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专题 2 函数图象及性质
内容概览
A·常考题不丢分
题型一 函数图象的判定
题型二 函数奇偶性（重点）
题型三 比较大小 （难点）
题型四 抽象函数性质综合应用（高频考点重难点）
C·挑战真题争满分
题型一 函数图像的判定
一、单选题
1．（2024下·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.
【详解】由函数 ， ，令 ，解得 ，
则其定义域为 ，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为 ，观察选项可知，选A.
故选：A
2．（2024·四川·校联考模拟预测）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除CD，根据 以及 时的函数值的正负，即可排除B.
【详解】因为 ，定义域为 ，又
，可知 为偶函数，排除CD；
当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，B不符题意，
故选：A.
3．（2024·湖南·高三模拟练习）已知函数 的定义域为 ，满足 ．当
时 ，则 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性，及特殊位置结合排除法即可判定选项.【详解】因为函数 的定义域为 ，满足 ，
所以 是偶函数，所以 的图象关于y轴对称，故排除A；
当 时， ，所以 ，故排除B，C．
故选:D
4．（2024上·湖北武汉·高三校联考期末）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数 的奇偶性排除两个选项，再利用 时函数值为正即可得解.
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ，
因此 为奇函数，其图象关于原点对称，AB错误；
当 时， ，则 ， ，则 ，
于是 ，C错误，D满足.
故选：D题型二 函数奇偶性（重点）
一、单选题
1．（2024上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）下列函数既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性与奇偶性直接判断即可.
【详解】对A， 为偶函数，故A错误；
对B， 在 上不为增函数，故B错误；
对C， 既是奇函数又在 上单调递增，故C正确；
对D， 为偶函数，故D错误.
故选：C
2．（2024上·山西运城·高三统考期末）已知 是奇函数，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据 得到方程，求出 .
【详解】由题意得 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 ，解得 .
故选：C
3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，即可判断 为奇函数，从而得到 关于 对称，则
，再判断 的单调性，由对称性将不等式化为 ，再由单调性转化
为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为 ，令 ， ，
则 ，
所以 为奇函数，则 关于原点对称，所以 关于 对称，
则 ，
则 在定义域 上单调递增， 在 上单调递减，所以 在定义域 上单调递减，
则 在定义域 上单调递减，
则不等式 ，即 ，所以 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B
4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知 为定义在 上的奇函数，则函数 的解析式可
以为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】先确定出 的奇偶性，然后再逐项检验定义域和奇偶性即可.
【详解】因为 是奇函数，所以 ，即 ，所以 是偶函数，
对于 ，因为 ，所以定义域为 ，所以不满足题意；
对于 ，定义域为 且关于原点对称，
当 时， ，
当 时， ，
且 ，所以 为偶函数，符合题意；
对于 ，定义域为 且关于原点对称，
为奇函数，不符合题意；
对于 ，定义域为 且关于原点对称，
，不符合题意；
故选：B.
5．（2024下·北京·高三北京四中校考开学考试）设 是定义在 上的奇函数，且 ，
当 时， ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】由已知条件可得 是周期为3的函数，进而求目标函数值.
【详解】由题设 ，
所以 是周期为3的奇函数，
则 .
故选：C6．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知函数 ，其中 表示不大于
的最大整数，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． 在 上单调递增 D． 的值域为
【答案】B
【分析】计算 并与 比较则得到其周期性，计算得到 ，则其不具有奇偶性，分析
得 ，则得到其值域和单调性.
【详解】由题意， 表示不大于 的最大整数，则 ，
所以 ，
则函数 是以3为周期的函数，
当 时， ;
当 时， ，
则 ，
又 是以3为周期的函数，则 的值域为 ，B正确，D错误;
，所以 ，故 不是奇函数，A错误；
当 时， ，故 在 上无单调性，C错误.
故选：B.
题型三 比较大小 （难点）一、单选题
1．（2024上·山西运城·高三统考期末）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.
【详解】 ，即 ， ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
且 ，则 ，
所以 .
故选：D
2．（2024·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知实数 ， ， ，则 ， ， 这三个数的大
小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数对数函数的单调性即可判断大小.
【详解】由于 ，即 ，由 ，即 ，
由 ，即 ，故 .
故选：C
3．（2024上·浙江绍兴·高三统考期末）已知实数 满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合特殊值判定大小即可.
【详解】由 在 上单调递减， 在 上单调递增，
可知 ， ，
所以 .
故选：B
4．（2024·四川·校联考一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，分别求得 的取值范围，即可求解.
【详解】由对数函数的性质，可得 ，
又由 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
5．（2024·山西临汾·统考一模）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数以及幂函数单调性结合中间变量比大小即可.
【详解】易知 ， ，
因为 ，则 ，故得 ，显然B正确.
故选：B
6．（2024上·江苏苏州·高三统考期末）已知正实数 满足 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解.
【详解】由题意 ，
所以令 ，
所以问题等价于比较 的图象分别与 的图象三个交点横坐标的大小关系，
而 均过点 ，
则由指数函数单调性可知， 的图象分别与 的图象三个交点横坐标如图所示：
则 .
故选：A.
7．（2024上·天津宁河·高三统考期末）设 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】利用指数函数 的单调性得到 ，再利用对数函数 的单调性得出 ，即可
求出结果.
【详解】因为 ， ，易知函数 在R上是增函数，
又 ，所以 ，
又易知 在 上是减函数，所以 ，
综上， .
故选：B.
8．（2024·辽宁·校联考一模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ， ， ，即可得 ， ，再比较 与 的大小关系，借助对数运算转
化为比较 与 的大小关系，结合放缩计算即可得.
【详解】 ， ， ，故 ， ，
要比较 与 的大小，即比较 与 的大小，
等价于比较 与 的大小，等价于比较 与 的大小，
又
，
故 ，即 ，即 ，
故 .
故选：B.
题型四 抽象函数性质综合应用（高频考点重难点）一、单选题
1．（2024·广东·校联考一模）已知函数 的定义域为 ，且满足 是偶函
数， ，若 ，则 （ ）
A．202 B．204 C．206 D．208
【答案】C
【分析】根据条件得到函数 是周期为 的偶函数，再根据条件得出 ， ，即可求
出结果.
【详解】因为 ，所以 ①，即有 ②，
由①②得到 ，所以函数 的周期为 ，
又 是偶函数，所以 ，得到 ，即函数 为偶函数，
又由 ，得到 ， ， ，
又 ，所以 ，故 ，
故选：C.
2．（2024下·湖南长沙·高三校联考阶段练习）设 是定义在R上的奇函数，其导函数为 ，且
也是奇函数，当 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由 是奇函数推导 的图象关于 轴对称，进而推出函数 的周期为4，进一步
求出a值即可求解.【详解】因为 是定义域为R的奇函数，
所以 ， ， ．
因为当 ， ，所以 ，从而 ．
因为 是奇函数，则
则 ，
令 ，则 ，得 ，即 ，
故 的图象关于 轴对称，因此有 ，
且 ，从而有 ，
所以 ，故 是周期为4的周期函数，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：B．
3．（2024下·广西南宁·高三南宁二中校考开学考试）已知定义在 上的函数 满足
，且 ，则（ ）
A． B． 为奇函数C． 有零点 D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：在 中，
令 ，得 ，因为 ，所以 ，所以本选项不正确；
B：函数的定义域为全体实数，由上可知 ，显然不符合 ，因此本选项不正确；
C：在 中，
令 ，得
，或 ，
显然函数 没有零点，故本选项不正确，
D：在 中，
令 ，
得 ，所以本选项正确，故选：D
二、多选题
4．（2024下·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数 的定义域为R， ，则
（ ）
A．
B． 是奇函数
C．若 ，则
D．若当 时， ，则 ，在 单调递减
【答案】BCD
【分析】利用赋值法判断AC选项的正确性，利用函数的奇偶性判断B选项的正确性，利用函数的单调性
判断D选项的正确性.
【详解】对于A， 时， ， ，A错．
对于B， 时， ， ，， ， 为奇函数，B正确．
对于C， ， ， ， ，C正确．
对于D， 时， ， ，
时， ， 时，
， ，即 ，
在 上单调递减，D正确.
故选：BCD
5．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知定义域为 的函数 对任意实数
都有 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数 的图象关于点 对称
D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；推理确定函数 的周期，再利用周期性求值判断D.
【详解】定义域为 的函数 对任意实数 都有 ，
令 ，则 ，而 ，因此 ，A错误；
，令 ，则 ，则 ，B正确；
显然 ，则函数 的图象关于点 不对称，C错误；
令 ，则 ，同理 ，因此 ，即 ，
从而 ，即函数 的周期是6，
由 ，得 ，则 ，
显然 ，
所以 ，D正确.
故选：BD
6．（2024上·广东·高三统考期末）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 在
上单调递增，则
A． 的图象关于 中心对称 B． 是周期函数
C． 在 上单调递减 D．
【答案】BC
【分析】对A：由 可得 的图象关于直线 对称；对B：结合 为奇函数与
即可得周期性；对C：结合对称性与 在 上单调递增即可得；对D：结合周期性
与奇函数的性质计算即可得.
【详解】对A：由 ，故 的图象关于直线 对称，故A错误；
对B：由 为奇函数，故 ，又 ，
故 ，即有 ，
则 ，
即 ，故 是周期函数且周期为 ，故B正确；
对C：由 在 上单调递增，且 为奇函数，故 在 上单调递增，
又 的图象关于直线 对称，故 在 上单调递减，故C正确；对D：由 为定义在 上的奇函数，故 ，有 ，
由 的图象关于直线 对称，故 的图象关于 中心对称，
故 ，由 ，故 ，
即有 ， ，故 ，
，故D错误.
故选：BC.
7．（2024上·江苏南通·高三统考期末）设函数 的定义域为R， 为奇函数， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得 是周期为4的函数，然后结合条件即可求解.
【详解】由 为奇函数，即函数 的图象关于 对称，
又 ，则 的图象关于 对称，
所以 ，
则 ，
为周期函数且周期为 ，B对．
所以 ，A对．
而 ，C错．由上可知 ， ，
所以 ，
则 ，D对．
故选：ABD．
8．（2024上·浙江宁波·高三镇海中学校考期末）已知 ， 的定义域为R，且 （
）， ，若 为奇函数，则（ ）
A． 关于 对称 B． 为奇函数
C． D． 为偶函数
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性，对称性定义一一判断即可.
【详解】因为 的定义域为R，且 ，
所以 关于 对称，故A正确；
但不能确定 为奇函数，故B错误；
根据题意， 是定义域为 的奇函数，
所以 ，令 ，得 ，故C正确；
因为 ，则 ，
结合 ，则 ，所以 ，
即 为偶函数，故D正确.
故选：ACD9．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且满足
，当 时， ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是增函数
C． D．
【答案】ABD
【分析】求出 ，令 可判断A；不妨设 可得 ，根据 是奇函数可
判断B；令 可得 ，根据单调性可判断CD.
【详解】对于A，令 ，则 ；令 ，则 ，
为奇函数，故A正确；
对于B，不妨设 ，则 ，
， 在 为增函数，又 是奇函数，
在 为增函数，故B正确；
对于CD，令 ， ，则 ， ，
故C错误D正确.
故选：ABD.
10．（2024上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，对任意的 ，恒有
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． D．【答案】BCD
【分析】对于A：令 ， 后计算可判断；对于B：令 后计算可判断；对于C：令 后计算
可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解.
【详解】对于A：令 ， ，则 ，
又 ，所以 ，故A错误；
对于B：令 ，则 ，
所以 ，所以 为偶函数，故B正确；
对于C：令 ，则 ，
所以 ，由于 ，令 ， ，即 ，
即 ，故C正确；
对于D：令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 是周期为6的周期函数.
令 ，则 ，即 ，所以 ，
所以 ， ， ， ，所以
，
故 ，
故D正确.
故选：BCD.11．（2024下·广西·高三校联考开学考试）已知 为定义在 上的偶函数且 不是常函数，
，若 是奇函数，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B．
C． 是奇函数 D． 与 关于原点对称
【答案】ABC
【分析】根据偶函数和函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的周期性可判断B选项；利用奇函数的
定义可判断C选项；利用对称性定义可判断D选项.
【详解】对于选项A，因为 是奇函数，所以 ，
即 ，整理得 2，
所以 的图象关于 对称，故A正确；
对于选项B，因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，所以 ，故B正确；
对于选项C， ，故C正确；
对于选项D，因为 ，所以 与 关于 轴对称，不关于原点对称，故D错误.
故选：ABC.
12 （2024九省联考数学新结构）已知函数 的定义域为 ，且 ，若
，则（ ）
A． B．C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
12. ABD 【解析】令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
令 ，则有 ，
即 ，故函数 是奇函数，
有 ，即 ，
即函数 是减函数，
令 ，有 ，
故B正确、C错误、D正确.一、单选题
1．（2023·全国·Ⅰ卷）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
2．（2022·全国·甲卷）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
3．（2022·全国·Ⅱ）已知函数 的定义域为R，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
4．（2021·全国·乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
5．（2021·全国·乙卷）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
6．（2021·全国·甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
7．（2021·全国·甲卷）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，
而 ，故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
8．（2021·全国·Ⅰ卷）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
二、填空题
9．（2023·全国·甲卷）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
10．（2022·全国·乙卷）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
11．（2021·全国·Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
