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专题12 函数与方程
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题12 函数与方程
命题解读
命题预测
复习建议
函数与方程是高考的一个考
点，求方程的根、函数的零
点的个数问题以及零点存在
性定理判断零点是否存在都
是考试的出题方向.备考时应
理解函数的零点，方程的根
和函数图象与x 轴的横坐标
的等价性.
预计2024 年的高考函数与方
程还是一个重要的考点，在
此部分要注意第一函数零点
个数以及所在区间的判断方
法，第二由函数的零点求参
数的取值范围.
集合复习策略：
1.理解函数与方程的根和函
数图象与x 轴的横坐标的等
价性；
2.掌握判断函数零点的个数
方法；
3.掌握函数零点求参数的取
值范围.
→➊考点精析←
一、函数零点个数及零点所在区间
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0 的实数x 叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.等价关系
方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0 那么函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0 的根.
二、函数的零点求参数的取值范围
已知函数的零点求参数的值或取值范围方法：直接法、分离参数法、数形结合法.
→➋真题精讲←
1.（2023 全国甲卷理科10）函数
的图象由函数
的图象向左平
移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
2
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【分析】先利用三角函数平移的性质求得
，再作出
与
的
部分大致图像，考虑特殊点处
与
的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
，所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
3
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所以由图可知，
与
的交点个数为
.
故选：C.
2.（2023 全国乙卷理科16）设
，若函数
在
上单调递
增，则a 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】原问题等价于
恒成立，据此将所得的不等
式进行恒等变形，可得
，由右侧函数的单调性可得实数
的二次不
等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒
成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
4
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3. （2023 天津卷15）若函数
有且仅有两个零点，则
的取
值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断
的
取值范围．
【详解】（1）当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
（2）当
时，
，
即
，
若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根
，则
，即
；
5
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若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求
出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
4.（2023 北京卷20） 设函数
，曲线
在点
处的切线方
程为
．
（1）求
的值；
（2）设函数
，求
的单调区间；
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（3）求
的极值点个数．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）3 个
【解析】
【分析】（1）先对
求导，利用导数的几何意义得到
，
，从而得
到关于
的方程组，解之即可；
（2）由（1）得
的解析式，从而求得
，利用数轴穿根法求得
与
的解，由此求得
的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间
，
，
与
上
的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得
的极值点个数.
【小问1 详解】
因为
，所以
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
【小问2 详解】
由（1）得
，
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则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
【小问3 详解】
由（1）得
，
，
由（2）知
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
，即
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
在
上单调递减，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
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单调递减；
所以
在
上有一个极大值点；
当
时，
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
，
所以
，则
单调递增，
所以
在
上无极值点；
综上：
在
和
上各有一个极小值点，在
上有一个极大值点，共
有
个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3 小题的解题关键是判断
与
的正负情况，充分
利用
的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
→➌模拟精练←
1．（2023·重庆·统考三模）已知函数
，
，
．
(1)求曲线
在x＝1 处的切线方程；
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(2)求使得
在
上恒成立的k 的最小整数值．
【答案】(1)
(2)
的最小整数值为2
【详解】（1）曲线
，
，
当
时，
故切线方程为
，整理得：
.
（2）先设
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减.
所以
，故
.
令
，有
，
，易知
在
上
单调递增，令
，有
.
有
=
.
由
，故
，
所以
，
所以
.
故符合条件的
的最小整数值为2.
2．（2023·山西晋中·统考三模）
．
(1)讨论
的单调性；
(2)
，若
有两个极值点
，且
，试求
的最
大值．
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【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意得
，
令
，得两根为
和
．
当
时，令
，得
，令
，得
，
于是
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，令
，得
，令
，得
，
于是
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由题意得
，则
．
令
，则
有两个不等正根
，
于是
，且
，
，即
，
又
，于是
，且
．
则
，
令
，
则
．
令
，则
，于是
在
单调递增，在
单调递减，
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故
，
即
的最大值为
.
3．（2023·江苏南通·三模）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由
可得
，
故
，而
，
曲线
在
处的切线方程为
，
即
.
（2）设
在
处的切线斜率为k，
由（1）得
，
且
，故
在
处的切线方程为
，
设
，
则
，
，
设
，
因为
，所以
，仅在
时取等号，
故
在
上单调递增，且
，
故当
时，
，当
时，
，
故
，即
，
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分别令
，满足
，
则
，
令
，则
，
即
.
4．（2023·吉林·统考三模）已知函数
（e 是自然对数的底数），
．
(1)若函数
，求函数
在
上的最大值．
(2)若函数
的图象与直线
有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大
值为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得
，
，
，
令
，则
；令
，则
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
在
上的最大值为：
（2）证明：
的图像与直线
的三个公共点，且在
内相切，如
图所示，
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其切点为：
，
，此时公共点的横坐标最大，
当
时，
，
，
，
∴
，即
，
∴
，
故
.
另解：
∴
，
故
.
→➍专题训练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）将函数
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的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象．若
是函数
的一个极值点，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到
，利用平移变换得到
，再根据
是函数
的一个极值点，即当
时，函数
取得最值求解.
【详解】由
，化简得
，
所以
．
又
是函数
的一个极值点，
所以当
时，函数
取得最值，
所以
，
解得
．
因为
，
所以
．
故选：A．
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2．（2023·江苏·统考二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较
，构造函数
，
，利用导数判断函数的单调性，
再根据函数的单调性即可得解.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上递增，
所以
，即
，即
，
所以
，即
，
综上，
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造函数
，
，
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利用中间量
来比较
的大小是解决本题的关键.
3．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，且
，
，当
时，
，则
）=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得函数是奇函数也是周期函数，利用周期性和奇偶性，有
，代入已知解析式求解即可.
【详解】由
，有
，可得
，所
以
的周期为2.
令
，代
，可得
，所以
，故函数
为
奇函数，
所以
因为
，所以
，所以
.
故选：B
4．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数
．设s 为正数，则在
中（ ）
A．
不可能同时大于其它两个
B．
可能同时小于其它两个
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C．三者不可能同时相等
D．至少有一个小于
【答案】D
【分析】利用导数分析函数
的单调性和最值，并结合
的大小关系，通过赋值
或分类讨论分析判断.
【详解】∵
，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，且
，
对A：若
，则
，则
，A 错误；
对B、C：当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
；
综上所述：
不可能同时小于
，B、C 错误；
对D：构建
，则
当
时恒成立，
故
在
上单调递减，则
，
令
，可得
，则
，
故
，即
，使得
，
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反证：假设
均不小于
，则
，
显然不成立，假设不成立，D 正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：在比较
与
的大小关系时，通过构建函数
，结合导数分析判断.
5．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数
，
．下列说法正确的为（ ）
A．若
，则函数
与
的图象有两个公共点
B．若函数
与
的图象有两个公共点，则
C．若
，则函数
有且仅有两个零点
D．若
在
和
处的切线相互垂直，则
【答案】BCD
【分析】解方程得到A 错误，解方程得到
，解得B 正确，计算零点个数为2 得
到C 正确，根据斜率的关系得到
，D 正确，得到答案.
【详解】对选项A：
，故
（无解）或
，
，错误；
对选项B：
，故
或
，故
，
且
，解得
，正确；
对选项C：取
，则
，
，
，则
，
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设
，
在
上恒成立，
则
在
上单调递增，则
，故
，
，则
，
或
，正确；
对选项D：当
和
同时为正或者同时为负时不成立，
不妨设
，
，
，
，
则
，故
，正确.
故选：BCD
6．（2023·江苏·统考二模）已知函数
的图象是连续不间断的，函数
的图象关于点
对称，在区间
上单调递增.若
对任意
恒成立，则下列选项中
的可能
取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数
为
上单调递增，进而得到
，利用参变分离和的取值范围求出
的取值范围，进而求解.
【详解】由函数
的图象关于点
对称且在区间
上单调递增可得，函数
的图象关于
对称，函数
为
上单调递增，
由
可得，
，
20
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也即
，
则有
恒成立，即
因为
，所以
，
当
时，得到
恒成立；
当
时，则有
，
令
，则
，
因为函数
在
上单调递增，且
，
所以
，则
，所以BC 适合题意，AD 不合题意.
故选：BC.
7．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知经过点
的圆
的圆心坐标为
（为整数），且与直线
相切，直线
与圆
相交于
、
两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆
的标准方程为
B．若
，则实数的值为
C．若
，则直线
的方程为
或
D．弦
的中点
的轨迹方程为
【答案】BC
【分析】根据题意可得出关于的等式，结合
可求得的值，可得出圆
的方程，可判
断A 选项；分析可知直线
过圆心，求出的值，可判断B 选项；利用勾股定理结合点到
直线的距离求出的值，可得出直线
的方程，可判断C 选项；根据已知条件求出点
的
轨迹方程，可判断D 选项.
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【详解】对于A，设圆
的半径为，由题意可得圆
的方程为
（为整
数），
根据点
是圆
上的点，且圆
与直线
相切，则
，
所以，
，因为
，解得
，则
，
则圆
的标准方程为
，故A 错误；
对于B，由题意可知圆
的标准方程为
，圆心
，
点
在圆
上，且
，
线段
为圆
的一条直径，
直线
与圆
相交于
、
两点，
圆心
在直线
上，
，解得
，故B 正确；
对于C，由选项A 知圆
的半径为，圆心
，
则圆心
到直线
的距离
，
，即
，解得
，
，整理得
，解得
或
，
则直线
的方程为
或
，故C 正确；
对于D，直线
的方程可化为
，过定点
，
由圆的性质可得
，
点
的轨迹是以线段
为直径的圆，
则此圆圆心为线段
的中点，其坐标为
，半径为
，
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则该圆的方程为
，
由
解得
或
，
故弦
的中点
的轨迹方程为
，故D 错误；
故选：BC.
8．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知函数
.
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l 过点（0，1-e），求实数a 的值；
（2）当a＞0 时，若函数f（x）有且仅有3 个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
【详解】解：（1）
，
，
，则
与
连线斜率
，则
；
（2）由
,当
时，由
可得，
，此时
；
当
时，令
，则
，则
在
上为增函数，
因为
，
，故存在
，使得
，
当
时，
，则
；当
时，
，则
，
则函数
的增区间为
，减区间为
；
令
，有
，则
单调递增，有
，
又
，可得
，
有
，又由
，
故
在
上有且只有一个零点，因为
有且只有三个零点，必有
，
即
23
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，令
，
有
，可得
为减函数，由
，可得
时，
，有
，当
且
时，有
，
，故当
时，
若
有且只有三个零点，则实数
的取值范围是
.
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知
.
(1)若
，证明：
存在唯一零点；
(2)当
时，讨论
零点个数.
【答案】(1)见解析
(2)
有2 个零点，
【详解】（1）
，
，
由于
，所以
进而
，
所以
在
单调递减，
又
，所以
存在唯一零点
（2）
，
，则
，
，
当
时，
，
此时
在
单调递减，
， 所以
在在
没有零点，
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当
时，令
，
所以
在
单调递增，又
故当
时，
，故
在
单调递减，又
，
当
时，
，故
在
单调递增，因此当
时，
只有一个零点0，
当
时，
，所以
在
单调递减，
，
故
使得
，且当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，而
，
所以当
此时
无零点，当
，
只有一个零点，
综上可知：
时，
有2 个零点，
10．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数
.
(1)证明：函数
在
上有且只有一个零点；
(2)当
时，求函数
的最小值；
(3)设
，若对任意的
恒成立，且不等
式两端等号均能取到，求
的最大值.
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
(3)
【详解】（1）令
，得
，令
，
要证函数
在
上有且只有一个零点，
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即证
在
上有且只有一个零点.
因为
，所以函数
在
上单调递减，
由
，
，则
，
由零点存在性定理可知，函数
在
上有且只有一个零点.
故得证.
（2）对函数求导可得
，因为
，
所以当
时，显然
，则
；
当
时，令
，
，
因为
，
（令
，则
，所以
在
上
单调递增，则
，所以
，
）
所以当
时，
在
上单调递增，
故
，则
，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
（3）由（1）知，函数
在
上有且只有一个零点，
由（2）知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且当
，函数趋近于，
考虑到
，则
，则
，当
变大时，则
减小.
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要使
最大，则
，则
，且等号取到
与函数
相切，
设切点坐标为
，则
，
则有
，
即
，解得
，
（下面证明唯一性）
可化为，
，令
，
，函
数
在
上单调递减，
则
，
当
时，因为
时，恒有
，则
，
所以
，
当
时，因为
时，恒有
，则
，
所以
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为函数
的最小正周期为
，
所以函数
与
在
上有唯一的交点，
草图如下：
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故
，所以
的最大值为
.
11．（2023·安徽黄山·统考三模）已知函数
，
(1)试判断函数
在
上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小
值；若不存在，说明理由.
(2)设
，若
，证明：不等式
在
上恒成立.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知
，
则
，令
由于
，则
，所以函数
在
单调递减.
当
趋近于0 时，
趋近于正无穷，又
.
①当
，即
时，
，
则函数
在
单调递增，所以
在
上无极值.
②当
，即
时，则
在
上有唯一零点
.
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
是函数
的一个极大值点，且无极小值.
综上所述，当
时，函数
无极值；
当
时，函数
有极大值，但无极小值.
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（2）由题可知：
，且
.
由
可得
，
化简得
由于
且
，所以不等式
；
所以要证明原不等式成立；
只要证：
在
时恒成立.
只要证：
.
令
，则
令
，
则
，
在
为增函数，故
，
于是
，
在
为增函数，故
，
只要证：
（这里
），
下面先证明：
，
令
，则
.
在
为减函数，故
，即
，
只要证：
，
只要证：
，
令
，则
.
在
是单调递增，因此
，即
.
综上所述，原不等式成立.
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