函数与导数：零点问题专项训练
1．（24-25 高一上·四川宜宾·期末）函数
3
log
2
6
f x
x
x
=
+
-
的零点所在的区间为（ ）
A．
1,2
B．
2,3
C．
3,4
D．
4,5
2．（2025·河北沧州·二模）函数
2
ln
1
x
f x
x
=
+
- 的零点所在的区间为（ ）
A．
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．3 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
3．（2025·天津·高考真题）函数
( )
0.3x
f x
x
=
-
的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
4．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）函数
ln
2
3
f x
x
x
=
+
- 的零点所在区间为（ ）
A．1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
5．（24-25 高一上·安徽淮南·阶段练习）函数
1
2
log
1
f x
x
x
=
-
+ 的零点所在的区间为（ ）
A．
1
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．1 1
,
4 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．1 1
,
3 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
6．（24-25 高二下·天津·期末）已知函数
2
0.3
log
f x
x
x
=
-
，则该函数的零点所在区间是（ ）
A．
0,0.3
B．
0.3,0.5
C．
0.5,1
D．
1,2
7．（24-25 高一上·甘肃甘南·期末·多选）函数
sin
lg
3
f x
x
x
p
=
-
的零点所在的区间是（ ）
A．
0,3
B．
3,6
C．
6,9
D．
9,12
考点一
零点存在性定理判断零点所在区间
1．（24-25 高一上·吉林·阶段练习）已知aÎR ，函数
e
,
0,
ln
1
,
0
x
a x
f x
x
a x
ì
-
£
ï
= í-
+
-
>
ïî
在R 上没有零点，则实数a 的取值
范围（ ）
A．
0, ¥
+
B．
1,+¥
C．
1,
0
¥
+
È
D．
1,
0
+¥ U
2．（24-25 高三上·河南漯河·期末）已知函数
π
2 sin
ln
2
4
f x
x
x
=
-
-
，则此函数的所有零点的和为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．12
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数
( )
f x 是定义在R 上偶函数，当
0
x ³
时，
2
5
,0
2
16
( )
1
( )
1,
2
2
x
x
x
f x
x
ì
£
£
ïï
= í
ï
+
>
ïî
，若方程
( )
0
f x
m
-
= 仅有4 个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
5
(1, )
4
B．
5
(0, )
4
C．
5
[0, )
4
D．
5
(
, )
4
-¥
4．（2025·黑龙江·二模）记函数
1
e
,
ln
x
f x
x g x
x
x
=
+
=
-
+
的零点分别为,a b ，则（ ）
A．
1
e
ab <
B．
1
ab =
C．
2
ab =
D．
e
ab >
5．（2025·四川·模拟预测）已知函数
3
,
1,
1
log
1 ,
1,
x
x
f x
x
x
x
ì
<
ï
=
-
í
ï
-
>
î
若关于x 的方程
f x
m
=
（m 为实常数）有四个不
同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则
3
4
1
2
1
1
x
x
x
x
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
的取值范围为（ ）
A．
32
8, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．(8,16)
C．
8,+¥
D．
, 8
-¥ -
考点二
根据指对幂函数零点的分布求参数范围
6．（24-25 高二下·浙江舟山·期末）记函数
,
,
f x
f x
g x
m x
g x
f x
g x
ì
£
ï
= í
>
ïî
.已知函数
3
2e
f x
x
tx
t
= -
-
+
- ，
2e
1
x
g x
tx
t
=
-
-
+
，t ÎR ，若
m x 有且只有3个零点，则t 的取值范围是（ ）
A．
2e
1,
2
æ
ö
-
+¥
ç
÷
è
ø
B．
2
0, e
2
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
2e
,
2
æ
ù
-¥ -
ç
ú
è
û
D．
2e
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
7．（2024·安徽合肥·模拟预测·多选）已知函数
3
2
0
log
0
x
x
f x
x
x
ì
+
£
ï
= í
>
ïî
，
，
，若关于 x 方程
f x
t
= 有四个不同的
解
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则
4
1
2
2
3
4
1
x
x
x
x x -
+
的可能取值为（ ）
A．2
B．8
C．16
D．32
8．（24-25 高一上·河北保定·期末·多选）设函数
2
ln
1 ,
1
4
5,
1
x
x
f x
x
x
x
ì
-
>
ï
= í-
-
+
£
ïî
，若函数
g x
f x
m
=
-
有四个零点分别
为
1
x ，
2x ，
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则下列结论正确的是（ ）
A．0
9
m
£
<
B．
1
2
4
x
x
+
= -
C．
3
4
1
x
x
×
=
D．
9
3
4
9e
1
4,e
2
x
x
æ
ö
+
Î
+
+
ç
÷
è
ø
9．（24-25 高一上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知函数
2
2
,
1
log
1 ,
1
x
x
f x
x
x
ì
-
£
ï
= í
-
>
ïî
，且关于x 的方程
f x
a
=
恰有四
个不同的根，从小到大依次为
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，则（ ）
A．
1,2
aÎ
B．
1
2
3
4
4
x
x
x
x
+
+
+
最小值为9
C．
0
f
f x
f x
-
=
恰有6 个不同的根D．
k
$
，使得
f
f x
k
=
恰有8 个不同的根
10．（23-24 高一上·陕西西安·期末·多选）已知函数
2
2
3,
0,
2
ln ,
0,
x
x
x
f x
x x
ì
+
-
£
= í- +
>
î
若方程
f x
k
=
有三个不等的实数解
1
x 、
2x 、
3x 且
1
2
3
x
x
x
<
<
，则（ ）
A．
4, 3
k Î -
-
B．
3
2
1 1
,
e
e
x
æ
ù
Îç
ú
è
û
C．
1
3
2
3
2
2
2
,
e
e
x x
x x
é
ö
+
Î -
-
÷
êë
ø
D．
1
2
1
x x <
11．（2025·河南·模拟预测）已知函数
2
log
1 0
4
3
4
x
x
f x
x
x
ì
-
<
£
ï
= í
-
>
ïî
，
，
，
存在
1
2
3
0
x
x
x
<
<
<
，使得
1
2
3
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
=
=
，
则
1
2
3
x x x 的取值范围是
.
12．（24-25 高三下·北京·阶段练习）若函数
2
1
,
0
( )
(
1)ln ,
0
x
m x
f x
x
x x
ì
+ -
£
= í
-
>
î
恰有两个零点，则实数m 的取值范围是
1．（2025·湖南郴州·三模）已知函数
1
e
1 ln
e
1 ln
x
f x
t
t
x
x
æ
ö
=
-
+
+
ç
÷
è
ø
.
(1)当
1
t = 时，求
f x 的单调区间；
(2)当
e
t =
时，求
f x 在
0,1 上的最小值；
(3)当
1
t ³ 时，讨论
f x 的零点个数.
2．（24-25 高二下·四川绵阳·期中）已知函数
2
( )
e
(
2)e
x
x
f x
a
a
x
=
+
-
-
.
(1)当
1
a = 时，求证
( )
0
f x ³
；
(2)讨论
( )
f x 的单调性；
(3)讨论
( )
f x 零点个数.
考点三
利用导数讨论函数零点数量
3．（2025·重庆·三模）已知函数
1 ex
f x
x
ax
b
=
-
-
+
，函数
y
f x
=
在点
0
0
f
，
处的切线方程为
2
0
x
y
+
+
=
.
(1)求a
b
，的值；
(2)讨论
f x 的零点个数.
4．（24-25 高二下·广东茂名·期末）已知函数
2 ex
f
x
x
=
+
.
(1)求
f x 的单调区间及最值；
(2)设
g x
f x
k
=
-
，讨论
g x 在区间
1,1
-
上的零点个数.
5．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数
sin
f x
x
=
.
(1)证明：
0,1
x
Î
，
2
tan
f x
x
x
>
-
；
(2)求函数
3
3
x
y
f x
x
=
-
+
的零点个数.
6．（24-25 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数
( )
ln
f x
x
=
，
(1)证明：当
0
x >
时，
(
1)
f x
x
+
<
；
(2)设
0
a >
且函数( )
( )
( )
g x
af x
xf a
=
-
，若( )
0
g x £
恒成立，求实数a 的值；
(3)设函数
2
( )
( )
h x
x
af x
=
-
，讨论当
0
a >
时，函数
( )
y
h x
=
在(1, e)的零点个数.
7．（24-25 高三下·北京·阶段练习）已知函数
ex
x
f x =
．
(1)求曲线
y
f x
=
在
0,
0
f
处的切线方程；
(2)若
0
x =
是函数
sin
g x
f a f x
x
=
+
的极值点，
（i）证明：1
0
a
- <
<
；
（ii）求
g x 在区间
π,π
-
内的零点个数
8．（24-25 高三下·云南临沧·阶段练习）已知函数
1
ln
k
kf
x
x x
a x
x
é
ù
-
=
-
+
ê
ú
ê
ú
ë
û
.
(1)当
1
a = 时，求
1f
x 在
1
x = 处的切线方程；
(2)对于任意
1
1,
,
0
x
f
x
Î
+¥
³
恒成立，求a 的取值范围；
(3)试讨论函数
0
F x
f
x
x
=
-
的极值点的个数.
1．（24-25 高二下·山东烟台·期末）若函数
ln
f x
x
x
x
k
=
-
+
存在两个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
,1
-¥
B．
0,1
C．
,e
-¥
D．
0,e
2．（24-25 高二下·北京房山·期末）设函数
2
,
0
e
4 ,
0
x
x
x
f x
x
x x
ì
>
ï
= í
ï
-
£
î
.若方程
f x
k
=
恰好有一个实根，则实数k 的取值
范围是（ ）
A．{
1
e
k k >
∣
或
0
k <
}
B．
1
0
e
k
k
ì
ü
í
þ
<
î
<
ý
∣
C．{
1
e
k k >
∣
或
0
k =
D．
1
e
k k
ì
ü
>
í
ý
î
þ
3．（24-25 高二下·辽宁抚顺·期末·多选）已知函数
3
2
2
3
9
f x
x
x
a x
=
+
+
+ ，若
f x 有两个极值点，则实数a 的取
值可能是（ ）．
A．2
-
B．1
-
C．0
D．2
4．（24-25 高二下·福建泉州·期末·多选）已知函数
( )
ex
f x
ax
=
-
有两个零点
1
2
,
x x ，则（ ）
A．
e
a >
B．
1
2
2
x
x
+
>
C．
1
2
1
x x >
D．
( )
f x 在( 0, 1) 上单调递减
5．（24-25 高二下·福建福州·期末）已知函数
e
1
x
f
x
m
x
=
-
- 有两个零点，则m 的取值范围是
.
考点四
已知零点数量求参数范围
6．（24-25 高二下·北京海淀·期末）已知函数
3
2
4
f
x
x
ax
=
+
+
在区间
0, ¥
+
上没有零点，则实数a 的取值范围
是 ．
7．（24-25 高一下·云南昆明·期末）若函数
2
e
3,
0,
( )
2,
0
x
ax
x
f x
x
ax
x
ì
-
-
³
= í-
-
-
<
î
有三个零点，则a 的取值范围为
．
8．（24-25 高二下·河北邢台·期末）已知函数
10
10
e
1
x
f x =
-
+ ．若方程
2
3
10
ex
a
f
f
x
æ
ö +
-
=
ç
÷
è
ø
有3 个实数根，则a
的取值范围为
．
9．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知函数
e
2
1
2
x
a
f x
a
x
=
+
-
+
- ．
(1)当
1
a = 时，求曲线
y
f x
=
在点
0,
0
f
处的切线方程;
(2)若
f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．
10．（24-25 高二下·天津·期末）已知函数：
ex
a
f x
a
x
=
ÎR
，
．
(1)若当
0
x >
时，
f x
x
³
恒成立；求实数a 的取值范围；
(2)若关于x 的方程
1
f x = 有两个不同实数根
1
2
x
x
，
；且
1
2
x
x
<
，
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求证：
1
1
2
4
2
e
x
x
x
-
<
．
11．（24-25 高二下·安徽马鞍山·期末）已知
2
( )
ln
f x
x
a
x
=
-
，aÎR .
(1)曲线
( )
y
f x
=
与直线y
x
=
相切，求a 的值；
(2)若
( )
f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
12．（24-25 高二下·北京延庆·期末）已知函数
3
2
1
3
1
3
f x
x
x
x
=
-
-
- .
(1)求曲线
y
f x
=
在
0
x =
处的切线方程；
(2)求函数
f x 在区间
2,1
-
上的最大值和最小值；
(3)若函数
g x
f x
c
=
- 有三个零点，直接写出c 的取值范围.
13．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
e
e
1
x
x
f
x
a
a
x
-
=
-
-
+
.
(1)当
0
a =
时，求
f x 的最大值；
(2)若
f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.
14．（24-25 高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数
2e
2 e
x
x
f x
a
a
x
=
+
-
-
．
(1)当
0
a =
时，求
f x 在点
0, 2
-
处的切线方程；
(2)讨论
f x 的单调性；
(3)若
f x 有两个零点，求a 的取值范围．
15．（24-25 高二下·山东威海·期末）已知函数
2
ln
f x
x
ax
x
=
+
-
.
(1)若
f x 在
1, ¥
+
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)若
f x 有两个不同的零点
1
x ，
2x ，
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明：
1
2
1
x
x
a
a
+
>
+
.
16．（24-25 高二下·四川乐山·期末）已知函数
ln
1
R
e
a
x
x
f x
x
a x
a
=
+
-
-
Î
.
(1)当
1
a = 时，求函数
f x 在
1
x = 处的切线方程；
(2)若函数
f x 有两个零点，记作
1
x ，
2x .
（ⅰ）求参数a 的取值范围；
（ⅱ）若
1
2
0
3x
x
<
£
，证明：
3
1
2
243
x
x
×
³
.
