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2026 年高考数学一轮复习
专题21：求表面积与体积
知识点1 空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不
一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
1
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2、特殊的棱柱和棱锥
（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是
正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均
相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边
形的中心．
【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点．
3、旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，
垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角
形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
4、空间几何体的直观图
（1）画法：常用斜二测画法．
（2）规则：
①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′
轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中
保持原长度不变；平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；
（3）直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S 直观图＝S 原图形；S 原图形＝2S 直观图．
2
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知识点2 空间几何体的表面积和体积
几何体
棱柱
棱锥
棱台
侧面展开图
侧面积公式
ch
(c 为底面周长，h 为侧
棱长)
ch′
(c 为底面周长，h′为侧面等腰三
角形底边上的高)
(c+c′)h′
(c′，c 分别为上、下底面周
长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
1、空间几何体的表面积和体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝S 底h
锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝S 底h
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V＝(S 上＋S 下＋)h
3
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球
S＝4πR2
V＝πR3
几何体的表面积和侧面积的注意点
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
②组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系
（1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，
则S 正棱柱侧＝ch′←―― S 正棱台侧＝(c＋c′)h′――→S 正棱锥侧＝ch′.
（2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，
则S 圆柱侧＝2πrl←―― S 圆台侧＝π(r＋r′)l――→S 圆锥侧＝πrl.
3、柱体、锥体、台体体积间的关系
1.正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝
a； (2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝
a.
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝
.
3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
考点一 直观图与空间几何体的表面积
【例1】水平放置的
，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的
，其中
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，
，则
绕
所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为(
)
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知梯形
按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形
，且
，
，
，现将梯形
绕
㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】在正四棱台
中，
，若正四棱台的高为
，则其表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图1 所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2 是
小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的
上、下两个底面的边长分别为
和
，正六棱台与正六棱柱的高分别为
和
，则该花灯的表
面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
考点二 空间几何体的体积
【例3】如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为
，两段圆弧
所
在圆的半径分别为3 和6，则该圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为1，且上
底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3，则这个圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 与球有关的切、接问题
【例4】在三棱锥
中，
，
，则三棱锥
的外
接球的表面积为___________.
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【变式4】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6 个顶点都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB AC
⊥
，AA1
＝12，则球O 的半径为( )
A. B. 2 C. D. 3
【变式5】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了
数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个
面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为
，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6】现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小
球的体积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
1.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3 个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥
奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的
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方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个
圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内
部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.某圆台的下底面周长是上底面周长的4 倍，母线长为10，该圆台的侧面积为
，则该圆台的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.在梯形ABCD 中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形
成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．4π
B.(4＋)π C．6π
D．(5＋)π
4.已知水平放置的四边形
按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中
，
，
，
，则原四边形
的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
5.在直三棱柱
中，
为等边三角形，
，则三棱柱
的外
接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.已知球
内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为
，
，且
，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（多选题）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为
，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
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