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专题14 三角函数与解三角形大题训练
题型一、正、余弦定理判定三角形形状
1．（2023 年浙江省模拟）在
中，内角
所对的边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的值；
(3)若
，判断
的形状．
【答案】(1)
；(2)
；(3)正三角形．
【分析】（1）根据三角形中角的范围可以确定
的大小；
（2）代入余弦定理的公式既可以求得；
（3）根据余弦定理和已知条件可以确定
，在结合第一问求得的角的大小来确定三角形的形状.
【详解】（1）因为在三角形中，
，
，所以
；
（2）根据余弦定理，
，
，
，解得
；
（3）因为
，
，
化简得
，则
，
又由(1)可知，
，所以
为正三角形.
2．（2023 年广东省模拟）在
中，
是角
所对的边，且满足
(1)求角
的大小；
(2)设向量
，向量
，且向量
共线，判断
的形状.
【答案】(1)
；(2)直角三角形.
【分析】（1）利用余弦定理可求
，结合三角形性质可得角
的大小；
（2）根据向量共线得出角
，进而可以判断三角形的形状.
【详解】（1）因为
，所以
；
1
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因为
，所以
；
（2）因为
，
共线，所以
，
所以
或
（舍）；
当
时，
，所以
为直角三角形.
3．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、.已知
，且
为锐角.
(1)求角
的大小；
(2)若
，证明：
是直角三角形.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用正弦定理边化角可解得
，再由
为锐角即可求解（2）利用正弦定理边化角之
后再消元，可得
，再结合
的范围即可得证
【详解】（1）由正弦定理可知，
，
又在
中，
，即
，
为锐角，
.
（2）
所以由正弦定理得：
，
又
，
即
，
，
故可得
，
即
为直角三角形.
2
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4．在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
(1)若
，
，求
；
(2)若
，试判断
的形状.
【答案】(1)1；(2)等边三角形.
【分析】（1）先求出角B ，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A ，进而可得角C ，从而可得答案；
（2）利用余弦定理，结合已知条件可得a=c ，则有
，从而即可判断
的形状.
【详解】（1）解：在
中，由
，
，得
，
因为
，
，
所以由正弦定理，可得
，即
，
又
，所以
，
所以
，
所以
；
（2）解：因为
，所以
，又由余弦定理有
.
所以
，即
，
所以
，
所以
，又
，
所以
，
所以
是等边三角形.
5．在△ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若b，a，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．
【答案】(1)
；(2)等边三角形.
【分析】（1）由条件结合诱导公式和正弦定理可得
，从而得到
，得出答
案.
（2）由条件可得
，结合余弦定理可得
，从而得到
，结合
可判断出三角
3
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形的形状.
【详解】（1）因为
，由诱导公式得
由正弦定理得
∵
，∴
，即∴
∵
，∴
（2）∵b,a,c 成等比数列，则∴
又因为
即
，所以
，即∴
又∵
，△ABC 为等边三角形
题型二、证明三角形中的恒等或不等式
1．在
中，
.
(1)求
的大小；
(2)若
，证明：
.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tan B 即可求出B ；
(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．
【详解】（1）在
中，∵
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
；
（2）∵
，∴
．
由余弦定理得
①，
∵
，∴
②，
4
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将②代入①，得
，
整理得
，∴
．
2．如图，在
中，点D 在边AB 上，BD＝2AD，∠ACD＝45°，∠BCD＝90°．
（1）求证：
；
（2）若
，求BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【分析】（1）由已知及正弦定理可得AC =√2AD⋅sin∠ADC ，在Δ BCD 中，由∠BCD =90° ．可得
BC =BD⋅sin∠BDC ，由∠BDC +∠ADC =π ，BD =2 AD ，即可代入证明．
（2）在Δ ABC 中，∠ACB =∠ACD +∠BCD =135° ，BC =√2AC ，由余弦定理即可解得BC 的值．
【详解】解：（1）在
中，∠ACD =45° ，
由正弦定理可得：
＝
，
可得：
AC = AD⋅sin∠ADC
sin∠ACD
= AD⋅sin∠ADC
√2
2
=√2AD⋅sin∠ADC
，
在
中，∠BCD =90° ．
则BC =BD⋅sin∠BDC ，
由于：∠BDC +∠ADC =π ，BD =2 AD ，
所以：BC =BD⋅sin∠BDC =2AD⋅sin∠ADC =√2AC ，
即：BC =√2AC ．
（2）在Δ ABC 中，∠ACB =∠ACD +∠BCD =135° ，BC =√2AC ，
由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2−2AC⋅BC cos∠ACB ，
即：5=AC 2+(√2AC )2−2AC √2AC ×(−√2
2 )=5 AC 2 ，
因为AC >0 ，所以：AC =1，BC =√2.
3．（2023 年广东省衡水大联考数学试题）在
中，角
的对边分别为a，b，c，且
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．
(1)求B；
(2)若
外接圆的半径为
，点D 为
边的中点，证明：
．
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）对式子先用倍角公式和半角公式换为关于角
的等式，再将
提出后，括号内的用
两角和的正弦公式，最后用三角形中角之间的关系及诱导公式进行化简求值即可；
（2）根据（1）的结论和正弦定理即可得
，根据D 为
边的中点，可得三角形中长度关系，根据
，即
在两个小三角形中分别用余弦定理建立等式即可解得
.
【详解】（1）解：因为
，
即
，
即
，
即
，
因为
，所以
，且
，
所以等式可化为
，即
，
即
，因为
，所以
；
（2）解：由（1）知
，因为
外接圆的半径为
，
所以
中，由正弦定理知：
，
即
，解得
b=3
，因为点
D
为
边的中点，
所以
，因为
，
所以
，
在
分别由余弦定理可得：
，
代入
中可得：
6
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，
即
，
即
，即
，
故
，得证.
4．（2023 年湖南省模拟）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
是
角平分线，求证：
.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合同角的三角函数关系即可求得答案；
（2）根据角平分线性质可得
，利用
展开化简即可证明结论.
【详解】（1）由
，由正弦定理可得
，
因为
，可得
，所以
，即
，
又因为
，可得
.
（2）因为
是
角平分线，且
，所以
，
所以
，
可得
，
可得
，
所以
，所以
，
即
.
5．（2023 年河北省模拟）已知
分别为
的三个内角
的对边，
.
(1)求A；
(2)若
，证明：
.
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【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，可得
，利用余弦定理即可求得答案；
（2）利用正弦定理边化角，化简
，可得
，结合辅助角公式化简可求得角B
以及角C ，利用直角三角形性质即可证明结论.
【详解】（1）由题意
，由正弦定理可得
，
即
，
故
，
而
，故
.
（2）证明：因为
，由正弦定理可得
，
即
,
所以
，即
，
因为
，则
，
故
，
故在
中，
.
6．（2023 年湖北省模拟）在
中，角
，
，
的对边为
，
，，已知
，且
.
(1)若
，求
；
(2)证明：
;
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据
，
，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得
.
（2）根据（1）
，然后结合余弦定理证明即可；
【详解】（1）依题意，
，所以
，即
，
由正弦定理可知，
，即
，
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从而
，
A 为三角形内角，故
.
（2）由（1）可知，
，由余弦定理可得：
，即
，
则
，又
，故
，从而
.
题型三、求三角形中的边长或周长的最值
1．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
.
(1)求角C；
(2)求△ABC 的外接圆的半径R，并求△ABC 的周长的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
，
.
【分析】（1）由正弦定理结合和角公式得出角C ；
（2）由正弦定理得出
，由正弦定理的边化角公式得出
，结合三角函
数的性质得出Δ ABC 的周长的取值范围.
【详解】（1）由题，因为
所以由正弦定理可得
即
在Δ ABC 中，
，且
，B ，
又
，所以
，则
（2）由正弦定理得
，所以
由（1）知
，
，
所以
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因为
，所以
则
即△ABC 的周长的取值范围为
2．（2023 年宁夏月考数学（理科）试题）在
中，
、
、分别是角A、B、C 的对边，
.
(1)求B 的大小；
(2)若
，求
的周长
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）由已知等式化简可得
，结合余弦定理即可求得B 的大小；
（2）由正弦定理及三角恒等变换即可得周长
，再根据正弦型函数的性质即可得
的取
值范围.
【详解】（1）由
得：
整理得
，由余弦定理得
，
又
，所以
；
（2）由正弦定理得
，所以
，
则
的周长
，
因为
，所以
，所以
，
所以周长
的取值范围为
.
3．（2023 届湖南省新高考适应性考试数学试题）在锐角
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，
c，已知
．
(1)求角B 的值；
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(2)若
，求
的周长的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理得到
，再利用余弦定理求出
；
（2）根据正弦定理得到
，从而得到
，求出
，得到
，
，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1）
，由正弦定理得：
，
即
，
由余弦定理得：
，
因为
，所以
；
（2）锐角
中，
，
，
由正弦定理得：
，
故
，
则
，
因为锐角
中，
，则
，
，
解得：
，故
，
，
则
，
故
，
所以三角形周长的取值范围是
.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，
或与角度有关的范围问题，
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常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
4．在Δ ABC 中，
.
(1)求A；
(2)若Δ ABC 的内切圆半径
，求
的最小值.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法
及余弦
定理得出含有
和
的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得
的最小值.
【详解】（1）在
中,
，
整理得
，即
，于是
所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，解得
.所以
.
（2）令
，（1）知
.
由
，得
，即
，
由余弦定理及（1）知
，得
，
所以
，
12
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即
，于是
，当且仅当
时取等号
所以
，
或
又
的内切圆半径
，
，
，
，
的最小值为
.
5．在锐角
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得
，由此可得
；
（2）利用正弦定理可将
化为
，利用两角和差公式和辅助角公式
可化简得到
；根据正弦型函数值域求法，结合
的范围可得结果.
【详解】（1）由正弦定理得：
，
，
，
，
，
.
（2）由正弦定理得：
，
，
，
；
为锐角三角形，
，即
，
，
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，
，
，
即
的取值范围为
.
6．（2023 届山东省模拟）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，满足
(1)求角
；
(2)若角
的平分线交
于点
，且
，求
的最小值.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；
(2)利用正弦定理得到
，
，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由
可得：
，
由余弦定理知，
，
又
因此
.
（2）在
中，由
，得
，
在
中，由
，可得
，
所以
；
在
中，由
，得
，
解得
，
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
14
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因此
的最小值为
.
题型四、几何图形中的计算
1．（2020 年江苏省高考数学试题）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）求
的值；
（2）在边BC 上取一点D，使得
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得
，利用正弦定理求得
.
（2）方法一：根据
的值，求得
的值，由（1）求得
的值，从而求得
的值，进而求得
的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得
，所以
.
由正弦定理得
.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A 作
，垂足为E．在
中，由
，可得
，又
，所以
．
在
中，
，因此
．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
15
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由于
，
，所以
.
由于
，所以
，所以
.
所以
.
由于
，所以
.
所以
.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由
，可得
，从而
．
又由（1）可得
，所以
．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得
．
在
中，
，
所以
．
在
中，由正弦定理可得
，
由此可得
．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作
，垂足为E，作
，垂足为点G ．
在（1）的方法二中可得
．
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由
，可得
．
在
中，
．
由（1）知
，所以在
中，
，从而
．
在
中，
．
所以
．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得
，然后使用正弦定理求得
；方法二：抓住45°
角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使
用两角和的正弦公式求得
的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式
求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得
的正弦值，进而
得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有
的直角三角形，进而求解，也是很优美
的方法.
2．如图，已知在
中，M 为BC 上一点，
，
且
．
(1)若
，求
的值；
(2)若AM 为
的平分线，且
，求
的面积．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）由
求得
，由
可得
，结合
得
，利用正弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得
，根据角平分线性质定理可求得
，再求得
，由三角形面积公式
可得答案.
【详解】（1）因为
，
,所以
，
因为
，
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所以由正弦定理知
，即
，
因为
，所以
，
，
在
中，
．
（2）由题意知
，设
，
由余弦定理得
，解得
或
．
因为
，所以
，
因为AM 为
的平分线，
所以
（h 为底边BC 的高）
所以
，故
，
而由（1）知
，
所以
．
3．如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
．
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求BC．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据
求得
，再结合
求
解即可
（2）设
，再在
中利用正弦定理得出关于
的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即
可
【详解】（1）由
可得
，又
故
，
故
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（2）设
，则
，
，在
中，由正弦定理可得
，即
，交叉相乘化简得
，即
，利用降幂公式有
，利用辅助角公
式有
，故
，利用诱导公式可得
，故
，又
，解得
，又由正弦定理有
，故
.
4．如图，在圆内接四边形ABCD 中，
，
，
，
的面积为
.
(1)求AC；
(2)求
.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据面积公式可得
，再根据余弦定理求解可得
；
（2）根据内接四边形可得
，再根据正弦定理求解即可
【详解】（1）因为
的面积为
，所以
.
又因为
，
，所以
.
由余弦定理得，
，
，所以
.
（2）因为ABCD 为圆内接四边形，且
，
所以
.又
，由正弦定理可得，
，
故
.
19
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因为
，
所以
，所以
.
5．如图，在梯形
中，
，
，
，
．
(1)若
，求梯形
的面积；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
；(2)
．
【分析】(1)
中，利用含
的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得
面积，再利
用面积关系求
的面积得解；
(2)由题设中角的信息用
表示出
与
中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立
两个方程，联立整理得
的方程，解之即得.
【详解】(1)设
，在
中，由余弦定理
得：
，即
，而x>0 ，解得x=4 ，
所以
，则
的面积
，
梯形
中，
，
与
等高，且
，
所以
的面积
，
则梯形
的面积
；
(2)在梯形
中，设
，而
，
则
，
，
，
，
在
中，由正弦定理
得：
，
在
中，由正弦定理
得：
，
两式相除得：
，
整理得
，
20
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即
解得
或
，
因为
，则
，即
．
【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；
(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
6．（2023 年广东省模拟数学试题）如图，在平面四边形
中，
，
．
(1)若
平分
，证明：
；
(2)记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【分析】（1）利用
可构造方程求得
，利用余弦定理可求得
，由
此可得结论；
（2）在
中，利用余弦定理可构造方程求得
，利用三角形面积公式化简
为
，结合二次函数性质可得最大值.
【详解】（1）
平分
，
，则
，
由余弦定理得：
，
即
，解得：
；
，
，
，又
，
，
（2）
，
，整理可得：
；
21
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，
，
当
时，
取得最大值，最大值为
.
7．（2023 年浙江省名校联盟联考数学试题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求四边形ABCD 的外接圆半径R；
(2)求
内切圆半径r 的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】(1)利用余弦定理求出
，再利用正弦定理和余弦定理求得
，进而得到A ，B ，C ，
D 四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：
，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦
函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在
中，
，
所以
，由正弦定理，
，可得
，
再由余弦定理，
，又
，所以
.因为
，
所以
，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，
则四边形ABCD 的外接圆半径就等于
外接圆的半径.
又
，所以
.
（2）由（1）可知：
，则
.
，
则
.
在
中，由正弦定理，
，所以
，
，则
22
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，
又
，所以
，所以
，
，所以
.
题型五、求三角形面积的最值或范围
类型一：用基本不等式求面积最值
1．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求A；
(2)若
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得
，再利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）根据正弦定理及
，
得
.
∵
，∴
.
∵
，∴
.
（2）由（1）知
，又
，
由余弦定理得
，即
，
∵
，∴
，即
，当且仅当
时取等号.
∴
.
∴
的最大值为
.
2．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A；
23
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(2)若M 为
的中点，
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；
解法二：利用余弦定理将
用边表示再化简即可；
（2）解法一：根据基底向量的方法得
，两边平方化简后可得
，再结合基
本不等式与面积公式求面积最大值即可；
解法二：设
，再分别在
，
和
中用余弦定理，结合
可得
，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可
【详解】（1）解法一：因为
，
由正弦定理得：
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
．
解法二：因为
，由余弦定理得：
，
整理得
，即
，
又由余弦定理得
，所以
，
因为
，所以
．
（2）解法一：因为M 为
的中点，所以
，
所以
，即
，
即
，而
，
所以
即
，当且仅当
时等号成立
所以
的面积为
．
即
的面积的最大值为
．
解法二：设
，
在
中，由余弦定理得
，①
在
中，由余弦定理得
，②
因为
，所以
24
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所以①+②式得
．③
在
中，由余弦定理得
，
而
，所以
，④
联立③④得：
，即
，
而
，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立．
所以
的面积为
．
即
的面积的最大值为
．
3．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A 的大小；
(2)若A 的角平分线交BC 于D，且AD＝3，求△ABC 面积的最小值．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案；
（2）由
可得
，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）由正弦定理，得
，
得
，
得
，
因为
，所以
，即
.
（2）因为
，
所以
.
因为
，即bc≥36（当且仅当b=c=6 时，等号成立），
所以
．故Δ ABC 面积的最小值为
.
三角函数+基本不等式
4．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，
.
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最小值.
25
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【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出
，即可求得
的值；
（2）分析可知
、
均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出
，求出
的
最小值，即可求得的最小值.
【详解】（1）解：
，
.
由正弦定理得
.
.
因为
，则
，
，
，
则
，
所以，
，即
，
所以，
，
，即
.
（2）解：由（1）得
.
若
，则
、
均为钝角，则
，矛盾，
所以，
，
，此时
、
均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当
时，等号成立，且
为钝角.
，则
，且
为锐角，
由
，解得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
26
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，
.
因此，
面积的最小值为
.
类型二：转化为正切函数求面积取值范围
1．（2023 届河北省教学质量检测数学试题）已知
内角
所对的边长分别为
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用余弦定理可得
，结合三角形内角性质求角的大小；
（2）法一：由已知可得
，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得
即可得范围；
法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.
【详解】（1）由余弦定理得
，即
，
所以
，又
，则
.
（2）法一：
为锐角三角形，
，则
，
所以
，可得
，
又
，则
，故
由
，即
而
，
所以
，故
面积的取值范围为
.
法二：由
，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点
落在线段
（端点
除外）上，
当
时，
，
27
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当
时，
，
.
2．（2023 年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷）已知锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边
分别为a，b，c，且满足
，
.
(1)求
的取值范围；
(2)若
，求三角形ABC 面积的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）先根据条件化简得出
，然后化简目标式，结合导数求解范围；
（2）先利用正弦定理表示出
，结合面积公式得出
，利用
的范围及单调性进行
求解.
【详解】（1）因为
，且
都为锐角，所以
，
，
所以
，由正弦定理可得
，
又
，所以
，
整理得
，即有
，
所以
，即
，所以
.
在锐角三角形中，
,且
，所以
；
令
，则
，
，
28
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令
，则
，
因为
，所以
，所以
为增函数，
又
，所以
，即
的取值范围是
.
（2）由（1）得
.
因为
，由
，得
；
设三角形ABC 的面积为,则
，
因为
，所以
，
设
，
，
，
，
为减函数，
所以
，所以
.
3．（2022 年黑龙江省期末考试数学试题）已知锐角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
．
(1)求角B；
(2)求
面积的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简，计算作答.
（2）利用正弦定理将a 表示为角的函数，再利用三角形面积公式结合三角恒等变换求解作答.
【详解】（1）在锐角
中，由正弦定理及
得：
，
而
，则
，又
，
，因此
，即
，
所以
.
29
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（2）在锐角
中，由（1）知，
，有
，令
，则
，
，
由正弦定理得
，
的面积
，
由
得
，
，于是得
，
所以
面积的取值范围是
.
【点睛】思路点睛：求三角形面积的最大值或范围，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求解，二是
利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求解.
类型三：转化为正弦函数求面积取值范围
1．已知
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且
(1)求角C
(2)若
，
，
为角C 的平分线，求
的长；
(3)若
，求锐角
面积的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出
，即可得解；
（2）设
，根据
及面积公式得到方程，解得即可；
（3）首先利用正弦定理求出，再由正弦定理得到
，
，再根据
转化
为关于
的三角函数，根据正弦函数的性质求出面积的取值范围；
【详解】（1）解：由
及正弦定理得
所以
，∴
，∴
∵
，∴
（2）解：设
由
得
.
30
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解得
，即角平分线
的长度为
（3）解：设
外接圆半径为R ，由
，即
，即
，∴
所以
的面积
∵
，∴
，
∴
∵
，
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
2．（2023 年黑龙江省八校联合模拟试题）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且满足
(1)求角C 的大小；
(2)若
，角A 与角B 的内角平分线相交于点D，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得
，进而即得；
（2）设
，利用正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换可得
，
然后利用三角函数的性质即得.
【详解】（1）∵
，由正弦定理可得,
，
整理可得：
,
31
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即
，即：
,
又因为锐角
，所以
，
，
所以
，即
，又
，
所以
；
（2）由题意可知
，设
，所以
，
又
，
，所以
，
在
中，由正弦定理可得
，
即
，所以
，
所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
即
面积的取值范围为
.
3．已知
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
的面积为S，且满足
，
．
(1)求A 和a 的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的面积S 的取值范围．
【答案】(1)
，
；(2)
.
【分析】（1）由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A 和a 的大小；
（2）由锐角三角形得
，根据正弦定理有
，
，最后利用三角形面积
公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得：
32
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所以
，所以
，
因为
中
，所以
，因为
，所以
，
因为
，由余弦定理得：
，解得
，
综上，
，
．
（2）由（1）知：
，
，
由正弦定理得：
，
．
因为
为锐角三角形，故
，得
．
从而
的面积
，
又
，
，
所以
，从而
的面积的取值范围为
．
4．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.
（2）根据正弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）(解法一)因为
，
所以
则
，即
33
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因为
，所以
，因为
所以
.
(解法二)由全弦定理
，
得
整理得
.
所以
，
因为
所以
.
（2）因为
，所以
，
.
所以
因为△ABC 为锐角三角形，所以
解得
.
所以
，
所以
.
题型六、正余弦定理与三角函数性质的结合
1．已知函数
(1)求函数
的最小正周期；
34
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(2)在锐角
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且
，试判断
的形
状．
【答案】(1)
；(2)
是正三角形.
【分析】（1）运用三角恒等变换公式化简函数
，利用正弦函数的周期公式可求得答案；
（2）由（1）求得
，再运用余弦定理求得
，由此可判断
的形状．
(1)解：函数
，
．
∴函数的最小正周期为
．
(2)解：
，
，所以解得
．
又
，
，即
．
是正三角形．
2．已知函数
．
（Ⅰ）求函数
在区间
上的值域．
（Ⅱ）在
中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C 为锐角，
，且
，求
面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数
在区间
，
上的值域；
（Ⅱ）先求出
，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得
面积的最大值．
【详解】解：（Ⅰ）
35
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，
由π
4 ≤x≤π
2 ，有π
6 ≤2 x−π
3 ≤2π
3 ，所以
函数
的值域为
．
（Ⅱ）由
，有
，
为锐角，
，
．
，
由余弦定理得：
，
，
．
，
当
，即
为正三角形时，
的面积有最大值
．
3．（2022 年江西省重点名校联合考试数学（文）试题）已知向量
，
，
.
(1)求函数
的最小正周期；
(2)在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，求
的面积的最大值.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用数量积坐标运算得到
，再利用正弦函数的性质求解；
（2）由
，解得
，再利用余弦定理结合基本不等式得到
，然后
利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：
，
，
则其最小正周期
；
（2）由
，且
，
36
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所以
，
由余弦定理得
，即
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的面积
，
所以该三角形面积的最大值为
.
4．已知函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，求
的取值范
围.
【答案】(1)
； (2)
.
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得
的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得
，结合三角函数值域的求法求得
的取值范围.
【详解】（1）
令
，则
所以，单调减区间是
.
（2）由
得：
，即
，
由于
，所以
.在
中，
，
，
于是
，则
，
，
，所以
.
37
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5．设函数f ( x)=⃗m⋅⃗n ，其中向量
，
.
(1)求
的最小值；
(2)在△
中，
，
，分别是角
，
，
所对的边，已知
，
，△
的面积为
，
求
的值.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得
，再
由正弦函数性质求最小值.
（2）由题设可得
，应用三角形面积公式有
，由余弦定理可得
，最后由正弦定理
，即可求目标式的值.
【详解】（1）由题设，
，
所以，当
时
的最小值为
.
（2）由
，得：
，则
，又
，
所以
，故
，则
.
由
，可得：
.
在△
中，由余弦定理得：
，
所以
.
由
，则
.
6．（2023 年湖南省名校考前演练试题）已知函数
.
(1)求函数
的定义域和值域；
(2)已知锐角
的三个内角分别为A，B，C，若
，求
的最大值.
【答案】(1)
；
; / (2)
.
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【分析】（1）先化简
，然后利用真数大于0 可得
，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得
，结合锐角三角形可得
，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答
案
【详解】（1）
，
所以要使
有意义，
只需
，即
，
所以
，解得
所以函数
的定义域为
，
由于
，所以
，
所以函数
的值域为
；
（2）由于
，所以
，
因为
，所以
，所以
即
，
由锐角
可得
，所以
，
由正弦定理可得
，
因为
，所以
所以
，
所以
的最大值为2.
7．（2021 年北京市模拟数学试题）已知
，
，
（1）求
的最小正周期及单调递减区间；
39
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（2）已知锐角
的内角
的对边分别为
，且
，
，求
边上的高的最大值．
【答案】（1）最小正周期为
；单调递减区间为
；
（2）
．
【分析】（1）整理得
，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由
，可
得
，设
边上的高为，所以有
，由余弦定理可知：
，得出
，最后可得最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为：
；
当
时，
即当
时，函数
单调递减，
所以函数
单调递减区间为：
；
（2）因为
，所以
，
，
，
．
设
边上的高为，所以有
，
由余弦定理可知：
，
，
，
（当用仅当
时，取等号），所以
，
40
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因此
边上的高的最大值
.
题型七、正、余弦定理求代数式的取值范围问题
类型一：求角的三角函数值的代数式的取值范围
1．（2023 年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题）已知
的内角
的对边分别为
，
为
钝角．若
的面积为，且
．
(1)证明：
；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得
，再利用诱导公式及三角函数的性质可
证明结论；
（2）利用（1）的结论及三角公式，将
转化为关于
的二次函数，然后配方可以求最值.
【详解】（1）由余弦定理
得
，
，
，
，
为钝角，则
均为锐角，
，即
；
（2）
，
令
，
为钝角，则
，
，
当
，即
时，
取最大值，且为
.
2．（2021 年辽宁省联合模拟考试文科数学试题）在锐角
中，角
的对边分别为
，已知
41
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（1）若
，求；
（2）求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得
，进而得解；
（2）根据正弦定理边角互化可得
，结合锐角三角形的范围可得解.
【详解】（1）由
，得
，得
，得
，
在
，
，由余弦定理
，
得
，
即
，解得
或
.
当
时，
即
为钝角（舍），
故
符合.
（2）由（1）得
，所以
，
，
为锐角三角形，
，
，
，
，
故
的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的
范围是解题的关键.
3．已知锐角
中，
.
（1）求
；
（2）求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
42
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【分析】（1）由正弦定理的角化边公式以及余弦定理求出
；
（2）由内角和定理结合诱导公式、两角和的余弦公式、辅助角公式化简
为
，再
由B−π
6 的范围结合正弦函数的性质得出所求范围.
【详解】解：（1）由正弦定理和已知条件得
①
由余弦定理知
②
联立①②得
.
又
，所以
.
（2）
.
因为
为锐角三角形，所以
，且
所以
，所以
故
的取值范围为
.
【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用正弦定理的角化边公式得出
，再由余弦定
理求出
.
4．△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
．
(1)若
，且
，求△ABC 的面积；
(2)求
的最大值．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）由余弦定理及已知可得
，再应用三角形面积公式求面积即可.
（2）由题设有
，根据已知及余弦定理有
，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得
，即可得
，进而求
最值.
【详解】（1）由
，故
，而
，
43
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所以
，故
.
（2）由
，故
，即
，
由余弦定理知：
，即
，
所以
，即
，又
，
故
，
由
，则
或
（舍），
所以
，则
，即
，
，而
，
所以，当
时
有最大值为
.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到
，再根据三角形内
角的性质、三角恒等变换得到
的关系及角的范围，进而求最值.
5．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
【详解】（1）
及cosC=a2+b2−c2
2ab
，
，化简得
，
，又
，
.
（2）由（1）可得
为锐角三角形，
44
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且
，
，
.
，
，
故
的取值范围为
.
6．（2023 年河南省质量检测（理科）数学试题）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c．已知
．
(1)求A；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】由正弦定理边化角再根据角度范围得角
得大小；
根据锐角三角形得角
得范围，然后将
转化为关于角
的正弦型三角函数，根据正弦型函数性
质从而可得取值范围.
【详解】（1）解：因为
，由正弦定理
得：
，
又因为锐角
中，
，所以
，
则
，即
，故
；
（2）解：由（1）得，
，所以
，
又因为锐角
中得：
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
即
的取值范围为
.
45
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类型二：求边的代数式的取值范围
1．（2023 年江苏省模拟试题）在
中，角A，B，C 成等差数列，角A，B，C 所对的边分别为a，
b，c．
(1)若
，判断
的形状；
(2)若
不是钝角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)
为直角三角形；(2)
.
【分析】（1）由已知得
，再利用余弦定理及正弦定理可求得
，进而判断三角形形状；
（2）先求出
，再利用正弦定理边化角，结合三角函数性质求最值即可.
【详解】（1）因为角A，B，C 成等差数列，
又
，
，即
，
，
由余弦定理得：
，
由正弦定理得：
，即
，
，即
又
，
所以
为直角三角形.
（2）
，则
由
不是钝角三角形，知
，
由正弦定理知
当
时，
，
46
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当
时，
，
，
，
，
，
综上可知，
的取值范围时
2．在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
且
．
（1）求角A 的大小；
（2）若
，求
的面积；
（3）求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式求出
，即可求解；
（2）由余弦定理与三角形面积公式即可求解；
（3）把边化为角利用三角函数的值域求解即可
【详解】（1）∵
，
∴
，
，
，
∵
，∴
，又
，∴
，
∵
，
；
（2）∵
，
，∴
，
∴
；
（3）由正弦定理可得：
，
，
47
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其中
，
，
，
为锐角，
因为
为锐角三角形，则
，
从而
，得
，
，
所以
，
，
所以
，从而
的取值范围为
3．在
中，A，B 为锐角，C 为钝角，角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用B 角的余弦定理代入
得到
，结合B 的范围求出
答案；
（2）利用正弦定理边化角得到
，接着根据题意求出A 角的范围，继而求出答案
【详解】（1）因为
，
所以
，
从而
，即
，
因为
，所以
所以
，即
；
（2）因为
，
，
48
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所以
，
因为
，
C
是钝角，
B
为锐角，所以
，即
，
解得
，
所以
，于是
，从而
，
因此
的取值范围是
4．（2023 年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（五））记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为
a，b，c，已知
．
(1)若
，求A；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.
（2）根据锐角三角形得B 的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于
的对勾函数，研
究其值域即可.
【详解】（1）∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，即
，
又∵
，∴
，
又∵
，∴
，
又
，即
，∴
，
又∵
，∴
.
49
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（2）由（1）知
，
①当
时，因为
，所以
，即
，与△ABC 为锐角三角形矛盾，
所以不成立；
②当
时，因为
，所以
，
所以
．
由
，得
．
所以
，
故
．
因为
，所以
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
的取值范围为
．
5．（2023 年陕西省模拟数学试题）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得
的值，进而即可求解
；
（2）结合（1），先根据正弦定理得
，
，再根据余弦定理得
，从而可得
到
，结合题意可得到
的取值范围，从而确定
的取值范围，再结合正
弦型函数的性质即可求解．
【详解】（1）根据题意，由正弦定理得
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，
又在
中，有
，所以
，
所以
，所以
．
（2）结合（1）可得
，
，
由
，则根据正弦定理有
，得
，
，
根据余弦定理有
，得
，
所以
，
又
为锐角三角形，则有
，
，得
，
所以
，所以
，
故
．
【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求
的范围转化为求正弦型函数
的值域，结合题意得到
的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问（2）
的关键．
6．（2023 年湖南省部分市大联考数学试题）已知
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，
.
(1)求角
；
(2)若
为锐角三角形，且外接圆的半径为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到
，再由正弦定理将边化角，即可求出
，从而得解；
（2）利用正弦定理得到
，
，即可得到
，由三角形为锐角三角
形得到
的取值范围，即可得到
的取值范围，再根据对勾函数的性质计算可得.
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【详解】（1）解：因为
，
可得
，
则
，
所以
，
即
，由正弦定理得
，
显然
，
，所以
，
所以
，因为
，
所以
.
（2）解：因为
，即
，
所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形且
，所以
，所以
，
即
，
令
，
，
根据对勾函数的性质可知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
，
所以
，即
，所以
，
即
的取值范围为
.
7．（2023 年广东省模拟数学试题）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求证：
.
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(2)求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得
，结合角度范围即可证明；
(2)结合正弦定理及三角恒等变换
，结合B 角范围即可求解.
【详解】（1）在
中，
由
及正弦定理得：
又∵
，
∴
即
，
∵
，∴
.
∵
，∴
，
（2）得：
得
，
∴
，∴
，
由题意
，
及正弦定理得：
∵
，∴
，即
故
的取值范围为
方法二：由正弦定理得：
∵
，∴
，
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由（1）得：
，故
由（1）得：
得
，
∴
，∴
，
∴
，即
，
故
的取值范围为
.
题型八、正、余弦定理中的结构不良问题
1．已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)在
中，
分别是角
的对边，
，若
为
上一点，且满足
____________，求
的面积.
请从①
；②
为
的中线，且
；③
为
的角平分线，且
.
这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
，
；(2)答案见解析.
【分析】（1）先对
解析式进行化简，再对正弦型三角函数求单调递增区间即可；
（2）由题干可知
，
.选①时，
的面积由
计算；选②③时
的面积由
计算.
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【详解】（1）
，
由
，得
，
，
∴函数
的单调递增区间为
，
；
（2）由
，得
，
又
中
，
，可知
；
若选①
：
由
，可知
，可化为
，
又
，则
，
又
中
，故
，所以
，
则
，故
；
若选②：
为
的中线，且
在
中，
，
，则有
，
在
中，
，
在
中，
，
又
，
则
则
，又知
，故
；
故
；
若选③：
为
的角平分线，且
.
由题意知，
，
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即
，整理得
又在
中，
，
，则有
，
故
解之得，
，故
.
2．在
中，
分别为角
所对的边.在①
；②
；③
这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角
的值；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
的面积的取值范围.
【答案】条件选择见解析；（1）
；（2）
.
【解析】（1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得
，根据三角形内角性质得出
且
，即可求出角
的值；选择条件②，根
据向量的数量积公式以及三角形的面积公式，化简得出
，即可求出角
的值；选择条件③，
根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简的出
，从而可求出角
的值；
（2）根据题意，利用正弦定理边角互化得出
，
，再根据三角形面积公式化简得出
，由
为锐角三角形，求出角
的范围，从而得出
的面积的取值范围.
【详解】解：（1）选①
，
由正弦定理得：
，
∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
；
选②
，
∴
，
∴
，
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∵
，∴
，则
，
∴
；
选③
，
得
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
.
（2）已知
为锐角三角形，且
，
由正弦定理得：
，
∴
，
，
∴
，
∵
为锐角三角形，
∴
，
∴π
6 <2 A−π
6 < 5 π
6
，∴
.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的
应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角
形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.
3．（2023 年黑龙江省模拟考试数学试题）在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角
的内角
的对边分别为
，且______.
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(1)求
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）选①，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简即可求出角
；
选②，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后将
代入，最后根据恒等变换
化简即可求出角
；
选③，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简求出
，即可求出角
.
（2）首先将
代入，然后利用恒等变换将其化简成正弦型函数，最后根据正弦函数的性
质求解取值范围即可.
【详解】（1）选①
，所以
，
所以
，
整理得
.
因为
，所以
.因为
，所以
.
选②
因为
，所以
，
所以
，整理得
.
因为
，所以
，因为
，所以
.
选③
因为
，
所以
，
所以
，
整理得
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
.
（2）因为
，
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所以
.
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，故
.
4．在①
，②
，③
三个条件中任选一个补充在下面的横
线上，并加以解答.
在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，且______，作
，使得四边形
满足
，
， 求
的取值范围.
【答案】
.
【分析】根据题意，选择①②③求得
，设
，则
，在
中，由正弦定理求得
，在
中，由正弦定理
求得可得
，结合
和三角函数的性质，即可求解.
【详解】若选①：由
，根据正弦定理可得
，
即
，
即
，
可得
，因为
，所以
，
设
，则
，
在
中，由正弦定理得
，
可得
，
在
中，由正弦定理得
，
59
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可得
，
因为
，可得
，
当
时，即
，可得
，
当
时，即
，可得
，
所以
的取值范围是
.
选②：由
，根据正弦定理可得
，
可得
，即
，
又由余弦定理，可得
，
因为
，所以
，
设
，则
，
在
中，由正弦定理得
，
可得
，
在
中，由正弦定理得
，
可得
60
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，
因为
，可得
，
当
时，即
，可得
，
当
时，即
，可得
，
所以
的取值范围是
.
若选③：由
，可得
，
即
，可得
，
因为
，所以
，
设
，则
，
在
中，由正弦定理得
，
可得
，
在
中，由正弦定理得
，
可得
，
因为
，可得
，
当
时，即
，可得
，
61
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当
时，即
，可得
，
所以
的取值范围是
.
题型九、正、余弦定理的实际应用
1.（2023 年江苏省模拟数学试题）如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°相距
海里的B 处有一艘
走私船，正沿东偏南45°的方向以3 海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以
海里小时的速度
沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即
改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以
海里小时的速度沿着直线追击
(1) 当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里.
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船.
【答案】(1)两船相距
海里.
(2)巡逻艇应该北偏东
方向去追，才能最快追上走私船.
【分析】（1）在
中，解三角形得
，
， 在
中，由余弦定理求得
.
（2）在
中，解三角形得
，
，得到
，在
中，由正弦定理
求得
，结合图形知巡逻艇的追赶方向.
【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D 处，巡逻艇在C 处，此时
，
由题意知
在
中，
由余弦定理得
所以
在
中， 由正弦定理得
，即
所以
（
舍去）
所在
62
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又
在
中，
由余弦定理得
，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距
海里.
（2）当巡逻艇经过小时经
方向在
处追上走私船，
则
在
中，由正弦定理得：
则
所以
，
在
中，由正弦定理得：
则
，故
（
舍）
故巡逻艇应该北偏东
方向去追，才能最快追上走私船.
2．如图，一架飞机从
地飞往
地，两地相距
.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞
以后，就沿与原来的飞行方向成
角的方向飞行，飞行到
地，再沿与原来的飞行方向成
角的方向继续
飞行
到达终点.
(1)求
、
两地之间的距离；
(2)求
.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）利用余弦定理可直接求得
的长；
（2）利用余弦定理求出
的值，结合同角三角函数的基本关系可求得
的值.
【详解】（1）解：由余弦定理可得
，
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所以，
.
（2）解：由余弦定理可得
，
所以，
，则
为锐角，
故
，
因此，
.
3．由于2020 年1 月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民
生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位
的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前
“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地
进行改
造．如图所示，平行四边形
区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P 在弧
上，
点M 和点N 分别在线段
和线段
上，且
米，
．记
．
(1)当
时，求
；
(2)请写出顾客的休息区域
的面积关于
的函数关系式，并求当
为何值时，取得最大值．
【答案】(1)
；
(2)
，
；当
时，取得最大值.
【分析】（1）在△
中由正弦定理求得
，即可由数量积的定义求得结果；
（2）在△
中由正弦定理用
表示
，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函
数的性质，即可求得取得最大值时对应的
.
【详解】（1）根据题意，在△
中，
，又
，
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故由正弦定理
可得：
解得
，
，
故
.
即
.
（2）由题可知，在△
中，
，
则由正弦定理
，
可得
，
故可得
，
故
.
即
.
当
时，
，此时取得最大值.
4．（2023 年云南省教学质量检测数学试题）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．
“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。
有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三
角形木块，三角形顶点
都在圆周上，角
的对边分别为
，
，，满足
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(1)求
；
(2)若
的面积为
，且
，求
的周长
【答案】(1)
；(2)
cm.
【分析】（1）根据题意可求圆的直径
，再结合正弦定理运算求解；
（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.
【详解】（1）设
的外接圆半径为
，则
（cm），
由正弦定理
，可得
.
（2）∵
，则
，故
为锐角，
∴
，
由面积公式
，即
，可得
，
由余弦定理
，即
，
可得
，解得
（cm），
故
的周长为
（cm）.
5．如图，在海岸边
点的观测站发现南偏西30°方向上，距离
点20 海里的
处有一艘走私船，立刻通
知了停在
的正东方向上，且距离
点
海里的
处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以
海里/时的
速度追截走私船，此时，走私船正以10 海里/时的速度从
处沿南偏东15°方向逃窜.
(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
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(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？
【答案】(1)
海里，西南方向；(2)
小时.
【分析】（1）在三角形中分别利用余弦定理、正弦定理求解即可；
（2）作出图形，设小时后缉私艇在
处追上走私船，利用正弦定理求出
即可求解.
【详解】（1）由题意可知
，
，
.
在
中，由余弦定理可得
.
由正弦定理得
，解得
，所以
.
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇
海里，在缉私艇的西南方向上.
（2）如图，
设小时后缉私艇在
处追上走私船，则
，
.
.
在
中，由正弦定理得
，
解得
，则
，所以
是等腰三角形.
，即
.
故缉私艇至少需要
小时追上走私船.
6．（2023 年福建省模拟数学试题）目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广表平
原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB，已
知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测
得基站底部B 的仰为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°.
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(1)求出山高BE（结果保留整数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C 处（眼
睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离CD=xm，且记在C 处观测基站底部B 的仰角为
，观测基站顶端
A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角∠ACB 最大？
参考数据:
.
【答案】(1)
；(2)
，∠ACB 最大.
【分析】（1）在
中，利用正弦定理求出
，再在
中，求出
即可；
（2）易得
，分别在在
和在
中，求出
，再根据两角和的
正切公式结合基本不等式求出
取得最大值时，
的值，再根据正切函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由题意可知，
，
在
中，
，
所以
，
在
中，
，
所以出山高
；
（2）由题意知
，且
，
则
，
在
中，
，
在
中，
，
则
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，
当且仅当
，
即
时，取等号，
所以
取得最大值时，
，
又因为
，
所以此时
最大，
所以当
时，
最大.
7．文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007 年4 月在原址拆
除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB 时，选取与塔底在同一水平面内的
两个测量基点C 和D． 测得
，在点 C 测得塔顶A 仰角为
，已知
，
，且CD＝56 米．
(1)求
；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
【答案】(1)
；(2)47.
【分析】（1）利用平方关系求出
，再根据
利用两角和的正弦公式即可得
解；
（2）在
中，利用正弦定理求出
，再解
即可得解.
【详解】（1）解：在
中，因为
，
所以
，
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则
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
则
；
（2）解：在
中，因为
，
所以
米，
则
中，
米，
所以塔高AB 为47 米.
题型十、重点训练第一问
1．在△ABC 中，设角A，B，C 的对边长分别为a，b，c，已知
．
求角B 的值；
【答案】60° ；﹒
【分析】根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出cosB 及B ；
【详解】∵
，
∴由正弦定理得
，即
，即
，
即
，
由余弦定理得
，∵
，∴
；
2．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
求角
的大小；
【答案】
；
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【分析】利用正弦定理化边为角结合三角恒等变换可得
，再根据
的范围进而即得
的大
小；
【详解】由正弦定理及
，得
因为
，所以
，所以
，
所以
所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
，故
.
3．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
.
求角
；
【详解】方法一：因为
，所以
，
所以由正弦定理得，
.
又
，所以
.因为
，所以
.
方法二：因为
，
可化为
即
即
即
，因为
，所以
.又因为
，所以
.
4．
的内角
的对边分别为
，已知
.
证明：
；
【详解】证明：由正弦定理及
，可得
，
因为
，可得
，
所以
,所以
或
，
因为
，所以
，即
.
5．在平面四边形
中，
，
，
，
．
求
；
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【详解】在
中，由正弦定理得
．
由题设知，
，所以
．
由题设知，
，所以
．
6．在
中，内角A，
，
所对的边分别是
，
，，且
.
求
；
【详解】由
结合正弦定理边化角可得，可得
.
因为
，所以
.
又
，所以
或
.
7．已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
求
的值；
【详解】因为
，所以由正弦定理得
，
又
，
所以
，则
，
因为
，则
，所以
.
8．
中，三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，且
若
，
，求
内切圆的半径长；
【详解】因为
，所以
，
由
得
，由
，解得
，
∴
，设
内切圆的半径长为，
则
，所以
.
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