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2.4 指数与指数函数
思维导图
知识点总结
知识点一 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α 为无理数)是一个确定的
．
有理数指数幂的运算性质
同样适用于无理数指数幂．
知识点二 实数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝a rs (a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝a r b r (a>0，b>0，r∈R)．
知识点三 分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：
＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：
＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0 的分数指数幂
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义
知识点四 有理数指数幂的运算性质
1
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整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点四 指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.
思考 为什么底数应满足a>0 且a≠1?
答案 ①当a≤0 时，ax可能无意义；②当a>0 时，x 可以取任何实数；③当a＝1 时，ax＝1
(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点五 两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当 时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当 时为指数衰减型函数模型．
知识点六 指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
性质
过定点
过定点 ，即x＝0 时，y＝
函数值的变化
当x>0 时， ；
当x<0 时，
当x>0 时， ；
当x<0 时，
单调性
在R 上是
在R 上是
典型例题分析
考向一 运用指数幂运算公式化简求值
例1 计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)
2
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(2)
(3)
反思感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负
指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁
为简的目的．
考向二 分数指数幂运算的综合应用
例2 (1)已知am＝4，an＝3，求的值；
(2)已知
＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
反思感悟 条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解
等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
考向三 指数函数的图象及应用
例1 (1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
3
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(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________．
(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2 的图象？并画出相应图象．
反思感悟 处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指
数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
考向四 比较大小
例4 (1)比较下列各题中两个值的大小．
①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.
(2)设
则a，b，c 的大小关系为________．(用“>”连接)
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反思感悟 比较幂值大小的3 种类型及处理方法
基础题型训练
一、单选题
1．化简
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
，则方程
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数g（x）=3x+t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为
A．t≤–1
B．t<–1
C．t≤–3
D．t≥–3
4．已知
，
，
，则
A．
B．
5
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C．
D．
5．已知函数
，则使得
成立的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．设函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．已知函数
，则下列叙述正确的是（ ）
A．当
时，函数在区间
上是增函数
B．当
时，函数在区间
上是减函数
C．若函数
有最大值2，则
D．若函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围是
8．已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是增函数
C．
不是周期函数
D．
的最小值为
6
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三、填空题
9．若
为方程
的两个实数解，则
___________．
10．若指数函数
在
上是增函数，则实数
的取值范围是__________．
11．已知函数
，
，
的图象如下图所示，则
，
，的大小关系为
__________．（用“
”号连接）
12．化简
的结果是________.
四、解答题
13．计算：
(1)
；
(2) 已知
，求
.
14．计算：(1)
；
(2)
7
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15．已知二次函数
在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，
(1)求函数
的解析式；
(2)设
．若
在
时恒成立，求
的取值范围．
16．已知函数
的表达式为
，其中
、
为实数.
(1)若不等式
的解集是
，求
的值；
(2)若方程
有一个根为
，且
、
为正数，求
的最小值；
(3)若函数
在区间
上是严格减函数，试确定实数
的取值范围，并证明你
的结论.
提升题型训练
一、单选题
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1．函数
是指数函数，则有
A．
或
B．
C．
D．
或
2．已知函数
，且对于任意的
，都有
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．定义在
上的函数
满足
时，
，则
的值为
A．-2
B．0
C．2
D．8
4．已知函数
可以表示成一个偶函数
和一个奇函数
之差，若
对
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
（
，且
），则
是（ ）
A．偶函数，值域为
B．非奇非偶函数，值域为
C．奇函数，值域为
D．奇函数，值域为
6．已知a、b、c 是正实数，且
，则a、b、c 的大小关系不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
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7．下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若函数
同时满足：
对于定义域上的任意x，恒有
；
对于
定义域上的任意
，当
时，恒有
，则称函数
为“理想函
数” 下列四个函数中：能被称为“理想函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．函数
的定义域为_________.
10．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是___________.
11．已知集合
，且下列三个关系：
有且只有一个正确，则
函数
的值域是_______．
12．已知函数
，若不等式
对
恒成立，则实
数a 的取值范围是_______．
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四、解答题
13．计算：
．
14．已知函数
，
，若对任意
，都有
，求实
数
的取值范围
15．一片森林原来面积为2014 万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，
当砍伐的面积的一半时，所用时间是10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积
的
，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
16．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f（-1）=0，且满足在区间（-∞，0]单调递增．
(1)判断f(x)在（0，+∞）的单调性，并加以证明；
(2)函数
．若
对x∈（0，1]恒成立，求实数m 的取
值范围．
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