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专题15 等比数列性质归类
目录
题型一：等比数列定义.........................................................................................................................................................1
题型二：等比数列通项公式.................................................................................................................................................3
题型三：等比数列an 与sn 的关系......................................................................................................................................5
题型四：构造等比数列求通项公式.....................................................................................................................................8
题型五：等差等比“纠缠数列”.......................................................................................................................................12
题型六：等比数列“指数型中点”特性...........................................................................................................................14
题型七：等比数列单调性...................................................................................................................................................17
题型八：不定方程型计算...................................................................................................................................................19
题型九：等比数列不等关系“平衡点”...........................................................................................................................21
题型十：前n 项和的“等距”性.......................................................................................................................................23
题型十一：等比数列最值型...............................................................................................................................................25
题型十二：性质求范围型...................................................................................................................................................27
题型十三：数列与导数.......................................................................................................................................................29
题型十四：等比数列综合...................................................................................................................................................33
题型一：等比数列定义
1．（23-24 高三上·山东·阶段练习）记非常数数列
的前n 项和为
，设甲：
是等比数列；乙：
（
，1，且
），则（ ）
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的必要不充分条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当甲成立时利用等比数列求和公式可得乙成立，当乙成立时利用数列前n 项和与通项之间关系可
知甲成立，从而可得结果.
【详解】若
，则
（
），
∴
，
，．
∵
，1，
∴
，∴数列
是以
为公比的等比数列．
若数列
为等比数列，且
，则
．
等比数列判定方法
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0 的常数)⇔数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．
1
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又
，∴
，∴
，
此时
，1，
，所以甲是乙的充要条件．
故选：A．
2．（22-23 高二下·辽宁鞍山·阶段练习）数列
的前n 项和
，则
（ ）
A．是等差数列
B．是等差数列也是等比数列
C．是等比数列
D．既不是等差数列又不是等比数列
【答案】D
【分析】根据数列通项与前
项和的关系，解得通项公式，根据等差数列与等比数列的定义，可得答案.
【详解】当
时，
；
当
时，
，
检验：将
代入上式，则
，
则数列
的通项公式
，
由
，
，即
，则数列
不是等比数列；
由
，
，即
，则数列
不是等差数列.
故选：D.
3．（2023·河南郑州·二模）已知正项数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
化简为
，再利用和与项的关系可得
，从而确定
数列
从第二项起，构成以
为首项，公比
的等比数列，根据等比数列的前
项和公式即可求
解.
【详解】因为
，
所以
，即
，
所以
，
因为数列
的各项都是正项，即
，
所以
，即
，
所以当
时，
，
所以数列
从第二项起，构成以
为首项，公比
的等比数列.
所以
.
故选：C
4．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．54
B．93
C．153
D．162
【答案】D
2
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【分析】先求出
，根据
与
的关系得出当
时，
．又根据等比数列，可知
.列出方程，即可求出
的值，再利用通项公式求
.
【详解】当
时，则
.
当
时，
．
又因为
是等比数列，所以
，
所以
，解得：
，
所以
，所以
．
故选：D.
5．（21-22 高三下·北京·开学考试）若数列
满足
，则“
，
，
”是“
为
等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．
【详解】解：“
，
，
”，取
，则
，
为等比数列．
反之不成立，
为等比数列，设公比为
，则
，
，只有
时才能成立满足
．
数列
满足
，则“
，
，
”是“
为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
题型二：等比数列通项公式
1．（24-25 高三上·广东·阶段练习）已知数列
满足
，前n 项和为
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出
，再利用等比数列前n 项和公式计算即得.
【详解】数列
中，
，由
，得
，
，则有
，
因此数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
.
故选：D
等比数列公式
(1) 通项公式：an＝a1q n － 1 ；
(2)前n 项和公式：Sn＝
3
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2．（23-24 高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列{an}满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据递推公式，构造等比数列得出数列的通项公式.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：A.
3．（23-24 高三·辽宁辽阳·模拟）若等比数列{an}满足
，则其公比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等比数列{an}满足
，得到
，两式相比得
，再求得
验证即可.
【详解】因为
，
所以等比数列{an}的公比
，
又
，
所以
，
所以
，
即等比数列{an}的公比为
.
故选：C.
4．（24-25 高三·全国·模拟）在公比q 为整数的等比数列
中，
是数列
的前n 项和．若
，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．
D．数列
是公差为2 的等差数列
【答案】D
【分析】依题意利用等比数列项的性质联立方程组求出首项和公比，即得数列通项，利用等比数列的定义
可判断B 项，代值检验C 项；利用等差数列的定义判断D 项.
【详解】因为数列{an}为等比数列，由
可得
，又
，
则
可看成方程
的两根，解得
或
，
因公比q 为整数，故
，即
，解得
，故得
.
对于A，由上分析知
，即A 正确；
4
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对于B，依题意，
， 则
，
由
可知数列
是等比数列，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，由
，
可知数列
是公差为
的等差数列，故D 错误.
故选：D.
5．（23-24 高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列
满足
，
，数列
是公比为2 的
等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得
，然后令
，可得数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求得数列
的通项公式，从而得到
结果.
【详解】因为
，
，则
，
且数列
是公比为2 的等比数列，
则
，两边同除
可得
，
令
，则
，即
，
即
，且
，
所以数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
则
，则
，
即
，所以
.
故选：C
题型三：等比数列an 与sn 的关系
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1．（2024·全国·模拟预测）记
为数列
的前n 项和，则“
为等比数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要
条件
【答案】A
【分析】先考查充分性：利用
，验证即可，再考查必
要性，当
时，满足条件
，但不是等比数列，即可判断.
【详解】若
是等比数列，
则
，
，
所以
，
即
．
若
，
令
满足条件，但
不是等比数列．
所以是充分不必要条件．
故选：A．
2．（21-22 高三重庆沙坪坝·模拟）设等比数列
的前
项和为
，
，若不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据
作差求出
，即可得到
，再分
为奇数、偶数两种情况讨论，
分别求出
的取值范围，即可求出
、
的取值范围，即可得解.
【详解】因为
，所以当
时
，
当
时
，所以
，即
，
涉及到an 与sn 组合型递推，一般情况下，可以借助通项an 与前n 项和Sn 的关系再写一个做差，消去sn
再递推求解。
通项an 与前n 项和Sn 的关系是：
an＝
等比数列前n 项和
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝
，Sn 为
型线性指数函数。
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因为
为等比数列，所以
，所以
，
则
，
当
为奇数时
，则
，
当
为偶数时
，则
，
所以
，因为不等式
对任意的
恒成立，
所以
，
，所以
，则
，即
的最小值为
.
故选：B
3．（22-23 高三·浙江绍兴·模拟）已知等比数列
的前
项和为
，则点列
在同一坐标平
面内不可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等比数列通项公式和前
项和公式确定正确答案.
【详解】设等比数列
的首项为
，公比为
，
A 选项，
时，
，图象符合.
B 选项，
时，
，图象符合.
C 选项，
时，
，图象符合.
D 选项，由图可知，
都是负数，所以
，
但图象显示
时，
或
为正数，矛盾，所以D 选项图象不符合.
故选：D
4．（21-22 高三·黑龙江绥化·模拟）已知数列
的前n 项和为
，q 为常数，则“数列
是等比数
列”为“
”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质由“数列
是等比数列”可以得到“
”；利用数列通项与前
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n 项和的关系由“
”可以得到当
时， “数列
是等比数列”，故“数列
是等比数
列”为“
”的充分不必要条件
【详解】由
，可得
两式相减得，
，即从第3 项起，每一项是前一项的q 倍.
又由
，可得
则数列
从第2 项起，每一项是前一项的q 倍.
综上，当
时，数列
是等比数列.
由数列
是等比数列，可得
则
，即
成立.
则“数列
是等比数列”为“
”的充分不必要条件
故选：A
5．（21-22 高三河南·阶段练习）设数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据通项与
的关系可得递推公式
，再构造等比数列求
的通项公式，进而代入
求得
得到
即可
【详解】当
时，
，解得
.
当
时，
，
所
，即
，
所以
，即
，
所以数列
是首项为3，公比为2 的等比数列，则
，
从而
，故
.
故选：C
题型四：构造等比数列求通项公式
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1．（21-22 高三·浙江台州·模拟）已知数列
满足：
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
一定为无穷数列
B．
不可能为常数列
C．若
，则
可能小于1
D．若
，则
【答案】D
【分析】对
两边取倒数得
，再利用构造数列法得
，可知
是以
为首项，公比为
的等比数列，利用等比数列通项公式可以求得
，再依
次对选项判断，得到正确答案.
【详解】对
两边取倒数得，
，又
，
所以数列
是以
为首项，公比为
的等比数列，
，
，
对于A，
，由于n 未知，不能确定
是有限数列还是无限数列，故A 错误；
对于B，当
时，
，此时
为常数列，故B 错误；
等比数列求通项公式：
1. 如果sn 有，则Sn 为
型线性指数函数。
2.
（
为常数）型递推式可构造为形如
的等比数列.
3.倒数变换法，适用于
（
为常数）可以取倒数，构造新的递推公式
即
型，解法回归到构造等比数列技巧中
4. 如果是前n 项积
可以类比前n 项和求通项过程来求数列前n 项积：
（1）.n=1，得a1
（2）.n
时，
所以
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对于C，当
时，
，
，
，即
，所以
一定小于1，故C 错误；
对于D，当
时，
，
，
，即
，
又
，
，
；
，即
，所以
，故D 正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的方法：
（1）由
与
的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
2．（24-25 高三全国·模拟）已知数列
满足递推公式
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对
两边取对数得
，令
，则可得
是以
为首
项，2 为公比的等比数列，求出
，从而可求出
，进而可求得结果.
【详解】由题意可得
，则由
，得
，
所以
，
令
，则
，
所以数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是对已知递推
式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
3．（23-24 高三·云南大理·阶段练习）已知数列
满足：
，且
，则下列
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说法错误的是（ ）
A．存在
，使得数列
为等差数列
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，数列
是等比数列
【答案】C
【分析】通过倒数法可推导得到A 正确；利用递推关系式可推导得到
，知数列周期为
，由此可
得B 正确；利用递推关系式可得
，可知C 错误；通过构造法可推导得到符合等比数列定
义式的形式，知D 正确.
【详解】对于A，当
时，
，
，
又
，
数列
是以
为首项，为公差的等差数列，A 正确；
对于B，当
时，
，
，
，
数列
是周期为
的周期数列，
又
，
，
，B 正确；
对于C，当
时，
，
若
，则
，又
，
对于任意的
，都有
；
由
得：
，
，
若
，则
，与
矛盾，C 错误；
对于D，当
时，
，
若
，则
，又
，
对于任意的
，都有
；
，又
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，D 正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查构造法求数列通项、数列周期性的应用等知识；解题关键是能够利用数列
的递推关系，通过构造的方式配凑出符合等差、等比数列定义的形式.
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4．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
，数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】方法一：变形得到
，
是以6 为首项，9 为公比的等比数列，分
组求和,结合等比数列求和公式求出答案；
方法二：推出
是首项为2，公比为3 的等比数列，故
，分
为奇数和偶数两种情
况，利用累加法得到数列的通项公式，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】方法一：因为
，所以
．
因为
，所以
，
所以
．
因为
，所以
是以6 为首项，9 为公比的等比数列．
所以
；
方法二：因为当
时，
，即
，
又
，所以
是首项为2，公比为3 的等比数列，故
．
由
，得
，两式相减得
．
当
为偶数且
时，
，
以上式子相加得
，又
，所以
．
又
满足上式，所以
．
当
为奇数且
时，
，
以上式子相加得
，又
，所以
，
又
满足上式，所以
．
综上，
，
所以
．
故选：D
【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连
续两项和或积问题；③含有
的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要
对
分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相
消法求和.
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5．（20-21 高三·海南海口·阶段练习）已知函数
的定义域为(0,+∞)，当
时，
；对任
意的
，
成立.若数列
满足
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知，令
，即
有
，结合递推式有
，即
在
(0,+∞)上单调增，进而求
且
，利用构造法确定
为等差数列并写出通项公式，即可求
.
【详解】当
时，
，在(0,+∞)上任取两数
，且
，令
，则
．
，即
在(0,+ ∞)上是单调增函数．
令
，则
，解得
．而数列{an}满足
，
，
，则
，
∴数列
是公比为
，首项为的等比数列，得：
，
∴
，故
.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：首先应用已知条件判断函数的单调性，求
；再由
，应用构造法求数列
通项，进而求项.
题型五：等差等比“纠缠数列”
1．（2023·四川南充·模拟预测）若
分别是
与
的等差中项和等比中项， 则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件可得
，
，然后结合同角三角函数的关系，以及恒
等变换公式化简，即可得到结果.
【详解】依题意可得
，
，
且
，
所以
，即
，解得
又因为
，所以
，
等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。
1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。
2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。
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所以
故选:A
2．（21-22 高三·黑龙江齐齐哈尔·模拟）
是公比不为1 的等比数列
的前n 项和，
是
和
的等差
中项，
是
和
的等比中项，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
是
和
的等差中项，可得
，又由
是
和
的等比中项，同时令
，得
，由此即可得到本题答案.
【详解】设
的公比为
，由于
，
所以
，
，
，又
是
和
的等差中项，所以
，
即
，化简得
，
由于
，所以
，
，所以
，
，
，因为
是
和
的等比中项，所以
，
即
，
所以
，令
，
则
，
当
，即
时，
取得最大值，最大值为
.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档题.
3．（14-15 高三·广东东莞·模拟）已知
，
，
是
、
的等差中项，正数
是
、
的等比中项，那么
、
、
、
的从小到大的顺序关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵
，A 是a、b 的等差中项，正数G 是a、b 的等比中项，
∴
，
∴
，
故选D．
4．（10-11 高三·福建三明·阶段练习）△
中，角
成等差，边
成等比，则△
一定是
14
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A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【详解】∵△ABC 中,角A. B. C 成等差,∴2B=A+C,又A+B+C=
,∴B=
.
∵边a、b、c 成等比数列,∴b2=ac.再由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac cos
，
∴ac=a2+c2−ac,(a−c)2=0，∴a=b=c，故△ABC 一定是等边三角形．
本题选择A 选项.
5．（21-22 高三宁夏银川·阶段练习）若四个正数
成等差数列，
是
和
的等差中项，
是
和
的等比中项，则
和
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据数列的性质，列式，结合基本不等式，即可比较大小.
【详解】由条件可知，
，
，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
故选：B
题型六：等比数列“指数型中点”特性
1．（23-24 高三·北京·模拟）等比数列
的公比为
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求
结论.
【详解】根据题意，
成立时，有
结合
，
得
，即
，
①当
时，可得
，所以
，即
；
②当
时，
为偶数时，
，可得
，所以
，
为奇数时，
，可得
，所以
，因此不存在
满足
成立，
综上所述，若
成立，则必定有
，
若
，结合
，可知等比数列
是递增数列，必定有
成立
因此，若等比数列
的首项
，则“
”是“
”的充要条件.
故选：C
等比数列“指数型中点”性质：
（1)“指数型中点”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap· a q＝
a m· a n，特别地，若p＋q＝2k，则ap· a q＝
a k
2；
(2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__q n __.
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2．（22-23 高三·江苏苏州·模拟）已知等差数列
公差
，数列
为正项等比数列，已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，根据题意可知
，由
得
，设
，则
，利用一次函数和指数函数的性质，结合
图形，可得
时
；
时
；
时
，依次判断选项即可.
【详解】设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
(
)，
若
，则
，得
，解得
，不符合题意；
所以
，得
，又
，
令
，得
，即
①，
设
，则
且
，
所以①式变为
，
由题意，知
和
是方程
的两个解，
令
，
且
，
则一次函数
与指数函数
的图象至少有2 个交点，
作出两个函数图象，如图，
当函数
与
单调递增或递减时，
才会有2 个解，
且无论哪种情况，都有
时，
；
时，
；
时，
；
所以
，
，
，
，
即
，
，
，
.
故选：C.
3．（21-22 高三·全国·模拟）已知等比数列{an}中，公比q＝2，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得
，再由
，即可得结果.
【详解】由题设，
，则
且q＝2，则
，
而
.
故选：B
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4．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列
公差不为0，正项等比数列
，
，
，则
以下命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设等差数列{an}公差为
，正项等比数列{bn}公比为
，
，
，
由
可得出
，从而分析出
时，
，
时，
．
把方程
变形为
，引入函数
，利用两个函数的图象可得结论．
【详解】设等差数列{an}公差为
，正项等比数列{bn}公比为
，
因为
，所以
，即
，所以
，又
，所以
，
由
得
，
，
，
所以
时，
，
时，
．
，
，由
，
，
即
，
（*），
令
，
，（*）式为
，其中
，
且
，
由已知
和
是方程
的两个解，
记
，
且
，
是一次函数，
是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程
才
可能有两解（题中
时，
，
时，
，满足同增减）．
如图，作出
和
的图象，它们在
和
时相交，
无论
还是
，由图象可得，
，
，
时，
，
时，
，
因此
，
，
，
，
即
，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，解题时由已知两项相等得出公差
和公比
的关系，考虑到方程
有两解，把此方程变形为
，引入函数
，通过
函数图象观察得到
和
的关系，从而由数形结合思想得出结论．
5．（20-21 高按·浙江·模拟）已知数列
是公差不为零的等差数列，
是正项等比数列，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】等差数列的通项公式是关于
的一次函数，
，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列
的通项公式是关于
的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当
时，如下图所示，
当公差
时，如下图所示，
如图可知当
时，
，
，
，
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
题型七：等比数列单调性
1．（23-24 高三山西晋城模拟）已知等比数列
满足
，公比
，且
，
，则当
最小时，
（ ）
A．1012
B．1013
C．2022
D．2023
【答案】A
【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得
以及
，即可判断数列的的增减性以及
项与1 的大小关系，由此即可求得答案.
【详解】由题意知
，故
，
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝
，Sn 为
型线性指数函数。
（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n 是离散型
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则
，即
，
结合等比数列
满足
，公比
，可知
，
由
，得
，
即得
，故
，即
，
由此可得
，
故当
最小时，
，
故选：A
2．（23-24 高三·北京顺义模拟）数列
是等比数列，则对于“对于任意的
，
”是“
是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可.
【详解】设等比数列
的公比为
，
，
若
，则
，
当
时，由
得
，解得
或
，
若
，则
，此时
与已知矛盾；
若
，则
，此时
为递增数列．
当
时，由
，得
，解得
或
，
若
，则
，此时
与已知矛盾；
若
，则
，此时
为递增数列．
反之，若
是递增数列，则
，
所以“对于任意的
，
”是“
是递增数列”的充要条件．
故选：C．
3．（23-24 高三湖北·开学考试）已知数列
是等比数列，则“存在正整数
，对于
恒
成立”是：“
为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取两种特殊情况说明，分
和
两次情况讨论，将
转化为
，分
和
两种情况与假设对比，据此即可求解.
【详解】取两种特殊情况说明充分性，
当
时显然成立；
当
时，理由如下：
因为{an}是等比数列，设公比为
，则
，
当
时，
，即
，
若
，则
，
注意到，当
时，
，与假设矛盾，舍去，
故
，此时
，则{an}为递减数列；
若
，则
或
，
注意到，当
时，
，与假设矛盾，舍去，
故
，此时
，则{an}为递减数列；
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综上：存在
，使
时，{an}为递减数列，即充分性成立；
当{an}为递减数列时，
，即
成立，即必要性成立.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于取两种特殊情况说明，分
和
两次情况讨论.
4．（23-24 高三下·山东·开学考试）已知数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，则“
”是“
是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案.
【详解】若等比数列{an}满足“
”，
比如
，
，此时{an}不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立，
若数列{an}为递减数列，
，
或
，
.
则①“
，
”可以推出
;
②“
，
”也可以推出
，则必要性成立；
则“
”是“{an}是单调递减数列”的必要不充分条件，
故选：B.
5．（23-24 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列
是无穷项等比数列，公比为
，则“
”是“数
列
单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.
【详解】若
，
，则数列{an}单调递减，故
不能推出数列{an}单调递增；
若{an}单调递增，则
，
，或
，
，不能推出
，
所以“
”是“数列{an}单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
题型八：不定方程型计算
1．（23-24 高三·广东揭阳·阶段练习）已知数列{an}为等比数列，
为数列{an}的前n 项和.若
成
等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
设首项与公比，作为变量列方程，构造比例转化关系。
求解时，涉及到前n 项和时，要注意讨论公比是否为1 特殊情况
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【分析】将
成等差数列转化为
等式，进而求出数列的公比，将比值
用基本
元
表示，化简求值即可.
【详解】设等比数列
的公比为q，
若
成等差数列，可得：
，
当
时，此时
恒成立，
即为
，得
，即
，显然不成立；
当
时，
即为：
，其中
，
得
，得
或
（舍去），
，
故选：A.
2．（23-24 高三·吉林松原·模拟）设等比数列
的前
项和为
，且
，则
的公比
为（ ）
A．1 或
B．1 或3
C．
或
D．
或3
【答案】D
【分析】运用等比数列的性质公式求解即可.
【详解】由
，可得
，
则
，故
，
解得
或
.
故选：D．
3．（23-24 高三·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列
的前
项和为
，且
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用等比数列前n 项和的性质求解.
【详解】由等比数列性质可知，
成等比数列，
因为
，所以
，所以
成等比数列，
所以
，所以
，所以
.
故选：C.
4．（23-24 高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，
，
成等
差数列，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】D
【分析】借助等比数列的片段和性质得出
与
的关系，再借助基本不等式即可得到.
【详解】根据等比数列的片段和性质有
，
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由
，
，
成等差数列，有
，
即
，故有
，又因为数列为正项等比数列，则
，
即
，
当且仅当
时，等号成立.
故选：D.
5．（23-24 高三上·四川成都·阶段练习）已知等比数列
的前
项和为
，且数列
是等差
数列，则
（ ）
A．1 或
B．1 或
C．2 或
D．
或
【答案】B
【分析】设等比数列
的公比为
，根据已知列出关系式
，进而化简求解即可得出
或
.根据等比数列的性质，化简可得
.分别代入
的值，即可得出答案.
【详解】设等比数列
的公比为
，
由
，
，
成等差数列可得，
，
即
，化简得
，
解得
或
.
又
，
所以，
.
当
时，
；
当
时，
．
故选：B．
题型九：等比数列不等关系“平衡点”
1．（21-22 高三·湖北·阶段练习）设等比数列{
}的公比为q，其前n 项和为
，前 n 项积为
，并满足
条件
，
，下列结论不正确的是（ ）
等比数列“平衡点”型不等式
等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：
1.若p＋q＝m＋n，则ap· a q＝
a m· a n，特别地，若p＋q＝2k，则ap· a q＝
a k
2
2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap· a q> a m· a n.
22
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A．
B．
C．
是数列{
}中的最大值
D．数列{
}无最小值
【答案】B
【分析】由题分析出
，可得出数列
为正项递减数列，结合题意分析出正项数列
前
项
都大于，而从第
项起都小于，进而可判断出各选项的正误.
【详解】当
时，则
，不合乎题意；
当
时，对任意的
，
，且有
，可得
，
可得
，此时
，与题干不符，不合乎题意；
故
，对任意的
，
，且有
，可得
，
此时，数列
为单调递减数列，则
，由
可得
，故
，A
正确；
，故B 不正确；
是数列{
}中的最大值，C 正确；
数列{
}无最小值，D 正确．
故选：B.
2．（22-23 高三·广东深圳·模拟）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项之积为
，且满足
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大值
D．
【答案】C
【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断.
【详解】因为等比数列{an}满足
，
又
，所以
，A 错误；
，即
,B 错误；
当
时，
，当
时，
，即
是数列
中的最大值，C 正确；
由题意得，
，则
,D 错误.
故选：C.
3．（22-23 高三·辽宁·模拟）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，且满足条件
，
，
，则下列选项不正确的是（ ）
A．
为递减数列
B．
C．
是数列
中的最大项
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得
的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列
为等比数列，且
，
，所以
，即数列
为正项等比数列，
当
时，则
，不满足
，舍去，
所以
，即数列
为单调递减数列，A 说法正确；
由
可得
，
，
23
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所以
，即
，B 说法错误；
因为数列
单调递减，且
，
，所以
是数列
中的最大项，C 说法正确；
由等比中项可知
，D 说法正确；
故选：B
4．（20-21 高三河南郑州·模拟）设等比数列{an}的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并且满足
条件
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【答案】B
【分析】根据
，
，分
，
，
讨论确定q 的范围，然后再逐项判断.
【详解】若
，因为
，所以
，则
与
矛盾，
若
，因为
，所以
，则
，与
矛盾，
所以
，故B 正确；
因为
，则
，所以
，故A 错误；
因为
，
，所以
单调递增，故C 错误；
因为
时，
，
时，
，所以
的最大值为
，故D 错误；
故选：B.
5．（2021 高三·全国·专题练习）设等比数列
的公比为q，前n 项和为
，前n 项积为
，并满足条件
，
，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．
是数列
中的最大项
【答案】A
【分析】根据
并结合
，得到
，
，进而结合等
比数列的性质求得答案.
【详解】因为
，所以
或
，而
为等比数列，
，于是
，
，则A 错误；
，则B 正确；
，则C 正确；
因为
，所以
是数列
中的最大项，则D 正确.
故选：A.
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题型十：前n 项和的“等距”性
1．（20-21 高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）设等比数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】A
【解析】根据等比数列的前
项和公式，由条件
，求出公比即可得到结论．
【详解】解：设等比数列的公比为
，
若
，则
不成立．
，
由
，得
，
即
，
，解得
，
则
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查等比数列前
项和的计算，利用条件求出
是解决本题的关键，要求熟练掌握
等比数列的前
项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
2．（21-22 高三·河北唐山·模拟）设
是等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据等比数列的性质求解．在
时，
仍成等比数列．
【详解】设
，由数列
为等比数列(易知数列
的公比
)，得
为等比数列
又
故选：
．
【点睛】结论点睛：数列
是等比数列，若
，则
成等比数列．简称等比数列
的片断和仍成等比数列．注意
是等比数列与
成等比数列之间不是充要条件．
“等距”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为
__
q n __.
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3．（23-24 高三·河南·开学考试）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．324
B．420
C．480
D．768
【答案】C
【分析】根据等比数列前n 项和的性质计算即可.
【详解】因为
为等比数列，且
，显然
的公比不为
，
所以
也成等比数列.
由
，解得
.
故选：C.
4．（21-22 高三下·江西·开学考试）设等比数列
的前
项和为
，若
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答.
【详解】等比数列
的前
项和为
，则
成等比数列，
设
，则
，
，所以
，所以
，
所以
，即
.
故选：A.
5．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．8
B．
C．
D．10
【答案】B
【分析】由等比数列的性质及已知条件可得
，则
，然后利用基本不等
式可求得结果.
【详解】由正项等比数列
可知
，
，
成等比数列，
则
，又
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
故
的最小值为
.
故选：B.
题型十一：等比数列最值型
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1．（2023·江西赣州·一模）若等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，并且
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【答案】D
【分析】根据等比数列定义以及
可得
且
，即AB 均错误，再由等比数列前
项
和的函数性质可知
无最大值，由前
项积定义解不等式可知
的最大值为
.
【详解】由
可知公比
，所以A 错误；
又
，且
可得
，即B 错误；
由等比数列前
项和公式可知
，由指数函数性质可得
为单调递增，
即
无最大值，所以C 错误；
设
为数列
前
项积的最大值，则需满足
，可得
，
又
可得
，即
的最大值为
，所以D 正确.
故选：D
2．（21-22 高三四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列
中，已知
，其前
项积为
，
且
，则
取得最大值时，
的值是（ ）
A．9
B．8 或9
C．10 或11
D．9 或10
【答案】D
【分析】首先求出首项
和公比
，解不等式组
，代入通项公式求解出
即可
【详解】（法一）∵等比数列
，其前
项积为
，且
.
∴
，∴
，∴
.故
.
∵
，所以前
项积有
.又因为
，所以
为前
项积的最大值.
（法二）∵
，
.∴
.
当
时，
有最大值，解得
.
∴
时，
有最大值.
故选：D.
判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法：
（1）作差比较法：当
时，
递增；当
时，
递减.
（2）作商比较法：若
，则当
时，
递增；当
时，
递减.
（3）函数图象法：设
，则可用函数
的图象来研究数列
的单调性
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【点睛】本题主要考查等比数列前
项积的最大值.
其实质是求等差数列前
项和的最值的变型.第一步：求出等比数列首项
，公比
.
第二步：解不等式组
.满足不等式组的
的值，即为使前
项积
取最大值时的项数.
3．（2023 高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1 的无穷等比数列
的公比为
，前
项和为
，若a1+a2>0，则（ ）
A．数列
无最大项
B．数列
有最小项为
C．数列
是递增数列，
D．数列
最大值为
【答案】B
【分析】设无穷等比数列{an}的公比为
，根据已知可得
，得数列
是摆动数列可判断
C；由
，
；
得数列
的最小项、最大项可判
断ABD．
【详解】设无穷等比数列{an}的公比为
，因为a1+a2>0，
即
，又
，所以
，
因为
，
所以当
时，数列
是摆动数列，故单调性不确定，故C 错误；
又
，所以
；
，
此时数列
的最小项为
，最大项为
，故B 正确，AD 错误．
故选：B.
4．（23-24 高三·福建漳州·模拟）已知正项等比数列{an}的前
项积为
，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】B
【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可.
【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积
也为正，公比
，若
，则
，
由等比数列性质知
，所以
，故选项A 错误；
又
，因为
，所以
，所以
，
则
，故
先增后减，所以
，故选项B 正确；
若
，则
，又
，无法判断
与1 的大小，即无法判断
与1 的大小，故
与
大小没法判断，故选项CD 错误.
故选：B
5．（22-23 高三江西萍乡·阶段练习）已知数列
为等比数列，函数
的导函数为
，
，若
，
的公比
，则当
的前
项乘积最小时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
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【分析】设
，可得出
，可得出
，分析数列
的单调性，即可得出当
的前
项乘积最小时，
的值.
【详解】设
，则
，
则
，
因为数列
为等比数列，
所以
，
由
，
，可得
，则
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
的前
项乘积最小时，
的值为
或
，
故选：D.
题型十二：性质求范围型
1．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列
的公比为
， 前
项积为
， 若
， 且
，
， 均有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用等比数列通项公式及项的性质计算解不等式即可.
【详解】当
时， 注意到
，
因此
， 即
解得
;
当
时， 则
即
解得
，
则
的取值范围为
.
故选 ：D.
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝
，Sn 为
型线性指数函数。
（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n 是离散型
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2．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列
的前5 项积为32，
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用等比数列性质求出
，进而求出公比
的取值范围并用
表示出
，然后根据对勾
函数的性质即可求解.
【详解】由等比数列性质可知，
，
因为
，所以
，
从而
不妨令
，则
，
由对勾函数性质可知，
在
上单调递减，
故对于
，
，
，
从而
，则
.
故
的取值范围为
.
故选：D.
3．（22-23 高三·河南南阳·模拟）已知正项数列
是公比为
的等比数列，数列
的通项公式为
．若满足
的正整数n 恰有3 个，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据数列
，
的单调性列出不等式组求解即可.
【详解】由题可知数列
单调递减，
单调递增，
故
，
，
，
，
故只需
即可，即
解得
．
故答案为：
.
4．（2023 上海嘉定·三模）已知
是递增的等比数列，且
，那么首项
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知得
，由此能求出
的取值范围.
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【详解】解：∵
是递增的等比数列，且
，
，且
，
，
∵
是递增的等比数列，
，
同理，
，即
，即
，
，
当
时，有
，由
，得：
，得：
，矛盾，舍去；
当
时，有
，由
，得：
，得：
符合.
故当
时，
单调增，取值为
，
，∴
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查等比数列的首项的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的公
式的合理运用.
5.（21-22·河南·模拟）已知
，
，
，
，
，
成等差数列，
，，
，
成等比数列，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到
，
，从而利用重要不等式即可求最大值.
【详解】因为
，
，
，
成等差数列，所以
，
因为
，，
，
成等比数列，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最大值是
.
故选：D.
题型十三：数列与导数
1．（22-23 高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
.若存在等差数列
，
，
，
，且
，使得数列
为等比数列，则
的最小值为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】根据数列性质推出
，
，结合函数的奇偶性可得
，从
而推出
有正实数解，分离参数，继而构造函数，利用导数求解函数的
最小值，即可求得答案.
【详解】由等差数列
，
，
，
，且
知
，
则
，即
，所以
，
由此可得
；
由于函数
是定义在
上的奇函数，故
，
所以数列
的公比
，所以
，即
，
即方程
有正实数解，
即
，设
，则
，
设
，
则
，即
在
上单调递增，且
，
故当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，所以
，
故选：B
【点睛】难点点睛：本题解答时要利用数列性质判断出
，
，进而利用函数性质
推出
有正实数解，从而参变分离，构造函数，利用导数解决问题.
2．（20-21 高三上·全国·阶段练习，多选）已知等比数列
首项
，公比为q，前n 项和为
，前n
项积为
，函数
，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为单调递增的等差数列
B．
C．
为单调递增的等比数列
D．使得
成立的n 的最大值为6
【答案】BCD
【分析】首先求函数的导数，根据条件判断
，先判断B；再结合等比数列的定义和等差数列的定
义判断AC；最后数列前
项积的定义判断D.
【详解】函数
，
则
，
因为
，所以
，
由等比数列的性质可得
，
所以
，所以
，
由
，可得
，故B 正确；
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因为等比数列
首项
，公比为q，所以
，
则
，故
为单调递减的等差数列，故A 错误；
设
，则
为常数，
因为
，所以
，
单调递减，
所以
为单调递增的等比数列，故C 正确；
因为
，且
，所以
，
，
所以使得
成立的n 的最大值为6，故D 正确．
故选：BCD
3．（23-24 高三·四川成都模拟）牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数
的零点时
提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列
的递推关系为：
是曲线
在点
处的切线在
轴上的截距，其中
.
（1）若
，并取
，则
的通项公式为 ；
（2）若取
，且
为单调递减的等比数列，则
可能为 .
【答案】
（答案不唯一）
【分析】（1）根据题意求出曲线y = f (x)在点
处切线的方程，可得数列
是等差数列，进而
求得通项公式
；
（2）由题意，可得
，结合
为单调递减的等比数列，所以函数
满足
，且
即可.
【详解】（1）根据题意，
，
，且
，
所以曲线y = f (x)在点
处切线的方程为
，
令
，得
，即
，又
，所以数列
是以1 为首项，以
为公差的等差数
列，
所以
（
）.
（2）根据题意，曲线y = f (x)在点
处切线的方程为
，
令
，得
，则
，
因为
为单调递减的等比数列，且
，设其公比为
，
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则
，所以
，所以
，
则
，所以
，
即函数
满足
，且
即可.
如
，则
，
所以
，
，所以
，符合题意.
故答案为：
（
）；
（答案不唯一）.
4．（2025·全国·模拟预测）若
，
的解从小到大排成
，那么若
．则
的整数部分是 ．
【答案】101
【分析】即求
，结合
可得
，利用等比数列求和公式得到
，
取对数，得到
，并证明出
，得到答案.
【详解】因为
，相当于解
且
，
从而可以得到
，结合
可得
，
为
，为等比数列，
从而
，取对数后就是
，
注意到
，
，
接下来证明
，
我们把左边放大，
，并证明其小于
，
即证
，
注意到
，
而
（也可以是
）从而命题成立．
整数部分是101．
故答案为：101
5．（24-25 高三上·上海·开学考试）已知实数
成公比为
的等比数列，抛物线
上每一点到直线
的距离均大于
，则
的取值范围是 ．
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【答案】
【分析】由已知得出直线必过点
，取抛物线位于
轴上方部分，设
上一点
到直线
的距离最小，由几何关系得出
，再根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求解．
【详解】因为实数
成公比为
的等比数列，所以
，
所以
，即直线必过点
，且斜率
，
不妨取抛物线位于
轴上方部分，则
，
，
，
由题可知，
，则
，
设
上一点
到直线
的距离最小，
则
处的斜率等于直线
的斜率，即
，所以
，
点
到直线
的距离
，
整理得
，解得
，因为
，所以
，
根据直线和抛物线得对称性得，
，
故答案为：
．
题型十四：等比数列综合
1．（2024·河北·一模）已知等差数列
的公差与等比数列
的公比相等，且
，
，
，则
；若数列
和
的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列
，
数列
的前
项和为
，则使得
成立的
的最小值为 ．
【答案】
【分析】设等比数列
的公比为
，则等差数列
的公差为
，根据题意可得出关于
、
、
的方程
组，解出这三个量的值，可得出数列
的通项公式；设满足不等式
的正整数
的最小值为
，
推导出
，设
，其中
且
，根据
可得出关于
的不等式，求
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出
的最小值，即可得出
的值，即为所求.
【详解】设等比数列
的公比为
，则等差数列
的公差为
，
则
，
，
，
解得
，
，
，
所以，
，
，
由
，整理可得
，
数列
的各项分别为：、
、、
、、
、、
、
、
，
其中
前若干项中，数列
有
项，数列
有
项，
所以，
是数列
的第
项，
所以，
，
所以，
，
令
，整理可得
，
令
，则有
，解得
，
因为
，所以，
，可得
，
所以，满足不等式
的正整数
的最小值为
，
同理可知，满足不等式
的正整数
的最大值为，
所以满足不等式
的正整数
的最小值
，即
，
设
，其中
且
，
则
，
，
由
，整理可得
，解得
，
所以自然数
的最小值为
，所以
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式求参数的值，解题的关键在于确定满足条件的正整数
的
最小值所在的区间，并引入合适的参数，求出相应的参数的值，进而得解,
2．（23-24 高三下·山东·开学考试）抛物线
与椭圆
有相同的焦点，
分别是椭圆的上、下焦点，P 是椭圆上的任一点，I 是
的内心，
交y 轴于M，且
，点
是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x 轴的交点为
，若
，则
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．
【答案】
【分析】作出辅助线，由正弦定理得到
，根据椭圆定义得到
，从而求出焦
点坐标为
，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到
在点
的切线为：
，
求出
，结合
，得到
是首项16，公比
的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答案.
【详解】
焦点在
轴上，故椭圆
的焦点在
轴上，
故
，
I 是
的内心，连接
，则
平分
，
在
中，由正弦定理得
①，
在
，由正弦定理得
②，
其中
，故
，
又
，
式子①与②相除得
，故
，
同理可得
，
，
由椭圆定义可知
，
，
，即焦点坐标为
，
所以抛物线方程为
，
，故
在
处的切线方程为
，
即
，又
，故
，
所以
在点
的切线为：
，
令
，又
，即
，
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所以
是首项16，公比
的等比数列，
．
故答案为：
．
【点睛】当已知切点坐标为
时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用
求出切线方程；
当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求
解.
3．（20-21 高三·上海宝山·模拟）已知各项均不为零的数列
的前
项和为
，
，
，
，且
，则
的最大值等于 .
【答案】
【分析】由递推关系得数列
满足
，得
，
由条件得
，将求
的最大值转化为求关于
的函数的最大值.
【详解】因为
，
所以
，将
代入，得
，
所以
，
，所以
，
，
又因为
，所以
，
，即
，
因为
，所以
，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
因为
，所以当
时，
最大，
所以
，
即
时，
有最大值
.
故答案为：
.
【点睛】根据
求
的最大值时，注意分析数列中项的正负号，得
，且
，进而得
.
4．（2024 高三·全国·专题练习）欧拉函数
的函数值等于所有不超过
且与
互质的正整数的
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个数（公约数只有1 的两个整数称为互质整数），例如：
，
．记
，数列
的前
项和为
，若
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题目设定的欧拉函数的概念，结合数列前n 项和的概念以及不等式恒成立的转化方法即可求
得参数的范围.
【详解】在
的整数中与
不互质的数有
，共有
个，所以与
互质的数有
个，因此
．
在
的整数中，2 的倍数共有
个，5 的倍数共有
个，10 的倍数共有
个，所以
．
所以
，所以数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，
所以
，
则
恒成立等价于
恒成立，
即
恒成立，所以
，
令
，则
，
所以
，且
，
所以
，
所以
，即实数
的取值范围是
【点睛】关键点点睛：本题按照题目设定的欧拉函数的概念，关键分析出：（1）在
的整数中与
不
互质的数的个数
，从而得到互质的个数
；（2）在
的整数中，与
互质的数的
个数分别是：2 的倍数共有
个，5 的倍数共有
个，10 的倍数共有
个，所以与
（注意：2 的倍数和5 的倍数中包含了10 的倍数）.
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