平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题
专项训练
1．（2025·海南三亚·一模）已知ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，记
,
AB
a AD
b
=
=
uuur
uuur
r
r
，则BE =
uuur
（ ）
A．
1
2
a
b
+
r
r
B．
1
2
a
b
-
r
r
C．
1
2 a
b
-
+
r
r
D．
1
2 a
b
-
-
r
r
2．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，AE 与BD 交于点F ，则AF =
uuur
（ ）
A．3
1
4
4
AB
AD
+
uuur
uuur
B．1
2
3
3
AB
AD
+
uuur
uuur
C．2
1
3
3
AB
AD
+
uuur
uuur
D．1
3
4
4
AB
AD
+
uuur
uuur
3．（24-25 高一下·四川成都·期末）设D 为
ABC
V
所在平面内一点，
3
CD
BD
=
uuur
uuur ，则（
）
A．
1
4
3
3
AD
AB
AC
= -
+
uuur
uuur
uuur
B．
3
1
2
2
AD
AB
AC
=
-
uuur
uuur
uuur
C．
3
1
2
2
AD
AB
AC
= -
+
uuur
uuur
uuur
D．
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
-
uuur
uuur
uuur
4．（24-25 高一下·甘肃兰州·期末）如图，在
OAB
△
中，P 为线段AB 上的一点，且
4
BA
PA
=
uuur
uuur .若
OP
xOA
yOB
=
+
uuur
uuur
uuur
，则（ ）
A．
3
1
,
4
4
x
y
=
=
B．
2
1
,
3
3
x
y
=
=
C．
1
2
,
3
3
x
y
=
=
D．
1
3
,
4
4
x
y
=
=
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在
ABC
V
中，
2
,
BM
MC N
=
uuuur
uuuur
为线段AM 上一点，且
(1
)
3
AN
AB
AC
l
l
=
-
+
uuur
uuur
uuur
，则实数l 的值为（ ）
A．3
4
B．2
5
C．5
6
D．6
7
考点一
平面向量的线性运算与基本定理
6．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，已知EC
BE
=
uuur
uur ，
2
DF
FC
=
uuur
uuur
，则FE =
uuur
（ ）
A．
1
1
3
2
AB
AD
-
+
uuur
uuur
B．
1
1
3
2
AB
AD
-
-
uuur
uuur
C．1
1
3
2
AB
AD
+
uuur
uuur
D．1
1
3
2
AB
AD
-
uuur
uuur
7．（24-25 高一下·云南昭通·期末）在
ABC
V
中，D 为BC 的中点，设
,
AB
a AD
b
=
=
uuur
r uuur
r
，且AC
a
b
l
m
=
+
uuur
r
r
，则
lm =
．
8．（24-25 高一下·陕西渭南·期末）在
ABC
V
中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F .若
3
1
7
7
AF
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，则AC
AD 的值为
.
9．（24-25 高一下·北京丰台·期末）如图，在
ABC
V
中，已知
6
AB =
，
8
AC =
，
60
BAC
Ð
=
°，
,
AB AC 边上的两条中
线
,
CM BN 交于点P ，则BC =
，cos MPN
Ð
=
．
10．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD 中，AB
CD
∥
，
2
CD
AB
=
，AB
AD
^
，E 是CD 的中点，若
AC
BD
AE
l
m
=
+
uuur
uuur
uuur
，则l
m
+
=
.
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量a
r
，b
r
满足
4
a =
r
，
2
b =
r
，a
r
与b
r
的夹角为π
3 ，则a
b
-
=
r
r
（ ）
A．2
B．4
C．2 3
D．2 5
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量,a b
r r
满足
1
a
b
=
=
r
r
，
2
a
b
+
=
r
r
，则a
b
-
=
r
r
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．2
3．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知正六边形ABCDEF 边长为2，下列说法正确的是（ ）
A．AC
AE
BF
-
=
uuur
uuur
uuur
B．|
| 4
AC
AE
+
=
uuur
uuur
C．AD ED
AD DE
×
=
×
uuur uuur
uuur uuur
D．AD
uuur 在AB
uuur 上的投影向量为AB
uuur
4．（24-25 高三上·山西太原·期末）已知向量,a b
r
r
满足
2
3
a
b
a
b
-
×
+
=
r
r
r
r
，且| | 2,| | 1
a
b
=
=
r
r
，则ar 与b
r 的夹角为
（ ）
A．30o
B．60o
C．120o
D．150o
5．（24-25 高一下·北京大兴·期末）若向量a
r
与b
r
满足
2
2
a
b
b
-
×
=
r
r
r
，且
2
b =
r
，则a
r
在b
r
上的投影向量的模为
（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8
6．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知ar ，b
r 是单位向量，且
1
2
a b
×
=
r
r
．若平面向量pr 满足
2
p a
p b
×
=
×
=
r
r r
r
，则pr
的值为（ ）
A．2 2
3
B．4 3
3
C．
3
D．2
考点二
平面向量的数量积
7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知AD 为
ABC
V
的高，且
2
AD =
，则BA AD
×
=
uuur uuur
（ ）
A．2
-
B．2
C．2 2
D．2 2
-
8．（2025·河北·模拟预测·多选）已知
2
2
a
b
=
=
r
r
，且向量,a b
r
r
的夹角为π
3 ，下列说法正确的是（ ）
A．
2
2 5
a
b
+
=
r
r
B．
4
a
b
a
-
^
r
r
r
C．向量
2
a
b
-
r
r
和ar 的夹角为π
2
D．若
2
/ /
3
a
b
a
b
l +
-
r
r
r
r
，则
2
3
l = -
9．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知矩形ABCD 中，
10
AB =
，
8
BC = ，BM
BC
l
=
uuuur
uuur
，DN
DC
m
=
uuur
uuur
，其中
0
l
£
，
1
m £ ，
5
MN =
uuuur
，则（ ）
A．l
m
+
是定值
B．若
3
5
m =
，则
5
3
8
5
AN
AD
AM
=
+
uuur
uuur
uuuur
C．
90
AM AN
×
>
uuuur uuur
D．
2
521
AM
AN
+
£
uuuur
uuur
10．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）在直角梯形ABCD 中，AD ∥
,
,
2
2
4,
BC AB
BC BC
AB
AD
E
^
=
=
=
为BC 的
中点，则（ ）
A．AE
DC
=
uuur
uuur
B．
8
AD AC
×
=
uuur uuur
C．
2 5
DE AC
×
=
uuur uuur
D．
2
4
AD
AB
AC
-
^
uuur
uuur
uuur
11．（24-25 高一下·江苏盐城·期中·多选）已知
2
OM
ON
=
=
uuuur
uuur
，OM
uuuur
与ON
uuur
夹角为π
3 ，若
2
OP =
uuur
且
0,
0
OP
xOM
yON x
y
=
+
³
³
uuur
uuuur
uuur
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
0
y =
时，OP
uuur
在ON
uuur
上的投影向量为
3
2 ON
uuur
B．当x
y
=
时，
0
OP MN
×
=
uuur uuuur
C．当
1
2
x =
时，
13
1
4
y
-
=
D．PM PN
×
uuuur uuur 的最大值为0
12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知向量a
r
与b
r
方向相同，
( 2,
6)
a =
-
r
，|
| 2
b =
r
，则|
2
|
a
b
-
=
r
r
.
13．（2025·四川巴中·三模）非零向量ar ，b
r 满足：|
| |
|
a
b
a
-
=
r
r
r ，
(
)
0
a
a
b
×
-
=
r
r
r
，则a
b
-
r
r
与b
r 夹角的余弦值为
.
14．（2025·广西柳州·模拟预测）已知|
| 5,|
| 4,
a
b
a
=
=
r
r
r 与b
r 的夹角
2π
3
q =
，则(
)
a
b
b
+
×
=
r
r
r
.
15．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量ar ，b
r 满足|
|
3,|
| 2
a
b
=
£
r
r
，且| 3
2 |
11
a
b
-
£
r
r
，则向量ar 在向量b
r 方向上
的投影的最小值为
．
16．（2024·上海·三模）已知向量ar 、b
r 满足
1
a =
r
，
2
b =
r
，
5
a
b
+
=
r
r
，则
,a b =
r
r
．
17．（24-25 高一下·上海·期中）已知
3,
4,
13
a
b
a
b
=
=
-
=
r
r
r
r
(1)求a
r
与b
r
的夹角大小；
(2)求a
r
在b
r
上的数量投影.
18．（24-25 高一下·云南丽江·期中）已知ar ，b
r 是单位向量，且
0
a b
×
=
r
r
．
(1)若非零向量cr 满足
0
a
c
b
c
-
×
-
=
r
r
r
r
，求cr 的最大值；
(2)若向量cr 满足
1
c
a
b
-
-
=
r
r
r
，求cr 的取值范围．
19．（24-25 高一下·新疆喀什·期末）回答下列问题
(1)已知平面向量a
r
、b
r
的夹角为60°，且a
r
为单位向量，
1, 3
b =
r
，求a
b
+
r
r
(2)已知向量a
r
、b
r
，满足
2
2 7
a
b
+
=
r
r
，
2
a =
r
，
3
b =
r
，求向量a
r
与b
r
的夹角.
20．（24-25 高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量a
r
，b
r 满足：
3
a =
r
，
4
b =
r
，a
r
与b
r
的夹角为π
6 .
(1)求a b
×
r r
；
(2)设平面向量
3
m
a
b
=
-
ur
r
r
，n
a
kb
=
+
r
r
r
，若m
ur
，n
r
的夹角为锐角，求实数k 的取值范围.
1．（24-25 高三下·云南丽江·阶段练习）已知向量
2
11
a
x
b
=
=
r
r
，，
， ，若
3
b
a
b
^
-
r
r
r
，则 x = （ ）
A．2
B．-2
C．4
D．-4
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点
1,0 ,
0,1 ,
2,3
A
B
C
，则向量AB
uuur 在AC
uuur
上的投影向量为（
）
A．
2
6
,
10
10
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
2,6
C．
1
3
,
10 10
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．1 3
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
3．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）
1,1
a =
r
，
1,2
b = -
r
，则ar 在b
r 上的投影向量是（ ）
A．1 2
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
1 2
,
5 5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
C．2 1
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．2
1
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量
2,1 ,
1, 1
a
b
=
=
-
r
r
，若 a
b
a
mb
+
=
-
r
r
r
r
，则 m = （ ）
A．2
B．1
-
C．2 或
1
-
D．3
5．（24-25 高三下·辽宁·期中·多选）已知向量
1,3
a =
r
，
2,1
b = -
r
，则（ ）
A．
1
a b
× =
r r
B．
2
|
|
|
|
4
a
b
=
+
r
r
C．
/ /
a
b
b
+
r
r
r
D．
2
cos ,
10
a b =
r
r
6．（2025·吉林·模拟预测·多选）已知向量
cos , 3
a
q
=
r
，
1,sin
b
q
=
r
，若a
b
a
b
+
=
-
r
r
r
r
，则q 可能为（ ）
A．
π
6
-
B．2π
3
C．5π
6
D．11π
6
考点三
平面向量的坐标运算
7．（2025·陕西汉中·一模·多选）已知向量
(1,2)
a =
r
，
(1, 1)
=
-
r
b
，则（ ）
A．
2
(3,1)
a
b
+
=
r
r
B．
5
a =
r
C．
10
cos
,
10
a b
>=
r r
D．a
r
在b
r
方向上的投影向量坐标是
1 1
(
, )
2 2
-
8．（2025·江西·模拟预测·多选）已知向量
(2,3),
( 4,
)
a
b
m
=
= -
r
r
，则（ ）
A．若a
b
^
r
r
，则
8
3
m =
B．若
1
m = ，则
2 15
a
b
-
=
r
r
C．若
a
b
b
+
∥
r
r
r
，则
6
m =
D．若
2
m =
，则ar 在b
r 方向上的投影向量的坐标为2
1
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
9．（2025·北京西城·一模）设平面向量
1,1
a = -
r
，
2,1
b = -
r
，
,
c
x y
=
r
，且
5
c =
r
，则使得向量b
c
-
r
r
与a
r
共线的一
组值x =
，y =
．
10．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知向量
3,
,
2,
1
a
m
b
m
=
=
+
r
r
，若//
a b
r r ，则
2
a
b
-
=
r
r
.
11．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量
(2,2)
a =
r
，向量b
r 满足(
)
b
a
a
-
^
r
r
r ，则2
b
r
在ar 上的投影向量的坐标
为
.
12．（2025·河北衡水·三模）已知向量
1,1
a =
r
，
1, 1
b =
-
r
，若
a
b
a
b
l
m
+
^
+
r
r
r
r
且
0
l >
，则l
m
-
的最小值
为
.
13．（24-25 高一下·重庆渝北·期中）已知点(1,1), (5,3)
A
B
，O 为坐标原点，M 为x 轴上一动点.
(1) AM
BM
^
uuuur
uuuur ，求点M 的坐标；
(2)当AM BM
×
uuuur uuuur 取最小值时，求向量AM
uuuur 与BM
uuuur 的夹角的余弦值.
14．（24-25 高一下·广东江门·阶段练习）已知
(1,1)
a =
r
，
(0, 2)
b =
-
r
．
(1)若ka
b
-
r
r
与
2
a
b
+
r
r
共线，求k 的值．
(2)若3a
kb
-
r
r
与3a
b
+
r
r
的夹角为90°，求k 的值．
(3)求向量ar 在向量b
r 上投影向量．
15．（24-25 高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量
1,4 ,
2,3
a
b
=
=
r
r
.
(1)求
2
a
b
+
r
r
的坐标；
(2)求ar ；
(3)若
b
c
a
l
=
-
r
r
r
，且b
c
^
r
r ，求实数l 的值.
16．（24-25 高一下·湖南·期末）设 0
2
a
p
b
p
，向量
1,
2
2cos ,sin
sin ,2cos
cos ,
2sin
.
a
b
c
d
a
a
b
b
b
b
=
-
=
=
=
-
r
r
r
r
，
，
，
(1)若 a
b
^
r
r
，求a ;
(2)若
3
c
a
+
=
r
r
∣
∣
，求 sin
cos
b
b
+
的值;
(3)若 tan tan
4
a
b = ，求证： b
r // .cr
1．（2025·河南新乡·二模）已知
1
1
,
a
x y
=
r
，
2
2
,
b
x
y
=
r
都是非零向量，定义新运算
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
a
b
x x
x y y
x x
y x y
=
+
+
+
r
r
e
，则“
0
a
b =
r
r
e
”是“ a
b
^
r
r ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量
,
AB
x y
=
uuur
，把AB
uuur 绕其起点沿逆时针方向旋转q 角得
到向量
cos
sin , sin
cos
AP
x
y
x
y
q
q
q
q
=
-
+
uuur
，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转q 角得到点P .已知平面内点
1,2
A
，
1
2,2
2 2
B
+
-
，把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π
4 后得到点P ，则P 的坐标为（
）
A．
0, 1
-
B．
2,5
C．
4,1
D．
3, 1
-
3．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）如图，设
,
Ox Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，
1e
ur
，
2e
uur
分别是与x 轴、y 轴
正方向同向的单位向量，若向量
1
2
OP
xe
ye
=
+
uuur
ur
uur
，则把有序数对( , )
x y 叫作向量OP
uuur
在坐标系xOy 中的坐标.若
(1,2),
OM =
uuuur
(4,5)
ON =
uuur
，则|
|
MN =
uuuur
（ ）
A．5
5
-
B．3
C．3 3
D．6
考点四
平面向量的新定义问题
4．（24-25 高二上·山西晋城·期中·多选）“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向
量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量a
r
与b
r
的外积a b
´
r
r
是一个向量，其长度等于
sin ,
a
b
a b
a b
´
=
r
r
r
r
r
r
，其方向满足
a
a
b
^
´
r
r
r
，
b
a
b
^
´
r
r
r
，a
r
，b
r
，a b
´
r
r
且三个向量构成右手系（如图）．在棱长
为2 的正四面体ABCD 中，O 为
BCD
△
的中心，下列结论正确的有（ ）
A．
1
2
ABC
S
AB
AC
=
´
V
uuur
uuur
B．AB
AC
AD
AC
´
=
´
uuur
uuur
uuur
uuur
C．AB
AC
AC
AB
´
=
´
uuur
uuur
uuur
uuur
D．
3 2
2
BC
BD
AO
´
= -
uuur
uuur
uuur
5．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习·多选）已知单位向量
2
1,e
e
ur uur
的夹角为(
)
0
π
q
q
，若平面向量
1
2
,
a
xe
ye
x y
=
+
ÎR
ur
uur
r
，有序实数对
,x y 称为向量ar 在“仿射”坐标系xOy （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记
( , )
a
x y q
=
r
，则下列命题正确的是（ ）
A．已知
1
1
2
2
,
,
,
a
x y
b
x
y
q
q
=
=
r
r
，则
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
q
+
=
+
+
r
r
B．已知
π
π
3
3
(1,0) ,
(0,1)
OA
OB
=
=
uuur
uuur
，则线段AB 的长度为1
C．已知
π
π
3
3
(2, 1) ,
(1,2)
a
b
=
-
=
r
r
，则
3 3
2
a b
×
=
r
r
D．已知
π
3
( , ) ,
1
a
x y
a
=
=
r
r
，则x
y
+
的最大值为2 3
3
6．（2025·四川成都·三模·多选）对于空间中一组向量
(
1,2,3)
ia i =
r
，若存在不全为零的实数
(
1,2,3)
ik i =
使得
1 1
2
2
3
3
0
k a
k a
k a
+
+
=
r
r
r
r
，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（ ）
A．若
( 1,1,1)
a = -
r
，
( 2,2,2)
b = -
r
，
(3,1, 4)
c =
-
r
，则ar ，b
r
，cr 线性相关
B．若
( 1,1,1)
a = -
r
，
(1,2,3)
b =
r
，
(2,3,4)
c =
r
，则ar ，b
r
，cr 线性无关
C．若
1ar ，
2ar ，
3ar 线性无关，则
1
2
a
a
-
r
r ，
1
2
2
3
a
a
-
r
r ，
3
1
a
a
-
r
r 线性相关
D．对于非零向量
1ar ，
2ar ，
3ar ，若存在实数x ，y 使得
2
1
1
2
1
3
a
xa a
ya a
=
×
+
×
r
r
r
r
r ，则
1ar ，
2ar ，
3ar 线性相关
7．（24-25 高三上·湖北·期中）定义：已知平面向量a
r
，b
r
表示夹角为120o的两个单位向量，O 为平面上的一个定
点，A 为平面上任意一点，当OA
xa
yb
=
+
uuur
r
r
时，定义
,x y 为点A 的斜坐标.设点B 的斜坐标为
3, 7
-
，则
OB =
uuur
.
8．（24-25 高三上·上海·期中）我们称n （n 为正整数）元有序实数组
1
2
,
,
,
n
x x
x
¼
为n 维向量，
1
2
n
x
x
x
+
+¼+
为该向量的范数.已知n 维向量
1
2
,
,
,
n
a
x x
x
=
¼
r
，其中
1,0,1
1,2,
,
ix
i
n
Î -
=
¼
，记范数为奇数的ar 的个数为
n
A ，
则
10
A =
9．（2025·上海松江·二模）设向量
1
1
2
2
,
,
,
a
x y
b
x
y
=
=
r
r
，记
1
2
1
2
a
b
x x
y y
=
-
r
r å
.若点
1
2
3
A
A
A
、、
为圆C ：
2
2
4
2
0
x
y
x
y
+
+
-
=
上任意三点，且满足
1
2
2
3
A A
A A
^
，则
1
2
2
3
OA
OA
OA
OA
+
uuur
uuuur
uuuur
uuur
å
å
的取值范围是
.
10．（24-25 高一下·浙江宁波·期末）如图，在
ABC
V
中，
90
ABC
Ð
=
°，
2 3
AB =
，
2
BC =
，
(0
1)
AM
xAB
x
=
uuuur
uuur
，
(0
1)
AN
yAC
y
=
uuur
uuur
，设CM 与BN 交于点P ，且
2
CP
PM
=
uuur
uuuur ．
(1)求2
3
xy
y
-
的值；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“Å”：
sin
a
a
b
b
q
Å
=
r
r
r
r
（其中q 是两非零向量ar 和b
r 的夹角）．
（ⅰ）若M 为AB 的中点，求PB
PC
Å
uuur
uuur 的值；
（ⅱ）若
3
2
AP
BC
Å
=
uuur
uuur
，求x
y
+
的值．
11．（24-25 高一下·广东汕尾·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把
有序复数对
1
2
( ,
)
z z
（
1
2
,
z z ÎC ）看作一个向量，记作
1
2
( ,
)
a
z z
=
r
，称a
r
为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对
于
1
2
( ,
)
a
z z
=
r
，
3
4
(
,
)
b
z z
=
r
（
1
2
3
4
,
,
,
z z
z z ÎC ），我们定义复向量运算法则：①加法：a
b
+
=
r
r
1
3
2
4
(
,
)
z
z z
z
-
-
；②减
法：
1
3
2
4
(
,
)
a
b
z
z z
z
-
=
+
+
r
r
；③数乘：
1
2
(
,
)(
)
k
a
kz kz
k
Ä
=
ÎC
r
；④数量积：
1
3
2
4
a
z
z
b
z
z
×
=
+
r r
；⑤模：a
a a
=
×
r
r r .
(1)设
(1,2
i)
a =
-
r
，
(1
i,2i)
b =
+
r
，求a b
×
r r
和a
b
+
r
r
；
(2)验证复向量结合律：
(
)
k
a
b
k
a
k
b
Ä
+
=
Ä
+
Ä
r
r
r
r
是否成立；
(3)设
(2
2i,2i)
a =
+
r
，集合
Ω
( ,
2i),
p p
z z
z
=
=
+
ÎC
r r
，bÎW
r
，求a
b
+
r
r
的最小值；并证明当a
b
+
r
r
取最小值时，对
于任意的cÎW
r
，(
) (
)
0
a
b
b
c
+
×
+
=
r
r
r
r
.
12．（24-25 高一下·甘肃庆阳·期末）设平面内两个非零向量
,
m n
ur r
的夹角为
π
2
q q
æ
ö
¹
ç
÷
è
ø ，定义一种新运算“Ä”：
tan
m
n
m n
q
Ä
=
ur
r
ur r
.
(1)已知向量
2,
3,
2
a
b
a b
=
=
×
=
r
r
r r
，求a
b
Ä
r
r
；
(2)设向量
1
1
2
2
,
,
,
a
x
y
b
x
y
=
=
r
r
，且
0
a b
×
¹
r r
，证明：
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
x y
x y
x
y
x
y
a
b
x x
y y
-
+
+
Ä
=
+
r
r
；
(3)已知向量
cos
, sin
,
cos , sin
,
0
c
d
c d
b
b
g
g
=
=
×
¹
r
ur
r ur
，若
2
c
d
Ä
=
r
ur
，求
cos 2
2
b
g
-
的值.
13．（24-25 高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内
到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：
①当
ABC
V
三个内角均小于120o时，满足
120
AOB
BOC
COA
Ð
= Ð
= Ð
=
o的点O 为费马点；
②当
ABC
V
有一个内角大于或等于120o时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知
ABC
V
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，点M 为
ABC
V
的费马点，
1
c = 且sin
sin
cos sin
B
C
B
A
=
=
(1)求角C ；
(2)求MA MB
MB MC
MA MC
×
+
×
+
×
uuur uuur
uuur uuuur
uuur uuuur
；
(3)已知在
ABC
V
中，若点P 为
ABC
V
平面上任意一点，求AP
AB
AP
AC
PB
AC
-
+
-
+
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
的最小值．
14．（24-25 高一下·广东江门·期中）1637 年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著
名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射
坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，
称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成
0
π
a
a
的两条射
线，
1e
ur
、
2e
uur
分别为Ox 、Oy 同向的单位向量，定义平面坐标系xOy 为
xOy a 仿射坐标系，在
xOy a 仿射坐标系中，
若
1
2
OP
xe
ye
=
+
uuur
ur
uur
，则记
,
OP
x y
=
uuur
.
(1)在
3π
4
xOyæ
ö
ç
÷
è
ø 仿射坐标系中，若
2,1
a =
r
，求ar ；
(2)在
xOy a 仿射坐标系中，若
1,3
a = -
r
，
3,1
b = -
r
，且a
r
与b
r
的夹角为π
3 ，求sina ；
(3)如图所示，在
π
3
xOyæ
ö
ç
÷
è
ø 仿射坐标系中，B 、C 分别在x 轴、y 轴正半轴上，
1
BC =
uuur
，
7
19
OD
OC
=
uuur
uuur
，E 、F 分别为
BD 、BC 中点，求OE OF
×
uuur uuur
的最大值.
