《2026初高衔接》[第五讲]——元素与集合_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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5
元素与集合
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
元素与集合的概念
分清元素、集合，熟练判断元素归
属；掌握互异性、确定性、无序性
数学抽象、逻辑推理
集合的描述
熟练选用合适形式描述集合，实现
两种表示法互相转换
数学抽象
一元素与集合的概念
◎情境1：说到集合，相信同学对这个名词并不陌生，我们一定在某个场合下听到过“集合”这个词．
♦问题：军训时，我们经常听到教官下达“集合”的口令，例如: “高一（1）班全体学生，集合！”这里所
谈到的“集合”有什么特点？“高一（1）班的高个子男生，集合！”这样的口令教官能下达吗？为什么？
这里我们就能摸到集合的第一个关键：集合里的元素必须是确定的，不能模糊不清，称为确定性．
◎情境2: 高一（1）班全体同学参加校运会进场方阵.
♦问题：同学们会通过变换方阵展示高一（1）班风采。方阵变换前后，高一1


班同学只是位置改变了是吗？
这就是集合第二个关键：集合只看“包含哪些元素”，不看“元素的排列顺序”，称为无序性．
由上面的三个情景，请判断下列实例能否组成集合，并说明理由．
(1) 我国著名的数学家
( û )
(2) 全校身高超过185cm 的部分女生
( ü )
(3) 方程x2- 1 = 0 的所有实数根
( ü )
(4) 大于-5 的所有负数
( ü )
(5) 1 到10 之间的所有偶数
( ü )
集合是一个语言概念(上述的5 个例子)，而数学强调的是严密的逻辑推理与表达，所以对于与数有关的内
容(例如上述例子2，3，4，5)，我们需要用一套理论与方法对他们的表达进行规范与简化．
元素
一般地，把研究的对象称为元素，(即初中统计学的个体)常用小写拉丁字母a，b，c，… 表示.
集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称集). 用大写拉丁字母A、B、C… 表示.
元素特性
从前面的情景中，我们可以感知到一个集合要成立，其集合内部的元素满足：确定性、无序性、互异性．
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1
(多选∙★☆☆☆☆)下列能构成集合的是
(
BC
)
A. 数学必修一课本中所有的难题；
B. 本班16 岁以下的全体同学；
C. 方程x - 4 = 0 的所有解；
D.
2 的近似值的全体．
A 不能，“难题”无法确定具体范围，不构成集合．B 能，能确定具体范围．C 能，x - 4 解为
x = 4，是确定的，能组成集合．D 不能，集合具有确定性，对“近似”的精确度没有明确，不能组成集合
2
(★☆☆☆☆)下列四组对象中能构成集合的是
( D )
A. 昆明八中学习好的学生
B. 在数轴上与原点非常近的点
C. 很小的实数
D. 倒数等于本身的数
∵集合中的元素具有确定性，而对于A，B，C，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，
没有明确的标准，不符合确定性；∴A，B，C 错误，对于D，符合集合的定义，D 正确，故选：D．
3
(★☆☆☆☆)若△ABC 的三边长a，b，c 可构成集合M，则△ABC 不可能是
( D )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰直角三角形
由元素的互异性可知，M 中的元素a，b，c 两两不相等，∴△ABC 不可能是等腰三角形
元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A，记作：a ∈A；
如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A，记作：a ∉A
常用数集
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N∗或N+
Z
Q
R
1 (★☆☆☆☆)①1
2 ∈R；②
2 ∈Q；③| -3| ∈N；④| - 3| ∈Z；⑤0 ∉N，正确的有几个
( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
①1
2 ∈R，正确；②
2 ∈Q，错误；③| -3| ∈N，正确；④| - 3| ∈Z，错误；⑤0 ∉N，
错误，正确2．
4 (★☆☆☆☆)下列关系中正确的是
( C )
A.
2 ∉R
B. 0 ∈N *
C. 1
3 ∈Q
D.
π2 ∈Z
A．
2 ∈实数，∴A 错；B. N * 是正整数集，可知0 ∉N *，∴B 错, 1
3 是有理数，∴C 正
确；
π2 = π 是无理数，Z 是正整数集，∴D 错；故选：C．
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二集合的描述
自然语言法
用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法．
典例：云南昆明海拔1000m 以上的山有五华山、盘龙区长虫山、西山区西山、金殿、碧鸡山∙∙∙
图示法（Venn 图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn 图．
A
1, 2, 3, 4
A
B
列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“

”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2 (★☆☆☆☆)请应用列举法写出奇数集合．
A = {…，-3，-1，1，3，5，…}
使用列举法时，需要注意以下几点：
(1) 元素间用“，”分隔开并且元素不能重复；
(2) 元素无顺序，如集合1,3,5,7


与集合3,1,5,7


表示同一个集合；
(3) 对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律
表述清楚后才能用省略号．
5
(★☆☆☆☆)用列举法表示下列集合：
(1) 方程x2- x - 2 = 0 的解集；
∵方程x2 - x - 2 = 0 的根是-1，
2
∴用列举法表示为{-1，2}．
(3) 大于-1 且小于7 的所有整数组成的集合．
∵大于-1 且小于7 的整数有0，
1，2，3，4，5，6，
∴用列举法表示为{0，1，2，3，4，5，6}
(2) 大于0 且小于10 的所有奇数组成的集合；
大于0 且小于10 的所有奇数组成
的集合为{1，3，5，7，9}，
(4) 算术平方根为小于5 的整数所组成的集合．
设算术平方根为小于5 的整数为
x，则
x < 5，∵
x ∈Z，∴
x = 0，1，2，3，
4，∴x = 0，1，4，9，16，∴算术平方根为小于
5 整数组成的集合为{0，1，4，9，16}．
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6
(★★☆☆☆)方程x2- 4|x| -12 = 0 的解集是
( C )
A. {-2，2，-6，6}
B. {-2，2}
C. {-6，6}
D. {6}
原方程变为：(|x| -6) (|x| +2) = 0，
∴|x| = 6，x =±6，∴原方程的解集是：{-6，6}．
7
(★★☆☆☆)已知集合A = {0，a，a2}，且1 ∈A，则a =
( B )
A. 1
B. - 1
C. ± 1
D. 0
集合A = {0，a，a2}，∴a ≠a2，解得a ≠0，1．
∵1 ∈A，∴a2= 1，a ≠1，则a =-1．
8
(★★★☆☆)设a，b ∈R，集合0，b，b
a


= {1，a，a + b}，则a + 2b =
( A )
A. 1
B. 0
C. - 1
D. 不确定
∵0，b，b
a


= {1，a，a + b}，而a ≠0，∴a + b = 0，b
a =-1，从而b = 1，a =-1，
可得a + 2b = 1，故选：A．
9
(★★★★★)设非空集合A 中的元素都是实数，且满足：若m ∈A(m ≠0，m ≠1)，则
1
1-m ∈A．
(1) 若-1 ∈A，求出A 中的另外两个元素；
(2) 证明A 中至少有三个元素；
(3) 若A 中的元素个数不超过7 个，且其中一个元素为4，所有元素的积恰好等于A 中某个元素的平方，求
集合A．
(1) ∵-1 ∈A，∴
1
1-(-1) = 1
2 ∈A；又∵1
2 ∈A，∴
1
1- 1
2
= 2 ∈A，故A 中的另外两
个元素为1
2 和2．
(2) 证明：设m ∈A(m ≠0 且m ≠1)，则
1
1-m ∈A，进而
1
1-
1
1-m
= m-1
m
∈A．
假设m =
1
1-m ，则m2- m + 1 = 0，此方程无实数根，故m ≠
1
1-m ；
假设m = m-1
m
，则m2- m + 1 = 0，此方程无实数根，故m ≠m-1
m
；
假设
1
1-m = m-1
m
，则m2- m + 1 = 0，此方程无实数根，故
1
1-m ≠m-1
m
．
因此m、
1
1-m 、m-1
m
互不相同，即A 中至少有三个元素．
(3) 由定义，若a ∈A(a ≠0，1)，则
1
1-a ∈A，a-1
a
∈A，且a、
1
1-a 、a-1
a
互不相等，构成一个
“三元循环组”．已知4 ∈A，则其对应的三元循环组为4，- 1
3 ，3
4


，该组元素的积为4 × - 1
3


× 3
4 =
-1．设另一三元循环组为b，
1
1-b ，b-1
b


b≠4，- 1
3 ，3
4 ，0，1


，其元素的积为b ×
1
1-b × b-1
b
=
-1．因此，集合A 的所有元素的积为(-1) × (-1) = 1，而1 是自身的平方，符合“所有元素的积恰好等于A
中某个元素的平方” 的条件．故可取b =- 1 ，则其对应的三元循环组为
-1，1
2 ，2


，该组与
4，- 1
3 ，3
4


无交集，且元素个数为6(不超过7)．故集合A = -1，1
2 ，2，4，- 1
3 ，3
4


．
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描述法
一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P(x) 的元素x 所组成的集合表示为
x∈A|P(x)


，这种表示集合的方法称为描述法.
3 (★☆☆☆☆)写出下列集合．
1


不等式x - 7 < 3 的解集
2


奇数集
1


A = x∈R|x-7<3


；
2


A = x∈Z|x=2k+1,k∈Z


或x∈Z|x=2k-1,k∈Z


；
使用描述法时要注意一下几点：
(1) 若集合中x 属于实数集时，可以简写，即x∈R|x>1


可以写为x|x>1


;
(2) 所有描述的内容都要写在花括号内，如“ x∈Z|x=2m


,m ∈N”不符合要求，应将“m ∈N”写进
“

”中，即x∈Z|x=2m,m∈N


；
(3) 多层描述时，应当准确适用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如x|x>1或x<-2


．
10 (★★☆☆☆)用列举法表示下列集合
(1)A = {x ∈N * |x 是15 的约数}
列举法表示为A = {1，3，5，
15}
(3)A = {x|x2- 2x - 8 = 0}
列举法表示为A = {-2，4}
(5)A = {x|x 为不大于10 的正偶数}
列举法表示为A = {2，4，6，
8，10}
(2)A = {a|1 ≤a < 5，a ∈N}
列举法表示为A = {1，2，3，4}
(4)A = x∈N
16
9-x ∈N



列举法表示为A = {1，5，7，8}
(6)A = {(x，y)|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}．
列举法表示为A = {(1，1)，(1，
2)，(2，1)，(2，2)}
11 (★★☆☆☆)用描述法表示下列集合
(1) 所有被3 整除的整数组成的集合A
所有被3 整除的整数组成的集合为
A = {x|x = 3k，k ∈Z}；
(3) 不等式2x - 3 > 5 的解集A
不等式2x - 3 > 5 的解集为A = {x|x > 4，
x ∈R}；
(5) 方程x2- x + 1 = 0 所有实数解组成的集合A
方程x2 - x + 1 = 0 的所有实数解组成的集
合为A = {x|x2- x + 1 = 0，x ∈R}；
(2) 抛物线y =-x2+ 3x - 6 上的点组成的集合A
抛物线y =-x2 + 3x - 6 上所有点组成的集
合为A = {(x，y)|y =-x2+ 3x - 6}；
(4) 集合A = {1，3，5，7，9}
集合A = {1，3，5，7，9} 为
A = {x|x = 2n - 1，1 ≤n ≤5 且n ∈N*}．
(6) 集合A = { 1
3 ，2
4 ，3
5 ，4
6 ，5
7 }
A = {x|x =
n
n+2 , n ∈N 且1 ≤n ≤5}
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12 (★☆☆☆☆)集合A = {x ∈Z| -1 < x < 3} 的元素个数是
( C )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
∵集合A = {x ∈Z| -1 < x < 3} = {0，1，2}，∴集合A 中元素的个数是3．
13 (★☆☆☆☆)已知集合A = {-1，0，1，2}，集合B = {y|y = |x|，x ∈A}，则B =
( C )
A. {-1}
B. {1，2}
C. {0，1，2}
D. {-1，0，1，2}
y = |x|，x ∈A，所以当x =-1、1 时，y = 1；
当x = 0 时，y = 0；当x = 2 时，y = 2，故集合B = {0，1，2}．
14 (★★☆☆☆) M = {1，2，3}，N = {(x，y)|x ∈M，y ∈M，x + y ∈M}，N 中元素个数为
( B )
A. 2
B. 3
C. 8
D. 9
因为M = {1，2，3}，x ∈M，y ∈M，
点(x，y) 的所有可能如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，
(3，3)，其中x + y ∈M 的情况有：(1，1)，(1，2)，(2，1) 共3 个．
15 (★★★☆☆)集合A = {x|2mx - 3 > 0，m ∈R}，若1 ∉A 且3 ∈A，则m 的取值范围是
( A )
A.
1
2 ，3
2



B.
1
2 ，3
2



C.
3
2 ，+∞


D.
-∞，1
2


由题意集合A = {x|2mx - 3 > 0，m ∈R}，1 ∉A 且3 ∈A，
可得2m-3≤0，
6m-3>0，

得1
2 < m ≤3
2 ，即实数m 的取值范围是
1
2 ，3
2



．
16 (★★★☆☆)不等式ax2+ bx + c > 0 解集{x| -1 < x < 6}，则不等式cx2+ bx + a < 0 解集
( B )
A. {x - 1
2 <x<3


B.
x -1<x< 1
6



C. {x|x > 1
6 或x <-1}
D. {x|x > 3 或x <-2}
根据题意方程ax2 + bx + c = 0 的两根为-1 和6，则有
- b
a =5
c
a =-6





且a < 0，得
b=-5a
c=-6a

，
cx2+ bx + a < 0 即-6ax2- 5ax + a < 0，即6x2+ 5x - 1 < 0，得：-1 < x < 1
6 ，不等式解集为-1，1
6


，
17 (★★☆☆☆)已知集合A = {x|ax2- 3x + 2 = 0}，其中a 为常数，且a ∈R．
(1) 若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；
(2) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．
(1)a = 0，由-3x + 2 = 0，解得x = 2
3 ，满足题意，因此a = 0．
a ≠0 时，∵A 中至少有一个元素，∴Δ = 9 - 8a ≥0，解得a ≤9
8 ，a ≠0．
综上可得：a 的取值范围是-∞，9
8



．
(2)a = 0，由-3x + 2 = 0，解得x = 2
3 ，满足题意，因此a = 0．
a ≠0 时，∵A 中至多有一个元素，∴Δ = 9 - 8a ≤0，解得a ≥9
8 ．
综上可得：a 的取值范围是{0} ∪
9
8 ，+∞



．
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18 (★★★☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ bx - 2a + 5 < 0 的解集是{x -1<x< 1
3


．
(1) 求实数a，b 的值；
(2) 若m > 0，n > 0，且am + bn = 1，求n
m + 1
n 的最小值．
(1) 由题意得x =-1，x = 1
3 是ax2+ bx - 2a + 5 = 0 的根，
故
- 1
3 = 5-2a
a
- 2
3 =- b
a





解得a = 3，b = 2；
(2) 由(1) 得m > 0，n > 0，3m + 2n = 1，
所以n
m + 1
n = n
m + 3m+2n
n
= n
m + 3m
n
+ 2 ≥2 3 + 2，
当且仅当n
m = 3m
n
且3m + 2n = 1，
即m = 2 3
3
- 1，n = 2 -
3 时取等号，
故n
m + 1
n 的最小值为2 + 2 3．
19 (★★★★☆)已知关于x 的不等式(kx - k2- 4) (x - 4) > 0，其中k ∈R．
(1) 当k =-1，求不等式的解集A；
(2) 当k 变化时，试求不等式的解集A；
(3) 对于不等式解集A，满足A ∩Z = B．试探究集合B 能否为有限集，若能，求出使得集合B 中元素最少
的k 的所有取值，并用列举法表示此时的集合B，若不能，说明理由；
(1) 当k =-1 时，原不等式可化为(x + 5) (x - 4) < 0，
解可得-5 < x < 4，
故不等式的解集为{x| -5 < x < 4}；
(2) 当k = 0 时，解集为A = {x|x < 4}，
当k > 0 时，k2+4
k
= k + 4
k ≥4，
解集为{x|x < 4 或x > k2+4
k
}；
当k < 0 时，解集为A = x k2+4
k
<x<4



综上，当k = 0 时，A = {x|x < 4}，
当k > 0 时，A = {x|x < 4 或x > k2+4
k
}；
当k < 0 时，A = x k2+4
k
<x<4


，

(3) 由(2) 知，当k ≥0 时，B 为无限集
当k < 0 时，B 为有限集，
此时，k2+4
k
= k + 4
k ≤-4，当且仅当k =-2 时取等号
所以k =-2 时，B 中元素最少，此时A = {x| -4 < x < 4}
所以B = {-3，-2，-1，0，1，2，3}．
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1 (★☆☆☆☆)下面选项中，能组成集合的是
( D )
A. 高一某班个子较高的同学
B. 比较著名的科学家
C. 无限接近于4 的实数
D. 到一个定点的距离等于定长的点的全体
选项A，B，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准
唯一，故能组成集合．故选：D．
2 (★☆☆☆☆)设集合A = {x|x > 2}，则
( B )
A. 3 ∉A
B.
5 ∈A
C. 2 ∈A
D. 0 ∈A
∵A = {x|x > 2}，∴3 ∈A，A 错；
5 ∈A，B 正确；2 ∉A，C 错误；0 ∉A，D 错误．
3 (★☆☆☆☆)已知集合A = {x|x(x - 1) = 0}，那么下列结论正确的是
( B )
A. - 1 ∈A
B. 0 ∈A
C. 1 ∉A
D. 0 ∉A
由x(x - 1) = 0 ⇒x = 0 或x = 1，∴0 ∈A 且1 ∈A，B．
4 (★☆☆☆☆)下列表示同一集合的是
( B )
A. M = {(3，2)}；N = {(2，3)}
B. M = {3，2}；N = {2，3}
C. M = {x|y = x}；N = {y|y = |x|}
D. M = {3，2}；N = {(3，2)}
A．∵点(3，2) ≠点(2，3)，∴M ≠N；B．由集合的无序性质可得：M = N；
C．由y = |x| = x，x≥0
-x，x<0

，可得：M ≠N；
D．M 含有两个元素3，2；而N 中只有一个元素为点(3，2)，∴M ≠N．
5 (★★☆☆☆)已知集合M = {a|
6
5-a ∈N+，且a ∈Z}，则M =
( D )
A. {2，3}
B. {1，2，3，4}
C. {1，2，3，6}
D. {-1，2，3，4}
因为集合M = {a|
6
5-a ∈N+，且a ∈Z}，
所以5 - a 可能为1，2，3，6，所以a 可取4，3，2，-1 所以M = {-1，2，3，4}；
6 (★★☆☆☆)若一元二次不等式kx2- 2x + k < 0 的解集为{x|x ≠m}，则m + k 的值为
( C )
A. - 1
B. 0
C. - 2
D. 2
∵不等式kx2- 2x + k < 0 的解集为{x|x ≠m}，
∴
k<0
4-4k2=0
m= 2
2k





，解得，k =-1，m =-1，故m + k =-2，故选：C．
7 (★☆☆☆☆)根据所学，用符号“∈”或“∉”填空。
(1) 设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国
∈
A，美国
∉
A，印度
∈
A；
(2) 若A = x|x2=x


，则-1
∉
A；
(3) 若A = x|x2+x-6=0


，则3
∉
A；
(4) 若A = x∈N|1≤x≤10


，则8
∈
A，9.1
∉
A．
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夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
8 (★★☆☆☆)已知集合A = {x ∈R|ax2 - 3x + 2 = 0}．
(1) 集合A 中的方程无解，求实数a 的取值范围；
(2) 若A 是单元素集，求a 的值及集合A．
(1) 若A = ∅，则集合A 无真子集，
这时关于x 的方程ax2 - 3x + 2 = 0 无实数解，
则a ≠0，且△= 9 - 8a < 0，解得a > 9
8 ；
(2) 若A 是单元素集，集合A 中仅有一个元素．可分为两种情况：
①a = 0 时，-3x + 2 = 0，x = 2
3 ，A = { 2
3 }；
②a ≠0 时，则△= 9 - 8a = 0，
解得a = 9
8 ，A = { 4
3 }；
9 (★★☆☆☆)设关于x 的不等式ax - 3 > 2x + a 的解集为M．
(1) 求M；
(2) 若-1 ∈M 且0 ∉M，求实数a 的取值范围．
(1) ∵ax - 3 > 2x + a ⇔(a - 2)x > a + 3，
当a = 2 时，M = ∅，
当a > 2 时，M =
a+3
a-2 ，+∞


，
当a < 2 时，M = -∞，a+3
a-2


．
(2) ∵-1 ∈M 且0 ∉M，
∴-(a-2)>a+3
a+3≥0

，解得：a ∈-3，- 1
2



．
10 (★★★☆☆)已知集合A 为非空数集，定义：S = {x|x = a + b，a，b ∈A}，T = {x|x = |a - b|，
a，b ∈A}
(1) 若集合A = {1，3}，请直接写出集合S，T；
(2) 若集合A = {x1，x2，x3，x4}，x1< x2< x3< x4，且T = A，求证：x1+ x4= x2+ x3．
(1) ∵A = {1，3}，
∴S = {2，4，6}，T = {0，2}．
(2) ∵集合A = {x1，x2，x3，x4}，x1< x2< x3< x4，且T = A，
∴T 中也只包含4 个元素，即T = {0，x2- x1，x3- x1，x4- x1}，
其余的x3- x2= x4- x3= x2- x1，
∴x1+ x4= x2+ x3．