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专题13 正、余弦定理与解三角形
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
正、余弦定理与解三角形近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2022 年全国乙（文科），第17 题,12 分
1、利用正弦定理求角
2、利用正、余弦定理证明不等式
诱导公式
2022 年全国乙（理科），第17 题,12 分
1、利用正、余弦定理证明不等式
2、利用正、余弦定理求三角形的周长
2022 年全国甲（理科），第16 题,5 分
2022 年全国甲（文科），第16 题,5 分
用余弦定理解三角形，边长比取最值
时，求边长
基本不等式
2023 年全国乙（文科），第4 题,5 分
利用正弦定理求角
诱导公式
2023 年全国乙（理科），第18 题,12 分
1、利用余弦定理求角的正弦值
2、利用面积公式求面积
同角公式
2023 年全国乙（理科），第9 题,5 分
利用正、余弦定理线面角的正切值
线面角、二面角
2023 年全国甲（理科），第16 题,5 分
正、余弦定理解三角形，求边长
2023 年全国甲（文科），第17 题,12 分
1、求边长的乘积
2、正、余弦定理解三角形，求面积
恒等变换
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节高考常考，各种题型均有出现；
2.常以最值问题出现在小题的压轴题位置；
3.常考查利用正、余弦定理解三角形，求面积、周长及代数式的取值范围
4.考查正、余弦定理在实际情景中的应用
【备考策略】1.能用正弦定理及面积公式解三角形；
2.能用余弦定理解三角形；
3.掌握正、余弦定理的简单实际应用；
【命题预测】1.利用正、余弦定理证明不等式
1
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2.利用正、余弦定理解三角形，求面积、周长及代数式的取值范围
3.正、余弦定理中的结构不良问题
4.正、余弦定理在实际情景中的应用
知识讲解
一、正弦定理、余弦定理
在△ABC 中,若角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,R 为△ABC 外接圆的半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R
a2=b2+c2-2bccos A;
b2= ;
c2=a2+b2-2abcos C
变形
(1)a=2Rsin A，b= ，c=2Rsin C；
(2)sin A= a
2 R ，sin B= b
2 R ，sin C= ；
(3)a∶b∶c=
；
(4)asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin
A
cos A=b2+c2−a2
2bc
；
cosB=a2+c2−b2
2ac
；
2
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cosC=a2+b2−c2
2ab
.
二、三角形的面积公式
S=1
2 ah a=1
2 bh b=1
2 ch c (ha,hb,hc分别表示a,b,c 边上的高)；
S=1
2 ab sinC=1
2 ac sin B=1
2 bc sin A
；
S=1
2
(a+b+c)r
(r 为△ABC )；
S=abc
4 R (R 为△ABC )；
S=√p( p−a)( p−b)( p−c)(p=1
2
(a+b+c))
三、在△ABC 中,已知a,b 和角A 时,解的情况如下:
图形
关系式
解的个数
a=bsin A
两解
a=b
A 为
钝角或
直角
一解
四、实际应用中的常用术语
1.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标线在水平线上方时叫仰角,目标视线在水平
线下方时叫俯角(如图①).
2.方向角
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.
3.方位角
3
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指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B 的方位角为α(如图②).
4.坡度(又称坡比)
坡面的垂直高度与水平长度之比.
1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π,变形为
A+B
2
= π
2 −C
2 .
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)= ，sin(A+C)=sin B，sin(B+C)=sin A；
(2)cos(A+B)= - cos C，cos(A+C)= ，cos(B+C)= - cos A；
(3)
sin A+B
2
=sin C
2 ，
sin A+C
2
=sin B
2 ，
sin B+C
2
=sin A
2 ；
(4)
cos A+B
2
=sin C
2 ，
cos A+C
2
=sin B
2 ，
cos B+C
2
=sin A
2 ；
3.在△ABC 中,sin A>sin B⇔A>B⇔a>b,cos A>cos B⇔A<B⇔a<b，大边对大角，小边对小角；
4.三角形射影定理:a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=acos B+bcos A.
5.三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
6.在△ABC 中，若sin2 A=sin2B ，则2 A=2B 或2 A+2B=π ，即
A=B
A
或+B= π
2 .
7.若△ABC 为 ，则cos A>0 且cosB>0 且cosC>0 或三个角中最大角的余弦值为正.
8.若△ABC 为 ，则cos A<0或cosB<0或cosC<0.
9.在△ABC 中，各个角的正弦值一定大于0，即sin A>0,sin B>0,sinC>0.
利用正弦、余弦定理判断三角形形状的思路
(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的关
系,从而判断三角形的形状.
(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等
变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π 这个结论.
1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)以及该角的两边,代入公式求面积;
(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.
总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
2.已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解;
(2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题,通常是转化到三角形中,
利用正、余弦定理,通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把
要解三角形的边或角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程求解,若研究最值,常使用函数思想.
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤：
4
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利用向量的有关知识,把问题转化为三角形的边角关系,再结合正弦、余弦定理解三角形.
距离问题的类型及解法
(1)类型:两点间既不可达也不可视,两点间可视但不可达,两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦
定理求解.
求解高度问题:理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键,遇到
空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚
又不容易搞错.
1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距
离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
考点一、判断三角形的形状
1．△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,若bcosC+ccosB=asin A ,则△ABC 的形状为 .
2．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若sin A
sin B =a
c ,(b+c+a)(b+c−a)=3bc ,则△ABC 是
三角形.
3．（2023 年四川省模拟）在
中，若
，
，则
的形状
为（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．有一个内角为
的直角三角形
1．（2023 年重庆市模拟）设
中角
，
，
所对的边分别为
，
，；若
，
，
；
则
为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
2．（2023 年江苏省模拟）一个三角形的三条高的长度分别是
，
，
，则该三角形（ ）
5
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A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，已知
．
（1）求A；
（2）若
，证明：△ABC 是直角三角形．
考点二、利用正、余弦定理求三角形的角
1．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，
c.已知bsinA+acosB=0，则B= .
2．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．
的内角
的对边分别为
，若
，则
．
2．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））△ABC 的内角A，B，C 的对边分
别为a，b，c.已知C=60°，b=
，c=3，则A= .
考点三、利用正、余弦定理求三角形的边
1．（2023·全国甲卷理数真题）在
中，
，
的角平分线交BC 于
D，则
．
2．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）在
中，已知
，
，
，则
（ ）
6
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A．1 B．
C．
D．3
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））在
中，
,BC=1,AC=5，
则AB=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在平面四边形
中，
，
，
，
.
（1）求
；
（2）若
，求
.
1．（2023 年江西省模拟）已知
的内角
，
，
的边分别对应
，
，，若
，
为
中点，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c.已知
，
，
，则b=（ ）
A．
B．
C．2
D．3
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，
c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－
，则
=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
考点四、利用正、余弦定理求三角函数值
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））在△ABC 中，cosC=
，AC=4，BC=3，则
cosB=（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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2．（2021 年浙江省高考数学试题）在
中，
，M 是
的中点，
，则
，
.
3．（2019 年北京市高考数学试卷（理科））在△ABC 中，a=3，b−c=2，cosB=
．
（Ⅰ）求b，c 的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
1．（2019 年浙江省高考数学试卷）在
中，
，
，
，点
在线段
上，若
，则
；
.
2．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为
a，b，c．若
，b=2，A=60°，则sin B= ，c= ．
3．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在三棱锥P–ABC 的平面展开图中，
AC=1，
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=
.
4．（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 在
中，内角
所对的
边分别为
.已知
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
考点五、面积公式的应用
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为
，
，
，则
．
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））
的内角
的对边分别为
.若
，则
的面积为 .
8
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3．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）
的内角
的对边分别为
，
，，若
的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））△
的内角
的对边分
别为
，已知
，
，则△
的面积为 ．
2．记
的内角
的对边分别为
，点
为
边三等分点（靠近C）.若
，
，则
的面积为 .
3．在△ABC 中，
．
(1)求C 的大小；
(2)已知
，求△ABC 的面积的最大值．
考点六、三角形有解的个数问题
1．（2023 年河南省联考数学试题）在
中，内角
的对边分别为
.已知
，
则此三角形（ ）
A．无解
B．有一解
C．有两解
D．解的个数不确定
2．（2023 年河南省模拟理科）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，a=2，B=45°，若三角
形有两解，则b 的取值范围是 ．
3．（2023 年云南省学业质量监测数学试题）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知条件：
①
，
，
；②
，
，
．由条件①与条件②分别计算得到角B 的解的个
数为m，n，且正数x，y 满足
，则
的最小值为 ．
9
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1．（2023 年上海市模拟）在
中，
，
，
，则
的解的个数是 个.
2．（2023 年浙江省模拟）在
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，已知
，
，
，
若
有两解，则
的取值范围是 .
3．（2023 年四川省模拟）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
的
恰有一个，则实数b 的取值范围为 ．
考点七、正、余弦定理在平面几何中的应用
1．（2023 年高考数学真题完全解读（全国甲卷理科））在
中，
，
，D
为BC 上一点，AD 为
的平分线，则
.
2．（2023 年江苏省模拟）在
中，
，点D 在边BC 上，
，若
的面积为
，
则AD 的最大值为 .
1．（2023 届河北省冲刺模拟数学试题）如图，在
中，点D 在BC 边上，BD 的垂直平分线过点A，
且满足
，
，则
的大小为 ．
2．（2023 届四川省统一考试理科数学试题）如图，圆的内接四边形
中，
与
相交于点
，
平分
，
，
．则
的面积为 ．
3．（2023 届陕西省一模文科数学试题）在
中，点D 是边BC 上一
10
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点，且
，
.
，
，则DC= .
考点八、正、余弦定理在实际情景中的应用
1．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其
中第一题是测海岛的高．如图，点
，
，
在水平线
上，
和
是两个垂直于水平面且等高的测
量标杆的高度，称为“表高”，
称为“表距”，
和
都称为“表目距”，
与
的差称为
“表目距的差”则海岛的高
（ ）
A．
表高
B．
表高
C．
表距
D．
表距
2．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高
程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意
图，现有A，B，C 三点，且A，B，C 在同一水平面上的投影
满足
，
．
由C 点测得B 点的仰角为
，
与
的差为100；由B 点测得A 点的仰角为
，则A，C 两点到水平
面
的高度差
约为（
）（ ）
A．346
B．373
C．446
D．473
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3．（2023 年重庆市模拟）如图所示；测量队员在山脚A 测得山顶
的仰角为
，沿着倾斜角为
的斜坡
向上走
到达
处，在
处测得山顶
的仰角为
．若
，
，
，（参考数据：
，
，
，
，
，
），则山的高度约为（
）
A．181.13
B．179.88
C．186.12
D．190.21
1．（2023 年江西省质量检测数学试题）北极阁位于鹰潭公园的东侧，前门是大码头，旧时为鹰潭最繁华
的街市．某同学为测量北极阁的高度MN，在北极阁的正北方向找到一座建筑物AB，高约为30m，在地面
上点C 处（B，C，N 三点共线）测得建筑物顶部A，北极阁顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得
北极阁顶部M 的仰角为15°，北极阁的高度约为（ ）
A．45m
B．52m
C．60m
D．65m
2．（2023 年黑龙江省模拟）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞
与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C 处
测得阁顶端点P 的仰角分别为
，
，
，且
米，则滕王阁的高度
（ ）米．
12
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A．
B．
C．
D．
3．（2023 年四川省模拟）伯乐树是中国特有国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿
润的沟谷坡地或小溪旁.一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度.他在与树干底部在
同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量.如图，
、
是与树根处
点在同一水平
面内的两个观测点，树顶端为
点.植物学家在
、
两点测得
的仰角分别为45°，30°，
，
且
，则树的高度
（ ）
A．25 米
B．
米
C．30 米
D．
米
考点九、利用正、余弦定理处理代数式的取值范围问题
1．（2022 年全国新高考I 卷数学试题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
，求B；
(2)求
的最小值．
2．（2020 年浙江省高考数学试卷）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
（I）求角B 的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
3．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知
中，点D 在边BC 上，
13
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．当
取得最小值时，
．
4．（2023 年四川省模拟）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)若
，求
的值.
(2)求
的最大值.
1．已知钝角
的角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，则最大边
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 年广东省模拟）在
中，已知内角
，
，
所对的边分别为
，
，且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的最大值．
3．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求A；
(2)若
，求a 的取值范围．
4．在锐角
中， 角
所对应的边分别为
， 且
．
(1)求角
的值；
(2)若
， 求
边上高的取值范围．
考点十、解答题中的面积问题
14
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1．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积．
2．（2023 年黑龙江省模拟）已知
内角，
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求角
；
(2)若
，
的面积为
，求
，的值.
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））
的内角
的对边分别为
，已
知
．
（1）求
；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
1．（2022 年浙江省高考数学试题）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积．
2．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2 卷））
的内角
的对边分别
为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
，Δ ABC 面积为2，求
．
3．（2023 年安徽省质量统测数学试卷）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)设
边上的高为
，且
，求
面积的最小值.
4．（2023 年江西省模拟）锐角
中，内角
的边分别对应
，已知
.
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(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围.
考点十一、解答题中的周长问题
1．（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的周长．
2．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求
周长的最大值.
3．（2023 年四川省模拟）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围.
1．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1 卷））△ABC 的内角
的对边分
别为
,已知△ABC 的面积为
(1)求
;
(2)若
求△ABC 的周长.
2．（2023 年广西南宁市模拟）已知锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的取值范围．
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考点十二、解答题中结构不良问题
1．（2021 年北京市高考数学试题）在
中，
，
．
（1）求
；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求
边
上中线的长．
条件①：
；
条件②：
的周长为
；
条件③：
的面积为
；
2．（2020 年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东卷））在①
，②
，③
这三个条件
中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理
由．
问题：是否存在
，它的内角
的对边分别为
，且
，
，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2022 年贵州省质量检测数学试题）在①
；②
的最小值为
；③
.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在
中，内角
，
，
的对边为
，
，，且______.
(1)求
；
(2)若
是内角平分线，交
于
，
，
，求
的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
1．（2020 年北京市高考数学试卷）在
中，
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个
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作为已知，求：
（Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ）
和
的面积．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
2．（2023 年江苏省模拟）在①
，②
，③
，这三个条件中任选一个补充在横线上，回答下面问题.
在
中，已知内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若___________.
(1)求A 的值；
(2)若边长
，求
面积的最大值.
3．（2023 年湖北省部分市级示范校联考数学试题）在
中，内角
的对边分别为
，若
______，
在以下条件中任选一个：①向量
，
，且
；②向量
，
，且
，并解答下列问题：
(1)求角
；
(2)若
的外接圆的半径为
，且
，求
的面积.
4．（2023 年四川省模拟）已知
的角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
．
(1)若
，求
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数
的
值域．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【基础过关】
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1．（2023 年江苏省模拟）在
中，角
的对边分别为
，
，，若
，
，则
．
2．在
中，若
，
，则
.
3．（2023 年重庆市阶段性测试数学试题）在
中，已知
，
，
，则满足条件的三角
形有 个.
4．（2023 年黑龙江省模拟）在
中，已知角A，B 的对边分别为a，b，
，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2023 年江西省模拟）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，则
的面积为 ．
6．（2023 年青海省联考数学试题）如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直
线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B，C 两点的俯角分别为
，
，且
.若山高
m，汽车从C 点到B 点历时25s，则这辆汽车的速度为
.
7．（2023 年安徽省质量检测数学试题（A 卷））已知
的内角
的对边分别为
，
，，若
，
，
的面积为
，则
的周长为 ．
8．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在△ABC 中，cosC=
，AC=4，BC=3，则
tanB=（ ）
A．
B．2
C．4
D．8
9．（2023 年黑龙江省模拟）设
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，
，则
的面积
．
10．（2023 年江西省模拟）在锐角
中，内角
，
，
的边分别对应
，
，，若
，
则
的取值范围是 .
11．（2023 年贵州省模拟）设
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，则
的形状可能为（ ）
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A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．三边比为
的三角形
12．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知
分别是
内角
的对边，
．
（1）若
，求
（2）若
，且
求
的面积．
13．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1 卷））
的内角A，B，C 的对边分别
为a，b，c.已知
.
（1）求角C；（2）若
，
，求
的周长.
【能力提升】
1．（2023 年江苏省模拟）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，
地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到地球表
面的距离）．将地球看作是一个球心为
，半径为
的球，若地球表面上的观测者
与某颗地球静
止同步轨道卫星
处于相同经度，且
能直接观测到
，设点
的维度（
与赤道平面所成角的度数）的
最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 年安徽省学业水平监测数学试题）“一部剧带火一座城”，五一期间，我市的地标建筑——中
国南北分界线雕塑成为了网红打卡地，某校数学课外兴趣小组，拟借助所学知识测量该建筑的高度.记该雕
塑的最高点为点A，其在地面的投影点为点H，在点H 南偏西60°方向的点B 处测得点A 的仰角为60°，在
点H 正东方向的点C 处测得点A 的仰角为45°，点B，C 相距
米，则该雕塑的高度为 米.
3．（2023 年福建省模拟）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
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，
，则
周长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 年河北省模拟）在锐角三角形
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，则
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2023 年江苏省模拟）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，则下列说法中错误的是
（ ）
A．若
，则
B．若
为锐角三角形，则
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
，则
为等腰三角形
6．（2023 年湖北省模拟）已知锐角
中，
，则
的取值范围 .
7．
的内角
的对边分别为
已知
.
（1）求角
和边长；
（2）设
为
边上一点，且
,求
的面积.
8．（2023 年黑龙江省模拟）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B 的值；
(2)给出以下三个条件：①
；②
，
；③
，若这三个条件中仅有两个
正确，请选出正确的条件，并求
的周长．
9．（2023 年江西省模拟）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，若
，
，
，则
．
10．（2023 年云南省模拟）在
中，角
所对的边分别为
，已知
（其中：
）.
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(1)求角A 的大小；
(2)已知
的外接圆半径为
，求
的最大值.
11．（2023 年河南省模拟）已知
为锐角三角形，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
的面
积为S，且满足
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
周长的范围.
12．（2023 年江苏省期末联考数学试题）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求A；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【真题感知】
1．（2023 年北京高考数学真题）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020 年山东省春季高考数学真题）在
中，内角
，
，
的对边分别是
，
，，若
，且
，则
等于（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．-3 或
3．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
4．（2023 年新高考天津数学高考真题）在
中，角
所对的边分別是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
．
5．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在
中，
．
(1)求
；
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(2)设
，求
边上的高．
6．（2022 年高考天津卷数学真题）在
中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
7．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
8．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记
是内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
点
在边
上，
.
（1）证明：
；
（2）若，求.
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