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2026年高考数学8+3+3+1强化训练（27）【解析】
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，若 含有4个元素，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】根据集合元素的互异性可知， ， .
因为 含有4个元素，所以 仅含有1个元素，
若 ，则 或 ，所以 或 .
若 ，则 .结合集合元素的互异性可知 或 .
当 时， ， ， ，符合题意.
当 时， ， ， ，不符合题意.
综上， .
故选：B.
2.3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】B
【解析】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有 种，再2名女生插空有 种；
第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有 种，再2名女生插空有 种，
故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有 （种）.
故选：B.
3．“ ”是“函数 的图象关于 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数 的图象关于 对称，则 ，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 的图象关于 对称”的充分不必要条件.
故选：A.
4.下列四个条件中，使 成立的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于AB，取 ，都满足 ，而 不成立，
因此 都不是 成立的充分条件，AB不是；
对于C， ，因此 是 成立的充分不必要条件，C不是；
对于D， ，因此 是 成立的充要条件，D是.
故选：D
5.在平面内，某质点在三个力 的作用下恰好处于平衡状态，其中 ，则 在 上的投
影向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为三个力 的作用下恰好处于平衡状态，所以 ，
设 ，根据向量的坐标运算， ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 在 上的投影向量的坐标为 .
故选：B.6.若双曲线 的一个焦点到两渐近线的距离之和为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意作出图象如图所示，则 ，渐近线方程为 ，
则焦点 到两渐近线的距离之和 ，
结合 化简得 ，故离心率 .
故选：C.
7.已知 ，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：设 ，所以
令 ，则 ，此时 ，A有可能；
令 ，则 ，此时 ，C有可能；
令 ，则 ，此时 ，D有可能；
故选：B．
法二：设 ，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数 的图象，以上方程的根分别是函数 的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着 的变化可能出现： ， ， ， ，
故选：B．8．已知函数 ， ，若对任意的 恒成立，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，即 ，
设 ，则 在 上单调递增，
即 上恒成立，则 恒成立，即 ，
设 ，则 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 .
故选：B.
二、多选题
9．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示
的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ）
A． 对应矩形的高度为
B．样本众数估计值为75
C．样本平均数估计值为
D．样本成绩的第70百分位数落在 内
【答案】ABC
【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，
C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在 的频率和 的频率，可得到70百分位数的范围.
【解析】设 对应矩形的高度为 ，则 ，
解得 ，A选项正确；由图可知， 的数据最多，众数的估计值为 ，B选项正确；
平均值为： ，C选项正确；
样本数据 的频率为 ，
样本数据 的频率为 ，
故样本成绩的第70百分位数落在 内，D选项错误.
故选：ABC.
10．已知向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 在 上的投影向量为
C． 与 夹角的余弦值为 D．若 与 垂直，则实数
【答案】AC
【解析】对A， ，则 ，故A正确；
对B， 在 上的投影向量为 ，故B错误；
对C， 与 夹角的余弦值为 ，故C正确；
对D， ，若 与 垂直，
则 ，解得 ，故D错误.
故选：AC.
11.将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小正周期为B． 在 上只有一个零点
C． 在 上单调递增
D．点 是 图象的一个对称中心
【答案】BD
【解析】将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，
可以得到 ，再将所得图象向右平移 个单位长度，
可得到函数 的图象．
对于A选项，函数 的最小正周期为 ，A选项错误；
对于B选项， ， ， 解得 ，
只有一个零点，B选项正确；
对于C选项， ， ，而 在 上不单调，
故 在 上并不单调，C选项错误；
对于D选项， ，D选项正确．
故选：BD.
三、填空题
12．在 的展开式中， 的系数为______．（用数字作答）
【答案】【解析】二项式 的展开式第 项为 ，
令 得 ， ，即 的系数为 .
故答案为：
13．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表：
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
并由表中数据求得y关于x的回归方程为 ，若a，b，c成等差数列，则 _________．
【答案】3
【解析】由题意得 ，代入回归方程 得 ，
则 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故答案为：3
14.已知函数 （ ），若曲线 关于点 中心对称，则 的最小值为
__________.
【答案】 .
【解析】由正切函数性质可知，函数 的对称中心为 ，
因为曲线 关于点 中心对称，
所以 ，即
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，故 .
故答案为： .四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在 中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
(1)求A的值；
(2)若点D在AC上， 且 ，求 的面积．
【答案】(1) ;(2)
【分析】（1）利用三角形内角和定理，结合正弦定理边化角，即可求角A；
（2）利用同角公式求正弦值，再结合正弦定理求出 ，然后再根据正弦的和差角公式求解
，即可由面积公式求解.
【解析】（1）由三角形内角和定理可知： ，
再由 ，利用正弦定理边化角得：
，
因为 ，所以有 ，则 ；
（2）
由 ，在 中，可得 ，
再由正弦定理得： ，，
所以 的面积 .
