】(Ⅰ) 由题意可知F 0, P
2
，圆心Q 在
线段OF 平分线y = p
4 上，因为抛物线C 的标准方
程为y =- p
2 ，所以3p
4 = 3
4 ，即p = 1，因此抛物
线C 的方程x2= 2y．
(Ⅱ) 假设存在点M x0，x2
0
2
，(x0> 0) 满足条件，
抛物线C 在点M 处的切线的斜率为
y' x=x0= x2
2
'
x=x0
= x0．令y = 1
4 得，xQ = x0
2 +
1
4x0
，所以Q x0
2 + 1
4x0
, 1
4
，又|QM| = |OQ|，
故
- x0
2 + 1
4x0
2
+
1
4 - x2
0
2
2
=
x0
2 + 1
4x0
2
+
1
16 ，因此
1
4 - x2
0
2
2
= 9
16 ．又x0> 0．
所以x0 =
2 ，此时M ( 2 , 1)．故存在点M ( 2 ,
1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M．
(Ⅲ) 当x0 =
2 时，由(Ⅱ) 的Q 5 2
8
, 1
4
，⊙Q
的半径为：r =
5 2
8
2
+
1
4
2
= 3 6
8
．
所以⊙Q 的方程为x- 5 2
8
2
+ y- 1
4
2
= 27
32 ．
由
y= 1
2 x2
y=kx+ 1
4
，整理得2x2- 4kx - 1 = 0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于△= 16k2+ 8 > 0，
x1+ x2= 2k，x1x2=- 1
2 ，
所以|AB|2 = (1 + k2) [(x1 + x2)2 - 4x1x2] = (1 + k2)
(4k2+ 2)．
由
x- 5 2
8
2+ y- 1
4
2= 27
32
y=kx+ 1
4
，整理得(1 + k2)x2
- 5 2
4
x - 1
16 = 0，
设D，E 两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，
由于△= k2
4 + 27
8 > 0，x3 + x4 =
5 2
4(1+k2) ，x3x4
=-
1
16(1+k2) ．所以|DE|2 = (1 + k2) [(x3 + x4)2 -
4x3x4] =
25
8(1+k2) + 1
4 ，
因此|AB|2 + |DE|2 = (1 + k2) (4k2 + 2) +
25
8(1+k2)
+ 1
4 ，
令1 + k2 = t，由于△= 16k2 + 8 > 0 ⇒1
2 ≤t ≤5，
1
2 ≤k ≤2，∴t ≥5
4 ，则5
4 ≤t ≤5，
所以|AB|2 + |DE|2 = t(4t - 2) + 25
8t + 1
4 = 4t2 - 2t
+ 25
8t + 1
4 ，设g(t) = 4t2 - 2t + 25
8t + 1
4 ，t ∈
5
4 ,5
，因为g'(t) = 8t - 2 - 25
8t2 ，所以当t ∈
5
4 ,5
，g'(t) ≥g'
5
4
= 6，即函数g(t) 在t ∈
5
4 ,5
是增函数，所以当t = 5
4 时，g(t) 取最小
值13
2 ，因此当k = 1
2 时，|AB|2 + |DE|2 的最小值
为13
2 ．
29.【解析】根据M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，
y 2 ) AM
= λ AP
，
x0+m=λ(x1+m)
y0=λy1
，得
x1= x0+m(1-λ)
λ
y1= y0
λ
，
代入椭圆方程
x0+m(1-λ)
λ
2
a2
+
y2
0
λ2
b2 = 1，所以
x2
0+m2(1-λ)2+2mx0(1-λ)
a2
+ y2
0
b2 = λ2，
因为x2
0
a2 + y2
0
b2 = 1，故m2
a2 (1 - λ)2 + 2mx0(1-λ)
a2
= λ2- 1，所以m2
a2 (1 - λ) + 2mx0
a2
=-1 - λ，
·283·
- m2
a2
λ =- 1 - 2mx0
a2
- m2
a2 ，λ = m2+a2
m2-a2 +
2 mx 0 ，同理μ = m2+a2
m2-a2 - 2 mx 0 ，λ + μ =
2(m2+a2)
m2-a2
，
若A(0，m)，B(0，-m)，则λ + μ = 2(m2+b2)
m2-b2
.
30. 【解析】设M ( x 1 ，y 1 ) ，N ( x 2 ，y 2 ) 则
x2
1
a2 + y2
1
b2 =1
x2
2
a2 + y2
2
b2 =1
，由PM
= λMQ
，RN
= μNQ
，得λ
=
x1
m-x1
，μ =
x2
m-x2
，由M ，Q，N 三点一
线，
y1
x1-m =
y2
x2-m ，平方得：
y2
1
x1-m
2 =
y2
2
x2-m
2 ，故
1- x2
1
a2
b2
x1-m
2 =
1- x2
2
a2
2
x1-m
2 ，
约去
b
2 ：
1- x2
1
a2
x1-m
2
=
1- x2
2
a2
x2-m
2
，即
1- x2
1
a2
x2
2-2mx2+m2
= 1- x2
2
a2
(x2
1 - 2mx1 +
m2)，
化简x2
2 - x2
1 - 2m(x1 - x2) + 2mx1x2
a2
(x1 - x2) -
m2
a2 (x2
1 - x2
2) = 0，因为x1≠x2，
则
1+ m2
a2
( x 1 + x 2 ) = 2m
a2 ( x 1 x 2 + a 2 ) ，即
m+ a2
m
(x1+ x2) - 2a2= 2x1x2，
λ
+
μ
=
mx1-x1x2+mx2-x1x2
m2-m(x1+x2)+x1x2
=
m(x1+x2)-2x1x2
m2-m(x1+x2)+x1x2
，
=
m(x1+x2)-
a2
m +m
(x1+x2)+2a2
m2-m(x1+x2)+
m+ a2
m
(x1+x2)-2a2
2
=
- a2
m (x1+x2)+2a2
a2
m -m
2
(x1+x2)+m2-a2
=
2a2 1- x1+x2
2m
(m2-a2)⋅1- x1+x2
2m
=
2a2
m2-a2
31.【解析】(1) (i)Q1(1 ,-2) 在抛物线C 上，代入，
求得p = 2，
所以抛物线C : y2= 4x，准线x =-1．
(ii) 设直线P1P2 : x = my + b，P1(x1，y1)，P2(x2，
y2)，联立直线与抛物线，
得y2 - 4my - 4b = 0，△= 16m2 + 16b > 0，由韦
达定理可得y1+ y2= 4m，y1y2=-4b，
由于k1 + k2 = 0，则y1+2
x1-1 + y2+2
x2-1 =
y1+2
my1+b-1
+
y2+2
my2+b-1 = 0，
整理可得2my1y2 + (2m + b - 1) (y1 + y2) + 4(b - 1)
= 0．
将y1 + y2 = 4m，y1y2 =-4b 代入可得(m - 1) (2m
- b + 1) = 0，
当2m - b + 1 = 0 时，直线P1P2 过Q1(1 ,-2)，不符
合题意，舍去，
因此m = 1，则直线P1P2的斜率为1．
(2) 设Pn(2pt2
n , 2ptn)，令1
k1
= m1 , 1
k2
= m2，则直
线PnQn: x = m1(y - 2ptn) + 2pt2
n，
联立直线方程与抛物线方程，消去x，可得y2 -
2pm1y + 4p2m1tn- 4p2t2
n= 0，
由韦达定理可知：2ptn + yQn = 2pm1 , yQn = 2p(m1
- tn)，
则Qn(2p(m1 - tn)2 , 2p(m1 - tn))，则直线QnPn+1 :
x = m2(y - 2p(m1- tn)) + 2p(m1- tn)2，
联立x=m2(y-2p(m1-tn))+2p(m1-tn)2
y2=2px
，
可得y2 - 2pm2y + 4p2m2(m1 - tn) - 4p2(m1 - tn)2 =
0，
由韦达定理：2p(m1 - tn) + yPn+1 = 2pm2 , yPn+1 =
2p(m2- m1+ tn)，xPn+1= 2p(m2- m1+ tn)2，
则Pn+1(2p(m2- m1+ tn)2, 2p(m2- m1+ tn))，
同理可得Pn+2(2p(2m2 - 2m1 + tn)2 , 2p(2m2 - 2m1
+ tn))，
PnPn+1
= 2p((m2- m1) (m2- m1+ 2tn) , m2- m1)，
PnPn+2
= 2p((2m2 - 2m1) (2m2 - 2m1 + 2tn) , 2m2 -
2m1)，
Sn = 1
2 (2p)2|2(m2 - m1)2(m2 - m1 + 2tn) - 2(m2 -
m1)2(2m2- 2m1+ 2tn)|
= 4p 2(m 2 - m 1) 2|m 2 - m 1| = 4p 2|m 2 - m 1| 3 =
·284·
4p2 1
k2
- 1
k1
3
．
32.【解析】(1) 由题意知
c=2
b2
a =
2
c2=a2+b2
⇒a=
2
b=
2
，
∴双曲线方程为；x2
2 - y2
2 = 1；
(2) 证明：①切线M0N0 方程为x0x - y0y = 2，又x2
0
- y2
0 = 2，两条渐近线方程分别为y = x 和y =-x，
联立x0x-y0y=2
y=x
⇒xM0=
2
x0-y0
, yM0=
2
x0-y0
，
即M0
2
x0-y0
,
2
x0-y0
，N0
2
x0+y0
,-
2
x0+y0
，
M 0P1 方程: y =- x-
2
x0-y0
+
2
x0-y0
=-x +
4
x0-y0
，
N0P1 方程：y = x -
4
x0+y0
，两式联立⇒P1(2x0，
2y0)，
直线M 1 N 1 方程为x 0 x - y 0 y = 4 ⇒
M1
4
x0-y0
,
4
x0-y0
，N1
4
x0+y0
,-
4
x0+y0
，
以此类推可得Pn(2nx0, 2ny0)，n ∈N+，
∴kOPn = y0
x0
，故O，P0 , P1 , P2 ,⋯, Pn 在定直线y =
y0
x0
x 上；
②
仿
①
知
M
i
2i+1
x0-y0
,
2i+1
x0-y0
，
Ni
2i+1
x0+y0
,- 2i+1
x0+y0
，i ∈N *，
∴直线MiNi 方程为：x0x - y0y = 2i+1，
Pi-1 ( 2i-1 x 0 , 2i-1 y 0 ) 到直线M i N i 的距离d =
|2i-1x2
0-2i-1y2
0-2i+1|
x2
0+y2
0
=
2i
x2
0+y2
0
，
MiNi =
1+
y0
x0
2
⋅
2i+1
x0-y0
-
2i+1
x0+y0
=
x2
0+y2
0
|y0|
⋅2i+1
|y0| = 2i+1 x2
0+y2
0，
∴S = S△Pi-1MiNi = 1
2 ⋅2i+1 ⋅
x2
0+y2
0 ⋅
2i
x2
0+y2
0
= 4i，
bn= 4 + 42+⋯+4n= 4(1-4n)
1-4
= 4
3 (4n- 1)，
∴1
bn
= 3
4 ⋅
1
4n-1 = 3
4 ⋅
1
4n 1- 1
4n
，当n ≥2 时，
1
bn
≤3
4 ⋅
1
4n⋅15
16
= 1
5 ⋅
1
4n-1 ，
∴
1
b1
+
1
b2
+⋯+
1
bn
≤
1
4
+
1
5
1
4 + 1
42 +⋯+ 1
4n-1
= 1
4 + 1
5 ⋅
1
4 1-
1
4
n-1
1- 1
4
< 1
4 + 1
15 = 19
60 < 1
3 ．
33.【解析】(1) 由题设及图知A(-2 , 0)，A(2 ,
0)，B(-2 , 2)，B(2 , 2)，
由动点R 在线段AB 上，且AR
AB = λ，则λ ∈(0 ,
1)，易知R(2 , 2λ)，
由动点Q 在B'B 延长线上，且BQ
BB= λ，则λ ∈(0
, 1)，易知Q(2 + 4λ , 2)，
所以AR : y =
2λ-0
2-(-2) ⋅(x + 2) = λ
2 ⋅(x + 2)，
AQ : y =
2-0
2+4λ-2 ⋅(x - 2) = 1
2λ ⋅(x - 2)，
联立方程有1
2λ ⋅(x - 2) = λ
2 ⋅(x + 2)，则x =
2(λ2+1)
1-λ2
，故
y
=
2λ
1-λ2
，综上，
P 2(λ2+1)
1-λ2
,
2λ
1-λ2
，则x2
P
4 - y2
P =
2(λ2+1)
1-λ2
2
4
-
2λ
1-λ2
2
= (λ2+1)2
(1-λ2)2 -
4λ2
(1-λ2)2 = λ4-2λ2+1
(1-λ2)2
= 1，
所以动点P 点所在曲线方程为双曲线C : x2
4 - y2 =
1，得证；
(2) (i) 当直线M1N1 斜率存在时，设直线M1N1 : y =
k(x - x0) + y0，
联立
y=k(x-x0)+y0
x2
4 -y2=1
，得(1 - 4k2)x2 + 8k(kx0 -
y0)x - 4(kx0- y0)2- 4 = 0，
所
以
1-4k2≠0
△=[8k(kx0-y0)]2+4(1-4k2)[4(kx0-y0)2+4]=0
，
即(kx0- y0)2= 4k2- 1，
所以(x2
0 - 4)k2 - 2x0y0k + y2
0 + 1 = 0，又x2
0 - 4y2
0 =
4，
·285·
所以4y2
0k2 - 2x0y0k + x2
0
4 = 2y0k- x0
2
2
= 0，则k
= x0
4y0
，
所以M1N1 : y = x0
4y0
(x - x0) + y0，即M1N1 : y =
x0x
4y0
+ 4y2
0-x2
0
4y0
= x0x
4y0
- 1
y0
，
所以M1N1 : x0x
4
- y0y = 1，当直线M1N1 斜率不存
在时也满足，故直线M1N1 方程为x0x
4
- y0y = 1，
双曲线的渐近线y =± x
2 ，联立x0x
4
- y0y = 1，得
x=
4
x0-2y0
y=
2
x0-2y0
和
x=
4
x0+2y0
y=-
2
x0+2y0
．
则
交
点
M
1
4
x0-2y0
,
2
x0-2y0
,
N1
4
x0+2y0
,-
2
x0+2y0
，
∵M 1 P 1 ⎳ON 1 ，N 1 P 1 ⎳OM 1 ，且OM1
=
4
x0-2y0
,
2
x0-2y0
,
ON1
=
4
x0+2y0
,-
2
x0+2y0
，
∴OP1
= OM1
+ ON1
=
4
x0-2y0
,
2
x0-2y0
+
4
x0+2y0
,-
2
x0+2y0
=
4(x0+2y0)+4(x0-2y0)
x2
0-4y2
0
, 2(x0+2y0)-2(x0-2y0)
x2
0-4y2
0
= (2x0，2y0)，
∴P1(2x0，2y0)，而P0(x0，y0)，∴kOP0 = kOP1 =
y0
x0
，可得O，P0，P1 三点共线且方程为y0x - x0y
= 0，由于M 1N 1////M nN n，∴OMn+1
= λOMn
,
ONn+1
= λONn
，
∴OMn+1
+ ONn+1
= λ OMn
+ λ ONn
，∵
M n+1Pn+1 ⎳ON n，N n+1Pn+1 ⎳OM n，∴OPn+1
=
OMn
+ ONn
，
∴OPn+1
= λOPn
，∴OP1
, OP2
, OP3
,⋯, OPn
共线，
∴O，P1，P2，P3Pn共线，
∵O，P0，P1 共线，∴O，P0，P1，P2，P3Pn 共线
且轨迹方程为y0x - x0y = 0，得证；
(ii)P1(2x0，2y0)，直线M1N1 方程x0x - 4y0y - 4 =
0，则d1= |2x2
0-8y2
0-4|
x2
0+16y2
0
=
4
x2
0+16y2
0
，
|
M
1
N
1
|
=
4
x0-2y0 -
4
x0+2y0
2
+
2
x0-2y0 +
2
x0+2y0
2
=
x2
0+16y2
0，
所以S△M1N1P1= 1
2 ×
x2
0+16y2
0 ×
4
x2
0+16y2
0
= 2，
设Pn(μx0，μy0)，直线Mn+1Nn+1 : y = x0
4y0
(x - μx0)
+ μy0，所以Mn+1Nn+1: x0x - 4y0y = 4μ，
与y =± x
2
分别联立，得
x=
4μ
x0-2y0
y=
2μ
x0-2y0
和
x=
4μ
x0+2y0
y=-
2μ
x0+2y0
，
则
M
n+1
4μ
x0-2y0
,
2μ
x0-2y0
,
Nn+1
4μ
x0+2y0
,-
2μ
x0+2y0
，
∴OPn+1
= OMn+1
+ ONn+1
= (2μx0 , 2μy0) ⇒OPn+1
= 2OPn
，
即|OMn+1|
|OMn|
= |ONn+1|
|ONn|
= |OPn+1|
|OPn|
= |Mn+1Nn+1|
|MnNn|
=
dn+1
dn
= 2，
∴Sn+1
Sn
=
S△Mn+1Nn+1Pn+1
S△MnNnPn
=
1
2 dn+1×|Mn+1Nn+1|
1
2 dn×|MnNn|
= 4 ,
n ≥1，又S1 = 2，∴Sn = 2 × 4n-1 = 4n
2 ，则1
Sn
=
2
4n ，
所以1
S1
+ 1
S2
+⋯+ 1
Sn
= 2 ×
1
4 + 1
42 +⋯+ 1
4n
= 2 ×
1
4 1- 1
4n
1- 1
4
= 2
3
1- 1
4n
< 2
3 ，得证．
34.【解析】(1) 由
x2
a2 +y2=1
y2=2(x+m)
消去y 得，x2 +
2a2x + 2a2m - a2= 0．
①
设f(x) = x2 + 2a2x + 2a2m - a2，问题(1) 转化为方
·286·
程①在x ∈(-a , a) 上有唯一解或等根．
只须讨论以下三种情况：
1°△= 0 得m = a2+1
2
，此时xp =-a2，当且仅当
-a <-a2< a，即0 < a < 1 时适合；
2°f(a) ⋅f(-a) < 0 当且仅当-a < m < a；
3°f(-a) = 0 得m = a，此时xp = a - 2a2，当且仅
当-a < a - 2a2< a，即0 < a < 1 时适合．
f(a) = 0 得m =-a，此时xp =-a - 2a2，由于-a
- 2a2<-a，从而m ≠-a．
综上可知，当0 < a < 1 时，m = a2+1
2
或-a <
m ≤a；当a ≥1 时，-a < m < a．
(2)△OAP 的面积S = 1
2 ayp．
∵0 < a < 1
2 ，∴- a < m ≤a 时，0 <- a 2 +
a
a2+1-2m < a ，由唯一性得x p =- a 2 +
a a2+1-2m．
显然当m = a 时，xp 取值最小．
由于xp > 0，从而yp =
1- x2
p
a2 取值最大，此时
yp = 2 a-a2，∴S = a a-a2．
当m = a2+1
2
时，xp =-a2，yp =
1-a2，此时S
= 1
2 a 1-a2．
下面比较a a-a2 与1
2 a 1-a2 的大小：
令a a-a2 = 1
2 a 1-a2，得a = 1
3 ．
故当0 < a ≤1
3 时，a a(1-a) ≤1
2 a 1-a2 ，此
时Smax = 1
2 a 1-a2．
当1
3 < a < 1
2 时，a
a(1-a) > 1
2 a 1-a2 ，此
时Smax = a a-a2．
35.【解析】(1) x2
16 - y2
9 = 1 ；
(2) 解法一(参数同构) DG
= λGE
, DH
= μHE
，
所以
xG= 2 2+4 2λ
1+λ
yG= λyE
1+λ
，
xH= 2 2+4 2μ
1+μ
yH= μyE
1+μ
代入
双曲线方程得:
λ 2 1- y2
E
9
- 1
2 = 0
, 同理,
μ2 1- y2
E
9
- 1
2 = 0 , 所以λ 、 μ 为同构方程
x2 1- y2
E
9
- 1
2 = 0 两根, 所以λ + μ = 0 . 命题
得证.
解法二(定比点差) : 要证
GD
GE
= HD
HE
, 只需证
GD
HD
= GE
HE
, 不妨令GD
= λDH
, 在直线GH
上一定存在点P , 使得GP
=-λPH
, 本题需证
GE
=-λEH
, 故只需证明E 、 P 两点重合即
可,
由定比点差得xDxP
16
- yDyP
9
= 1 ⇒xP = 4 2 (过
程请补充) , 在直线GH 上与xE = 4 2 重合, 故
命题得证.
36.【解析】(1) x2
8 + y2
2 = 1 ；
(2) 令MB
= λBN
，设M x1,y1
，N x2,y2
，
根据定比点差法(略) 可得: x1 =-3 - λ ，x2 =-3
- 1
λ
，y1 + λy2 = 0 所以AQ : yQ+1
-2
=
y2+1
-1- 1
λ
= λy2+λ
-1-λ
①，AP : yp+1
-2
= y1+1
-1-λ ②，
①+ ②得: yQ+1
-2
+ yP+1
-2
=-1 ，即yP + yQ = 0
，所以
PB
BQ
= 1 .
10.1 计数原理与排列组合
1.【解析】5A2
5 + 4C 2
4 = 5 × 5 × 4 + 4 × 4×3
2
=
124．故选：C．
2.【解析】因为Am
14 = 14 × 13 × 12 ×⋅⋅⋅× 5，所以
14 - 5 + 1 = 10，则m = 10. 故选：C.
3.【解析】∵Ax
9 > 6Ax-2
9
，∴9 × 8 ×⋯× (10 - x) >
·287·
6 × 9 × 8 ×⋯× (12 - x)，即(11 - x) (10 - x) > 6，
又2 ≤x ≤9 , x ∈N *，∴x = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7，即
不等式解集为{2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}．
4.【解析】已知C2x
17 = Cx+2
17 ，则2x = x + 2 或2x +
(x + 2) = 17，解得：x = 2 或x = 5，经检验均符
合，
故x = 2 或x = 5.
5.【解析】∵Cm
n =
n!
m!(n-m)! ∴
1
Cm
5
-
1
Cm
6
=
7
10Cm
7
，可化为m!(5-m)!
5!
- m!(6-m)!
6!
=
7m!(7-m)!
10×7!
，
化简为1 - (6-m)
6
= (7-m)(6-m)
60
，即m2-
23m + 42 = 0，所以m = 21 或m = 2，
又∵m ∈N+ , m ≤5，∴m = 2 所以C m
8 = C 2
8 =
8×7
2
= 28
6.【解析】将2 位老师看作是一个整体，与另外5
个人全排列，即A2
2A6
6= 1440，故答案为：1440
7.【解析】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其
余人全排列，有A3
3= 6 种站法；
当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，
再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，
有A1
2A2
2A3
3= 24 种站法，所以一共有6 + 24 = 30 种
不同的站法．故选：C
8.【解析】首先拿出4 个空座位，则四个空座位之
间一共有5 个空位置，包括两端，
从5 个空位置中选出3 个空位置，即C3
5，然后3 人
全排列为A3
3,
所以不同的坐法共有C3
5 ⋅A3
3= 10 × 6 = 60 种，故
选: B
9.【解析】由题意得：将心电图、血压测量两项全
排列，有A2
2= 2 种情况，
再将腹部彩超和胸部CT 两项排在其空位中，有
A2
3= 6 种情况，
最后将抽血放在第一位，有1 种情况，所以共有2
× 6 × 1 = 12 种情况，故答案为：12
10.【解析】先排5 个独唱节目有A5
5种排法，在五
个节目之间形成的空位不包括第一个中，放入3 个
舞蹈节目有A3
5种排法，根据分步计数原理可得不
同的排法总数为A5
5A3
5= 7200 种. 故答案为：7200.
11.【解析】先选两位家长排在首尾有A2
4 = 12 种
排法; 再排对中的四人有A4
4 = 24 种排法, 故有
12 × 24 = 288 种排法. 故答案为: 288
12.【解析】先从5 人中选1 人连续两天参加服务，
共有C1
5 = 5 种选法，
然后从剩下4 人中选1 人参加星期六服务，剩下3
人中选取1 人参加星期日服务，共有C1
4 ⋅C1
3 = 12 种
选法，根据分步乘法计数原理可得共有5 × 12 = 60
种选法．故选：B．
13.【解析】因为第一站不去株洲，所以第一站可
以从长沙、衡阳、郴州、益阳这4 个城市中选择1
个，共有4 种选择，余下的三站可以从剩下的4 个
城市中选择3 个，所以该旅游团四站的城市安排共
有4A3
4= 96 种.
故选：A.
14.【解析】数学课排在前3 节，英语课不排在第
6 节，
∴先排数学课有C1
3 种排法，再排最后一节有C1
4 种
排法，剩余的有A4
4种排法，
∴根据分步计数原理知，共有C1
3C1
4A4
4= 3 × 4 × 24
= 288 种排法．故选：D．
15.【解析】先在编号为1，3，4，5 的4 个球中
任取1 个放在B 盒中，
再将余下的3 个球与2 号球放在一起，从中选3 个
球放在编号为A，C，D 的3 个盒子中，
每盒一球，即可完成题目要求. 则符合题给要求的
不同的方法数为A1
4A3
4= 96，故选：D
16.【解析】如果对男女性别没有要求则共有A3
5
种；全是男教师有A3
3种，则男女都有A3
5- A3
3=
54，
故答案为：54.
17.【解析】没有女生入选有C 3
4 = 4 种选法，从6
名学生中任意选3 人有C3
6 = 20 种选法，
故至少有1 位女生入选，则不同的选法共有20 - 4
= 16 种．故答案为：16．
18.【解析】把任意一名实习生分配到车间都有7
种分法，由分步计数原理共有76种不同的排法．
1 9. 【解析】从3 名女生、5 名男生中选择4 名学
生有C4
8 = 70 种选法，
从3 名女生、5 名男生中选择的4 名学生全为男生
有C4
5 = 5 种选法，
所以要求队伍中至少包含男、女生各1 名，则不同
·288·
选法的总数有70 - 5 = 65. 故选：A.
20.【解析】先从5 人中选1 人连续两天参加服务，
共有C1
5 = 5 种选法，
然后从剩下4 人中选1 人参加星期六服务，剩下3
人中选取1 人参加星期日服务，共有C1
4 ⋅C1
3 = 12 种
选法，
根据分步乘法计数原理可得共有5 × 12 = 60 种选
法．故选：B．
21.【解析】因为每名同学只去1 个场馆，甲场馆
安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，甲
场馆从6 人中挑一人有：C1
6 = 6 种结果；乙场馆从
余下的5 人中挑2 人有：C2
5 = 10 种结果；余下的3
人去丙场馆；故共有：6 × 10 = 60 种安排方法；故
选：C．
22.【解析】先把6 名航天员分成三组，每组2 人，
有C2
6C2
4C2
2
A3
3
种方法；
再把这三组分配到三舱中，每舱一组有A3
3种方法.
所以6 名航天员的安排方案共有C2
6C2
4C2
2
A3
3
⋅A3
3= 90
种. 故选：B.
23.【解析】把6 名工作人员分为1，1，4 三组，
则不同的安排方式共有：C1
6C1
5C4
4
A2
2
⋅A3
3= 90 种，
把6 名工作人员分为2，2，2 三组，不同的安排方
式共有：C2
6C2
4C2
2
A3
3
⋅A3
3= 90 种，
把6 名工作人员分为1，2，3 三组，不同的安排方
式共有：C1
6C2
5C3
3 ⋅A3
3= 360 种，
综上，不同的安排方式共有90 + 90 + 360 = 540
种，故选：A．
24.【解析】5 名志愿者选2 个1 组，有C2
5 种方法，
然后4 组进行全排列，有A4
4种，
共有C2
5A4
4= 240 种，故选：C．
25.【解析】要安排3 名学生到2 个乡村做志愿者，
每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共
有：C2
3C1
1A2
2= 6．故选：C．
26.【解析】解：根据题意，先将4 项工作分成3
组，有C2
4 = 6 种分组方法，
将分好的三组全排列，对应3 名志愿者，有A3
3 = 6
种情况，
则有6 × 6 = 36 种不同的安排方式；
27.【解析】原来的8 本书，加上新买的2 本书，
随意排列共有A10
10 种排法，原来的8 本书随意排列
共有A8
8种排法，而原来特有的顺序只有1 种，所
以共有A10
10
A8
8
= 10 × 9 = 90 种方法. 故答案为：90.
28.【解析】添加节目后，共有12 个节目，因为保
持原来10 个节目的相对顺序不变，
则只需排好2 个“歌王对唱”节目即可，所以，不
同的排法种数为A2
12 = 12 × 11 = 132. 故选：C.
29.【解析】将8 个参赛名额看成8 个元素，之间
会产生7 个空隙，则分配方法数为C3
7 = 35. 故选：
D
30.【解析】根据题意，按“2 人既会英语又会法
语”的参与情况分成三类．
①“2 人既会英语又会法语”不参加，这时有
C4
5C4
4 种；
②“2 人既会英语又会法语”中有一人入选，
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，
因此有C1
2C3
5C4
4 + C4
5C1
2C3
4 种；
③“2 人既会英语又会法语”中两个均入选，
这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日
文、两人各译一个语种，
因此有C2
2C2
5C4
4 + C4
5C2
2C2
4 + C1
2C3
5C1
1C3
4 种．
综上分析，共可开出C4
5C4
4 + C1
2C3
5C4
4 + C4
5C1
2C3
4 +
C2
2C2
5C4
4 + C4
5C2
2C2
4 + C1
2C3
5C1
1C3
4 = 185 种．
故选：B．
31.【解析】将区域标号，如下图所示：
因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则
有6 × 5 × 4 = 120 种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1 种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3 种不同的涂色方
法；
所以共有120 × 1+3
= 480 种不同的涂色方法. 故
选：C.
32.【解析】(1) 先种植a1 部分，有3 种不同的种植
方法，再种植a2，a3部分．
因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不
·289·
同，
所以由分步乘法计数原理得，不同的种植方法有3
× 2 × 1 = 6(种)．
(2) 当a1，a3不同色时，有3 × 2 × 1 × 1 = 6 种种植
方法，
当a1，a3同色时，有3 × 2 × 1 × 2 = 12 种种植方
法，
由分类加法计数原理得，共有6 + 12 = 18 种种植方
法．
故答案为：6；18.
33.【解析】根据题意，用4 种颜色标注6 个省份
的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，
则这4 中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的
地区涂同一中颜色，
共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、
{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和
湖北”且“贵州和陕西”、{“四川和湖北”且
“湖南和陕西”、{“贵州和湖北”且“湖南和陕
西”，共有5 种情况，
所以不同的涂色共有5 × A4
4= 120 种. 故答案为：
120.
34.【解析】由题意4 人中选2 人出来，他们的两
编号一致，剩下2 人编号不一致，只有一种坐法，
方法数为C2
4 = 6．
故答案为：6.
35.【解析】将10 个人进行编号为1~10，按照一定
的顺序站成一圈，就形成了一个圆排列，
分别以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 号作
为开头将这个圆排列打开，
就可以得到10 种排列：1、2、3、4、5、6、7、
8、9、10；⋯；10、1、2、3、4、5、6、7、
8、9. 这就是说，这个圆排列对应了10 个排列，因
此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数，再除
以10 就可以了，即不同的坐法种数为A10
10
10 =
362880 种.
36.【解析】把此问题当作一个排对模型，在6 盏
亮灯的5 个空隙中插入3 盏不亮的灯C3
5 种方法，
所以满足条件的关灯方案有10 种．
37.【解析】从E 到F，每条东西向的街道被分成
2 段，每条南北向的街道被分成2 段，
从E 到F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4
段，其中2 段方向相同，另2 段方向相同，
每种最短走法，即是从4 段中选出2 段走东向的，
选出2 段走北向的，故共有C2
4C2
2 = 6 种走法．
同理从F 到G，最短的走法，有C1
3C2
2 = 3 种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6 ×
3 = 18 种走法．故选：B．
38.【解析】(1) 解：先排最高位有6 种方法，其余
的3 个位置没有限制，任意排，有A3
6种方法．
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数
的个数为6 × A3
6= 720；
(2) 末尾是0，则有A3
6= 120 个；末尾不是0，则末
尾是2，4，6，有C1
3 ⋅C1
5 ⋅A2
5= 300 个，
共有120 + 300 = 420 个．
(3)5 的倍数末尾是0，则有A3
6= 120 个；末尾是5，
有C1
5A2
5= 100 个．
共有120 + 100 = 220．
39.【解析】根据题意，分2 种情况讨论：
①，从0，2，4，6 中取出的2 个数字中没有0，
有C2
3 = 3 种取法，
从1，3，5，7，9 中任取2 个数字，有C2
5 = 10 种
取法，
再将选出的4 个全排列，安排在4 个数位，有A4
4 =
24 种情况，
一共可以组成3 × 10 × 24 = 720 个没有重复数字的
四位数；
②，从0，2，4，6 中取出的2 个数字中含有0，
有C1
3 = 3 种取法，
从1，3，5，7，9 中任取2 个数字，有C2
5 = 10 种
取法，
0 不能在千位位置，其它3 个数字任意排列，有3
× A3
3= 18 种情况
一共可以组成3 × 10 × 18 = 540 个没有重复数字的
四位数；
故一共可得组成720 + 540 = 1260 个没有重复数字
的四位数；
故答案为：1260．
10.2 二项式定理与杨辉三角
1.【解析】依题意，1 + 2C 1
n + 22C 2
n +⋯+2nC n
n =
20C0
n + 2C1
n+ 22C2
n +⋯+2nCn
n = 1+2
n= 3n= 2187，
解得n = 7，
C2
2 + C2
3 +⋯+C2
7 = C3
3 + C2
3 +⋯+C2
7 = C3
4 + C2
4 +⋯
·290·
+C2
7 = C3
5 + C2
5 + C2
6 + C2
7 = C3
6 + C2
6 + C2
7 = C3
7 + C2
7
= C3
8 = 8×7×6
3×2×1 = 56. 故答案为：56
2.【解析】展开式的通项公式为Tk+1 = C k
12(x 3)
12-k 1
x
k
= Ck
12x36-4k，由36 - 4k =-4，得4k = 40，
得k = 10，即T11 = C 10
12x-4 = 66
x4 ，即含1
x4 项的系
数为66，故答案为：66．
3.【解析】x-1
6 展开式的通项公式为Tr+1 =
C r
6x6-r ⋅-1
r , 当r = 3 时, T4 = C 3
6x3 ⋅-1
3 =
-20x3 , 即
x-1
6 展开式中x3 的系数为-20 .
故答案为: -20 .
4.【解析】由通项公式Tr+1 = C r
5 ⋅25-r ⋅x5-r ⋅-1
r
= Cr
5 ⋅-1
r ⋅25-rx5-r , 令5 - r = 3 , 得r = 2 , 可
得x3 项的系数为C 2
5 ⋅-1
2 ⋅25-2 = 80 . 故答案
为: 80 .
5.【解析】x- 1
3 x
n
n∈N ∗
展开式的通项为：
Tr+1= -1
rCr
n ⋅xn-r ⋅x
- 1
3 r = -1
rCr
n ⋅x
n- 4
3 r，其中r
= 0 , 1 , 2 , 3 ,⋯, n；
令n - 4
3 r = 0，则r = 3
4 n，可知n 为4 的倍数，
故B、D 错误；
当r = 3 时，n 最小为4；当r = 6 时，n 为
8；故选：AC.
6.【解析】因为x+1
n的展开式中第3 项与第9
项的二项式系数相等，
所以C2
n = C8
n，解得n = 10．故答案为：10.
7.【解析】二项式(
2 + x)9 的展开式的通项为
Tr+1= Cr
9( 2)9-rxr = 2
9-r
2 Cr
9xr．
由r = 0，得常数项是T1= 16 2；当r = 1，3，5，
7，9 时，系数为有理数，
∴系数为有理数的项的个数是5 个．故答案为：
16 2，5．
8.【解析】由题意，多项式1+x
2+ 1+x
3+
1+x
4+⋅⋅⋅+ 1+x
9+ 1+x
10，
根据组合数的运算，展开式中x2的系数为C2
2 + C2
3
+ C2
4 +⋯+C2
10，
又由C2
2 + C2
3 + C2
4 +⋯+C2
10 = C3
3 + C2
3 + C2
4 +⋯
+C2
10 = C3
11= 165. 故答案为：165.
9.【解析】2x-3
x-1
6= 2x x-1
6-
3 x-1
6，x-1
6的通项公式为Tr+1=
Cr
6x6-r -1
r，
令6 - r = 2，则r = 4，则C4
6 -1
4x2= 15x2，令6
- r = 3，则r = 3，则C3
6 -1
3x3=-20x3，
所以2x-3
x-1
6展开式中x3的系数为2 × 15
- 3 × -20
= 90. 故选：D.
10.【解析】(x + y)8的通项公式为Tr+1= Cr
8x8-ryr，
当r = 6 时，T7 = C 6
8 x 2y 6，当r = 5 时，T6 =
C5
8x3y5，
∴1- y
x
(x + y)8 的展开式中x2y6 的系数为C 6
8 -
C 5
8 =
8!
6!⋅2! -
8!
5!⋅3! = 28 - 56 =-28．故答案为：
-28．
11.【解析】2- x
a
(1 - 2x)4= 2 × (1 - 2x)4- x
a
× (1 - 2x)4，
(1 - 2x)4的展开式的通项公式为Tr+1= Cr
4 -2x
r =
-2
rCr
4xr，r = 0 , 1 , 2 , 3 , 4，
所以2 × (1 - 2x)4展开式中x3项的系数是2 ×
-2
3C3
4 =-64，
x
a ⋅(1 - 2x)4展开式中x3项的系数是1
a × -2
2C2
4
= 24
a ，
所以-64 - 24
a =-58，解得a =-4，故选：C.
12.【解析】由题意x+2
2 x-1
4=
x2+4x+4
x-1
4
则含x3的项为：x2⋅C3
4 ⋅x ⋅-1
3+ 4x ⋅C2
4 ⋅x2⋅
-1
2+ 4 ⋅C1
4 ⋅x3⋅-1
=-4x3+ 24x3- 16x3= 4x3，
故a3= 4；
令x = 0，即4 = a0，
令x = 1，即0 = a0+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6，∴
a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6=-4，
故答案为：4；-4．
13. 【解析】因为(x - 1 + y)6展开式的通项为Tr+1
= Cr
6(x - 1)6-ryr，
当r = 2 时才能出现y2，此时x-1
4展开的通项为
Tr+1= Cr
4x4-r -1
r，
当r = 3 时出现x 的一次，所以展开式中xy2的系
数为C2
6C3
4(-1)3=-60．故选：A.
14.【解析】每个括号内有x4，-x，- 1
x3 ，若
·291·
x4-x- 1
x3
5
的5 项式乘积中先选x4，显然不会超
过2 项．
①C 2
5 x4
2 ⋅-x- 1
x3
3
，显然-x- 1
x3
3
不可能出
现1
x8 的项；
②再考虑C1
5 x4
⋅-x- 1
x3
4
= C1
5 x4
⋅x+ 1
x3
4
，
x+ 1
x3
4
展开式中，唯有取C 2
4x2
1
x3
2
= C2
4
x4 会出
现常数项，为C1
5C2
4 = 30．
③而C 0
5 -x- 1
x3
5
，不可能出现常数项．故答案
为：30．
15.【解析】2x+y+z
5= 2x+ y+z
5展开式的
通项为Tr+1= Cr
5 2x
5-r y+z
r．
令5 - r = 3，得r = 2．令y = z = 1，得所求系数
之和为C2
5 × 23× 22= 320．答案为：320
16.【解析】a1即为展开式中x3的系数，所以a1=
C0
3(-1)0+ C1
4 = 5；
令x = 1，则有1 + a1 + a2 + a3 + a4 = (1 - 1)3 + (1
+ 1)4= 16，所以a2+ a3+ a4= 16 - 5 - 1 = 10．
故答案为：5；10．
17.【解析】(1) 令x = 0，可得a0= 1，令x = 1，
可得a0+ a1+ a2+ a3+⋯+a11=-26①，
∴a1+ a2+ a3+⋯+a11=-65；
(2) 令x =-1，可得a0- a1+ a2- a3+⋯-a11= 0
②，①②两式相加，可得a0+ a2+ a4+⋯+a10 =
-32.
18.【解析】(1) 设2x-y
9 = a0x9 + a1x8y + a2x7y2
+⋯+a9y9，二项式系数之和为C 0
9 + C 1
9 + C 2
9 +⋯
+C9
9 = 29= 512.
(2) 设(2x - y)9= a0x9+ a1x8y + a2x7y2+⋯+a9y9，
则各项系数之和为a0+ a1+ a2+⋯+a9，
令x = 1 , y = 1 , 得a0 + a1 + a2 +⋯+a9 = 2-1
9 =
1.
(3) 由(2) 知a0+ a1+ a2+⋯+a9= 1 , 令x = 1 , y =
-1 可得: a0- a1+ a2-⋯-a9= 39,
将两式相减, 可得: a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 1-39
2
=
-9841，故所有偶数项系数之和为-9841.
(4) 方法一: a0
+ a1
+ a2
+⋯+ a9
= a0- a1+ a2
- a3+⋯-a9,
令x = 1 , y =-1 , 则a0
+ a1
+ a2
+⋯+ a9
= a0
- a1+ a2- a3+⋯-a9= 39= 19683；
方法二: a0
+ a1
+ a2
+⋯+ a9
即为
2x+y
9 展
开式中各项系数和，
令x = 1 , y = 1 得a0
+ a1
+ a2
+⋯+ a9
= 39 =
19683
故系数绝对值之和为19683.
19.【解析】通项为Tr+1= Cr
6 × 16-r × -2x
r =
Cr
6 -2
rxr，
A：当r = 3 时，a3= C3
6 -2
3=-160，故A 错误；
B：a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6= 1-2
6= 1，故B
错误；
C：此二项式展开式的二项式系数和为26= 64，故
C 正确；
D：因为二项式系数为Cr
6，所以当r = 3 时，C3
6 最
大，即第4 项最大，故D 正确；
故选：CD.
20.【解析】因为二项式3x+
x
n 的展开式中共
有n + 1 项，所以n + 1 = 7，解得n = 6，故A 错
误；
二项式3x+
x
6所有项的二项式系数和为26=
64，故B 错误；
因为二项式3x+
x
6展开式中共有7 项，所以二
项式系数最大的项为第4 项，故C 正确；
二项式3x+
x
6展开式的通项为Tr+1=
Cr
6 3x
6-r
x
r = 36-rCr
6x
6- 1
2 r 0≤r≤6,r∈N
，
令6 - 1
2 r = 0，解得r = 12(舍去)，所以展开式中
没有常数项，故D 正确. 故选：CD
21.【解析】(1) 由题意可得2n = 64，解得n = 6，
所以该二项式为2x+ 1
x
6
，
则通项公式为：Tk+1 = C k
6 ( 2 x ) 6-k
1
x
k
=
Ck
626-kx
6- 3k
2 , k = 0 , 1 , 2 ,⋅⋅⋅, 6．
令6 - 3k
2 = 0，解得k = 4，所以该二项式的展开
式中的常数项为T4+1= C4
622= 60．
(2) 设第k + 1 项的系数最大，则
Ck
626-k≥Ck-1
6
27-k
Ck
626-k≥Ck+1
6
25-k
，解得4
3 ≤k ≤7
3 ，且k ∈N，
·292·
则k = 2，
所以展开式中系数最大的项为T2+1 = C 2
624x 3 =
240x3．
22.【解析】由c = 1.0110 = (1 + 0.01)10 = 1 + C 1
10 ⋅
0.01 + C 2
10 ⋅0.012 +⋯+C 10
10 ⋅0.0110 > 1 + C 1
10 ⋅0.01 +
⋯= 1.1，
由于x > sinx 在(0 ,+∞) 上恒成立，所以a = 1 +
sin0.1 < 1 + 0.1 = 1.1，所以a < c，
设sinx > ln(1 + x)，x ∈(0 , 1)，可得sin0.1 >
ln1.1，即a > b，所以b < a < c．故选：B．
23.【解析】∵a = 1 + C1
202 + C2
2022+ C3
2023+⋯
+C20
20220= (1 + 2)20= 320= 910，
∴a = (10 - 1)10 = C0
101010 + C1
10109 -1
+ C2
10108(-1)
2+⋯+C9
1010(-1)9+ 1，
又C0
101010 , C1
10109 -1
, C2
10108(-1)2,⋯，C9
1010(-1)
9都是10 的倍数，∴a 被10 除所得的余数为1. 故
选：C
24.【解析】根据题意，分析可得：第n 行的第r
+ 1 个数为Cr
n，(0 ≤r ≤n)，依次分析选项：
对于A，第6 行从左到右第3 个数是C 2
6 = 15，A
正确；
对于B，第n 行的所有数字之和为C 0
n + C 1
n + C 2
n +
C3
n + … +Cn
n = 2n，B 错误；
对于C，第10 行所有数字的平方和为(C0
10)2 + (C1
10)
2+ … + (C10
10)2= C10
20，C 正确；
对于D，
n+1
i=1
(2i-1ai) = 20 × C 0
n + 21 × C 1
n + 22 × C 2
n
+ … +2n× Cn
n = (1 + 2)n= 3n，D 正确．
故选：ACD．
25.【解析】由杨辉三角可得a1 = C 2
2，a2 = C 2
3，
a3= C2
4，a4= C2
5，…，an= C2
n+1= n(n+1)
2
，
则1
an =
2
n(n+1) = 2 1
n -
1
n+1
，则1
a1
+ 1
a2
+
…
+
1
a2026
=
2 1- 1
2 + 1
2 - 1
3 +...+
1
2026 -
1
2027
= 2 1-
1
2027
= 4052
2027 ．故答案为：4052
2027 ．
11.1 条件概率与全概率公式
1．【解析】由条件概率公式，得P (B |A) =
P(AB)
P(A)
= 1
4 ，所以P(AB) = 1
4 P(A) = 1
4 × 2
5 =
1
10 ，
又因为P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 1，所
以P(B) = 1 + 1
10 - 2
5 = 7
10 = 0.7．故选：A．
2．【解析】设事件A 表示“第一次拨打错误”，
事件B 表示“第三次恰好拨打正确”，
则P(A) = 9
10 ，P(AB) = 9
10 × 8
9 × 1
8 = 1
10 ，所
以P B|A)= P(AB)
P(A) =
1
10
9
10
= 1
9 ，
即小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨
打正确的概率为1
9 ．故选：B．
3．【解析】总样本空间为6 × 6 = 36 种，
事件B 两次投掷点数和为9 的所有情况为：(3 ,
6)，(4 , 5)，(5 , 4)，(6 , 3)，共4 种；则P(B) =
4
36 = 1
9 ；
事件AB 要求第一次为偶数且两次和为9，满足的
情况为：(4 , 5)，(6 , 3)，共2 种：所以P(AB) =
2
36 = 1
18 ；
所以P(A|B) = P(AB)
P(B)
=
1
18
1
9
= 1
2 ．故选：D．
4．【解析】根据题意，对于事件A：甲、乙选择
的专题不同，
甲有3 种选法，乙有2 种选法，丙有3 种选法，则
n(A) = 3 × 2 × 3 = 18．
事件AB，即甲、乙不同且乙、丙相同，
乙先选专题，有3 种选法，丙的选法和乙相同，甲
有2 种选法，则n(AB) = 3 × 2 × 1 = 6，
因此P(B|A) = n(AB)
n(A)
= 6
18 = 1
3 ．故选：A．
5．【解析】根据题意，用(a , b) 表示两次抽到卡
片的结果，
则A = {(5 , 1)、(5 , 2)、(5 , 3)、(5 , 4)、(5 , 6)、
(5 , 7)、(5 , 8)、(5 , 9)、(5 , 10)、(10 , 1)、(10，
2) (10，3)、(10 , 4)、(10 , 5)、(10 , 6)、(10 , 7)、
(10 , 8)、(10 , 9)}，则n(A) = 18，
AB = {(5 , 1)、(5 , 2)、(5 , 3)、(5 , 4)、(10 , 1)、
·293·
(10，2) (10，3)、(10 , 4)、(10 , 5)、(10 , 6)、(10
, 7)、(10 , 8)、(10 , 9)}，n(AB) = 13，故P(B|A)
= n(AB)
n(A)
= 13
18 ．故选：C．
6．【解析】事件A，B，P(A) = 3
5 ，P(B|A) =
1
6 ，P AB
= 1 ，由条件概率公式，可得
P B|A)= P(AB)
P(A) = 1
6 ，
∴P(AB) = 1
6 P(A) = 1
6 × 3
5 = 1
10 ，∵P AB
= P(A) + P(B) - P(AB) = 1，∴P(B) = 1 - 3
5 +
1
10 = 1
2 ．
故选：C．
7．【解析】因为P(A) = 2
3 , P(B|A) = 1
4 ，所以
P ( A) = 1 - 2
3
=
1
3
, P ( B | A ) = 1 -
P B|A)=1- 1
4 = 3
4 ，
所以P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) = 2
3 ×
3
4 + 1
3 × 1
2 = 2
3 ．故选：D．
8．【解析】设事件A 表示第1 次摸到红球，事件
B 表示第2 次摸到蓝球，
则P(A) = 5
8 ，P(AB) = 5
8 × 3
7 = 15
56 ，所以P
(B|A) = P(AB)
P(A)
=
15
56
5
8
= 3
7 ．故选：C．
9．【解析】由条件可知，P(A1) = P(A2) = 1
2 ，
P ( B | A 1 ) = C2
3
C2
5
=
3
10 ，故AC 正确；
P B|A2)= C2
2
C2
5
= 1
10 ，
由全概率公式可得，P(B) = P(B|A1)P(A1) + P
(B|A2)P(A2) = 3
10 × 1
2 + 1
10 × 1
2 = 1
5 ，故B 正
确；
P(A2|B) = P(A2B)
P(B)
= P(A2)P(B|A2)
P(B)
=
1
2 × 1
10
1
5
=
1
4 ，故D 错误．故选：ABC．
10．【解析】对于A，因为P(A) = 2
3 ，所以P(A)
= 1 - P(A) = 1
3 ，故A 正确；
对于B，P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 2
3
+ 1
2 - 1
4 = 11
12 ，故B 错误；
对于C，P(B|A) = P(AB)
P(A)
=
1
4
2
3
= 3
8 ，故C 正
确；
对于D，P(AB) = P(A) - P(AB) = 2
3 - 1
4 =
5
12 ，故D 正确．故选：ACD．
11．【解析】P(B|A1) 表示：在甲袋中取出一个红
球放入乙袋的条件下，由乙袋取出的球是红球的概
率：P(A1|B) = 5
11 ，A 对；P(B) = P(A1)P(B|A1)
+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3) = 1
2 × 5
11 + 1
5
× 4
11 + 3
10 × 4
11 = 9
22 ，B 错；
P(A1|B) = P(A1)P(B|A1)
P(B)
=
1
2 × 5
11
9
22
= 5
9 ，C 对；
P(A 2|B) = P(A2)P(B|A2)
P(B)
=
1
5 × 4
11
9
22
= 8
45 ，D
错．故选：AC．
12．【解析】对于A，因为P(B) = 2
3 ，所以P(B)
= 1 - P(B) = 1 - 2
3 = 1
3 ，故A 正确；
对于B，因为P(A) = 1
2 ，P(B|A) = 3
4 ，所以P
(AB) = P(A)P(B|A) = 1
2 × 3
4 = 3
8 ，故B 错误；
对于C，因为P(A) = 1
2 ，P(B) = 2
3 ，P(AB) =
3
8 ，
所以P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 1
2 + 2
3
- 3
8 = 19
24 ，故C 正确；
对于D，P(A|B) = P(AB)
P(B)
= P(A)-P(AB)
1-P(B)
=
1
2 - 3
8
1- 2
3
= 3
8 ，故D 错误．故选：AC．
·294·
13．【解析】从6 人中随机选出2 人，有C 2
6 = 15
种方法，其中这2 人来自同一个家庭的有C 1
2 ⋅C 2
3 =
6 种方法，
所以这2 人来自同一个家庭的概率P1 = 6
15 = 2
5 ，
则这2 人来自不同家庭的概率P2= 1 - 2
5 = 3
5 ，
所以游戏成功的概率P = 2
5 × 0.6 + 3
5 × 0.3 =
0.42．故答案为：2
5 ；0.42．
14. 【解析】现有两个罐子，1 号罐子中装有3 个
红球、2 个黑球，2 号罐子中装有2 个红球、3 个
黑球，
先从1 号罐子中随机取出一个球放入2 号罐子，再
从2 号罐子中取一个球，
设事件A 表示“从2 号罐子中取出的球是红球”，
事件B1表示“从1 号罐子中取出的球是红球”，
事件B2 表示“从1 号罐子中取出的球是黑球”，P
( B 1 ) = 3
5 , P ( B 2 ) = 2
5 , P ( A | B 1 ) = 1
2 ,
P A|B2)= 1
3 ，
则P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) = 3
5 ×
1
2 + 2
5 × 1
3 = 13
30 ．故答案为：13
30 ．
15．【解析】(i) 第一次取取0 个新球的概率为P1
= C2
2
C2
6
= 1
15 ，第一次取取1 个新球的概率为P2 =
C1
4C1
2
C2
6
= 8
15 ，
第一次取取2 个新球的概率为P3 = C2
4
C2
6
= 6
15 ，∴
第二次比赛时取出的2 个球都是新球的概率为：
P = P1 × C2
4
C2
6
+ P2 × C2
3
C2
6
+ P3 × C2
2
C2
6
= 1
15 × 6
15 +
8
15 × 3
15 + 6
15 × 1
15 = 4
25 ．
(ii) 设事件A = “第一次比赛时取出2 个旧球”，
则P(A) = P1= C2
2
C2
6
= 1
15 ，
设事件B = “第二次比赛时取出的2 个球都是新
球”，
则在第一次比赛时取出2 个旧球，赛后将两球放回
盒中的条件下，第二次比赛时取出的2 个球都是新
球的概率为：P(B|A) = P(AB)
P(A)
=
1
15 × C2
4
C2
6
1
15
= 2
5 ．
故答案为：(i) 4
25 .(ii) 2
5 ．
11.2 离散型随机变量的分布列与数字
特征
1．【解析】由题可得：P(X = 1) = 1
3 ；所以E
(X) = 0 × 2
3 + 1 × 1
3 = 1
3 ；
所以D(X) = 2
3 × 0- 1
3
2
+ 1
3 × 1- 1
3
2
= 2
27
+ 4
27 = 2
9 ．故选：B．
2．【解析】根据题意，离散型随机变量ξ 的取值
为1，2，3，…，9，P(ξ = k) = ak(k = 1，2，
3，…，9)．
则a1 + a2 + a3 + …… +a8 + a9 = 1，又由数列{ak}
为等差数列，则a1 + a2 + a3 + …… +a8 + a9 = 9a5
= 1，
则有a5= 1
9 ．故选：B．
3. 【解析】根据题意可知，P(X = 0) = 1 - P(X =
1) = 1 - 1
2 = 1
2 ，
由全概率公式得P(Y = 1) = P(X = 0，Y = 1) + P
(X = 1，Y = 1)，即2
3 = P(X = 0 , Y = 1) + 2
5 ，
所以P(X = 0 , Y = 1) = 2
3 - 2
5 = 10
15 - 6
15 = 4
15 ，
由条件概率计算公式得P ( Y = 1 | X = 0 ) =
P(X=0,Y=1)
P(X=0)
=
4
15
1
2
= 4
15 × 2 = 8
15 ．故选：
D．
4．【解析】设投篮总次数的数学期望为E(X)，
若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重
新投篮的总次数的数学期望仍为E(X)，
此情况下发生的概率为0.2，投篮总次数为1 + E
(X)，
若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新
投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为E
(X)，
此情况发生的概率为0.8 × 0.2，投篮总次数为2 +
·295·
E(X)，
若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率
为0.8 × 0.8，投篮总次数为2，
则投篮总次数的数学期望为0.2 × (1 + E(X)) + 0.8
× 0.2 × (2 + E(X)) + 0.8 × 0.8 × 2 = E(X)，
解得E(X) = 45
16 ．故选：B．
5．【解析】依题意知：X 的取值为1，2，3，4，
故P(X = 1) = 3
6 = 1
2 (第一次摸到红球)，
P(X = 2) = 3
6 × 3
5 = 3
10 (第一次摸到非红球，第
二次摸到红球)，
P(X = 3) = 3
6 × 2
5 × 3
4 = 3
20 (前两次摸到非红
球，第三次摸到红球)，
P(X = 4) = 3
6 × 2
5 × 1
4 × 1 = 1
20 (前三次摸到非
红球，第四次摸到红球)，
则E(X) = 1 × 1
2 + 2 × 3
10 + 3 × 3
20 + 4 × 1
20 =
1
2 + 6
10 + 9
20 + 4
20 = 10
20 + 12
20 + 9
20 + 4
20 =
35
20 = 7
4 ．
故选：D．
6．【解析】由题意，X 可取2，3，P(X = 2) =
1
3
2
+ 1- 1
3
2
= 5
9 ，
P(X = 3) = C1
2 × 1
3 × 1- 1
3
× 1
3 + C1
2 × 1- 1
3
× 1
3 × 1- 1
3
= 4
9 ，则E(X) = 2 × 5
9 + 3 × 4
9
= 22
9 ，
D(X) = 5
9 × 2- 22
9
2
+ 4
9 × 3- 22
9
2
= 20
81 ．故
选：D．
7．【解析】记A 为事件“小明戴帽子”，记B 为
事件“小明戴墨镜”，
因为小明帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽
子的概率为1
2 ，戴墨镜的概率为4
5 ，
所以P AB
= P(A) + P(B) - P(AB) = 1，P
(AB) = P(A) + P(B) - 1 = 3
10 ，
P(AB) + P(AB) = P(A) = 1
2 ，此时P(AB) = 1
5 ，
所以X ∼B 20, 1
5
，则E(X) = 20 × 1
5 = 4 天．
故选：A．
8．【解析】由题易知一次成功的概率为1
6 ，故
30 次试验中成功次数X 服从二项分布，即X ∼
B 30, 1
6
．
故E(X) = 30 × 1
6 = 5 , D(X) = 30 × 1
6 × 5
6 =
25
6 ．故选：B．
9．【解析】由分布列可知，E(X) = 0 × m
2 + m
× 1
2 + 1 × 1-m
2
= 1
2 ．
所以D(X ) = 0- 1
2
2
× m
2 + m- 1
2
2
× 1
2 +
1- 1
2
2
× 1-m
2
= m
8 + 1
2
m- 1
2
2
+ 1-m
8
=
1
2
m- 1
2
2
+ 1
8 ，
因为0 < m < 1，所以D(X) 在m ∈0, 1
2
时单调
递减，在m ∈
1
2 ,1
时单调递增，
所以当m = 1
2 时，D(X) 取得最小值1
8 ，无最大
值．故选：C．
10．【解析】初始时，甲部门有2 名红色工牌员
工、1 名蓝色工牌员工，乙部门有2 名红色工牌员
工、2 名蓝色工牌员工，由已知X 的可能取值为
1，2，3．
所以P(X = 1) = 2
3 × 2
4 = 1
3 ，P(X = 2) = 2
3 ×
2
4 + 1
3 × 2
4 = 1
2 ，P(X = 3) = 1
3 × 2
4 = 1
6 ，
所以E(X) = 1 × 1
3 + 2 × 1
2 + 3 × 1
6 = 11
6 ．故
选：C．
11．【解析】设每个数据包成功接收的概率为p =
0.8，
由题意可知成功接收的数据包个数X 服从二项分
布，即X ∼B(10 , 0.8)，
所以E(X) = 10 × 0.8 = 8，根据期望的性质可得，
E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 22．故选：C．
12．【解析】某单位有职工450 人，其中男职工
150 人，现为了解职工健康情况，
该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量
·296·
为90 的样本，
得出体重情况：男职工的平均体重为63kg，女职
工的平均体重为54kg；
对于A 选项，抽查的样本中女职工人数为90 ×
450-150
450
= 60，故A 选项错误；
对于B 选项，男职工的平均体重63kg，女职工的
平均体重为54kg，
根据样本估计可知：该单位男职工的体重普遍比女
职工重，故B 选项正确；
对于C 选项，估计该单位职工平均体重为150
450 ×
63 + 450-150
450
× 54 = 57(kg)，故C 选项错误；
对于D 选项，男、女职工被抽中的可能性均为
90
450 = 1
5 ，故D 选项正确．故选：BD．
13．【解析】对于A，设至少有一名女生为事件
A，则P(A) = C0
5 ⋅C4
10
C4
15
=
10×9×8×7
15×14×13×12 = 2
13 ，
则P(A) = 1 - P(A) = 11
13 ，故A 错误；
对于B，因为随机变量X ∼B 10, 1
3
，所以D(X)
= 10 × 1
3 × 2
3 = 20
9 ，D(3X + 2) = 9D(X) = 9 ×
20
9 = 20，故B 正确；
对于C，根据正态分布的性质，P(X < 4) = 0.79，
所以，P(X ≤-2) = P(X ≥4) = 1 - P(X < 4) =
0.21，故C 正确；
对于D，P(X = i) =
a
i(i+1) (i = 1 , 2 , 3)，得P(X
= 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1，
可得a
2 + a
6 + a
12 = 1，解得a = 4
3 ，所以P(X =
2) = 4
18 = 2
9 ，故D 正确；
故选：BCD．
14．【解析】对于A 选项，若随机变量X ∼N (3 ,
4)，则正态分布对称轴为X = 3，
根据对称性可知P(X ≤-1) = P(X ≥7)，故A 选项
正确；
对于B 选项，已知随机变量X，Y 满足X + 2Y =
6，若X ∼B(4 , 0.5)，
可知Y = 3 - 1
2 X，则E(Y) = 3 - 1
2 E(X) , D(Y)
= 1
4 D(X)，
由X ∼B(4 , 0.5)，可知E(X) = 4 × 0.5 = 2，D(X)
= 4 × 0.5 × (1 - 0.5) = 1，
则E(Y) = 3 - 1
2 × 2 = 2，所以D(Y) = 0.25，故
B 选项正确；
对于C 选项，数据从小到大排列为0，1，5，6，
7，11，12 共7 个数，可知7 × 70% = 4.9，
则第70 百分位数是第5 个数7，故C 选项错误；
对于D 选项，离散型随机变量X 服从两点分布，
且P(X = 0) = 2 - 3P(X = 1) = a，
由P(X = 0) + P(X = 1) = 1，可得P(X = 0) = a，
P(X = 1) = 2-a
3
，
可得a + 2-a
3
= 1，解得a = 1
2 ，故D 选项正确．
故选：ABD．
15．【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，若随机事件A，B 相互独立，则A与B
也相互独立，故P(AB) = P(A)P(B) = [1 - P(A)]
⋅P(B)，
反之，若P(AB) = [1 - P(A)] ⋅P(B)，即P(AB)
= P(A)P(B)，
事A与B 也相互独立，则A 与B 也相互独立，
故事件A，B 相互独立的充要条件是P(AB) = [1
- P(A)] ⋅P(B)，A 正确；
对于B，设X 为随机变量，则D(X) = E(X2) - [E
(X)]2，变形可得E(X2) = D(X) + [E(X)]2，B 正
确；
对于C，若X ∼B 3, 1
3
，则E(X) = 3 × 1
3 = 1，
D(X) = 3 × 1
3 × 2
3 = 2
3 ，C 错误；
对于D，X ∼N(1，22)，易得P(X ≤x) = P(X ≥
2 - x)，记函数f(x) = P(X ≤x)，则f(2 - x) = P
(X ≤2 - x)，
易得f(x) + f(2 - x) = P(X ≤x) + P(X ≤2 - x) =
P(X ≥2 - x) + P(X ≤2 - x) = 1，
即f(x) 的图象关于点1, 1
2
对称，D 正确．故
选：ABD．
16．【解析】正整数n = a0 ⋅20 + a1 ⋅21 +⋯+a8 ⋅28
+ a9 ⋅29，其中ai ∈{0，1}，i = 0，1，2，
，
9，定义ω(n) = a0 + a1 ++ a9．设集合A = {n|ω(n)
·297·
= 2}，从A 中随机选取一个元素，记为X，
对于A，因为10 = 23 + 21，所以ω(10) = 2，所以
10 ∈A，正确；
对于B，A 中的元素个数为C2
10 = 45，错误；
对于C，设n = 2s + 2t(s > t)，A 中满足X ≥100
元素如下：
因为26 + 25 = 96 < 100，所以以s 的大小作为分类
依据，
s = 7 时，27 + 20 = 129 > 100，27 + 21 = 130 >
100，27+ 22= 132 > 100，27+ 23= 136 > 100，
27 + 24 = 144 > 100，27 + 25 = 160 > 100，27 + 26
= 192 > 100，共有7 个，
同理s = 8 时有8 个，s = 9 时有9 个，所以P(X ≥
100) = 24
45 = 8
15 ，正确；
对于D，集合A 中所有元素和为9(20 + 21 ++ 28 +
29) = 9(210 - 1) = 9 × 1023，
所以E (X ) = 9×1023
45
= 1023
5
，正确．故选：
ACD．
17．【解析】对于A，因为随机变量ξ 服从正态分
布N(μ , 2)，且P(ξ < 1) = P(ξ > 9)，
所以μ = 1+9
2
= 5，故A 正确；
对于B，由样本相关系数的性质可知：|r| 越接近
0，线性相关程度越弱，故B 错误；
对于C，因为ξ ∼B 4, 1
4
，所以E(ξ) = 4 × 1
4 =
1，所以E(3ξ - 2) = 3E(ξ) - 2 = 3 × 1 - 2 = 1，故
C 正确；
对于D，数据1，3，9，4，5，16，7，11 从小
到大排列为：1，3，4，5，7，9，11，16，
因为25% × 8 = 2，所以这组数据的下四分位数为
3+4
2
= 3.5，故D 正确．故选：ACD．
18．【解析】由分布列的性质可知，a
2 + a
4 + a
8
+ a
16 = 1，解得a = 16
15 ，
所以P(2 ≤X ≤3) = P(X = 2) + P(X = 3) =
16
15
4
+
16
15
8
= 2
5 ．故答案为：2
5 ．
19．【解析】设随机变量ξ 的概率分布为P(ξ = k)
=
a
k(k+1) ，k = 1、2、3、4、5，
由随机变量ξ 的所有可能值的概率和为1，即
a
1×(1+1) +
a
2×(2+1) +
a
3×(3+1) +
a
4×(4+1)
+
a
5×(5+1) = 1，
则a 1- 1
2 + 1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
4 + 1
4 - 1
5 + 1
5 - 1
6
= 5a
6
= 1 ，解得a = 6
5 ，所以P ( ξ = 3 ) =
6
5
3×(3+1) = 1
10 ．故答案为：1
10 ．
20．【解析】∵P(X = n) =
a
n2+n (a ∈R , n = 1 ,
2 , 3)，∴P(X = 1) = a
2 ，P(X = 2) = a
6 ，P(X =
3) = a
12 ，
∴由分布列的性质可得，a
2 + a
6 + a
12 = 1，解得
a = 4
3 ．故答案为：4
3 ．
21．【解析】离散型随机变量X 的取值为1，2，
3，P(X = 1) = 1
3 × 1
3 + 2
3 × 2
3 × 1
2 = 1
3 ，
P(X = 3) = 2
3 × 1
3 × 1
2 = 1
9 ，P(X = 2) = 1 - P
(X = 1) - P(X = 3) = 5
9 ，
根据期望公式可得：E(X) = 1 × 1
3 + 2 × 5
9 + 3 ×
1
9 = 16
9 ，
根据期望的性质可得E(X 2) = 1 × 1
3 + 4 × 5
9 + 9
× 1
9 = 32
9 ，
则方差为：D(X ) = E(X 2) - [E(X )] 2 = 32
9
-
16
9
2
= 32
81 ．故答案为：32
81 ．
22．【解析】二项式(2 - x)4 的通项公式为Tr+1 =
Cr
4 ⋅24-r ⋅(-x)r，显然该二项式展开共有5 项，
当r = 1，3 时，即第2，4 项系数为负数，因为各
项等可能地随机重新排列，
所以排列数为A5
5，系数为负数的项相邻的排列数
为A2
2A4
4，所以P(X = 1) = A2
2A4
4
A5
5
= 2
5 ，因此E[X]
= 1 × 2
5 + 0 × P(X = 0) = 2
5 ．故答案为：2
5 ．
·298·
23．【解析】设ai 的可能取值为随机变量Xi，i =
0，1，2，…，9，此时Xi ∈{0，1}，
易知P(Xi = 1) = 3
10 ，P(Xi = 0) = 1 - P(Xi = 1)
= 7
10 ，所以E(Xi) = P(Xi = 1) = 3
10 ，
因为X = X0⋅20+ X1⋅21+⋯+X8⋅28+ X9⋅29，
所以E(X) = E(X0 ⋅20) + E(X1 ⋅21) +⋯+E(X8 ⋅28)
+ E(X9⋅29)
= E(X0) ⋅20+ E(X1) ⋅21+⋯+E(X8) ⋅28+ E(X9) ⋅29
= 3
10 (20+ 21+⋯+28+ 29) = 3
10 × 1-210
1-2 = 306.9，
则X 的期望为306.9．
故答案为：306.9．
24．【解析】(1) 由题意可知，选出的2 人选择社
团种类的个数相同的概率为P = C2
2 +C2
3
C2
6
= 4
15 ；
(2) 由题意知，X 所有可能取值为：4，5，6，7，
所以P(X = 4) = C2
2
C2
6
= 1
15 ，P(X = 5) = C1
2C1
3
C2
6
=
2
5 ，
P(X = 6) = C1
2C1
1 +C2
3
C2
6
= 1
3 ，P(X = 7) = C1
1C1
3
C2
6
= 1
5 ，所以X 的分布列为：
X
4
5
6
7
P
1
15
2
5
1
3
1
5
E(X) = 4 × 1
15 + 5 × 2
5 + 6 × 1
3 + 7 × 1
5 = 17
3 ．
25．【解析】(1) 设事件A 表示回答被采纳，事件
B 表示问题表达清晰，
则P(B) = 1
5 , P(B) = 4
5 , P(A|B) = 7
8 , P(A|B)
= 1
2 ，则P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B) =
7
8 × 4
5 + 1
2 × 1
5 = 4
5 ；
(2) 由(1) 知每个问题的回答被采纳的概率p = 4
5 ，
且每次回答是否被采纳相互独立，
因此随机变量X 服从二项分布X ∼B 3, 4
5
，则P
(X = 0) = C0
3
4
5
0
×
1
5
3
=
1
125 ，
P(X = 1) = C 1
3 4
5
1
×
1
5
2
= 12
125 ，P(X = 2) =
C 2
3
4
5
2
×
1
5
1
= 48
125 ，P(X = 3) = C 3
3
4
5
3
×
1
5
0
= 64
125 ，
则X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
1
125
12
125
48
125
64
125
E(X) = np = 3 × 4
5 = 12
5 , D(X) = np(1 - p) = 3
× 4
5 × 1- 4
5
= 12
25 ；
(3) 随机抽取10 个问题，设被采纳的次数为ξ，则
有ξ ∼B 10, 4
5
，总得分Y = 10ξ，则E(Y ) =
10E(ξ) = 10 × 10× 4
5
= 80 ≥75，满足推广条件，
因此该系统会得到推广．
26．【解析】(1) 记事件A 为“参观者仅获得1 枚
纪念章”，当n = 3 时，展区编号为1，2，3，奇
数有1，3；偶数有2，全排列共3! = 6 种，两个数
之和为奇数当且仅当两个数一奇一偶，
枚举所有排列：123，132，213，231，312，
321，
其中满足连续两个数之和为奇数的次数是1 的有
132，213，231，312，所以P(A) = 4
6 = 2
3 ．
(2) 当n = 4 时，编号1，2，3，4，奇数有1，3；
偶数有2，4，全排列共4! = 24 种，
由题意知X 的可能取值为1，2，3，又P(X = 1)
= 2×2×2
24
= 1
3 ，P(X = 2) = 2×2×2
24
= 1
3 ，
P(X = 3) = 2×2×2
24
= 1
3 ，所以X 的分布列为：
X
1
2
3
P
1
3
1
3
1
3
数学期望E(X) = 1 × 1
3 + 2 × 1
3 + 3 × 1
3 = 2．
(3)n 个展区中有k 个奇数编号，n - k 个偶数编号，
相邻的两个位置看作1 对，则共有n - 1 对，定义
变量Xi 如下：
当第i(i ∈{1，2，…，n - 1}) 对中的两个数字之
和为奇数时Xi = 1，为偶数时Xi = 0，
则X = X1 + X2 + X3 ++ Xn-1．所以an = E(X) = E
(X1) + E(X2) ++ E(Xn-1)，
·299·
因为Xi 的取值只有0 与1 两个，所以E(Xi) = 1 ⋅P
(Xi = 1) + 0 ⋅P(Xi = 0) = P(Xi = 1)，
P(Xi = 1) 即第i 组的两个数一个为偶数、一个为奇
数的概率，
从n 个数据中任选2 个数据排列，共有n(n - 1) 种
可能，
当n 为偶数时，则偶数与奇数各有n
2 个，所以E
(Xi) =
2⋅n
2 ⋅n
2
n(n-1) =
n
2n-2 ，
an = E(X1) + E(X2) +⋯⋯+E(Xn-1) = (n - 1) ⋅
n
2n-2 = n
2 ，
当n 为奇数时，偶数有n-1
2
个，奇数有n+1
2
个，所以E(Xi) =
2⋅n-1
2
⋅n+1
2
n(n-1)
= n+1
2n ，
an = E(X1) + E(X2) +⋯⋯+E(Xn-1) = (n - 1) ⋅
n+1
2n
= n2-1
2n
．所以an=
n
2 ,n为偶数,
n2-1
2n
,n为奇数.
证明递增：当n 为偶数时，a n = n
2 ，a n+1 =
(n+1)2-1
2(n+1)
= n2+2n
2(n+1) = n(n+2)
2(n+1) ，
an+1 - an = n(n+2)
2(n+1) - n
2 = n
2
n+2
n+1 -1
= n
2 ⋅
1
n+1 > 0，所以an+1 > an．当n 为奇数时，an =
n2-1
2n
，an+1 = n+1
2
，an+1 - an = n+1
2
- n2-1
2n
=
1
2
n+1- n2-1
n
=
1
2
n2+n-n2+1
n
=
n+1
2n
> 0，所以an+1> an．因此{an} 是递增数列．
27．【解析】(1) 由题意可知当n = 1 时，X 所有
可能值为2，3，则P(X = 2) =
1
2
2
+ 1- 1
2
2
=
1
2 , P(X = 3) = C 1
2
1
2
2
1- 1
2
+ C 1
2
1
2
1- 1
2
2
= 1
2 ．则X 的分布列如下：
X
2
3
P
1
2
1
2
故E(X) = 2 × 1
2 + 3 × 1
2 = 5
2 ；
(2) 由题意，若采用“5 局3 胜”制，则P(A) = p3
+ C 2
3 p2(1 - p)p + C 2
4 p2(1 - p)2p = p3(6p2 - 15p +
10)；
在甲乙比赛满5 局，甲至少取得3 局比赛胜利，
设甲赢的局数为ξ，那么ξ 服从二项分布，即ξ ∼
B(5 , p)，
则P(B) = P(ξ ≥3) = C 3
5p3(1 - p)2 + C 4
5p4(1 - p) +
C5
5p5= p3(6p2- 15p + 10)，
所以P(A) = P(B)．
(3) 证明：设甲乙进行2n - 1 局比赛，甲赢的局数
为X，则X ∼B(2n - 1 , p)，p1= P(X ≥n)，
“2n + 1 局n + 1 胜”制游戏中，甲第一局输的条件
下，甲要获得最终胜利可拆解为：
若第2 局甲输，则后续最多2n - 1 局比赛，甲至少
胜n + 1 局，
若第2 局甲胜，则后续最多2n - 1 局比赛，甲至少
胜n 局，
由全概率公式得p2 = (1 - p) ⋅P(X ≥n + 1) + p ⋅P
(X ≥n) = (1 - p) ⋅(p1- P(X = n)) + p ⋅p1
= p1 - (1 - p) ⋅P(X = n) = p1 - C n
2n-1pn(1 - p)n，
故p1- p2= Cn
2n-1pn(1 - p)n．
11.3 常见分布
1．【解析】因为X ∼B(5 , 0.4)，所以D(X) = 5 ×
0.4 × (1 - 0.4) = 1.2，
则D(3X - 5) = 9D(X) = 9 × 1.2 = 10.8．故选：
D．
2．【解析】由随机变量X ∼B(4 , p)，可知变量X
服从二项分布，
由二项分布的性质可得P(X ≥1) = 1 - P(X = 0) =
1 - (1 - p)4= 65
81 ，
解得p = 1
3 ，所以方差D(X) = np(1 - p) = 4 × 1
3
× 2
3 = 8
9 ．故选：C．
3．【解析】对于A，单位全体职工的平均年龄是
60×36+40×30
100
= 33.6 岁，故A 错误；
对于B，将4 封不同的信全部投入3 个邮筒，共有
34= 81 种不同的投法，故B 错误；
对于C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系
数绝对值越接近于1，故C 错误；
·300·
对于D，某人每次投篮的命中率为3
5 ，现投篮5
次，则Y ∼B 5, 3
5
，
所以E(Y) = 5 × 3
5 = 3，所以E(2Y + 1) = 2E(Y)
+ 1 = 7，故D 正确．故选：D．
4．【解析】①若随机变量X 服从两点分布(或0 -
1 分布)，
若E(X) = 1
2 ，则D(X) = 1
2 × 1- 1
2
= 1
4 ≠
1
8 ，因此①错误；
②将4 个不同的礼物分给3 位同学，每人至少1 个，
则有1 人拿到2 个礼物，
先取2 个礼物，共有C 2
4 = 6 种；再将分好的3 组礼
物分配，共有A3
3= 6 种，
因此，不同分法的种数为6 × 6 = 36 种，②正确；
③由事件A 为第一枚骰子投出的点数为奇数，则
第一枚点数可能为1，3，5，共3 种，
而第二枚点数无要求，因此n(A) = 3 × 6 = 18 种；
又第一枚骰子投出的点数为奇数，两枚骰子点数之
和为8 的情况，有(3 , 5) 和(5 , 3)，
则n(AB) = 2，因此P(B|A) = n(AB)
n(A)
= 2
18 = 1
9 ，
③正确；
④由未击中目标的概率为0.2，则击中目标的概率
为1 - 0.2 = 0.8，连续射击10 次，每次都相互独
立，且概率均相同，因此击中次数服从二项分布，
即Z ∼B(10 , 0.8)，因此④正确．故选：A．
5．【解析】依题意，Pk = Ck
n × 0 ⋅8k × 0 ⋅2n-k , k =
0 , 1 , 2 ,⋯, n，
由P 7 是唯一的最大值，得
P7>P6
P7>P8
，即
C7
n×0⋅87×0⋅2n-7>C6
n×0⋅86×0⋅2n-6
C7
n×0⋅87×0⋅2n-7>C8
n×0⋅88×0⋅2n-8
，
整理得4(n-6)>7
4(n-7)<8
，解得7 3
4 < n < 9，而n ∈
N *，因此n = 8．故选：B．
6．【解析】根据题意可知，P(75 < X < 115) = P
(μ - 3σ < X < μ + σ) ≈0.6827+0.9973
2
= 0.84，
故数学分数X 介于75 到115 之间的人数为10000 ×
0.84 = 8400．故选：C．
7．【解析】由题可得：μ = 1，故P(X > 0.5) = P
(0.5 < X ≤1) + P(X > 1) = P(1 < X ≤1.5) + P(X
> 1) = 0.36 + 0.5 = 0.86．
故选：A．
8．【解析】由题可得：μ1< μ2，σ1> σ2，AB 错；
P(X ≤70) = P(Y ≥75) = 0.5，C 对；
P(X ≥75) < P(Y ≥75)，D 错．故选：C．
9．【解析】因为随机变量ξ ∼N(2 , σ2)，且P(ξ ≤
a - 3b) = P(ξ ≥b)，所以a-3b+b
2
= 2，
即a - 2b = 4，所以a - 2x + 2(x - b) = 4，因为b <
x < a
2 ，所以b < x 且a > 2x，则a - 2x > 0，x -
b > 0，
所以
1
a-2x +
1
x-b = 1
4
1
a-2x +
1
x-b
[(a -
2x) + 2(x - b)] = 1
4
3+ 2(x-b)
a-2x + a-2x
x-b
≥1
4
(3 + 2 2)，
当且仅当2(x-b)
a-2x
= a-2x
x-b
时取等号，所以
1
a-2x +
1
x-b 的最小值为3+2 2
4
．故选：B．
10．【解析】对于A 选项，决定系数R2 越大，回
归模型的拟合效果越好，故A 正确；
对于B 选项，样本数据2x1 + 1，2x2 + 1，
，
2x9+ 1 的方差为8，
则数据x1，x2，…，x9 的方差为
1
2
2
× 8 = 2，故
B 正确；
对于C 选项，因为随机变量X 服从正态分布X ∼
N(3 , σ2)，所以均值μ = 3，
所以正态曲线的对称轴为x = 3，因为P(X ≤4) =
0.6，所以P(X > 4) = 1 - 0.6 = 0.4，
由对称性知，P(X ≥3) = 0.5，所以P(3 < X < 4)
= 0.5 - 0.4 = 0.1，故C 错误；
对于D 选项，因为经验回归方程过样本中心点，
所以将(m , 3) 代入y = 0.4x - m 中，得3 = 0.4m
- m，解得m =-5，故D 正确．故选：C．
11．【解析】对于A，∵9 × 80
100 = 7.2，数据1，
3，3，5，5，5，7，9，11 是从小到大顺序排列
的，第8 个数是9，
∴80 百分位数为9，故A 正确；
对于B，样本数据的相关系数r 的绝对值越大，成
对数据的相关程度也越强，
·301·
例如r =-0.8 的数据比r = 0.2 的数据的相关程度
强，故B 错误；
对于C，X ∼B 8, 3
4
，则D(X) = 8 × 3
4 × 1
4 =
3
2 ，D(2X + 1) = 4D(X) = 6，故C 正确；
对于D，X ∼N(2 , σ2)，则P(1 < X < 2) + P(X >
3) = P(2 < X < 3) + P(X > 3) = P(X > 2) = 0.5，
为定值，故D 正确．故选：ACD．
12．【解析】对于A：由二项分布的期望公式可知
当X1∼B(n1，p) 时，E(X1) = n1p，A 正确；
对于B：由二项分布的方差公式可知当X1∼B(n1，
p) 时，D(X1) = n1p(1 - p) = (1 - p)E(X1)，B 正
确；
对于C：因为X1 表示n1 次独立伯努利试验中成功
的次数，X2 表示n2 次独立伯努利试验中成功的次
数，两者相互独立，所以X = X1 + X2 表示n1 + n2
次独立伯努利试验中成功的次数，所以X ∼B(n1
+ n2，p)，C 错误；对于D：根据条件概率公式P
(X1 = k|X1 + X2 = n) = P(X1=k,X2=n-k)
P(X1+X2=n)
，因
为X1，X2相互独立，
所以P(X1 = k , X2 = n - k) = C k
n1pk(1 - p)n1-k ⋅
Cn-k
n2 pn-k(1 - p)n2-(n-k)= Ck
n1Cn-k
n2 pn(1 - p)n1+n2-n，
因为X1 + X2 ∼B(n1 + n2，p)，所以P(X1 + X2 =
n) = Cn
n1+n2pn(1 - p)n1+n2-n，
所以P ( X
1 = k | X
1 + X
2 = n ) =
P(X1=k,X2=n-k)
P(X1+X2=n)
= Ck
n1Cn-k
n2
Cn
n1+n2
，D 正确．故选：
ABD．
13．【解析】随机变量X 服从二项分布B 6, 1
2
，
则P(X = 3) = C 3
6 ⋅
1
2
3
⋅
1
2
3
= 20
64 = 5
16 ，A 正
确；
事件B 可拆分为互斥事件AB 和AB，因此P(B)
= P(AB) + P(AB) = 0.5 + 0.2 = 0.7，
故P(B) = 1 - P(B) = 0.3，B 正确；
根据条件概率，设A = 至少1 个景点未被选择，B
= 恰有2 个景点未被选择，根据条件概率公式P
(B|A) = n(AB)
n(A)
= n(B)
n(A) : 总基本事件数：三个人
选景点共33= 27 种；
n(B)：恰2 个景点未被选即三个人都选同一个景
点，共3 种；
n(A)：A 的对立事件是“3 个景点都被选中”，排
列数为A3
3= 6，因此n(A) = 27 - 6 = 21；
代入得P(B|A) = 3
21 = 1
7 ，C 正确；E(2X + 3)
= 2E(X) + 3 正确，但方差D(2X + 3) = 22D(X) =
4D(X)，
当D(X) ≠3
2 时，4D(X) ≠2D(X) + 3，D 错误．
故选：ABC．
14．【解析】对于A，由P(X ≤18) = 7
8 ，得P(X
> 18) = 1 - 7
8 = 1
8 ，故P(X < 14) = P(X > 18)，
由正态分布的对称性可知μ = 14+18
2
= 16，A 正
确；
对于B，P(14 ≤X ≤18) = 1 - P(X > 18) - P(X <
14) = 3
4 ，B 正确；
对于C，由题意得ξ ∼B 4, 3
4
，故P(ξ = 1) = C 1
4
× 3
4 ×
1
4
3
= 3
64 ，C 错误；
对于D，E(ξ) = 4 × 3
4 = 3，D 正确．故选：
ABD．
15．【解析】因为Y ∼N (2，22)，所以连续型随
机变量Y 服从正态分布，且均值μ = 2，标准差σ
= 2，
A 选项，f(2) = P(2 ≤Y ≤4)，而P(μ - σ ≤Y ≤
μ + σ) ≈0.68，代入μ = 2、σ = 2，得P(0 ≤Y ≤
4) ≈0.68，
由正态分布的性质得：P(2 ≤Y ≤4) = P(0 ≤Y ≤
2)，所以f(2) = P(2 ≤Y ≤4) ≈0.68
2
= 0.34，故
A 正确；
B 选项，g(0) = P(Y ≥0)，由A 可知：P(0 ≤Y
≤4) ≈0.68，由正态分布的对称性可知：P(Y < 0)
= P(Y > 4)，
又P(Y < 0) + P(0 ≤Y ≤4) + P(Y > 4) = 1，所以
2P(Y < 0) ≈1 - 0.68 = 0.32，解得：P(Y < 0) ≈
0.16，
因此g(0) = P(Y ≥0) = 1 - P(Y < 0) ≈1 - 0.16 =
0.84，故B 错误；
·302·
对于C，f(x) = P(x ≤Y ≤x + 2)，则f(1 + t) = P
(1 + t ≤Y ≤3 + t)，f(1 - t) = P(1 - t ≤Y ≤3 -
t)，
而Y 服从正态分布N(2，22)，区间[1 + t，3 + t]
和[1 - t，3 - t] 关于直线x = 2 对称，
故f(1 + t) = f(1 - t)，即f(x) 的图象关于直线x =
1 对称，故C 正确；
对于D，g(x) = P(Y ≥x)，若g(x) 的图象关于点
1, 1
2
对称，
则g(1 + t) + g(1 - t) = 1，即g(1 + t) + g(1 - t) = P
(Y ≥1 + t) + P(Y ≥1 - t) = 1，
而Y 服从正态分布N(2，22)，则P(Y ≥1 + t) = P
(Y ≤3 - t)，P(Y ≥1 - t) = P(Y ≤3 + t)，
故g(1 + t) + g(1 - t) = P(Y ≤3 - t) + P(Y ≥1 -
t)，
当t = 1 时，g(2) + g(0) = P(Y ≤2) + P(Y ≥0) =
0.5 + 0.84 = 1.34 ≠1，
即g(x) 的图象不关于点1, 1
2
对称，D 错误．故
选：AC．
16．【解析】A，由图知，P(X ≤26) > P(Y ≤
26)，所以坐公交车在26 分钟内到达学校的概率更
大，故选项A 正确；
选项B，由图知，P(X ≤29) > P(Y ≤29)，所以
坐公交车在29 分钟内到达学校的概率更大，故选
项B 正确；
选项C，由图知，P(X ≤38) < P(Y ≤38)，所以
骑自行车在38 分钟内到达学校的概率更大，故选
项C 错误；
选项D，由图知，P(X ≤40) < P(Y ≤40)，所以
骑自行车在40 分钟内到达学校的概率更大，故选
项D 错误．
故选：AB．
17．【解析】因为随机变量X 服从二项分布B(2 ,
p)，所以P(X ≥1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)
= 1 - (1 - p)2= 5
9 ，
解得p = 1
3 或p = 5
3 (舍去)，又因为随机变量Y 服
从二项分布B(4 , p)，
所以P(Y ≥2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(X = 4)
= C2
4p2(1 - p)2 + C3
4p3(1 - p) + C4
4p4 = 11
27 ．故答案
为：11
27 ．
18．【解析】因为P(X = k) = P(X ≤k) - P(X ≤
k - 1) = km-(k-1)m
4m
, k = 1 , 2 , 3 , 4
所以E(X) = 1
4m [1m + 2(2m - 1m) + 3(3m - 2m) + 4
(4m - 3m)]
=
1
4m [ 4 × 4m - ( 1m + 2m + 3m ) ] = 4 -
1
4
m
+
1
2
m
+
3
4
m
，
由E(X) ≥13
4 ，得
1
4
m
+
1
2
m
+
3
4
m
≤3
4 ，
令f(m) =
1
4
m
+
1
2
m
+
3
4
m
，
则f(m) 在m ∈N * 时单调递减，又f(1) = 3
2 > 3
4 ,
f(2) = 7
8 > 3
4 , f(3) = 9
16 < 3
4 ，
所以m 的最小值为3．故答案为：3．
19．【解析】∵从50 张彩票中任取n 张中奖票事
件为C n
50，取出的n 张彩票中年没有中奖的基本事
件为Cn
48，
∴取出n 张彩票里至少有一张中奖的基本事件为
Cn
50- Cn
48，
∴根据概率Cn
50-Cn
48
Cn
50
> 1
2 ，得n2 - 99n + 25 × 49
< 0，
验证如下：当n = 14 时，142 - 99 × 14 + 25 × 49 =
35 > 0，当n = 15 时，152 - 99 × 15 + 25 × 49 =
-35 < 0，
所以根据二次函数可以判断出n 至少为15，故答案
为：15．
20．【解析】事件“X = 3”，即第一、二两次测
到的是次品，第三次测到正品，
结合题意，可得P(X = 3) = 1
4 × 1
4 × 3
4 = 3
64 ．
故答案为：3
64 ．
21.【解析】根据题意，机变量X 的概率密度函数
f(x) =
1
σ 2π e
- (x-1)2
2σ2 (x ∈R)，则X ∼N(1 , σ2)，
则P(X ≤0) = P(X ≥2) = 0.2，所以P(0 ≤X ≤1)
= 0.5 - P(X ≤0) = 0.5 - 0.2 = 0.3．故答案为：
0.3．
22 ．【解析】由题可得σ = 0 .02 mm ，μ =
·303·
10.00mm，故P(9.96 ≤X ≤10.04) = P(μ - 2σ ≤
X ≤μ + 2σ) ≈0.954．
故答案为：0.954．
23．【解析】因为X ∼N (1000，52)，所以μ =
1000，σ = 5，
所以μ - 3σ = 1000 - 3 × 5 = 985，μ + 3σ = 1000 +
3 × 5 = 1015．
因为1011 ∈[985，1015]，982 ∉[985，1015]，
所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．故答案
为：③．
24．【解析】(1) 甲乙两人组成“星队”参加猜成
语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，
甲、乙第一轮猜对的概率都为1
2 ，甲如果第k(k ∈
N *) 轮猜对，则他第k + 1 轮也猜对的概率为2
3 ，
第k 轮猜错，则他第k + 1 轮也猜错的概率为2
3 ，
乙如果第k 轮猜对，则他第k + 1 轮也猜对的概率
为1
3 ，
第k 轮猜错，则他第k + 1 轮也猜错的概率为1
3 ，
在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响设A i =
“甲在第i 轮活动中猜对成语”，
Bi = “乙在第i 轮活动中猜对成语”，Ci = “甲
乙在第i 轮活动中都猜对成语”，(i = 1 , 2)，
则P(C2) = P(A1A2)P(B1B2) + P(A1
A2)P(B1B2) + P
(A1A2)P(B1
B2) + P(A1
A2)P(B1
B2)
= 1
2 × 2
3 × 1
2 × 1
3 + 1
2 × 1
3 × 1
2 × 1
3 + 1
2 × 2
3
× 1
2 × 2
3 + 1
2 × 1
3 × 1
2 × 2
3 = 1
4 ；
(2) 由题意知X = 0，1，2，由(1) 知P(X = 2) =
1
4
，P ( X = 0 ) =
1
2 × 2
3 + 1
2 × 1
3
×
1
2 × 2
3 + 1
2 × 1
3
= 1
4 ，
P(X = 1) = 1 - 1
4 - 1
4 = 1
2 ，故X 的信息熵H =
- 1
4 log2 1
4 + 1
2 log2 1
2 + 1
4 log2 1
4
= 3
2 ；
(3) 设第k(k = 1，2，3n) 轮甲猜对的概率为Pk，
乙猜对的概率为Qk，Pk+1 = 2
3 Pk + 1
3 (1 - Pk) =
1
3 Pk+ 1
3 ，Pk+1- 1
2 = 1
3
Pk- 1
2
，
∵P1 = 1
2 ，∴P1 - 1
2 = 0，∴Pk - 1
2 = 0，即Pk =
1
2 ，Qk+1 = 1
3 Qk + 2
3 (1 - Qk) =- 1
3 Qk + 2
3 ，
Qk+1- 1
2 =- 1
3
Qk- 1
2
，
∵Q1 = 1
2 ，∴Q1 - 1
2 = 0，即Qk = 1
2 ，∴每一轮
至少有一人猜对的概率为1 - 1
2 × 1
2 = 3
4 ，
∴Y ∼B n, 3
4
，则E(Y) = 3
4 n．
25．【解析】(1) 当λ ≥20 时，泊松分布可以用正
态分布来近似，
当λ ≥50 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此
时可认为X ∼N(λ , λ)．∵X ∼P(81)，81 ≥50，
∴泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X
∼N(81 , 81)，即μ = 81，σ = 9．
∴P(90 < X < 99) = P(μ + σ < X < μ + 2σ)，
由P(μ - σ < X < μ + σ) ≈0.6827，P(μ - 2σ < X
< μ + 2σ) ≈0.9545，得：
P
(
μ
+
σ
<
X
<
μ
+
2
σ
)
=
P(μ-2σ<X<μ+2σ)-P(μ-σ<X<μ+σ)
2
≈
0.9545-0.6827
2
= 0.1359，
即P(90 < X < 99) = P(μ + σ < X < μ + 2σ) ≈
0.1359．
(2)X ∼B(n , p)，当p ≤0.05 且n ≥20 时，二项分
布可近似看作泊松分布，
即P(X = k) = C k
npk(1 - p)n-k ≈λk
k! e-λ , k ∈N ，其
中λ = E(X)．
某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件
是否为次品相互独立，记X 为产品中的次品数，
(i) 由题意知n = 1000，p = 0.003，且X ∼B(1000 ,
0.003)，
又n = 1000 ≥20，p = 0.003 ≤0.05，所以二项分
布可近似看作泊松分布，∴λ = E(X) = np = 3，
∴P(X = 2) ≈32
2! e-3≈9
2 × 0.05 = 0.225，∴这
1000 件产品中恰有2 件次品的概率为0.225．
(
ii
)
∵
P
(
X
=
i
)
最
大
，
∴
P(X=i)≥P
(X=i+1)
P(X=i)≥P
(X=i-1)
，即
3i
i! e-3≥
3i+1
(i+1)! e-3
3i
i! e-3≥
3i-1
(i-1)! e-3
，
·304·
解得2 ≤i ≤3，
又i ∈N，∴P(X = i) 最大时的i 值为2 或3．
26．【解析】(1) 小明从甲口袋有放回地摸出一个
球，摸出白球的概率为
2
4+2 = 1
3 ，
从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率
为
2
2+2 = 1
2 ．
(i) 设“小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球”为事
件A，则“小明4 次摸球中，摸出的都是红球”为
事件A，且P(A) = 1- 1
3
2
× 1- 1
2
2
= 1
9 ，所
以P(A) = 1 - P(A) = 1 - 1
9 = 8
9 ．
(ii)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由(i)，得P(X = 0) = P(A) = 1
9 ，P(X = 1) = C 1
2
×
1- 1
3
× 1
3 ×
1- 1
2
2
+
1- 1
3
2
× C 1
2 ×
1- 1
2
× 1
2 = 1
3 ，
P(X = 2) =
1
3
2
× 1- 1
2
2
+ 1- 1
3
2
×
1
2
2
+
C 1
2 × 1- 1
3
× 1
3 × C 1
2 × 1- 1
2
× 1
2 = 13
36 ，P
( X = 3 ) =
1
3
2
× C 1
2 ×
1- 1
2
× 1
2 + C 1
2 ×
1- 1
3
× 1
3 ×
1
2
2
= 1
6 ，P(X = 4) =
1
3
2
×
1
2
2
= 1
36 ，
所以E(X) = 0 × 1
9 + 1 × 1
3 + 2 × 13
36 + 3 × 1
6 + 4
× 1
36 = 5
3 ．
(2) 由m = n，可视为小明从甲口袋中有放回地摸
出一个球，连续摸4 次，相当于4 次独立重复试
验，
设小明每次摸出一个红球的概率为k(0 < k < 1)，
则P(k) = C3
4k3(1 - k) = 4(k3- k4)．
因为P'(k) =-16k2 k- 3
4
，
所以当0 < k < 3
4 时，P'(k) > 0；当3
4 < k < 1
时，P'(k) < 0，
所以P(k) 在区间0, 3
4
上单调递增，在区间
3
4 ,1
上单调递减，所以当k = 3
4 时，P(k) 最
大，
此时k =
m
m+2 = 3
4 ，解得m = 6，故当m = 6
时，P 最大．
27．【解析】(1) 当μ = 0，σ = 10 时，P(|X| <
19.6) = 0.95，
故P(|X| ≥19.6) = 1 - 0.95 = 0.05，即任意一件产
品是不合格的概率为0.05；
(2) 记ξ 为不合格产品的数量，则ξ = 0，1，…，
40，且ξ ∼B(40 , 0.05)，
因为40 > 20，且0.05 < 0.1，故P(ξ = k) ≈λke-λ
k!
，
k = 0，1…40，
其中λ = E(ξ) = np = 40 × 0.05 = 2，故P(4 ≤ξ ≤
40) = 1 - P(ξ = 0) - P(ξ = 1) - P(ξ = 2) - P(ξ = 3)
≈1 - e-λ - λe-λ - λ2e-λ
2!
- λ3e-λ
3!
= 1 - 1
e2 - 2
e2 -
2
e2 -
4
3e2 ≈0.14，故这批产品不合格的概率为
0.14．
28．【解析】(1) 记：事件A = “患流感”，事
件A= “未患流感”，P(A) = 0.5228，
事件B = “接种疫苗”，事件B= “未接种疫
苗”，则P(B) = 0.95，P(B) = 0.05，P(A|B) =
0.55，
由已知可得：A = AB + AB，P(A) = P(AB) + P
(AB) = P(A|B)P(B) + P(A|B)P(B)，
0.5228 = 0.05 ⋅P(A|B) + 0.55 × 0.95，所以P(AB)
= 0.006，
即现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，这人患
病的概率为0.006．
(2) ①由已知：当n ≥100 且p ≤0.01 时，二项分布
近似于泊松分布np = 6，1000 × 0.3% = 3，
设1000 人中患流感的人数为Y 人，则Y = 0，1，
2，
P(Y = 0) = e-6，P(Y = 1) = 6e-6，P(Y = 2) =
18e-6，P(Y < 3) = e-6+ 6e-6+ 18e-6≈0.0625；
②由题意得：P(X = i + 1) = e-66i+1
(i+1)! ，P(X = i)
= e-66i
i!
，所以，P(X=i+1)
P(X=i)
=
6i+1
(i+1)! ⋅i!
6i =
6
i+1 ，
当i < 5 时，P(X=i+1)
P(X=i)
> 1 , P(X = i) 随i 的增大
·305·
而增大，
当i > 5 时，P(X=i+1)
P(X=i)
< 1 , P(X = i) 随i 的增大
而减小，
当i = 5 时，P(X=i+1)
P(X=i)
= 1，所以X = 5 或X =
6 时，P(X = i) 最大．
11.4 成对数据的统计分析
1．【解析】由表格数据可知y 随增加为增加，所
以b> 0，而A、B 选项中b< 0，故A、B 错误；
线性回归直线必过样本中心点(x, y)，计算得x=
2+3+4+5+6
5
= 4 , y= 2+4+6+8.5+11.5
5
=
32
5 ，
将(x, y) 代入回归方程y= bx + a得32
5 = 4b+ a，
进一步转化得20b+ 5a= 32，故C 正确，D 错误．
故选：C．
2．【解析】对于A，y= 2+4+5.5+9+7
5
=
27.5
5
= 5.5，x= 1+2+3+4+5
5
= 3，将(3 , 5.5)
代入y= ax + 1，
所以5.5 = a× 3 + 1，解得a= 1.5，故A 错误；
对于B，将y 由小到大的排列为2，4，5.5，7，
9，而40% × 5 = 2，
故y 的40% 分位数为4+5.5
2
= 9.5
2
= 4.75，故B
错误；
对于C，由A 中计算可得y= 1.5x + 1，故当x = 6
时，y = 10，故C 正确；
对于D ，设原数据的相关系数为r 1 ，则r 1 =
5
i=1
(xi-x)(yi-y)
5
i=1
(xi-x)2
5
i=1
(yi-y)2
=
15
10×
29 ，
删除样本中心后，设剩余的样本点为(ui，vi)，i
= 1，2，3，4，如下表：
u
1
2
4
5
v
2
4
9
7
则v= 2+4+9+7
4
= 5.5，u= 1+2+4+5
4
= 3，
该组数据对应的相关系数为r 2 ，则r 2 =
4
i=1
(vi-v)(ui-u)
4
i=1
(vi-v)2
4
i=1
(ui-u)2
=
15
10×
29 ，
故r1= r2，故D 错误．故选：C．
3．【解析】独立性检验的原假设H0为感染与形成
抗体无关．当显著性水平α = 0.05 时，对应的临界
值为3.841，
计算得χ2 ≈0.057 < 3.841，因此接受原假设．故
选：D．
4．【解析】根据题意可知，1.1 = 0.5 × 4.04 + m，
解得m =-0.92，因此z = 0.5x - 0.92，
由y = aekx 两边取对数，得lny = kx + lna，又z =
lny，
所以k = 0.5，lna =-0.92，又因为ln0.4 ≈-0.92，
所以a ≈0.4．故选：D．
5．【解析】根据题意可知，经验回归方程为y=
3x + 1，且x= 1，
根据回归直线过样本中心点(x, y)，代入得：y=
3 × 1 + 1 = 4，
所以原10 个样本的y 值总和为：10 × y= 10 × 4 =
40，
去掉(1 , 13) 后，剩余9 个样本的x 值总和为：10
× 1 - 1 = 9，y 值总和为：40 - 13 = 27，
因此新的样本中心点为：(1 , 3)，因为新的经验回
归方程为y= bx + 2，回归直线必过新的样本中心
点(1 , 3)，代入得：3 = b× 1 + 2，解得：b= 1．
故选：A．
6．【解析】由线性回归方程的性质，知回归直线
y= 2x - 6 恒过点(x, y)，
因为y1 + y2 + y3 + ... +y12 = 24，所以y= 2，所以
2 = 2x- 6，解得x= 4，
所以x1+ x2+ ... +x12 = 12x= 48．故选：D．
7．【解析】A 选项，因为7 × 80% = 5.6，所以第
80 百分位数是8，故A 选项正确；
B 选项，根据线性回归直线的定义，线性回归直线
y = ax + b一定经过样本点的中心(x, y)，故B 选
项正确；
C 选项，两个随机变量相关系数r 的绝对值越小，
表明两个变量相关性越弱，故C 选项错误；
D 选项，根据残差意义可知，两个模型中残差平方
·306·
和越小的模型拟合的效果越好，故D 选项正确．
故选：C．
8．【解析】①回归直线y= bx + a恒过点(x, y)，
但不一定过样本点，故①错误；
②根据2 × 2 列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，
而P(χ2 ≥6.635) ≈0.01，则有99% 的把握认为两
个分类变量有关系，
即有1% 的可能性使得“两个分类变量有关系”的
推断出现错误，故②正确；
③若决定系数R2 越大，则说明模型拟合的效果越
好，故③正确；
④由正态分布的对称性知，P(ξ ≤-3) = P(ξ ≥5)
= 1 - P(ξ ≤5) = 0.19，故④正确．故选：A．
9．【解析】对于A，因为经验回归方程为y=
0.14x - 0.33，斜率为0.14 > 0，
所以y 随着x 的增大而增大，即y 与x 正相关，故
A 正确；
对于B，由题意可知，y= 0.1+0.2+0.4+0.5
4
=
0.3，
因为经验回归方程y= 0.14x - 0.33 过样本中心点
(x, y)，
所以0.3 = 0.14x- 0.33，解得x= 4.5，
所以x= 3+4+5+m
4
= 4.5，解得m = 6，故B 正
确；
对于C，当x = 3 时，预测值y= 0.14 × 3 - 0.33 =
0.09，实际值为0.1，
所以残差= 0.1 - 0.09 = 0.01 ≠-0.01，故C 错误；
对于D，经验回归方程为y= 0.14x - 0.33，斜率
为0.14 > 0，
所以样本的相关系数r > 0，故D 错误．故选：
AB．
10．【解析】A．因为ξ ∼N(0 , 1)，且P(ξ > 1) =
p，所以P(-1 ≤ξ ≤0) = 1-2P(ξ>1)
2
= 1
2 - p，
所以A 选项正确；
B．因为一组样本数据(xi，yi) (i = 1，2，3，n)
对应的样本点都在直线y =-2x + 3 上，所以这组
样本数据的相关系数r 为-1，所以B 选项正确；
C．由y = cekx 两边取自然对数得lny = ln(cekx) =
kx + lnc，求得线性回归方程为z= 0.3x + 4，
所以k = 0.3，lnc = 4，则c = e4，所以C 选项错
误；
D．对分类变量X 与Y 的独立性检验的统计量χ2
来说，χ2 值越大，判断“X 与Y 有关系”的把握
性越大，所以D 选项错误．故选：AB．
11．【解析】因为y= 0.32x + 1.54 的斜率为正数，
所以变量y 与x 正相关，所以A 选项正确；
根据题意易得x= 3，y= 1.8+2.2+t+2.8+3.1
5
= 9.9+t
5
，又回归直线方程经过样本中心(x, y)，
所以9.9+t
5
= 0.32 × 3 + 1.54，解得t = 2.6，所以
B 选项正确；
将样本数据y 的数据排序为：1.8，2.2，2.6，
2.8，3.1，
又5 × 1
4 = 1.25 < 2，则样本数据y 的下四分位数
为第2 个数据2.2，所以C 选项错误；
当x = 8 时，y= 0.32 × 8 + 1.54 = 4.1，所以y 的预
测值为4.1 万元，所以D 选项正确．
故选：ABD．
12．【解析】对于选项A：两点分布的方差公式为
D(X) = p(1 - p) (其中p 为成功概率)，
将其视为关于p 的二次函数f(p) =-p2+ p，开口向
下，顶点在p = 1
2 处，
此时方差最大值为1
4 ，故选项A 正确；
对于选项B : 10 件产品中有3 件次品，从中抽取2
件进行检查，
设查得次品数为X，则X 服从超几何分布，
其中N = 10(产品总数)，M = 3(次品数)，n = 2
(抽取的产品数)，
根据超几何分布的均值公式E(X) = n ⋅M
N ，可得
E(X) = 2 × 3
10 = 0.6，故选项B 正确；
对于选项C：根据独立性检验的统计量χ2 的计算
公式为χ2 =
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (其中n = a
+ b + c + d 为样本量)，若所有数据扩大10 倍，
则新数据为a' = 10a，b' = 10b，c' = 10c，d' =
10d，n' = 10n，
代
入
公
式
得
：
χ'
2
=
·307·
10n⋅(10a⋅10d-10b⋅10c)2
(10a+10b)(10c+10d)(10a+10c)(10b+10d)
=
10χ2，
所以统计量的值变为原来的10 倍，结论会改变，
故选项C 错误；
对于选项D：已知χ2 = 8.612，χ2
0.001 = 10.828，因
为χ2= 8.612 < χ2
0.001= 10.828，
所以依据α = 0.001 的独立性检验，可判断X 与Y
独立，故选项D 正确．故选：ABD．
13．【解析】将x= 8，y= 5 代入经验回归方程y
= bx + 7.4，得5 = 8b+ 7.4，解得b=-0.3，
由f = cW k，得lnf = ln(cW k) = lnc + lnW k = lnc
+ klnW，
因为xi = lnWi，yi = lnfi，所以k =-0.3．故答案
为：-0.3．
14. 【解析】当计算出的统计量χ2 大于给定显著性
水平α 对应的临界值时，
样本数据出现的概率小于α，属于小概率事件，
根据小概率原理，我们拒绝原假设H0，认为两个
变量之间存在显著关联，
本题中χ2 = 5.284 > 3.841，所以拒绝H0，即认为
两种操作方法对合格个数有影响．故答案为：拒
绝．
15．【解析】由题意根据平均数计算公式可得：x
=
10+20+30+40+50
5
=
30
，
y
=
53+65+71+76+85
5
= 70，
因为经验回归直线y= bx + a必过样本中心点(30 ,
70)，且b= 0.75，
则0.75 × 30 + a= 70，解得a= 47.5；即y= 0.75x
+ 47.5，当x = 60 时，则y= 0.75 × 60 + 47.5 =
92.5，
故加工的零件个数为60 时所花费的时间为
92.5min．故答案为：47.5；92.5．
16．【解析】根据题意，机器人经过的7 个点的横
坐标分别为-3，-2，-1，0，1，2，3，7 个点
的纵坐标分别为-2，m，-2，-1，0，1，2，
所以x= -3-2-1+0+1+2+3
7
= 0 ，y=
-2+m-2-1+1+2
7
= m-2
7
，
又因为这些点的一元线性回归方程是y = 11
14 x -
5
7 ，必过点(x, y)，
所以m-2
7
= 11
14 × 0 - 5
7 ，解得m =-3，即m 的
值为-3．故答案为：-3．
17．【解析】已知
20
i=1
xi = 400，
20
i=1
yi = 1560，故x
= 400
20 = 20，y= 1560
20
= 78，
故点(20 , 78) 在回归直线上，即78 = 20b- 2，得b
= 4，
即y= 4x - 2，当x = 28 时，代入计算得到y= 4 ×
28 - 2 = 110．故答案为：110．
18．【解析】(1) 根据题意可得x= 3，y= 9.5，
5
i=1
(xi - x) (yi - y) =
5
i=1
xiyi - 5xy= 147.86 - 5 × 3
× 9.5 = 5.36，
5
i=1
(xi - x)2 =
5
i=1
x2
i - 5x2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 - 5
× 9 = 10，
5
i=1
(yi - y)2= 2.9，
所以相关系数r =
5
i=1
(xi-x)(yi-y)
5
i=1
(xi-x)2
5
i=1
(yi-y)2
=
5.36
10×
2.9 ≈0.994，因为相关系数r 非常接近于
1，
所以合y 与x 的线性相关程度很高，所以可以用线
性回归模型型拟合y 与x 的关系；
(2) 由(1) 可得b=
5
i=1
(xi-x)(yi-y)
5
i=1
(xi-x)2
= 5.36
10
=
0.536，所以a= y- bx= 9.5 - 0.536 × 3 = 7.892，
所以y 关于x 的经验回归方程为y= 0.536x +
7.892，
又2026 年对应的年份代码x = 6，将其代入经验回
归方程y= 0.536x + 7.892 可得：
y= 0.536 × 6 + 7.892 = 11.108，所以预测2026 年
我国全口径发电量约为11.108 万亿千瓦时．
19．【解析】(1) 已知条件中的参考数据可得：
6
i=1
·308·
(xi - x) (yi - y) = 34，
6
i=1
(xi - x)2 = 28，
6
i=1
(yi -
y)2= 42，
所以样本相关系数r =
6
i=1
(xi-x)(yi-y)
6
i=1
(xi-x)2
6
i=1
(yi-y)2
=
34
28×42 =
17
7×
6 ≈
17
7×2.45 ≈0.99；
(2) 根据题意可得x= 9+13+11+15+10+14
6
=
12，y= 23+28+26+31+25+29
6
= 27，
所以b=
6
i=1
(xi-x)(yi-y)
6
i=1
(xi-x)2
= 34
28 = 17
14 ，所以a=
y- bx= 27 - 17
14 × 12 = 87
7 ，
所以百粒发芽数y 关于温差x 的经验回归方程为y
= 17
14 x + 87
7 ，所以当x = 17 时，y= 17
14 × 17 +
87
7 ≈33．
20．【解析】(1) 零假设H0：该市中学教师是否喜
欢使用AI 技术与年龄无关，
则χ2 = 120×(46×28-32×14)2
78×42×60×60
≈7.179 > 6.635，
依据小概率值α = 0.01 的独立性检验，我们推断
H0 不成立，即可以认为该市中学教师是否喜欢使
用AI 技术与年龄有关；
(2) 设事件A 表示“抽中喜欢使用AI 技术的教
师”，事件B 表示“抽中年龄超过45 岁的教师”，
所以P(A) = 78
120 = 13
20 ，P(AB) = 32
120 = 8
30 ，
所以P B|A)= P(AB)
P(A) = 16
39 ，
即在抽中喜欢使用AI 技术的教师的条件下，此人
年龄超过45 岁的概率为16
39 ．
21．【解析】(1) 依题意，P(A) = 4
6 = 2
3 , P
(AB) = 2
6 = 1
3 ，所以P(B|A) = P(AB)
P(A)
=
1
3
2
3
=
1
2 ．
( 2 ) 依题意y= 65+80+95+105+120+130
6
=
595
6
，x= 50+60+70+80+90+100
6
= 75，
则b=
6
i=1
xiyi-nx⋅y
6
i=1
x2
i -nx2
=
46900-6×75× 595
6
35500-6×752
=
2275
1750 = 13
10 ，a= y- bx= 595
6
- 13
10 × 75 = 5
3 ，
因此y= 13
10 x + 5
3 ，
当x = 110 时，y= 13
10 × 110 + 5
3 ≈145，所以估
计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145
分．
·309·
12 复数
1.【解析】选C．∵复数1 + i5 = 1 + i，故它的虚
部为1．
2.【解析】选B．a = 0，b ≠0 时，复数a + bi(a ,
b ∈R) 为纯虚数，故a = 0，不能推出复数a + bi(a
, b ∈R) 为纯虚数；复数a + bi(a , b ∈R) 为纯虚数，
则a = 0，b ≠0，故复数a + bi(a , b ∈R) 为纯虚数
可推出a = 0 故a = 0 是复数a + bi(a , b ∈R) 为纯
虚数的必要不充分条件
3.【解析】选B．∵a + 3i = (b + i)i =-1 + bi，
a，b ∈R，∴a =-1，b = 3，
4.【解析】选D．∵z = i(2 + i) =-1 + 2i，∴z=
-1 - 2i，
5.【解析】选C．∵z = 2 - i，∴z(z+ i) = (2 - i)
(2 + i + i) = (2 - i) (2 + 2i) = 4 + 4i - 2i - 2i2 = 6 +
2i．
6.【解析】选D．由i(1 - z) = 1，得1 - z = 1
i =
-i
-i2 =-i，∴z = 1 + i，则z= 1 - i，∴z + z= 1
+ i + 1 - i = 2．
7.【解析】复数z = 1 + i，则(z + 2)i = (1 + i + 2)i
= 3i + i2=-1 + 3i．故选：A．
8.【解析】对于A，取z = 2i，|z| = 2，而z2 = (2i)
2=-4，故A 错误；
对于B，设z1 = a + bi，由z1 = z2
= a + bi，可得z2
= a - bi，则z2= a - bi = z1
，故B 正确；
对于C，取z1 = a + bi，z2 = c + di，a，b，c，d
属于R，
则
z1
z2
=
a+bi
c+di
=
(a+bi)(c-di)
(c+di)(c-di)
=
|(ac+db)+(bc-ad)i|
c2+d2
=
(ac+bd)2+(bc-ad)2
c2+d2
=
a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
c2+d2
，
又
|z1|
|z2|
=
a2+b2
c2+d2
=
(a2+b2)(c2+d2)
c2+d2
=
a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
c2+d2
，
所以z1
z2
= |z1|
|z2| ，故C 正确；对于D，取z = 0，
则z + z= 0，但z 不是纯虚数，故D 错误．
故选：BC．
9.【解析】z = 1-i
1+i + 2i = (1-i)(1-i)
(1-i)(1+i) + 2i =-i
+ 2i = i，则|z| = 1．故选：C．
10.【解析】解：z =
3 + ai，则z=
3 - ai，又
|z| = 2，则3 + (-a)2= 4，
解得a =±1，a 的值为1 或-1．故选：B．
11.【解析】选A．∵2-i
1-3i = (2-i)(1+3i)
(1-3i)(1+3i) =
2+6i-i-3i2
12+(-3)2
= 5+5i
10
= 1
2 + 1
2 i，
∴在复平面内，复数2-i
1-3i 对应的点的坐标为
1
2 ，1
2
，位于第一象限．
12.【解析】选C．设z = a + bi(a , b ∈R)，∵|z|
= 2，∴a2 + b2 = 4，该方程表示以(0 , 0) 为圆心，
2 为半径的圆，∵|z - 3 - 4i| = |(a - 3) + (b - 4)|
=
(a-3)2+(b-4)2 表示圆上的点到点(3 , 4) 的距
离，∴|z - 3 - 4i| 的最大值为
(0-3)2+(0-4)2 +
2 = 7．
13.【解析】选AD．对于A，i + i2 + i3 + i4 = i - 1
- i + 1 = 0，故A 正确；
对于B，两个虚数不能比较大小，故B 错误；
对于C，z = (1 + 2i)2 =-3 + 4i，则复数z 对应的
点(-3 , 4) 位于第二象限，故C 错误；
对于D，设z = a + bi，(a , b ∈R)，∵|z - 2i| =
3，∴a2 + (b - 2)2 = 9，表示以(0 , 2) 为圆心，3 为
半径的圆，故D 正确．
14.【解析】选A．复数z =
3
2
+ 1
2 i = cos π
6 +
isin π
6 ，∴复数z =
3
2
+ 1
2 i 的辐角主值为π
6 ．
15.【解析】选C．对于A，|z| =
cos2θ+sin2θ
= 1，故A 错误，
对于B，z2 = (cosθ + isinθ)2 = cos2θ + isin2θ，
故B 错误，
对于C，z ⋅z= cos2θ + sin2θ = 1，故C 正确，
对于D，z + 1
z = cosθ + isinθ +
1
cosθ+isinθ =
cos θ + i sin θ +
cosθ-isinθ
(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ) =
2cosθ，故D 错误．
16.【解析】复数z = 1
2 +
3
2 i = cos π
3 + isin π
3 ，
·310·
所以
z
17
+
z
=
z ( z
16
+
1 )
=
cos π
3 +isin π
3
cos 16π
3
+isin 16π
3
+1
，
而cos 16π
3
+ isin 16π
3
+ 1 = cos 4π
3 + isin 4π
3 + 1
= 1
2 -
3
2 i = cos 5π
3 + isin 5π
3 ，
所以z17 + z = cos π
3 +isin π
3
cos 5π
3 +isin 5π
3
= cos2π + isin2π = 1．故答案为1．
17.【解析】(1) 因为α, β∈Pn , n ≥3 , n ∈N * , α
= (1 ,-1 , 1 , 1 ,⋯, 1) , β= (-1 , 1 , 1 ,⋯, 1)，所以α
+ β= (0 , 0 , 2 , 2 ,⋯, 2)，
①||α+ β|| =
22+22+⋯22 = 2 n-2，
②因为α⋅(α+ β) = 2(n - 2)，||α|| =
n ，所以
cosθ =
α⋅β
||α||⋅||β||
=
2(n-2)
n×2 n-2 =
n(n-2)
n
．
(2) 证明：任取ai
, aj
，i，j ∈{1，2，k}，计算内
积ai
⋅bj
= 120,i=j
0,i≠j
，设这些内积之和为S，
则S = a1
2 + a2
2 +⋯+ak
2 = 120k，设a1
, a2
,⋯ak
的
第i 个分量之和为ci，
又因为ai
⊥aj
(i ≠j)，故(a1
+ a2
+⋯+ak
)2 = a1
2 +
a2
2+⋯+ak
2，所以c2
1 + c2
2+⋯+c2
120 = 120k
又S = c2
1 + c2
2+⋯+c2
120 ≥c2
1 + c2
2+⋯+c2
m = k2m，
所以120k ≥k2m，即km ≤120 < 121，所以
km
< 11．
18.【解析】(1) 因为a= (i , 1 + i)，b= (2 , 2 - i)，
所以a+ b= (2 + i , 3)，
a⋅b= 2i + (1 + i) (2 + i) = 1 + 5i．
(2) 设a= (z1 , z2) , b= (z3 , z4) , c= (z5 , z6)，z1，
z2，z3，z4，z5，z6，λ ∈C，
则a⋅b= z1z3
+ z2z4
，b⋅a= z3z1
+ z2z4
，故①不成
立，b+ c= (z3 + z5 , z4 + z6)，a⋅b= z1z3
+ z2z4
，
a⋅c= z1z5
+ z2z6
，a⋅(b+ c) = z1z3+z5
+ z2z4+z6
，
因为z3+z5
= z3
+ z5
，z4+z6
= z4
+ z6
，
所以a⋅(b+ c) = z1(z3
+ z5
) + z2(z4
+ z6
) = z1z3
+
z1z5
+ z2z4
+ z2z6
= z1z3
+ z2z4
+ z1z5
+ z2z6
= a⋅b+
a⋅c，故②正确；λa= (λz1 , λz2) , λb= (λz3 , λz4)，
(λa) ⋅b= λz1z3
+ λz2z4
，a⋅(λb) = z1λz3
+ z2λz4
，
设λ = a + bi，z3= c + di，a，b，c，d ∈R，
则λz3 = (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i，
λz3
= (ac - bd) - (ad + bc)i，
λz3
= (a + bi) (c - di) = (ac + bd) - (ad - bc)i，所
以λz3
≠λz3
，故(λa) ⋅b≠a⋅(λb)，即③错误；
(3) 设满足条件的b= (z1 , 2z1 + 1) , c= (z2 , 2z2 +
1)，z1，z2∈C，
则a- b= (2i - z1 ,-2z1) , b- c= (z1 - z2 , 2z1 -
2z2)，因为z1 - z2 为任意的复数，不妨设z3 = z2 -
z1 且z3 ∈C，由定义可得(2i - z1)z3
+ (-2z1) × 2z3
= 0，即(5z1- 2i)z3
= 0，则5z1- 2i = 0，
所以z1= 2
5 i，则b0
=
2
5 i, 4
5 i+1
，
以下证明对任意的b∈Ω，不等式|a- b| ≥|a- b0
|
恒成立，只需计算|a- b| 的最小值，
不妨令b= (m + ni , 2m + 1 + 2ni)，则a- b= (
-m - (n - 2)i ,-2m - 2ni)，
则|a- b| =
[-m-(n-2)i][-m+(n-2)i]+
(-2m-2ni)(-2m+2ni)
=
m2+(n-2)2+(2m)2+4n2
=
5m2+5n2-4n+4，
当m = 0 ，n = 2
5 时取得最小值，此时b=
2
5 i, 4
5 i+1
与之前得到的b0
相同，结论得证；
推广结论：对于任意复向量a∉Ω，b∈Ω，若对于
任意的c∈Ω，
当且仅当(a- b) (b- c) = 0 时，|a- b| 取到最小
值．
·311·
