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专题22 三角函数的图象与性质
考点一
三角函数的定义域及三角不等式
考点二
求含三角函数的值域（最值）
考点三
利用三角函数的值域（最值）求参数
考点四
求三角函数的周期性和奇偶性
考点五
求三角函数的单调性和对称性
考点六
利用单调性求参数
考点七
利用奇偶性，对称性求参数
考点八
由图象确定正（余）弦函数的解析式
考点九
描述正（余）弦函数图象的变换过程
考点十
求图象变换前（后）的解析式
一、正弦函数
,余弦函数
,正切函数
的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当
时，
；
当
时，
当
时，
；
当
时，
．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
1
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单调性
在
上
是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上
是增函数．
对称性
对称中心
；
对称轴
，
既是中心对称图形又是轴对称图
形.
对称中心
；
对称轴
，
既是中心对称图形又是轴
对称图形.
对称中心
；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称
图形.
二、
的图象变换
由函数
的图象通过变换得到
（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移
后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
考点一
三角函数的定义域及三角不等式
例1．（2023 春·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中）函数
的定义域为___．
【答案】
2
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【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得．
【详解】由题意
，
，又
，
所以
，
故答案为：
．
例2．（2022·高一课时练习）求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由函数特征得到
，求出定义域；
（2）由对数函数的真数大于0，得到不等式，求出定义域；
（3）根据函数特征得到
，求出定义域.
【详解】（1）要使
有意义，则
，解得
，
故定义域为
；
（2）要使
有意义，可得
，
即
，解得
，
故定义域为
；
（3）要使
有意义，可得
．
3
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解得
，
所以函数的定义域为
.
例3．（2022 秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）若
，且
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解
，
，再求解交集即可.
【详解】由
，可得
或
；由
，可得
．
综上，
的取值范围是
．
故选：B.
例4．设函数
(1)求函数
的定义域、最小正周期．
(2)求不等式
的解集．
【答案】(1)定义域
；最小正周期
；
(2)
【分析】（1）根据正切函数的性质列不等式即可得函数定义域，由正切型三角函数的性质得最小正周期；
（2）根据正切型函数的性质可求解不等式的解集.
【详解】（1）函数
的定义域满足函数
，所以
4
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所以函数的定义域为
；
最小正周期
；
（2）由不等式
，则
，解得
，
所以不等式的解集为
.
例5．（2023 春·河南南阳·高三校联考阶段练习）函数
的定义域为______．
【答案】
，
．
【分析】要使函数有意义，则有
，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域.
【详解】要使原函数有意义，必须有
即
，
解集为
,
取交集可得原函数的定义域为
故答案为：
考点二
求含三角函数的值域（最值）
例6．（2023 春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）函数
在
上的值域为______．
【答案】
【分析】根据给定区间，求出函数相位的范围，再利用正弦函数性质求解作答.
5
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【详解】
，则
，于是
，
所以所求值域为
.
故答案为：
例7．（2023 春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数
(1)求
的值；
(2)求
的最大值和最小值，并写出取最值时x 的值．
【答案】(1)
(2)
，
或
，
，
，
【分析】（1）将
代入函数解析式求解；
（2）由
，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）解：
；
（2）
，
因为
，
所以当
时，
，
此时
或
当
时，
，
6
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此时
，
.
例8．（2021 春·陕西汉中·高三统考阶段练习）函数
在
上的值域为__________．
【答案】
【分析】根据题意求得
，结合正切函数的性质，即可求解.
【详解】由
，可得
，
根据正切函数的性质，可得
，
即函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
例9．（2021 春·高三课时练习）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域．
【详解】∵
，∴
.
∵
在
上是单调递增的．
即
∴函数
的值域为
.
故选：C
例10．（2023 春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期中）已知
，则
7
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的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意得到
，求得
或
，结合
，即可求解.
【详解】因为
，可得
，
解得
或
，
又由
因为
，或
，所以
.
故答案为：
.
考点三
利用三角函数的值域（最值）求参数
例11．（2023 春·山东·高三统考期中）设函数
，若
对任意的实数x
都成立，则
的最小值是______．
【答案】
/0.75
【分析】由恒成立问题，求出函数最值，利用最值的性质进行求值即可.
【详解】因为
对任意的实数x 都成立，
所以
在
时取得最大值，
所以
，
8
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则
，
则
，又因为
，
所以当
时，
取得最小值为
.
故答案为：
.
例12．（2023 春·广西·高三校联考期中）已知
，
，若“
”是“
”的
充分不必要条件，则实数
的取值范围是_______________．
【答案】
【分析】根据充分不必要条件的定义可得集合
的包含关系，由此可得
，结合余弦函数性质可
求得
的范围.
【详解】
“
”是“
”的充分不必要条件，
是
的真子集，
，
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
例13．（2023 春·湖北·高三赤壁一中校联考阶段练习）已知函数
在闭区间
上的
最大值为7，最小值为3，则
__________.
【答案】
/
【分析】分析
在
的单调性，求出
的范围，根据最值建立等式，解出
即可.
【详解】解：取
，解得
，
9
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所以
在AB ⊥¿ ¿上单调递增，
即
在AB ⊥¿ ¿上单调递减，
因为
在闭区间
上有最大值为7，最小值为3，
所以
，且
，
，
即
，解得
，
因为
，所以
，故
.
故答案为：
例14．（2023 春·北京·高三北理工附中校考期中）已知函数
.若对
，
恒成立，则
_______.
【答案】
【分析】依题意
为函数的最大值，即可得到
，
，结合
的取值范围，即可得
解.
【详解】因为对
，
恒成立，所以
，
，
解得
，
，
因为
，所以
.
故答案为：
10
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例15．（2023 春·北京海淀·高三北大附中校考期中）已知
．当
，
时，
的取值范围为
，则的一个取值为__________．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】由题设知区间
内
至少含最大、最小值各一个，讨论结合正弦函数性质确定
最值，即可得参数值.
【详解】由题设
，
，又
的取值范围为
，
所以区间
内
至少含最大、最小值各一个，
当
，则
，取不到最小值；
当
，则
，取不到最大值；
当
，则
，可同时取到最大、最小值.
故答案为：
（答案不唯一）
考点四
求三角函数的周期性和奇偶性
例16．（2023 春·江西·高三校联考阶段练习）若函数
的最小正周期大于
，则
的解析式可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性公式求得结果.
【详解】函数
的最小正周期为
；
的最小正周期为
；
11
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的最小正周期为
；
的最小正周期为
.
故选：D.
例17．（2021 秋·高三课时练习）已知
（其中
为常数且
），如果
，则
的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】构造函数
，则函数
是奇函数且周期为
，先求得
，进而得到
的值.
【详解】设
，
则
，
则函数
是奇函数；
，
则函数
是周期为
的周期函数；
由
，可得
，则
，
所以
，
则
故选：B .
例18．（2023 春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考期中）下列函数不是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合三角函数的性质即可化简求值.
12
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【详解】对于A , 定义域为
,
所以
为奇函数，
对于B，定义域为
，且
，所以
为奇函数，
对于C，定义域为
，且
，所以
为偶函数，
对于D，定义域满足
且
，所以
且
，
故定义域为
或
或
,故定义域关于原点对
称，且
，所以为奇函数，
故选：C
例19．（2022 秋·重庆合川·高二重庆市合川中学校考期末）（多选）下列函数中，最小正周期为
的偶函
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期.
【详解】由
，
则该函数为偶函数，且周期为
，故A 正确；
，
∵
，故该函数为偶函数，
周期为
周期的一半，故
，故B 正确；
，故
是偶函数，
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,周期
，故C 错误；
为非奇非偶函数，故D 错误；
故选：AB.
例20．（2023·海南海口·校联考一模）若函数
，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据函数的奇偶性，排除A，C，再由
在
上函数值恒为正，排除D，可得答案为B.
【详解】因为
定义域为
，
又
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，可排除A，C.
又当
时，
，可排除D.
故选：B.
考点五
求三角函数的单调性和对称性
14
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例21．（2023 春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中）（多选）已知函数
，则下
列描述中正确的是（ ）．
A．函数
的图象关于点
成中心对称
B．函数
的最小正周期为2
C．函数
的单调增区间为
，
D．函数
的图象没有对称轴
【答案】BD
【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．
【详解】对于A：令
，令
得
，不是整数，故A 不正确；
对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝
，故B 正确；
对于C：令
，解不等式可得函数的单调递增区间为
，
故C 错误；
对于D：正切函数不是轴对称图形，故D 正确．
故选：BD．
例22．（2023 春·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期中）函数
的一个单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出函数图象，数形结合求解即可.
【详解】解：作出函数
的图象如图所示，
15
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由图象可知，A、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间．
故选：C
例23．（2023 秋·江苏盐城·高三盐城市第一中学校联考期末）已知函数
，求：
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)求函数
的对称轴方程；
(3)求函数
在区间
上的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
，3
【分析】（1）由正弦函数的单调性即可求得
的单调递增区间；
（2）由
的对称性即可求解；
（3）由x 的取值范围即可求得
的值域，从而可得最值．
【详解】（1）令
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
.
（2）因为
，
令
，解得
，
所以函数
的对称轴方程
.
16
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（3）因为
，则
，可得
，
当
，即
时，
取到最小值
；
当
，即
时，
取到最大值；
所以函数
在区间
上的最小值为
，最大值3.
例24．（2023 春·北京·高三北京师大附中校考期中）下列函数中，周期为π 且在区间
上单调递增的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用整体法，根据对应三角函数的性质判断区间单调性及其周期.
【详解】由
，各项函数单调性如下：
由
，
，故
在
上递增，且周期为π；
由
，
，故
在
上不单调；
由
定义域为
，而
不满足定义域；
由
，
，则
在
上递增，且周期为4π.
故选：A
例25．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数
.对于下列四种说法:
①函数
的图像关于点
成中心对称；
17
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②函数
在
上有个极值点；
③函数
在区间
上的最大值为
；
④函数
在区间AB ⊥¿ ¿上单调递增.
其中正确的序号是__________.
【答案】②③
【分析】对于①，
，则函数
的图像不关于点
成中心对称；对于②，由
的范围，得
出
的范围，利用正弦函数的性质可得取到极值点的位置；对于③，由
的范围，得出
的范围，
利用正弦函数的性质可得出函数的最值；对于④，由
的范围，得出
的范围，利用正弦函数的单调
性判断即可．
【详解】对于①，
，
的图像不关于点
成中心对称，
错误；
对于②，
，则
，则当
分别取
时，函数
取到
极值，正确；
对于③，
，则
，
，正确；
对于④，
，则
，由于正弦函数在
上不单调，错误；
故答案为: ②③
考点六
利用单调性求参数
例26．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数
是区间
上的增函数，则正实数
18
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的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
求得
，再利用余弦函数的单调区间建立
即可求解.
【详解】
，
，
又因为函数
是区间
上的增函数，
解得
因为
为正实数，所以
，从而
，
又
，
所以正实数
的取值范围是为
.
故选：C
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的图象经过点
，
若
在区间
上单调递增，则ω 的取值范围是___________.
19
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【答案】
【分析】将
代入
的解析式，求φ 的值, 结合正弦函数的图象与性质列关于ω 的不等式组，即可
得解.
【详解】由题意得
，∴
，又
，∴
，
∴
，
∵
的图象过点
，且
在区间
上单调递增，
∴作出
的大致图象如图所示，
其中
为
在y 轴左边的第一个零点，
为
在y 轴右边的第一个极大值点，
∴
，∴
，得
，
∴
，得
，∴ ω 的取值范围是
.
故答案为：
例28．（2023 春·河北衡水·高三校考阶段练习）函数
在
上的最大值为，
最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20
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【答案】D
【分析】由正切函数的单调性可知函数在
上单调递增，即
，
，解方程即可得出答案.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
因为函数
在
上的最大值为，最小值为
，
所以
，即
，所以
令
，
，因为
在
上单调递增，
在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，
函数
在
上单调递增，
所以
，解得：
，
，
解得：
，因为
，则
，
所以
，解得：
.
故
.
故选：D.
例29．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知函数
，对任意
，恒有
21
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，且
在
上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．函数
的对称轴方程为
C．
为奇函数
D．
在
上的最大值为
【答案】D
【分析】根据三角函数的对称性和单调性求得
，进而求得
，利用整体代换法，
结合奇偶函数的定义和三角函数的最值依次判断选项即可.
【详解】A：由题意，
，恒有
，
所以
是函数
的一个最高点，即
，
得
.
又函数
在
上单调递增，则
，
又函数
的单调递增区间为
，
所以
，
即
，解得
，
当
时，
，此时
，符合题意；
当
时，
，此时
，不成立，故不符合题意，
22
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所以
.所以
.故A 正确；
B：令
，解得
，
即函数的
的对称轴为
，故B 正确；
C：
，令
，
则
，即函数
为奇函数，故C 正确；
D：
，
因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
上，
，即函数
的最大值为
，故D 错误.
故选：D.
例30．（2023 春·河南·高二洛宁县第一高级中学校联考期中）（多选）已知函数
，下列结论中正确的是（ ）
A．若ω=3，则函数f(x)的最小正周期为
B．若
，则函数
为偶函数
C．若
，函数
在区间
上单调递增，则ω 的取值范围为
D．若存在
，使得
，则ω 的值为2
【答案】BD
【分析】对于A，根据周期函数公式，即可计算，对于B，根据函数奇偶性即可判断，对于C，根据
23
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，得到
，即可求解.对于D，根据
范围，求得
，即可得ω 的值.
【详解】对于A 选项，若
，则
故A 选项不正确；
对于B 选项，若
，则
，可知函数f(x)为偶函数，故B 选项正确；
对于C 选项，若
，若
，则
，
又函数
在区间
上单调递增，所以
，解得：
.故C 错误.
对于D 选项，因为
，所以最小正周期
所以
所以
解得
，故D 选项正确.
故选：BD.
考点七
利用奇偶性，对称性求参数
例31．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】C
【分析】代入计算并运用函数奇偶性求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以
.
故选：C.
例32．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数
的图象关于
对称，当
24
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的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据余弦型函数的对称轴、最小正周期公式可得到函数
的解析式，再根据余弦型函数的对称
中心即可求解．
【详解】由已知得
，即
，
当
时，
最小，且为
，则
最大，
此时
，其对称中心的横坐标为
，
当
时，函数
的图象上距离原点最近的对称中心为
．
故选：D．
例33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，（
）的图象在区间
内
至多存在3 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
，
，得到
，数形结合得到
，求出
答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
画出
的图象，
25
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要想图象在区间
内至多存在3 条对称轴，则
，
解得
.
故选：A
例34．（2023·安徽铜陵·统考三模）若函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．点
是曲线
的一个对称中心
C．
在
上单调递增
D．直线
是曲线
的一条切线
【答案】BCD
【分析】由题意利用对称轴即可求解
判断A；代入验证法即可判断B；根据
的范围，求解
的范围，结合余弦函数的性质即可判断C；利用导数的几何意义判断选项D.
【详解】因为函数
的图象关于直线
对称，
所以
，即
，又
，所以
，A 选项错误；
，因为
，
26
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所以点
是曲线
的一个对称中心，B 选项正确；
，当
时，
，
由余弦函数的性质知当
时，
单调递增，
所以函数
在
上单调递增，C 选项正确；
设切点为
，由
可得切线斜率
，
若直线
与曲线
相切，则
，
解得
，则切点坐标为
，此时切线为
，
故直线
是曲线
的一条切线，选项D 正确．
故答案为：BCD
例35．（2023 春·江西南昌·高三南昌二中校考期中）已知函数
（
，
）为偶
函数，且
，当
取最小值时，
的一个单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由偶函数结合诱导公式求出
，再由
知其图象关于点
对称，则可求出
，最后利用整体代入的方法求出函数的单调递减区间.
【详解】
为偶函数，则
，
，
又
，
，
27
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，
又
，
函数图象关于点
对称，
，
，
其中最小的正数是
，即
，
，
由
，得
，
，
即减区间为
，
，
是其中一个.
故选：B.
考点八
由图象确定正（余）弦函数的解析式
例36．（2023·重庆·统考三模）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．直线
是
图象的一条对称轴
B．函数
的图象可由
的图象向左平移
个单位得到
C．若
，则
的最小值为
D．方程
有3 个实根
【答案】BCD
【详解】由图可知，
，所以
，
28
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又图象过点
，所以
，
，即
，
因为
，所以
，所以
因为
，
所以直线
不是
的对称轴，A 错误；
的图象向左平移
个单位得
，B 正确；
因为
，所以
必为一个为最大值，一个为最小值，
所以
的最小值为
，C 正确；
作函数
如图，
当
时，
，
又
时，
，
结合图象可知，函数
与
有且只有3 个交点，即方程
有3 个实根，故D 正
确.
故选：BCD
例37．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知函数
的部分图象如图，
29
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，则
____________．
【答案】
/0.75
【分析】由
求出
，由图像
得
，结合
求解
，根据函数的对
称性得
，再结合
求得结果.
【详解】结合题意可知，
，
，
∵
，∴
，
又由图像可知，
，即
，解得
.
又由
，即
，
即
，
，
从而
，故
，
令
，
，则
，
从而
的对称轴为
，
，
由图像可知，
与
关于
对称，即
，
，
因为
，即
，
所以
．
30
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故答案为：
.
例38．（2023 春·江苏淮安·高三淮阴中学校考期中）已知函数
的部分图
像如图所示，若
，则
等于___
【答案】
/
【分析】先利用条件
求得
，求得最小正周期为4，进而求得
的值.
【详解】由
，
，即
，
可得
，则
，
又
，则
，
过点B 作
于E，则
，
，
则
，则
，
故答案为：
例39．（2023 春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足
函数
，其中为水深（单位：米），为时间（单位：
31
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小时），该函数图像如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 米，安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙（船底
与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【答案】(1)
(2)8 小时
【分析】（1）由图易得
和周期
，由周期可求
，然后代入最高点的坐标可求
，从而求出解析式；
（2）由题意可知
，只要解此不等式即可得解.
【详解】（1）由图知
，
，
，
，
所以
，将点
代入得
，
结合
解得
，
所以函数
的解析式
.
（2）货船需要的安全水深为
米，所以当
时货船可以停留在港口.
由
得
，得
，
即
，
当
时，
，当
时，
，
所以该船一天之内至多能在港口停留
小时.
32
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例40．（2023 春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）函数
（
﹥，
且
）在一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
D．把
的图象向左平移
个单位可以得到
的图
象
【答案】C
【分析】由正弦函数图象性质求得
，再依次讨论各选项即可.
【详解】解：由题知
，
所以
，解得
，
所以
，
再将点
代入得
，即
所以
，
因为
，所以
，
所以
，故A 选项错误；
33
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当
时，
，由于正弦函数在区间
上不单调，故
在
上不单调，B 选项错误；
，C 选项正确；
把
的图象向左平移
个单位可以得到
的图象，故D 选项错误.
故选：C
考点九
描述正（余）弦函数图象的变换过程
例41．（2023 春·河北·高三校联考阶段练习）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】B
【分析】根据三角函数的图像变换求解.
【详解】因为
，
所以
，
故为了得到
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位长度.
故选:B.
例42．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数
，则要得到函数
的图象，只
需将函数
的图象（ ）
34
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A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】C
【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.
【详解】因为
，
所以要得到函数
的图象，只需将函数
的图象向左平移
个单位即可，
故选：C.
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
，将函数
的图象经
过下列哪种可以与
的图象重合（ ）
A．向左平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】C
【分析】利用诱导公式结合三角函数的平移即可.
【详解】
，
将函数
的图象向右平移
个单位：
；
故选：C
例44．（2023 春·北京海淀·高三北大附中校考期中）要得到函数
的图象，只需先将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再将所得图象上的所有点（ ）
35
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A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】D
【分析】根据三角函数图象求得
、
，再判断函数图象的平移过程，即可得
答案.
【详解】由题图知：
，
且
，
对于
：
，故
，则
，
又
，则
，
，故
，
，
由图知：
是
正半轴上第一个零点且在增区间内，不妨令
，故
，
所以，
所有点的横坐标缩短到原来的
，则
，
再将
右移
个单位，
.
故选：D
例45．（2023 春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）函数
的部分图像如图所示，为了得到
的图像，可以
将
的图像（ ）
36
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A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】B
【分析】首先根据图像求函数
的解析式，再根据平移规律，即可求解．
【详解】由题可知
，
，则
，
所以
，
所以
，
由五点法作图可知，当
时，
，得
，
所以
，
所以
，
而
，因此该函数向右平移
个单位长度得到函数
的图像，
故选：B．
考点十
求图象变换前（后）的解析式
例46．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期中）定义运算：
，
将函数
的图像向左平移
个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则
的可能取值是
37
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的变换求得变换后的解析式，再根据偶函数的定义求解.
【详解】由题可知，
，
将
的图像向左平移
个单位，所得函数为
，
因为所得图像对应的函数为偶函数，
所以
，解得
，
因为
，所以
故选:C.
例47．（2023 春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）（多选）将函数
的图象上各点
的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，
则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于点
对称
D．
在
上单调递减
【答案】BD
【分析】根据三角函数的变换规则求出
的解析式，根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】将函数
的图象上各点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变得到
，
将
向左平移
个单位长度得到
，
38
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即
，
所以
，故A 错误；
的最小正周期
，故B 正确；
，所以函数不关于
对称，故C 错误；
由
，则
，因为
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故D 正确；
故选：BD
例48．（2023·全国·模拟预测）将函数
的图象上各点向右平移
个单位长度得函数
的图象，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由图象平移变换得到
，再由正弦函数的性质求出
的单调递增区间.
【详解】将
的图象向右平移
个单位长度后，
得到
，即
的图象，
令
，
，
39
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解得
，
，
所以
的单调递增区间为
，
.
故选：C.
例49．（2023 春·江西赣州·高三赣州市第四中学校考期中）把函数
的图象向
右平移
个单位后，图象关于
轴对称，若
在区间
上单调递减，则
的最大值为___________.
【答案】
【分析】先由平移后为偶函数求得
，再根据
的单调递减区间求解即可.
【详解】函数
的图象向右平移
个单位后，
得到
的图象，
由已知，所得函数的图象关于
轴对称，∴
为偶函数，
∴
，即
，
∵
，∴
，∴
.
∵余弦函数
的单调递减区间为
，
∴由
，解得，
，
∴
的单调递减区间为
，
∴当
时，
在区间
上单调递减，
又∵
在
上单调递减，∴
，
40
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∴
，
的最大值为
.
例50．（山东省威海市2023 届高三二模数学试题）（多选）将函数
图象上的所有点向左平移
个单位，得到函数
的图象，则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
在
上有3 个极值点
D．直线
是曲线
的切线
【答案】BCD
【分析】根据三角函数的变换规则求出
的解析式，再结合正弦函数的性质判断A、B、C，设切点为
，求出导函数，即可得到方程组，解得即可判断D.
【详解】将函数
图象上的所有点向左平移
个单位得到
，故
A 错误；
当
时
，因为
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 正确；
当
时
，
令
或
或
，
解得
或
或
，所以
在
上有个极值点，故C 正确；
设切点为
，
，
41
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则
，且
，
因为
，所以
，
又
，符合题意，即直线
是曲线
的切线，故D 正确；
故选：BCD
一、单选题
1．（辽宁省六校协作体2022-2023 学年高三下学期期中考试数学试题）函数
最
大值为（ ）
A．2
B．5
C．8
D．7
【答案】A
【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解.
【详解】
时，
，
所以
，
所以函数
最大值为2.
故选:A.
2．（2023 春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）函数
的图象如图所示，
为了得到
的图象，可以将
的图象（ ）
42
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A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】B
【分析】首先根据图象求函数
的解析式，再根据平移规律，即可求解.
【详解】由图象可知，
，
，得
，
由五点法作图可知当
时，
，得
，
所以
，
，
，
所以可以将
向右平移
个单位长度，即可得到
的图象.
故选：B
3．（2023·重庆·统考三模）将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图
象，则“
”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意求出函数
的解析式，然后通过函数
是偶函数求出
的取值范围，最后与
43
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进行对比，即可得出“
”与“
为偶函数”之间的关系．
【详解】因为函数
的图像向右平移
个单位长度后得到函数
的图像，
所以
，
因为
为偶函数，
所以
，即
，
当
时，
可以推导出函数
为偶函数，
而函数
为偶函数不能推导出
，
所以“
”是“
为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
4．（2023 春·河北衡水·高三校考阶段练习）不等式
在
上的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果.
【详解】∵
，则
，
注意到
，结合余弦函数图象解得
.
故选：D.
44
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5．（2023·四川·校联考模拟预测）函数
在
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判断.
【详解】因为
，
，
则
，
所以
为偶函数，函数图象关于
轴对称，故排除C、D；
又
，由于
，所以
，故排除B；
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若
恒成立，且
，
则
的单调递增区间为（ ）
45
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A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
【答案】D
【分析】根据
恒成立，可得
，再结合
，求得
，再根据正
弦函数的单调性结合整体思想即可得解.
【详解】因为
恒成立，
所以
，即
，
所以
或
，
所以
或
，
当
时，
，
则
，与题意矛盾，
当
时，
，
符合题意，
所以
，
所以
，
46
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令
，得
，
所以
的单调递增区间为
（
）.
故选：D.
7．（2023·天津北辰·统考三模）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图
所示，关于该函数有下列四个说法：
①
的图象关于点
对称；
②
的图象关于直线
对称；
③
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到；
⑧若方程
在
上有且只有两个极值点，则的最大值为
．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】依题意可得
，
，
，
再根据五点法作图可得
，解得
，
．
因为
，所以
的图象关于点
对称，故①正确；
47
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因为
，所以
的图象关于直线
对称，故②正确；
将
的图象向左平移
个单位长度得到
，
故③错误；
因为
，当
时且
，
，
因为函数
在
上有且只有两个极值点，
所以
，解得
，即的最大值为
，故④正确；
故选：C
8．（2023 秋·吉林·高三统考期末）下列四个函数中，以
为最小正周期的偶函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由正弦、余弦、正切函数的图象结合性质判断即可.
【详解】对于A：函数
的图象如下图所示：
由图可知，
的周期为
，且图象关于
轴对称，则
为偶函数，故A 正确；
对于BC：函数
，
的最小正周期都为
，故BC 错误；
对于D：函数
的图象如下图所示：
48
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由图可知，函数
不具有周期性，故D 错误；
故选：A
二、多选题
9．（2023·河北·统考模拟预测）将函数
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象.
则下列关于
的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为
B．图象关于点
对称
C．在区间
上单调递增
D．图象关于直线
对称
【答案】ACD
【分析】根据函数图象平移法则，求出函数
图象平移后得到的函数
的解析式，再根据正切函数的
性质一一判断即可．
【详解】函数
，
的图象向右平移
个单位长度，
得到函数
的图象，
所以函数
；
对于A，函数
的最小正周期为
，选项A 错误；
对于B，
时，
，所以
的图象关于点
对称，选项B 正确；
对于C，
，
，
在
上单调递减，选项C 错误；
49
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对于D，正切型函数
的图象不是轴对称图形，所以选项D 错误．
故选：ACD．
10．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）下列函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据
的最小正周期可判断A；根据
，确定
，结合正弦函数单调
性可判断B；根据
时，
，结合余弦函数单调性可判断C；数形结合，结合正切型函
数图像和性质可判断D.
【详解】对于选项A，函数
的最小正周期为
，故选项A 错误：
对于选项B，函数
的最小正周期为
，
当
，
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，B 正确；
对于C，函数
最小正周期为
，
当
时，
，因为
在
上单调道减，
所以
在
上单调递减，故选项C 错误
对于选项D，作出函数
的大致图像如图：
50
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函数
的最小正周期为
，且在区间
上单调递增，故选项D 正确
故选：BD
11．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知函数
图象的
一个对称中心是
，点
在
的图象上，则（ ）．
A．
B．直线
是
图象的一条对称轴
C．
在
上单调递减
D．
是奇函数
【答案】ACD
【分析】由
可得
，对称中心
，即可求得
，从而知函数
的解析式，再根据
余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可.
【详解】因为点
在
的图象上，所以
．又
，所以
．
因为
图象的一个对称中心是
，所以
，则
．
又
，所以
，则
，A 正确．
，则直线
不是
图象的一条对称轴，B 不正确．
当
时，
，单调递减，C 正确．
51
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，是奇函数，D 正确．
故选：ACD.
12．（2023 春·浙江·高三校联考期中）下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用正切函数的单调性可判断AB 选项的正误，利用余弦函数的单调性可判断C 选项的正误，利
用正弦函数的单调性可判断D 选项的正误.
【详解】对于A 选项，
，
因为正切函数
在
上为增函数，且
，
所以，
，即
，A 选项正确；
对于B 选项，由于正切函数
在
上为增函数，且
，
所以，
，B 选项错误；
对于C 选项，
，
，
因为余弦函数
在
为减函数，且
，
所以，
，即
，C 选项正确；
对于D 选项，由于正弦函数
在
上为增函数，且
，
所以，
，D 选项错误.
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故选：AC.
三、填空题
13．（2022·高三课时练习）填空：①为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上
所有的点向______平移______个单位长度；②为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点向______平移______个单位长度；③将函数
的图象上所有的点向右平移
个单
位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是________.
【答案】 向左，
， 向右，
，
.
【分析】根据函数图像的缩放平移原理即可.
【详解】为了得到函数
的图像，只需把
向左平移
个单位即可；
为了得到
的图像，只需把
向右平移
个单位即可；
把
向右平移
后，即为
，再把各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变）
则为
.
故答案为：向左，
，向右，
，
.
14．（2022·高三课时练习）如果将函数
的图象向左平移
个单位所得的图
象关于
轴对称，那么
________．
【答案】
【分析】先判断函数
图像平移后的解析式，再由正弦函数的对称轴性质求得
的取值集合，最后根据
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题干中给定的范围确定
的值.
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位得
，
由题意知
的图象关于
轴对称，
则有
，
即
，
则
，
即
，
又因为
，
所以
.
故答案为：
.
15．（2023 春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）函数
在区间
上的最小值为
___．
【答案】
【分析】利用
的范围推出
的范围，结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为
，
，
，所以
，
当
即
时
取得最小值为
.
故答案为：
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16．（2023 春·浙江·高二校联考期中）写出一个满足下列条件的正弦型函数：
_____________.（1）
最小正周期是
；（2）
在
上单调递增；（3）
，都存在
使得
.
【答案】
（答案不唯一，
都可以）
【分析】设
，根据
，都存在
使得
，可得
，根
据最小正周期为
，可得
，由
在
上单调递增得到
，取
即可.
【详解】设
，
因为
，都存在
使得
，所以
，所以
，
因为
最小正周期为
，所以
，则
，
，
因为
在
上单调递增，
所以
，所以
，
当
时，
，不妨取
，此时
．
故答案为：
（答案不唯一，
都可以）
四、解答题
17．已知函数
．
(1)用“五点法”画出
在一个周期内的图象；
(2)说明此函数图象可由
的图象经怎样的变换得到．
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
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【分析】（1）根据五点作图法画出图象.
（2）利用三角函数图象变换的知识求得正确答案.
【详解】（1）列表如下：
0
0
1
0
0
在一个周期内的图象如图所示：
（2）方法一：函数
先向左平移
个单位得到函数
；
再将函数的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，即可得函数
；
方法二：先将函数
的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数
；
再向左平移
个单位，即可得函数
．
18．（2023 春·四川成都·高二成都市第二十中学校校考阶段练习）已知
.
（1）求
的最小正周期；
（2）若
是奇函数，则
应满足什么条件？并求出满足
的
值.
【答案】（1）
；（2）
，
.
【分析】（1）根据正切型函数的周期公式，即可得答案.
（2）由题意得
，根据其为奇函数，可得
，即可求得
的表达式，
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根据
的范围，即可得答案.
【详解】（1）因为函数
，
所以函数
的最小正周期为
；
（2）
若
是奇函数，则
，
解得
，
令
，解得
，且
，
所以
，0，1，2.
故
.
【点睛】易错点为：
为奇函数，不是
，而是
，
也为奇函数.
19．已知函数
的图像如图所示.
(1)求
的解析式；
(2)将函数
的图像向右平移
个单位长度，得到函数
，求函数
在
上的值域.
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【答案】(1)
(2)
【分析】小问1：由正弦型函数的部分图像，可以求出函数
的解析式；
小问2：根据平移得到
的解析式，根据
的范围求出
的范围，由正弦型函数的性质即可得到对
应的值域.
（1）
由图可知
，
，
，
.
当
时，
，
，
，
.
又
，
.综上，
的解析式为
.
（2）
由题可知
，
当
时，
.
当
时，
取得
；
当
时，
取得最大值，为
.
在
上的值域为
.
20．（2023 春·北京海淀·高一人大附中校考期中）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
0
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x
a
b
0
2
c
0
(1)请将上述数据补充完整，直接写出a，b，c 的值并求出
的解折式；
(2)求
的对称轴；
(3)求
在区间
上的最大值和最小值．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)最大值为1，最小值为-2.
【分析】（1）根据表中数据列式即可求出解析式，进而补全表格；
（2）根据三角函数的性质直接求解即可；
（3）由题意，结合正弦函数的的单调性即可求解.
【详解】（1）根据表中数据可得
，解得
，
则数据补充如下：
0
x
0
0
0
所以
，函数
的解析式为
；
（2）由（1）知
，
令
，解得
，
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所以函数
的对称轴为
；
（3）当
时，
，
又函数
在
上单调递增，
则当
即
时，
取得最小值为
；
当
，即
时，
取得最大值为.
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