函数与导数：函数的单调性专项训练
考点目录
判定函数单调性与单调区间
利用单调性求最值
利用单调性解不等式与比较大小
复合函数的单调性
分段函数的单调性
1．（24-25 高一上·福建泉州·阶段练习）函数
1
1
g x
x x
=
+
+ 的单调递减区间为（ ）
A．
1
, 2
¥
æ
ù
-
ç
ú
è
û
B．
1
1,
2
é
ù
- -
ê
ú
ë
û
C．
1, ¥
+
D．
1
,
1,
2
¥
¥
æ
ù
-
È
+
ç
ú
è
û
【答案】B
【详解】当
1
x ³ - 时，
2
1
1
1
g x
x x
x
x
=
+
+ =
+
+ ，
则( )
g x 在
1
1,
2
é
ù
- -
ê
ú
ë
û 单调递减，
1 ,
2
¥
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø单调递增，
当
1
x < - 时，
2
1
1
1
g x
x x
x
x
= -
+
+ = -
-
+
则( )
g x 在
, 1
-¥ -
单调递增，
所以
2
2
1,
1
1,
1
x
x
x
g x
x
x
x
ì
+
+
³ -
= í-
-
+
< -
î
的减区间为
1
1,
2
é
ù
- -
ê
ú
ë
û ，
故选：B.
2．（24-25 高二下·广东深圳·期末）函数
2
1
ln
2
f x
x
x
=
-
的单调递增区间是（ ）
A．
1,1
-
B．
0,1
C．
, 1
(1,
)
-¥ -
+¥
U
D．
1,+¥
【答案】B
【详解】因为
2
1
ln
2
f x
x
x
=
-
，
0
x >
，所以对函数求导得：
2
1
1
x
f
x
x
x
x
-
¢
=
-
=
，
令
0
f
x
¢
>
，即
2
1
0
x
x
-
>
，
2
1
0
x
-
>
，
2
1
x < ，
解得0
1
x
<
< ，
因此函数的单调递增区间为
0,1 ．
故选：B.
考点一
判定函数单调性与单调区间
3．（24-25 高二下·吉林长春·期末）下列函数中是偶函数且在区间(0,
)
+¥ 上单调递增的是（ ）
A．
( )
|
|
f x
x x
=
B．
2
3
( )
f x
x
=
C．
1
( )
f x
x
x
=
+
D．
2
2
( )
f x
x
=
【答案】B
【详解】对于A，
f
x
x
x
x x
f
x
-
= -
-
= -
= -
Q
，
R
xÎ
，所以
f x 为奇函数，故A 错误；
对于B，由
2
3
R
f x
x
x
=
Î
，则
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，且
2
3
2
3
f
x
x
x
f x
-
=
-
=
=
，所以
f x 为偶函
数，故B 正确；
对于C，由
1
f
x
x
f x
x
-
= - +
= -
-
，
,0
0,
xÎ -¥
È
+¥ ，故
f x 为奇函数，故C 错误；
对于D，因为
1
2
f
=
，
2
1
2
4
2
f
=
=
，
1
2
f
f
>
，所以
f x 在
0, ¥
+
上不是单调增函数，故D 错误.
故选：B.
4．（24-25 高二下·广东广州·阶段练习）下列函数在区间
0,1 上单调递增的是（ ）
A．
1
y
x
= -
B．
2
2
y
x
x
=
-
C．y
x
=
D．
2
y
x
=
【答案】C
【详解】
1
y
x
= -
为R 上的减函数；
2
2
2
1
1
y
x
x
x
=
-
=
-
- ，在
0,1 上单调递减；
y
x
=
为R 上的增函数，符合题意；
2
y
x
=
在
0,1 上单调递减；
故选：C
5．（2024·北京·三模）下列函数中，在区间
0,+ ¥ 上为增函数的是（ ）
A．
ln
1
y
x
=
-
B．
2 2
1
y
x
x
=
-
+
C．
2
1
x
y
-
=
+
D．
3
1
y
x
=
-
【答案】D
【详解】对于A 选项，
ln(
1)
y
x
=
-
的定义域为
1,+¥ ，并在(1,
)
+¥ 上单调递增，故A 选项错误；
对于B 选项，
2 2
1
y
x
x
=
-
+ 的定义域为R ，其开口向上，对称轴为
1
x = ，故函数在
,1
-¥
上单调递减，在(1,
)
+¥
上单调递增，故B 选项错误；
对于C 选项，由
1
2
1
1
2
x
x
y
-
æ
ö
=
+ =
+
ç
÷
è
ø
，其定义域为R ，且在
R
xÎ
上单调递减，故C 选项错误；
对于D 选项，
3
1
y
x
=
- ，其定义域为R ，且在
R
xÎ
上单调递增，得其在区间
0, ¥
+
为增函数，故D 选项正确.
故选：D
6．（24-25 高一下·北京延庆·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间
,0
-¥
上单调递增的是（ ）
A．
2
3
y
x
=
B．
2
x
y =
C．
2
y
x
x
= -
+
D．
1
2
log
y
x
=
【答案】D
【详解】A 选项，
2
3
2
3
f
x
x
x
=
=
，定义域为R ，关于原点对称，
又因为
2
3
2
3
f
x
x
x
f x
-
=
-
=
=
，所以是偶函数，
因为2
0
3 >
，由幂函数性质知在
0, ¥
+
上单调递增，
又因为是偶函数，所以在
,0
-¥
上单调递减，不符合题意；
B 选项，
2
x
f x =
，定义域为R ，关于原点对称，
又因为
2
2
x
x
f
x
f x
-
-
=
=
=
，所以是偶函数，
当
,0
xÎ -¥
时，
1
2
2
2
x
x
x
f x
-
æ
ö
=
=
= ç
÷
è
ø
，
因为
1
0
1
2
<
< ，所以在
,0
-¥
上单调递减，不符合题意；
C 选项，定义域为R ，关于原点对称，
因为
2
2
f
x
x
x
x
x
f x
-
-
-
= -
+ -
= -
¹
，所以不是偶函数，不符合题意；
D 选项，定义域为
,0
0,
-¥
+¥
U
，关于原点对称，
因为
1
1
2
2
log
log
f
x
x
x
f x
-
=
-
=
=
，所以是偶函数，
当
0,
xÎ
+¥ 时，
1
1
2
2
log
log
f x
x
x
=
=
，
因为
1
0
1
2
<
< ，所以在
0, ¥
+
上单调递减，
又因为是偶函数，所以在
,0
-¥
上单调递增，符合题意.
故选：D.
7．（24-25 高二下·河南商丘·期末·多选）下列函数中，在区间(1,
)
+¥ 上单调递增的是（
）
A．
|
2 |
y
x
=
-
B．
1
3
y
x
=
C．
1
1
y
x
= -
D．
2
4 |
|
y
x
x
=
-
【答案】BC
【详解】因为
|
2 |
y
x
=
-
在(
,2)
-¥
上单调递减，所以A 错误；
1
3
y
x
=
在(0,
)
+¥ 上单调递增，所以B 正确；
1
1
y
x
=
=
-
1
1
x
-
- 在(1,
)
+¥ 上单调递增，所以C 正确；
2
4 |
|
y
x
x
=
-
在
0,2 上单调递减，所以D 错误．
故选：BC．
8．（24-25 高一下·云南曲靖·期末·多选）下列函数中，既是偶函数，又在(0,
)
+¥ 上单调递增的是（ ）
A．
2
2
y
x
=
+
B．
1
y
x
x
=
-
C．
lg |
| 1
y
x
=
+
D．
1,
0
1,
0
x
x
y
x
x
-
>
ì
= í +
<
î
【答案】AC
【详解】对于A，设函数
2
( )
2
f x
x
=
+
，则其定义域为R ，
且
2
(
)
(
)
2
( )
f
x
x
f x
-
= -
+
=
，可知
2
( )
2
f x
x
=
+
为偶函数，
根据二次函数的性质可知，
2
( )
2
f x
x
=
+
在(0,
)
+¥ 上单调递增，故A 正确；
对于B，设函数
1
( )
h x
x
x
=
-
，则(1)
0
h
=
，
1
3
2
2
hæ
ö =
ç
÷
è
ø
，
可得
1
(1)
2
h
hæ
ö
<
ç
÷
è
ø，可知( )
h x 不是增函数，故B 错误；
对于C，设函数
lg
1
n x
x
=
+ ，其定义域为
|
0
x x ¹
，
且
lg
1
lg
1
n
x
x
x
-
=
-
+ =
+ =
n x ，可知
n x 为偶函数，
当
0
x >
时，
lg
1
n x
x
=
+ 在(0,
)
+¥ 上单调递增，故C 正确；
对于D，令函数
1,
0
( )
1,
0
x
x
m x
x
x
-
>
ì
= í +
<
î
，则
( 2)
1,
2
1
m
m
-
= -
= ，
因为
( 2)
2
m
m
-
¹
，可知
( )
m x 不为偶函数，故D 错误.
故选：AC.
1．（24-25 高二下·辽宁沈阳·期末）函数
2
( )
4
2
f x
x
x
x
=
-
+
-
的最小值为（ ）
A．0
B．4
C．2
D．2 2
【答案】D
【详解】根据题意，函数
( )
f x 的定义域为[4,
)
+¥ ，
且由于
4
y
x
=
-
在区间[4,
)
+¥ 上单调递增，
2
2
2
1
1
y
x
x
x
=
-
=
-
- 在区间[4,
)
+¥ 上单调递增，
所以函数
( )
f x 在区间[4,
)
+¥ 上单调递增，
所以
min
( )
(4)
2 2
f x
f
=
=
．
故选：D．
2．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）函数
4
f x
x
x
=
+
在
3,4 上的最小值是（ ）
A．4
B．13
3
C．14
3
D．5
【答案】B
【详解】由对勾函数的单调性知,
函数
4
f x
x
x
=
+
在
3,4 上单调递增，
所以
min
4
13
3
3
3
3
f x
f
=
=
+
=
．
故选：B
3．（24-25 高一上·福建泉州·期中）函数
1
( )
1
f x
x
x
=
-
+ 的值域为（ ）
A．(
, 1]
-¥ -
B．[1,
)
+¥
C．[ 1,1]
-
D．R
【答案】D
【详解】由
1
0
0
x
x
+ ³
ì
í ¹
î
得
1
x ³ - 且
0
x ¹
.
∵
1
y
x
=
在[ 1,0),(0,
)
-
+¥ 上为减函数，
1
y
x
=
+ 在[ 1,0),(0,
)
-
+¥ 上为增函数，
∴
1
( )
1
f x
x
x
=
-
+ 在[ 1,0),(0,
)
-
+¥ 上均单调递减.
当
0
x >
且
0
x
时，
( )
f x +¥ ，当x +¥ 时，
( )
f x -¥ ，
考点二
利用单调性求最值
∴函数
1
( )
1
f x
x
x
=
-
+ 的值域为R .
故选：D.
4．（24-25 高一上·吉林长春·期中）已知函数
2 4
3
1
2
x
x
f x
+
+
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则（ ）
A．函数
f x 的值域为
0,1
B．函数
f x 无最值
C．函数
f x 在R 上递减
D．函数
f x 在
2, ¥
-
+
（
）上单调递减
【答案】D
【详解】令
2
2
4
3
2
1
u
x
x
x
=
+
+
=
+
- ，则
1
u ³ - ，
对于A，
1
2
u
y
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，
1
u ³ - ，则
0,2
y Î
，所以函数
f x 的值域为
0,2 ，故A 错误；
对于B，因为
1
u ³ - ，所以
2
f x £
，当且仅当
1
u = - ，即
2
x = - 时，
f x 取得最大值，故B 错误；
对于C，D，因为
2
2
4
3
2
1
u
x
x
x
=
+
+
=
+
- 在
2,
-
+¥ 上单调递增，
, 2
-¥ -
上单调递减，
1
2
u
y
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，
1
u ³ - 单调递减，所以函数
f x 在
, 2
-¥ -
上单调递增，在
2,
-
+¥ 上单调递减，故C 错误，D 正确.
故选：D.
5．（2025·广东茂名·一模·多选）已知函数
1
2
2
x
x
f x
a
+
=
+
，则（ ）
A．当
0
a >
时，
f x 是增函数
B．当
0
a <
时，
f x 的值域为
2,+¥
C．当
1
a = 时，曲线
y
f x
=
关于点
0,1 对称
D．当
4
a =
时，
2
,
1
2
2
x
f kx
f
x
" Î
+
+
-
<
R
，则2< <2
k
-
【答案】ACD
【详解】对于A：因为
1
2
2
2
2
2
x
x
x
a
f x
a
a
+
-
=
=
+
+
+
定义域为R ，
当
0
a >
时
2x
y
a
=
+
在定义域R 上单调递增，且
2
0
x
y
a
a
=
+
>
>
，又
2a
y
x
-
=
在
0, ¥
+
上单调递增，
所以
f x 在定义域R 上单调递增，故A 正确；
对于B：当
2
a = - 时
0
2
f
= - ，但是
2
2,
- Ï
+¥ ，故B 错误；
对于C：当
1
a = 时，
1
2
2
1
x
x
f x
+
=
+
，
则
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
f x
f
x
+
- +
+
-
+
-
=
+
=
+
=
+
+
+
+
，所以曲线
y
f x
=
关于点
0,1 对称，故C 正确；
对于D：当
4
a =
时，
1
1
2
2
2
2
4
2
1
x
x
x
x
f x
+
-
-
=
=
+
+
的图象是由
1
2
2
1
x
x
y
+
=
+
图象向右平移2 个单位得到，
所以
f x 的对称中心为
2,1 ，且在定义域R 上单调递增，
所以
2
,
1
2
2
x
f kx
f
x
" Î
+
+
-
<
R
，可得
2
,2
4
1
2
2
x
f
kx
f
x
" Î
-
-
-
+
-
<
R
，
即
2
,
2
4
1
x
f
x
f
kx
" Î
-
<
-
-
R
，从而得到
2
,2
3
x
x
kx
" Î
-
<
-
R
，
即
2
1
0
x
kx
-
+ >
恒成立，所以
2
4
0
k
D =
-
<
，解得2< <2
k
-
，故D 正确.
故选：ACD
6．（24-25 高一下·四川成都·期末·多选）下列说法正确的有（ ）
A．函数
5
2
3
x
y
x
-
=
+
在[0,2]时有最大值8
5 ，最小值
2
3
-
．
B．函数
2
1
3
x
y
x
+
=
+
的最大值为
1
2 ．
C．函数
3
2
2
( )
(1
)
x
x
f x
x
-
=
+
的值域为
1 1
[
, ]
4 4
-
．
D．若a
b
> ，则
(
0)
a
a
m m
b
b
m
+
>
>
+
【答案】ABC
【详解】对于A，函数
5(
3) 17
17
5
3
3
x
y
x
x
+
-
=
=
-
+
+
在[0,2]上单调递增，则
2
5
2
8
3
3
5
x
x
-
-
£
£
+
，A 正确；
对于B，函数
2
1
3
x
y
x
+
=
+
定义域为R，该函数取最大值，当且仅当
1
0
x + >
，
此时
1
1
1
4
2
4
1
2
2 (
1)
2
1
1
y
x
x
x
x
=
£
=
+ +
-
+
×
-
+
+
，当且仅当
1
x = 时取等号，B 正确；
对于C，函数
3
2
2
( )
(1
)
x
x
f x
x
-
=
+
定义域为R，
3
3
2 2
2
2
(
)
(
)
( )
]
[1 (
1
)
)
(
x
x
x
x
f
x
f x
x
x
- - -
-
-
=
= -
= -
+ -
+
，
函数
( )
f x 是奇函数，当
0
x ³
时，
(0)
(1)
0
f
f
=
=
，
当0
1
x
<
< 时，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1[(1
1
2 (1
1
1
2
0
( )
2 (1
2
)
(
4
4
]
)
4
1
)
4
)
x
x
x
x
x
f x
x
x
x
-
+
+
+
-
<
=
×
£
×
=
-
-
，当且仅当
2
1
x =
- 取等号，
当
1
x > 时，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1[(
1
1
2 (
1
1
1
2
0
4
)
(
4
]
)
)
)
2 (
1
4
2
(
1)
4
x
x x
f x
x
x
x
x
x
-
-
>
= -
×
³ -
×
= -
-
+
+
+
-
，当且仅当
2
1
x =
+ 取等号，
因此当
0
x ³
时，
1
1
( )
4
4
f x
-
£
£
，当
0
x £
时，
1
1
( )
4
4
f x
-
£
£
，函数
( )
f x 值域为
1 1
[
, ]
4 4
-
，C 正确；
对于D，取
1
0,
2
a
b
m
=
= -
，满足a
b
> ，而
0
1
2
a
m
a
m
b
b
m
m
+
=
<
=
+
，D 错误.
故选：ABC
7．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）函数
3
2
1
y
x
x
=
+
- 的值域是
．
【答案】3 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø
【详解】对于函数
3
2
1
y
x
x
=
+
- ，有2
1
0
x - ³ ，解得
1
2
x ³
，该函数的定义域为1 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø ，
因为函数
3
y
x
=
、
2
1
y
x
=
- 在1 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø 上均为增函数，
所以，函数
3
2
1
y
x
x
=
+
- 在1 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø 上为增函数，
所以，
1
1
3
3
2
1
3
2
1
2
2
2
y
x
x
=
+
- ³ ´
+
´
- =
.
故函数
3
2
1
y
x
x
=
+
- 的值域为3 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø .
故答案为：3 ,
2
é
ö
+¥÷
êë
ø .
8．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）函数
2
1
1 ,1
3
1
2
x
f x
x
x
+ æ
ö
é
ù
=
Î
ç
÷
ê
ú
-
ë
û
è
ø
的值域为
．
【答案】
5
1, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】设3
1
x
t
- = ，则
1
3
t
x
+
=
， 因为
1 ,1
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以
1 ,2
2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û ．
函数
( )
f x 可化为
2
1
1
3
t
f x
t
t
j
+
æ
ö +
ç
÷
è
ø
=
=
=
2
2
10
1
10
2
9
9
t
t
t
t
t
+
+
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
1 ,2
2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
因为当
0, 10
t
ù
Î
û 时t
j
是减函数，又
1 ,2
0, 10
2
é
ù
ù
Í
ê
ú
û
ë
û
，
所以函数t
j
在1 ,2
2
é
ù
ê
ú
ë
û 上是减函数，
于是
1
2
2
t
j
j
j æ
ö
£
£
ç
÷
è
ø ，即
5
1
2
t
j
£
£
，
所以函数
2
1
3
1
x
f x
x
+
=
-
1 ,1
2
x
æ
ö
é
ù
Î
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
的值域是
5
1, 2
é
ù
ê
ú
ë
û ．
故答案为：
5
1, 2
é
ù
ê
ú
ë
û .
9．（24-25 高一上·贵州贵阳·期末）已知函数
2
3
1.
2
x
f x
x
+
=
(1)判断
f x 在区间
, 1
-¥ -
上的单调性，并用定义证明；
(2)求
f x 在区间
1,3 上的值域.
【答案】(1)
f x 在区间
, 1
-¥ -
上的单调递增，证明见解析
(2)
14
2, 3
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】（1）
f x 在区间
, 1
-¥ -
上的单调递增，证明如下：
任取
1
2
1
x
x
<
£ - ，
2
3
1
3
1
2
2
2
x
x
f x
x
x
+
=
=
+
，
则
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
f x
f x
x
x
x
x
x x
x x
æ
ö
-
-
=
-
+
-
=
-
+
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
因为
1
2
1
x
x
<
£ - ，所以
1
2
1
x x > ，所以
1
2
1
1
x x < ，所以
1
2
1
2
1
1
3
0
2 x
x
x x
æ
ö
-
-
<
ç
÷
è
ø
，
即
1
2
0
f x
f x
-
<
，所以
1
2
f x
f x
<
，即
f x 在区间
, 1
-¥ -
上的单调递增；
（2）因为
2
2
3
1
1 3
2
2
x
x
f
x
f x
x
x
+
+
-
=
= -
= -
-
，即
f x 为奇函数，
由1 可得
f x 在
3, 1
-
-
上单调递增，
由奇函数的对称性可知，
f x 在
1,3 上单调递增，
因为
1
2
f
=
，
14
3
3
f
=
，
故函数的值域为
14
2, 3
é
ù
ê
ú
ë
û .
10．（24-25 高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数
2
2
log
2
log
1
f x
x
x
=
-
+
.
(1)求不等式
0
f x <
的解集；
(2)已知
1
( ,8)
2
xÎ
，求函数
( )
y
f x
=
的值域；
(3)若存在
4,16
xÎ
，使得不等式
2
3
log
f x
m
x
+
³
成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) 1 ,4
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
(2)
9 ,4
4
é
ö
-
÷
êë
ø
(3)
13
, 4
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û
【详解】（1）由
2
2
log
2
log
1
f x
x
x
=
-
+
0
<
，
可得
2
1
log
2,
4
2
1
x
x
-
\
<
<
<
<
，
所以不等式
0
f x <
的解集为1 ,4
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
（2）因为
1
( ,8)
2
xÎ
，令
2
log
1,3
m
x
=
Î -
，
所以
2
2
1
9
2
1
2
2
4
y
m
m
m
m
m
æ
ö
=
-
+
=
-
-
=
-
-
ç
÷
è
ø
，又
1,3
mÎ -
，
所以函数
2
1
y
m
m
=
-
+
在
1
1, 2
æ
ù
-
ç
ú
è
û 上单调递减，在1 ,3
2
é
ö
÷
êë
ø 上单调递增，
所以
9
4
4
y
-
£
<
，
故函数
( )
y
f x
=
的值域为
9 ,4
4
é
ö
-
÷
êë
ø ；
（3）因为
4,16
xÎ
，令
2
log
2,4
t
x
=
Î
，
由
2
3
log
f x
m
x
+
³
可得
2
1
2
1
3
1,
1
mt
t
t
t
t
m
t
t
£
-
+
+
=
- + \
£ +
- ，
由对勾函数的单调性可知，函数
1 1
g t
t
t
= +
- 在
2,4 上单调递增，
由题意可得
max
1
13
4
4
1
4
4
m
g t
g
£
=
=
+
- =
，
因此，实数m 的取值范围是
13
, 4
¥
æ
ù
-
ç
ú
è
û
1．（25-26 高三上·福建厦门·开学考试）若
ln 2
2
a =
，
ln3
3
b =
，
2023
2023
2024
c
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则（ ）
A．a
b
c
<
<
B．a
c
b
<
<
C．b
c
a
<
<
D．c
a
b
<
<
【答案】A
【详解】设
ln
,
0
x
f x
x
x
=
>
，
由
2
1 ln
0
e
x
f
x
x
x
-
=
=
Þ
=
¢
，
则
0,e ,
0,
e,
,
0
x
f
x
x
f
x
¢
¢
Î
>
Î
+¥
<
，
∴
f x 在
0,e 单调递增，在
e,+¥ 单调递减，
∵
ln 2
ln 4
4
2
4
a
f
=
=
=
，
ln3
3
3
b
f
=
=
，
∴
4
3
e
f
f
f
<
<
即
1
e
a
b
<
<
，
设
1
ln
1,
0
g x
x
x
x
=
+
-
>
，
由
2
2
1
1
1
0
1
x
g
x
x
x
x
x
-
=
=
¢
-
=
Þ
= ，
则
0,1 ,
0,
1,
,
0
x
g
x
x
g
x
Î
+¥
¢
¢
Î
，
∴
g x 在
0,1 单调递减，在
1,+¥ 单调递增，
∴
1
0
min
g x
g
=
=
，
∴
0
g x ³
即
1
ln
1
x
x
³ -
，当且仅当
1
x = 时等号成立，
∴
2023
2024
1
ln
1
2024
2023
2023
> -
= -
，
∴
2023
ln
2023ln
1
2024
c =
> - ，
∴
1
e
c >
，
综上：
1
e
a
b
c
<
<
<
，
故选：A.
2．（24-25 高三下·安徽合肥·阶段练习）已知
2
3
3
2(2
ln 2)e
3 3
ln3 e ,
ln
3
a
b
c
-
-
=
-
=
-
=
，
，则（
）
A．a
c
b
<
<
B．b
c
a
<
<
C．a
b
c
<
<
D．b
a
c
<
<
考点三
利用单调性解不等式与比较大小
【答案】D
【详解】令
ln x
f x
x
=
，所以
f x 的定义域为
0, ¥
+
，所以
2
1 ln x
f
x
x
-
¢
=
，由
0
f
x
¢
>
有0
e
x
<
<
，
0
f
x
¢
<
有
e
x> ，
所以
f x 在
0,e 单调递增，在
e +¥
，
单调递减，
又
3
2
2
3
2
3
3
2
3
e
e
ln
ln
e
e
ln3
3
2
2 2
ln 2 e
,
3 3
ln3 e
,
ln
3
3
e
e
2
3
3
2
3
a
f
b
f
c
f
-
-
æ
ö
æ
ö
=
-
=
=
=
-
=
=
=
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由
3
2
e
e
3
e
3
2
>
>
>
，所以
3
2
e
e
3
3
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
<
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即b
a
c
<
<
.
故选：D.
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
1
1
sin 2
2
e
e
2
x
x
f x
x
x
-
-
=
-
-
+
+
ÎR
，
．若
2
2
1
4
f
a
f
a
+
-
<
，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
1 ,1
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．
1
,
1,
2
¥
¥
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
è
ø
C．
1
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
D．
1
, 1
,
2
¥
¥
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
è
ø
【答案】A
【详解】令
1
t
x
=
- ，则原函数可改写为：
sin 2
e
e
2
t
t
f x
t
-
=
+
-
+
，
定义辅助函数( )
sin(2 )
(e
e )
t
t
g t
t
-
=
+
-
，则
( )
( )
2
f x
g t
=
+
，
由(
)
( )
g
t
g t
-
= -
，故( )
g t 是奇函数，
2cos 2
e
e
t
t
g t
t
-
=
+
+
¢
Q
，又
2
t
t
e
e-
+
³
（当且仅当
0
t =
时取等号），且2cos(2 )
2
t ³ - ,
0
g t
\ ¢
>
,
因此，( )
g t 在R 上严格递增，
原不等式
2
2
1
4
f
a
f
a
+
-
<
转化为：
2
(2
1)
2
(
)
2
4
g
a
g
a
é
ù
-
+
+
-
+
<
ë
û
，即
2
(2
1)
(
)
g
a
g
a
-
< -
-
，
因为( )
g t 为奇函数，即(
)
( )
g
a
g a
-
= -
，所以
2
(2
1)
( )
g
a
g a
-
<
，
又( )
g t 在R 上严格递增，故
2
2
1
a
a
- <
，所以
2
2
1
0
a
a
-
- <
，得
1 ,1
2
a
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，
故选：A
4．（24-25 高二下·河南驻马店·期末）定义在R 上的奇函数
f x （
f x 不是常数函数）的导函数为
f
x
¢
，当
0
x ³
时，恒有
3
0
f x
xf
x
+
³
¢
，则不等式
3
3
3
1
3
1
x f x
x
f
x
<
-
-
的解集为（ ）
A．
1
1
,
,
4
2
æ
ö
æ
ö
-¥
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
B．1 1
,
4 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
1
, 2
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
D．1 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
【答案】A
【详解】根据题意可构造函数
3
g x
x f x
=
，
则
2
3
2 3
3
g
x
x f x
x f
f
x
x
x
x
f
x
¢
¢
¢
é
ù
=
+
=
ë
+
û ，
因为当
0
x ³
时，
3
0
f x
xf
x
+
³
¢
，则
2 3
0
g
x
x
f x
xf
x
¢
=
+
¢
³
é
ù
ë
û
，
所以
3
g x
x f x
=
在区间
0,+¥ 上为增函数，
又由于
3
y
x
=
为奇函数，
f x 为奇函数，所以
3
g x
x f x
=
为偶函数，
则
3
g x
x f x
=
在区间
,0
-¥
上为减函数，
又
3
3
3
1
3
1
x f x
x
f
x
<
-
-
，即
3
1
g x
g
x
<
-
，
所以
3
1
x
x
<
- ，解得
1
4
x <
或
1
2
x >
，
则不等式
3
3
3
1
3
1
x f x
x
f
x
<
-
-
的解集为
1
1
,
,
4
2
æ
ö
æ
ö
-¥
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
.
故选：A.
5．（2025·河北石家庄·三模）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，当
1
x 、
2
0,
x
¥
Î
+
且
1
2
x
x
¹
时，都有
2
1
1
2
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x x
x
x
-
>
-
成立，
2025
2025
f
=
，则不等式
0
f x
x
-
>
的解集为（ ）
A．
,
2025
2025,
¥
¥
-
-
È
+
B．
2025,0
2025, ¥
-
È
+
C．
2025,2025
-
D．
1
1
,
2025 2025
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】B
【详解】由
2
1
1
2
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x x
x
x
-
>
-
可得
1
2
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
x
x
-
>
-
，设函数
f x
g x
x
=
，
0,
xÎ
+ ¥ ，
则
g x 在
0, ¥
+
上单调递增，
又因为
f x 为定义在R 上的奇函数，
f
x
g
x
g x
x
-
-
=
=
-
，所以
g x 为偶函数，
g x 在
,0
-¥
上单调递减，
而不等式
1
0
0
1
0
g x
x
f x
x
g x
x
ì
>
>
ï
-
>
Û í
<
<
ïî
，
又因为
2025
2025
f
=
，所以
2025
2025
1
g
g
=
-
= ，
所以不等式的解集为
2025, 0
2025,
-
+ ¥
U
.
故选：B
6．（24-25 高二下·江西上饶·期末）已知函数
( )
sin
f x
x
x
=
-
，且
2
log
( 1)
0
f
m
f
+
-
<
，则m 的取值范围是（ ）
A．(
,2)
-¥
B．(0,2)
C．(1,2)
D．(2,
)
+¥
【答案】B
【详解】Q函数
( )
sin
f x
x
x
=
-
，定义域为R ，\
( )
1 cos
0
f
x
x
¢
= -
³
恒成立，故函数
( )
f x 为增函数，
又由
(
)
sin
sin
f
x
x
x
x
x
f x
-
= - -
-
= - +
= -
，故函数
( )
f x 为奇函数，
2
2
log
( 1)
0
log
( 1)
1
f
m
f
f
m
f
f
+
-
<
Þ
< -
-
=
，则
2
log
1
m < ，
解得：0
2
m
<
<
.
故选：B.
7．（24-25 高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R 的函数
f x 满足
f x
f
x
=
-
，当
,0
x
¥
Î -
时，
1
2
x
f x
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则满足
1
3
1
2
f
x
f æ
ö
-
<
ç
÷
è
ø 的实数x 的取值范围是（ ）
A．1 1
,
6 2
é
ö
÷
êë
ø
B．
1
1
,
2
6
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
C．
1
1
,
3
6
é
ö
-
-
÷
êë
ø
D．1 1
,
6 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】D
【详解】因为函数
f x 满足
f x
f
x
=
-
，所以
f x 是定义域为R 的偶函数，
当
,0
x
¥
Î -
时，
1
2
x
f x
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，此时在
,0
¥
-
上单调递减，
则
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
所以
1
1
3
1
3
1
2
2
f
x
f
x
æ
ö
-
<
Û
-
<
ç
÷
è
ø
，即
1
1
3
1
2
2
x
-
<
- <
，解得1
1
6
2
x
<
<
.
故选：D
8．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数
3
2
e
1
x
f x
x
=
-
+
，则满足不等式
2
2
1
2
f m
f
m
+
+
-
>
的实数
m 的取值范围是（ ）
A．
1
3
m <
B．
1
3
m >
C．
1
3
m < -
D．
1
3
m > -
【答案】C
【详解】设
3
3
3
2
2
e
1
1 e
1
1
e
1
e
1
e
1
x
x
x
x
x
g x
f x
x
x
x
-
-
-
=
- =
-
- =
-
=
-
+
+
+
，
g x 的定义域为R ，关于原点对称，
3
3
1 e
e
1
e
1
1 e
x
x
x
x
g
x
x
x
g x
-
-
-
-
-
=
- -
=
+
= -
+
+
，所以
g x 是奇函数，
2
2
2
2
e
e
1
e
1 e
2e
3
3
0
e
1
e
1
x
x
x
x
x
x
x
g
x
x
x
-
+
-
-
-
=
-
=
-
<
+
+
¢
，所以
g x 在R 上单调递减，
由
2
2
1
2
f m
f
m
+
+
-
>
得
2
1
2
1
1
0
f m
f
m
é
ù
é
ù
+
-
+
-
-
>
ë
û
ë
û
，
即
2
2
1
0
g m
g
m
+
+
-
>
，
2
2
1
1 2
g m
g
m
g
m
+
> -
-
=
-
，
因为
g x 在R 上单调递减，所以
2
1 2
m
m
+
< -
，解得
1
3
m < -
，
故选：C.
9．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知函数
1
ln 2
1
ln3
ln 1 e
,
,
,
2
2
e
3
x
f x
x a
f
b
f
c
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
=
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø，则
（ ）
A．a
c
b
<
<
B．b
c
a
<
<
C．a
b
c
<
<
D．c
b
a
<
<
【答案】A
【详解】由题意得
e
1
e
1
( )
1 e
2
2 1 e
x
x
x
x
f
x
-
¢
=
-
=
+
+
，
令
( )
0
f
x
¢
=
，即e
1
0
x - = ，解得
0
x =
，
当
0
x <
时，
( )
0
f
x
¢
<
，
( )
f x 在
,0
-¥
上单调递减，
当
0
x >
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
( )
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
可知
1
1 e
1
1
1
ln 1 e
ln
ln 1 e
ln 1 e
( )
2
e
2
2
2
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f x
-
æ
ö
+
-
=
+
+
=
+
=
+
-
+
=
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
( )
f x 为偶函数，可知
ln3
ln3
3
3
c
f
f
æ
ö
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
令
ln
( )
x
g x
x
=
，则
2
1 ln x
g
x
x
-
¢
=
，
令
( )
0
g x
¢
= ，即1 ln
0
x
-
=
，解得
e
x= ，
当0
e
x
<
<
时，
( )
0
g x
¢
> ，( )
g x 在
0,e 上单调递增，
当
e
x> 时，
( )
0
g x
¢
<
，( )
g x 在
e,+¥ 上单调递减，
所以ln 2
ln e
2
e
<
，ln3
ln e
3
e
<
，
ln 2
ln3
3ln 2
2ln3
ln8
ln9
0
2
3
6
6
-
-
-
=
=
<
，即ln2
ln3
2
3
<
，
所以ln 2
ln3
ln e
2
3
e
<
<
，即ln 2
ln3
1
2
3
e
<
<
，
所以
ln 2
ln3
1
(
)
(
)
( )
2
3
e
f
f
f
<
<
，即a
c
b
<
<
.
故选：A.
10．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习·多选）已知定义在R 上的连续函数
f x 是偶函数，且满足
2
2
f x
f x
-
= -
+
，且
1x
" ，
2
0,4
x Î
，
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，则（ ）
A．
4
f x
f x
=
+
B．
f x 在
8,0
-
单调
C．
121
sin1
f
f
>
D．
f x 在
4,9
-
有三个极值点
【答案】CD
【详解】由
2
2
f x
f x
-
= -
+
可知
4
f x
f x
= -
+
，所以
8
6
2
4
f x
f x
f x
f x
+
= -
+
-
= -
+
=
，A 错误；
因为
1x
" ,
2
0,4
x Î
，
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，所以
f x 在
0,4 单调递增，又
f x 为偶函数，所以
f x
在
4,0
-
单调递减，由周期性可知
f x 在
8, 4
-
-
单调递增，所以
f x 在
8,0
-
不单调，B 错误；
由A 项知
f x 的周期为8，所以
121
15 8 1
1
f
f
f
=
´ +
=
，又0
sin1
1
<
< ，且
f x 在
0,4 单调递增，故
121
sin1
f
f
>
，C 正确；
由
f x 为偶函数知
0
x =
是
f x 的一个极值点，又
f x 的周期为8，则
8
x =
是
f x 的一个极值点，又
f x
f
x
=
-
，
8
f x
f x
=
+
，则
8
f
x
f x
-
=
+
，所以
f x 的图象关于直线
4
x =
对称，即
4
x =
是
f x 的一
个极值点，因此
f x 在
4,9
-
内有三个极值点，D 正确；
故选：CD.
11．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习·多选）已知定义在
π
0, 2
é
ö
÷
êë
ø上的函数
f x 的导函数为
f
x
¢
，且
0
0
f
=
，
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
¢
+
<
，则下列判断中正确的是（ ）.
A．
π
6
π
6
2
4
f
f
æ
ö
æ
ö
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
B．
π
ln
0
3
f æ
ö >
ç
÷
è
ø
C．
π
π
3
6
3
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
D．
π
π
2
4
3
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】CD
【详解】令
cos
f x
g x
x
=
，
π
0, 2
x
é
ö
Î
÷
êë
ø ，则
2
cos
sin
cos
f
x
x
f x
x
g
x
x
+
¢
¢
=
，
因为
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
¢
+
<
，所以
0
g
x
¢
<
在
π
0, 2
é
ö
÷
êë
ø上恒成立，
因此
g x 在
π
0, 2
é
ö
÷
êë
ø上单调递减．
易知
π
π
6
4
g
g
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，所以
π
π
6
4
π
π
cos
cos
6
4
f
f
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
>
，即
π
6
π
6
2
4
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，故A 错误.
因为
0
0
f
=
，所以
0
0
0
cos0
f
g
=
=
，
0
g x £
在
π
0, 2
é
ö
÷
êë
ø上恒成立，
又
π
π
ln
0,
3
2
é
ö
Î
÷
êë
ø ，所以
π
ln
0
3
f æ
ö <
ç
÷
è
ø
，故B 错误.
易知
π
π
6
3
g
g
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，所以
π
π
6
3
π
π
cos
cos
6
3
f
f
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
>
，即
π
π
3
6
3
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，故C 正确．
易知
π
π
4
3
g
g
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，所以
π
π
4
3
π
π
cos
cos
4
3
f
f
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
>
，即
π
π
2
4
3
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，故D 正确．
故选：CD．
12．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习·多选）已知lg
lg
a
b
>
，则下列结论成立的是（ ）
A．2
1
a b
- >
B．
1
1
a
b
a
b
+
>
+
C．
2025
2025
b
b
a
a
+
>
+
D．π
3
a b
a b
-
-
>
【答案】AD
【详解】列表解析 直观解疑惑
选项
正误
原因
A
√
因为lg
lg
a
b
>
，所以
0
a
b
>
>
，故
0
a
b
-
>
，得2
1
a b
- > ．
B
×
对勾函数
1
f x
x
x
=
+
在
0,1 上单调递减，在
1, ¥
+
上单调递增，
而
0
a
b
>
>
，故
f a
f b
>
不一定成立，即
1
1
a
b
a
b
+
>
+
不一定成立．
C
×
2025
2025
2025
2025
0
2025
2025
2025
b a
a b
b
a
b
b
a
a
a a
a a
+
-
+
-
+
-
=
=
<
+
+
+
，
所以有
2025
2025
b
b
a
a
+
<
+
．
D
√
0
π
π
π
1
3
3
3
a b
a b
a b
-
-
-
æ
ö
æ
ö
=
>
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，又3
0
a b
- >
，所以π
3
a b
a b
-
-
>
．
故选：AD
13．（24-25 高二下·山东日照·期末）定义域为R 的偶函数
( )
f x 在(
,0]
-¥
上单调递减，且
(1)
0
f
=
，若关于x 的不等
式(
1) (
2)
(
2) (2
)
mx
f x
nx
f
x
-
-
³
+
-
的解集为[1,
)
+¥ ，则
1
e
e
m
n
-
+
的最小值为
．
【答案】2e
【详解】由
( )
f x 为偶函数，得
( )
(
)
f x
f
x
=
-
，即
(
2)
(2
)
f x
f
x
-
=
-
，
不等式(
1) (
2)
(
2) (2
)
[(
)
3] (
2)
0
mx
f x
nx
f
x
m
n x
f x
-
-
³
+
-
Û
-
-
-
³
，
又函数
( )
f x 在(
,0]
-¥
上单调递减，且
( 1)
(1)
0
f
f
-
=
=
，则函数
( )
f x 在[0,
)
+ ¥ 上单调递增，
则当
(
, 1)
(1
)
,
xÎ -¥ -
+ ¥
U
时，
( )
0
f x >
，当
,
( 11)
xÎ -
时，
( )
0
f x <
，
当
(
1)
(3
)
,
,
xÎ -¥
+ ¥
U
时，
(
2)
0
f x -
>
，当
(13)
,
xÎ
时，
(
2)
0
f x -
<
，
即
(
2)
0
f x -
£
的解集为[1,3]，
(
2)
0
f x -
³
的解集为(
,1]
[3,
)
-¥
È
+¥ ，
由不等式[(
)
3] (
2)
0
m
n x
f x
-
-
-
³
的解集为[1,
)
+¥ ，
当m
n
=
时，不等式[(
)
3] (
2)
0
m
n x
f x
-
-
-
³
为( 3)
(
2)
0
f x
-
×
³
-
，解集为[1,3]，不符合题意；
当m
n
>
时，不等式(
)
3
0
m
n x
-
-
³
解集为
3
x
m
n
³
-
，(
)
3
0
m
n x
-
-
£
解集为
3
x
m
n
£
-
，
要使不等式[(
)
3] (
2)
0
m
n x
f x
-
-
-
³
的解集为[1,
)
+¥ ，则
3
3
m
n =
-
，即
1
m
n
=
+ ；
当m
n
<
时，不等式(
)
3
0
m
n x
-
-
³
解集为
3
x
m
n
£
-
，(
)
3
0
m
n x
-
-
£
解集为
3
x
m
n
³
-
，
此时不等式[(
)
3] (
2)
0
m
n x
f x
-
-
-
³
的解集不为[1,
)
+¥ ，
因此
1
m
n
=
+ ，
1
1
1
1
1
e
e
e
e
e
e
e
2
2
m
n
n
n
n
n
-
+
-
+
-
+
=
³
×
=
+
，
当且仅当
1
1
e
e
n
n
+
-
=
，即
0
n =
，
1
m = 时取等号，所以
即
1
e
e
m
n
-
+
的最小值为2e .
故答案为：2e
14．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数
e
e
1
-
=
-
+
x
x
f
x
（e为自然对数的底数），若
2
2
1
4
2
f
x
f
x
-
+
-
>
，则该不等式的解集是
．
【答案】
1
3
x
x
- <
<
【详解】
e
e
1 e
e
1
2
x
x
x
x
f
x
f x
-
-
-
+
=
-
+ +
-
+ =
，
则
2
1
1 2
2
f
x
f
x
-
+
-
=
，
2
2
2
1
4
2
2
1
4
2
1
1
2
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
-
+
-
>
Þ
-
+
-
>
-
+
-
，
故
2
4
1 2
f
x
f
x
-
>
-
，
e
e
1
x
x
f x
-
=
-
+ 在R 上单调递增，
所以
2
4
1 2
x
x
-
> -
，解得1
3
x
- <
<
.
该不等式的解集为
1
3
x
x
- <
<
.
故答案为：
1
3
x
x
- <
<
15．（24-25 高二下·河北唐山·期末）设
f
x
¢
是函数
f x 的导函数，若对任意
R
xÎ
都有
2,
2
3
f
x
f
¢
<
=
，则使
得
e
2e
1
x
x
f
<
- 成立的x 的取值范围是
.
【答案】
ln 2, + ¥
【详解】设
2
g x
f x
x
=
-
，则
2
0
g
x
f
x
¢
¢
=
-
<
，
2
2
2
2
1
g
f
=
-
´
= - ，
可知
g x 在R 上单调递减，
由
e
2e
1
x
x
f
<
- ，得
e
e
2
1
x
x
f
-
< - ，即
2
ex
g
g
<
，
故e
2
x >
，则
ln 2
x >
，即使得
e
2e
1
x
x
f
<
- 成立的x 的取值范围是
ln 2, + ¥ ，
故答案为：
ln 2, + ¥
16．（24-25 高二下·陕西西安·期末）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，且当
0
x >
时，
2
log
3
f x
x
x
=
+
- ，则不
等式
0
x f x
×
>
的解集是
.
【答案】
, 2
2,
¥
¥
-
-
È
+
【详解】由对数函数
2
log
y
x
=
和一次函数
3
y
x
=
-
的单调性可得
2
log
3
f x
x
x
=
+
- 是
0, ¥
+
上的增函数，
且
2
2
log 2
2
3
0
f
=
+
-
=
，
所以当
0
x >
时，
0
f x >
的解集为
2, ¥
+
，
所以当
0
x >
时，不等式
0
x f x
×
>
的解集为：
2, ¥
+
.
又因为
f x 是奇函数，易知
x f x
×
是偶函数，
所以当
0
x <
时，不等式
0
x f x
×
>
的解集为：
, 2
¥
-
-
.
故不等式
0
x f x
×
>
的解集为：
, 2
2,
¥
¥
-
-
È
+
.
故答案为：
, 2
2,
¥
¥
-
-
È
+
17．（24-25 高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数
( )
f x 的定义域为R ，对任意x ，y 都满足
(
)
( ) ( )
f x
y
f x f y
+
=
，
且
( )
0
f x ¹
，当
0
x >
时，0
( )
1
<
<
f x
且
1
(2)
9
f
=
.
(1)求
(1)
f
，
(3)
f
的值；
(2)用函数单调性的定义证明
( )
f x 在R 上单调递减；
(3)若对任意的
R
xÎ
，
2
2
3
2
(
5) (3
4)
f
x
a
a
f x
f
x
-
+
£
-
-
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
1
1
3
f
=
，
1
3
27
f
=
(2)证明见解析
(3)[ 2,3]
-
【详解】（1）由
f x
y
f x f
y
+
=
，取
1
x = ，可得：
2
1
2
1
9
f
f
=
=
，
又当
0
x >
时，
0
1
f x
<
< ，则
1
1
3
f
=
，
再取
1,
2
x
y
=
=
，可得：
1
3
1
2
27
f
f
f
=
×
=
；
（2）
0
f x ¹
Q
2
( )
(
)
[ ( )]
0
2
2
2
x
x
x
f x
f
f
\
=
+
=
>
，
1
2
,
R
x x
"
Î
，且
1
2
x
x
<
，则
2
1
0
x
x
-
>
，依题
2
1
0
(
)
1
<
-
<
f x
x
，
则
2
2
1
1
2
1
1
1
((
)
)
(
) ( )
( )
f x
f
x
x
x
f x
x
f x
f x
=
-
+
=
-
<
，
即
f x 在R 上单调递减；
（3）由已知
2
2
3
2
5
3
4
4
9
f
x
a
a
f x
f
x
f
x
-
+
£
-
-
=
-
，
又由（1）得
1
1
3
f
=
，则有
2
2
1
2
4
9
1
4
9
4
8
3
f
x
a
a
f
x
f
f
x
f
x
-
+
£
-
=
-
=
-
，
因
f x 在R 上单调递减，则
2
2
2
4
8
x
a
a
x
-
+
³
- 恒成立，
即
2
2
2
4
8
x
x
a
a
-
+
³
-
恒成立，又
2
2
2
4
8
2
1
6
6
x
x
x
-
+
=
-
+
³
，
则
2
6
a
a
-
£
，解得2
3
a
- £
£
，
故实数a 的取值范围为[ 2,3]
-
.
18．（24-25 高一上·四川泸州·期末）已知定义在( 2
)
,3
a
-
-
上的函数
2
( )
4
ax
b
f x
x
+
=
-
图象关于原点对称．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)判断并用定义证明
( )
f x 的单调性；
(3)解不等式
(2
1)
(
2)
0
f
t
f t
+
+
-
>
．
【答案】(1)
2
4
x
f x
x
=
-
(2)
f x 在
2,2
-
上单调递增，证明见解析
(3) 1 1
,
3 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由题意可得
0
0
0
4
0
a
b
f
´ +
=
=
-
，
即
0
b =
，2
3
0
a
- + -
=
，故
1
a = ，
即
2
4
x
f x
x
=
-
，此时有
2
4
x
f
x
f x
x
-
-
=
= -
-
，
故
f x 关于原点对称，故
1
a = ，
0
b =
即
f x 的解析式为
2
4
x
f x
x
=
-
；
（2）
f x 在
2,2
-
上单调递增；证明如下：
令
1
2
2
2
x
x
- <
<
<
，则
2
2
1
2
1
1
2
2
2 1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
4
4
4
4
4
4
x
x
x
x x
x
x x
f x
f x
x
x
x
x
-
-
+
-
=
-
=
-
-
-
-
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
4
4
4
4
4
4
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
=
=
-
-
-
-
，
由
1
2
2
2
x
x
- <
<
<
，则
1
2
4
0
x x
+
>
，
1
2
0
x
x
-
<
，
2
2
1
2
4
4
0
x
x
-
-
>
，
故
1
2
0
f x
f x
-
<
，即
f x 在
2,2
-
上单调递增；
（3）由题意可得
f x 为奇函数，则有
2
1
2
2
f
t
f t
f
t
+
> -
-
=
-
，
又因为
f
x 在
2,2
-
上单调递增，则有
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
t
t
t
t
+ >
-
ì
ï- <
+ <
í
ï - <
- <
î
，解得1
1
3
2
t
< <
，
所以原不等式的解集为1 1
,
3 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ．
1．（2025·江西·二模）若函数
2025 x a
f x
-
=
∣
∣在区间
2026,+¥ 上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
2026,+¥
B．
0,2026
C．
,2026
-¥
D．
,2026
-¥
【答案】D
【详解】根据函数
2025 x a
f x
-
=
∣
∣在区间
2026,+¥ 上单调递增，且
2025x
y =
单调递增，
可得y
x
a
=
-
在区间
2026,+¥ 上单调递增，所以
2026
a £
.
故选:D.
2．（24-25 高一上·甘肃甘南·期末）函数
2
π
1
log
sin 2
6
2
f x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
的单调递增区间为（ ）
A．
π
π,
π
Z
3
k
k
k
æ
ù
+
Î
ç
ú
è
û
B．
π
π
π,
π
Z
6
3
k
k
k
æ
ù
-
+
+
Î
ç
ú
è
û
C．
π
7π
π,
π
Z
3
12
k
k
k
é
ö
+
+
Î
÷
êë
ø
D．
π
π
π,
π
Z
6
3
k
k
k
æ
ù
+
+
Î
ç
ú
è
û
【答案】A
【详解】设
π
2
6
t
x
=
-
，即
2
1
log
sin
2
y
t
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
2
log
y
x
=
在
0, ¥
+
上单调递增，
故取
1
sin
0
2
t +
>
，且
1
sin
2
y
t
=
+
的单调递增的部分，可求出
f x 的递增区间，
可得
π
π
2 π
2 π
Z
6
2
k
t
k
k
-
+
< £
+
Î
，
即
π
π
π
2 π
2
2 π
Z
6
6
2
k
x
k
k
-
+
<
-
£
+
Î
，
解得
π
π
π
Z
3
k
x
k
k
<
£
+
Î
.
故选：A.
3．（24-25 高二下·云南·期末）函数
2
1
10
f x
x
x
=
-
的单调递减区间为（ ）
A．
,0
-¥
B．
10,+¥
C．
5,10
D．
5,+¥
【答案】B
【详解】令
2
10
0
x
x
-
>
，得
10
x >
或
0
x <
.
因为函数
1
y
x
=
在
0, ¥
+
上单调递减，
函数
2
10
y
x
x
=
-
在
10,+¥ 上单调递增，在
,0
-¥
上单调递减，
考点四
复合函数的单调性
则
f x 的单调递减区间为
10,+¥ .
故选：B.
4．（24-25 高一下·贵州毕节·期末）函数
4
1
f x
x
x
=
-
- 的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】由已知
4
1
f x
x
x
=
-
- ，
即函数
f x 的定义域为
0,4 ，
且
2
2
4
1
2
4
1
f x
x
x
x
=
-
+
- =
-
-
+
- ，
则函数
f x 在
0,2 上单调递增，在
2,4 上单调递减，
即当
2
x =
时，
4
1
f x
x
x
=
-
- 取得最大值为1，
故选：B.
5．（24-25 高二下·辽宁·期末）已知函数
2
1
x
ax
f x
a
-
+
æ
ö
= ç
÷
è
ø
（
0
a >
且
1
a ¹ ）在区间
2,+¥ 上单调递增，则a 的取值
范围为（ ）
A．
1,4
B．（1，4）
C．
1,2
D．
1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】A
【详解】当0
1
a
<
< 时，指数函数
1
t
y
a
æ
ö
= ç
÷
è
ø
在R 上单调递增，
2
t
x
ax
= -
+
在
, 2
a
¥
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上单调递增，在
,
2
a
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 上单
调递减，
由复合函数的单调性可知
f x 在区间
,
2
a
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 上单调递减，不符合题意；
当
1
a > 时，指数函数
1
t
y
a
æ
ö
= ç
÷
è
ø
在R 上单调递减，
2
t
x
ax
= -
+
在
, 2
a
¥
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上单调递增，在
,
2
a
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 上单调递减，
由复合函数的单调性可知
f x 在区间
,
2
a
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 上单调递增，结合题意可知
2
2
a £
，则
4
a £
，
所以a 的取值范围为
1,4 ．
故选：A.
6．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
1 e
e
2
x
x
f x
-
=
+
，若对任意的
1
2
,
R
x x Î
，满足
1
2
1
2
f x
f x
f x
x
<
<
+
，
则恒有（ ）
A．
1
2
0
x
x
+
>
B．
1
2
0
x
x
-
>
C．
1
2
0
x
x
-
<
D．
1
2
0
x
x
×
>
【答案】D
【详解】由
(
)
1
1
(
)
[e
e
]
(e
e )
( )
2
2
x
x
x
x
f
x
f x
-
- -
-
-
-
=
+
=
+
=
，且
( )
f x 的定义域为R，所以
( )
f x 是偶函数，
当
[0,
)
x Î
+¥ ，令
e
[1,
)
x
t =
Î
+¥ ，则
1
1
( )
(
)
2
f x
y
t
t
=
=
+
在
[1,
)
t Î
+¥ 上单调递增，
又
ex
t =
在
[0,
)
x Î
+¥ 上单调递增，故
( )
f x 在
[0,
)
x Î
+¥ 上单调递增，
由偶函数的对称性，
( )
f x 在
(
,0)
xÎ -¥
上单调递减，
当
1
2
,
0
x x >
，由
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
x
<
<
+
，则
2
1
0
x
x
>
>
，
当
1
2
,
0
x x <
，由
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
x
<
<
+
，则
2
1
0
x
x
<
<
，
当
1
2
,
x x 一正一负，不妨令
1
2
0
x
x
<
<
，则
1
1
2
2
x
x
x
x
<
+
<
，
显然与
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
x
<
<
+
矛盾，
综上，
1
2
0
x
x
×
>
.
故选：D
7．（24-25 高一下·河南·期末·多选）下列函数是奇函数，且满足对任意
1
2
1
2
,
0,
x x
x
x
Î
+¥
¹
，都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
的是（ ）
A．
2
1
2
log
f x
x
=
B．
e
e
2
x
x
f x
-
-
=
C．
1 2
2
1
x
x
f x
-
=
+
D．
2
lg
1
f x
x
x
=
+
+
【答案】BD
【详解】对任意
1 2
1
2
0,
x x
x
x
¥
Î
+
¹
，都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
-
-
>
é
ù
ë
û
，
则
f x 在
0, ¥
+
上单调递增,所以
f x 是在
0, ¥
+
上单调递增的奇函数.
对于A，函数
2
1
2
log
f x
x
=
定义域为
,0
0,
-¥
+¥
U
，
2
2
1
1
2
2
log (
)
log
f
x
x
x
f x
-
=
-
=
=
，
f x 不是奇函数，A 错误；
对于B，
e x
y
-
= -
与
ex
y =
在R 上都为增函数，故
f x 在R 上为增函数，
e
e
2
x
x
f
x
f x
- -
-
=
= -
，所以
e
e
2
x
x
f x
-
-
=
是在
0, ¥
+
上单调递增的奇函数，B 正确；
对于C，
1
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
f x
-
=
= - +
+
+ ，易知
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，C 错误；
对于D，函数
2
lg
1
f x
x
x
=
+
+
定义域为R ，
函数
2
1
u
x
x
=
+
+
在
0, ¥
+
上是增函数，函数
lg
y
u
=
在定义域内是增函数，
所以
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
2
2
2
1
lg
(
)
1
lg
lg
1
1
f
x
x
x
x
x
f x
x
x
æ
ö
-
=
- +
-
+
=
= -
+
+
= -
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
f x 是奇函数，D 正确.
故选：BD
8．（24-25 高一下·海南海口·期末·多选）已知函数
3
ln 3
x
f
x
x
-
=
+
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
f x 的定义域为
3,3
-
B．函数
f x 是奇函数
C．函数
f x 是增函数
D．若
2
1
0
f a
f
a
+
-
<
，则1
2
3
a
<
<
【答案】ABD
【详解】对于A：由
3
0
3
3
0
3
3
3
x
x
x
x
x
-
>
Þ
-
+
>
Þ - <
<
+
，所以
f x 的定义域为
3,3
-
，故A 正确；
对于B：由A 得
f x 的定义域为
3,3
-
，又
3
3
ln
ln
3
3
x
x
f
x
f x
x
x
+
-
-
=
= -
= -
-
+
，所以
f x 是奇函数，故B 正
确；
对于C：令
3
3
x
t
x
-
=
+
，所以
3
6
1
3
3
x
t
x
x
-
=
= - +
+
+
，由
3
3
x
t
x
-
=
+
在
3,3
-
上单调递减，
ln
y
t
=
在
0 +¥
，
单调递增，
根据复合函数单调性得
f x 在
3,3
-
是减函数，故C 错误；
对于D：由
f x 是奇函数且
f x 在
3,3
-
是减函数，由
2
1
0
f a
f
a
+
-
<
得
2
1
1 2
f a
f
a
f
a
< -
-
=
-
，
所以
1
1 2
3
1
3
3
3
3
2
3
3
1 2
3
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
ì >
ï
> -
ì
ï
ï- <
<
Þ - <
<
Þ
<
<
í
í
ï
ï
- < -
<
- <
<
î
ï
î
，故D 正确.
故选：ABD.
9．（24-25 高二上·浙江温州·期中）函数
2
( )
6
f x
x
x
=
-
-
的单调递减区间为
.
【答案】
, 2
-¥ -
【详解】令
2
6
(
3)(
2)
0
t
x
x
x
x
=
-
-
=
-
+
³
，则
2
x £ - 或
3
x ³
，
又
2
6
t
x
x
=
-
-
在
, 2
-¥ -
上递减，在[3,
)
+¥ 上递增，
而y
t
=
在定义域上递增，所以
( )
f x 的递减区间为
, 2
-¥ -
.
故答案为：
, 2
-¥ -
10．（24-25 高一上·广东湛江·期中）函数
2
12
f x
x
x
=
-
-
的单调递减区间为
.
【答案】(
, 3]
-¥ -
【详解】由
2
12
4
3
0
x
x
x
x
-
-
=
-
+
³
，解得
3
x £ - 或
4
x ³
，
则函数
f x 的定义域是
, 3
4,
¥
¥
-
-
È
+
，
二次函数
2
12
y
x
x
=
-
-
的开口向上，对称轴为
1
2
x =
，
所以
f x 的单调递减区间是(
, 3]
-¥ -
.
故答案为：(
, 3]
-¥ -
11．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）函数
2
5
6
y
x
x
=
+
-
的单调减区间是 ．
【答案】
, 6
¥
-
-
【详解】由
2
5
6
0
x
x
+
-
³
，得：
1
x ³ 或
6
x £ - ，
所以函数的定义域为
, 6
1,
-¥ -
È
+¥ ，
函数
2
5
6
y
x
x
=
+
-
的单调递减区间是
5
,
2
æ
ù
-¥ -
ç
ú
è
û
，
再和定义域求交集得
, 6
¥
-
-
.
故答案为：
, 6
¥
-
-
12．（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
2
lg
2lg
f x
x
x
=
-
的单调递增区间是
．
【答案】
10,+¥ (或
10, ¥
+
)
【详解】函数
f x 的定义域为
0,+¥ ，
令
lg
t
x
=
在定义域上为增函数，则
2
2
2
1
1
y
t
t
t
=
-
=
-
- 在
1,+¥ 上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当
lg
t
x
=
³1，即
10
x ³
时，函数
f x 单调递增，
即函数
f x 单调递增区间为
10,+¥ ．
故答案为：
10,+¥ (或
10,+¥ )
13．（24-25 高二下·天津·期末）已知函数
log
2
log
2
a
a
f
x
x
x
=
+
-
-
（
0,
a >
且
1
a ¹ ）．
(1)判断
f x 的奇偶性，并证明；
(2)当
3
a =
时，若
2
f m
f
m
-
-
<
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)( 2,1)
-
【详解】（1）由
2
0
2
0
x
x
ì
í
î
+
>
-
>
可得2
2
x
- <
<
，即函数的定义域为( 2,2)
-
，关于原点对称，
因
( )
log
2
log
2
log
2
log
2
0
a
a
a
a
f
x
f x
x
x
x
x
-
+
=
-
-
+
+
+
-
-
=
，故函数
f x 为奇函数.
（2）当
3
a =
时，
3
3
3
3
2
4
log
2
log
2
log
log ( 1
)
2
2
x
f x
x
x
x
x
+
=
+
-
-
=
=
- -
-
-
，
因函数
4
1
2
y
x
= - -
-
在( 2,2)
-
上单调递增，又函数
3
log
y
x
=
在定义域内单调递增，故函数
f x 在( 2,2)
-
上单调递
增；
又
( )
f
m
f m
-
= -
，且
(1)
1
f
= ，故不等式
2
f m
f
m
-
-
<
等价于
2
2 (1)
f m
f
<
，
即
(1)
f m
f
<
，即可得2
1
m
- <
< ，故实数m 的取值范围为( 2,1)
-
.
14．（24-25 高一上·新疆和田·期末）已知函数
2 2
3
2x
x
f x
-
+
=
.
(1)若
8
f x >
，求x 的取值范围.
(2)求
f x 的单调区间.
(3)当
0,3
xÎ
时，求
f x 的最值.
【答案】(1)
,0
2,
¥
¥
-
È
+
.
(2)单调递增区间为：
1, ¥
+
，单调递减区间为：
,1
-¥
.
(3)最小值4，最大值64.
【详解】（1）因为
8
f x >
，所以
2 2
3
3
2
2
x
x
-
+ >
，根据指数函数
2x
y =
的单调性可得
2
2
3
3
x
x
-
+
>
，即
2
2
0
x
x
-
>
，
解得
2
x >
或
0
x <
.
所以x 的取值范围为
,0
2,
-¥
+¥
U
.
（2）已知函数
2
2
3
u
x
x
=
-
+
的对称轴：
1
x = ，由二次函数的性质可得
2
2
3
u
x
x
=
-
+
在
,1
-¥
上单调递减，在
1,+¥ 上单调递增；
又指数函数
2u
y =
在R 上单调递增，所以根据复合函数单调性可知
所以函数
f x 的单调递增区间为
1,+¥ ，单调递减区间为
,1
-¥
.
（3）当
0,3
xÎ
，
2
2
3
2,6
x
x
-
+ Î
，所以
2
6
2
2
3
2
2
2
x
x
-
+
£
£
，
所以当
1
x = 时，
f x 取得最小值
2
1
2
4
f
=
=
；
当
3
x =
时，
f x 取得最大值
6
3
2
64
f
=
=
.
1．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）已知函数
2
5,
1
,
1
x
ax
x
f x
a x
x
ì-
-
-
£
ï
= í
>
ïî
是R 上的增函数，则a 的取值范围是
（ ）
A．3
2
a
-
-
≤≤
B．
2
a £ -
C．3
0
a
- £
£
D．
0
a £
【答案】A
【详解】由题意，
R
xÎ
，
在
2
5,
1
,
1
x
ax
x
f x
a x
x
ì-
-
-
£
ï
= í
>
ïî
中，函数在R 上是增函数，
2
1
2
0
1
1 5
a
a
a
a
ì-
³
ïïí <
ï
ï -
-
- -
£
î
，
解得3
2
a
-
-
≤≤
.
故选：A.
2．（24-25 高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数
2
3
4
3,
1
,
1
x
a
x
a
x
f x
a
x
ì
+
-
+
³
= í
<
î
，对任意的
1
2
,
R
x x Î
，且
1
2
x
x
¹
，都
有
1
2
1
2
0
f
x
f
x
x
x
-
>
-
，则a 的取值范围是（ ）
A．
1
a >
B．
2
a <
C．1
2
a
<
<
D．1
2
a
<
£
【答案】D
【详解】根据题意，函数
f x 对任意的
1
2
,
R
x x Î
，且
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
0
f
x
f
x
x
x
-
>
-
，
所以
f x 在R 上为增函数，
又
2
3
4
3,
1
,
1
x
a
x
a
x
f x
a
x
ì
+
-
+
³
= í
<
î
，
所以有
2
3
0
1
2
3
1
4
3
a
a
a
a
a
ì
+
>
ï >
í
ï
+
´ -
+
³
î
，
考点五
分段函数的单调性
即
3
2
1
2
a
a
a
ì > -
ï
ï
>
í
ï
£
ï
î
，解得1
2
a
<
£
，
故选：D．
3．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
3
2
3
0
e
ln
1
0
x
x
ax
x
a
x
f x
x
x
ì
+
+
-
<
ï
= í
+
+
³
ïî
，
，
在R 上单调递增，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
,3]
- ¥
（
B．[3,+¥）
C．
1,3
-
D．
, 3]
- ¥ -
（
【答案】C
【详解】当
0
x ³
时，
e
ln
1
x
f x
x
=
+
+
，此时
f x 为单调递增函数，且
0
1
f
= ，
当
0
x <
时，
3
2
3
,
f x
x
ax
x
a
=
+
+
-
则
2
3
2
3
f
x
x
ax
¢
=
+
+
，
要使得
f x 在
,0
-¥
上单调递增，则需要
0
f
x
¢
³
在
,0
-¥
恒成立，
故
2
3
2
3
0
x
ax
+
+
³
在
,0
-¥
恒成立，即2
1
3
a
x
x
æ
ö
£ - + -
ç
÷
è
ø 在
,0
-¥
恒成立
由于
1
0,
2
x
x
x
æ
ö
- >
\- + -
³
ç
÷
è
ø
，当且仅当
1
x = - 时取到等号，
故2
2
3
a £
，即
3
a £
，
又
0
1
a
f
- £
= ，即
1
a ³ - ，
综上可得1
3
a
- £
£
，
故选：C
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
2
2
1,
1,
1
2 ,
1
x
x
ax
x
f x
x
x
ì
-
+
<
ï
= í
-
³
ïî
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
,2
-¥
B．
3
1, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
1,2
D．
2,+¥
【答案】B
【详解】因为
1
x ³ 时，
1
2x
f x
x
=
-
单调递减，
又
f x 在R 上单调递减，
所以
1
x < 时，
2
2
1
f x
x
ax
=
-
+ 单调递减，则只需满足
1,
2
2
1,
a
a
³
ì
í -
³ -
î
解得
3
1
2
a
£
£
.
故选：B.
5．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数
2
5,
1
,
1
x
ax
x
f x
a x
x
ì
+
+
£
ï
= í
-
>
ïî
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
（
）
A．3
2
a
-
-
≤≤
B．3
0
a
- £
£
C．
2
a £ -
D．
0
a <
【答案】A
【详解】由于函数
2
5,
1
,
1
x
ax
x
f x
a x
x
ì
+
+
£
ï
= í-
>
ïî
是定义在R 上的减函数，
所以，函数
2
5
y
x
ax
=
+
+
在区间
,1
-¥
上为减函数，函数
a
y
x
= -
在区间
1,+¥ 上为减函数，且有
2
5
a
x
x
x
a
+
-
+
£
，
即
1
5
0
1
2
a
a
a
a
ì
ï- £ +
+
ï <
í
ï
ï-
³
î
，解得3
2
a
-
-
≤≤
.
因此，实数a 的取值范围是3
2
a
-
-
≤≤
.
故选：A.
6．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）已知函数
2 , 1
1
3
,
1
x
x
x
f x
m x
ì
- <
<
= í
-
³
î
单调递增，且
2
2
1
f m
f
m
+
>
-
，则实数m
的取值范围为（ ）
A．
2,1
-
B．
2,1
-
C．
0,1
D．
0,1
【答案】C
【详解】由
y
f x
=
单调递增，故
1
1
2
3
m
£
-
得
1
m≤，
又
2
2
1
f m
f
m
+
>
-
，故
2
2
1
1
m
m
+
>
- > - 得0
3
m
<
<
，
综上可得实数m 的取值范围为
0,1 ，
故选：C
7．（24-25 高二下·福建·期末·多选）已知函数
1
1,
2
1
,
2
2
x
ax
x
f x
x
-
-
£
ì
ï
= íæ
ö
>
ç
÷
ïè
ø
î
.则下列说法正确的是（ ）
A．
3
2
f
f
=
，则
12
a =
B．
1
a = ，
f x 的值域为
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．当
1
0
2
b
<
<
时，
0
g x
f x
b
=
-
=
有2 个不相等的实数根
0
a >
，则
3
4
a ³
D．若
,
2
4 ,
2
f x
x
g x
f x
a x
ì
£
ï
= í
+
>
ïî
在R 上单调递减，则a 的取值范围为
3
,
4
¥
æ
ù
-
-
ç
ú
è
û
【答案】ACD
【详解】对于A，
2
1
1
3
2
4
f
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，即
1
2
4
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则1
4
1
2
a - =
，得
12
a =
，故A 正确；
对于B，
1
1,
2
1
,
2
2
x
x
x
f x
x
-
-
£
ì
ï
= íæ
ö
>
ç
÷
ïè
ø
î
，图象如图，由图可知
f x 的值域为
,1
-¥
，故B 错误；
对于C，当
1
0
2
b
<
<
时，
0
g x
f x
b
=
-
=
有2 个不相等的实数根
0
a >
，当
2
x >
时，
1
0, 2
f x
æ
ö
Îç
÷
è
ø，因为
1
0
2
b
<
<
，所以此时
0
g x
f x
b
=
-
=
有一个零点；当
2
x £
时，
1
,2
1
f x
ax
a
¥
=
- Î -
-
，所以
1
2
1
2
a - ³
，解
得
3
4
a ³
，故C 正确；
对于D，
,
2
4 ,
2
f x
x
g x
f x
a x
ì
£
ï
= í
+
>
ïî
，则
1
1,
2
1
4 ,
2
2
x
ax
x
g x
a x
-
-
£
ì
ï
= íæ
ö
+
>
ç
÷
ïè
ø
î
在R 上单调递减，
首先当
2
x £
时，
1
g x
ax
=
- 单调递减，则
0
a <
；当
2
x >
时，
1
1
4
2
x
g x
a
-
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
单调递减成立；还需
1
2
1
4
2
a
a
- ³
+
，解得
3
4
a £ -
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数
2
1
,
1
4
2
1,
1
a x
f x
x
x
a x
a
x
-
ì
< -
ï
= í
ï
+
-
+
-
³ -
î
，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围
为
.
【答案】3 ,2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】由函数在R 上单调递增，
可得
1
0
4
1
2
1
1
4
2
1
1
a
a
a
a
a
ì
ï -
<
ï -
ï
£ -
í
ï
-
ï
£ -
-
+
-
ï -
î
，即
1
2
3
2
a
a
a
ì
ï <
ï £
í
ï
ï
£
î
，解得3
2
2
a
£
£
，
故答案为：3 ,2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
9．（2025·甘肃白银·三模）若函数
2
1
1,
2
3
2
3,
2
x
a
x
x
f x
a
x
x
ì
-
-
+
³
ï
= í
+
-
<
ïî
，是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围
是
.
【答案】
2 3
,
3 4
æ
ù
-
ç
ú
è
û
【详解】由题知，
1
2
2
3
2
0
4
2
1
1
2 3
2
3
a
a
a
a
-
ì
£
ï
ï
+
>
í
ï -
-
+ ³
+
-
ï
î
，解得：
2
3
3
4
a
-
<
£
.
故答案为：
2 3
,
3 4
æ
ù
-
ç
ú
è
û .
10．（2025·甘肃白银·二模）已知
log
1 ,
0
1
2
3,
0
a x
x
f x
a
x
a
x
ì
+
>
ï
= í
+
+
-
£
ïî
是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围
为
．
【答案】
3
1, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
【详解】由
log
1 ,
0
1
2
3,
0
a x
x
f x
a
x
a
x
ì
+
>
ï
= í
+
+
-
£
ïî
是R 上的单调递增函数，
可得：
1
1
0
2
3
0
a
a
a
>
ì
ï + >
í
ï
-
£
î
，
解得：
3
1
2
a
<
£
，
所以实数a 的取值范围为
3
1, 2
æ
ù
ç
ú
è
û ，
故答案为：
3
1, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
11．（24-25 高二下·上海·期末）已知函数
2
2
4,
1,
x
x
a
f x
x
x
a
+
£
ì
= í
+
>
î
在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
3,+¥
【详解】已知函数
2
2
4,
1,
x
x
a
f x
x
x
a
+
£
ì
= í
+
>
î
，
当x
a
£
时，
2
4
f x
x
=
+
单调递增，所以最大值为2
4
a +
；
当x
a
>
且
0
a ³
时，
2
1
f x
x
=
+ 在
,a
¥
+
上单调递增
2
1
a + ；
所以要使函数
2
2
4,
1,
x
x
a
f x
x
x
a
+
£
ì
= í
+
>
î
在R 上单调递增，
则
2
1
2
4
a
a
+ ³
+
，解得
3
a ³
或
1
a £ - (舍去).
故答案为：
3,+¥ .
12．（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数
2
2
,
1,
3,
1
x
a
x
f x
x
ax
x
ì
>
= í-
+
+
£
î
在R 上单调递增，则a 的取值范围是 ．
【答案】
2,+¥
【详解】解：因为
f x 在R 上单调递增，
所以
2
2
1,
1,
2
1
3
,
a
a
a
a
ì
>
ïï
³
í
ï
- +
+
£
ïî
得
2
a ³
．
所以实数a 的取值范围是
2,+¥ .
故答案为：
2,+¥
