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2.6 幂函数
思维导图
知识点总结
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝
；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象
如图．
2．五个幂函数的性质
1
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y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
值域
R
R
奇偶性
奇
单调性
增
在[0，＋∞)
，
在(－∞，0] 上
在(0，＋∞)上
，
在(－∞，0)上
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点
．
2．当α>0 时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1
时，幂函数的图象 ；当0<α<1 时，幂函数的图象
．
3．当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x 对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂
指数按从小到大的顺序排列．
典型例题分析
考向一 幂函数的概念
例1 (1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂
函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知
是幂函数，求m，n 的值．
2
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反思感悟 判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x 前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
考向二 幂函数的图象及应用
例2 (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单
调区间．
反思感悟 (1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α 的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图
象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他
象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α 的取值不同，所以相应幂函数
的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
考向三 比较幂值的大小
例3 比较下列各组数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)
与
.
3
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反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主
要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0 和1 是常用的中
间量．
考向四 幂函数性质的应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a 的取值范围．
通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学
中数学抽象与直观想象的核心素养．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数
是幂函数，则函数
(
，且
)的图象所过定点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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2．函数
的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
和
3．已知幂函数y＝
(m∈Z)的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等
于（ ）
A．1
B．0，2
C．－1，1，3
D．0，1，2
4．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，
若
，
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列比较大小中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．关于幂函数
是常数），结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过原点
B．幂函数图象都经过点
5
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C．幂函数图象有可能关于
轴对称
D．幂函数图象不可能经过第四象限
8．已知函数
的图象经过点
，则（ ）
A．
的图象经过点（2，4）
B．
的图象关于原点对称
C．
在
上单调递减
D．
在
内的值域为
三、填空题
9．已知幂函数
在
上单调递增，则m＝______．
10．已知
是奇函数，且当
时，
.若
，则
__________.
11．若函数
为奇函数，则
的取值范围为__________．
12．已知幂函数
为偶函数，且在区间
上是单调增函数，则
的值为_________．
四、解答题
13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：
（1）
，
；
（2）
，
.
14．已知函数
为幂函数，且为奇函数.
（1）求
的值；
6
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（2）求函数
在
的值域.
15．已知幂函数
（m 为正整数）的图像关于y 轴对称，且在
上是严格
减函数，求满足
的实数a 的取值范围．
16．已知函数
为奇函数，其中
求
的值；
求使不等式
成立的
的取值范围.
提升题型训练
一、单选题
1．幂函数f（x）的图象过点
，则f（x）的一个单调递减区间是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，0）
2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用
数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对
“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019 年“双11”期间某商品原价为
元，商家准备在
节前连续2 次对该商品进行提价且每次提价
，然后在“双11”活动期间连续2 次对该商
品进行降价且每次降价
.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格
元相比.
A．相等
B．略有提高
C．略有降低
D．无法确定
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3．已知
是幂函数，且
、
，
都有
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知幂函数
为偶函数，则关于函数
的下列四个结论中
正确的是（ ）
A．
的图象关于原点对称
B．
的值域为
C．
在
上单调递减
D．
5．定义在R 上的偶函数
在[0，＋∞)上是增函数，则方程
＝
的所有实
数根的和为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．下列命题中，正确的有（ ）个
①对应：
是映射，也是函数；
②若函数
的定义域是（1,2），则函数
的定义域为
；
③幂函数
与
图像有且只有两个交点；
④当
时，方程
恒有两个实根.
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
8
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7．已知函数f（x）=xa 的图象经过点（
，2），则（ ）
A．f（x）的图象经过点（2，4）
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）在（0，+∞）上单调递增
D．f（x）在（0，+∞）内的值域为
（0，+∞）
8．设函数
，则（ ）
A．存在实数
，使
的定义域为R
B．函数
一定有最小值
C．对任意的负实数
，
的值域为
D．若函数
在区间
上递增，则
三、填空题
9．已知幂函数f(x)=xa 的图象过点(4,2),则a=_______
10．实数
满足
，则实数
的取值集合为__________.
11．已知幂函数
的图像关于直线
对称，且在
上单调递
减，则关于
的不等式
的解集为______．
12．设函数
，则使
成立的
的取值范围是___________.
四、解答题
13．已知幂函数的图像经过点
，求这个幂函数的解析式.
14．已知幂函数
图像不经过第三象限；
(1)求
的值；
(2)求函数
的值域.
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15．已知函数
.
（1）若
是实数集
上的奇函数，求
的值；
（2）用定义证明
在实数集
上的单调递增；
（3）若
的值域为
，且[
，求
的取值范围.
16．已知幂函数
满足
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
，是否存在实数
使得
的最小值为0？若存在，
求出
的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数
，是否存在实数
，使函数
在
上的值域为
？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由．
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