《2026初高衔接》[第一讲]——代数式与乘法公式_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

1
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
夏• 2026 初高衔接
1
代数式与乘法公式
代数式与乘法公式
初中数学的教学与学习，主要集中在文字描述向数学表达的转化和翻译的环节，而这中间代数式起到了关
键作用，高中阶段的数学教学中，将更加强化这一观念．
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
幂、根式、分式
掌握幂、根式、分式在初高中的不
同应用情景，感知初高中教学差异
数学运算
乘法公式
掌握初中延续，但是高中课上不讲
的乘法公式．
数学运算、逻辑推理
一幂与根式
代数式
由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表
达式称为代数式．代数式主要包含以下三类：
、
与
．
幂与根式的运算
幂与根式的运算
分数指数幂的运算法则：
正分数指数幂运算法则：a
n
m =
m an
由此得负分数指数幂：a
- n
m = 1
a
n
m =
1
m an
高中
初中
负指数幂法则：
负整数指数幂等于它的倒数：a−p = 1
ap 或
1
a


p
同底数幂的加减法：
利用乘法拆分高次幂为低次幂的同类项
再合并计算．即：当n = m + s 时，有：
an± am = am+s± am = as∙am ± am = am as±1


高中
初中
在指数函数和数列运算中考察
乘法：同底数幂相乘底数不变，指数相加：am ⋅an= am+n
除法：同底数幂相除底数不变，指数相减：am ÷ an= am−n
幂的乘方：幂的乘方底数不变，指数相乘：(am)n= amn
积的乘方：积的乘方等于积的因式乘方积：(ab)n= an⋅bn
a n
幂
指数
底数
a×a×a× ∙∙∙×a×a=











n个a
幂是指数函数、幂函数的
基础，需牢记和能识别底
数、指数的位置与概念．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
形如
a 的式子叫二次根式
双重非负性

1 被开方数非负
2 根式整体结果非负
a2 = a


= a，
a≥0
−a，a<0

( a)2 = a，a ≥0
性质运算

a=a
1
2
2
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1 (★★☆☆☆)计算
1
2


-x
+ 2x+1


2÷ 2x+2 -
(-2x)2 + 2x+2 - 2x
1
(★☆☆☆☆)若二次根式
4x-2 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为
(
)
A. x > 1
2
B. x ≥1
2
C. x < 1
2
D. x ≤1
2
2
(★☆☆☆☆)若实数x，y 满足y =
x-5 +
5-x - 1，则x - y 的值是
(
)
A. 1
B. - 6
C. 4
D. 6
3
(★☆☆☆☆)在△ABC 中，三边分别为a，b，c，则化简|a - b + c| -2 (c-a-b)2 的结果为
(
)
A. 3a + b - c
B. - a - 3b + 3c
C. a + 3b - 3c
D. 2a
4 (★★☆☆☆)化简下列算式
(1)3 ×
1
2


x
-
1
2


x+1
(3) 2(1-2n)
1-2
- n•2n+1
(2) (3x-1)2÷ 3x+
1
3


-2x
-
(-32x)2
(4)
1
4 -
1
2n+1
1- 1
2
- 2n-1
2n+1
3
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(5)
a
2
3 ⋅b-1


1
2 ⋅a
1
2 ⋅b
1
3
6 a⋅b5
(7)
a
4
3 -8a
1
3 b
4b
2
3 +2 3 ab+a
2
3 ÷ 1-2
3 b
a


× 3 a
5
(★★☆☆☆)完成下列计算．
(1)27
- 1
3 +
25
9


1
2 - ( 2)0
(3) 3
2


- 1
3 + 8
1
4 × 4 2 + ( 3 2 ×
3)6-
- 2
3


2
3
(5) (-2)0+
3
2


-2
⋅3 3
8


2
3 - ( 3 3 )
4
3 +
(1-
2)2
(6)
3
a
3
2
a-3 ⋅
(a-5)
- 1
2 ⋅a
- 1
2


3；
(8) a
2
3 +3a
1
3 b
1
3 +(3 3 b)2
a
4
3 -27a
1
3 b
÷
a
1
3
3 a-3 3 b
(2) 2 7
9


0.5
+
27
64


- 2
3 - ( 8)
2
3 +
2
3


0
(4) (-64)
1
3 + [(-3)4]
1
4 - ( 2 - 1)0 +
- 1
8


2
(6) 3 3
8


- 2
3 + 0.01
- 1
2 - 5 ⋅( 5 - 2)-1 -
- 2
3


4
4
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(★★☆☆☆)在数学学习活动中，小明遇到一道题：已知a =
1
2+
3 ，求2a2 - 8a + 1 的值，他是这
样解答的：∵a =
1
2+
3 =
2-
3
(2+
3)(2-
3) = 2 -
3，∴a - 2 =- 3，∴(a - 2)2= 3，即a2- 4a + 4 = 3
∴a2- 4a =-1．∴2a2- 8a + 1 = 2(a2- 4a) + 1 = 2 × (-1) + 1 =-1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1) 计算：
2
3+1 =
．
(2) 化简：
1
2+1 +
1
3+
2 +
1
4+
3 +⋯+
1
169+
168 ．
(3) 若a =
1
5-2 ，求a4- 4a3- 4a + 3 的值．
7
(★★★☆☆)对于方程
(a-1)2 +
(a-3)2 = 2 我们可以通过分类讨论法找到符合方程的a 的范围．
具体作法如下：∵
(a-1)2 +
(a-3)2 = |a - 1| +|a - 3|，根据去绝对值的方法对该绝对值和做分类如下：
①当a < 1 时，原式= (1 - a) + (3 - a) = 4 - 2a = 2，解得a = 1(舍去)；
②当1 ≤a ≤3 时，原式= (a - 1) + (3 - a) = 2 = 2，符合条件；
③当a > 3 时，原式= (a - 1) + (a - 3) = 2a - 4 = 2，解得a = 3(舍去)
∴a 的取值范围是1 ≤a ≤3．
请你根据上述理解，解答下列问题：
(1) 当2 ≤a ≤3 时，化简，
(a-2)2 +
(a-5)2 =
．
(2) 若等式
(3-a)2 +
(a-7)2 = 4 成立，求a 的取值范围．
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二分式的裂项与分离常数
初中阶段我们学习了分式的加减法与乘除法的基本内容，高中阶段，我们会在初中学习的基础上，对分式
加减法的逆向运算进行运用．主要包含两类：分式裂项与分离常数法．
分式
若A、B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A
B 叫做分式，其中A 称为分子，B 称为分母．
分式有意义的条件：分母不能为0；分式为零的条件：分子为0，分母不为0. 即
A=0
B≠0

分离常数法在高一必修一的学习中很重要，需要大家对于其方法和步骤进行实记．
分式的应用
1
n(n+1) = 1
n -
1
n+1
1
n(n-1) =
1
n-1 - 1
n
c
小分母×大分母=
1
小分母-
1
大分母




×
c
大-小
高中
初中
分式的加减法
1
n -
1
n+1
=
n+1
n(n+1) -
n
n(n+1)
= n+1-n
n(n+1)
=
1
n(n+1)
逆运算
高中
初中
分式的加减法
3 +
7
x-2
= 3(x-2)
x-2
+
7
x-2
= 3x-6+7
x-2
= 3x+1
x-2
逆运算
分式裂项方法
分式分离常数法
3x+1
x-2 = 3(x-2) + 7
x-2
= 3(x-2)
x-2
+
7
x-2 = 3 +
7
x-2
①提出倍数
②在分子上凑分母，然后凑常数
③裂项
2 (原创∙★★★☆☆)现有一分式：2n2+2n+1
n(n+1)
，请完成下列问题：
(1) 证明：2n2+2n+1
n(n+1)
= 2 + 1
n -
1
n+1 ；
(2) 解方程：；
(3) 求式子的值：2×12+2×1+1
1×2
+ 2×22+2×2+1
2×3
+ ∙∙∙+ 2n2+2n+1
n(n+1)
．
6
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8
(★★☆☆☆)请对下列分式进行常数分离．
(1) x-1
x+1
(3) 2x-1
x+1
(5) |x|+2
|x|+1
(7) x2+3x+2
x2+1
9
(★★☆☆☆)将下列分式裂为a + 1
a 形式．
(1) x2+1
x
(3) x2+2x
x-1
(5) x2+1
x+1
(2) 2-x
x+3
(4)
3x
2x+1
(6) x2-1
x2+1
(8)
2x2-x
x2+2x-1
(2) x2-3x+1
x+2
(4)
x2
2x-1
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10 (★★☆☆☆)观察下列各式：
1
2 =
1
1×2 = 1
1 −1
2 ，
1
6 =
1
2×3 = 1
2 −1
3 ，1
12 =
1
3×4 = 1
3 −1
4 ，
1
20 =
1
4×5 = 1
4 −1
5 ⋅⋅⋅
(1) 请你猜想出上式的一般规律，用含x(x 表示整数) 的等式表示
1
x(x+1) =
(2) 请利用上述规律计算(要求写出计算过程)：1
2 + 1
6 + 1
12 +⋅⋅⋅+
1
n(n−1) +
1
n(n+1)
(3) 请利用上述规律，解方程：
1
(x−2)(x−1) +
1
(x−1)x +
1
x(x+1) =
1
x+1
11 (★★☆☆☆)已知分式
n2+4n+5
(n+1)(n+3) ，完成下列问题：
(1) 计算
1
n+1 -
1
n+3 ，结合计算推导分式
1
(n+1)(n+3) 的裂项公式；
(2) 用分离常数法化简二次分式
n2+4n+5
(n+1)(n+3) ；
(3) 求证：12+4×1+5
(1+1)(1+3) + 22+4×2+5
(2+1)(2+3) + ∙∙∙+
n2+4n+5
(n+1)(n+3) = n + 5
6 -
2n+5
(n+2)(n+3)
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12 (★★★★☆)有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是
1
1×2 ；第二个数是
1
2×3 ；第三个数是
1
3×4 ；⋯⋯
(1) 经过探究，我们发现：
1
1×2 = 1
1 −1
2 、
1
2×3 = 1
2 −1
3 、
1
3×4 = 1
3 −1
4 , 设这列数的第5 个数为
a，那么正确的关系是
(
)
A. a > 1
5 −1
6
B. a = 1
5 −1
6
C. a < 1
5 −1
6
(2) 请你观察第1 个数、第2 个数、第3 个数，猜想这列数的第n 个数(即用正整数n 表示第n 数)，并且证
明猜想“第n 个数与第n + 1 个数的和等于
2
n(n+2) ”
(3) 设M 表示1
12 ，1
22 ，1
32 ，⋯⋯，
1
20262 ，这2016 个数的和，即M = 1
12 + 1
22 + 1
32 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
1
20262
求证：2026
2027 < M < 4051
2026 ．
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三乘法公式
在初中，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘法公式可以使很多多项式的运算变得更为简便．初中主要
学习了两个基本的乘法公式——平方差公式和完全平方公式．
平方差公式
a2 - b2 = a-b


(a + b)
完全平方公式
a±b


2 = a2 ± 2ab + b2
以完全平方公式为基础可以得到代数变形中最基础的一个方法——配方法：将一个式子或一个式子的某一
部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．
如：a，b > 0 时，有：a + b =
a+
b


2- 2 ab
乘法公式
基
础
乘法公式





平方差公式：a2-b2= a-b


(a+b)
完全平方和：a+b


2=a2+2ab+b2
a-b


2=a2-2ab+b2
完全立方和：
a+b


3=a3+3a2b+3ab2+b3
a+b


3=(a+b)(a+b)2
=(a2+2ab+b2)(a+b)
三项和平方：
a+b+c


2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
b换成-b
a-b+c


2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc
立方和公式：
a3+b3= a+b


(a2-ab+b2)
a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2
=(a+b)[(a+b)2 —3ab]
b换成-b
3 (★★★☆☆)已知a > 0，且a2- 3a + 1 = 0，求：
(1) a + 1
a
(2) a2+ 1
a2
(3) a3+ 1
a3
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13 (★☆☆☆☆)若x2+ kx + 25 是完全平方式，则k 的值为
(
)
A. 10
B. - 10
C. ± 10
D. ± 5
14 (★☆☆☆☆)若x + y = 6，x2+ y2= 20，x - y =
(
)
A. 2
B. - 2
C. 4
D. ± 2
15 (★★☆☆☆)若(1 +
2)3 = a + b 2，其中a，b 为整数，则a2- 2b2=
(
)
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 3
16 (★★☆☆☆)已知a3+ b3= 28，a + b = 4，则ab =
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
17 (★★★☆☆)若a + b + c = 0，则下列结论正确的是
(
)
A. a3+ b3+ c3= 0
B. a3+ b3+ c3= 3abc
C. a2+ b2+ c2= 0
D. ab + bc + ca = 0
18 (★★☆☆☆)已知x2 + 3x - 1 = 0，求：
(1)x2 + 1
x2
(2)x3 - 1
x3
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19 (★★★☆☆)若a2- 6a + 1 = 0，求下列式子的值：
(1) a + a-1
(2) a2+ a-2
(3) a
1
2 - a
- 1
2
(4)
a3+a-3
a-2+a2+1
20 (2024 ∙新高考Ⅱ卷•★★★☆☆)甲乙两人组成一支队伍参赛，比赛仅限一人出场．已知甲夺冠的概
率P甲= [1 - (1 - p)3]q3，乙夺冠的概率P乙= [1 - (1 - q)3]p3，设0 < p < q，试问选派哪一人出场参赛更合适？
21 (★★★☆☆)请利用配方法探究函数y = x + 4
x (x > 0) 的最小值和取得最小值时的x．
12
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22 (★★★☆☆)所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3 = ( 3 )2；5 = ( 5 )2，下面我们观察：
(
2 - 1)2 = (
2 )2 - 2 × 1 ×
2 + 12 = 2 - 2 2 + 1 = 3 - 2 2 ，反之可得到：
3-2 2 =
( 2-1)2 =
2-1


=
2 - 1．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
(1) 计算：①
5+2 6
②
4-
12
(2) 若
a±2 b =
m ±
n，则m、n 与a、b 的关系是什么？并说明理由．
(3) 化简
1
16-6 7
-
1
11+4 7
23 (★★★★☆)请将下列一次方程中的y 带入二次方程中，整理出关于x 的一元二次方程．
1


(2024• 新高考Ⅰ) 一次方程：y = k(x - 3) + 3
2 ，二次方程：x2
12 + y2
9 = 1
2


(2023• 乙卷) 一次方程：y - 3 = k(x + 2)，二次方程：y2
9 + x2
4 = 1
3


(2022• 乙卷) 一次方程：y + 2 = k(x - 1)，二次方程：x2
3 + y2
4 = 1
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1 (★☆☆☆☆)若10a= 20，10b= 5，则a + b =
(
)
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 10
2 (★☆☆☆☆)若a2- ab = 7 - m，b2- ab = 9 + m，则a - b 的值为
(
)
A. 2
B. ± 2
C. 4
D. ± 4
3 (★☆☆☆☆)若x < 3，则
9-6x+x2 - |x - 6| =
(
)
A. - 3
B. 3
C. - 9
D. 9
4 (★☆☆☆☆)将分式2x-1
x-3
变形，结果正确的是
(
)
A. 2 +
5
x-3
B. 2 -
5
x-3
C. 1 +
2
x-3
D. 2 +
1
x-3
5 (★★☆☆☆)完成下列化简和求值．
(1) a⋅
3 b a
b
1
2
，a > 0
(2)
3 a4 a-3
3 a4 a4 ，a > 0
(3) 2 1
4


1
2 - (2027)0 - 3 3
8


- 2
3 + (1.5)-2
(4)
1
2-1 -
3
5


0
+
9
4


-0.5
+
4 ( 2-π)4
(5)
5+2 6
(6)
7-4 3
14
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6 (★★☆☆☆)已知M = x+1
2
，N =
2x
x+1 ．设y = 2
M + N．
(1)当y = 3 时，求x 的值；
(2)若x 是整数，求y 的正整数值．
7 (★★☆☆☆)已知x > 0，y > 0，两个正方体的棱长分别为x、y．
(1) 用代数式表示两个正方体的体积和；
(2) 证明：x3+ y3= (x + y) (x2- xy + y2)
(3) 已知m + n = 3，m2+ n2= 11，利用立方和公式求m3+ n3 的值．