文档文本内容
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第13 讲方程与等式的性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断各式是否是方程
题型2 列方程
题型3 判断是否是一元一次方程
题型4 根据一元一次方程求参数的值
题型5 判断是否是一元一次方程的解
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
题型8 等式的基本性质
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
方程、等式、性质1、
性质2、变形、化归、
等量关系。
1. 理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区
别。
2. 掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相等）；
性质2（两边同乘或除以同一不为0 的数，仍相等）。
3. 能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。
4. 能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工
具价值。
学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。
学习难点：理解等式性质2 中“除以同一个不为0 的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算
的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 方程的有关概念
定义：含有未知数的等式叫做方程.
【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
【易错提醒】
方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3（不
含等号）不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。
即时即练1．已知下列式子：
2
1
8
312
3
1
2
13
10 2
5
7
1
0
1
3
x
x
x
y
x
x
a
x
x
；
；
；
；
；
；
；
．其中
方程的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
知识点02 一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．
【易错提醒】
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一元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为0。
如x2-1=0 是二次，
ͳ
ݔ=1 是分式，0×x=5 无解，均不是。化简后判断。
即时即练1．下列式子：①9
2
x
；②
1
2
x
；③(1
)(1
)
3
x
x
；④3
0
x
；⑤1
5
3
y
；
⑥1
1
1 (
3)
3
5
2
x
x
x
中，一元一次方程共有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．已知关于x 的方程
| |
(
1)
2
3
m
m
x
m
是一元一次方程，则实数m 的取值是（
）
A．1
B．1
C．1 或1
D．0
知识点03 方程的解、解方程
1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.解方程：求方程的解的过程.
【易错提醒】
方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。
注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。
即时即练1．下列方程中，解为
2
x
的方程是（
）
A．
6
2
x
x
B．
4
2
1
1
x
C．3
2
3
x
D．1
1
0
2 x
知识点04 等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【易错提醒】
方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。
注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。
即时即练1．下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是（
）
A．若
5
a
，则
2
5
a
a
B．bm
bn
，则m
n
C．若m
n
b
b
，则m
n
D．若
8
2
x
，则
16
x
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2．运用等式性质进行的变形，下列正确的是（
）
A．如果
2
2
ac
bc
，那么a
b
B．如果a
c
b
c
，那么a
b
C．如果a
b
，那么a
b
c
c
D．如果
5
5
a
b
，那么a
b
题型1 判断各式是否是方程
【例1】下列式子中，方程的个数是（
）
①3 3 1
5 2
；②
2
2
0
y
；③3
1
5
x
y
；④
1
7
1
4
2
x
x
；⑤x
y
z
；
A．2
B．3
C．4
D．5
【例2】在13
5
23
b＋>
；
2.4
30
x
x
；42
3
126
；1.5
70
m
；8
3.6
n
中，方程有（
）个．
A．2
B．3
C．4
【技巧归纳】
方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“=”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0 是方程，2+3=5
不是（无未知数），2x>1 不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未
知数。直接找“=”和字母。
【变式1-1】下列各式3
2
x
，2
1
m
n
，
a
b
b
a （a，b 为已知数），
0
y
，
2
3
2
0
x
x
中，方程
有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】下列各式：①2
1
5
x
；②4
8
12
；③5
8
x ；④2
3
0
x
y
；⑤x ；⑥
2
2
5
1
x
x
；
⑦
1
2
x
；⑧6
6
9
y
y
．其中是方程的有（
）
A．①②④⑤
B．①②⑤⑦⑧
C．①④⑦⑧
D．8 个都是
题型2 列方程
【例3】列等式表示“ x 的2 倍与10 的和等于8”
．
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【例4】设某数为x，如果某数的2 倍比它的相反数大1，那么列方程是
．
【技巧归纳】
找等量关系（关键词：是、等于、比…多/少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量
关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。
列完后检查左右意义一致。
【变式2-1】一个长方形场地的周长为160 米，长比宽的2 倍少1米．如果设这个场地的宽为x 米，那么可以
列出方程为
．
【变式2-2】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能
够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物，蛋白质与脂
肪的含量共30g ．设蛋白质的含量为g
x ，脂肪的含量为g
y ，可列出方程为
．
题型3 判断是否是一元一次方程
【例5】下列方程是一元一次方程的是（
）
A．5
1
2
x
B．3
2
0
x
y
C．
2
4
0
x
D．2
5
x
【例6】下列方程中，是一元一次方程的是（
）
A．
1
x
B．
2
1
x
C．
1
x
y
D．1
1
x
【技巧归纳】
一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为ax+b=0（a≠
0）。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a 是否为零。如2x+3=0 是一元一次，x
²=4 不是（次数2），1/x=3 不是（分母含x）。
【变式3-1】已知下列方程：（1）
2
2
x
x
；（2）0.3
1
x ；（3）
5
2
x
x
１；（4）
2
4
3
x
x
；（5）
6
x
；
（6）
2
0
x
y
．其中一元一次方程的个数有（
）
A．2
B．5
C．4
D．3
【变式3-2】已知下列方程：①
1
2
x
x
；②0.2
1
x ；③
3
3
x
x
；④
6
x
y
；⑤
0
x
，其中一元一
次方程有（
）
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A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
题型4 根据一元一次方程求参数的值
【例7】已知
4
3
1
3
2
m
x
是关于x 的一元一次方程，那么m
．
【例8】已知(
1)
3
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为
．
【技巧归纳】
先将方程化为标准形式ax+b=0，令x 的系数a≠0 且x 的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一
元一次）列方程或不等式。如(m-2)x+3=0 是一元一次，则m-2≠0 得m≠2。若有二次项，需使二次项系数为
0。解参数并检验。
【变式4-1】已知关于x 的方程
1
2
0
m
m
x
是一元一次方程，则m
．
【变式4-2】若关于x 的方程
2
1
1
2
0
m
mx
m
x
是一元一次方程，则m 的值为
．
题型5 判断是否是一元一次方程的解
【例9】下列方程中，解为
1
x 的是（
）
A．
1
0
x
B．2
1
x
x
C．
2
x
x
D．
1
1
3
2 x
【例10】下列方程中，解为
2
x
的是（
）
A．
2
0
x
B．1
2
3
x
C．
1
1
3
x
x
D．0.2
1
x
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式5-1】下列方程中，解是
1
x 的方程是（
）
A．
2
1
4
x
B．
2
1
4
x
C．
2 1
4
x
D．
2
1
2
x
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【变式5-2】下列方程中，解是
1
2
x
的是（
）
A．2
4
x
B．2
3
1
x
C．
1
1
2
3
4
x
D．
3
1
1
2
4
x
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
【例11】若
2
x
是方程8 3x
ax
的解，则a
．
【例12】
1
x 是方程3
1
0
x
m
的解，则m 的值是
．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式6-1】若关于x 的方程2
3
x
k
的解为
1
x ，则k 的值为
．
【变式6-2】
2
x
是方程
1
2
x
a
x
的解，则a
．
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
【例13】若
2
x
是方程
4
a
bx
的解，则6
3
2023
b
a
的值为
．
【例14】若关于x 的方程
2
1
ax
a
b
的解是
3
x ，则a
b
的值为
．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式7-1】已知关于x 的一元一次方程
1
4
6
m x
n
的解是
1
x ，则
2
3
m
n
的值为
．
【变式7-2】如果
3
x
是方程
5
2
ax
b
x
的解，那么3
6
2
a
b
．
题型8 等式的基本性质
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【例15】运用等式性质进行的变形，正确的是（
）
A．若ac
bc
，则a
b
B．若a
b
c
c
，则a
b
C．若2
4
a
b
，则
4
2
b
a
D．若
1
6
3 x
，则
2
x
【例16】已知等式a
b
，下列变形不正确的是（
）
A．3
2
3
2
a
b
B．3
3
a
b
C．5
5
a
b
D．
1
1
a
b
【技巧归纳】
性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0 的数，等式仍成立。
应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2 反向也成立（同除
为0 除外）。用于方程变形。
【变式8-1】下列等式变形正确的是（
）
A．如果
3
3
x
y
，那么
0
x
y
B．如果mx
my
，那么x
y
C．如果
1
2
s
ab
，那么
2
s
b
a
D．如果1
6
2 x
，那么
3
x
【变式8-2】下列说法错误的是（
）
A．若2
2
x
y
，则x
y
B．若
2
5
x
x
，则
5
x
C．若a
b
，则
6
6
a
b
D．若
2
2
1
1
a
b
c
c
，则a
b
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（
）
A．4
5
3
x
B．
2
3
m
m
C．
3
4
x
y
D．
2
3
42
x
x
2．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（
）．
A．如果2
2
x
y
，那么x
y
B．如果
2
5
x
x
，那么
5
x
C．如果a
b
，那么
6
6
a
b
D．如果
2
2
1
1
a
b
c
c
，那么a
b
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3．已知
2
x
是关于x 的方程2
6
x
m
的解，则m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．解方程
1
1
2
2
2
x
x
时，墨水把其中一个数字染成了
，查阅答案方程的解为
5
3
x
，则
处
的数为（
）
A．2
B．3
C．െ͵
D．2
5．关于x 的方程
3
0
ax
b
的一个解是
2
x
，则2026
2a
b
（
）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
二、填空题
6．由“ x 的2 倍与3 的和等于5”可列方程为_____．
7．关于x 的方程
2
12
0
mx
x
的解为
3
x
，则m 的值为_____
8．已知等式
2
3
5
0
m
m
x
是关于x 一元一次方程，则m _________．
9．若关于x 的一元一次方程2
6
0
ax
bx
的解是
2
x
，则2
4
a
b
的值是_______
10．已知关于x 的方程4
2
12
kx
a
x
bk
（a ，b 为常数），无论k 为何值，它的解总是
1
x ，则2a
b
的
值是______．
三、解答题
11．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质．
(1)如果x
y
，那么
3
3
x
y
；
(2)如果2
2
a
b
，那么a
b
；
(3)如果a
b
，那么ac
bc
；
(4)如果x
y
a
a
，那么x
y
．
12．根据下列条件列出方程：
(1) x 的5倍与2 的和等于x 的3倍与4 的差．
(2)某数的1
2 比它本身小6．（设这个数为x ）
(3)一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去11．（设这个数为x ）
13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4
8
x
和
1
0
x
为“美好方程”．
(1)若关于x 的方程2
0
x
m
与方程4
2
7
x
x
是“美好方程”，求m 的值；
(2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n 的值．
14．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程．
(1)x 与3 的差是5．
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(2)代数式2
x
与2
5
y
的值相等．
(3)两个正方形的边长分别为ݔcm，ݕcm，它们的面积差为
2
7cm ．
(4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x 场，负了ͺ െݔ场，胜的场数大于负的场数．
15．已知两个整式M
x
y
，N
x
y
，将整式M 与整式N 求和后得到整式
1
2 .
A
x
此操作记作第一次求
和操作；将第一次求和操作的结果
1A 加上
2
M
N
的结果记为
2
A ，记作第二次求和操作；将第二次求和操
作的结果
2
A 加上2
3
M
N
的结果记为
3
A ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果
3
A 加上3
4
M
N
的结
果记为
4
A ，记作第四次求和操作，…，以此类推．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)【理解定义】
①计算：
2
A ______，
3A ______（用含x，y 的代数式表示）；
②观察前三次的结果，猜想
n
A ______（用含n，x，y 的代数式表示）．
(2)【初步应用】
当
3
y
x
时，
①
6
A ______；
②若关于x 的方程
6
3
1
1
2
5
48
2
2
A
A
m
A
有无数个解，则m ______．
(3)【深入探究】
当n 为大于3 的正整数时，
2
1
1
3
2
1
k
k
m
n
A
A
m
x
m
y
x y
是关于x，y 的五次三项式( 其中m 和
k 均为整数) ，则
m
k 的值为______．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
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