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第07 讲用一元二次方程解决问题
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型一、传播问题
题型二、增长率问题
题型三、与图形有关的问题
题型四、数字问题
题型五、营销问题
题型六、动态几何问题
题型七、工程问题
题型八、行程问题
题型九、图表信息题
题型十、其他问题
题型十一、握手循环问题
题型十二、一元二次方程的生活实际问题
题型十三、一元二次方程中的最值问题
题型十四、一元二次方程的新定义问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
传播问题
增长率问题
营销问题
几何图形问题
工程问题
1.掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤与解题思路。
2.能准确提取题干等量关系，正确建立方程模型求解。
3.能结合实际情境检验并取舍方程的解，排除不合理解。
4.熟练解决增长率、面积、利润等常见一元二次方程实际题型。
5.提升数学建模能力，培养严谨规范的解题数学思维。
学习重点：找准题目中的等量关系，列出一元二次方程并规范求解应用题。
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学习难点：结合现实条件对方程的根进行取舍，处理面积、利润类综合问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 列一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题的步骤如下：
1.
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
2.
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
3.
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
4.
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
5.
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
6.
答(写出答案，切忌答非所问).
易错点：
1、审题建模错误：不能准确找出题目等量关系，列错方程，导致整体解题偏差。
2、忽略实际意义：解得的根未取舍，保留负数、超范围、不符合生活情境的解。
3、单位与题意不符：审题不仔细，数量、增长率、数量关系理解偏差，列式失误。
4、漏检验步骤：解方程后不检验根是否符合题意，直接作答，造成扣分。
5、书写不规范：缺少设未知数、作答、单位、完整解题过程，步骤残缺失分。
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1．电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3 亿元，前三天票房累计约15 亿
元．若每天票房的增长率都为x ，依题意可列方程为（）
A．
3 1
15
x
B．
2
3 1
15
x
C．
2
3
3 1
15
x
D．
2
3
3 1
3 1
15
x
x
2．如图，学校计划用长16m的篱笆围成一个面积为
2
30m 的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于
墙的一边长为m
x
，可列方程是_______．
3．2025 年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为
单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x 支，预计常规赛共进行
15 场比赛，则根据题意可列方程为______
知识点02 一元二次方程解决问题的类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，
它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、
9 之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位
的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数
为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a；
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次
数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为(1
)n
a
x
b
(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量)；
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(2)降低率问题：
平均降低率公式为(1
)n
a
x
b
(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量).
3.利息问题与销售问题
（1）利息有关概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
（2）利息相关公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
（3）销售问题中的常用等量关系
利润＝售价－进价（成本）
总利润＝每件的利润×总件数
利润率＝
利润
进价（成本）×100%
售价＝
打折数
10
×标价
进价×（1＋利润率）＝标价×
打折数
10
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4．2025 年9月9日，常泰长江大桥正式通车，常泰两地从“地理相邻”向“经济相融”深度迈进.某超市于今年
八月初购进一批商品，八月份销售256 件.常泰长江大桥通车后，九、十月该商品十分畅销，销售量持续走
高，十月底的销售量达到400 件.求九、十这两个月的月平均增长率．
5．《疯狂动物城2》于2025 年11 月26 日上映．某影院抓住商机，购买了一批卡通玩偶，每个成本为24
元，当售价定为每个36 元时，平均每天售出60 个．经市场调研，每降1 元出售，平均每天多售出10 个．
根据以上信息，解决问题：
(1)每个玩偶降价______元时，影院每天销量可达到100 个；
(2)影院当天想获得650 元利润，则每个玩偶应降价多少元．
6．如图，ABC
中，
90
C
，
4cm
3cm
AC
BC
，
，动点D 从点A 出发以4
/
cm s 速度向点C 移动，同
时动点E 从C 出发以3
/
cm s 的速度向点B 移动，设它们的运动时间为ts ．
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(1)根据题意知：CE ____________，CD ____________；（用含t 的代数式表示）
(2)t 为何值时，CDE
的面积等于四边形ABED 的面积的1
3 ？
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题型一、传播问题
1．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分
出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x 支支干，则根据题意可以
列方程为（
）
A．
2
1
21
x
B．
2
1
21
x
x
C．
2
1
1
21
x
x
D．
2
1
1
1
21
x
x
2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81 个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x 个人，则第三
轮传染后共有（
）个人患流感．
A．8
B．9
C．648
D．729
3．疫情期间，若有1 人染上“新冠”不及时治疗，经过两轮传染后总共有361 人染上新冠，平均一个人传染
给多少人，设平均一个人传染x 个人，可列方程为_____．
4．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再
给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有81人获得了安全意识．
(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
5．感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，
以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有
100 人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同．
(1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？
(2)若传播得不到有效的控制，3 轮传播后，被感染的人数会不会超过800 人？
题型二、增长率问题
6．某智能无人机前年售价为每台5000 元，随着科学技术的提高，今年售价为每台3200 元，则该智能无人
机每台的售价在这两年的年平均下降率为（
）
A．10%
B．20%
C．50%
D．80%
7．某科技公司在2024 年投入研发资金为300 万元，2026 年投入研发资金363 万元，若这两年投入研发资
金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（
）
A．
2
300 1
363
x
B．
2
300 1
363
x
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C．
2
300
300 1
363
x
D．
300 1
2
363
x
8．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16 元降为9 元，
则两次降价平均每次的降价率是_______．
9．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．则新能
源汽车出口量的年平均增长率为多少？
10．第九届亚冬会于2025 年2 月7 日至2 月14 日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特
许商品早于2024 年2 月4 日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45 元的价格购进某款亚冬会徽章，
以每枚68 元的价格出售，经统计，2024 年2 月份的销售量为256 枚，2024 年4 月份的销售量为400 枚．
(1)求该款徽章2024 年2 月份到4 月份销售量的月平均增长率；
(2)从5 月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1 元，月销售量就会增加20 枚，
当该款徽章降价多少元时，5 月销售利润达8400 元？
题型三、与图形有关的问题
11．小明把一张长8cm 、宽6cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长
方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为
2
24cm ，设剪去的正方形边长为xcm ，那么x
满足的方程是（
）
A．
2
48
3
24
x
B．(8
)(6
)
24
x
x
C．48
2(8
6 )
24
x
x
D．(8
2 )(6
2 )
24
x
x
12．如图，在宽为20m ，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，
要使草坪的面积为
2
540m ．设道路的宽为xm，则下列方程正确的是（
）
A．
20 32
540
x
B．
32
20
540
x
x
C．
32 20
540
x
D．
32
2
20
2
540
x
x
13．如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个面积为72 平方米的矩形苗圃园，其中一边靠18米的墙，
另外三边是周长为30米的篱笆围成，则这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．
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依题意可列方程为：___________________；其中x 的取值范围为：______________________
14．某校开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22 米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，
该矩形菜地的另外三边用一根长49 米的绳子围成，并留1 米宽的门，若想开辟成面积为300 平方米的菜地，
则该矩形菜地垂直于墙的一边长为_____米．
15．为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16 米，宽为12 米的长方形区域（阴影部分）改
造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地（如图）．设步行
跑道的宽度为x 米．
(1)新场地的长为______米，宽为______米；（用含x 的代数式表示）
(2)若新场地的总面积为320 平方米，求步行跑道的宽度．
【易错警示】
解一元二次方程图形问题时，容易弄错边长等量关系，列式出现错误。算出方程的根后，常常忽略线段长
度必须为正数，没有舍去不符合图形尺寸的解。部分同学不结合图形取舍取值，最终答案违背几何实际条
件。
题型四、数字问题
16．已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（）
A．(
2)
168
x x
B．
2
168
x x
C．(
1)
168
x x
D．
2
1 2
1
168
x
x
17．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之
年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大
意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设
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周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（
）
A．
2
10
3
x
x
x
B．
3
10
x
x
x
C．
2
10
3
x
x
D．
2
10
3
x
x
x
18．如图是2025 年4 月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2 个位置上相邻的数（如2，3，
9，10）．若圈出的4 个数中最大数与最小数的积为128，设这4 个数中最小数为x，则可列方程为______．
19．【阅读与理解】已知整数a 与b 的平方之和可以表示为
2
2
a
b
，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
20．如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，
9，10）．
(1)如图，若圈出的4 个数a 、b 、c 、d 中，最小的数a
x
，则
1
b
x
，c ________，d ________．（用
含x 的代数式表示）
(2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ad
bc
的差恒为常数，请你证明．
(3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
题型五、营销问题
21．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12 元，平均每天可售出80 枚．市场调研发现：
若每枚徽章降价1 元，则平均每天可多售出10 枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间
后发现，平均日盈利为910 元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x 元，依题意可列方程（）
A．
12
80 10
910
x
x
B．
12
80 10
910
x
x
C．
12
80 10
910
x
x
D．
12
80 10
910
x
x
22．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5 元．当售价为15 元/杯时，平均每天能售出300 杯．市场调
查发现，售价每降价1 元，平均每天就能多售出50 杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售
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利润仍保持在3000 元，则每杯奶茶应降价____________元．
23．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5 元/个，在销售中发现，当这
种手办的价格定为7 元/个时，每天可卖出160 个，在此基础上，单价每提高1 元，每天就少卖20 个，若该
网店一天销售这种手办所获得的利润是420 元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．
24．某商店用1200元购买一批新款书包进行销售．
(1)当该款书包每个的进价降低5元后，商店又用900元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多
少元？
(2)根据（1）中的进价，把每个书包按50元的定价销售，平均每天可售出10个．调查发现，若每个书包每
降价1元，销量就增加1个．若该商店希望每天的销售利润为300元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包
的定价应为多少元？
25．西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A 品牌
头盔，该头盔的进价为60 元/个．经测算，当售价为89 元/个时，平均日销售量为20 个．该经销商为了响
应政府号召让更多人戴盔出行，决定降价促销头盔．经市场调研发现该头盔每降价1 元，平均日销售量增
加2 个．
(1)若该头盔每个降价x 元，平均日销量为y ，写出y 与x 的函数关系式．
(2)为使日销售利润达到756 元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【易错警示】
解决利润营销问题，容易混淆单价、销量的增减对应关系，等量关系列错。计算总利润时常忘记用单件利
润乘以销售量，解方程后不检验取值。忽视商品售价的合理范围，保留超出实际条件的解，造成答案错误。
题型六、动态几何问题
26．如图，在ABC
中，
50m
AC
，
40m
BC
，
90
C
，点P 从点A 出发，以2m / s 的速度沿AC 边向
点C 匀速运动，同时另一点Q 从点C 出发，以3
/
m s 的速度沿射线CB 匀速运动，当PCQ
的面积为
2
300m 时，
运动时间为（
）
A．6s 或8s
B．8s或10s
C．5s或20s
D．3s或10s
27．如图，在ABC
中，
90
ABC
，
8
AB
cm
，
6
BC
cm
，点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以1
/
cm s
的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2
/
cm s 的速度移动．如果点P，Q 同时出发，当一个点
到达目的地时，所有运动停止．若四边形APQC 的面积为
2
9cm ，则点P 运动的时间是（
）
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A．3s
B．3s 或5s
C．4s
D．5s
28．如下图，正方形ABCD的边长为4cm ，E 为AB 的中点，点P 以2
/
cm s 的速度从点B 出发，沿BC
CD
向点D 运动，同时点Q 以1
/
cm s 的速度从点E 出发，沿EB
BC
向点C 运动，当点P 运动到点D 时，P 、Q
两点同时停止运动，若在运动过程中，当
2
APQ
BPQ
S
S
时，PQ 的长度为________．
29．如图，在矩形ABCD中，
6
AB
cm
，
12
BC
cm
，点P 从点A 出发沿AB 以1
/
cm s 的速度向点B 移动，
同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2
/
cm s 的速度向点C 移动，则_________后DPQ
的面积为
2
28cm ？
30．如图，在长方形ABCD中，
10
AB
cm
，
12
BC
cm
，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2
/
cm s 的速
度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以4
/
cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时
出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．
(1)填空：BQ
cm ，PB cm ．（用含t 的代数式表示）
(2)当五边形APQCD 的面积等于
2
104cm 时，求此时t 的值．
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(3)是否存在t 的值，使线段PQ 的长度最小，若存在，请求出此时t 的值和最小值，若不存在，请说明理由．
【易错警示】
动态几何动点问题中，容易搞错线段长度的代数式，等量关系建立出错。忽略动点的运动时间取值范围，
求出方程的根后不进行取舍。同时容易遗漏分类讨论，只考虑一种位置情况，导致答案不完整而丢分。
题型七、工程问题
31．学校图书馆需将4800 本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划
每天比乙计划每天多整理100 本图书，且甲整理1200 本图书与乙整理1000 本图书的时间相等
(1)求甲计划每天整理多少本图书？
(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4a 本，最终
完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04a 天，求a 的值
32．列方程解下列问题：
甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10 个，甲生产120 个该种零件的时间与乙生产100 个
该种零件的时间相同．
(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？
(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了
5 %
m
，乙每小时比原来多生产m 个零件，甲、乙两人同时工作m 小时共可以生产1500 个零件，求m 的值．
33．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A ，B 两条不同的粽子生产
线，A 生产线每小时加工粽子400 个，B 生产线每小时加工粽子500个．
(1)若生产线A ，B 一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B 生产线至少加工多少小时？
(2)原计划A ，B 生产线每天均工作8 小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A 生产线每小时比原
计划多生产100a 个（
0
a
），B 生产线每小时比原计划多生产100个．若A 生产线每天比原计划少工作2a
小时，B 生产线每天比原计划少工作a 小时，这样一天恰好生产粽子6000 个，求a 的值．
34．某头盔经销商5 至7 月份统计，某品牌头盔5 月份销售2250 个，7 月份销售3240 个，且从5 月份到7
月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900 个/天，但如
果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900 个，应该
增加几条生产线？
35．某工程队采用A，B 两种设备同时对长度为3600 米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设
路面比B 型设备的2 倍多30 米，则30 小时恰好完成改造任务．
(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600 米多了750 米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不
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变的情况下，时间比原计划增加了
25
m
小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m 米，
而使用时间增加了m 小时，求m 的值．
题型八、行程问题
36．2026 年4 月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终
用时50 分26 秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为24km / h
，经过两次速度
调整后，速度提升至48.4km / h
．设这两次调整中，速度的平均增长率为x ．根据题意列出方程，正确的是
（
）．
A．
2
24 1
48.4
x
B．
2
48.4 1
24
x
C．
2
24 1
24 1
48.4
x
x
D．
2
24 1
48.4
x
37．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：
/
m s ）与滑行时间t（单位：s ）之间满足一
次函数关系
3
60
v
t
．而滑行距离s
v t
，
0
2
t
v
v
v
，其中
0v 是初始速度，
tv 是t 秒时的速度，当飞机在
跑道起点处着陆后滑行了450m ，则此时飞机的滑行速度（
）
/
m s ．
A．10
B．20
C．30
D．10 或30
38．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离S （单位：m）
与滑行时间t（单位：s）之间的关系是
2
2.5
2
S
t
t
．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，
他需要______s 能到达终点．
39．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲
南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点
同时出发，在单位时间内甲的速度为7 步，乙的速度为3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，然后向北偏
东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________
步．
40．如图，小岛D 在码头A 正东方向的80 海里处．已知当轮船甲从码头A 出发以40 海里/ 小时的速度向正
南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D 出发以50海里/ 小时的速度向码头A 行驶．
(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？
(2)若轮船甲给正南方向的小岛B 运送物质，当轮船甲到达小岛B 后，发现运送物质不足，此时行驶到C 处
的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB 方向前往小岛B 进行物质补充．若两艘轮船在上午7 时
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出发，轮船乙在上午9时到达小岛B ，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？
题型九、图表信息题
41．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a 度，那么这居民这个月只需缴30 元电
费；如果超过a 度，那么这个月除了仍要缴30 元的用电费以外，超过的部分还要每度按100
a 元缴费．
(1)若该厂某户居民2 月份用电150度，超过了规定的a 度，则超过的部分应缴电费多少元（用a 表示）；
(2)如表是这户居民3 月、4 月用电情况和缴费情况：
月份
用电量（度）
缴电费总数（元）
3
120
62
4
65
30
请根据如表数据，求出电厂规定的a 的值．
42．某风景区的旅游信息如下表：
旅游人数
收费标准
不超过30 人
人均收费800 元
超过30 人
每增加1 人，人均收费降低10 元，但人均收费不低于550 元．
(1)一个25 人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元；
(2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250 元．请求出参加这次旅游的人数．
43．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起
了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白
检测人数是20 人时，每位同学人均检测时间是30秒，而检测人数每提高10人，人均就少耗时1秒（若每位
大白的检测人数不超过150人，设人均少耗时x 秒）．
(1)补全下列表格：
检测人数
（人）
20
30
60
人均检测时
间（秒）
30
28
30
x
(2)某位大白一节课（40min ）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
44．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a 吨时，每吨按0.3a
元缴纳水费；每月超过a 吨时，超过部分每吨按0.4a 元缴纳水费．
(1)若
12
a
，某户居民3 月份用水量为22 吨，则该用户应缴纳水费多少元？
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(2)若如表是某户居民4 月份和5 月份的用水量和缴费情况：
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
18
62
5
24
86
根据上表数据，求规定用水量a 的值
45．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古
巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元
二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解
法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程
2
5 -14
0
x
x
即(
5)
14
x x
得方法.首先构造了如图
1 所示得图形，图中的大正方形面积是
2
(
5)
x
x
，其中四个全等的小矩形面积分别为(
5)
14
x x
，中间的
小正方形面积为
25 ，所以大正方形的面积又可表示为
2
4 14
5
，据此易得
2
x
．
任务：
（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程
2-4 -12
0
x
x
的正确构图是
（从序号①②③中选择）．
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（2）请你通过上述问题的学习，在图2 的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程
2
2 -15
0
x
x
（写出
必要的思考过程）．
题型十、其他问题
46．河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6 米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移
动的水平距离为1.6 米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为x 米，则所列方程正确的是（
）
A．
2
2
2
0.6
1.6
x
x
B．
2
2
2
0.6
1.6
x
x
C．
2
2
1.6
0.6
x
x
D．
0.6
1.6
x
47．徐老师购买了576 张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了
一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有______名学生．
48．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人
走进果园去摘石榴，第一个人摘了1 个石榴，第二个人摘了2 个石榴，第三个人摘了3 个石榴，以此类推，
后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每
个人可以得到10 个石榴，问这群人共有多少_________人？”
49．数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒．开展有关“形数”的探究
活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案：
奋进组的同学按照图①所示的方式摆放
探究组的同学按照图②所示的方式摆放
【观察与思考】
(1)先研究特殊情况，若两组都摆放6 层，则奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量
为____枚；
(2)再探究一般情况，若摆放n 层，奋进组共用去棋子的数量为____枚，探究组共用去棋子的数量为____枚；
（用含有n 的式子表示）
【拓展探究】
(3)若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图
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②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8 枚棋子，且比奋进组多摆了4 层，
请计算一盒棋子的数量为多少枚？
50．根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如
图，将四个长为m，宽为n 的长方形纸片和一个小正方形ABCD拼成一个大正方形EFGH ．
(1)求解方程
5
6
x x
的正根，可令
5
m
x
，n
x
，则图中每个长方形的面积为6．
①小正方形ABCD，大正方形EFGH 的面积各是多少？
②利用大正方形EFGH 的边长，请你求出方程
5
6
x x
的正根．
(2)小明用此方法求关于x 的方程
3
14
x
x
t
（t 为常数，且
0
t
）的正根，构造了同样的图形，已知小正
方形的面积为25，求t 的值．
题型十一、握手循环问题
51．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28 场比赛，若邀请x 个球队参加比
赛，则可列的方程为（
）
A．
1
28
x x
B．
1
28
x x
C．
1
28
2
x x
D．
1
28
2
x x
52．2025 年9 月13 日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，
中心城区赛区在这一赛段一共会举办55 场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其
他所有队伍各进行1 场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（
）支
A．9
B．10
C．11
D．12
53．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一
共进行了132场比赛，参加比赛的足球队有_____支．
54．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）．
(1)设有n 个球队参加比赛，比赛的场次数为m ，则m 与n 的关系是；（用含n 的代数式表示m ）
(2)若学校计划安排21场比赛，求应有多少个球队参加比赛？
55．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1 场）．乐乐
和淇淇针对这次比赛有如下对话：
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(1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40 场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1 人身体不适，只
参加了4 场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x 的值．
题型十二、一元二次方程的生活实际问题
56．问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销
售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下：
信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完．
信息2：该店这款“梨膏糖”日产量x （千克）的范围是30
120
x
．
信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本
1y （元）与日产量x （千克）之间的关系如下表所示．
信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价
2y （元）与日产量x （千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中
的线段AB 所示．
日产量x （千克）30
60
90
120
每千克的成本
1y
（元）
55
50
45
40
问题解决：
(1)根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本
1y （元）与日产量x （千克）之间的变化规律可用学习
过的函数模型刻画，其函数关系式为（无需写定义域）；
(2)①该“梨膏糖”每千克的售价
2y （元）与日产量x （千克）之间的函数关系式为；
②该款“梨膏糖”每千克的售价
2y 最高是元，理由是；
(3)已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200 元，如果你是生产部经理，当日该产品的产
量应该定为多少比较合理？请说明理由．
57．综合与实践
主题：如何制作收纳盒，收纳玩具．
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素材：闲置的一张长为34cm，宽为32cm的长方形硬纸板（如图①）．
实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，
并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）．
问题解决：
(1)若剪去的小正方形的边长为10cm，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为
2
cm ；
(2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为
2
80cm 时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放
入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④．
58．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8 米的篱笆在两面互相垂直且足够长
的围墙边围出一块面积为15 平方米的矩形菜地，如图所示．
(1)求矩形菜地的长和宽．
(2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买A 、B 两种化肥共20 千克．已知A 种化肥每千克8 元，每千克可
给1 平方米的菜地施肥；B 种化肥每千克6 元，每千克可给0.6 平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施A
种化肥，另一部分施B 种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？
59．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，
B 两种冰箱贴，已知每个A 款冰箱贴的售价是每个B 款冰箱贴售价的6
5 倍，顾客用150 元购买A 款冰箱贴
的数量比用150 元购买B 款冰箱贴的数量少1 个．
(1)求每个B 款冰箱贴的售价为多少元？
(2)经过统计，该超市每月卖出A 款冰箱贴100 个，每个A 款冰箱贴的利润为16 元．为了尽快减少库存，
该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A 款冰箱贴的售价每降低2 元，则平均每月可以多售出
20 个，如果该超市想要每月卖出A 款冰箱贴的利润达到1200 元，每个A 款冰箱贴应降价多少元？
60．依据下面的素材，完成表格中的任务．
提出问题
柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性
批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，
要获得一定数量的利润，该如何定价？
调查1：“柑橘完好率”调查
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调研项目
采购的总质量
m（kg ）
50
100
200
400
500
完好柑橘的质
量n（kg ）
44.5
90.1
180.5
360.8
450.5
柑橘完好的频
率n
m
0.89
0.901
0.903
0.902
0.901
调查2 ：①柑橘在生产地的采购价为9元/ kg ；②在市场进行一次性批量
销售时，柑橘的售价x（元/ kg ）与采购的总质量m（kg ）之间的关系满
足
100
3000 0
2000
m
x
m
．
(1)可以估计柑橘完好的概率约为（精确到0.1）；
(2)在（1）的条件下，用1800元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得
销售）
(3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得9000元的总利润，则应采购多少kg 的柑橘？售价应定为
多少元/ kg ？
题型十三、一元二次方程中的最值问题
61．某市是全国旅游胜地，2020 年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019
年的2.25 万下降到2021 年的1.44 万．
(1)求2019 年到2021 年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
(2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20 米），
围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1
米的两扇小门（如图），
①设花圃垂直于墙的边AB 长为x 米，则BC ________（用含x 的代数式表示）；
②当AB 为多少米时，所围成花圃面积为105 平方米？
③当AB ________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米．
62．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14m），
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另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2m 宽的门（门不用木栏）．已
知建成后所用木栏总长为32m ，当AB 的长是多少时，矩形苗圃ABCD的面积最大？最大面积是多少？
63．阅读理解并解答：
我们把多项式
2
2
2
a
ab
b
及
2
2
2
a
ab
b
叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是
判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的
最大（或最小）值问题．
例如：
2
3
12
5
x
x
2
3
4
5
x
x
2
3
4
4
4
5
x
x
2
3
2
12
5
x
2
3
2
7
x
∵
2
2
x
是非负数，即
2
2
0
x
∴
2
3
2
7
7
x
则这个代数式
2
3
12
5
x
x
的最小值是7
，这时相应的x 的值是2．
(1)仿照上述方法求代数式
2
14
10
x
x
的最大（或最小）值，并写出相应的x 的值；
(2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角AEF
的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和AD 分别在两直角
边上，
40cm
90
AF
DCB
，
．如果设矩形的一边
cm
AB
x
，
①请问矩形ABCD的面积能否达到
2
500cm ？为什么，请说明理由；
②求出当x 取何值时，矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
64．如图，用长为22m 的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为14m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花
圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．
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(1)设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD 的长为__________ m ．
(2)若此时花圃的面积刚好为
2
45m ，求此时花圃的长与宽．
(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到
2
60m ．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积
最大可以做到多少？
65．如图，在ABC
中，
90
B
，
12
AB
cm
，
24cm
BC
，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2
/
cm s
的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4
/
cm s 的速度移动，如果P，Q 两点分别从A，B 两点
同时出发，设运动时间为xs．
(1)用含x 的式子表示：BP ______cm，
PBQ
S
△
______
2
cm ，
APQC
S
四边形
______
2
cm ；
(2)当PBQ
的面积为
2
32cm 时，求运动时间；
(3)四边形APQC 的面积能否等于
2
172cm ？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
(4)①阅读材料：求代数式
2
4
6
y
y
的最小值．解：
2
2
2
4
6
4
4
6
4
2
2
y
y
y
y
y
．因为
2
2
0
y
，所以
2
2
2
2
y
，所以
2
4
6
y
y
的最小值是2．
②解决问题：运动时间x 为何值时，四边形APQC 的面积最小？
题型十四、一元二次方程的新定义问题
66．定义：
M
, ,
a b c 表示这三个数的中位数，用
Min
, ,
a b c 表示这三个数的最小数．例如：
1
M
1,
,0
0
2
，
1
Min
1,
,0
1
2
．如果
2
2
M 4,
,2
1
Min 4,
,2
1
x
x
x
x
，则x 的值为（
）
A．2 或2
B．1 或5
2
C．2 或
1
2
D．1 或
1
2
67．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k 倍（
0
k
），
则称这个矩形是给定矩形的“ k 倍”矩形．现有一个长为3，宽为2 的矩形，若它的“ k 倍”矩形存在，则k 的
最小值为________．
68．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的
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平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在ABC
中，AE
BC
于点E，
3
AE
，
7
BC
，
45
C
，
点D 是BC 边上的“好点”，则线段BD 的长为_____．
69．定义：若关于x 的一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
满足
0
a
b
c
，则称这样的方程为“归零方程”．
(1)一元二次方程
2
16
15
0
x
x
“ 归零方程”；一元二次方程
2
5
12
7
0
x
x
“归零方程”．（填“是”或“不
是”）
(2)已知关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
mx
n
是“归零方程”，且m 是这个“归零方程”的一个根，求m 的
值．
70．定义：如果关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
（a，b，c 均为常数，且
0
a
）有两个实数根，且其
中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例：方程
2
5
6
0
x
x
的根为
1
2
2
1
2,
3,
1
x
x
x
x
，则方程
2
5
6
0
x
x
是“邻根方程”．
(1)方程
2
7
12
0
x
x
是“邻根方程”吗？请说明理由；
(2)若ABC
是直角三角形，斜边BC 的长为5 ，ABC
的两边AB ，AC 的长是一个“邻根方程”的两个实数
根，求ABC
的面积．
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1．某商品原来每件售价为750 元，经过两次降价后，每件售价调整为480 元，设平均每次降价的百分率是x ，
则可列出的方程为（
）．
A．
2
480 1
750
x
B．
2
750 1
480
x
C．
480 1 2
750
x
D．
750 1 2
480
x
2．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6 尺8 寸，门的对角线长1 丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”
都是我国传统的长度单位，其中1 丈
10
尺，1 尺
10
寸）设门高x 尺，根据题意可列方程为（
）
A．
2
2
2
68
10
x
x
B．
2
2
2
6.8
1
x
x
C．
2
2
2
68
100
x
x
D．
2
2
2
6.8
10
x
x
3．如图，在一块长30m，宽20m 的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬
菜，使种植蔬菜的面积为
2
468m ．设道路的宽为xm，可列方程是（
）
A．
30
20
2
468
x
x
B．20 30
30
2 20
468
x
x
C．
30
2
20
468
x
x
D．20 30
30
20
468
x
x
4．如图利用一面墙（墙长22 米），三面用42m 长的篱笆围成面积为
2
240m 的花圃，平行于墙的一边有一
扇2 米宽的门，若设垂直于墙的一边为xm，则可列方程为（
）
A．
42
2
240
x
x
B．
24
2
240
x
x
C．
42
2
2
240
x
x
D．
42
2
2
240
x
x
5．某特色美食街的商户二月份的营业额为300 万元，四月份的营业额为432 万元，若月均增长率为x，则
根据题意可列方程为_________．
6．如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20 m ，宽15 m 的矩形荒
地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为
2
252m ，设步道的宽度为xm，
则可列方程___________．
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7．如图，在一块长为25 米、宽为20 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各
与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300 平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可
列出方程为_____．
8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问
长多阔几何．”其大意是：“一块矩形田地的面积为864 平方步，只知道它的长与宽共60 步，问它的长比宽
多多少步？”，设这个矩形的宽为x 步，根据题意可列方程为_____．（结果化为一般式，不需要解方程）
9．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，
建设校园农场．如图，该矩形农场长32m，宽20m ，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），
余下部分作为试验田，且使试验田的面积为
2
540m ．设道路的宽为xm，可列方程为________．
10．在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3 行4 列，后又加入了30 人，使得方阵增加
的行数、列数相同，则增加了_______行．
11．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲
流”初期，有1 人感染了“ 甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225 人感染了“ 甲流
病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了____ 人．
12．如图，若线段MN 将边长为6、8、m 的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则m __________．
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13．某技术公司2023 年缴税40 万元，2025 年缴税48.4 万元，平均每年缴税增长的百分率是多少？
14．如图，将长16m、宽12m的矩形花坛（阴影部分）向外扩建相同的距离，若扩建后的矩形花坛的面积为
2
320m ，求扩建后矩形花坛的长度与宽度．
15．今年一月某大型冰雪游乐场开业，吸引众多游客前往，游乐场分日场和夜场2 个时间段，票价相同，
统计表明，当票价为320元/人时，每天的日场和夜场平均人数分别为2.5 万和1.5万人．票价每降低10 元/
人，平均每天的日场和夜场人数分别增加0.2 万人和0.3万人．
(1)若票价降了x 元/人，则平均每天的日场和夜场的游玩人数共增加______万人（用含x 的代数式表示）；
(2)已知票价不低于260 元/人，那么怎样定价可使平均每天的门票总收入达到1500 万元？
16．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白
处统称为边，已知原作品的长为60cm ，宽为24cm ，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相
等，且右边宽与天头长的比为1:5 ，设右边宽为xcm ．
(1)天头长为cm ；（用含x 的代数式表示）
(2)若装裱后作品总面积为
2
2240cm ，则右边宽为多少厘米？
17．某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映：每降价1 元，每星期可多卖出
20 件．已知商品的进价为每件40 元．
(1)若每件商品降价5 元，那么每件商品的利润是______元，每星期的销售量是______件，每周的利润是
______元；
(2)为了让顾客得到更多的实惠，并且商家还想获得6080 元的利润，应将每件的销售价降低多少元？
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18．某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增
长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率．
(2)已知该农产品每袋进价25 元，原售价为每袋40 元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售
量的基础上，若该农产品每袋降价4 元，销售量可增加20 袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这
种农产品在五月份可获利3250元？
19．数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm ，宽为40cm 的长方形纸板，如图，在其四
角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得
长方体礼品盒．
(1)当礼盒底面的长是宽的4 倍时，该长方体礼品盒的体积为；
(2)当礼盒的侧面ABCD的面积为
2
528cm ，求剪去的小正方形的边长．
20．列方程解决实际问题：
某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地：一面利用墙（墙的长度足够长），用长为46 米的篱笆，围
成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1 米的小门，供同学们进行劳动实践，若
设菜地的宽为x 米．
(1) BC ______米（用含x 的代数式表示）；
(2)若围成的菜地面积为180 平方米，求此时的宽AB ．
21．如图是某校数学兴趣小组设计的一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD 由长为8 米的围墙AE 和部分篱
笆DE 组成，另外三边由剩余的篱笆围成，已知篱笆总长为24 米．
(1)若
4
DE
米，则矩形花圃ABCD的面积为________平方米．
(2)若矩形花圃ABCD的面积为60 平方米，求此时AB 的长；
(3)矩形花圃ABCD的面积能否达到65 平方米，请通过计算说明．
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22．某草莓采摘园收费信息如下表：
成人票
儿童票
草莓价
格
不超过8 人，30 元/人；超过8 人每增加1 人，人均票价下降2 元，但不低于儿童票
价．
20元/人
30 元/斤
采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的草莓需按价购买．
(1)周末，5 个成人带领4 个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了8 斤草莓，则该
团需支付的总费用元；
(2)某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织活动，共支付票价252 元，求这次参加活动的共多少人？
23．某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70 元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为
每件110 元时，可售出20 件，而每件定价每降低1 元，销售量就增加2 件．
(1)当童装销售定价为每件100 元时，销售量为________件；
(2)直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________；
(3)为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200 元？
24．如图为某年10 月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3 个数．
(1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为；
(2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为
112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．
25．为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形ABCD），两面靠墙（AD 位
置的墙最大可用长度为27m ，AB 位置的墙最大可用长度为15m），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，
分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE
GF
HG
、
、
三处各留0.5m 0.5m 2m
、
、
宽的门（不用栅栏）．建
成后栅栏总长45m ．
(1)若活动区域（长方形ABCD）的一边CD长为10m，则另一边BC
m ．
(2)若活动区域（长方形ABCD）的面积为
2
165m ，求边CD的长．
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26．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价
格销售，售价x （元/个）与每天销售量y （个）的对应值表格如下：
x （元/个）
52
53
54
55
y （个）
760
740
720
700
(1)求y 与x 的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000 元？
27．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天
轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮．
(1)据统计，某电商平台2025 年3 月的销售量是3 万件，2025 年5 月的销售量达到4.32 万件．若月平均增
长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65 元，若售价定为每件75 元，每天可售出20
件，市场调研发现，售价每降低1 元，每天销量可增加5 件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促
销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240 元，售价应降低多少元?
28．某农场拟用总长为60m 的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为35m）的矩形养殖区ABCD（如图1），
篱笆全部用于养殖区围挡．
(1)若养殖区的面积计划为
2
400m ，请给出设计方案；
(2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形AEFG 区域（如图2），且
:
1: 2
AE AB
．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到
2
400m ？若能，请给出设计方案；若不能，
请说明理由．
29．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，
植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．
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(1)根据图中所提供的信息，填空：2023 年比2022 年增加了__________公顷，在2023 年，2024 年，2025
年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年；
(2)为满足城市发展的需要，计划到2027 年使绿地总面积达到72.6 公顷，试求这两年（2025 ~ 2027 ）绿地
面积的年平均增长率；
(3)根据发展计划，在图中画出2025 ~ 2026 年绿地变化折线图．
30．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以
2
2
35
0
x
x
为例，构造方法如下：
首先将方程
2
2
35
0
x
x
变形为
2
35
x x
，然后画四个长为
2
x
，宽为x 的矩形，按如图1 所示的方
式拼成一个“空心”大正方形，则图1 中大正方形的面积可表示为
2
2
x
x
，还可表示为四个矩形与一个边
长为2 的小正方形面积之和，即
2
4
2
2
4 35
4
x x
．因此，可得新方程
2
2
144
x
x
．因为x 表示
边长，所以2
2
12
x
，即
5
x
．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
(1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程
2
4
21
0
0
x
x
x
的正确构图是．(从序号①②③中选择)
(2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程
2
2
3
2
0
x
x
，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为
2
3
1
0
2
x
x
，即x ( )
1
；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为．
(3)【拓展应用】一般地，对于形如
2x
ax
b
的一元二次方程可以构造图2 来解．已知图2 是由四个面积为
3 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a ，b ，求得方程的正根为．
